二阶线性微分方程解的结构与通解性质
二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程解的结构\[ \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\frac{dy}{dx} + q(x)y = f(x) \]其中，\(p(x)\)、\(q(x)\)和\(f(x)\)都是定义在一些区间上的函数。
解二阶线性微分方程可以分为齐次方程和非齐次方程两种情况。
齐次方程是指 \( f(x) = 0 \) 的情况，而非齐次方程则是 \( f(x) \neq 0 \) 的情况。
首先来看齐次方程。
对于齐次方程：\[ \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\frac{dy}{dx} + q(x)y = 0 \]可以先求出其特征方程：\[ \lambda^2 + p(x)\lambda + q(x) = 0 \]然后根据特征方程的根来确定齐次方程的解的结构。
1.当特征方程的两个根 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \) 相异实根时，方程的通解可以表示为：\[ y(x) = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} \]其中，\(C_1\)和\(C_2\)是任意常数。
2.当特征方程的两个根 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \) 相等实根时，方程的通解可以表示为：\[ y(x) = (C_1 + C_2x)e^{\lambda_1x} \]其中，\(C_1\)和\(C_2\)是任意常数。
3.当特征方程的两个根 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \) 为共轭复根 \( \alpha \pm \beta i \) 时，方程的通解可以表示为：\[ y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)) \]其中，\(C_1\)和\(C_2\)是任意常数。
接下来看非齐次方程。
对于非齐次方程：\[ \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\frac{dy}{dx} + q(x)y = f(x) \]其通解可以利用齐次方程的通解和一个特解的和来表示。
二阶微分方程解的结构定理
二阶微分方程解的结构定理咱们可以看看解的结构。
哎，结构这个词听起来可能有点严肃，其实就是在说，解到底长什么样，怎么组成。
简单来说，二阶微分方程的解有点像搭积木，里面有基础解和特解。
基础解就像是那些坚固的底座，得稳得住；而特解则是加上的各种花样，就像你在底座上加的那些好看又有趣的零件。
没错，基础解一般可以用公式求出来，而特解呢，通常是通过一些聪明的技巧找到的。
就好比你在找食谱，基础解是基本材料，特解是你的小创意。
然后，我们来聊聊线性组合。
线性组合听上去高大上，其实说白了，就是把几种基础解加在一起，像做沙拉一样，把生菜、西红柿和黄瓜混合在一起，最后调料一上，味道就出来了。
就算基础解再简单，混合后也能变得丰富多彩。
这个组合的过程，常常能让我们得到很多新的解，简直就像魔术一样！再说了，数学界的大神们经过研究发现，只要满足一定条件，二阶线性微分方程的解总能通过这样的线性组合来表示，简直是个“万金油”。
哦，对了，咱们还得提一提初始条件。
初始条件就像人生的起点，决定了你之后的旅程怎么走。
设定好初始条件，咱们就能找到一个唯一的解。
没错，数学的魅力就是在于它的精确性。
只要初始条件确定，解就不再是模糊的，而是有了明确的方向。
这就像你决定了目标后，沿着这条路走，就能找到属于你的风景。
说到这里，大家可能会觉得，哎呀，这些听起来真有点复杂，但当你慢慢深入，就会发现这其中的乐趣。
解方程的过程，就像解锁一扇扇门，每扇门后面都藏着新的世界。
就算是偶尔遇到一些难题，也不要气馁，耐心一点，兴许就能发现新的解法。
这就像生活，遇到困难时，咱们也得想办法突破，才能找到更好的自己。
咱们得二阶微分方程解的结构定理就像一块拼图，拼完了才能看到完整的画面。
无论是基础解、特解，还是线性组合和初始条件，都是这个拼图的重要组成部分。
每一个细节都不能忽视，缺一不可。
希望通过这个轻松的聊天，大家能对二阶微分方程有更深的了解。
就像一杯好茶，越品越有味，数学的世界也同样如此，值得咱们深入去探索。
浅析二阶线性微分方程解的结构定理
版权所有翻版必究/浅析二阶线性微分方程解的结构定理一、二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的一般形式是22d d ()()(),y y P x Q x y f x dx dx ++=1-1其中()P x ，()Q x 及()f x 是自变量x 的已知函数，函数()f x 称为该方程的自由项。
当()0f x =时，方程1-1成为22d d ()()0,y y P x Q x y dx dx++=1-2这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程1-1称为二阶非齐次线性微分方程。
定理1如果函数1()y x 与2()y x 是方程1-2的两个解，则1122()()y C y x C y x =+1-3也是方程1-2的解，其中1C ，2C 是任意常数。
定理2如果1()y x 与2()y x 是方程1-2的两个线性无关的特解，则1122()()y C y x C y x =+也是方程1-2的通解，其中1C ，2C 是任意常数。
定理3设*y 是方程1-1的一个特解，而Y 是其对应的齐次方程1-2的通解，则*y Y y =+1-4就是二阶非齐次线性微分方程1-1的通解。
定理4设1*y 与2*y 分别是方程1y ()()()P x y Q x y f x '''++=版权所有翻版必究/与2y ()()()P x y Q x y f x '''++=的特解，则12**y y +是方程12y ()()()()P x y Q x y f x f x '''++=+1-5的特解。
定理5设12y iy +是方程12y ()()()()P x y Q x y f x if x '''++=+1-6的解，其中()P x ，()Q x ，1()f x ，2()f x 为实值函数，i 为纯虚数。
则1y 与2y 分别是方程1y ()()()P x y Q x y f x '''++=2y ()()()P x y Q x y f x '''++=的解。
二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程解的结构()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -⎰⎰=⎰。
容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。
这符合线性方程解的结构规律。
例1 求解一阶常微分方程'21y y -=解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为2222()1d 12x x x x y x Ce e e xCe -=+⋅=-⎰‘其中C 是任意常数。
A.2 二阶线性常微分方程将具有以下形式的方程"()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。
称"()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程.A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。
定理A.2 如果函数12()()y x y x 与是线性齐次方程（A.7）的两个解，则函数1122()()y c y x c y x =+仍为该方程的解，其中12,c c 是任意的常数。
定理1 说明齐次线性常微分方程（A.7）的解如果存在的话，一定有无穷多个。
为了说明齐次线性常微分方程（A.7）通解的结构，首先给出函数线性无关的定义。
定义A.1设函数12(),(),,()n y x y x y x 是定义在区间I 上的n 个函数，如果存在n 个不全为零的常数12,,n k k k ，，使得1122()()()0n n k y x k y x k y x ++=在区间I 上恒成立，则称函数12(),(),,()n y x y x y x 在区间上线性相关，否则称为线性无关。
例如函数221cos ,sin x x ，在整个数轴上是线性相关的，而函数x x e e -和在任何区间(,)a b 内是线性无关的。
高数第4章第5节——二阶常系数线性微分方程
例3 已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶齐次线性 微分 方程的解 , 求该方程 .
解
例4
解
(1)
由题设可得：
2 2
p( x)2x
0, 1
x3
p( x)( ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关
常数
思考:
中有一个恒为 0, 则 必线性 相关
例如 y y 0, 有解 y1 cos x, y2 sin x,
复习: 一阶线性方程 通解:
齐次方程通解Y 非齐次方程特解
2.二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 4.5.3
是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,则 ②
的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.
二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有
特征方程
特征根
r1,2 p
p2 4q , 2
特征根
(1) 特征方程有两个不相等的实根
特征根为r1 p
6Ax 2B x,
A 1,B0, 6
原方程通解为
例13
解 对应齐次方程为 特征方程为 r 2 2r 1 0,
特征根为 r1 r2 1, 故对应齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 1 是特征方程二重根, 可设 y x2( Ax B)e x ,
代入原方程, 得 6Ax 2B x 1, A 1 , B 1 ,
文学研究一二阶线性微分方程解的结构课件
Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .
又因为 y = Y + y*， y = Y + y*，所以 y + p(x)y + q(x)y
= (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*) = (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x).
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0, 它有两 个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 其对应的两个线性无 关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所 以 方 程 的 通 解 为
y C1e x C2e3 x .
例 2 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，它 有
重根 r = 2. 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，所以通解为
求得
y （C1 C2 x)e2x ,
由于erx 0，因此，只要 r 满足方程
r2 + pr + q = 0，
⑤
即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是 ④式的解. 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方
程根称为特征根.
1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即
线性微分方程通解的结构
y p( x) y q( x) y f2( x)
的解y， 则py(1x()xy) qy(2x()xy)是0方程：(6.1)
y p( x) y q( x) y f ( x) (6.2) y p( x) y q( x) y f1( x) f2( x) 的解
又
y2 tan x 常数, y1
y C1 cos x C2 sin x是所给方程的通解.
15
2. 非齐线性微分方程解的结构 定理9.2 (二阶非齐次线性方程(2)的解的结构)
设 y*是二阶非齐次线性方程 y p( x) y q( x) y f ( x) (2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次线性方程(1) 的通解, 那么 y Y y* 是二阶非齐次线性微 分方程(2)的通解.
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关；否则称为 线性无关.
8
例3 下列各函数组在给定区间上是线性相关
还是线性无关？
(1) e x，e x , e2x ( x (,)); 线性无关
解 若 k1e x k2e x k3e2x 0, 则 k1e x k2e x 2k3e2x 0, k1e x k2ex 4k3e2x 0,
y C( y1 y2 ) y1
25
16
例6 设 y1, y2 , y3 是微分方程 y p( x) y q( x) y f ( x)
的三个不同解，且 y1 y2 常数， y2 y3
则该微分方程的通解为( D ).
( A) C1 y1 C2 y2 y3; (B) C1( y1 y2 ) C2( y2 y3 ); (C) C1 y1 C2 y2 C3 y3; ( D) C1( y1 y2 ) C2( y2 y3 ) y3.
(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。
二阶微分方程解的结构
二阶微分方程解的结构\[y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0\]的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数。
一般来说，二阶微分方程的解的结构通常包括以下几种情况：1.常数解：如果将$y(x)=c$代入方程中，其中$c$为常数，可以发现方程两边都为零，所以$y(x)=c$是方程的一个解。
这种情况通常对应于方程的齐次形式没有$x$的因子。
2.指数解：如果将$y(x)=e^{mx}$代入方程中，可以得到一个关于$m$的代数方程，称为特征方程。
解特征方程可以得到$m$的值，从而确定了指数解$y(x)=e^{mx}$的形式。
这种情况通常对应于方程的齐次形式有$x$的因子。
3.三角函数解：如果将$y(x)=\sin mx$或$y(x)=\cos mx$代入方程中，可以得到一个关于$m$的代数方程，称为特征方程。
解特征方程可以得到$m$的值，从而确定了三角函数解的形式。
这种情况通常对应于方程的齐次形式有$x$的因子。
4.线性组合解：如果已知方程的两个解$y_1(x)$和$y_2(x)$，那么它们的线性组合$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$也是方程的解。
这是因为微分方程是线性的，满足叠加原理。
5.特解：对于非齐次形式为$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$的微分方程，如果能找到一个特解$y_p(x)$，使得特解满足$f(x)=y''_p(x)+p(x)y'_p(x)+q(x)y_p(x)$，那么$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$就是方程的一个解，其中$y_h(x)$是齐次形式的解。
需要注意的是，在求解二阶微分方程时，常常需要先求解齐次方程的解，然后再通过特解的方法求得非齐次方程的解。
齐次方程的解的结构通常可以根据特征方程$m^2+pm+q=0$的根的情况来分类：1.当特征方程有两个不相等的实根$m_1$和$m_2$时，齐次方程的解为$y(x)=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}$，其中$c_1$和$c_2$为常数。
05第五节二阶线性微分方程解的结构
05第五节二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程是高等数学中的重要内容，解的结构是其中一个重要方面。
本文将详细介绍二阶线性微分方程解的结构，包括齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解。
我们先来讨论齐次线性微分方程的解的结构。
齐次线性微分方程一般形式为：\[a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=0\]其中，$a(x),b(x),c(x)$为给定函数，且$a(x)\neq 0$。
1.形如$y=e^{mx}$的解设$y=e^{mx}$是方程的解，则我们有：\[a(x)m^2e^{mx}+b(x)me^{mx}+c(x)e^{mx}=0\]化简得：\[a(x)m^2+b(x)m+c(x)=0\]这是一个关于$m$的代数方程，记为$F(m)=a(x)m^2+b(x)m+c(x)$。
如果$m_1$是方程$F(m)=0$的根，那么方程的一个解就是$y_1=e^{m_1x}$。
同理，如果$m_2$是方程$F(m)=0$的根，那么方程的另一个解就是$y_2=e^{m_2x}$。
我们称$y_1$和$y_2$是方程的基本解组。
2.线性相关与线性无关如果方程有两个不同的解$y_1$和$y_2$，那么我们可以通过线性组合得到其他解：\[y=c_1y_1+c_2y_2\]其中，$c_1$和$c_2$为任意常数。
如果任意$c_1$和$c_2$的线性组合都是方程的解，那么我们称方程的两个解$y_1$和$y_2$是线性无关的；反之，如果存在一些$c_1$和$c_2$使得线性组合不是方程的解，那么我们称方程的两个解是线性相关的。
3.齐次微分方程的通解对于齐次线性微分方程，我们可以得到通解的形式。
假设方程的基本解组为$y_1$和$y_2$，那么方程的通解可以表示为：\[y=c_1y_1+c_2y_2\]其中，$c_1$和$c_2$为任意常数。
非齐次线性微分方程一般形式为：\[a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=f(x)\]其中，$a(x),b(x),c(x)$和$f(x)$为给定函数，且$a(x)\neq0$。
第七节二阶线性微分方程解的结构
求导数, 得
y ' u y ' u y ' y u ' y u ' , 1 1 2 2 1 1 2 2
常数变易法
y ' u y ' u y ' y u ' y u ' , 1 1 2 2 1 1 2 2
u ' y u ' 0 . 我们补充如下条件: y 1 1 2 2
二阶线性微分方程解的定理
dy dy P ( x ) Q ( x ) y 0 (1 ) 2 dx dx 定理 2 若 y1( x)与 y2(x)是方程(1)的两个线性无
2
C y ( x ) C y ( x ) 关的特解,则 y 1 1 2 2
就是方程(1)的通解, 其中C 1,C 2是任意常数.
第七章 微分方程
第六节 高阶线性微分方程
二阶线性微分方程的概念 二阶线性微分方程的一般形式是
d y dy P ( x ) Q ( x ) y f ( x ), (1 ) 2 dx dx 的已知函数, 其中 P( x) Q(x)及 f (x)是自变量 x 丶
函数 f (x)称为方程(1)的自由项. 当 f( 时, x ) 0
齐次线性微分方程的解法
d y dy (1 ) P ( x ) Q ( x ) y 0 , 2 dx dx 设 y 1 是方程(1)的一个已知非零特解, 作变量替换
2
y uy , 1
(2)
dy du dy 1 y u , 1 dx dx dx
dy d y d y d u du 1 1 y 2 u , 1 2 2 2 dxdx dx dx dx
例1 已知
二阶方程通解结构
二阶方程通解结构1. 引言二阶方程是一种常见的数学方程，其形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，x为未知变量。
解二阶方程是求出满足该方程的所有x值。
一般情况下，二阶方程有两个解，可以通过求根公式或配方法得到。
然而，在某些情况下，我们希望得到一个更一般的解法，即二阶方程的通解。
本文将介绍二阶方程通解的结构以及如何推导出通解。
2. 二阶方程通解的结构对于给定的二阶方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以将其写成标准形式：x^2 + px + q = 0。
其中p = b/a和q = c/a。
2.1 齐次二阶方程如果p = q = 0，则称该二阶方程为齐次二阶方程。
齐次二阶方程的通解形式为x = Ae^(mx)，其中A和m为常数。
2.2 非齐次二阶方程如果p ≠ 0或q ≠ 0，则称该二阶方程为非齐次二阶方程。
非齐次二阶方程的通解由两部分组成：齐次解和特解。
2.2.1 齐次解齐次解是非齐次二阶方程对应的齐次方程的通解。
通过求解齐次方程，我们可以得到齐次解的结构。
假设齐次方程的通解为x = Ae^(mx)，其中A和m为常数。
2.2.2 特解特解是非齐次二阶方程的一个特殊解。
通过合适的方法，我们可以求得非齐次方程的特解。
2.3 二阶方程通解结构总结综上所述，二阶方程通解的结构可以总结如下： - 齐次二阶方程：x = Ae^(mx)，其中A和m为常数。
- 非齐次二阶方程：通解 = 齐次解 + 特解。
3. 推导二阶方程通解接下来，我们将推导出二阶方程的通解。
3.1 推导步骤1.将给定的二阶方程写成标准形式：x^2 + px + q = 0。
2.求出该标准形式对应的齐次方程的通解：x = Ae^(mx)。
3.根据给定条件或问题，找到非齐次方程的一个特解。
4.将齐次解和特解相加，得到非齐次方程的通解。
3.2 示例假设我们要求解方程x^2 + 2x + 1 = 0的通解。
1.将方程写成标准形式：x^2 + px + q = 0，其中p = 2，q = 1。
二阶线性微分方程及其解法
n 阶微分方程的一般形式为：()(,,',",,)0n F x y y y y =L ，一般情况下，求n 阶微分方程的解是困难的. 作为基础知识，本节仅讨论二阶常系数线性微分方程的求解方法.一、 二阶线性微分方程解的结构如果二阶微分方程)',,(''y y x F y =的未知函数及其导数都是一次项的，称为二阶线性微分方程. 二阶线性微分方程的一般形式为).()(')(''x f y x q y x p y =++ （）如果0)(≡x f ，则方程（）成为.0)(')(''=++y x q y x p y （）方程（）称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程（）称为二阶非齐次线性微分方程. 定理 齐次线性微分方程解的叠加性定理. 设1y 和2y 是二阶齐次线性微分方程（）的两个解，则2211y c y c y +=也是微分方程（）的解，其中21,c c 为任意常数.证： 将2211y c y c y +=代入方程（）的左端，可得))(()')((')'(221122112211y c y c x q y c y c x p y c y c +++++))(()'')(()''''(221122112211y c y c x q y c y c x p y c y c +++++==+++))(')(''(1111y x q y x p y c ))(')(''(2222y x q y x p y c ++=0，所以，2211y c y c y +=也是微分方程（）的解.□定理表明，二阶齐次线性微分方程的解可叠加. 如果我们已知二阶齐次线性微分方程的两个解1y 和2y ，很容易得到含有任意常数21,c c 的解，2211y c y c y +=. 如果解1y 和2y 有一定关系，那么，解2211y c y c y +=中的任意常数21,c c 可以合并成一个任意常数. 因此，依据本章第一节的论述，它并不是二阶齐次线性微分方程的通解. 那么，二阶齐次线性微分方程的两个解1y 和2y 要满足哪些条件才能使解2211y c y c y +=成为二阶齐次线性微分方程的通解呢？为此，引入线性相关和线性无关的概念.定义 设函数1y 和2y 是定义在某个区间I 上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数21,c c ，使02211=+y c y c在区间I 上恒成立，则称函数1y 和2y 在区间I 上是线性相关的，否则是线性无关的.确定两个函数1y 和2y 在区间I 上是否线性相关的简易方法为：看这两个函数之比12y y 是否为常数. 如果12y y 等于常数，则1y 与2y 线性相关；如果12y y 等于函数，则1y 与2y 线性无关. 例如, 123,y y =则1y 与2y 线性相关. 12y x y =,则1y 与2y 线性无关. 定理 二阶齐次线性微分方程的通解结构定理. 如果1y 和2y 是二阶齐次线性微分方程（）的两个线性无关的特解，则2211y c y c y +=是微分方程（）的通解，其中21,c c 为任意常数.例如, 1x y e =,22x y e =,3x y e -=42x y e -=都是二阶齐次线性微分方程10y ''-=的解, 21,c c 是任意常数,则下列哪些选项表示微分方程10y ''-=的通解:A. 1122c y c y +B. 1124c y c y +C. 112c y c +D. 1324c y c y +E. 113c y y +F. 114y c y +G. 112234()()c y y c y y +++由二阶齐次线性微分方程的通解结构定理,可知:选项B,G 为该方程的通解.本定理可推广到更高阶齐次线性微分方程.定理 非齐次线性微分方程的通解结构定理. 如果*y 是二阶非齐次线性微分方程（）的一个特解，Y 是该方程对应的二阶齐次线性微分方程（）的通解，即余函数，则*y Y y +=是二阶非齐次线性微分方程（）的通解.证： 将*y Y y +=代入方程（）的左端，可得*))((*)')(('*)'(y Y x q y Y x p y Y +++++*))(()*'')(()'*'''(y Y x q y Y x p y Y +++++==+++))(')(''(Y x q Y x p Y *))(*')('*'(y x q y x p y ++=)(x f ，所以，*y Y y +=是微分方程（）的解，又Y 是二阶齐次线性微分方程（）的通解，它含有两个任意常数，即解中*y Y y +=含有两个任意常数，因此*y Y y +=是二阶非齐次线性微分方程（）的通解.□上述定理和定义是求非齐次线性微分方程通解的理论基础.根据上述定理和定义，求二阶非齐次线性微分方程通解的步骤为：（1） 求对应的二阶齐次线性微分方程（）的两个线性无关的特解1y 和2y ，构成对应的二阶齐次线性微分方程的余函数2211y c y c Y +=；（2） 求二阶非齐次线性微分方程（）的一个特解*y ；则，二阶非齐次线性微分方程（）的通解为*y Y y +=.上述步骤也适用于求更高阶非齐次线性微分方程的通解.二、 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为.0'''=++qy py y （）其中p ，q 为常数. 根据定理，要求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解，只要求出该方程的任意的两个线性无关的特解1y 和2y 即可. 注意到方程（）的系数是常数，可以设想如果能找到一个函数y ，其导数''y ，'y 和y 之间只相差一个常数，该函数就可能是方程（）的特解. 而基本初等函数中的指数函数x e y λ=恰好具有这个性质. 因此，设方程（）的解为x e y λ=，其中λ为待定常数，将xe y λ=、x e y λλ='和x e y λλ2"=代入微分方程（），则有0)(2=++x e q p λλλ，即02=++q p λλ （）我们称方程（）为二阶常系数齐次线性微分方程（）的特征方程，而称q p F ++=λλλ2)(为二阶常系数齐次线性微分方程（）的特征多项式，特征方程的根2422,1q p p -±-=λ 称为二阶常系数齐次线性微分方程（）的特征根.因为微分方程（）的特征方程（）为二次代数方程，其特征根有三种可能的情况，下面分别讨论并给出微分方程（）的通解.（1） 当042>-q p 时，特征方程有两个相异的实根1λ和2λ，因此，微分方程有两个特解x x e y e y 2121,λλ==由于x e y y )(2121λλ-=，所以21,y y 线性无关.故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为x x e c e c y 2121λλ+= （21,c c 为任意常数） （）（2） 当042=-q p 时，特征方程有重根21λλλ==，因此，微分方程只有一个特解x e y λ=1.设x e x h y x h y λ)()(12==是微分方程（）另一个特解，求导得:x x e x h e x h y λλλ)()(''2+=， x x x e x h e x h e x h y λλλλλ)()('2)(""22++=. 将222",',y y y 代入微分方程（），注意到方程02=++q p λλ和2p -=λ，化简后得：0)("=x h .满足这个条件的函数无穷多, 取最简单的一个x x h =)(，则微分方程（）另一个特解为xxe y λ=2，且21,y y 线性无关.故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为 x e x c c y λ)(21+= （21,c c 为任意常数） （）（3） 当042<-q p 时，特征方程有一对共轭复根βαλi +=1，βαλi -=2 其中2p -=α，242p q -=β. 因此，微分方程有两个特解x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==.因为x i e y y β221=，所以21,y y 线性无关. 为了便于在实数范围内讨论问题，我们用欧拉公式找两个线性无关的实数解.由欧拉公式x i x e ixsin cos +=可得 ),sin (cos 1x i x e y x ββα+=),sin (cos 2x i x e y x ββα-=根据齐次线性微分方程的解的叠加性定理,有,cos )(2121x e y y x βα=+.sin )(2121x e y y ix βα=-x e x βαcos 和x e xβαsin 均为微分方程（）的解. 而x x e x e x x βββααcot sin cos =. 故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为x e x c x c y αββ)sin cos (21+= （21,c c 为任意常数） . （）综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解，只须先求出其特征方程（）的根，再根据特征根的不同情况，分别选用公式（）、（）或（），即可写出其通解.上述求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解的方法称为特征根法，其步骤为：（1） 写出的特征方程；（2） 求出特征根；（3） 根据特征根的三种不同情况，分别用公式（）、（）或（）写出微分方程（）的通解. 特征根法亦适用于求更高阶常系数齐次线性微分方程的通解.例1 求方程04'3"=--y y y 的通解.解： 特征方程为,0432=--λλ特征根41=λ，,12-=λ所求通解为x x e c e c y -+=241 （21,c c 为任意常数）.例2 求方程0'2"=++y y y 的通解.解： 特征方程为,0122=++λλ特征根,121-==λλ 所求通解为x e x c c y -+=)(21 （21,c c 为任意常数）.例3 求方程0'"=++y y y 的通解.解： 特征方程为,012=++λλ 特征根,23212,1i ±-=λ 所求通解为 ,)23sin 23cos (2121x e x c x c y -+= （21,c c 为任意常数）. 例4 求方程04'4"=+-y y y 的满足定解条件1)0(=y ，4)0('=y 的特解.解： 特征方程为,0442=+-λλ特征根,221==λλ 所求通解为x e x c c y 221)(+=对上式求导，得,)(2'22122x x e x c c e c y ++=由定解条件1)0(=y ，4)0('=y 代入：11=c ，,22=c因此，所求特解为x e x y 2)21(+=.三、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为).('''x f qy py y =++ （p ，q 为常数） （）由定理可知，如果*y 是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，则二阶非齐次线性微分方程的通解为*y Y y += 其中Y 为余函数，即该方程对应的二阶齐次线性微分方程的通解，可用二中的方法求得.当)(x f 为某些特殊类型函数时，可用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解*y ，代入公式（）即可得到二阶非齐次线性微分方程的通解. 现就)(x f 为某些特殊类型函数时，讨论用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解*y 的方法.1、 当()()x m f x x e μϕ=，其中μ为常数，()m x ϕ为m 次多项式：1011()m m m m m x b x b x b x b ϕ--=++⋅⋅⋅++，0≥m .因为多项式与指数函数的积的导数的形式不变，因此设微分方程（）的一个特解为x e x z y μ)(*=，)()(x x x z m k ψ=其中)(x m ψ为m 次待定多项式.例如, 0()3,x ϕ=则设00()x B ψ=;1(),x x ϕ=101()x B x B ψ=+;22()1,x x ϕ=+则设22012().x B x B x B ψ=++以2*"["()2'()()]x y z x z x z x e μμμ=++，代入微分方程（），整理后可得待定系数平衡公式2()()(2)'()''()()m p q z x p z x z x x μμμϕ+++++=或()()'()'()''()()m F z x F z x z x x μμϕ++=. （）由此，通过比较两端x 的同次幂的系数确定待定多项式()()k m z x x x ψ=中的待定系数. 因为特征方程的根不同，)(x z 的次数也不同，分别讨论之.（1） 当0)(2≠++=q p F μμμ，即μ不是特征方程的根时，要使平衡公式（）的两端恒等，)(x z 与()m x ϕ应为同次多项式，即 m m m m m B x B x B x B x x x z ++⋅⋅⋅++==--11100)()(ψ代入平衡公式（），比较等式两端x 的同次幂的系数，可得含有待定系数m B B B ,,,10⋅⋅⋅的1+m 个联立方程：,)(002b B q p =++μμ,)(2)(1012b mB p B q p =++++μμμ……确定),,2,1,0(m i B i ⋅⋅⋅=，就可以确定待定多项式)(x z ，得到微分方程（）的一个特解x e x z y μ)(*=.(2) 当0)(2=++=q p F μμμ，即μ是特征方程的单根时，0)('≠μF . 要使平衡公式（）的两端恒等， )('x z 与()m x ϕ为同次多项式，设 )()()(1110m m m m m B x B x B x B x x x x z ++⋅⋅⋅++==--ψ.用与（1）同样的方法，就可以确定)(x z ，得到微分方程（）的一个特解x ex z y μ)(*=. (3) 当0)(2=++=q p F μμμ，02)('=+=p F μμ，即μ是特征方程的重根时，要使平衡公式（）的两端恒等，)(''x z 与()m x ϕ为同次多项式，设)()()(111022m m m m m B x B x B x B x x x x z ++⋅⋅⋅++==--ψ.用与（1）同样的方法，就可以确定)(x z ，得到微分方程（）的一个特解x e x z y μ)(*=.上述讨论可归纳如下：当()()x m f x x e μϕ=，其中常数μ，m 次多项式)(x m ϕ已知，微分方程的特解形式为x m k x e x x e x z y μμψ)()(*==，即()()k m z x x x ψ=，其中：)(x m ψ与()m x ϕ为同次多项式；2,1,0=k ，分别根据μ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根而确定.2、 当)sin cos ()(x b x a e x f xββα+=，其中βα,,,b a 为常数时，可得复数βαi ±.设微分方程的特解形式为 x k e x A x A x y αββ)sin cos (*21+=，其中：21,A A 为待定常数；1,0=k ，分别根据βαi ±不是特征方程的根或是特征方程的一对共轭复根而确定.以*",*'*,y y y 代入原方程，比较同类项的系数，解得21,A A . 例5 求方程2"'(72)xy y y x e ++=-的通解.分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为*y Y y += 其中Y 为余函数，2,μ=，1()72x x ϕ=-可用待定系数平衡公式确定.解：特征方程为 ,012=++λλ 其特征根为2312,1i ±-=λ，余函数为 x e x c x c Y 2121)23sin 23cos (-+= 21,c c 为任意常数. 特征多项式为1)(2++=λλλF ，且()21F λλ'=+,2=μ不是特征方程的根.设201*(),().x y z x e z x B x B ==+根据待定系数平衡公式,010001(2)()(2)()()7()57(57)7 2.F z x F z x z x B x B B B x B B x ''''++=++=++=-比较系数, 077,B = 01572B B +=-, 得2011,1,(1).x B B y x e *==-=-即所求通解为1221233(cos sin )+1)22x x y c x c x e x e -=+-（ （21,c c 为任意常数）. 例6 求方程2'2"x y y y =+-的通解.分析: 220x x x e ⋅=.解：特征方程为,0122=+-λλ其特征根为12,1=λ，余函数为x e x c c Y )(21+= 21,c c 为任意常数.特征多项式为12)(2+-=λλλF ，且)1(2)('-=λλF0=μ不是特征方程的根，22()x x ϕ=为二次多项式，故设2012*()y z x B x B x B ==++，根据待定系数平衡公式得)22()4(2)2)(0('))(0(21010202102120B B B x B B x B B B x B F B x B x B F +-++-+=+++++,2x =比较等式两端x 同次幂的系数，可得 ,10=B ,0410=+-B B ,022210=+-B B B解得,6,4,0210===B B B 即2*4 6.y x x =++所求通解为 64)(221++++=x x e x c c y x （21,c c 为任意常数）.例7 求方程"2'316xy y y xe +-=通解.解：特征方程为 ,0322=-+λλ其特征根为2,121-==λλ，余函数为x x e c e c Y 221-+= 21,c c 为任意常数.特征多项式为32)(2-+=λλλF ，且)1(2)('+=λλF1=μ是特征方程的单根，1()16x x ϕ=为一次多项式，故设01*()x y x B x B e =+，即 01()()z x x B x B =+，根据待定系数平衡公式得010001(1)()(1)()()4(2)28(24)16,F z x F z x z x B x B B B x B B x ''''++=++=++=比较系数, 001816,240B B B =+=,得012,1,(21).x B B y x x e *==-=-所求通解为312(21)x x x y c e c e x x e -=++-, (21,c c 为任意常数).例8 求方程x ey y y 24'4"-=++的通解.解：特征方程为 ,0442=++λλ其特征根为221-==λλ，余函数为x e x c c Y 221)(-+= 21,c c 为任意常数.特征多项式为44)(2++=λλλF ，且42)('+=λλF2-=μ是特征方程的重根，0()1x ϕ=为零次多项式，故设x e x B y 220*-=，即20)(x B x z =.根据待定系数平衡公式得001(2)()(2)()()21,,2F z x F z x z x B B ''''-+-+=== x e x y 2221*-=. 所求通解为22121()2x y c c x x e -=++ (21,c c 为任意常数). 例9 求方程x y y 2cos 24"=+的通解.分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为*y Y y += 其中Y 为余函数，可用节二中的方法求得：*y 为一个特解，可用待定系数法确定.解：特征方程为,042=+λ其特征根为i 22,1±=λ，余函数为,2sin 2cos 21x c x c Y += 21,c c 为任意常数.因为x x f 2cos 2)(=，2,0==βα，i 2±是特征方程的一对共轭复根.设微分方程的特解为12*(cos 2sin 2)y x A x A x =+， 12,A A 为待定常数.1221*'cos 2sin 22(cos 2sin 2)y A x A x x A x A x =++-，1212*"4sin 24cos 24(cos 2sin 2),y A x A x x A x A x =-+-+代入方程x y y 2cos 24"=+，可得214cos 24sin 22cos 2A x A x x -=，比较等式两端x x 2cos ,2sin 项的系数，得1210,2A A ==， 特解为 .2sin 21*x x y =所求通解为 x x x c x c y 2sin 212sin 2cos 21++= (21,c c 为任意常数). 例10 求方程x e y y y 22'"-=-+满足定解条件38)0(',0)0(==y y 的特解. 解：特征方程为,022=-+λλ其特征根为2,121-==λλ，余函数为x x e c e c Y 221-+= 21,c c 为任意常数.特征多项式为2)(2-+=λλλF ，且12)('+=λλF2-=μ是特征方程的单根，0()1x ϕ=为零次多项式，故设微分方程的特解为x xe B y 20*-=，即x B x z 0)(=.根据待定系数平衡公式得0(2)()(2)()()31,F z x F z x z x B ''''-+-+=-= 01,3B =- 所以，特解为x xe y 231*--=， 所求通解为x x x xe e c e c y 222131---+= (21,c c 为任意常数). x x x x xexe e c e c y 2222132312'---+--=， 由定解条件38)0(',0)0(==y y 代入可得：021=+c c ，,3221=-c c 联立求解得1,121-==c c ，所以，方程满足定解条件的特解为.3122xx x xe e e y ----=。
《高等数学》第三节 二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程
一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
一、二阶线性微分方程解的结构
形如 y'' P( x) y' Q( x) y f ( x)
(1)
的方程，称为二阶线性微分方程.当 f ( x) 0 时，
把它们分别代入所给方程左端，得 e x e x 2e x 0, 4e 2 x 2e 2 x 2e 2 x 0，
故y1 ( x) e x与y2 ( x) e 2 x 都是原方程的解.
y 2 ( x) e x 2 x e 3 x 常数， y1 ( x) e
0，
即
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)满足方程(3)，
所以它是方程(3)的解.
这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两 个解y1(x)， y2(x)的线性组合 C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) ，仍 是方程的解.那么，y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 是不是方程 (3)的通解呢？
成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，
否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关.
定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微 分方程(3)的两个线性无关的特解，则
y C1 y1 ( x) C2 y 2 ( x) (C1 , C2为任意常数)
就是方程(3)的通解.
也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C，显 然它不是所给方程的通解.
问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足什么条件时，
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) (C1，C2为任意常数)
考研数学-二阶微分方程
题型1８ 二阶线性微分方程解的性质与结构一、基础知识二、例题例1.(06-34)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解1()y x ，2()y x ，C 为任何常数，则该方程通解是 【B 】（A ）12[()()]C y x y x - （B ）112()[()()]y x C y x y x +- （C ）12[()()]C y x y x +（D ）112()[()()]y x C y x y x ++例 2.设函数1()y x ,2()y x ,3()y x 线性无关,而且都是非齐次线性微分方程)()(')(''x f y x q y x p y =++的解,1C ,2C 为任意常数,则该非齐次线性微分方程的通解是【D 】（Ａ）11223C y C y y ++. （Ｂ）1122123()C y C y C C y +-+. （Ｃ）1122123(1)C y C y C C y +---. （Ｄ）1122123(1)C y C y C C y ++--. 例 3.设函数1()y x ,2()y x 为二阶变系数齐次线性方程''()'()0y p x y q x y ++=的两个特解,则1122C y C y +(1C ,2C 为任意常数)是该方程通解的充分条件是 【B 】（Ａ）1221()'()()'()0y x y x y x y x -=. （Ｂ）1221()'()()'()0y x y x y x y x -≠. （Ｃ）1221()'()()'()0y x y x y x y x +=. （Ｄ）1221()'()()'()0y x y x y x y x +≠.题型１９ 二阶线性微分方程求解一、基础知识1．二阶常系数齐次线性微分方程及其解法二阶常系数齐次线性微分方程形为0'''=++qy py y ,其中q p ,为常数.求解步骤:a.写出特征方程02=++q pr r . b .求出特征方程的两个根21,r r .2．阶常系数齐次线性微分方程及其解法n 阶常系数齐次线性微分方程形为0)2(2)1(1)(=++++--y p y p y p y n n n n ,其中),,2,1(n i p i =为常数.求解步骤:a.写出特征方程0)2(2)1(1)(=++++--n n n n p r p r p r.b .求出特征方程的n 个根n r r r 21,. c.依据特征根的形式写出通解形式.[注] 表中的)(x R n 与)(x S n 为待定的n 次多项式. 以上方法对高阶的情形也适应. 二、例题1．二阶线性常系数微分方程求解例 1.(07-12)二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e '''-+=的通解为32122.x x x y C e C e e =+-(其中21,C C 为任意常数)例2.（06-2）函数212x x xy C e C e xe -=++满足一个微分方程是 【D 】（A ）23.xy y y xe '''--= （B ）23.xy y y e '''--=（C ）23.xy y y xe '''+-=（D ）23.xy y y e '''+-=例3. (04-2)微分方程2''1sin y y x x +=++的特解形式可设为 【A 】(A)2()(sin cos )y x ax bx c x A x B x *=++++. (B)2()(sin cos )y x x ax bx c A x B x *=++++. (C)2()sin y x ax bx c A x *=+++. (D)2()cos y x ax bx c A x *=+++. 例4.(91-2)求微分方程''cos y y x x +=+的通解. 【答案】121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++例 5. (93-2)设二阶常系数线性微分方程'''xy y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++,试确定常数,,αβγ,并求该方程的通解.【答案】3,2,1αβγ=-==-.212x x xy C e C e xe =++例6.(00-2)具有特解123,2,3x x xy e y xe y e --===的二阶常系数齐次线性微分方程是【B 】（A ）0y y y y ''''''--+=. （B ）0y y y y ''''''-=＋－.（C ）61160y y y y ''''''-=＋－. （C ）220y y y y ''''''--+=. 练习1.(99-12)微分方程2''4xy y e -=的通解为222124xx x xy C eC e e -=++ .2. (96-2)微分方程''2'50y y y ++=的通解为12[cos 2sin 2]xy e C x C x -=+ .3.(92-2)求微分方程''3'2xy y y xe -+=的通解. 【答案】 2121(2)2xxx y C e C ex x e =+-+ 4.(95-2)微分方程''2y y x +=-的通解为12cos sin 2y C x C x x =+-. 5.(96-2)求微分方程2'''y y x +=的通解. 【答案】3212123x y x x x C C e -=-+++ 6. 求微分方程(4)0y y -=的通解.【答案】1234cos sin x xy C e C e C x C x -=+++2．二阶线性变系数微分方程例7. (05-2)利用代换cos (0)x t t π=<<化简微分方程2(1)'''0x y xy y --+=,并求其满足01,'2x x yy ====的特解.【答案】2y x =例8. (98-2)利用代换cos u y x=将方程''cos 2'sin 3cos xy x y x y x e -+=化简,并求原方程的通解.【答案】12cos 22sin cos 5cos xx e y C C x x x=++ 3．欧拉方程例9. (04-1)欧拉方程222420(0)d y dy x x y x dx dx ++=>的通解为122C C y x x=+. 练习1.求欧拉方程322'''''4'3x y x y xy x +-=的通解. 【答案】3221312C y C C x x x =++-。
二阶线性微分方程解的结构在求齐次方程通解中的应用
二阶线性微分方程解的结构在求齐次方程通解中的应用摘要：本文主要通过一些典型例题讲解了二阶线性微分方程解的结构以及在求齐次方程通解中的应用，包括：常数变易法、刘维尔公式法、观察法等。
关键词：解的结构齐次方程通解特解定义：二阶线性微分方程的一般形式为y″+p（x）y′+q（x）y= f（x），（1）其中f（x）称为自由项或非齐次项。
当f（x）≠0时，方程（1）称为非齐次的，当f（x）≡0时，方程（1）成为y″+p（x）y′+q（x）y=0，（2）称为齐次的。
p（x），q（x）为常数时，称为二阶常系数线性微分方程。
下面笔者就对二阶线性微分方程解的结构在求齐次方程通解中的应用作一探讨。
1 二阶线性微分方程解的结构定理（二阶齐次线性微分方程的通解结构）：如果y1（x），y2（x）是方程（2）的两个线性无关的解，则Y=c1y1+c2y2(c1，c2为任意常数)也是方程的解。
例1:验证y1=c1cosx+c2sinx （c1，c2为任意常数）是方程y″+y=0的通解。
证：将y1=cosx，y2=sinx分别代入原方程，容易验证它们都是方程y″+y=0的解。
因为■=■=tanx不是常数，即y″+y=0的两个解。
y1=cosx，y2=sinx是线性无关的。
因此，由定理知: y=c1cosx+c2sinx是方程y″+y=0的通解。
例2:验证y1=x2，y2=x2lnx都是线性齐次方程x2y″-3xy′+4y=0的解，并写出该方程的通解。
解：因为y1′=2x，y1″=2，则x2y1″-3xy1′+4y1=2x2-6x2+4x2=0，所以y1=x2是方程的解。
又因为y2′=2xlnx+x，y2″=2lnx+3，则x2y2″-3xy2′+4y2=x2（2lnx+3）-3x（2xlnx+x）+4x2lnx=0，所以y2=x2lnx也是方程的解。
由于■=■≠常数，故y1，y2线性无关故原方程的通解为：y=c1x2+c2x2lnx。
5二阶线性微分方程解的结构与通解性质
5二阶线性微分方程解的结构与通解性质二阶线性微分方程是指含有未知函数及其导数的二次项的方程。
一般形式可以写为：$$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$$其中，$y$是未知函数，$P(x)$和$Q(x)$是已知函数。
对于二阶线性微分方程，它的解的结构与通解性质与该微分方程的特征方程有关。
特征方程由方程中的系数$P(x)$和$Q(x)$唯一确定。
根据特征方程的根的不同情况，可以分为三种不同的情况讨论。
1.特征方程的根为实数：假设特征方程的根为$r_1$和$r_2$，则通解可表示为：$$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$$其中，$C_1$和$C_2$为任意常数。
2. 特征方程的根为复数：假设特征方程的根为$\alpha\pm\beta i$，则通解可表示为：$$y=e^{\alpha x}(C_1\cos{\beta x}+C_2\sin{\beta x})$$其中，$C_1$和$C_2$为任意常数。
3.特征方程的根为重根：假设特征方程的根为$r_1=r_2$，则通解可表示为：$$y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}$$其中，$C_1$和$C_2$为任意常数。
可以看出，二阶线性微分方程的通解可表示为特解的线性组合，其中特解是由特征方程的根唯一确定的。
特解的线性组合形式能够保证通解的线性性质。
如果$y_1(x)$和$y_2(x)$是方程的两个解，那么它们的线性组合$C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$仍然是方程的解。
这是因为微分方程中的导数是线性的，对于任意的常数$C_1$和$C_2$，有：$$\frac{d}{dx}(C_1y_1(x)+C_2y_2(x))=C_1\frac{dy_1}{dx}+C_2\f rac{dy_2}{dx}$$$$=\left(C_1y_1'(x)+C_2y_2'(x)\right)$$$$=C_1\left(-P(x)y_1(x)-Q(x)y_1(x)\right)+C_2\left(-P(x)y_2(x)-Q(x)y_2(x)\right)$$$$=-P(x)\left(C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\right)-Q(x)\left(C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\right)$$$$=-P(x)\left(C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\right)-Q(x)\left(C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\right)$$$$=0$$因此，$C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$是方程的解。
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要求出非齐次方程的通解，须先构造齐次 方程的通解.
y3 y1 x e x , y3 y2 2x 4e x ,
k1( y3 y1 ) k2( y3 y2 )
k1( x e x ) k2(2x 4e x )
(k1 2k2 )x (k1 4k2 )e x 0
都是方程(2)的解，其中 C1,C2 为任意常数。 线性齐次方程的解具有可叠加性。
说明:
y C1 y1( x) C2 y2( x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
定义2 设 y1( x), y2( x), , yn( x) 为定义在区间 I 内的 n 个函数，如果存在不全为零的 常数 k1, k2 , , kn，使得对于该区间内的 一切 x，有恒等式
f ( x) 称为齐次项或自由项.
二. 二阶线性微分方程解的性质 与通解的结构
设有二阶线性齐次微分方程
d2y dx2
a(
x
)
dy dx
b(
x
)
y
0
(2)
关于(2)的解，我们有：
定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(2)的解，则它们 的任意组合
y C1 y1( x) C2 y2( x)
特别地: 若在 I 上有 y1( x) 常数， y2( x)
则函数 y1 ( x)与 y2 ( x)在 I 上线性无关.
两个函数在区间 I上线性相关与线性无关的充要条件:
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关 线性无关
y1( x) k2 y2( x) k1
( 无妨设
k1 0 )
y1( x) y2( x)
将 y y1 Y 代入非齐次方程的左端，得： ( y1 Y ) a( x)( y1 Y ) b( x)( y1 Y )
(Y a( x)Y b( x)Y ) ( y1 a( x) y1 b( x) y1) 0 f (x) f (x) 即 y y1 Y 是非齐次方程的解，又由于 Y 是对应 齐次方程的通解，含有两个独立的任意常数，所 以 y 中含有两个独立常数，故为通解。
k1 y1( x) k2 y2( x) kn yn( x) 0
成立，则称此 n 个函数在 I 内线性相关， 否则线性无关。
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
必需全为 0 ,
在任何区间 I 上都 线性无关.
一. 二阶线性微分方程的概念
定义1：微分方程
d2 dx
y
2
a(
x
)
dy dx
b(
x
)
y
f (x)
(1)
称为二阶线性微分方程，其中a( x),b( x), f ( x)
都是某区间I 上已知的连续函数。
当 f ( x) 0 时，称为二阶齐次线性 方程；
当 f ( x) 0 时，称为二阶非齐次线 性方程.
y1 a( x) y1 b( x) y1 f ( x) 及 y2 a( x) y2 b( x) y2 f ( x) 将 y1 y2 代入方程得： ( y1 y2 ) a( x)( y1 y2 ) b( x)( y1 y2 ) [ y1 a( x) y1 b( x) y1] [ y2 a( x) y2 b( x) y2 ] f (x) f (x) 0 故 y1 y2 是 y a( x) y b( x) y f ( x) 的解.
常数
(证明略)
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
定理2 若 y1( x), y2( x) 是方程(2)的两个线性无 关的解，则： y C1 y1( x) C2 y2( x)
就是方程(2)的通解，其中C1, C2 为任意常数。
对高阶线性齐次方程，有类似定理：
定理3 若 y1( x), y2( x), , yn( x) 是n阶线性齐次方程
定理4 设 y1 是非齐次方程
y a( x) y b( x) y f ( x)
的一个特解，Y 为对应的齐次方程的通解，则 y y1 Y
为非齐次方程的通解。
证明： 由假设知：Y a( x)Y b( x)Y 0 y1 a( x) y1 b( x) y1 f ( x)
k1 k10 0
x ex
C,
x, e x 线性无关.
只有零解。
故得齐次方程的两个线性无关的特解， 非齐方程的通解为：
的两个线性无关解，则 y1 y2 是对应齐次方程 的解。已知二阶线性非齐次方程的3个特解为
y1 x ( x2 1), y2 3e x ( x2 1) y3 2x e x ( x2 1)
求该方程满足初始条件 y(0) 0, y(0) 0 的特解。
证明：y1, y2 是 y a( x) y b( x) y f ( x) 的解，则
例 y y x2
已知 Y C1e x C2ex
是对应齐次方程的通解， 容易验证： y* ( x2 2) 为该方程的一个特解. 故该方程的通解为，
y y* Y C1e x C2ex ( x2 2)
例1 证明：如果 y1 和y2 是
y a( x) y b( x) y f ( x)
y(n) a1( x) y(n1) an1( x) y an( x) y 0
的n个线性无关的特解，则它的通解为：
y C1 y1( x) C2 y2( x) Cn yn( x)
其中 C1,C2 , ,Cn 为任意常数。
三. 二阶线性非齐次微分方程 解的性质与通解的结构