全国卷理科数学-第18题-概率(精选)

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如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则

M的面积的估计值为m

S

n

，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并

向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X 表示落入M中的点的数目．

（I）求X的均值EX；

（II）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)

-0.03

，内的概率．

附表：

10000

10000

()0.250.75

k

t t t t

P k C-

=

=⨯⨯

∑

k2424242525742575

()

P k0.04030.04230.95700.9590

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某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(1)求的分布列；

(2)若要求,确定的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．

附：，

1/ 4

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为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()

2,N μσ．

（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在

()3,3μσμσ-+之外的零件数，求()1P X ≥及X 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()3,3μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

经

计

算

得

16

1

19.97

16i i x x ===∑，

()1616222

11

11(16)0.2121616i i

i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸， 1,2,,16i =⋅⋅⋅．

用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ

，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除()3,ˆˆˆ3ˆμ

σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量

Z

服从正态分布

()

2

,N μσ，则

(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，160.99740.9592=， 0.0080.09≈．

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18.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

参考数据：

，

，

，≈2.646.

参考公式：相关系数

回归方程

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

3/ 4

D C

M

B