角动量算符

设m有N个值,且已知 N = 2 j + 1 → j = , 2 可见,j取零,整数和半整数.如轨道角动量j=l,电子自旋角动量j=1/2.
N 1
角动量算符的本征方程为:
J 2 j , m = j ( j + 1) 2 j , m , J z j , m = m j , m
J 2 和 J x 的本征值问题 7.1.4
A A 1 利用算符公式: e Pe = P + [ A, P] + 2 [ A, [ A, P]] + …
π
2
,则相应的
1 = Jx, 得: R J z R 2 1 2 RJ R = J ,
即
J x .R j, m = mR j, m , 2 2 J .R j, m = j ( j + 1) R j, m
2 J + J = J 2 J Z + J Z
2 J _ J + = J 2 J Z J Z
λ ≥ m 2.由前性质5,具
这样,
2 J 2 J Z = J _ J + + J Z = J + J J Z
= 1 (J + J + J _ J + ) 2
+ + = 1 (J J + J + J + ) 2
(3) (4) (5)
2 [J ± , J ] = 0
∧ [ J ± , J Z ] = J ± ;
2 J ± J = J 2 J Z ± J Z
7.1.3
J 2, JZ
的本征值
设本征方程为:
2 2 J λ , m = λ λ , m , J z λ , m = m λ , m
首先证明 J 2 的本征值不小于 J Z本征值的平方,即 体的有:
将上式两端分别乘以 λ , m 和 λ , m 所以: λ , m J 2 J 2 λ , m ≥ 0,
Z
,由于 λ , m A + A λ , m ≥ 0,
即: (λ m 2 ) 2 λ , m λ , m ≥ 0,
2 得: λ m ≥ 0 或
λ ≥ m2
上式表明m数值有一定的限制.对于给定 的 符的性质有
J 作态空间的转动变换,设变换为幺正变换,绕 y 轴旋转 i i 转动算符为:R = exp[ π y.J ] = exp[ π J y ], 2 2 这样上小节中求得的本征方程就变换为:
RJ z R 1 .R j , m = m.R j , m , RJ 2 R 1 .R j , m = j ( j + 1) 2 .R j , m
λ ,设m 的最大值为j,则利用升算
J + λ, m = j = 0
则
2 2 0 = J J + λ , j = ( J J z J z ) λ , j = ( λ j 2 j ) 2 λ , j
从而有:
λ = j + j 2 = j( j +1)
类似的设m的最小值为 j ′ ,利用降算符的 性质有 , J λ, m = j′ = 0 2 2 则 0 = J + J λ , j ′ = ( J J z + J z ) λ , j ′ = (λ j 2 + j ′) 2 λ , j ′ 从而有: λ = j ′ 2 j ′ 代入 λ = j( j +1) 解得 j ′ = j 或 j ′ = j + 1 但是 j ′ = j + 1 没有意义,所以: j ≤ m ≤ j
2 2 这样, R j , m 是 J ,J x本征值为 j ( j + 1) ,m 的本征矢.
�Hale Waihona Puke 7.1 角动量算符7.1.1定义
以一下对易关系作为角动量算符的一般定义: 2 2 2 2 J × J = iJ , J = J x + J y + J z
∧
可以证明,J
2
与
2
∧
J
的每一个分量都对易:
2 2
[J , J x ] = [J , J y ] = [J , J z ] = 0
两个算符对易时有共同点本征矢量,因此 J 与 J 的每一个分量,如 J Z , 都有共同的本征矢量,记为 j, m ,本征方程设为
2
∧
∧
J 2 j , m = j ( j + 1) 2 j , m , J z j , m = m j , m
式中j和m是待定量子数.
7.1.2 升算符和降算符
容易证明: + (1) J + = J (2) [ J + , J ] = 2J z ;
引入升降算符: ± = J x ± iJ y J