高中立体几何大题20题汇总

(2012江西省）（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与

点G，得到多面体CDEFG.

（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；

（2)求多面体CDEFG的体积。

【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EGGF又因为CF底面EGF,可得CFEG，即EG面CFG所以平面DEG⊥

平面CFG.

（2）过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积为

1112

S正方形GO5520

DECF

335

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2012，山东(19)(本小题满分12分)

如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，

CBCD,ECBD.

(Ⅰ)求证：BEDE；

(Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.

解：设BD中点为O，连接OC，OE，则由BCCD知，COBD，

又已知CEBD，所以BD平面OCE.

所以BDOE，即OE是BD的垂直平分线，

所以BEDE.

(II)取AB中点N，连接MN,DN，

∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DNAB.

由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BCAB，所以ND∥BC，

所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.

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BC2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直

底面的四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AD//BC,AD A

D FE

AB,AB2,AD2,BC4,AA2,E是DD的中点，F

11 是平面B1C1E与直线AA1的交点。A1

B1

D1

(第20题图)

C1

（Ⅰ）证明：（i）E F//A

1D1;（ii）BA1平面B1C1EF;

（Ⅱ）求B C与平面

1

B CEF所成的角的正弦值。

11

解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理认证能力。

（Ⅰ）（i）因为C1B1//A1D1,C1D1平面ADD1A1,所以C1B1//平面A1D1DA.

又因为平面B1C1EFI平面A1D1DAEF,所以C1B1//EF,

所以A1D1//EF.

（ii）因为BB1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1.

又因为B1C1B1A1,所以B1C1平面ABB1A1,所以B1C1BA1.

2 在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B,

2 即A1B1FAA1BBA1B1F.

所以BA1平面B1C1EF.

A B C

D

（Ⅱ）设BA1与B1F交点为H，连接C1H, 由（Ⅰ）知BA1平面B1C1EF. F E

H

B1

A1

D1

C1

(第20题图) Word资料

.

所以 B CH 是BC 与面BCEF 所成的角

1111

4

AABB 中,AB2,AA2,得BH.在矩形111

6

4BH30

BC25,BH,得sinBCH. BC15

在直角BHC 1中，11

6

1

所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值是 30 15

.

（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体ABCDA 'B 'C 'D'中，点M 是棱AA'的中点，点O

是对角线

BD'的中点，

（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA'与BD'的公垂线； （Ⅱ）求二面角MBC'B '的大小；

解：连接A C,取AC 中点K ，则K 为BD 中点，连接O K ，因为点M 是棱AA'的中点，点O

是BD'的中点，∴

1 AMDD'OK,AM ∥ 2

1 2

BD'∥OK,∴MOAK,MO ∥AK. 由

AA'AK,得MOAA'.

因为AKBD,AKBB',所以AK 平面BDD'B ' ∴AKBD',∴MOBD'. 又∵OM 与异面直线AA'和BD'都相交， 故OM 为异面直线AA'和BD'的公垂线。 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）

（Ⅱ）取BB'的中点N ，连接M N ，则MN ⊥ 平面BCC'B ',

过点N 作NH ⊥BC'于H ，连接M H ，则由 三垂线定理得BC'MH,从而MHN 为二面角MBC'B '的平面角。

设A B1,则

122

MN1,NHBNsin45，

224

在RtMNH中，

MN1

tanMHN22

NH2

4

.

故二面角MBC'B'的大小为arctan22。⋯⋯⋯⋯⋯（12分）Word资料

2010辽宁文（19）（本小题满分12分）

如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B

（Ⅰ）证明：平面A1B1C平面A1BC1；

（Ⅱ）设D是A C上的点，且AB1//平面B1CD，求A1D:DC1的值。

11

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