天津市七校(静海一中、杨村中学等)高一数学上学期期中试题(含解析)

天津市七校（静海一中、杨村中学等）高一数学上学期期中试题（含解析）高一数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集为*{|U n n =∈N 且9}n <，集合{}1,3,5S =，{}3,6T =，则()UA T 等于（ ）．A ．∅B ．{}2,4,7,8C ．{}1,3,5,6D ．{}2,4,6,8【答案】B【解析】分析试题：集合{}1,3,5S =，{}3,6T =， 所以{}{}{}1,3,53,61,3,5,6ST ==，又因为{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}()2,4,7,8UST =，考点：集合的运算． 故选B ．2．函数ln 62y x x =-+的零点一定位于区间（ ）．A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(5,6)【答案】B【解析】∵(2)ln220f =-<，(3)ln30f =>， ∴()ln 26f x x x =+-的存在零点0(2,3)x ∈． ∵()ln 26f x x x =+-在定义域(0,)+∞上单调递增， ∴()ln 26f x x x =+-的存在唯一的零点0(2,3)x ∈． 故选B ．3．下列函数中是偶数，且在(0,)+∞上单调递增的是（ ）．A ．y =B ．31y x =--C ．e e 2x xy --=D ．2log ||y x =【答案】D【解析】A ．yB ．31y x =--不是偶函数；C ．e e 2x xy --=不是偶函数； D ．正确．故选D ．4．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）．A ．1y x =-与yB ．y y =C ．4lg y x =与22lg y x =D ．lg 2y x =-与lg100xy = 【答案】D【解析】A ．∵1y x =-与|1|y x =-的对应法则不同；B ．y yC ．4lg y x =与22lg y x =定义域不同；D ．正确．故选D ．5．幂函数()f x 的图象过点(2,)m ，且()16f m =，则实数m 的所有可能的值为（ ）．A ．4或12B ．2±C ．4或14D ．14或2 【答案】C【解析】解：因为幂函数的解析式为()f x x α=，由图象过点(2,)m 可得2m α=， ()(2)16f m αα==，计算得出2α=±，故4m =或14． 故选C ．6．三个数 3.30.99，3log π，2log 0.8的大小关系为（ ）．A ． 3.332log π0.99log 0.8<<B ． 3.323log 0.8log π0.99<<C ． 3.323log 0.80.99log π<<D ． 3.3230.99log 0.8log π<<【答案】C【解析】∵ 3.300.991<<， 2log π1>， 2log 0.80<，∵ 3.322log 0.80.99log π<<． 故选C ．7．已知函数2()|log |f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则m ，n 的值分别为（ ）．A ．122 B ．12，4 CD ．14，4 【答案】A【解析】222log ,1()|log |log ,01x x f x x x x ⎧==⎨-<<⎩≥，则函数()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数， 又m n <且()()f m f n =，则01m <<，1n >， ∴201m m <<<， ∴2()()()f m f m f n >=，即函数()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2()f m ． 由题意知2()2f m =，即22log 2m -=， ∴12m =，由()()f m f n =得221log log 2n -=， ∴2n =． 故选A ．8．设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨⎩≥，则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是（ ）．A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[0,1]D ．[1,)+∞【答案】B【解析】试题分析：∵()(())2f a f f a =， ∴()1f a ≥， ∴211a a ⎧⎨⎩≥≥，∴1a ≥或3111a a -⎧⎨<⎩≥，∴213a <≤， 综上2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．故选B ．9．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数1,()22(1),x x A f x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若0x A ∈，且0(())f f x A ∈，则0x 的取值范围是（ ）．A ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．30,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,42⎛⎤⎥⎝⎦D ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】本题主要考查函数的定义域和值域．由010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则001()2f x x B =+∈，则由题意0001[()]21122f f x x x A ⎡⎤⎛⎫=-+=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即010122x -<≤， 解得01142x <≤， 又因为010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故01142x <<． 故选D ．10．定义在R 上的偶函数()y f x =在[0,)+∞上递减，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足14log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）．A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1(1,2)2⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．1,1(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】解：因为偶函数()y f x =在[0,)+∞上递减， 由偶函数性质可得，()y f x =在(,0)-∞上递增， 因为11022f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当14log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，141log 2x >或141log 2x <-，解得10,(2,)2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卡上） 11．若2510a b ==，则11a b+=__________． 【答案】1【解析】解：2510a b ==， ∴2lg101log 10lg2lg2a ===． 5lg101log 10lg5lg5b ===． ∴11lg2lg51a b+=+=．12．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()g x =的定义域是__________．【答案】3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】解：首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->， ∴0220431x x ⎧⎨<-<⎩≤≤，解得01314x x ⎧⎪⎨<<⎪⎩≤≤，综上3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．13．已知a ，b 为常数，若2()43f x x x =++，2()1024f ax b x x +=++，则5a b -=__________． 【答案】2【解析】解：由2()43f x x x =++，2()1024f ax b x x +=++， 22()4()31024ax b ax b x x ++++=++，即222224431024a x abx b ax b x x +++++=++，比较系数得22124104324a ab a b b ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩，求得1a =-，7b =-，或1a =，3b =， 则52a b -=． 故答案为2．14．已知函数(2),2()11,22x a x x f x x -⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩≥，满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a的取值范围为__________． 【答案】13,8a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【解析】若对任意的实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则函数()f x 在R 上为减函数， ∵函数(2),2()11,22x a x x f x x -⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩≥，故22012(2)12a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎩≤， 计算得出：13,8a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦．15．已知函数2||,()24,x x mf x x mx m x m ⎧=⎨-+>⎩≤其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是__________．【答案】(3,)+∞【解析】本题主要考查函数的概念与性质．0x ≤时，()f x 单调递减，值域为[0,)+∞； x m ≤时，()f x 单调递增，值域为(0,]m ；x m >时，()f x 单调递增，值域为2(4,)m m -+∞．要使存在b ，使()f x b =有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >． 故本题正确答案为(3,)+∞．三、解答题：（本大题共5个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分8分）计算：（11233031(π1)3864-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）7log 2log lg 25lg 47++． 【答案】（1）16． （2）112．【解析】（112(3)3327148⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭5311622=--+ 16=．（2）原式323log 3lg1002=++3222=++ 112=．17．（本小题满分12分）已知全集U =R ，集合{}|7217A x x =--≤≤，{}|132B x m x m =--≤≤． （1）当3m =时，求A B 与()U A B ． （2）若A B B =，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）()(,4](7,)U A B =-∞+∞． （2）2m ≤．【解析】{}|34A x x =-≤≤，（1）当3m =时，{}|27B x x =≤≤，或7}x >， 故[2,4]A B =．()(,4](7,)U A B =-∞+∞．（2）∵A B B =， ∴B A ⊆，当B =∅时，132m m ->-，∴12m <，当B ≠∅时，即12m ≥时，19m --≥且324m -≤，∴22m -≤≤，∴122m ≤≤． 综上所述，2m ≤．18．（本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-+． （1）求函数()f x 的解析式．（2）求关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-<的解集． 【答案】（1）(1),0()0,0(1),0x x x f x x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪-<⎩．（2）21m-<<．【解析】（1）()f x为奇函数，∴0x=时(0)0f=，设0x<，则0x->，而()()f x f x=--[(1)]x x=--(1)x x=-．∴(1),0 ()0,0(1),0x x xf x xx x x-+>⎧⎪==⎨⎪-<⎩．（2）由（1）知，()f x图象为：由图象易知()f x单调递减，∴2(1)(1)0f m f m-+-<，2(1)(1)f m f m-<-，∴211m m->-，∴220m m+-<，(1)(2)0m m-+<，∴21m-<<．19．（本小题满分14分）已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数． （1）求a ，b 的值．（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）2．（2）13k <-． 【解析】（1）∵12()2x x b f x a+-+=+是奇函数， ∴1(0)02b f a-+==+，计算得出1b =． 从而有121()2x x f x a+-+=+， 又由(1)(1)f f =--知1121241a a-+-+=-++， 计算得出2a =．（2）由（1）知12111()22221x x x f x +-+==-+++， 由上式易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，又因()f x 是奇函数，从而不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f t k -<--=-+， 因()f x 是减函数，由上式推得2222t t t k ->-+，即对一切t ∈R 有2320t t k -->，从而判别式4120k ∆=+<， 计算得出13k <-．20．（本小题满分14分）已知函数2()f x ax bx c =++，且(1)2a f =-，322a cb >>．（1）求证：0a >且334b a -<<-． （2）求证：函数()f x 在区间(0,2)内至少有一个零点． （3）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，求12||x x -的范围．【答案】（1）见解析．（2）见解析．（3）12||x x -∈⎭． 【解析】（1）∵(1)2a f abc =++=-， ∴32c a b =--， ∴3232a c a b >=--，∴3a b >-，∵22c b >，∴34a b ->；若0a >，则334b a -<<-； 若0a =，则0b >-，0b >，不成立；若0a <，则334b a-<<-，不成立． （2）(0)f c =，(2)42f a b c =++，(1)2a f =-， 2224460b ac b ab a ∆=-=++>， （1）当0c >时，(0)0f >，(1)0f <， 所以()f x 在(0,1)上至少有一个零点． （2）当0c =时，(0)0f =， (2)420f a b a =+=>，所以()f x 在(0,2)上有一个零点．（3）当0c <时，(0)0f <，(1)0f <，32b ac =--， (2)4320f a a c c a c =--+=->， 所以在(0,2)上有一个零点， 综上：所以()f x 在(0,2)上至少有一个零点．（3）32c a b =--， 222121212(||)()44x x x x x x b ac -=+-=-，2||22b a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 因为334b a -<<-， 所以21257(||)2,16x x ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，所以12||x x -∈⎭．。