化工过程系统的优化2

按(a) 的方法 求φ 在点 1500 6 对 和 二阶导数 同样可以证明赫森矩阵为正定 因而此点也为
极小点 (2) 罚函数法 利用罚函数法求解有约束最优化问题的基本思想是通过一个惩罚因子把约束条件连接到目标函数上
去 从而将有约束条件的最优化问题转化为无约束条件的问题 新的目标函数具有如下性质 当搜索到
元
将原料和蒸汽混合并送入反应器的输送费用为每年
1 PR
×
4
×109
元
其中
为操作压力
为循环
比 又设分离器将产物分离所需费用为每年 105R 元 未反应的原料进行再循环和压缩的费用每年为
1.5 ×10 5 R 元 每年的产量为 107 公斤 (a) 试求最优的操作压力 P 和循环比 R 使每年总费用为最小
M
Di =
M
i = 1,2,L, n
Hi1LL H ii
这样得到一组数值{D1, D2,L, Dn} 这称为 H 矩阵的主子式 如果所有的
则赫森矩阵 H 为正定的
Di > 0
i = 1,2,L, n
根据函数存在极小值的充分必要条件 将无约束最优化问题的求解 转化为下面一组非线性方程的
求解
其中满足
∂f ( x) ∂x1
P
+
4×109 PR
+ 2.5 ×10 5 R
+ λ(9000
−
PR)
φ 对 和 求导数 并令其为零 得
14
1000 2.5 ×
− 4×109 − λR = 0
P2R
10 5 − 4×109 − λP
P R2
=
0
PR = 9000
求解以上三个方程得到 P = 1500 , R = 6, λ = 117 .3
(3) 这种经典方法只能用于导数连续的场合 当导数不连续时不能使用 然而 导数不连续之处
可能正好是最小值或最大值所在之处
４．５．２ 有约束条件最优化问题的经典求解方法
求解有约束条件最优化问题的方法很多 这里介绍比较常用的拉格朗日乘子法和罚函数法 它们的 共同点在于都是将有约束最优化问题转变成无约束最优化问题
i = 1,2,L, n j = 1,2,L, m
以上共 n+m 个方程 可解出 x1∗, x∗2,L, x∗n 及 λ∗1 , λ∗2 ,L, λ∗m 个未知数 例 4 6 有一个烃类催化反应器 烃类进行压缩并和蒸汽先充分混合后进入反应器 反应后的产物 和未反应的原料通过蒸馏进行分离 使未反应的原料再循环使用 设原料加压所需的费用为每年 1000
（１） 拉格朗日乘子法
13
已知目标函数 f (x1, x2 ,L, xn ) 服从等式约束条件 e j (x1, x2 ,L, xn ) = 0 j =1,2,L, m
引入拉格朗日函数φ( x, λ) 可以将这个有约束的最优化问题 转化成无约束的最优化问题
(4-23)
m
φ(x, λ) = f (x) + ∑ λj e j (x)=0来自∂f ( x) ∂x2
=0
M
∂f ( x) ∂xn
=0
的点 就是方程组的解
(
∂f ∂x1
)
2
+
(
∂f ∂x2
)2
+L+
(
∂f ∂xn
)2
=
0
这种经典方法存在以下缺点
(1) 对较复杂的问题 这种非线性方程组求解是相当困难的
(2) 由于上述条件是满足极小 而不是最小 所以找到的解可能是局部极值 而不是全局最优值
其赫森矩阵为
∂2 J = 4×109 ×2 = 125000
∂R 2
R3 P
H
=
2 250
250
125000
此矩阵为正定矩阵 因此这一点就是极小点
(b) 这是一个有约束的最优化问题
约束条件
min
J
= 1000
P
+
4×109 PR
+ 2.5 × 105 R
PR = 9000
建立拉格朗日函数
φ
= 1000
４．５ 化工过程中的非线性规划问题
４．５．１ 无约束条件最优化问题的经典求解方法
对于一个函数 f (x1, x2 ,K, xn ) 极小值的必要条件为
如果其所有的一阶导数 ∂f
∂xi
∂f ∂x1
=
∂f ∂x 2
=L =
∂f ∂xn
=0
i=1 2
n 都存在 则函数 f(x)的 (4-22)
对于满足以上方程的点成为极小值的充分条件是在这个点上所有二阶偏导数 ∂ 2 f
j
x = (x1, x2 ,L,xn )
(4-24)
式中λ 称为拉格朗日乘子 根据无约束最优化问题的求解方法 只要(4-13)式中的函数 f 和约束 ej 的 一阶偏导数在所有各点均存在 则只要求解下列非线性方程组 就可得到最优解 x∗ 和λ∗
∂f
∂
xi
+
m
∑λ
j =1
∂e ∂x
j i
=0
e j ( x1, x2,L, xn ) = 0
∂xi ∂x j
2
n 均存在 而且其赫森矩阵为正定
函数 f((x)的赫森矩阵 H 定义为
i j=1
如何知道 H 是否为正定
∂2 f
∂x12
H=
∂2 f ∂xn ∂x1
∂2 f ∂x1∂x2
L
∂2 f
∂x1∂x n
M
M
∂2 f ∂xn ∂x2
L
∂
2
f
∂xn2
可定义行列式为
H11LL H1i
不可行点时 附加一个约束惩罚项 会使目标函数变得很大 而且离约束条件愈远惩罚就愈大
已知目标函数 f (x1, x2 ,L, xn ) 服从等式约束条件
g j (x1, x2 , L, xn ) = 0 j =1,2,L, m
(4-25)
引入惩罚因子 k j 将目标函数 f 转换成带罚函数的目标函数 F(x)
(b) 若要求的 P 和 R 乘积为 900MPa 试求最优的 P 和 R
解
(a) 这是一个无约束最优化问题 目标函数为
J
= 1000 P
+
4×109 PR
+10 5 R
+1.5 ×10 5 R
对 P 和 R 求导数 并令其为零 得到
∂J ∂P
=
1000
−
4×109 RP2
=
0
由此解得
∂J ∂R
=
2.5 ×
10 5
−
4×109 PR2
=0
p = 1000 , R = 4
代入目标函数 得到每年费用为 J = 3 ×10 6 元 验证此解是否是极小值 将 J 对 P 和 R 求二阶导数 在 1000 4 点为
∂2 J = 4×109 ×2 = 2
∂P 2
RP3
∂2J ∂P∂R
=
4×109 R2P2
= 250
F( x) = f (x1, x2 , L, xn ) + ∑ k j [g j ( x1 , x2 ,L, xn )]2
j =1,2,L, m
(4-26)
这样有约束的最优化问题就被转化为无约束的最优化问题 可以用上面的方法进行求解