转化与划归思想
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专题二 转化与化归思想
知识概要 解决数学问题时，常遇到一些问 题直接求解较为困难，通过观察、分 析、类比、联想等思维过程，选择运 用恰当的数学方法进行变换，将原问 题转化为一个新问题（相对来说，对 自己较熟悉的问题），通过新问题的 求解，达到解决原问题的目的，这一 思想方法我们称之为“化归与转化的 思想方法”.
答案：
22 11
小结： 小结：
我们学习了化归与转化思想，这种思想在教学中应用 非常普遍，我们在解每一道题时，实际上都在转化和化归， 将问题由难转易，由陌生的问题转为熟悉的问题，从而从 问题得到解决，希望在解决问题的时候加以应用，提高解 题能力。
f ( x) = x 2 + (a − 4) x + 4 − 2a
的值总大于0，则实数x的
答案：例4 例5
－1≤a≤1 x＜1或x＞3
数与形的转化
研究原问题中数量关系与图形关系，互相 转化简化问题。
例6. 已知OB = (2,0), OC = (2,2) , CA = ( 2cosα , 2sinα ) ( α ∈ R), 则OA与OB 夹角范围为(O为坐标原点) π A : 0, 4 5π π C: , 12 2 π 5π B: , 4 12 π 5π D: , 12 12
正与反的转化：
有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大， 我们可以从反面 反面着手去解决。如集合中补集的应用，函数 反面 与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列 组合问题。 例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他 ： 各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次 的概率为—— 答案：1-0.14=0.9999
化 归 与 转 化 应 遵 循 的 基 本 原 则
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问
题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来 解决. （2）简单化原则 简单化原则：将复杂的问题化归为简单 简单化原则 问题,通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）直观化原则 直观化原则：将比较抽象的问题转化为 直观化原则 比较直观的问题来解决.
一般与特殊的转化Байду номын сангаас
当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊 情况来解决，反之亦然，这种方法在选择，填空题中非常 适用。 例2：设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn， 若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=___________.
答案：q=-2
换元转换
通过换元把较复杂的函数、方程、不等式等问题转化 为易于解决的基本问题，尤其是复合函数的问题。 例3：已知函数f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x的最小 值为g(a). (1)求g(a)的表达式； (1) g(a) 1 (2)若g(a)= , 求实数a的值,并求此时f(x)的最大值.
答案：D
数学分支间的转化： 数学分支间的转化
数学各分支间的转化是一种重要策略，应用十分广泛，比 如用向量解立体几何，用解析几何处理平面几何、代数、三角及 立体几何中的位置问题，求角与距离转化为平面几何中求角与距 离等。 例7：四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧 面SBC ⊥底面ABCD，已知∠ABC=45 °，AB=2，BC=2 2 ， SA=SB= 3。 （1）证明：SA ⊥ BC （2）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。
2
答案：
1(a ≤ −2) 2 a g (a ) = − − 2a − 1(−2 < a < 2) . 2 1 − 4a(a ≥ 2)
a=-1 ;5
常量与变量的转化
利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变 量与主元的角色换位）常常可以简化问题。
例4： 2 − ax − 2 ≤0对于 x ∈ [−1,1] 恒成立，求实数a的取值范围. x 例5：对任何a ∈ [−1,1] 函数 取值范围是：_______
知识概要 解决数学问题时，常遇到一些问 题直接求解较为困难，通过观察、分 析、类比、联想等思维过程，选择运 用恰当的数学方法进行变换，将原问 题转化为一个新问题（相对来说，对 自己较熟悉的问题），通过新问题的 求解，达到解决原问题的目的，这一 思想方法我们称之为“化归与转化的 思想方法”.
答案：
22 11
小结： 小结：
我们学习了化归与转化思想，这种思想在教学中应用 非常普遍，我们在解每一道题时，实际上都在转化和化归， 将问题由难转易，由陌生的问题转为熟悉的问题，从而从 问题得到解决，希望在解决问题的时候加以应用，提高解 题能力。
f ( x) = x 2 + (a − 4) x + 4 − 2a
的值总大于0，则实数x的
答案：例4 例5
－1≤a≤1 x＜1或x＞3
数与形的转化
研究原问题中数量关系与图形关系，互相 转化简化问题。
例6. 已知OB = (2,0), OC = (2,2) , CA = ( 2cosα , 2sinα ) ( α ∈ R), 则OA与OB 夹角范围为(O为坐标原点) π A : 0, 4 5π π C: , 12 2 π 5π B: , 4 12 π 5π D: , 12 12
正与反的转化：
有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大， 我们可以从反面 反面着手去解决。如集合中补集的应用，函数 反面 与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列 组合问题。 例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他 ： 各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次 的概率为—— 答案：1-0.14=0.9999
化 归 与 转 化 应 遵 循 的 基 本 原 则
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问
题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来 解决. （2）简单化原则 简单化原则：将复杂的问题化归为简单 简单化原则 问题,通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）直观化原则 直观化原则：将比较抽象的问题转化为 直观化原则 比较直观的问题来解决.
一般与特殊的转化Байду номын сангаас
当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊 情况来解决，反之亦然，这种方法在选择，填空题中非常 适用。 例2：设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn， 若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=___________.
答案：q=-2
换元转换
通过换元把较复杂的函数、方程、不等式等问题转化 为易于解决的基本问题，尤其是复合函数的问题。 例3：已知函数f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x的最小 值为g(a). (1)求g(a)的表达式； (1) g(a) 1 (2)若g(a)= , 求实数a的值,并求此时f(x)的最大值.
答案：D
数学分支间的转化： 数学分支间的转化
数学各分支间的转化是一种重要策略，应用十分广泛，比 如用向量解立体几何，用解析几何处理平面几何、代数、三角及 立体几何中的位置问题，求角与距离转化为平面几何中求角与距 离等。 例7：四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧 面SBC ⊥底面ABCD，已知∠ABC=45 °，AB=2，BC=2 2 ， SA=SB= 3。 （1）证明：SA ⊥ BC （2）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。
2
答案：
1(a ≤ −2) 2 a g (a ) = − − 2a − 1(−2 < a < 2) . 2 1 − 4a(a ≥ 2)
a=-1 ;5
常量与变量的转化
利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变 量与主元的角色换位）常常可以简化问题。
例4： 2 − ax − 2 ≤0对于 x ∈ [−1,1] 恒成立，求实数a的取值范围. x 例5：对任何a ∈ [−1,1] 函数 取值范围是：_______