转化与划归思想
高中数学 转化与化归思想
第四讲转化与化归思想知识整合一、转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．二、转化与化归的常见方法1．直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．2．换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．3．数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．4．等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的．5．特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题．6．构造法：构造一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．7．坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．8．类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求．9．参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决．10．补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁U A使原问题获得解决，体现了正难则反的原则．1.特殊与一般的转化典题例析例1(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则cos A＋cos C1＋cos A cos C＝45.[思路探究]看到a，b，c成等差数列，可联想到等边三角形举特例求解．[解析]显然△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以cos A＋cos C1＋cos A cos C＝cos60°＋cos60°1＋cos60°cos60°＝11＋14＝45.(2)已知f (x )＝33x ＋3，则f (－2 019)＋f (－2 018)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)＝__2_020__.[思路探究] 看到求f (－2 019)＋f (－2 018)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)的值，想到求f (x )＋f (1－x )的值．[解析] f (x )＋f (1－x )＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x3＋3x ＝3x ＋33x ＋3＝1，所以f (0)＋f (1)＝1，f (－2 019)＋f (2 020)＝1，所以f (－2 019)＋f (－2 018)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)＝2 020. 规律总结化一般为特殊的应用(1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等． (2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案．(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．1．AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于A ，B 的切线，则l 1，l 2的交点的坐标为__(0，－1)__．[解析] 找特殊情况，当AB ⊥y 轴时，AB 的方程为y ＝1，则A (－2,1)，B (2,1)，过点A 的切线方程为y －1＝－(x ＋2)，即x ＋y ＋1＝0.同理，过点B 的切线方程为x －y －1＝0，则l 1，l 2的交点为(0，－1)．2．在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( C )A ．20B ．15C ．36D ．6[解析] 方法一：由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM →＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD→＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－(AD →＋23AB →)＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM →＝(AB →＋34AD →)·(13AB →－14AD →)＝13(AB →＋34AD →)·(AB →－34AD →)＝13(AB →2－916AD →2)＝13(144－916×64)＝36，故选C.方法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM →＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.2.函数、方程、不等式之间的转化 典题例析例2 (1)已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈[1e ，1]，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是( B )A ．[1e ，e]B ．(2e ，e]C ．(2e，＋∞)D ．(2e ，e ＋1e)[解析] 设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，当x ∈[1e ，1]时，f ′(x )＝1－x x ≥0，f (x )是增函数，所以x ∈[1e ，1]时，f (x )∈[a －1e ，a ]．设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e y y (y ＋2)，则g (y )在[－1，0)单调递减，在[0,1]单调递增，且g (－1)＝1e <g (1)＝e.因为对任意的x ∈[1e ，1]，存在唯一的y ∈[－1,1]，使得f (x )＝g (y )成立，所以[a －1e ，a ]⊆[1e ，e]，∴2e<a ≤e ，故选B.(2)(文)(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若对∀x 1∈[12，3]，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)[解析] 当x ∈[12，3]时，f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝4.当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a .依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.选C.(理)(2019·济南调研)已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn ，则( A )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定[解析] 由不等式可得1n 2－1m 2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m 2＋ln m .设f (x )＝1x 2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增．因为f (n )<f (m )，所以n <m .故选A ． 规律总结函数、方程与不等式相互转化的应用1．函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助． 2．解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．1．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈[12，2]，f (x )>0都成立，则实数a 的取值范围为( B )A ．[12，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)[解析] 由题意得，对一切x ∈[12，2]，f (x )>0都成立，即a >2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2(1x －12)2＋12在x ∈[12，2]上恒成立，而－2(1x －12)2＋12≤12，则实数a 的取值范围为(12，＋∞)． 2．已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln4，则( B )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．b <c <a[解析] a ＝13ln 94＝13ln(32)2＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln4＝14×2ln2＝ln22.故构造函数f (x )＝ln x x ，则a ＝f (32)，b ＝f (54)，c ＝f (2)．因为f ′(x )＝1－1·ln x x 2＝1－ln xx2，由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，e]上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0， 函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递减．因为54<32<2<e ，所以f (54)<f (32)<f (2)，即b <a <c ，故选B.3.正难则反的转化 典题例析例3 (1)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋(m2＋2)x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是( B )A ．(－5，－103)B ．(－373，－5)C ．(－5，－2)D ．(－5，＋∞)[解析] g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2， 若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t －3t 恒成立，又t ∈[1,2]，则m ＋4≥21－3×1＝－1，即m ≥－5；②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为 (0，18) .[解析] f ′(x )＝2ax －1＋1x.(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≥0，得a ≥12(1x －1x2)．①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈(12，1)．设h (t )＝12(t －t 2)＝－12(t －12)2＋18，t ∈(12，1)，显然函数y ＝h (t )在区间(12，1)上单调递减，所以h (1)<h (t )<h (12)，即0<h (t )<18.由①可知，a ≥18.(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≤0，得a ≤12(1x －1x2)．②结合(ⅰ)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[18，＋∞)．所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为(0，18)．规律总结转化化归思想遵循的原则1．熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题． 2．简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．3．直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何向平面几何问题转化)．4．正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．1．若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( D )A ．(－∞，12]B ．(－∞，12)C ．(－12，＋∞)D ．[－12，＋∞)[解析] 设抛物线y ＝x 2上两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x －3)对称，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.由题设知x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k .又AB 的中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k (x 21＋x 222)＝k (x 1＋x 22－3)＝－6k ＋12，所以中点P (－12k ，－6k ＋12)．由于点P 在y >x 2的区域内，则－6k ＋12>(－12k )2，整理得(2k ＋1)(6k 2－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称，于是当k ≥－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x ＝3)对称．所以实数k 的取值范围是[－12，＋∞)．故选D.2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围是 (－3，32) .[解析] 若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )>0， 因为Δ＝36p 2≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0解得⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3<p <32，即满足题意的实数p 的取值范围是(－3，32)．4.形体位置关系的转化 典题例析例4 (1)如图所示，已知多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为__4__.[解析] 方法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC 和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝(12×2×1)×2＝2，V 三棱柱EBF －CHG ＝S △BEF ·DE ＝(12×2×1)×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.方法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积V 正方体ABHI －DEKG ＝23＝8， 故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEGH ＝12×8＝4.(2)如图1所示，正△ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．现将△ABC 沿CD 翻折，使翻折后平面ACD ⊥平面BCD (如图2)，求三棱锥C －DEF 的体积．[解析] 方法一：如图，取CD 的中点M ，连接EM ，则EM ∥AD ，且EM ＝12AD ＝a2，又AD ⊥平面BDC ，故EM 为三棱锥E －DFC 的高．求三棱锥C －DEF 的体积，即求三棱锥E －DFC 的体积． 由题意，知CD ⊥BD ，AD ⊥CD ，F 为BC 的中点， 所以S △CDF ＝12S △BCD ＝12×12CD ·BD ＝14(2a )2－a 2·a ＝34a 2.所以V 三棱锥E －CDF ＝13S △CDF ·EM ＝13×34a 2×12a ＝324a 3.即V 三棱锥C －DEF ＝324a 2.方法二：如图所示，知三棱锥C －DEF 与三棱锥E －DFC 的体积相等，且三棱锥E －DFC 是三棱锥A －BDC 的一部分．因为平面ACD ⊥平面BCD ，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，故三棱锥E －DFC 的底面积和高分别是三棱锥A －BDC 的底面积和高的一半．由题意，知CD ⊥BD ，AD ⊥CD ，AD ⊥BD ，AD ＝BD ＝a ，DC ＝3a ，所以S △BCD ＝12×3a ·a ＝32a 2. 故V 三棱锥A －BDC ＝13S △BCD ·AD ＝13×32a 2×a ＝36a 3，则V 三棱锥C －DEF ＝14V 三棱锥A －BCD ＝14×36a 3＝324a 3. 规律总结形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．1．(2019·吉林模拟)已知如图，四边形ABCD 和四边形BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，∠BCD ＝∠BCE ＝π2，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC ＝CD ＝CE ＝2AD ＝2BG ＝2，则五面体EGBADC的体积为 73.[解析] 如图所示，连接DG ，BD .由平面ABCD ⊥平面BCEG ， ∠BCD ＝∠BCE ＝π2，可知EC ⊥平面ABCD ， 又CE ∥GB ， 所以GB ⊥平面ABCD .又BC ＝CD ＝CE ＝2，AD ＝BG ＝1，所以V 五面体EGBADC ＝V 四棱锥D －BCEG ＋V 三棱锥G －ABD＝13S 梯形BCEG ·DC ＋13S △ABD ·BG ＝13×2＋12×2×2＋13×12×1×2×1＝73.故填73. 2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC ＝60°的菱形，M 为PC 的中点．(1)求证：PC ⊥AD ；(2)求点D 到平面P AM 的距离．[解析] (1)证明：如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，AC ，由题意可知△P AD ，△ACD 均为正三角形，所以OC ⊥AD ，OP ⊥AD .又OC ∩OP ＝O ，所以AD ⊥平面POC ， 又PC ⊂平面POC ，所以PC ⊥AD .(2)点D 到平面P AM 的距离即点D 到平面P AC 的距离，由(1)可知，PO ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P －ACD 的高．在Rt △POC 中，PO ＝OC ＝3，PC ＝6，在△P AC 中， 因为P A ＝AC ＝2，PC ＝6，所以边PC 上的高 AM ＝P A 2－PM 2＝22－(62)2＝102， 所以△P AC 的面积S △P AC ＝12PC ·AM ＝12×6×102＝152.设点D 到平面P AC 的距离为h ，由V D －P AC ＝V P －ACD ，得13S △P AC ·h ＝13S △ACD ·PO ，又S △ACD ＝12×2×3＝3，所以13×152×h ＝13×3×3，解得h ＝2155.故点D 到平面P AM 的距离为2155.。
转化与化归思想、分类讨论思想
一、转化与化归思想
[思想概述] 转化化归思想的基本内涵是：人们在解决数学问题时，常 常将待解决的数学问题A，通过某种转化手段，归结为另一 问题B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模
式的问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解．用
框图可直观地表示为：
[规律方法] (1)根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之
相关，易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思 路． (2)本题把立体几何问题转化为平面几何问题，三维降为二 维，难度降低，易于解答的数学问题分解(或分割)
成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原 问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加 一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分 解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
分类讨论的常见类型：
(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如 绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的定理、
公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如 等比数列的前n项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算和字母参数变化引起分类；如偶次方根非负， 对数的底数与真数的限制，方程(不等式)的运算与根的大小比
难以入手，因此对参数θ取特殊值，进行推理求解．
(2)当问题难以入手时，可以先对特殊情况或简单情形进行 观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元 素，然后推广到一般情形，并加以证明．
类型二
换元及常量与变量的转化
【例 2】 已知 f(x)为定义在实数集 R 上的奇函数，且 f(x)在[0，＋ π ∞)上是增函数．当 0≤θ≤2时，是否存在这样的实数 m，使 f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)＞f(0)对所有的
转化与化归思想
转化与化归思想转化与化归思想就是把那些待解决或难解决的问题，通过某种手段，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解．使用化归思想的原则是：化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知．转化与化归思想高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，它几乎可以渗透到所有的数学内容和解题过程中. 类型一 直接转化【典例1】 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．【答题模板】【解析】 ∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，∴{1a n}是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．【对点练1】 求下列函数的值域：(1)y ＝sin x ＋cos x ；(2)y ＝sin 2x －cos x ＋1； (3)y ＝cos x2cos x ＋1；(4)y ＝1＋sin x 3＋cos x.【解析】 (1)∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，∴函数的值域为[－2，2]． (2)∵y ＝sin 2x －cos x ＋1＝2－cos 2x －cos x ＝－(cos x ＋12)2＋94，∴函数的值域为[0，94]． (3)由y ＝cos x 2cos x ＋1，得cos x ＝y1－2y .∵|cos x |≤1，∴解不等式|y 1－2y |≤1，得y ≤13或y ≥1.∴函数的值域为(－∞，13]∪[1，＋∞)．(4)由y ＝1＋sin x3＋cos x ，得sin x －y cos x ＝3y －1，即1＋y 2·sin(x －φ)＝3y －1.∴sin(x －φ)＝3y －11＋y 2.∵|sin(x －φ)|≤1，∴|3y －11＋y 2|≤1.平方化简得y ·(4y －3)≤0.∴0≤y ≤34，即函数值域为[0，34]．类型二 换元法【典例2】 求函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值． 【答题模板】【解析】 y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]且sin x cos x ＝t 2－12.∴y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)． 故当t ＝43时，y min ＝72.【对点练2】 (2015·衡水调研)已知x ＋y ＝－1，且x ，y 都是负数，求xy ＋1xy 的最值． 【解析】 设x ＝－sin 2α(sin 2α≠0)，y ＝－cos 2α(cos 2α≠0)，则xy ＋1xy ＝sin 2αcos 2α＋1sin 2αcos 2α＝14sin 22α＋4sin 22α＝14(sin 22α＋16sin 22α)． ∵sin 22α＋16sin 22α在sin 22α∈(0,1]上是减函数，∴sin 22α＝1时，取得最小值，∴xy ＋1xy 的最小值为14(1＋161)＝174.【典例3】 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 【答题模板】 可采用换元法，令t ＝3x ，将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决． 【解析】 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程 t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a 得a ＋4＝－(t ＋4t )，∵t >0，∴－(t ＋4t )≤－4.∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]． 【对点练3】 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 【解析】 令2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x .则4x 2＋y 2＋xy ＝1变形为6x 2－3tx ＋t 2－1＝0. Δ＝9t 2－4·6·(t 2－1)≥0，t 2≤85.∴－2105≤t ≤2105，即2x ＋y 的最大值是2105.类型三 数形结合法【典例4】 求函数f (x )＝2－sin x2＋cos x 的值域．【解析】 函数f (x )＝2－sin x2＋cos x ，可看作点(2,2)，(－cos x ，sin x )两点连线的斜率．点(－cos x ，sin x )的轨迹为x 2＋y 2＝1.函数值域即为(2,2)与单位圆x 2＋y 2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的直线斜率存在，不妨设为k .∴切线方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0.∴满足|2－2k |1＋k 2＝1，解之得k ＝4±73.∴函数f (x )的值域为[4－73，4＋73]． 【对点练4】 设f (x )＝1＋x 2，求证：对于任意实数a ，b ，a ≠b ，都有|f (a )－f (b )|<|a －b |.【解析】 设A (x 1,1)，B (x 2,1)，则|OA |＝1＋x 21，|OB |＝1＋x 22，|AB |＝|x 1－x 2|.在△AOB 中，||OA |－|OB ||<|AB |，即有|1＋x 21－1＋x 22|<|x 1－x 2|，所以|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，即|f (a )－f (b )|<|a －b |. 类型四 构造法【典例5】 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为________．【答题模板】 用常规方法利用三棱锥的体积公式求解体积时，无法求出三棱锥的高．但若换个角度来思考，注意到三棱锥的三对棱两两相等，我们可以构造一个特定的长方体，将问题转化为长方体中的某个问题．【解析】 如图所示，把三棱锥P －ABC 补成一个长方形AEBG －FPDC ，易知三棱锥P －ABC 的各棱分别是长方体的面对角线，不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.所以V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.故所求三棱锥P －ABC 的体积为160.【对点练5】 已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．【解析】先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题．如图，满足题意的正三棱锥P －ABC 可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC 的距离等于体对角线长的16，故球心到截面ABC 的距离为16×23＝33. 类型七 参数法【典例8】 已知直线l 过点A (2,3)且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于M ，N 两点，则当|AM |·|AN |最小时，直线l 的方程为________． 【解析】 设∠AMO 为θ，则θ∈(0，π2)， ∴|AM |＝3sin θ，|AN |＝2cos θ. ∴|AM |·|AN |＝6sin θ·cos θ＝12sin2θ≥12. 当且仅当sin2θ＝1，即θ＝π4时取“＝”号．此时k l ＝－1，∴l 的方程为x ＋y －5＝0. 【对点练8】 (2015·北京东城联考)已知点P (3,4)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，A ，B 是圆C 上两个动点，且|AB |＝23，则OP →·(OA →＋OB →)(O 为坐标原点)的取值范围是( ) A ．[3,9] B ．[1,11] C ．[6,18] D ．[2,22]【解析】 设AB 的中点为D ，则OA →＋OB →＝2OD →，因为|AB |＝23，所以|CD |＝1，故点D在圆(x －2)2＋y 2＝1上，所以点D 的坐标为(2＋cos α，sin α)，故OP →·(OA →＋OB →)＝2OP →·OD →＝2(6＋3cos α＋4sin α)＝2[6＋5sin(α＋φ)]，而2≤2[6＋5sin(α＋φ)]≤22，则OP →·(OA →＋OB →)的取值范围是[2,22]．。
转换与化归思想
浅谈转换与化归思想转化思想就是数学中的一种基本却很重要的思想。
深究起来,转化两字中包含着截然不同的两种思想,即转换与化归。
这两者其实表达了不同的思想方法,可以说就是思维方式与操作方法的区别。
一、 转换思想(1)转换思想的内涵转换思想就是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化,能跳出现有领域的局限,联系相关领域,并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。
要做到这一点,对思维能力的要求相对更高,必须对各个领域分别都有透彻的了解,更必须对各领域之间的联系有较多的研究,在关键时刻才能随心所欲地运用。
(2)转换思想在同一学科中的应用转换思想可以就是在同一学科的不同知识模块之间的变换,在解决问题时改变解题方向。
象数学学科中,数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。
比如,函数、方程、不等式就是代数中的三大重要问题,而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其她模块的各类问题。
不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决,或者就是二次方程根的分布,也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。
再比如,数列问题用函数观点来解释,那更就是我们数学课堂中一再强调的问题了。
瞧这样一个问题:已知:11122=-+-a b b a ,求证:122=+b a 。
[分析] 这就是一个纯粹的代数证明问题,条件的变形就是比较艰难的,所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点令人望而生畏。
再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式,稍加联系,我们完全可以想到:21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现,它们呈现出完全类似的规律性。
[解答]由题意1≤a 、1≤b ,则可设αsin =a ,αcos =b ,πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα化简得1cos cos sin sin =+αααα所以0sin ≥=αa ,0cos ≥=αb则 1cos sin 2222=+=+ααb a[小结] 本题的解决了就是发现了不同知识模块中的类似规律,加以利用得到新的思路,本题的题设与结论中都没有出现三角函数的形式,最终却必须引进三角函数加以解决,思维已经具有跳跃性,对一般学生来说解决起来还就是比较棘手的。
专题四转化与化归思想
则a≥ x ，x∈(0， ］恒成立.
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模拟训练
【点评】 本题主要考查转化思想和分类整合思想，分类讨论实 质上也是一种转化思想. 解法1 采用的是分类讨论的方法, 将比较复杂问题通过分类转化 为一些较简单的问题进行求解, 而每一分类中又将恒成立的问题又转 化为最值问题.
1 (0，］, 变为不等式一边为参数 , 另一边为含有x的代数式，a只要大 2 1 1 于或等于y= x ，x∈(0， ］的最大值就满足上式要求. x 2
消去x2得2 x12
2 1 x1 2 6m 1 0 ， m m
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模拟训练
2 1 ∴x1∈R，∴Δ= 8 2 6m 1>0, m m 1 ∴(2m+1)(6m2-2m+1)<0，∴m< . 2 1 即当m< 时，抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称. 2
x12 满足 2 x1 x 1
2 x2 x1 x 2 m 3 , 2 2 2 x2 1 . x2 m
2 x12 x 2 m( x1 x 2 6), ∴ 1 x x . 1 2 m
行转化, 使问题逐次达到规范化、模式化，直至问题的解决.
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模拟训练
1. 函数f (x)=cos2x-2 3 sinxcosx的最小正周期是__________.
π 【解析】 ∵f(x) =cos2x-2 3 sinxcosx=cos2x- 3 sin2x=-2sin 2x ,
祝您高考成功！
作文成绩
语文作文课上, 老师布置了一篇500字的作文。
下课铃响了, 一学生发现自己只写了250字, 灵机一动,在
第二讲转化与化归思想
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问 题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂 的 函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通 过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目 的． (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问 题，结论适合原问题．
方法二：(看成不等式的解集)∵a，b为正数，
∴a＋b≥2 ab，又ab＝a＋b＋3，
∴ab≥2 ab＋3.
即( ab)2－2 ab－3≥0，
解得 ab≥3或 ab≤－1(舍去)，∴ab≥9. ∴ab的取值范围是[9，＋∞)． 方法三：若设ab＝t，则a＋b＝t－3， ∴a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．
则当且仅当gg－1＝1＝ x2＋x2－x≥x＋0，2≥0， 解之，得x≥0或x≤－1. 即实数x的取值范围是x≤－1或x≥0. 拓展提升——开阔思路 提炼方法 通过以上两种方法的比较可以看出，若按常规方法求解，问题 较麻烦；若将变量与参数变更关系，a为主元，转换思考的角度，使解 答变得容易．这种处理问题的思想即为转化与化归的思想．
转化与化归思想使用的根本目的，是为了能更加有效地解答我们所遇到 的问题．转化与化归，不是盲目地转化给出的条件，无论是哪种转化， 都是为了使问题更好地获解，以下几条原则我们在解题中常要遵循，可 对使用这一思想方法起到提示的作用． (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知 的知识、经验来解决问题．
4、转化与化归思想
4 转化与化归思想主线—基础—方法—应用—例题—注意—总结知识清单：知识1 转化与化归思想概述知识2 转化与化归的原则知识1 转化与化归思想概述所谓化归思想就是通过转化，使所要解决的问题由难变易或变为已经解决的问题，以有利于解决的一种数学思想。
化归思想常常以变换题目的结构形状、变更问题、从反面探究结论等方式出现，前面所介绍的函数思想、方程思想、数形结合、分类讨论等都是重要的化归方法。
知识2 转化与化归的原则（1）目标简化原则将复杂的问题向简单的问题转化。
（2）和谐统一性原则即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当。
（3）具体化原则即化归方向应由抽象到具体。
（4）低层次原则即将高维空间问题化归成低维空间问题。
（5）正难则反原则即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
方法清单：方法1 直接转化法方法2 换元转化法方法3 数形结合法转化方法4 构造法转化方法5 坐标法转化方法6 补集法转化方法7 空间与平面间的转化方法8 几何条件转化为向量关系的方法方法9 变更主元的转化法方法10一般式转化为标准式方法1 直接转化法把原问题转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。
例1函数y=1+a x(0<a<1)的反函数的图象大致是（）方法2 换元转化法运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。
例2 设20≤≤x ，求函数523421+⋅-=-x x y 的最大值和最小值。
方法3 数形结合法转化研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）的关系，通过互相变化获得转化途径。
例3 已知1,0,0=+≥≥b a b a ，求证225)2()2(22≥+++b a 方法4 构造法转化 “构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。
转化与化归思想
例1 已知 x + x + 1 = 0, 求 x + 2 x + 2010 的的。
2 3 2
例2 解方解 2( x − 1) − 5( x − 1) + 2 = 0.
2
1 1 4 例3 已知 x + = 2, 则 x + 4 的的为 __________ . x x
已知正方形的边长为a， 例4 已知正方形的边长为 ，以各边为直径 在正方形内画半圆，求所围成的图形（ 在正方形内画半圆，求所围成的图形（阴影 部分）的面积。 部分）的面积。
如图,在梯形 在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD, 例6 如图 在梯形 中 对角线AC,BD交于点 且AC⊥BD.已知 交于点O,且 ⊥ 对角线 交于点 已知 AD=3,BC=5,求AC的长 的长. 求 的长
如图， 分别是正三角形ABC、正 例7 如图，点E、D分别是正三角形 、 分别是正三角形 、 四边形ABCM、正五边形 中以C点为 四边形 、正五边形ABCMN中以 点为 中以 顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的 延长线交AE于点 点，且BE=CD，DB延长线交 于点 ． ， 延长线交 于点F． 1））若将条件“正三角形、正四边形、正 求图1中∠AFB度数，并证明 ， 、 中 度数， （（3）若将条件“正三角形、正四边形图3中 ）求图2中∠AFB的度数为 中 度数 并证明CD2=BD•EF 2）图 中 的度数为______， 的度数为 五边形”改为“ 边形” 其它条件不变， 度数为_______，在图 、图3中， 五边形”改为 边形 在图2、 ∠AFB度数为“正n边形”，其它条件不变， 度数为 ， 中 ；（填 可用含n的代数式 成立” 则∠AFB度数为 （1）中的等式 _______. 填“成立”或“不成 ）中的等式_____ ；（ （可用含 的代数式 度数为 表示，不必证明） 表示，不必证明） 不必证明） 立”，不必证明）
转化与化归思想
转化与化归思想转化与化归的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。
等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法。
转化与化归的基本类型：（1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原则。
（2）常量与变量的转化，即在处理多元问题时，选取其中的常量（或参数）当“主元”，其它的变量看作常量。
（3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直接的反应函数或方程中变量之间的关系。
（4）数学各分支之间的转化，如利用向量法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等。
（5）相等与不等之间的转化。
（6）实际问题与数学模型的转化。
[例1]对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）；②若x1 D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去。
现定义f（x）=（1）若输入x0= ，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；（3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn4，x3=f（x2）x1且1xn（n∈N*）综上所述，x1∈（1，2）由x1=f（x0），得x0∈（1，2）。
[例2]设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图像分别交于点M，N，则MN的最小值为（）A. （1+ln3）B. ln3C. （1-ln3）D.ln3-1解析：如图，MN=x3-lnx，令h（x）=x3-lnx，则h（x）=3x3- = ，令h（x）=0，解得x= ，當0 时，h（x）>0，h（x）单调递增；所以当x= 时，h（x）取最小值，即MN=h（x）=h 。
专题复习：转化和化归思想
直观化原则 2.(2012’安徽,10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪 念品的交换, 任意两位同学之间最多交换一次, 进
行交换的两位同学互赠一份纪念品. 已知6位同学
之间进行了13次互赠, 则收到4份纪念品的同学人 数为（D ） A.1或3 C.2或3 B.1或4 D.2或4
A B
C
F E D
3.（2012’北京,8）某棵果树前n年的总产量Sn与n之
4.(2011’福建)已知a、b为常数，且a≠0，函数 f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2，（e＝2.71828… 是自然对数的底数）. (Ⅲ)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M), 使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)
1 （x∈[ ，e]）都有公共点？若存在，求出最小的 e
实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。
方法小结:以 7.(2012’浙江,9)设a>0, b>0,( A ) A.若2a +2a=2b+3b, 则a>b
B.若2a +2a=2b+3b, 则a<b
C.若2a－2a=2b－3b, 则a>b D.若2a－2a=2b－3b, 则a<b 选项A等价于若a≤b则2a +2a≠2b+3b.
a b 2 2 , 2a 2b 3b a b a b 2 2a 2 3b 2 2a 2 3b
a b
巩固提高
1.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1] 内至少存在一个值c使得f(c)>0,求实数p的取值范围. 解:如果在区间[-1,1]内没有值c使得f(c)>0, 2 p 2 p 1 0, f ( 1) 0, 则 即 2 f (1) 0, 2 p 3 p 9 0,
转化与化归思想ppt完美课件 通用
b=（1+sin2x+cos 2x，0），
∴f（x）=a·b=(1-tan x)(1+sin 2x+cos 2x)
cosxsinx•(2cos2 x2sinxcosx) cosx
2(cos2 xsin2 x) 2cos2x.
定义域为 xx
k
2,kz.
(2)因f ( ) 2cos(2 ) 2,
8
转 化 与 化 归 思想pp t完美课 件 通 用
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故有
f f
((2)2)0,0.即2(21(1x2x)2)
2x 1 2x 1
0, 0.
解得 7 1 x 3 1.
2
2
从而实数x的取值范围是( 7 1, 3 1). 22
【例2】（2008·南通调研）已知向量a=(1-
待解决的问题A
应用 问题A的解
观察、分析 类比、联想
容易解决的问题B
还原
解决 问题B的解
其中的问题B是化归目标或化归方向，转化的手段 是化归策略. 2.化归与转化思想的核心是将生疏的问题转化为熟 知的问题，解题的过程就是一个缩小已知与求解 之间差异的过程，是未知向已知转化的过程，也 是目标向问题靠拢的过程.
tanx,1),b=(1+sin 2x+cos 2x,0),记f(x)=a·b.
（1）求f(x)的解析式并指出它的定义域；
(2 )若 f( )2 ,且 (0 ,)求 ,f( ).
85
2
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解 （1）∵a=（1-tan x，1），
《转化与化归思想》课件
配方法：将复杂式子转 化为简单式子
换元法：将复杂式子转 化为简单式子
待定系数法：通过设定未 知系数，将复杂式子转化 为简单式子
数学归纳法：通过归纳推 理，将复杂式子转化为简 单式子
反证法：通过反证法，将 复杂式子转化为简单式子
方程的转化方法
代数变形： 通过代数 运算，将 方程转化 为更简单 的形式
转化与化归思想包括化归法和转化法两种方法，化归法是将复杂问题转化 为简单问题，转化法是将未知问题转化为已知问题。
转化与化归思想在数学解题中有广泛的应用，可以帮助我们解决许多复杂 的数学问题。
转化与化归思想的核心思想是将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转 化为已知问题，从而解决问题。
转化与化归思想的重要性
几何图形的转化方法
平移：将图形沿水平或垂直方向移动
旋转：将图形绕某一点旋转一定角度
反射：将图形沿某一直线或平面进行反 射
缩放：将图形按比例放大或缩小
剪切：将图形沿某一直线或平面进行剪 切
拼接：将多个图形拼接成一个新的图形
转化与化归思想在解题 中的应用
代数题中的转化与化归
转化与化归思想：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题 代数题中的转化：将复杂代数式转化为简单代数式，将未知数转化为已知数 代数题中的化归：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题 代数题中的转化与化归的应用：解决复杂代数问题，提高解题效率
转化与化归思想 的核心内容还包 括对问题的深入 理解和分析，以 及对问题的转化 和化归方法的掌 握。
展望转化与化归思想的发展方向
应用领域：数学、物理、化学等 学科
发展趋势：更加注重理论与实践 的结合
研究热点：转化与化归思想的新 方法、新应用
转化与化归的数学思想
转化与化归的数学思想一、转化与化归思想的含义化归指的是转化与归结．简单的化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想．即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的这种解决问题的思想，称为化归思想．化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程．数学中的转化比比皆是，比如将未知向已知转化；复杂问题向简单问题转化；命题间的转化；数与形的转化；空间向平面的转化；高次向低次的转化；多元向少元的转化；无限向有限的转化等都是化归思想的体现．化归思维模式：问题→新问题→解决新问题→解决原问题.化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
二、化归思想的解题途径1、一般与特殊的转化21(0)11,2.243y ax a F P Q PF FQ p q p q A a B a C a D a =>+例 过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于、两点，若线段、的长分别为、则的值为（ ）2.具体与抽象的转化.把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径,它是对抽象问题的理解和再认识,在抽象.例2、设函数 的定义域为D ，若所有点 构成一个正方形区域，则a 的值为A ．-2B ．-4C ．-8D ．不能确定3. 正面与反面的转化在处理某一问题时，按习惯思维从正面思考比较困难，这时用逆向思维的方式从反面去考虑，往往使问题变得比较简单。
转化与化归思想
3．直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决． 4．正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面， 设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的 可能性． 总之，化归与转化是高中数学的一种重要思想方法，掌 握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素、原 则对我们学习数学是非常有帮助的．
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等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们 在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似 乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解 决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组) 来求解，则显得非常简捷有效.
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正向与逆向的转化
[例3] 某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中 目标1次的概率为 ________．
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2．转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基 本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形 式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题， 以达到化归的目的．
同一区间，故a＝1.
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“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转 化”等，应用时还应遵循以下四条原则：
1．熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识 和经验来解答问题． 2．简单化原则 将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决， 达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
第四讲 转化与化归思想
第四讲 转化与化归思想1．转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．2．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性． 3．转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的．(3)具体化原则：化归方向应由抽象到具体．(4)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决．1． (2012·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________.答案 1解析 设出等差数列的公差，列方程求解． 设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ，又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1.2． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.3． (2012·重庆)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c答案 B解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233， b ＝log 29－log 23＝log 233， ∴a ＝b .又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数，∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1，∴a ＝b >c .4． (2011·天津)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]答案 B解析 依题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2，作出其示意图如图所示．由数形结合知，实数c 需有1<c ≤2或－2<c ≤－1，故选B.5． (2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C.94D ．3答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.题型一 特殊与一般的转化例1 (1)e 416，e 525，e 636(其中e 为自然常数)的大小关系是( )A.e 416＜e 525＜e 636 B.e 636＜e 525＜e 416 C.e 525＜e 416＜e 636D.e 636＜e 416＜e 525(2)在定圆C ：x 2＋y 2＝4内过点P (－1,1)作两条互相垂直的直线与C 分别交于A ，B 和M ，N ，则|AB ||MN |＋|MN ||AB |的范围是________．审题破题 (1)观察几个数的共同特征，可以构造函数，利用函数的单调性比较数的大小；(2)由于题目条件中过点P (－1,1)可作无数对互相垂直的直线，因此可取特殊位置的两条直线来解决问题．答案 (1)A (2)⎣⎡⎦⎤2，322 解析 (1)由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e 525，f (6)＝e 636.而f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x 2′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x 2－2x )x 4，令f ′(x )＞0得x ＜0或x ＞2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)＜f (5)＜f (6)，即e 416＜e 525＜e 636.(2)设|AB ||MN |＝t ，考虑特殊情况：当AB 垂直OP 时，MN 过点O ，|AB |最小，|MN |最大，所以t 最小＝22，t 最大＝ 2.所以t ∈⎣⎡⎦⎤22，2.又因为t ＋1t ≥2 t ·1t ＝2，所以t ＋1t ∈⎣⎡⎦⎤2，322.反思归纳 当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略．数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题．变式训练1 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．答案1316解析 由题意知，只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *)，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.题型二 正难则反转化例2 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________．审题破题 函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g (x )在区间(t,3)上为单调函数．答案 －373<m <－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1， 即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.反思归纳 正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想．一般有两种情形：正面解决比较困难，正面出现多种情形，可考虑从反面解决，体现了对立统一，相互转化的思想．变式训练2 (2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________． 答案 (－4,0)解析 将问题转化为g (x )<0的解集的补集是f (x )<0的解集的子集求解． ∵g (x )＝2x －2<0，∴x <1. 又∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0， ∴[1，＋∞)是f (x )<0的解集的子集．又由f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0知m 不可能大于等于0，因此m <0. 当m <0时，f (x )<0，即(x －2m )(x ＋m ＋3)>0，若2m ＝－m －3，即m ＝－1，此时f (x )<0的解集为{x |x ≠－2}，满足题意；若2m >－m －3，即－1<m <0，此时f (x )<0的解集为{x |x >2m 或x <－m －3}，依题意2m <1，即－1<m <0；若2m <－m －3，即m <－1，此时f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，依题意－m －3<1，∴m >－4，∴－4<m <－1.综上可知，满足条件的m 的取值范围是－4<m <0. 题型三 函数、方程、不等式之间的转化例3 设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ≥0时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．审题破题 (1)求f ′(x )＝0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f (x )的单调性；(2)将f (x )>0恒成立转化为f (x )的最小值大于0. 解 (1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )． 由已知a >1，∴2a >2，∴令f ′(x )>0，解得x >2a 或x <2，∴当x ∈(－∞，2)和x ∈(2a ，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(2,2a )时，f (x )单调递减．综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a )上是减函数．(2)由(1)知，当x ≥0时，f (x )在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值．f (2a )＝13(2a )3－(1＋a )(2a )2＋4a ·2a ＋24a＝－43a 3＋4a 2＋24a ＝－43a (a －6)(a ＋3)，f (0)＝24a .由题设知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，f (2a )>0，f (0)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－43a (a ＋3)(a －6)>0，24a >0，解得1<a <6.故a 的取值范围是(1,6)．反思归纳 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．变式训练3 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x －1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1； 令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)，取t ＝1n(n ∈N *)，则1n >ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n)＝ln(n ＋1).典例 (12分)已知函数f (x )＝13x 3＋⎝⎛⎭⎫a 2－43x 2＋⎝⎛⎭⎫43－23a x (a 是小于1的正实数，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围． 规范解答解 因为f ′(x )＝x 2＋⎝⎛⎭⎫a －83x ＋⎝⎛⎭⎫43－23a ＝⎝⎛⎭⎫x －23(x ＋a －2)，所以令f ′(x )＝0，解得x 1＝23，x 2＝2－a .[2分] 由0<a <1，知1<2－a <2.[3分]所以令f ′(x )>0，得x <23，或x >2－a ；令f ′(x )<0，得23<x <2－a ，所以函数f (x )在(1,2－a )上单调递减，在(2－a,2)上单调递增． [5分]所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (2－a )＝a6(2－a )2，最大值为max{f (1)，f (2)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－a 6，23a .因为当0<a ≤25时，13－a 6≥23a ；当25<a <1时，23a >13－a 6， 由对任意x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，得2[f (x )]min >[f (x )]max (x ∈[1,2])．[7分]所以当0<a ≤25时，必有2×a 6(2－a )2>13－a 6，结合0<a ≤25可解得1－22<a ≤25；[9分]当25<a <1时，必有2×a 6(2－a )2>23a ，结合25<a <1可解得25<a <2－ 2.[11分] 综上，知所求实数a 的取值范围是1－22<a <2－ 2. [12分]评分细则 (1)求出f ′(x )给1分；(2)讨论时将a 的范围分为0<a <25和25≤a <1一样给分；讨论时a 的值有重、漏情况扣1分；(3)“综上……”结论不写扣1分．阅卷老师提醒 将已知不等式恒成立准确转化为关于函数f (x )在[1,2]上的最大值和最小值问题是解决本题的一个突破口．此外，要注意函数f (x )在[1,2]上的最大值不能直接由函数的图象得到，而必须讨论f (1)与f (2)的大小关系．1． 设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4， 则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 A解析 设P (x 0，y 0)，倾斜角为α，0≤tan α≤1，f (x )＝x 2＋2x ＋3，f ′(x )＝2x ＋2,0≤2x 0＋2≤1，－1≤x 0≤－12，故选A.2． 设a ＝22(sin 17°＋cos 17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案 A 解析 a ＝2×22sin(17°＋45°)＝sin 62°， b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 60°，∴c <a <b . 3． 方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是( )A ．－1≤k ≤54B ．－54≤k ≤0C ．0≤k ≤54D ．－54≤k ≤1答案 D解析 求k ＝－sin 2x －cos x 的值域．k ＝cos 2x －cos x －1＝(cos x －12)2－54.当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1， ∴－54≤k ≤1，故选D.4． 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________． 答案 (－13,13)解析 由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.∵d ＝|c |122＋52＝|c |13，∴0≤|c |<13，即c ∈(－13,13)．5． 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．答案 2105解析 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22＋1，∴(2x ＋y )2≤85，(2x ＋y )max ＝2105.6． 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N ＋，若数列{c n }满足c n ＝b a n ，则c 2 013＝________. 答案 36 039解析 由已知a n ＝3n ，b n ＝3n ， ∴c 2 013＝b 3×2 013＝33×2 013＝36 039.专题限时规范训练一、选择题1． 在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C2的值为( )A.15B.14C.12D.23答案 C解析 取边长a ，b ，c 分别为4,3,5的直角三角形，易求tan A 2＝12，tan C2＝1，所以tanA 2·tan C 2＝12. 2． 等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n >0的最小正整数n 为( ) A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 ∵{a n }为等差数列，S 13＝0， ∴a 1＋a 13＝2a 7＝0，又a 1＝－12<0，∴显然{a n }为递增数列．a n >0的最小正整数n 为8.3． AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于A ，B 的切线，则l 1，l 2的交点的纵坐标为( )A ．－1B ．－4C ．－14D ．－116答案 A解析 找特殊情况，当AB ⊥y 轴时，AB 的方程为y ＝1，则A (－2，1)，B (2,1)，过点A 的切线方程为y －1＝－(x ＋2)，即x ＋y ＋1＝0.同理，过点B 的切线方程为x －y －1＝0，则l 1，l 2的交点为(0，－1)．4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6 答案 C解析 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎫3xy＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×2 3x y ·12yx ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5.5． 棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A.a 33B.a 34C.a 36D.a 312答案 C解析 所得图形为一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为22a ，高为正方体边长的一半，∴V ＝2×13⎝⎛⎭⎫22a 2·a 2＝a 36.6． 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，O 为坐标原点，且|PF 1→|＝3|PF 2→|，则该双曲线的离心率为( )A.3＋1B.3＋12C.6＋ 2D.6＋22答案 A解析 如图，取F2P 的中点M ，则OP →＋OF 2→＝2OM →.又由已知得OM →·F 2P →＝0， ∴OM →⊥F 2P →.又OM 为△F 2F 1P 的中位线，∴F 1P →⊥PF 2→.在△PF 1F 2中，2a ＝|PF 1→|－|PF 2→|＝(3－1)|PF 2→|，2c ＝2|PF 2→|.∴e ＝23－1＝3＋1.7． P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 D解析 设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2， 则其分别为已知两圆的圆心， 由已知|PF 1|－|PF 2|＝2×3＝6.要使|PM |－|PN |最大，需PM ，PN 分别过F 1、F 2点即可． ∴(|PM |－|PN |)max ＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝9.8． 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0132 013，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 2 0132 013，设F (x )＝f (x ＋4)·g (x －4)，且函数F (x )的零点在区间[a －1，a ]或[b －1，b ](a <b ，a ，b ∈Z )内，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 D解析 由F (x )＝f (x ＋4)·g (x －4)可知，函数F (x )的零点即为f (x ＋4)的零点或g (x －4)的零点，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2 012. 当x ≠－1时，f ′(x )＝1＋x 2 0131＋x >0，x ＝－1时，f ′(x )＝2 013>0. ∴f (x )在R 上单调递增．又f (0)＝1，f (－1)＝(1－1)＋⎝⎛⎭⎫－12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫－12 012－12 013<0， ∴f (x )在[－1,0]内有唯一零点， 故f (x ＋4)的唯一零点在[－5，－4]内． 同理g (x －4)的唯一零点在[5,6]内， 因此，b ＝6，a ＝－4，∴a ＋b ＝2.二、填空题9． 设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为__________．答案 x ≤－1或x ≥0解析 ∵f (x )在R 上是增函数，∴由f (1－ax －x 2)≤f (2－a )可得1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．∴a (x －1)＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则当且仅当g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0，解之，得x ≥0或x ≤－1.故实数x 的取值范围为x ≤－1或x ≥0.10．在Rt △ABC 中，C ＝π2，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，r ，S 分别表示它的内切圆半径和面积，则cr S的取值范围是__________． 答案 [22－2,1)解析 由题意，得S ＝12ab ＝12c 2sin A sin B ， r ＝12(a ＋b －c )＝12c (sin A ＋sin B －1)， 从而cr S ＝sin A ＋sin B －1sin A sin B，设sin A ＋sin B ＝t ， 则sin A sin B ＝12(t 2－1)，cr S ＝2(t －1)t 2－1＝2t ＋1， 因为A ＋B ＝π2， 所以t ＝sin A ＋sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4∈(1，2]． 所以cr S的取值范围是[22－2,1)． 11． 如果函数f (x )＝x 2－ax ＋2在区间[0,1]上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是_______．答案 a ≥3解析 由题意，知关于x 的方程x 2－ax ＋2＝0在[0,1]上有实数解．又易知x ＝0不是方程x 2－ax ＋2＝0的解，所以根据0<x ≤1可将方程x 2－ax ＋2＝0变形 为a ＝x 2＋2x ＝x ＋2x .从而问题转化为求函数g (x )＝x ＋2x(0<x ≤1)的值域． 易知函数g (x )在(0,1]上单调递减．所以g (x )∈[3，＋∞)．故所求实数a 的取值范围是a ≥3.故填a ≥3.12．若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．答案 2解析 ∵关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，方程m (x －1)＝x 2－x 即x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0的两根为1,2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3m ＝1×2，解得m ＝2. 三、解答题13．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B 2cos B － sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得 [cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35， 即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35. 则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35. (2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45， 由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4， 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22. 14．(2013·江西)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. (1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0.所以S n ＝n 2＋n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．∴a n ＝2n .(2)证明 由a n ＝2n 得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2， T n ＝116⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－132＋⎝⎛⎭⎫122－142＋⎝⎛⎭⎫132－152＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝⎛⎭⎫1n 2－1(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝564.。
转化与化归思想
转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解的问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．【例】(1)(2016·洛阳模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值是( ) A.12B.22C.32D.232(2)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．转化与化归思想在解题中的应用1．在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．2．换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．3．在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．4．在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．5．在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f ′(x )构成的方程．[变式训练] (1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，则异面直线BE 与B 1D 1所成角的余弦值等于________，若正方体的边长为1，则四面体B -EB 1D 1的体积为________．(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．课后练习题组1 正与反的相互转化1．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．22．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.15B ．35 C.710 D ．9103．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围为________.4．若椭圆x 22＋y 2＝a 2(a ＞0)与连接两点A (1,2)，B (3,4)的线段没有公共点，则实数a 的取值范围为________．5．已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，当|AB |最大时，求证：A ，B 两点关于原点O 不对称.题组2 函数、方程、不等式之间的转化6．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)7．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f (x )单调递增，则不等式f (x ＋1)＞f (1－2x )的解集为________.8．(本小题满分12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1成立.题组3 主与次的相互转化9．设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为________.10．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．11．已知函数f (x )＝13x 3＋⎝⎛⎭⎫a 2－43x 2＋⎝⎛⎭⎫43－23a x (0＜a ＜1，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围.。
高中数学-化归与转化思想
一、 考点回顾化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。
转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。
化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。
转化有等价转化与不等价转化。
等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。
应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。
常见的转化有： 1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。
2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。
3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。
4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。
5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。
6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。
7、函数与方程的转化 二、经典例题剖析例1、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决；（Ⅱ）要证当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+，可转化为证1x >时2ln 2ln 10x x a x -+->，亦即转化为1x >时()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。
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的值总大于0，则实数x的
答案：例4 例5
－1≤a≤1 x＜1或x＞3
数与形的转化
研究原问题中数量关系与图形关系，互相 转化简化问题。
例6. 已知OB = (2,0), OC = (2,2) , CA = ( 2cosα , 2sinα ) ( α ∈ R), 则OA与OB 夹角范围为(O为坐标原点) π A : 0, 4 5π π C: , 12 2 π 5π B: , 4 12 π 5π D: , 12 12
2
答案：
1(a ≤ −2) 2 a g (a ) = − − 2a − 1(−2 < a < 2) . 2 1 − 4a(a ≥ 2)
a=-1 ;5
常量与变量的转化
利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变 量与主元的角色换位）常常可以简化问题。
例4： 2 − ax − 2 ≤0对于 x ∈ [−1,1] 恒成立，求实数a的取值范围. x 例5：对任何a ∈ [−1,1] 函数 取值范围是：__分支间的转化
数学各分支间的转化是一种重要策略，应用十分广泛，比 如用向量解立体几何，用解析几何处理平面几何、代数、三角及 立体几何中的位置问题，求角与距离转化为平面几何中求角与距 离等。 例7：四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧 面SBC ⊥底面ABCD，已知∠ABC=45 °，AB=2，BC=2 2 ， SA=SB= 3。 （1）证明：SA ⊥ BC （2）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。
答案：
22 11
小结： 小结：
我们学习了化归与转化思想，这种思想在教学中应用 非常普遍，我们在解每一道题时，实际上都在转化和化归， 将问题由难转易，由陌生的问题转为熟悉的问题，从而从 问题得到解决，希望在解决问题的时候加以应用，提高解 题能力。
正与反的转化：
有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大， 我们可以从反面 反面着手去解决。如集合中补集的应用，函数 反面 与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列 组合问题。 例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他 ： 各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次 的概率为—— 答案：1-0.14=0.9999
专题二 转化与化归思想
知识概要 解决数学问题时，常遇到一些问 题直接求解较为困难，通过观察、分 析、类比、联想等思维过程，选择运 用恰当的数学方法进行变换，将原问 题转化为一个新问题（相对来说，对 自己较熟悉的问题），通过新问题的 求解，达到解决原问题的目的，这一 思想方法我们称之为“化归与转化的 思想方法”.
化 归 与 转 化 应 遵 循 的 基 本 原 则
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问
题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来 解决. （2）简单化原则 简单化原则：将复杂的问题化归为简单 简单化原则 问题,通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）直观化原则 直观化原则：将比较抽象的问题转化为 直观化原则 比较直观的问题来解决.
一般与特殊的转化
当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊 情况来解决，反之亦然，这种方法在选择，填空题中非常 适用。 例2：设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn， 若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=___________.
答案：q=-2
换元转换
通过换元把较复杂的函数、方程、不等式等问题转化 为易于解决的基本问题，尤其是复合函数的问题。 例3：已知函数f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x的最小 值为g(a). (1)求g(a)的表达式； (1) g(a) 1 (2)若g(a)= , 求实数a的值,并求此时f(x)的最大值.