离散数学 数理逻辑—谓词逻辑(3)
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离散数学 谓词逻辑
离散数学谓词逻辑
哎呀呀，啥是离散数学里的谓词逻辑呀？这对我这个小学生来说，简直就像天上的星星，看着亮晶晶，却怎么也够不着！
老师在课堂上讲谓词逻辑的时候，我感觉自己就像掉进了一个大大的迷宫。
我瞪大眼睛，竖起耳朵，可还是听得云里雾里。
比如说，老师说：“谓词就像是给事物贴上的标签。
”我就在心里想，这怎么能像标签呢？标签多简单呀，一撕一贴就完事儿了。
可这谓词，怎么就这么复杂呢？
我忍不住问同桌：“你听懂了吗？”同桌皱着眉头摇摇头说：“我也迷糊着呢！”我俩你看看我，我看看你，一脸的无奈。
后来老师又举例子，说：“‘所有的学生都在努力学习’，这里面‘所有的’就是一个谓词。
”我就更懵啦，这“所有的”怎么就成谓词啦？
我举手问老师：“老师，那‘有的同学喜欢数学’，这里面‘有的’也是谓词吗？”老师笑着点点头，说：“对呀，你很会思考！”可我还是不太明白呀！
回到家，我跟爸爸妈妈说起谓词逻辑，爸爸说：“这就像搭积木，每个积木块都有它的作用和位置。
”妈妈接着说：“对呀，谓词就是那些能让你把逻辑大厦搭得更稳的关键积木。
”
可我还是觉得好难好难，这谓词逻辑到底有啥用呢？难道就是为了让我们这些小学生头疼吗？
不过，我可不会轻易放弃！我一定要把这个谓词逻辑搞明白，就像我解开一道很难很难的数学题一样！我相信，只要我努力，总有一天我能在这个迷宫里找到出口！
我觉得呀，学习就像一场冒险，虽然会遇到像谓词逻辑这样的大怪兽，但只要我们勇敢面对，总有办法打败它们！。
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
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谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
第三章 谓词逻辑与归结原理
以正向推理所得结果作为假设进 行反向推理
退出
是 还需要正向推理吗？
否
2014-4-9
18
华北电力大学
概述-推理的控制策略
搜索策略
推理时，要反复用到知识库中的规则，而知识库中 的规则又很多，这样就存在着如何在知识库中寻找 可用规则的问题 为有效控制规则的选取，可以采用各种搜索策略 常用搜索策略：
归结推理方法在人工智能推理方法中有着很重 要的历史地位，是机器定理证明的主要方法
2014-4-9
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华北电力大学
归结法的特点
归结法是一阶逻辑中，至今为止的最有效的半可 判定的算法。也是最适合计算机进行推理的逻辑 演算方法 半可判定 一阶逻辑中任意恒真公式，使用归结原理，总 可以在有限步内给以判定（证明其为永真式） 当不知道该公式是否为恒真时，使用归结原理 不能得到任何结论
(5) 上下文限制
上下文限制就是把产生式规则按它们所描述的上下文分组，在某种 上下文条件下，只能从与其相对应的那组规则中选择可应用的规则
2014-4-9
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华北电力大学
概述-推理的控制策略
推理的控制策略
3．冲突解决策略
(6) 按匹配度排序
在不精确匹配中，为了确定两个知识模式是否可以进行匹配，需要 计算这两个模式的相似程度，当其相似度达到某个预先规定的值时，就 认为它们是可匹配的。若有几条规则均可匹配成功，则可根据它们的匹 配度来决定哪一个产生式规则可优先被应用
如专家系统、智能机器人、模式识别、自然语言理解等
推理
按照某种策略从已有事实和知识推出结论的过程。 推理是由程序实现的，
称为推理机
医疗诊断专家系统
• 知识库中存储经验及医学常识 • 数据库中存放病人的症状、化验结果等初始事实 • 利用知识库中的知识及一定的控制策略，为病人诊治疾病、开出医疗处方就 是推理过程
离散数学讲义第三章谓词逻辑.ppt
题函数。 例如 H（x），L（x,y,z）均是简单命题函数。
（P(x,y)∨L(x,y,z)） P（y, x）是一复合命题函数
在命题函数中，个体变元的取值范围称为个体域。
例4 P（x,y）表示“2 x+y=1”，若x,y的个体域为正整数集，
则总是假；
若x,y的个体域为有理数集，则y=1―2x，对任意的有理数k ， 在x= k，y =1―2k时，P（ k，1―2k）为真。
6
三、量词和全总个体域
1.量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中 的各种命题。
例如：对于命题 “ 所有的正整数都是素数 ”
和 “ 有些正整数是素数 ” 仅用个体词和谓词是很难表达的。 量词 在命题里表示数量的词。
（1） 全称量词
“ x” x D（x），
7
如“所有人都是要死的。”可表示为 x的个体域为全体人的集合。
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3.4 变元的约束
例1 令 P（x, y）：“ x<y ”，Q（x）：x是有理数；F（x）：
x可以表示为分数。判断下列式子那些是命题函数，那些 是命题？ P（x, y） P（x, y）∧ Q（x） Q（x） → F（x）
x(Q( x) F ( x))
例2 令H(x)：x是人;M(y):y是药;S(x，y)：x对y过敏。判断：
3.1、 3.2 谓词的概念与表示; 命题函数和量词 3.3 ~ 3.5 谓词演算的合适公式; 变元的约束 ; 谓词公式的解释 3.6 谓词演算的永真式 3.7 谓词演算的推理理论
1
3.1、3.2 谓词、命题函数和量词 例 判断下述论断的正确性
“苏格拉底三段论” ： 凡人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 类似的例子 还有许多。 例如：
离散数学 第三-四章
n i 1
Ai
(f) A (A∪B ), B (A∪B )
集合与关系 >集合的运算
交与 并的关系 定理3-2.1 设A、B、C为三个集合,则下列分配律 成立。 a) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) b) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 定理3-2.2 设A、B为任意两个集合,则下列吸收律 成立 a) A∪(A∩B)=A b) A∩(A∪B)=A 定理3-2.3 A B 当且仅当 A∪B=B 或 A∩B=A。
集合与关系 > 集合的运算
本节重点掌握的概念: 集合, 集合相等,集合包含, 幂集。
本节重点掌握的方法: 集合的表示, 求幂集.
作业
3-1 （1）（a）,（c） ,（e）
（3） （4） （a）,（c） ,（e） (5) (6) （a）,（c） ,（e） (9)
集合与关系 >集合的概念和表示法
上节知识点: 1. 集合的概念 2. 集合的表示 3 集合之间的关系 4 空集和全集 5 幂集(power set)
A-B
E B
A
集合与关系 >集合的运算
• 绝对补 定义3-2.4 设E为全集,任一集合A关于E的补 E-A, 称为集合A的绝对补,记作~A。
即 ~ A={ x| xE ∧ xA}
集合与关系 >集合的运算
(3) 集合的补(complement) 定义3-2.3 设A、B为任意两个集合,所有属于A而 不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的 补集,或相对补,记作A-B。 即 A-B={ x| xA ∧ xB} 或 xA-B xA但 xB
例如 A={2, 5, 6} B={1, 2, 4, 7, 9} A-B={5, 6} B-A={1,4,7,9} E - A?
Ai
(f) A (A∪B ), B (A∪B )
集合与关系 >集合的运算
交与 并的关系 定理3-2.1 设A、B、C为三个集合,则下列分配律 成立。 a) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) b) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 定理3-2.2 设A、B为任意两个集合,则下列吸收律 成立 a) A∪(A∩B)=A b) A∩(A∪B)=A 定理3-2.3 A B 当且仅当 A∪B=B 或 A∩B=A。
集合与关系 > 集合的运算
本节重点掌握的概念: 集合, 集合相等,集合包含, 幂集。
本节重点掌握的方法: 集合的表示, 求幂集.
作业
3-1 （1）（a）,（c） ,（e）
（3） （4） （a）,（c） ,（e） (5) (6) （a）,（c） ,（e） (9)
集合与关系 >集合的概念和表示法
上节知识点: 1. 集合的概念 2. 集合的表示 3 集合之间的关系 4 空集和全集 5 幂集(power set)
A-B
E B
A
集合与关系 >集合的运算
• 绝对补 定义3-2.4 设E为全集,任一集合A关于E的补 E-A, 称为集合A的绝对补,记作~A。
即 ~ A={ x| xE ∧ xA}
集合与关系 >集合的运算
(3) 集合的补(complement) 定义3-2.3 设A、B为任意两个集合,所有属于A而 不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的 补集,或相对补,记作A-B。 即 A-B={ x| xA ∧ xB} 或 xA-B xA但 xB
例如 A={2, 5, 6} B={1, 2, 4, 7, 9} A-B={5, 6} B-A={1,4,7,9} E - A?
离散数学-谓词逻辑-3
2B是任意两个谓词公式，对 A、B的任何解释和赋值，若其真值相同，则称A与 B是等价的，记作A⇔B；若A→B是普遍有效的，则 称A蕴含B，记作A⇒B。 设A、B是任意两个谓词公式。当A⇔B时，则 A↔B是永真式（普遍有效的）。反之，当A↔B是 永真式时，有A⇔B。所以，也可以用A↔B是永真 式描述A⇔B。
2-7 谓词逻辑的推理理论
⑵ 全称推广规则(UG规则) A(y)⇒(∀x)A(x) 此式成立的条件是： ① y是个体域中任一个体且对y，A(y)为真。 ② x是不出现在A(y)中的个体变元。 例 个体域为实数集合R，G(x,y)表示x>y，设A(y)⇔(∃x)G(x,y)，显然 A(y)满足条件①，一定能推出: (∀z)A(z)⇔(∀z)(∃x)G(x,z)⇔(∀z)(∃x)(x>z)， 这是一个真命题。若推成 (∀x)A(x)⇔(∀x)(∃x)G(x,x)⇔(∀x)(∃x)(x>x)， 就产生了错误，因为这是一个假命题。错误的原因是违背了条件②。
2-5 谓词演算的等价式与蕴含式
7 多个量词的使用 ⑴ 约定：(∀x)(∀y)A(x,y)表示(∀x)((∀y)A(x,y)) ⑵ 一般地说，多个量词相连时，同名量词是无序的，即改变它们 的次序，命题真值不变。异名量词是有序的，即改变它们的次序，命 题真值发生变化。对后者作如下的说明： 令 A(x,y)表示x+y=10，个体域为整数集合I。 (∀x)(∃y)A(x,y)表示对任一整数x，存在整数y，使x+y=10。 这是一个真命题。 (∃y)(∀x)A(x,y)表示存在整数y，对任一整数x，有x+y=10。 这是一个假命题。
2-6 前束范式
定义2-6.1一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到 整个公式的末尾，则称为前束范式。 根据这个定义前束范式可表示成如下形式： (□v1)(□v2) …(□vn)A 其中:□是∃或∀,vi是个体变元,i=1,…,n,A是不含量词的谓词公式。 例 (∀x)(∀y)(F(x)∨G(y)→L(x,y)) (∀y)(∀x)(∃z)(¬H(x,y)∧F(x)→L(x,z)) (∀x)F(x)∨(∀y)(G(y)→L(x,y)) (∀y)(∀x)(¬H(x,y)∧F(x))→(∃z)L(x,z) 都不是前束范式。
2-7 谓词逻辑的推理理论
⑵ 全称推广规则(UG规则) A(y)⇒(∀x)A(x) 此式成立的条件是： ① y是个体域中任一个体且对y，A(y)为真。 ② x是不出现在A(y)中的个体变元。 例 个体域为实数集合R，G(x,y)表示x>y，设A(y)⇔(∃x)G(x,y)，显然 A(y)满足条件①，一定能推出: (∀z)A(z)⇔(∀z)(∃x)G(x,z)⇔(∀z)(∃x)(x>z)， 这是一个真命题。若推成 (∀x)A(x)⇔(∀x)(∃x)G(x,x)⇔(∀x)(∃x)(x>x)， 就产生了错误，因为这是一个假命题。错误的原因是违背了条件②。
2-5 谓词演算的等价式与蕴含式
7 多个量词的使用 ⑴ 约定：(∀x)(∀y)A(x,y)表示(∀x)((∀y)A(x,y)) ⑵ 一般地说，多个量词相连时，同名量词是无序的，即改变它们 的次序，命题真值不变。异名量词是有序的，即改变它们的次序，命 题真值发生变化。对后者作如下的说明： 令 A(x,y)表示x+y=10，个体域为整数集合I。 (∀x)(∃y)A(x,y)表示对任一整数x，存在整数y，使x+y=10。 这是一个真命题。 (∃y)(∀x)A(x,y)表示存在整数y，对任一整数x，有x+y=10。 这是一个假命题。
2-6 前束范式
定义2-6.1一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到 整个公式的末尾，则称为前束范式。 根据这个定义前束范式可表示成如下形式： (□v1)(□v2) …(□vn)A 其中:□是∃或∀,vi是个体变元,i=1,…,n,A是不含量词的谓词公式。 例 (∀x)(∀y)(F(x)∨G(y)→L(x,y)) (∀y)(∀x)(∃z)(¬H(x,y)∧F(x)→L(x,z)) (∀x)F(x)∨(∀y)(G(y)→L(x,y)) (∀y)(∀x)(¬H(x,y)∧F(x))→(∃z)L(x,z) 都不是前束范式。
离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
4
例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
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这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
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对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
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谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
【精品】离散数学-2-3谓词公式与翻译
命题(4)符号化形式为 ┐x(F(x)→G(x)) <4> 这个命题也为真
(4)令F(x):x是在美国留学的学生,G(x):x是亚洲人。
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三、命题翻译练习
例 将下列命题符号化:
(1) 兔子比乌龟跑得快。 (2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快。 (3) 并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。
(4) 不存在跑得同样快的两只兔子。
4
二、命题翻译
例题2 没有不犯错误的人。 解：设M(x)：x是人 F(x)：x犯错误 此命题可以理解为：存在一些人不犯错误，这 句话是不对的。此时，号化为： ¬ (x) (M(x)∧¬ F(x) ) 也可以理解为：任何人都是要犯错误的。此时， 符号化为： (x) (M(x)→F(x))
5
二、命题翻译
例题3 尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。 (P(x),M(x)) 解：x(M(x)∧P(x))∧¬ ((x)(M(x)→P(x)))
例
并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快。 解：设F(x)：x是兔子。 G(x)：x是乌龟。 H(x,y)：x比y跑得快。 该命题符号化为： ¬ (x) (y) (F(x)∧G(y)→H(x,y))
xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)) <1> x(F(x)∧ y(G(y)→H(x,y)) <2> ┐xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)) <3> ┐xy(F(x)∧F(y)∧L(x,y)) <4>
<3>还可以符号化为xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))
<4>还可以符号化为xy(F(x)∧F(y)→┐L(x,y))
(2)令G(x):x登上过月球。
(4)令F(x):x是在美国留学的学生,G(x):x是亚洲人。
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三、命题翻译练习
例 将下列命题符号化:
(1) 兔子比乌龟跑得快。 (2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快。 (3) 并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。
(4) 不存在跑得同样快的两只兔子。
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二、命题翻译
例题2 没有不犯错误的人。 解：设M(x)：x是人 F(x)：x犯错误 此命题可以理解为：存在一些人不犯错误，这 句话是不对的。此时，号化为： ¬ (x) (M(x)∧¬ F(x) ) 也可以理解为：任何人都是要犯错误的。此时， 符号化为： (x) (M(x)→F(x))
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二、命题翻译
例题3 尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。 (P(x),M(x)) 解：x(M(x)∧P(x))∧¬ ((x)(M(x)→P(x)))
例
并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快。 解：设F(x)：x是兔子。 G(x)：x是乌龟。 H(x,y)：x比y跑得快。 该命题符号化为： ¬ (x) (y) (F(x)∧G(y)→H(x,y))
xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)) <1> x(F(x)∧ y(G(y)→H(x,y)) <2> ┐xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)) <3> ┐xy(F(x)∧F(y)∧L(x,y)) <4>
<3>还可以符号化为xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))
<4>还可以符号化为xy(F(x)∧F(y)→┐L(x,y))
(2)令G(x):x登上过月球。
计算机科学与技术 离散数学 第3章 谓词逻辑
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例 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合，(b) D为全总个体域。
解：(a) (1) 设G(x): x爱美，符号化为 x G(x) (2) 设G(x): x用左手写字，符号化为 x G(x)
(b) 设F(x): x为人，G(x): 同(a)中
如 F(x,y)：x与y有关系F P(x,y,z)：xy<z；…
0元谓词：不含个体变项的谓词 如 L(a,b)，0元谓词常项都是命题
注：单独的个体或谓词不能构成命题。
5
例 ①“苏格拉底是人”
个体a“苏格拉底”，谓词F“是人” F(x)，x=a
②“北京是中国的首都”
个体a“北京”、b“中国” 谓词F“…是…的首都”
及相应的指导变项，替换成公式中没有出现过的个体 变项符号，其余部分不变，所得公式与原来的公式等值。 3.代替规则：
将公式中某个自由出现的个体变项的所有出现用 公式中未出现过的个体变项符号代替，其余部分不变， 所得公式与原来的公式等值。
18
例 将xF ( x, y, z) yG( x, y, z) 化成与之等值的公式， 使其没有既是约束出现又是自由出现的个体变项。
解：个体变项x,y,z中，x,y都是既约束出现又自由出现 的个体变项，只有z仅自由出现。 原式 tF (t, y, z) yG( x, y, z) (换名规则) tF (t, y, z) wG( x, w, z) (换名规则)
还可以如下演算，也可以达到要求。 原式 xF ( x,t, z) yG( x, y, z) (代替规则)
(3) x F(f (x,y),g(x,z)) x(x+1=2x) (真命题)
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例 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合，(b) D为全总个体域。
解：(a) (1) 设G(x): x爱美，符号化为 x G(x) (2) 设G(x): x用左手写字，符号化为 x G(x)
(b) 设F(x): x为人，G(x): 同(a)中
如 F(x,y)：x与y有关系F P(x,y,z)：xy<z；…
0元谓词：不含个体变项的谓词 如 L(a,b)，0元谓词常项都是命题
注：单独的个体或谓词不能构成命题。
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例 ①“苏格拉底是人”
个体a“苏格拉底”，谓词F“是人” F(x)，x=a
②“北京是中国的首都”
个体a“北京”、b“中国” 谓词F“…是…的首都”
及相应的指导变项，替换成公式中没有出现过的个体 变项符号，其余部分不变，所得公式与原来的公式等值。 3.代替规则：
将公式中某个自由出现的个体变项的所有出现用 公式中未出现过的个体变项符号代替，其余部分不变， 所得公式与原来的公式等值。
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例 将xF ( x, y, z) yG( x, y, z) 化成与之等值的公式， 使其没有既是约束出现又是自由出现的个体变项。
解：个体变项x,y,z中，x,y都是既约束出现又自由出现 的个体变项，只有z仅自由出现。 原式 tF (t, y, z) yG( x, y, z) (换名规则) tF (t, y, z) wG( x, w, z) (换名规则)
还可以如下演算，也可以达到要求。 原式 xF ( x,t, z) yG( x, y, z) (代替规则)
(3) x F(f (x,y),g(x,z)) x(x+1=2x) (真命题)
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离散数学第五章__谓词逻辑详述
5.2.2 约束变元与自由变元
定义2.3.1 给定一个谓词公式A，其中有一部 分公式形如(x)B(x)或(x)B(x)，则称它为A的 x约束部分，称B(x)为相应量词的作用域或辖 域。在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x 称为约束变元； B(x)中不是约束出现的其它个 体变元的出现称为自由出现，这些个体变元称 为自由变元。
5.1 个体、谓词和量词
在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈 述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和 谓语两部分组成。在谓词逻辑中，为揭示命 题内部结构及其不同命题的内部结构关系， 就按照这两部分对命题进行分析，并且把主 语称为个体或客体，把谓语称为谓词。
１.个体、谓词和命题的谓词形式
定义5.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个 体；用以描述个体的性质或个体间关系的部分， 称为谓词。
称为谓词逻辑的翻译或符号化；反之亦然。 一般说来，符号化的步骤如下： ①正确理解给定命题。必要时把命题改叙，使其
中每个原子命题、原子命题之间的关系能明显表 达出来。
②把每个原子命题分解成个体、谓词和量词； 在全总论域讨论时，要给出特性谓词。
③找出恰当量词。应注意全称量词(x)后跟条 件式，存在量词(x)后跟合取式。
对于给定的命题，当用表示其个体的小写 字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定 把小写字母写在大写字母右侧的圆括号( )内。
例如，在命题“张明是位大学生”中， “张明”是个体，“是位大学生”是谓词，它 刻划了“张明”的性质。设S：是位大学生，c： 张明，则“张明是位大学生”可表示为
S(c)，
或者写成
通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综合在一 起作为它的论域，称为n元谓词的全总论域。定义了全总 论域，为深入研究命题提供了方便。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
下面就为大家整理一下离散数学的主要知识点。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
集合的表示方法有列举法、描述法等。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所剩下的元素组成的集合；补集是在给定的全集内，某个集合的补集是由全集中不属于该集合的元素组成的集合。
集合之间的关系有包含、相等、真包含等。
包含关系是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合；相等关系是指两个集合中的元素完全相同；真包含关系是指一个集合包含另一个集合，且两个集合不相等。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
关系可以用集合的形式来表示。
关系的性质包括自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；对称性是指如果元素 a 与元素 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是指如果元素 a 与元素 b 有关系，且 b 与 a 也有关系，那么 a 等于 b；传递性是指如果元素 a 与元素 b 有关系，b 与元素 c 有关系，那么 a 与 c 也有关系。
关系的运算有合成运算、逆关系等。
合成运算可以得到新的关系，逆关系是将原关系中的元素顺序颠倒得到的关系。
三、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的性质包括单射、满射和双射。
单射是指定义域中的不同元素在值域中的对应元素也不同；满射是指值域中的每个元素都有定义域中的元素与之对应；双射是指函数既是单射又是满射。
四、图论图由顶点和边组成。
边可以是有向的或无向的。
图的类型有很多，如简单图、多重图、连通图等。
简单图是指没有自环和多重边的图；多重图允许存在自环和多重边；连通图是指图中任意两个顶点之间都存在路径。
离散数学第三章谓词逻辑习题答案
A B
A
C
习题三
14.
下面证明有效吗？ (x)[x A B] (x)[x A x B] (x)[x A x B] (x)[x A B] (x)[x A B] 答: 原证明无效. 因为(x)[x A x B] (x)[x A B]. 实际上 (x)[x A x B] (x)[~(x A x B)] (x)[x A B] (x)[x A B]
X 2 AB
等号成立的条件: A B或B A (因为若A和B没有子集关系, 必有a A– B和 b B– A， 使{a, b} 2 A B ，但{a, b} 2A B = 2 A B. 证明：X 2A 2B X 2A X 2B XAXB XAB X2A
习题三 4. 仔细区别集合中的关系符和，并 判断下列各蕴含关系的真假：
(1)Y, (2)~(5)N, (6)Y
习题三
9.证明下列各式：
(3) (A-B)-C = A –(B C) = (A –C)-B 证明: (A-B)-C = (A B) C = A B C = A –(B C) =(A C )B)= (A –C)-B (5) A (B C) = (A B ) (A C) 证明: A (B C) = A ((B-C) (C-B)) = (A B C) (A C B) = (A B C) (A B A) (A C B) (A C A) = (A B A C) (A C A B ) = (A B -A C) (A C - A B ) = (A B ) (A C)
习题三 集
16. 求A={, a, {b}}的幂
解: A={, a, {b}} 2A = {, {} , {a} , {{b}} , {,a} , {,b} , {a, {b}} , {, a, {b}}}
A
C
习题三
14.
下面证明有效吗？ (x)[x A B] (x)[x A x B] (x)[x A x B] (x)[x A B] (x)[x A B] 答: 原证明无效. 因为(x)[x A x B] (x)[x A B]. 实际上 (x)[x A x B] (x)[~(x A x B)] (x)[x A B] (x)[x A B]
X 2 AB
等号成立的条件: A B或B A (因为若A和B没有子集关系, 必有a A– B和 b B– A， 使{a, b} 2 A B ，但{a, b} 2A B = 2 A B. 证明：X 2A 2B X 2A X 2B XAXB XAB X2A
习题三 4. 仔细区别集合中的关系符和，并 判断下列各蕴含关系的真假：
(1)Y, (2)~(5)N, (6)Y
习题三
9.证明下列各式：
(3) (A-B)-C = A –(B C) = (A –C)-B 证明: (A-B)-C = (A B) C = A B C = A –(B C) =(A C )B)= (A –C)-B (5) A (B C) = (A B ) (A C) 证明: A (B C) = A ((B-C) (C-B)) = (A B C) (A C B) = (A B C) (A B A) (A C B) (A C A) = (A B A C) (A C A B ) = (A B -A C) (A C - A B ) = (A B ) (A C)
习题三 集
16. 求A={, a, {b}}的幂
解: A={, a, {b}} 2A = {, {} , {a} , {{b}} , {,a} , {,b} , {a, {b}} , {, a, {b}}}
离散数学---谓词逻辑推理
S(x): x 是理科生； T(x): x 是优等生。 要引入的个体常项是：c : 小张。 前提：x(P(x)(Q(x)S(x)))、x(P(x)T(x))、 Q(c)T(c)
结论：P(c)S(c)，
推理举例(续)
西 华 大 学
前提：x(P(x)(Q(x)S(x)))、 x(P(x)T(x))、Q(c)T(c) 结论：P(c)S(c)， 证明: (1). x(P(x)(Q(x)S(x))) P规则 (2). P(c)(Q(c)S(c)) 全称量词消除规则 (3). P(c) CP规则 (4). Q(c)S(c) (2)(3)I (5). Q(c)T(c) P规则 (6). Q(c) (5)I (7). S(c) (4)和(6) I
在证明的任何步骤上一阶公式中的任何子公式都可用与之等值的公式置换得到证明的公式序列的另一公式证明的公式序列的另公式
第二章 谓词逻辑
西 华 大 学
第3节 一阶逻辑推理理论
推理的定义
西 华 大 学
称蕴涵式(A1A2…Ak)B为推理的形式结构， A1, A2, …, Ak为推理的前提，B为推理的结论。 若(A1A2…Ak)B为永真式，则称从前提A1,
// 前提
(2). P(a)Q(a) // 全称量词消除规则
举例：全称量词消除规则
西 华 B 大 学
指出下列推导中的错误，并加以改正： (1). x P(x)Q(x) // 前提 (2). P(y)Q(y) // 全称量词消除规则
量词 x 的辖域为 P(x) ，而非 P(x)Q(x) ，所以不 能直接使用全称量词消除规则。
举例：全称量词消除规则
西 华 A 大 学
指出下列推导中的错误，并加以改正： (1). (x)(P(x)Q(x))// 前提 (2). P(a)Q(b) // 全称量词消除规则
结论：P(c)S(c)，
推理举例(续)
西 华 大 学
前提：x(P(x)(Q(x)S(x)))、 x(P(x)T(x))、Q(c)T(c) 结论：P(c)S(c)， 证明: (1). x(P(x)(Q(x)S(x))) P规则 (2). P(c)(Q(c)S(c)) 全称量词消除规则 (3). P(c) CP规则 (4). Q(c)S(c) (2)(3)I (5). Q(c)T(c) P规则 (6). Q(c) (5)I (7). S(c) (4)和(6) I
在证明的任何步骤上一阶公式中的任何子公式都可用与之等值的公式置换得到证明的公式序列的另一公式证明的公式序列的另公式
第二章 谓词逻辑
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第3节 一阶逻辑推理理论
推理的定义
西 华 大 学
称蕴涵式(A1A2…Ak)B为推理的形式结构， A1, A2, …, Ak为推理的前提，B为推理的结论。 若(A1A2…Ak)B为永真式，则称从前提A1,
// 前提
(2). P(a)Q(a) // 全称量词消除规则
举例：全称量词消除规则
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指出下列推导中的错误，并加以改正： (1). x P(x)Q(x) // 前提 (2). P(y)Q(y) // 全称量词消除规则
量词 x 的辖域为 P(x) ，而非 P(x)Q(x) ，所以不 能直接使用全称量词消除规则。
举例：全称量词消除规则
西 华 A 大 学
指出下列推导中的错误，并加以改正： (1). (x)(P(x)Q(x))// 前提 (2). P(a)Q(b) // 全称量词消除规则
离散数学第二章谓词逻辑
2.2.1 命题函数
例如：设谓词H表示“…是劳动模范”， a表示个 体
张明，b表示个体李华，c表示个体这只老虎，那么 H(a) 、 H(b)、H(c)表示三个不同的命题，但它们 有一个共同的形式，即H(x)。
12
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
一般地， H(x)表示个体x具有性质H。这里x表示抽 象的或泛指的个体，称为个体变元，常用小写英文字母 x,y,z, …表示。相应地，表示具体或特定的个体的词称 为个体常元，常用小写英文字母a,b,c, …表示。
2.1 谓词的概念与表示
注意: (1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后填
上个体所得到的式子称之为谓词形式。 (2)在谓词形式中，若个体确定，则A(a1，a2，...，
an)就变成了命题。 (3)在多元谓词表达式中，个体字母出现的先后
次序与事先约定有关，一般不可以随意交换 位置。
9
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
定义:由一个谓词H和n个个体变元组成的表达式 H(x1,x2 , …, xn)称为n元简单命题函数。
由定义可知，n元谓词就是有n个个体变元 的命题函数。当n=0时，称为0元谓词。因此， 一般情况下，命题函数不是命题；特殊情况0元 谓词就变成一个命题。
14
第二章 谓 词 逻 辑
（x）(M(x) F(x))
34
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
（2） 令S(x): x吸烟。则符号化为： （x）(M(x)∧S(x))
（3） 令D(x): x登上过木星。则符号化为： （x）(M(x)∧D(x))
（4）令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高 素质的。则符号化为： （x）(Q(x) H(x))
例如：设谓词H表示“…是劳动模范”， a表示个 体
张明，b表示个体李华，c表示个体这只老虎，那么 H(a) 、 H(b)、H(c)表示三个不同的命题，但它们 有一个共同的形式，即H(x)。
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
一般地， H(x)表示个体x具有性质H。这里x表示抽 象的或泛指的个体，称为个体变元，常用小写英文字母 x,y,z, …表示。相应地，表示具体或特定的个体的词称 为个体常元，常用小写英文字母a,b,c, …表示。
2.1 谓词的概念与表示
注意: (1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后填
上个体所得到的式子称之为谓词形式。 (2)在谓词形式中，若个体确定，则A(a1，a2，...，
an)就变成了命题。 (3)在多元谓词表达式中，个体字母出现的先后
次序与事先约定有关，一般不可以随意交换 位置。
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
定义:由一个谓词H和n个个体变元组成的表达式 H(x1,x2 , …, xn)称为n元简单命题函数。
由定义可知，n元谓词就是有n个个体变元 的命题函数。当n=0时，称为0元谓词。因此， 一般情况下，命题函数不是命题；特殊情况0元 谓词就变成一个命题。
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第二章 谓 词 逻 辑
（x）(M(x) F(x))
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
（2） 令S(x): x吸烟。则符号化为： （x）(M(x)∧S(x))
（3） 令D(x): x登上过木星。则符号化为： （x）(M(x)∧D(x))
（4）令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高 素质的。则符号化为： （x）(Q(x) H(x))
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③ xG(x)
④ G(c)
P
T,③,ES
⑤ F(c)∧G(c) T,②④,合取式
⑥ x(F(x)∧G(x)) T,⑤,EG
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Discrete Mathematics 又如，在实数集中， xy(x>y)是真命题，而 x(x>c)是假命题。请看下面推导：
① xy(x>y)
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Discrete Mathematics 二、谓词演算中的推理理论和规则 与命题逻辑相同，谓词逻辑中的推理问题也是如 何用推理规则来证明一个公式是否是重言蕴涵式。 命题逻辑中的推理规则都是谓词演算中的推理规 则。同时，谓词演算中的所有重言蕴涵式、恒等式 和代入规则也都可以作为推理规则使用。 在谓词逻辑的推理中，由于某些前提和结论可能 受到量词的限制，因此在推理过程中必须考虑如何 消去和添加量词，才能使谓词逻辑的推理过程可以 类似命题逻辑那样来进行。
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Discrete Mathematics 例1 证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的。苏 格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。”
首先将命题符号化：
F(x)：x是人。
G(x)：x是要死的。
a：苏格拉底。 前提：x(F(x)→G(x))， F(a) 。 结论：G(a).
说明换名规则或代替规则用得有错误或用得次数不
够，应仔细进行检查和纠正。
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第二章 谓词逻辑
2.5 谓词演算的推理规则
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Discrete Mathematics 一、谓词逻辑中推理的形式结构
在谓词逻辑中，从前提A1、A2、…Ak 推出结论B的
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例如： 1. x y(F(x,y)→G(x,y))
2. x y F(x,y) 3. x y z(F(x,y,z)→G(x,y,z))) 等都是前束范式；而
1. xF(x) ∧yG(x,y)
2. x(F(x)→ y(G(y)→H(x)))
⑩ x(F(x)∧R(x)∧G(x))
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Discrete Mathematics 若将上述证明的步骤改为： ① x(F(x)→G(x)∧H(x)) P
② F(c)→G(c)∧H(c)
③ x(F(x)∧R(x))
T,①,US
P
④ F(c)∧R(c)
┇
T,③,ES
最后也能推出 x(F(x)∧R(x)∧G(x)) ，但此证明是有 错误的。错在③～④上。②中的c不一定满足④。 注意：在前提中，若既有存在量词公式，又有全称 量词公式，应先引入存在量词公式。
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Discrete Mathematics 对前束范式的有关说明 1. 由于在进行等价演算时顺序的不同，给定公式的 前束范式是不唯一的。 2.一个公式的前束范式的各指导变元应是各不相同 的，原公式中自由出现的个体变元在前束范式中还 应是自由出现。若发现前束范式中有相同的指导变 元，或原来自由出现的个体变元变成约束出现了，
推理的形式结构，依然采用如下的蕴涵式形式：
A1∧A2∧…∧Ak→B
若该式为永真式，则称推理正确，或者称B是前提
A1、A2、…Ak的有效结论。
即：在谓词逻辑中判断推理是否正确也归结为判断
上式是否是永真式。
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Discrete Mathematics 同样，在谓词逻辑中，把永真蕴涵式称为推理 定律，若一个推理的形式结构正好是某条推理 规则，则这个推理显然正确。 例如：下面的推理都是正确的： 1) x F(x)∧ xG(x) →x F(x) 2) ┒x F(x) → x┒F(x) 3) x┒F(x) → ┒x F(x) 即命题逻辑中的推理定律在谓词逻辑中的代换 实例所对应的推理都是正确的。
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Discrete Mathematics 例如：在自然数集中，设F(x)：x是奇数，G(X)：x 是偶数，则xF(x)∧ xG(x)是真命题。请看证明： ① xF(x) ② F(c) P T,①,ES 结论⑥是错误的， 其原因是违背了条 件ES规则中的(1)， ②，④中的c不一 定是相同的。
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Discrete Mathematics 证明:① x(F(x)→G(x)) ② F(a)→G(a) ③ F(a) P T,①,US P
④
G(a)
T,②③,假言推理
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Discrete Mathematics 例2 请在一阶逻辑中证明以下推理： 每个学术会的成员都是工人并且是专家，有些成 员是青年人，所以有的成员是青年专家。 首先将命题符号化，个体域为全总个体域。
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Discrete Mathematics 2、全称推广规则(简称UG规则)
A( y) xA( x)
此规则使用时要求： (1) y是A(y)中自由出现的个体变元，且y取任何值A(y)都为 真； (2) 取代y的x不能在A(y)中约束出现。 意义： 如对于任意个体y都有A(y)为真，则必有x A(x)为真。
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第二章 谓词逻辑
2.4 谓词公式的范式
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Discrete Mathematics 定义 设A为一谓词公式，如果A具有如下形式：
Q1x1Q2x2…QkxkB
则称A是前束范式，其中每个Qi为或 ，B为不含 量词的谓词公式 由定义可知，前束范式的所有量词均非否定地出现 在公式的最前面，且它们的作用域一直延伸到公式 的末尾。
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Discrete Mathematics 1、全称指定规则(简称US规则)
xA( x) A( y )
xA( x) A( c )
①
②
此规则使用时要求： 1. 在①中，取代x的 y应为任意的不在A(x)中约束出现的个体 变元； 2. 在②式中，c为任意的个体常元。 意义： 如果xA(x)为真，那么对个体域中任何一个个体y均有A(x)为 真。同时对个体域中任一常元为真。
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Discrete Mathematics 3、存在指定规则(简称ES规则)
xA( x) A( c )
该规则使用时要求：
(1) c是使A(x)为真的特定的个体常元； (2) c不曾在A(x)中出现过； (3) A(x)中除x外还有其他自由出现的个体变元时，不能用此 规则。 意义： 如xA(x)为真，则在个体域必有一些(个)个体使A(c)为真。
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Discrete Mathematics 例3 构造下面推理的证明。 前提： ，
。
结论： 。
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Discrete Mathematics 证明：① ┒x(F(x)∧H(x)) ② x(┒F(x)∨┒H(x)) P T,①逻辑恒等变换
等都不是前束范式。
在谓词逻辑中，任何谓词公式A的前束范式都是 存在的。但一般情况下，前束范式是不唯一的。
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Discrete Mathematics 求任一谓词公式A的前束范式常用方法如下： (1)将公式中出现的联结词都化为∧,∨,；
(2)利用双重否定律、德.摩根律及量词否定等价式 将公式中的否定字符()深入到谓词字母前； (3)利用约束变元的换名规则及自由变元的代入规 则使所有约束变元均不相同，且使自由变元与约束 变元也不相同。
(4) 利用量词辖域收缩与扩张等价式，扩大量词的 辖域至整个公式。
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Discrete Mathematics 例 求下列公式的前束范式。
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Discrete Mathematics 解:(4)
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Discrete Mathematics 解:(5)
② F(c)∧R(c) ④ F(c)→G(c)∧H(c) ⑤ F(c)
p
T,①,ES P
③ x(F(x)→G(x)∧H(x))
T,③,US T,②,简化式
⑥ G(c)∧H(c)
⑦ R(c) ⑧ G(c) ⑨ F(c)∧R(c)∧G(c)
T,④⑤,假言推理
T,②,简化式 T,⑥,简化式 T,⑤⑦⑧,合取式 T,⑨,EG 计算机科学与技术学院
F(x)：x是学术会成员。 G(x)：x是专家。
H(x)：x是工人。 R(x)：x是青年人。
前提： x(F(x)→G(x)∧H(x))，x(F(x)∧R(x))
结论： x(F(x)∧R(x)∧G(x)) 。
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证明:① x(F(x)∧R(x))
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Discrete Mathematics 4、存在推广规则(简称EG规则)
A( c ) xA( x)