激光原理课程设计

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基于matlab的激光谐振腔模拟

一、引言：

谐振腔是激光器的主要构造之一，使激光通过增益物质，实现光的自激振荡。在激光器出光的过程中,谐振腔内存在许多扰动因素,如腔镜失调、增益介质不均匀、热效应、腔镜变形等,这些腔内扰动因素都会引起不同程度的腔内像差,带来光束质量的下降和光束能量的降低。

谐振腔的经典理论仅给出了部分简单腔型的模式解析解。对于激光器的不断发展过程中所涌现的许多新型结构谐振腔通常是没有解析结果的,必须采用各种数值模拟方法进行求解。因此,本文致力于研究迭代解法（Fox-Li 方法）。Fox-Li 方法是一种模式数值求解中普遍适用的一种方法,只要取样点足够多,它原则上可以用来计算任何形状开腔的自再现模,并且,还可以计算诸如腔镜的倾斜、镜面的不平整性等因素对腔内模式造成的扰动。

二、原理分析：

在激光器工作原理中，谐振腔中的模式分布占据着重要的意义。研究激光谐振腔内激光模式分布及传播规律的经典方法是，运用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式，其关系式如式（1）：

u(x，y)=ik

4π∬u（x´，y´）e−ikρ

ρ

(1+cosθ)

S

dS´(1)

上式中，ρ为(x’,y’)与(x , y)连线的长度；θ为S面上点(x’,y’)处法线和上述连线之间的夹角；ds’为S面上的面积元；k为波矢的模。

对于开放式光腔，腔面上稳态场分布的形成可以看成是光在两个腔面间往返传播的结果。考虑在开腔中往返传播的一列波。设初始时刻在镜I上有某一个场分布1u，则当波在腔中经第一次渡越而到达镜II时，将在镜II上形成一个新的场分布2u，场2u经第二次渡越后又将在镜I上形成一个新的场分布3u。每次渡越时，波都将因为衍射损失一部分能量，并引起能量分布变化。由于衍射主要是发生在镜的边缘附近，因此在传播过程中，镜边缘附近的场将衰落得更快，经多次衍射后所形成的场分布，其边缘振幅往往都很小（与中心处比较），具有这种特征的场分布受衍射的影响也将比较小。可以预期：在经过足够多次渡越之后，能形成这样一种稳态场：分布不再受衍射的影响，在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布，即实现了模的“自再现”。

本文采用Fox—Li数值迭代法实现了条形腔、矩形腔、圆形镜、倾斜腔、

圆形腔的自再现模的形成。所谓Fox -Li 数值迭代法是运用标量近似来分析模场特性。其运用的就是迭代的思想。其基本物理解释是将初始场分布视为由无数多个本征函数以一定比例叠加的结果，不同的本征函数对应不同的模式，在腔内往返渡越过程中，不同模的衍射损耗不同，经过足够多次往返渡越后，衍射损耗大的模受到的衰减程度比衍射损耗小的模大得多，当损耗大的模的贡献与损耗小的模的贡献相比可以忽略时，剩下的便是小损耗模的稳定场分布。

三、实现方法：

根据Fox -Li 数值迭代法，程序设计的流程图如下图所示：

1. 条形腔

由于只在长度有限的那个方向上发生衍射现象，迭 代公式为一维的菲涅耳—基尔霍夫衍射积分：

u (x )=γ√i λL e −ikL ∫e

−ik (x−x ´)2

2L u(x ´)+a −a

dx ´

将条形腔的左镜面划分N -1等分，则有N 个点，右 镜面上每一点的求解都需将左边镜面上的点逐点计 算一遍并相加，循环迭代下去，最终会达到稳态分布。

2. 矩形腔

只需把条腔中的一维问题转变为二维问题，按照x 、y 两个方向分离变量为

u (x,y )=u(x)u(y)

程序设计的流程图

3. 圆形镜

其迭代思想与矩形腔相同，只是

划分与矩形腔不同。圆形镜是按照径向 和角向划分，在极坐标(r, )下完成数值 迭代，但在最后显示的时候，需要将极 坐标还原成笛卡尔坐标系

4.

倾斜腔

设仅在x 方向上有偏离线度c ，其x ，y 方向 上的衍射积分方程分别为：

u (y )=γ√i λL e −ikL ∫e

(y−y ´)2

2L u(y ´)+b −b

dy ´

u (x )=γ√i λL e −ikL ∫e

−ik (x−x ´)2L e −ik （x+x ´）c

a u(x ´)+a −a

dx ´ 则：u (x,y )=u(x)u(y)

5. 双凹腔

参考徐银新老师《非稳腔的FOX_LI 数值迭 代解法》一文中可知，将镜面分成M 等分， 由镜面M1到镜面M2的迭代矩阵元如下 所示 b mn =2π1n+1M 2exp (−ikL )exp [−i π(g 1m 2N 1M 2+g 2n 2N 2

M 2)]nJ n （2πmnN eq M 2

）

其中N 1=a 2/λL , N 2=b 2/λL , N eq =ab/λL

为了简化运算，我们设此腔为对称双凹腔，即a=b ，r1=r2=r （g1=g2=g ）

四、结果分析：

{x =r cos θy =r sin θ

1、菲涅尔数对模式的影响

菲涅尔数定义为N=a2/λL, 它表征了衍射损耗的大小，菲涅尔数越大，

衍射损耗越小。当谐振腔的菲涅尔数较大时，低阶模式和高阶模式的衍射损耗非常接近，以至于高阶模在有限的迭代次数下不能有效地消除；而谐振腔的菲涅耳数比较小时，高阶模具有更高的颜色损耗，从而更能有效地抑制高阶模振荡。

条形N=1 条形N=4 圆形N=1 圆形N=4

从上图中可以看出，大菲涅尔数腔越大,振幅分布在镜边缘处的值越小；菲涅尔数越小,场分布曲线上的起伏越小,曲线越趋于平滑，振幅分布曲线越接近于标准高斯分布,相位分布曲线则越接近于球面波分布。可以得出结论：在小菲涅尔数情况下，高阶模的损耗比基模大得多，基模效应很强，振幅分布越接近于高斯分布。

2、倾斜扰动对模式的影响

上图是矩形腔倾斜线度分别为0、1、2、10对应的振幅和相位分布图。