离散数学屈婉玲第七章教学内容
《离散数学》,屈婉玲、耿素云-KefeiChen陈克非
离散数学课程介绍
• 研究对象：离散量（自然数、真假值、字母 表等）
• 研究内容：离散量的结构与关系（数理逻
辑、集合论、图论、代数系统、组合计数、初 等数论、离散概率、有限自动机、图灵机等）
• 预修课程：线性代数（高等代数） • 后继课程：数据结构、数据库等
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教材与参考书
• 教材：《离散数学》,屈婉玲、耿素云、张立昂 编,清华大学出版社, 2013年第三版；
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包含与相等
包含(子集) A B x (xA xB) 不包含 A ⊈ B x (xA xB) 相等 A=BABBA 不相等 ABA⊈BB⊈A 真包含(真子集) A B A B A B 例如, A={1,2,3}, B={ x | xR|x|1 }, C={ x | xRx2=1 }, D={-1,1}, C B, C B, C ⊈ A, A ⊈ B, B ⊈ A, C = D 性质 (1) A A (2) A B B C A C
离 散 数 学
Discrete Mathematics
陈克非 杭州师范大学理学院 kfchen@
https:///s/1mXVWVKfYtUnjaiZUhmNulQ
为什么要离散数学
不离散化就无法 跟上时代步伐
• 工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地 位已经发生了变化 • 信息时代离散数学的重要性逐渐被人们认识。离散数 学的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相 关专业的诸领域
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四色问题
计算机的作用不仅 仅是计算，还有逻 辑推演、决策、AI
• 离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科 • 离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四 色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在 1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯· 格思里提出的
高教离散数学修订版耿素云屈婉玲Part数理逻辑部分
目录
• 数理逻辑基本概念 • 谓词逻辑基础 • 形式系统基本概念 • 命题演算系统PCN • 谓词演算系统QCN • 数理逻辑在离散数学中应用
01 数理逻辑基本概念
命题与逻辑联结词
命题
01
一个可以判断真假的陈述句称为命题。
逻辑联结词
02
用来连接命题，形成复合命题的词语，如“且”、“或”、“
其他领域数理逻辑应用
计算机科学中的数理逻辑
数理逻辑在计算机科学中具有广泛的应用，如命题逻辑和谓词逻辑在程序设计和软件测试中的应用，以及数 理逻辑在人工智能和数据库等领域的应用。
物理学中的数理逻辑
数理逻辑在物理学中也有一定的应用，如量子力学中的逻辑结构和推理规则，以及数理逻辑在相对论和统计 力学等领域的应用。
推理规则
在谓词逻辑中，常用的推理规则 有假言推理、拒取式、析取三段 论、双条件推理等。这些规则可 以用于推导新的命题或证明某个 命题的正确性。
量词消去规则
在推理过程中，有时需要消去量 词，以便更方便地处理命题。全 称量词消去规则是将∀xP(x)转化 为P(a)，其中a是个体域中的任意 个体；存在量词消去规则是将 ∃xP(x)转化为P(c)，其中c是个体 域中满足P的某个个体。
PCN中重言式和矛盾式判定方法
01
重言式（Tautology）是指在所 有赋值下都为真的命题公式，如 P∨¬P。
02
矛盾式（Contradiction）是指 在所有赋值下都为假的命题公式， 如P∧¬P。
03
判定重言式和矛盾式的方法包 括真值表法、等价变换法和主 析取范式法等。
PCN中推理规则和证明方法
社会科学中的数理逻辑
_离散数学_课程教学实施方案_屈婉玲
同定位，离散数学知识框架的核心知识单元、推荐知识
单元和可选知识单元是不同的，各知识单元所含知识点
以及知识点的要求也是不同的。
下图给出了面向科学型、工程型、应用型等不同类
型的离散数学知识框架，其中每个方框代表一个知识单
元（组成知识单元的知识点在这里没有给出）。这些知识
才所需离散数学知识结构的角度来描述的，只对相关教
学内容给出了建议，这只是教学实施方案的一部分。教
学实施应该包括更多的内容：教学目标，教学安排（知
识单元和知识点的选择与讲授顺序、学时），各知识点的
教学要求，讲授重点与难点，考核要求与实施办法，教
学环节（课堂教学、作业、实践课题），教学环境与资源
型的计算机科学与技术研究、工程和应用的人才，应该
具有以下几种能力：获取知识的能力、应用知识的能力、
创新能力。通过离散数学的教学，对学生获取知识、应
用知识的能力，对创新思维的培养有着重要的作用。
根据课程的定位，教学实施方案应该体现出离散数
学对其他专业课程的支撑作用，应该强化学科方法的训
练和能力的培养。面向多样性人才的需求，计算机科学
报告提交，在成绩评定上可给予加分鼓励。上机实践对
于理解离散数学中的相关概念和算法有一定作用，考虑
到课程的主要目标是训练正确的逻辑思维方法，提高系
统建模和分析能力，建议上机学时不要挤占课上讲授学
时，可计入总学时。
根据《专业规范》的精神，总结国内部分学校的教
学经验，本文提出了一个面向科学型、工程型和应用型
图
树
基本计数
特殊的图
代数结构
离散数学第二版屈婉玲
离散数学第二版屈婉玲简介《离散数学第二版》是由屈婉玲编写的离散数学教材。
离散数学是计算机科学中的一门基础课程，主要研究离散对象及其结构、性质和相互关系。
这本教材系统地介绍了离散数学的各个方面，具有循序渐进、清晰易懂的特点，适合计算机科学及相关专业本科生使用。
目录•离散数学概论–离散数学的基本概念–命题逻辑–谓词逻辑与推理–集合与命题逻辑的应用•图论基础–图的基本概念–有向图与无向图–图的遍历–最短路径•关系与函数–二元关系–关系的闭包与等价关系–函数与映射关系–函数的复合与反函数•计数原理–基本计数原理–排列与组合–生成函数–容斥原理•离散数学中的数论–整数与整除性–模运算与同余关系–素数与因子分解–公约数与最大公约数•离散结构中的代数系统–代数系统的基本概念–半群与幺半群–群与子群–环与域内容概述离散数学概论第一章介绍了离散数学的基本概念和离散对象的性质。
包括集合论、命题逻辑和谓词逻辑等内容。
后续讲解了命题逻辑的推理规则，以及如何应用集合论和命题逻辑解决实际问题。
图论基础第二章介绍了图论的基本概念和图的表示方法。
包括有向图和无向图的概念、图的遍历算法和最短路径算法。
通过实例讲解了如何使用图论解决实际问题。
关系与函数第三章介绍了关系与函数的概念和性质。
包括二元关系的定义和性质、关系的闭包和等价关系的概念，以及函数与映射关系的概念和性质。
通过实例讲解了如何使用关系和函数解决实际问题。
计数原理第四章介绍了计数原理的基本概念和计数方法。
包括基本计数原理、排列与组合、生成函数和容斥原理等内容。
通过实例讲解了如何使用计数原理解决实际问题。
离散数学中的数论第五章介绍了离散数学中的数论知识。
包括整数与整除性、模运算与同余关系、素数与因子分解、公约数与最大公约数等内容。
通过实例讲解了如何使用数论知识解决实际问题。
离散结构中的代数系统第六章介绍了离散结构中的代数系统。
包括代数系统的基本概念、半群与幺半群、群与子群、环与域等内容。
离散数学（屈婉玲）答案_1-5章教学内容
离散数学（屈婉玲）答案_1-5章教学内容离散数学(屈婉玲)答案_1-5章第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)? 0∨(0∧1) ?0（2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0.（3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0(4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数 0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除 0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(?q→?p)（5）(p∧r) ?(?p∧?q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式 //最后一列全为1（5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1（6）公式类型为永真式（方法如上例）//第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ?(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式(3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r))(4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)(?p∨q)∧(?p∨r)p∨(q∧r))p→(q∧r)（4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q)(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q)1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1(p∨q)∧?(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(?p→q)→(?q∨p)(2)?(p→q)∧q∧r(3)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)解：（1）主析取范式(?p →q)→(?q ∨p)(p ∨q)∨(?q ∨p)(?p ∧?q)∨(?q ∨p)(?p ∧?q)∨(?q ∧p)∨(?q ∧?p)∨(p ∧q)∨(p ∧?q)(?p ∧?q)∨(p ∧?q)∨(p ∧q) ?320m m m ∨∨∑(0,2,3)主合取范式：(?p →q)→(?q ∨p)(p ∨q)∨(?q ∨p)(?p ∧?q)∨(?q ∨p)(?p ∨(?q∨p))∧(?q ∨(?q ∨p))1∧(p ∨?q)(p ∨?q) ? M 1∏(1)(2) 主合取范式为：(p →q)∧q ∧r ??(?p ∨q)∧q ∧r(p ∧?q)∧q ∧r ?0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)(?p ∧(?q ∨?r))∨(p ∨q ∨r)(?p ∨(p ∨q ∨r))∧((?q ∨?r))∨(p ∨q ∨r))1∧11所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,?(q∧r),r结论：?p(4)前提：q→p,q?s,s?t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①?(q∧r) 前提引入②?q∨?r ①置换③q→?r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤?q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p ⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q?s 前提引入④s?t 前提引入⑤q?t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→?q,?r∨q,r∧?s结论：?p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r ∧﹁r ⑤⑦ 合取由于最后一步r ∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确. 第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x ).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ?，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学-屈婉玲-耿素云-张立昂-主编-高等教育出版社-课后最全答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p?r）∧(﹁q∨s) ⇔（0?1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）?(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）? (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q)? ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x ).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解： F(x): 2=(x+)(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ∀，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学教学大纲屈婉玲
离散数学教学大纲屈婉玲离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象和离散结构之间的关系。
作为计算机科学专业的一门核心课程，离散数学的教学大纲对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
离散数学的教学大纲应该包含以下几个方面的内容。
首先是集合论，它是离散数学的基础，研究集合和元素之间的关系。
集合论的基本概念包括集合的定义、子集、并集、交集等，学生需要通过练习掌握这些概念，并能够运用它们解决实际问题。
其次是逻辑和证明，逻辑是离散数学的重要组成部分，它研究命题、命题之间的关系以及推理规则。
学生需要学习命题的基本概念，如真值、合取、析取等，并能够使用真值表和逻辑符号进行推理。
此外，学生还需要学习证明的方法和技巧，如直接证明、间接证明、数学归纳法等，以培养他们的证明能力和思维能力。
第三个方面是图论，图论是离散数学中的一个重要分支，研究图和图的性质。
学生需要学习图的基本概念，如顶点、边、路径、回路等，并能够运用图的算法解决实际问题。
图论在计算机科学中有着广泛的应用，如网络设计、路径规划等，因此学生对图论的掌握对于他们日后的学习和工作都具有重要意义。
最后一个方面是组合数学，组合数学是离散数学的另一个重要分支，研究离散对象的组合和排列。
学生需要学习组合数学的基本概念，如排列、组合、二项式系数等，并能够运用这些概念解决实际问题。
组合数学在密码学、编码理论等领域有着广泛的应用，学生对组合数学的掌握将为他们未来的学习和工作打下坚实的基础。
除了以上几个方面的内容，离散数学的教学大纲还应该包括一些实践性的内容，如编程实践、案例分析等。
通过实际操作，学生能够将离散数学的理论知识应用到实际问题中，提高他们的解决问题的能力和实践能力。
总的来说，离散数学的教学大纲应该全面、系统地覆盖离散数学的各个方面，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
通过合理的教学大纲，学生能够系统地学习离散数学的基本概念和方法，并能够运用它们解决实际问题。
离散数学第7章PPT课件
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
第38页/共94页
例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
第34页/共94页
一、通路，回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路，回路。 3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、通路，回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念， 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V, E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
第5页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1,v1,
则
,vn，E m ( m为边数)，
n
d (vi ) 2m
i 1
第20页/共94页
n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2： 设D V, E 为有向图，
第36页/共94页
《离散数学》,屈婉玲、耿素云-KefeiChen陈克非
集合的表示法
列举法 如 A={ a, b, c, d }, N={0,1,2,…} 描述法{ x | P(x) } 如N={ x | x是自然数 } 说明: (1)集合中的元素是确定的. (2)集合中的元素各不相同. 如, {1,2,3}={1,1,2,3} (3)集合中的元素没有次序. 如, {1,2,3}={3,1,2}={1,3,1,2,2} (4)有时两种方法都适用, 可根据需要选用. 常用集合 自然数集N, 整数集Z, 正整数集Z+, 有理数集Q, 非零有理数集Q*, 实数集R, 非零实数集R*, 复数集C, 区间[a,b],(a,b)等
4
离散数学课程介绍
• 研究对象：离散量（自然数、真假值、字母 表等）
• 研究内容：离散量的结构与关系（数理逻
辑、集合论、图论、代数系统、组合计数、初 等数论、离散概率、有限自动机、图灵机等）
• 预修课程：线性代数（高等代数） • 后继课程：数据结构、数据库等
5
教材与参考书
• 教材：《离散数学》,屈婉玲、耿素云、张立昂 编,清华大学出版社, 2013年第三版；
12
包含与相等
包含(子集) A B x (xA xB) 不包含 A ⊈ B x (xA xB) 相等 A=BABBA 不相等 ABA⊈BB⊈A 真包含(真子集) A B A B A B 例如, A={1,2,3}, B={ x | xR|x|1 }, C={ x | xRx2=1 }, D={-1,1}, C B, C B, C ⊈ A, A ⊈ B, B ⊈ A, C = D 性质 (1) A A (2) A B B C A C
• 参考书1：《离散数学》,屈婉玲、耿素云、张 立昂编,高等教育出版社, 2015年3月第二版;
屈婉玲高教版离散数学部分答案
屈婉玲⾼教版离散数学部分答案第七章部分课后习题参考答案7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A ,全域关系E A ,⼩于或等于关系L A ,整除关系D A .解：I A ={<2，2>,<3,3>,<4,4>}E A ={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}L A ={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} D A ={<2,4>}13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>} B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}求A ?B,A ?B, domA, domB, dom(A ?B), ranA, ranB, ran(A ?B ), fld(A-B). 解：A ?B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>} A ?B= {<2,4>}domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A ∨B)={1,2,3,4}ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(A ?B)={4}A-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3} 14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}求R οR, R -1, R ↑{0,1,}, R[{1,2}] 解：R οR={<0,2>,<0,3>,<1,3>}R -1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}R ↑{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}16．设A={a,b,c,d}，1R ，2R 为A 上的关系，其中1R ={},,,,,a a a b b d{2,,,,,,,R a d b c b d c b=求23122112,,,R R R R R R o o 。
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案,DOC
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1)⇔0（2）（p?r）∧(﹁q∨s)⇔（0?1）∧(1∨1)⇔0∧1⇔0.（3）（⌝(4)（176能被2q:3r:2s:619（4）(p（5）(p（6）((p答：（pqp→q⌝0011111011011110010011110011所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P qrp∨qp∧r（p∨q）→(p∧r)0000010010014.(2)(p→(4)(p∧证明（2（45.(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∧p)∨(⌝q∧⌝p)∨(p∧q)∨(p∧⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p⇔1∧(p⇔(p∨⇔∏(2)⌝(p→q)⇔(p∧(3)⇔⌝⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r①置换③q→⌝r②蕴含等值式④r⑤⌝q⑥p→q⑦￢p（3证明（4①t②t③q④s⑤q⑥（⑦（⑧q⑨q⑩p15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s附加前提引入②s→p前提引入③p①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r③④假言推理⑥q前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p②p③﹁④￢⑤￢⑥r⑦r⑧r3.:(1)均有2=(x+)(x).(2)其中(a)(b)解：F(x):2=(x+)(x).G(x):x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学(屈婉玲版)第七章部分答案
7.1 列各组数中，那些能构成无向图的度数列？那些能构成无向简单图的度数列？（1）1，1，1，2，3（2）2，2，2，2，2（3）3，3，3，3（4）1，2，3，4，5（5）1，3，3，3解答：（1），（2），（3），（5）能构成无向图的度数列。
（1），（2），（3）能构成五项简单图的度数列。
7.2 设有向简单图D 的度数列为2，2，3，3，入度列为0，0，2，3，试求D 的出度列。
解：因为 出度=度数-入度，所以出度列为2，2，1，0。
7.3 设D 是4阶有向简单图，度数列为3，3，3，3。
它的入度列（或出度列）能为1，1， 1，1吗？解：由定理7.2可知，有向图的总入度=总出度。
该有向图的总入度=1+1+1+1=4,总出度=2+2+2+2=8,4！=8，所以它的出度列（或入度列）不能为1，1，1，1。
7.6 35条边，每个顶点的度数至少为3的图最多有几个顶点？解：根据握手定理，所有顶点的度数之和为70，假设每个顶点的度数都为3，则 n 为小于等于370的最大整数，即：２３ ∴ 最多有23个顶点7.7 设n 阶无向简单图G 中，δ（G ）=n-1，问△（G ）应为多少？解： 假设n 阶简单图图n 阶无向完全图，在K n 共有2)1(-n n 条边，各个顶点度数之和为n （n-1）∴每个顶点的度数为nn n )1(-=n-1 ∴△（G ）=δ（G ）=n-17.8 一个n （n ≥２）阶无向简单图Ｇ中，n 为奇数，有r 个奇度数顶点，问Ｇ的补图G 中有几个奇度顶点？解：在K n 图中，每个顶点的度均为（n-1），n 为奇数，在Ｇ中度为奇数的顶点在G 中仍然为奇数，∴共有r 个奇度顶点在G 中７.９ 设Ｄ是n 阶有向简单图，Ｄ’是Ｄ的子图，已知Ｄ’的边数m ’＝n （n-1），问Ｄ的边数m 为多少？解： 在Ｄ’中m ’＝n （n-1） 可见Ｄ’为有个n 阶有向完全图，则Ｄ＝Ｄ’ 即Ｄ’就是Ｄ本身，∴m=n （n-1）7.18 有向图D 入图所示。
离散数学教学大纲(耿素云、屈婉铃)
《离散数学》课程教学大纲【课程名称】离散数学（Discrete Mathematics)）【课程代码】08012007【适应专业】数学与应用数学【授课对象】普通本科【课程简介】离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。
以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标。
离散数学课程主要介绍命题逻辑等值演算、命题逻辑的推理理论、一阶逻辑的基本概念、一阶逻辑等值演算与推理、集合代数、二元关系、函数、图的基本概念、欧拉图与哈密顿图等内容。
教学原则是注重理论、方法和实例的有机结合，努力使学生对于离散数学课程逐渐形成较为完整的知识体系，对于一些概念、性质、方法有更加深刻的理解，建立正确的形式逻辑和辩证逻辑，提高分析问题、解决问题的能力。
【教学目标】通过离散数学的学习，能够掌握集合的概念、运算及应用，集合内元素间的关系以及集合之间的关系，掌握图论学科的基本理论知识和相关应用，不仅能为学生的专业课学习及将来从事的软、硬件开发打下坚实的基础，同时也能培养他们抽象思维和严格逻辑推理能力。
【参考学时】72学时【参考书目】1．屈婉玲，耿素云编著：《离散数学》，北京，高等教育出版社，2008年2．左孝凌等编著：《离散数学》，上海，上海科技文献出版社，2003年3．蔡英编著：《离散数学》，西安，西安电子科技大学出版社，2007年4．王元元编著：《离散数学导论》，北京，科学出版社，2005年【教学内容】●第一单元命题逻辑的基本概念●§1 命题与联结词§2 命题公式及其赋值●基本要求：1．深刻理解5种常用联结词的涵义，并能准确地应用它们将基本复合命题及复合命题符号化；2．分清“相容或”与“排斥或”；3．深刻理解命题公式的赋值、成真赋值、成假赋值，从而准确地判断出公式的类型。
●重点、难点：蕴涵联结词与析取联结词；真值表。
●教学方法提示：讲授法●参考学时：4学时●第二单元命题逻辑的等值演算●§1 等值式§2 析取范式与合取范式§3 联结词的完备集●基本要求：1．深刻理解等值式的定义；2．熟练应用基本等值式及置换规则进行等值演算；3．深刻理解极小项、极大项的定义，名称、下角标与成真赋值的关系，会求主析取范式与主合取范式。
离散数学屈婉玲第七章ppt课件
可编辑课件
13
关系运算(逆与合成)
定义7.7 关系的逆运算 R1 = { <y, x> | <x, y>R }
定义7.8 关系的合成运算 FG = { <x, y> | t (<x, t >F <t, y >G) }
例6 R = {<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} S = {<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>} R1 = {<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>} RS = {<1,3>, <2,2>, <2,3>} SR = {<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
<x,y>=<u,v> x=uy=v.
可编辑课件
2
笛卡儿积
定义7.2 设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作AB，且 AB = {<x,y>| xAyB}.
例1 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>,<b,3>,<c,3>} A={}, B= P(A)A = {<,>, <{},>} P(A)B =
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12
7.3 关系的运算
关系的基本运算 定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为
domR = { x | y (<x,y>R) } ranR = { y | x (<x,y>R) } fldR = domR ranR
例5 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则 domR={1, 2, 4} ranR={2, 3, 4} fldR={1, 2, 3, 4}
3
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 AB BA (AB, A, B)
(2) 不适合结合律 (AB)C A(BC) (A, B, C)
(3) 对于并或交运算满足分配律 A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA)
类似的还可以定义： 大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等.
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关系的表示
1. 关系矩阵
若A={x1, x2, …, xn}，R是A上的关系，R的关系矩阵是布尔 矩阵MR = (rij )nn, 其中
2. 关系图
rij = 1 < xi, xj>R
若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R的关系图是 GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集. 如果<xi,xj>属于 关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边.
7
A到B的关系与A上的关系
定义7.4 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A 到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.
例3 A={0,1}, B={1,2,3}, 那么 R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}
R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3 和 R4 也是A上的二元关系.
6
7.2 二元关系
定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一： (1) 集合非空, 且它的元素都是有序对 (2) 集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如果<x,y>∈R, 可记作xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写1R2, aRb, a c等.
例如 A = {1, 2, 3}, B={a, b}, 则 LA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
例如 A = P(B) = {,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是 R = {<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
注意：
关系矩阵适合表示有穷集A上的关系（可推广为从A到B的 关系）
关系图适合表示有穷集A上的关系
11
实例
例4 A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 1 0 0
M
R
0 0
0
0
恒等关系 IA = {<x,x>| x∈A} 小于等于关系 LA = {<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, A为实数子集 整除关系 DB = {<x,y>| x,y∈B∧x整除y}, A为非0整数子集 包含关系 R = {<x,y>| x,y∈A∧xy}, A是集合族.
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实例
例如, A={1, 2}, 则 EA = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA = {<1,1>,<2,2>}
<x,y>=<u,v> x=uy=v.
2
笛卡儿积
定义7.2 设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作AB，且 AB = {<x,y>| xAyB}.
例1 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>,<b,3>,<c,3>} A={}, B= P(A)A = {<,>, <{},>} P(A)B =
计数: |A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 所以 A上有2 n 2
个不同的二元关系. 例如 |A| = 3, 则 A上有=512个不同的二元关系.
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A上重要关系的实例
定义7.5 设 A 为集合, (1) 是A上的关系，称为空关系 (2) 全域关系 EA = {<x,y>| x∈A∧y∈A} = A×A
第七章 二元关系
主要内容 有序对与笛卡儿积 二元关系的定义与表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
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7.1 有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组 称为有序对，记作<x,y>. 有序对性质: (1) 有序性 <x,y><y,x> （当xy时） (2) <x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是
(4) 若 A 或 B 中有一个为空集，则 AB 就是空集. A = B =
(5) ACBDABCD. (6) 若 |A| = m, |B| = n, 则 |AB| = mn
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性质证明
证明 A(BC) = (AB)(AC)
证 任取<x,y> <x,y>∈A×(B∪C)
x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
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实例
例2 (1) 证明A=B,C=D AC=BD (2) AC = BD是否推出 A=B,C=D? 为什么？
解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC
xAyC xByD <x,y>BD (2) 不一定.反例如下： A={1}，B={2}, C = D = , 则AC = BD但是A B.