精编同角三角函数的基本关系式及诱导公式

,
tan sin 2 . cos 4
2 sin 1 0,为第一或第二象限角.
3
当为第一象限角时, cos 1 sin2 2 2 , tan 2 .
3
4
当为第二象限角时,由1知tan 2 .
4
(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),
B. 1 2
C. 1
D. 3
2
2
解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60°= 1 ,故选C. 2
答案:C
2.若sin 4 ,且是第二象限角,则tan的值等于
5
A. 4
B. 3
3
4
C. 3 4
D. 4 3
解析 : 为第二象限角,
cos
1 sin2
【典例2】已知 是第三象限角, 且
f
( )

sin(

)cos(2


)tan



3
2

.
cot( )sin( )
1化简f ;
2
若coscos


3
2


1 5
,
求f

的值;
3若 1860,求f 的值.
联系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α为第四象限角,但
tanα=
1mm,原2 因是m此时小于0,所以形式上tanα的表
达式前面仍不带负号.
类型二
诱导公式及其应用
解题准备:诱导公式起着变名､变角､变号的作用,应用诱导公 式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负 号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导 公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化 负为正—化大为小—锐角求值”.
同角三角函数的基本关系 式及诱导公式
回归课本
1.同角三角函数基本关系式
平方关系:sin2α+cos2α=1;
商数关系:tanα=
sin . cos
2.α相关角的表示 (1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α; (2)终边与角α的终边关于x轴对称的角可以表示为-α(或2π-α); (3)终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为π-α; (4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为 -α.
(5)公式五
sin


2



cos
,
cos
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2
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(6)公式六
sin


2




cos
,
cos


2




sin .
即α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值, 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正弦
【典例1】 (1)已知sinα=
1 3
,且α为第二象限角,求
tanα;
(2)已知sinα= 1 ,求tanα; 3
(3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.
[解]1 sin 1 ,为第二象限角,
3
cos
1 sin2
1


1 3
2

2 2 3
2
(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把
α看成锐角时原函数值的符号.
总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指 “k· ±α(k∈Z)”中k的奇偶性;“符号”是把任意角α 2
看作锐角时原函数值的符号.
考点陪练
1.(2010·全国Ⅰ)cos300°=( )
A. 3 2
5.若cos 2sin 5,则tan等于
A. 1 B.2 C. 1
2
2
D. 2
解析
:
cos sin2
2sin cos2
1,
5, sin2
(
5 2sin )2 1,


sin



25 5
,
tan

1


4 5
2


3, 5
tan

sin cos

4 5


5 3


4. 3
答案:A
3.已知sin



3


1 3
, 则cos


6


的值为

A. 1
B. 1
3
3
C. 2 3 D. 2 3
3
3
解析 :

6




2
∴cosα=± 1 sin2=± 1 m(当2 α为第一､四象限角时
取正号,当α为第二､三象限角时取负号),
m
所以当α为第一､四象限角时,tanα=
1 m2;
当α为第二､三象限角时,tanα= m .
1 m2
[反思感悟] 本例属同角三角函数关系式的基本题,关键是掌
握住“先平方,后作商”的原则,先求与sinα的平方关系相

2
3.诱导公式 (1)公式一 sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=t
anα,其中k∈Z. (2)公式二 sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα.
(3)公式三 sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα. (4)公式四 sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα.
2.
cos

5. 5
答案:B
类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值
解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确､ 灵活,尤其是利用平方关系sin2α+cos2α=1及其变形形式 sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α进行开方运算时,特别注意符 号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指 定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定 其他角的三角函数值.




3

,
cos


6




cos

2




3


sin




3



1 3
.
答案:B
4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析:∵2008°=6×360°-152°, ∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0, cos2008°=cos152°<0,∴点P在第四象限. 答案:C