中考二次函数讲义附练习及答案
二次函数与几何综合(讲义和习题)含答案
二次函数与几何综合（讲义）➢ 课前预习1. 如图，直线112y x =+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，则△ABC 的面积为__________．提示：利用点坐标求面积，需要将点坐标转化为横平竖直的线段长，常考虑作横平竖直的线来对图形进行割补． 具体操作：①过点C 作CD ∥y 轴，交AB 于点D ； ②借助C ，D 坐标求解CD 长；③以CD 为底，则A ，B 两点间的水平距离为高，即1()2ABC ADC DBC B A S S S CD x x =+=⋅⋅-△△△2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线334y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点C 的坐标为(0，-2)．若点D 在直线AB 上运动，点E 在直线AC 上运动，当以O ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形时，点D 的坐标为__________．y xCB AO提示：（1）分析定点（A ，O ），动点（D ，E ），属于两定两动的平行四边形存在性问题．（2）连接两定点得定线段，考虑：①若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；②若定线段作为平行四边形的对角线，则绕定线段中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标． （3）利用函数特征和几何特征求解后，结合图形进行验证．➢ 知识点睛1. “函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，_____________________． 2. 研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．②___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3. 二次函数之面积问题的常见模型①割补法——铅垂法求面积：1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△ 1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ， 当P ，Q 在AB 同侧时， 当P ，Q 在AB 异侧时， PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．➢ 精讲精练1. 如图，抛物线y =-x 2+2x +3经过A ，B ，C 三点．点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，连接MB ，MC ．（1）若设点M 的横坐标为m ，四边形OBMC 的面积为S ，则S 与m 的函数关系式为________________．（2）四边形OBMC 的最大面积为________，此时点M 的坐标为____________．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3经过A，B，C三点，点D的坐标为(0，1)，直线AD与抛物线交于另一点E．（1）若M是直线AD上方抛物线上的一个动点，则△AME面积的最大值为__________．=6时，点G的坐标为_______________．（2）在直线AD下方的抛物线上有一动点G，当S△AEG3.如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a＞0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC，CD，∠ACD=90°．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点M在抛物线上，且以点M，A，C以及另一点N为顶点的平行四边形ACNM的面积为12，设M的横坐标为m，求m的值．4.如图，已知二次函数y=x2-3x-4的图象与x轴交于点A，B，且经过点C(2，-6)，连接AC，二次函数图象的对称轴记为l．（1）点D(m，n)（-1＜m＜2）是二次函数图象上一动点，当△ACD关于l的对称点为E，求点E的坐标．（2）在（1）的条件下，能否在二次函数图象和直线l上分别找到点P，Q，使得以点D，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．5. 如图，抛物线y =ax 2-5ax+4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点D 在抛物线对称轴上，点E 在抛物线上，且以A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的坐标；（3）已知点F 是抛物线上的动点，点G 是直线y =-x 上的动点，且以O ，C ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，求点G 的横坐标．【参考答案】➢课前预习1.9 22.1126 () 55D，，2286 () 55D，➢知识点睛1.利用横平竖直的线段长，函数特征与几何特征互转2.①四点一线；k，b②坐标转线段长➢精讲精练（2）(3，0)或(-2，-5)3.（1）y=x2-2x-3；（2）m=4或m=-1．二次函数与几何综合（习题）➢例题示范例1：如图，抛物线y=ax2+2ax-3a与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OA=OC，连接AC．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P是直线AC下方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值．（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a，0)，对称轴为直线x=-1；结合题中给出的OA=OC，可得C(0，-3)析式．再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 【过程示范】解：（1）由y=ax2+2ax-3a=a(x+3)(x-1)可知A(-3，0)，B(1，0)，∵OA=OC，∴C(0，-3)，将C(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a，解得，a=1，∴y=x2+2x-3．(2+2x-3第二问：铅垂法求面积 【思路分析】（1）整合信息，分析特征：由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在直线AC 下方的抛物线上运动，即 -3＜x P ＜0； （2）设计方案：注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S △ACP ． 【过程示范】如图，过点P 作PQ ∥y 轴，交AC 于点Q ， 易得l AC ：y =-x -3设点P 的横坐标为t ，则P (t ，t 2+2t -3)， ∵PQ ∥y 轴， ∴Q (t ，-t -3)，∴PQ =y Q -y P =-t -3-(t 2+2t -3)=-t 2-3t （-3＜t ＜0）， ∴2139()222ACP C A S PQ x x t t =⋅-=--△（-3＜t ＜0） ∵302-<， ∴抛物线开口向下，且对称轴为直线32t =-，∴当32t =-时，S △ACP 最大，为278．第三问：平行四边形的存在性 【思路分析】 分析不变特征：以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形中，A ，B 为定点，E ，F 为动点，定点A ，B 连接成为定线段AB ．分析形成因素：要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则AB既可以作边，也可以作对角线．画图求解：先根据平行四边形的判定来确定EF和AB之间应满足的条件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．①AB作为边时，依据平行四边形的判定，需满足EF∥AB且EF=AB，要找EF，可借助平移．点E在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段AB拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点E在对称轴上，来找抛物线上的点F．注意：在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上E点坐标，利用平行且相等表达抛物线上F点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足AB，EF互相平分，先找到定线段AB的中点，在旋转过程中找到EF恰好被AB中点平分的位置，因为E和AB中点都在抛物线对称轴上，说明EF所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为F点坐标．结果验证：画图或推理，根据运动范围考虑是否找全各种情形．【过程示范】（3）①当AB为边时，AB∥EF且AB=EF，如图所示，设E点坐标为(-1，m)，当四边形是□ABFE时，由A(-3，0)，B(1，0)可知，F1(3，m)，代入抛物线解析式，可得，m=12，∴F1(3，12)；当四边形是□ABEF时，由A(-3，0)，B(1，0)可知，F2(-5，m)，代入抛物线解析式，可得，m=12，∴F2(-5，12)．②当AB为对角线时，AB与EF互相平分，AB的中点D(-1，0)，设E(-1，m)，则F(-1，-m)，代入抛物线解析式，可得，m=4，∴F3(-1，-4)．综上：F1(3，12)，F2(-5，12)，F3(-1，-4)．➢巩固练习1.如图，直线12y x=-与抛物线2164y x=-+交于A，B两点，C是抛物线的顶点．（1）在直线AB上方的抛物线上有一动点P，当△ABP的面积最大时，点P的坐标为__________________．（2）若点M在抛物线上，且以点M，A，B以及另一点N为顶点的平行四边形ABNM的面积为240，则M，N两点的坐标为_______________．2.已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A(α，0)，B(β，0)，且112αβ+=-．抛物线的对称轴为直线l，与y轴的交点为点C，顶点为点D，点C关于l的对称点为点E．（1）抛物线的解析式为_________．（2）连接CD，在直线CD下方的抛物线上有一动点G，当S△CDG=3，点G的坐标为______________．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标为_______．3.已知抛物线y=ax2-4ax+b的对称轴为直线x=2，顶点为P，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，连接BC，PB，得到∠PBC=90°．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使△BCQ与△BCP的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是抛物线上一动点，点F是x轴上一动点，是否存在以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线y=ax2-ax-b与y轴交于点D，且经过点C，连接AD，可得AB=AD．（1）求抛物线的解析式．（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，点Q是抛物线对称轴l上一动点，是否存在点P，使以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【参考答案】1.（1）23 (1)4，；（2）M1(-10，-19)，N1(-20，-14)；M2(12，-30)，N2(2，-25) 2.（1）y=-x2+4x+2；（2）G1(-1，-3)，G2(3，5)；（3）1(40)Q，2(40)Q，3(0)Q，40)Q3.（1）y=-x2+4x-3；（2）存在，Q1(1，0)，237 (22Q --，，337(22Q+-+，；（3）存在，F1(7，0)，F2(-1，0)．4. （1）211222y x x =--；（2）3x =（3）存在，1313()28P -，，2113()28P --，，3117()28P -，．。
九年级数学下册知识讲义-30二次函数的图像与性质2(附练习及答案)-冀教版
初中数学二次函数的图象与性质2学习目标一、考点突破1. 理解并掌握系数a、b、c与函数图象的关系。
2. 掌握图象与坐标轴交点坐标、对称轴的计算方法。
二、重难点提示重点：系数a、b、c与函数图象的关系。
难点：应用系数与函数图象的关系解决问题。
考点精讲二次函数图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点的决定因素（以为例）1.决定了抛物线开口的大小和方向的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小。
2. b与a同时决定对称轴位置同号时，对称轴位置在y轴左侧；异号时，对称轴位置在y轴右侧。
总结：“左同右异”【综合拓展】关于对称轴：①；②当图象过（a，b）（c，b）时，则对称轴为。
3.决定了抛物线与轴交点的位置①当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；②当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；③当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负。
典例精讲例题1（绵阳）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，给出下列结论：①2a＋b＞0；②b＞a＞c；③若－1＜m＜n＜1，则m＋n＜－；④3|a|＋|c|＜2|b|，其中正确的结论（写出你认为正确的所有结论序号）。
思路分析：分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c 的符号，再利用特殊值法分析得出各选项。
答案：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0，对称轴x ＝－＞1，－b ＜2a ，∴2a ＋b ＞0，故选项①正确；∵－b ＜2a ，∴b ＞－2a ＞0＞a ，令抛物线解析式为y ＝－x 2＋bx －，此时a ＝c ，要使抛物线与x 轴交点的横坐标分别为和2， 则2221+＝－)21(2-⨯b ，解得：b ＝，∴抛物线y ＝－x 2＋x －，符合“开口向下，与x 轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x ＝1右侧”的特点，而此时a ＝c ，（其实a ＞c ，a ＜c ，a ＝c 都有可能），故②选项错误；∵－1＜m ＜n ＜1，－2＜m ＋n ＜2，∴抛物线对称轴为：x ＝－＞1，＞2，m ＋n ＜，故选项③正确；当x ＝1时，a ＋b ＋c ＞0，2a ＋b ＞0，3a ＋2b ＋c ＞0，∴3a ＋c ＞－2b ，∴－3a －c ＜2b ， ∵a ＜0，b ＞0，c ＜0（图象与y 轴交于负半轴），∴3|a|＋|c|＝－3a －c ＜2b ＝2|b|，故④选项正确，故答案为①③④。
初三培优二次函数辅导专题训练及答案解析
初三培优二次函数辅导专题训练及答案解析一、二次函数1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。
（2）点B的坐标为：（4，4）。
（3）存在；理由见解析；【解析】【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。
【详解】解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。
∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。
（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。
∴AO=3。
∵△AOB 的面积等于6，∴12AO•BD=6。
∴BD=4。
∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。
又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，∴x 轴下方不存在B 点。
∴点B 的坐标为：（4，4）。
（3）存在。
∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=+=。
若∠POB=90°，则∠POD=45°。
九年级数学：二次函数复习训练(有答案)
第10讲 二次函数－复习训练1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
2、二次函数2ax y =的图像特征：（1）当0>a 时，图像是开口向上的抛物线；（2）当0<a 时，图像是开口向下的抛物线。
（3）||a 越大，开口越小其图像关于直线0=x （即y 轴）对称，顶点坐标是)0,0(。
3、二次函数k ax y +=2的图像可以由二次函数2ax y =的图像通过上下平移得到。
口诀是：上加下减4、2)(h x a y -=的图像可以由二次函数2ax y =的图像通过左右平移得到。
口诀是：左加右减1、二次函数2y ax bx c =++通过配方可以变成()2y a x h k =-+的形式，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 其中2424b ac b h k a a -=-=，． 2、二次函数2y ax bx c =++的性质（1）、当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-． （2）、当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a-． 3、二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程02=++c bx ax 的关系(图象与x 轴的交点个数)： ① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-= ① 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点，交点坐标为)0,2(ab -① 当0∆<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．4、二次函数2y ax bx c =++图象的画法（1）五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.（2）一般选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.1、二次函数解析式的表示方法（1）一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；（2）顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；（3）两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）又叫交点式。
中考复习精品讲义二次函数的定义与性质(含答案)
第一讲 二次函数(一) : 二次函数的定义与性质二次函数的概念形如2y ax bx c =++( ,,a b c 是常数, 0a ≠)的函数, 叫做二次函数.注: (1) 等号左边是函数, 右边是关于自变量x 的二次式(x 的值范围是全体实数);(2) ,,a b c 是常数, a (0a ≠)是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项, ,b c 可以为零. 知识点二: 二次函数的基本形式1、二次函数基本形式: 2y ax =的性质:2、2y ax c =+的性质: 上加下减.3、y a x h =-的性质: 左加右减. 4、y a x h k =-+的性质:(1) 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+, 确定其顶点坐标()h k ，; (2) 保持抛物线2y ax =的形状不变, 将其顶点平移到()h k ，处, 注: 概括成八个字“左加右减, 上加下减”.知识点四: 二次函数2y ax bx c =++的性质1、当0a >时, 抛物线开口向上, 对称轴为2bx a =-, 顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.当2b x a <-时, y 随x 的增大而减小; 当2b x a >-时, y 随x 的增大而增大; 当2bx a=-时, y 有最小值244ac ba-.2、当0a <时, 抛物线开口向下, 对称轴为2b x a =-, 顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，. 当2bx a <-时,y 随x 的增大而增大; 当2b x a >-时, y 随x 的增大而减小; 当2bx a=-时, y 有最大值244ac b a -.:① 一般地, 自变量x 和因变量y 之间存在如下关系: ________________, 则称y 为x 的二次函数.② 二次函数的三种表达式一般式: ____________; 顶点式: ______________; 交点式: ____________.③ 二次函数的图象是一条________, 它是轴对称图形, 对称轴是直线________, 特别地, 当______时, 抛物线的对称轴是y 轴(即直线x ＝0); 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的________________, 其坐标为________________, b ＝0时顶点在________上, ________时, 顶点在x 轴上.④ 二次函数的系数与抛物线(1) 二次项系数a 决定抛物线的__________和__________. 当a ＞0时, 抛物线开口向________, y 有最______值. 当a ＜0时, 抛物线开口向________, y 有最______值. |a |越大, 则抛物线的开口越________.(2) 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置: 当a 与b 同号时(即ab ＞0), 对称轴在y 轴______; 当a 与b 异号时(即ab ＜0), 对称轴在y 轴______. (左同右异) (3) 常数项c 决定抛物线与y 轴的交点, 抛物线与y 轴交于________. (答案: (0, c ) ) ⑤ 抛物线与坐标轴的交点 (1) 抛物线与x 轴的交点:当__________时, 抛物线与x 轴有两个交点; 当__________时, 抛物线与x 轴有一个交点; 当__________时, 抛物线与x 轴没有交点. (2) 抛物线与y 轴的交点坐标是__________.⑥ 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有解x 1, x 2, 则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴有交点, 则交点为____________, 当抛物线与x 轴无交点时, 一元二次方程无实数根.2、已知二次函数y ＝2(x －3)2＋1.下列说法: ①其图象的开口向下; ②其图象的对称轴为直线x ＝－3; ③其图象顶点坐标为(3, －1); ④当x ＜3时, y 随x 的增大而减小. 则其中说法正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3、抛物线y ＝(x ＋2)2－3可以由抛物线y ＝x 2平移得到, 则下列平移过程正确的是( ) A . 先向左平移2个单位, 再向上平移3个单位 B . 先向左平移2个单位, 再向下平移3个单位 C . 先向右平移2个单位, 再向下平移3个单位 D . 先向右平移2个单位, 再向上平移3个单位4、如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4), O(0, 0), B(2, 0)三点. 求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式.5、如图, 点A(－2, 0)、B(4, 0)、C(3, 3)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上, 点D在y轴上, 且DC⊥BC, ∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F.(1) 求抛物线的解析式; (2) CF能否经过抛物线的顶点？若能, 求出此时点E的坐标.y＝x2的图象向下平移1个单位, 则平移后的二次函数的解析式为()A. y＝x2－1B. y＝x2＋1C. y＝(x－1)2D. y＝(x＋1)22、二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是()A. (－1, 8)B. (1, 8)C. (－1, 2)D. (1, －4)3、已知点A(x1, y1)、B(x2, y2)在二次函数y＝(x－1)2＋1的图象上, 若x1＞x2＞1, 则y1________y2(填“＞”、“＝”或“＜”).4、已知下列函数: ①y＝x2; ②y＝－x2; ③y＝(x－1)2＋2.其中, 图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有________(填写所有正确选项的序号).526、抛物线y ＝2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个公共点, 则m 的值为________.7、二次函数y ＝2x 2－4x －1的最小值是___________________.8、二次函数y =x 2－mx +m －2的图象的顶点到x 轴的距离为25/16, 求此二次函数.9、(2014黑龙江绥化) 如图, 抛物线y=﹣x 2+3x+4与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴交于C 点, 点D 在抛物线上且横坐标为3.(1)求tan ∠DBC 的值; (2)点P 为抛物线上一点, 且∠DBP=45°, 求点P 的坐标.)如图,已知抛物线y 1=－2x 2＋2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时, x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2, 取y 1、y 2中的较小值记为M ; 若y 1=y 2, 记M = y 1=y 2.① 当x ＞0时, y 1＞y 2; ② 当x ＜0时, x 值越大, M 值越小;③ 使得M 大于2的x 值不存在; ④ 使得M =1的x 值是-1/2 /2. 其中正确的是( )A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④2、(2013江苏泰州)如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上, 二次函数y =c bx x ++-232的图像经过B 、C 两点.(1) 求该二次函数的解析式; (2) 结合函数的图像探索:当y >0时x 的取值范围.参考答案:①一般地, 自变量x和因变量y之间存在如下关系: ________________, 则称y为x的二次函数. (答案: y＝ax2＋bx＋c(a≠0) )②二次函数的三种表达式一般式: ____________; 顶点式: ______________; 交点式: ____________.(答案: y＝ax2＋bx＋c(a≠0); y＝a(x－h)2＋k(a≠0);y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). )③二次函数的图象是一条________, 它是轴对称图形, 对称轴是直线________, 特别地, 当______时, 抛物线的对称轴是y轴(即直线x＝0); 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的________________, 其坐标为________________, b＝0时顶点在________上, ________时, 顶点在x轴上.(答案: 抛物线; x＝－b2a; b＝0; 顶点; ⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a; y轴; b2－4ac＝0.)④二次函数的系数与抛物线(1) 二次项系数a决定抛物线的__________和__________.当a＞0时, 抛物线开口向________, y有最______值.当a＜0时, 抛物线开口向________, y有最______值.|a|越大, 则抛物线的开口越________.(答案: 开口方向; 开口大小; 上; 小; 下; 大; 小. )(2) 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置: 当a与b同号时(即ab＞0), 对称轴在y轴______; 当a与b异号时(即ab＜0), 对称轴在y轴______. (左同右异)(答案: 左边; 右边. )(3) 常数项c决定抛物线与y轴的交点, 抛物线与y轴交于________. (答案: (0, c) )⑤抛物线与坐标轴的交点(1) 抛物线与x轴的交点:当__________时, 抛物线与x轴有两个交点; (答案: b2－4ac＞0 )当__________时, 抛物线与x轴有一个交点; (答案: b2－4ac＝0)当__________时, 抛物线与x轴没有交点. (答案: b2－4ac＜0 )(2) 抛物线与y轴的交点坐标是__________. (答案: (0, c) )⑥一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有解x1, x2, 则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x 轴有交点, 则交点为____________, 当抛物线与x轴无交点时, 一元二次方程无实数根. (答案: (x1, 0), (x2, 0) )2、已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法: ①其图象的开口向下; ②其图象的对称轴为直线x＝－3; ③其图象顶点坐标为(3, －1); ④当x＜3时, y随x的增大而减小. 则其中说法正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解: 由二次函数解析式可知a＝2＞0, 所以二次函数的图象开口向上, 其图象的对称轴方程是x＝3, 顶点坐标为(3, 1), 且在对称轴的左侧, 即当x＜3时, y随x的增大而减小, 显然①②③均错误, 只有④正确. 故选A.3、抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到, 则下列平移过程正确的是( )A. 先向左平移2个单位, 再向上平移3个单位B. 先向左平移2个单位, 再向下平移3个单位C. 先向右平移2个单位, 再向下平移3个单位D. 先向右平移2个单位, 再向上平移3个单位解: 抛物线y＝x2向左平移2个单位可得到抛物线y＝(x＋2)2, 再向下平移3个单位可得到抛物线y＝(x＋2)2－3. 故选B.4、如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4), O(0, 0), B(2, 0)三点.求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式.解: 把A (－2, －4), O (0, 0), B (2, 0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c , 得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝0.解得a ＝－12, b ＝1, c ＝0. 所以所求抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x .5、如图, 点A (－2, 0)、B (4, 0)、C (3, 3)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上, 点D 在y 轴上, 且DC ⊥BC , ∠BCD 绕点C 顺时针旋转后两边与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F . (1) 求抛物线的解析式;(2) CF 能否经过抛物线的顶点？若能, 求出此时点E 的坐标; 若不能, 说明理由;解: (1) 把(－2, 0), (4, 0), (3, 3)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝4a －2b ＋c ，0＝16a ＋4b ＋c ，3＝9a ＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－35，b ＝65，c ＝245.∴y ＝－35x 2＋65x ＋245. (2) CF 能经过抛物线 的顶点.设此时点E 的坐标为(m , 0), 过点C 、F 的直线为y ＝kx ＋b ,由(1)知抛物线的顶点坐标为(1, 275).∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3k ＋b ，275＝k ＋b ，∴⎩⎨⎧k ＝－65，b ＝335，∴y ＝－65x ＋335.作CM ⊥x 轴,CN ⊥y 轴, 垂足分别为M 、N , 则∠FCE ＝∠NCM ＝90°,∴∠FCN ＝∠ECM .又∵∠FNC ＝∠EMC , CN ＝CM ＝3, ∵△FNC ≌△EMC . ∴FN ＝EM , 即 335－3＝3－m , ∴m ＝－35, 即CF 能经过抛物线的顶点, 此时点E 的坐标为(－35, 0).y ＝x 2的图象向下平移1个单位, 则平移后的二次函数的解析式为( A ) A . y ＝x 2－1 B . y ＝x 2＋1 C . y ＝(x －1)2 D . y ＝(x ＋1)22、二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( A )A . (－1, 8)B . (1, 8)C . (－1, 2)D . (1, －4)3、已知点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)在二次函数y ＝(x －1)2＋1的图象上, 若x 1＞x 2＞1, 则y 1________y 2(填“＞”、“＝”或“＜”). (答案: ＞)4、已知下列函数: ①y ＝x 2; ②y ＝－x 2; ③y ＝(x －1)2＋2.其中, 图象通过平移可以得到函数 y ＝x 2＋2x －3的图象的有________(填写所有正确选项的序号). (答案: ①③)526、抛物线y ＝2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个公共点, 则m 的值为________. (答案: 8)2点D 在抛物线上且横坐标为3.(1)求tan ∠DBC 的值; (2)点P 为抛物线上一点, 且∠DBP=45°, 求点P 的坐标.解: (1)令y=0, 则﹣x 2+3x+4=﹣( x+1)( x ﹣4)=0, 得 x 1=﹣1, x 2=4.∴A(﹣1, 0), B(4, 0). 当x=3时, y=﹣32+3×3+4=4, ∴D(3, 4). 如图, 连接CD, 过点D 作DE ⊥BC 于点E. ∵C( 0, 4), ∴CD ∥AB, ∴∠BCD=∠ABC=45°. 在直角△OBC 中, ∵OC=OB=4, ∴BC=4.在直角△CDE 中, CD=3. ∴CE=ED=2,∴BE=BC ﹣DE=2. ∴tan ∠DBC==3/5;(2) 过点P 作PF ⊥x 轴于点F.∵∠CBF=∠DBP=45°, ∴∠PBF=∠DBC, ∴tan ∠PBF=3/5. 设P( x, ﹣x 2+3x+4), 则=3/5, 解得 x 1=﹣2/5,x 2=4(舍), ∴P(﹣2/5,).)如图,已知抛物线y 1=－2x 2＋2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时, x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2, 取y 1、y 2中的较小值记为M ; 若y 1=y 2, 记M = y 1=y 2.① 当x ＞0时, y 1＞y 2; ② 当x ＜0时, x 值越大, M 值越小;③ 使得M 大于2的x 值不存在; ④ 使得M =1的x 值是-1/2 /2. 其中正确的是( )A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④2、(2013江苏泰州)如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上, 二次函数y =c bx x ++-232的图像经过B 、C 两点. (1) 求该二次函数的解析式; (2) 结合函数的图像探索:当y >0时x 的取值范围.。
初中数学中考一轮复习专题5 二次函数重点、考点知识、方法总结及真题练习
【答案】 【解析】解：（1）把 A（0，﹣1）代入 y1=a（x﹣2）2，得：﹣1=4a，即 a=﹣ ，
∴二次函数解析式为 y1=﹣ （x﹣2）2=﹣ a2+a﹣1；
设直线 AB 解析式为 y=kx+b，
把 A（0，﹣1），B（2，0）代入得：
，
解得：k= ，b=﹣1，
则直线 AB 解析式为 y= x﹣1；
选叏的五点为：顶点、不 y 轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、 不 x 轴的交点 x1 ，0 ， x2 ，0 （若不 x 轴没有交点，则叏两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口斱向，对称轴，顶点，不 x 轴的交点，不 y 轴的交点.
4. 二次函数 y ax2 bx c 的性质
正斱形的面积，∴y=﹣x2+36．
3.抛物线 y=x2﹣2x+3 的顶点坐标是
．
【答案】（1，2）
【解析】解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，
∴抛物线 y=x2﹣2x+3 的顶点坐标是（1，2）．
4.已知抛物线 y=﹣2（x+1）2﹣3，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的叏值范围
D. y=1﹣ x2
【解析】解：把每一个函数式整理为一般形式， A、y=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，是二次函数，故 A 丌符合题意； B、y= （x+1）2= x2+x+ ，是二次函数，故 B 丌符合题意；
C、y=2（x+3）2﹣2x2=12x+18，是一次函数，故 C 符合题意； D、y=1﹣ x2=﹣ x2+1，是二次函数，故 D 丌符合题意． 故选：C．
二次函数讲义附答案
考点一：二次函数的概念（1）一般的，形式如2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数。
例如：,等都是x 的二次函数（2）等号左边是y ，右边是x 的二次多项式，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。
（3）任何一个二次函数的解析式都可以化成2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的形式，因此我们也把这个 2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)叫做二次函数的一般式 注1：二次函数的概念及列函数关系式是中考的必考内容，也是重点考查内容。
二次函数的概念在中考题中一般出现在选择题和填空题中，难度较小，只要把握x 的最高次数是2，0a ≠这两个隐含条件即可。
注2：列二次函数关系式多出现在解答题中，难度适中，而近年的中考中还出现了一些关于二次函数的实际问题，常需要列二次函数关系式，难度较大。
列二次函数关系式时，需考虑自变量取值应使实际问题有意义考查题目1：下列函数,,,,,,中是二次函数的是__________.考点二：二次函数的图像及性质（1） 图像：二次函数的图像是一条抛物线，其对称轴是y 轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点坐标是（0,0）（2） 性质：当a>0时，函数的开口方向向上，在对称轴的左边y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边y 随x 的增大而增大；当a<0时，函数的开口方向向下，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小（3） 抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄，|a|越大，抛物线的开口越大注1：二次函数的图像及其性质是中考的重点考查内容之一，所涉及的内容包括开口，顶点，对称轴，最大（小）值，以及求二次函数的关系式，近几年的中考中常出现利用二次函数的图书图像解决实际问题的题目。
注2：利用函数的增减性进行函数值的大小比较也是重点考查内容之一，此类问题先画出二次函数的草图，在尽享分析，利用了数形结合的思想 考查题目2：已知（2，（-1）两点都在函数的函数图像上，试比较,的大小 考查题目3：已知函数是关于x 的二次函数，求： （1） 满足条件的n 的值（2） n 为何值时，抛物线有最低点，求出最低点的坐标，并求出y 随x 的增大而增大的x的取值范围（3） n 为何值时，抛物线有最高点，求出最高点的左边，并求出y 随x 的增大而增大的x的取值范围考点三：二次函数的图像及其性质（1）二次函数的图像与的图像形状相同，知识位置不同，可以经过适当的平移使之重合，当k>0时，抛物线的图像向上平移k个单位，便得到，当k<0时，抛物线的图像向下平移k个单位，便得到（2）的图像，当a>0时，函数的开口方向向上，对称轴是y轴，最小值是当x=0时，在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大；当a<0时，函数的开口方向向下，对称轴是y轴，最小值是当x=0是取得，在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小注：关于这类型的二次函数在中考中考查常以选择填空出现，考查的是函数的增减性，最值，顶点和求函数的关系式，也可能结合实际问题考查，一般难度不是很大。
中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题含答案
1、二次函数的定义定义：y=ax2 ＋bx ＋c （a 、b 、c是常数， a ≠0）定义重点：①a≠0②最高次数为 2 ③代数式必定是整式练习：1、y=-x2，y=2x2-2/x，y=100-5x2，y=3x2-2x3+5,此中是二次函数的有____个。
m2m2.当m_______时,函数y=(m+1)χ-2χ+1是二次函数？2、二次函数的图像及性质y抛物线极点坐标xy=ax2+bx+c(a>0)4acb2a,4ay0 xy=ax2+bx+c(a<0)b4acb22a,4ab直线x 直线xb对称轴地点张口方向增减性最值2a由a,b和c的符号确立a>0,张口向上在对称轴的左边,y跟着x的增大而减小.在对称轴的右边,y跟着x的增大而增大.当x b 时,y最小值为4acb22 a4a2a由a,b和c的符号确立a<0,张口向下在对称轴的左边,y跟着x的增大而增大.在对称轴的右边,y跟着x的增大而减小.当x b时,y最大值为4acb22a4a例2：已知二次函数y1232x21）求抛物线张口方向，对称轴和极点M 的坐标。
2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。
3）x 为什么值时，y 随的增大而减少，x 为什么值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ 4）x 为什么值时，y<0？x 为什么值时，y>0？3、求抛物线分析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，往常设分析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)2,极点式：已知抛物线极点坐标（h,k ），往常设抛物线分析式为_______________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-h)2+k(a≠0)3,交点式:已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),往常设分析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)练习：依据以下条件，求二次函数的分析式。
九年级数学下册知识讲义-2.3二次函数的解析式(附练习及答案)-北师大版
初中数学二次函数的解析式一、考点突破1. 掌握求二次函数解析式的方法。
2. 能够根据题目要求选择合适的求解析式的方法解决问题。
二、重难点提示重点：求二次函数解析式。
难点：根据问题选择合适的方法，求二次函数解析式。
考点精讲1.二次函数的解析式的四种形式一般式：（）。
顶点式：（）。
其中（，）为顶点，对称轴为。
交点式：（）。
其中，为抛物线与轴交点的横坐标。
对称点式：（）。
其中（，），（，）为图象上两个对称的点。
2.确定二次函数解析式的几种基本思路根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。
用待定系数法求二次函数的解析式，必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。
一般来说，有如下几种情况：①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；②已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；③已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用对称点式。
典例精讲例题1（宝安区一模）如图，已知抛物线l1：y=（x－2）2－2与x轴分别交于O、A 两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数解析式为（）A. y=（x－2）2+4B. y=（x－2）2+3C. y=（x－2）2+2D. y=（x－2）2+1思路分析：根据题意可推知由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；然后再根据抛物线l1的解析式，求得O、A两点的坐标，从而解得OA的长度；最后再由矩形的面积公式，求得AB的长度，即l2是由抛物线l1向上平移多少个单位得到的。
答案：解：连接BC，∵l2是由抛物线l1向上平移得到的，∴由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；∵抛物线l1的解析式是y=（x－2）2－2，∴抛物线l1与x轴分别交于O（0，0）、A（4，0）两点，∴OA=4；∴OA•AB=16，∴AB=4；∴l2是由抛物线l1向上平移4个单位得到的，∴l2的解析式为：y=（x－2）2－2+4，即y=（x－2）2+2，选C。
初中数学二次函数题型精讲(含答案和解析)
初中数学二次函数题型精讲解答题1.（2018•达州•12分）如图.抛物线经过原点O（0.0）.点A（1.1）.点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA.过点A作AC⊥OA交抛物线于C.连接OC.求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点.连接OM.过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M.使以点O.M.N为顶点的三角形与（2）中的△AOC 相似.若存在.求出点M的坐标；若不存在.说明理由．【分析】（1）设交点式y=ax（x﹣）.然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）延长CA交y轴于D.如图1.易得OA=.∠DOA=45°.则可判断△AOD 为等腰直角三角形.所以OD=OA=2.则D（0.2）.利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=﹣x+2.再解方程组得C（5.﹣3）.然后利用三角形面积公式.利用S△AOC=S△COD﹣S△AOD进行计算；（3）如图2.作MH⊥x轴于H.AC=4.OA=.设M（x.﹣x2+x）（x＞0）.根据三角形相似的判定.由于∠OHM=∠OAC.则当=时.△OHM∽△OAC.即=；当=时.△OHM∽△CAO.即=.则分别解关于x的绝对值方程可得到对应M点的坐标.由于△OMH∽△ONM.所以求得的M点能以点O.M.N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣）.把A（1.1）代入得a•1（1﹣）=1.解得a=﹣.∴抛物线解析式为y=﹣x（x﹣）.即y=﹣x2+x；（2）延长CA交y轴于D.如图1.∵A（1.1）.∴OA=.∠DOA=45°.∴△AOD为等腰直角三角形.∵OA⊥AC.∴OD=OA=2.∴D（0.2）.易得直线AD的解析式为y=﹣x+2.解方程组得或.则C（5.﹣3）.∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD=×2×5﹣×2×1=4；（3）存在．如图2.作MH⊥x轴于H.AC==4.OA=.设M（x.﹣x2+x）（x＞0）.∵∠OHM=∠OAC.∴当=时.△OHM∽△OAC.即=.解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去）.x2=﹣（舍去）.解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去）.x2=.此时M点坐标为（.﹣54）；当=时.△OHM∽△CAO.即=.解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去）.x2=.此时M点的坐标为（.）. 解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去）.x2=﹣.此时M点坐标为（.﹣）；∵MN⊥OM.∴∠OMN=90°.∴∠MON=∠HOM.∴△OMH∽△ONM.∴当M点的坐标为（.﹣54）或（.）或（.﹣）时.以点O.M.N 为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式.会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．2.（2018•遂宁•12分）如图.已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3.且与x轴相交于A.B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A.B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B.C两点之间的一个动点（不与B.C重合）.则是否存在一点P.使△PBC的面积最大．若存在.请求出△PBC的最大面积；若不存在.试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点.过点M作y轴的平行线.交直线BC于点N.当MN=3时.求M点的坐标．【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x=3.利用二次函数的性质即可求出a值.进而可得出抛物线的解析式.再利用二次函数图象上点的坐标特征.即可求出点A.B的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B.C的坐标.利用待定系数法即可求出直线BC的解析式.假设存在.设点P的坐标为（x.﹣x2+x+4）.过点P作PD∥y轴.交直线BC于点D.则点D的坐标为（x.﹣x+4）.PD=﹣x2+2x.利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x 的函数关系式.再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）设点M的坐标为（m.﹣m2+m+4）.则点N的坐标为（m.﹣m+4）.进而可得出MN=|﹣m2+2m|.结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程.解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3.∴﹣=3.解得：a=﹣.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．当y=0时.﹣x2+x+4=0.解得：x1=﹣2.x2=8.∴点A的坐标为（﹣2.0）.点B的坐标为（8.0）．（2）当x=0时.y=﹣x2+x+4=4.∴点C的坐标为（0.4）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．将B（8.0）、C（0.4）代入y=kx+b..解得：.∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．假设存在.设点P的坐标为（x.﹣x2+x+4）.过点P作PD∥y轴.交直线BC于点D.则点D的坐标为（x.﹣x+4）.如图所示．∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x.∴S△PBC=PD•OB=×8•（﹣x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16．∵﹣1＜0.∴当x=4时.△PBC的面积最大.最大面积是16．∵0＜x＜8.∴存在点P.使△PBC的面积最大.最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m.﹣m2+m+4）.则点N的坐标为（m.﹣m+4）.∴MN=|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|=|﹣m2+2m|．又∵MN=3.∴|﹣m2+2m|=3．当0＜m＜8时.有﹣m2+2m﹣3=0.解得：m1=2.m2=6.∴点P的坐标为（2.6）或（6.4）；当m＜0或m＞8时.有﹣m2+2m+3=0.解得：m3=4﹣2.m4=4+2.∴点P的坐标为（4﹣2.﹣1）或（4+2.﹣﹣1）．综上所述：M点的坐标为（4﹣2.﹣1）、（2.6）、（6.4）或（4+2.﹣﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积.解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a的值；（2）根据三角形的面积公式找出S△PBC关于x的函数关系式；（3）根据MN的长度.找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．3. （2018•资阳•12分）已知：如图.抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0.6）.B（6.0）.C（﹣2.0）.点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时.△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线.交线段AB于点D.再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E.连结DE.请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在.求出点P的坐标；若不存在.说明理由．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）作PM⊥OB与点M.交AB于点N.作AG⊥PM.先求出直线AB解析式为y=﹣x+6.设P（t.﹣t2+2t+6）.则N（t.﹣t+6）.由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+ PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式.利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO.据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°.结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形.则∠EDP=45°.从而得出点E与点A 重合.求出y=6时x的值即可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6.0）、C（﹣2.0）.∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）.将点A（0.6）代入.得：﹣12a=6.解得：a=﹣.所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如图1.过点P作PM⊥OB与点M.交AB于点N.作AG⊥PM于点G.设直线AB解析式为y=kx+b.将点A（0.6）、B（6.0）代入.得：.解得：.则直线AB解析式为y=﹣x+6.设P（t.﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6.则N（t.﹣t+6）.∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t. ∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•（AG+BM）=PN•OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+.∴当t=3时.△PAB的面积有最大值；（3）如图2.∵PH⊥OB于H.∴∠DHB=∠AOB=90°.∴DH∥AO.∵OA=OB=6.∴∠BDH=∠BAO=45°.∵PE∥x轴、PD⊥x轴.∴∠DPE=90°.若△PDE为等腰直角三角形.则∠EDP=45°.∴∠EDP与∠BDH互为对顶角.即点E与点A重合.则当y=6时.﹣x2+2x+6=6.解得：x=0（舍）或x=4.即点P（4.6）．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题.解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．4. （2018•乌鲁木齐•10分）在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=﹣ x2+bx+c 经过点A（﹣2.0）.B（8.0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点.连接BC.设点P是抛物线上在第一象限内的点.PD⊥BC.垂足为点D．①是否存在点P.使线段PD的长度最大？若存在.请求出点P的坐标；若不存在.请说明理由；②当△PDC与△COA相似时.求点P的坐标．【分析】（1）直接把点A（﹣2.0）.B（8.0）代入抛物线的解析式中列二元一次方程组.解出可得结论；（2）先得直线BC的解析式为：y=﹣ x+4.①如图1.作辅助线.先说明Rt△PDE中.PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB= PE.则当线段PE最长时.PD的长最大.设P（t. ）.则E（t. ）.表示PE的长.配方后可得PE的最大值.从而得PD的最大值；②先根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°.则△COA∽△BOC.所以当△PDC与△COA相似时.就有△PDC与△BOC相似.分两种情况：（I）若∠PCD=∠CBO时.即Rt△PDC∽Rt△COB.（II）若∠PCD=∠BCO时.即Rt△PDC∽Rt△BOC.分别求得P的坐标即可．【解答】解：（1）把A（﹣2.0）.B（8.0）代入抛物线y=﹣ x2+bx+c. 得： .解得： .∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+4；（3分）（2）由（1）知C（0.4）.∵B（8.0）.易得直线BC的解析式为：y=﹣ x+4.①如图1.过P作PG⊥x轴于G.PG交BC于E.Rt△BOC中.OC=4.OB=8.∴BC= =4 .在Rt△PDE中.PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB= PE.∴当线段PE最长时.PD的长最大.设P（t. ）.则E（t. ）.∴PG=﹣ .EG=﹣ t+4.∴PE=PG﹣EG=（﹣）﹣（﹣ t+4）=﹣ t2+2t=﹣（t﹣4）2+4.（0＜t＜8）. 当t=4时.PE有最大值是4.此时P（4.6）.∴PD= = .即当P（4.6）时.PD的长度最大.最大值是；（7分）②∵A（﹣2.0）.B（8.0）.C（0.4）.∴OA=2.OB=8.OC=4.∴AC2=22+42=20.AB2=（2+8）2=100.BC2=42+82=80.∴AC2+BC2=AB2.∴∠ACB=90°.∴△COA∽△BOC.当△PDC与△COA相似时.就有△PDC与△BOC相似.∵相似三角形的对应角相等.∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO.（I）若∠PCD=∠CBO时.即Rt△PDC∽Rt△COB.此时CP∥OB.∵C（0.4）.∴yP=4.∴）=4.解得：x1=6.x2=0（舍）.即Rt△PDC∽Rt△COB时.P（6.4）；（II）若∠PCD=∠BCO时.即Rt△PDC∽Rt△BOC.如图2.过P作x轴的垂线PG.交直线BC于F.∴PF∥OC.∴∠PFC=∠BCO.∴∠PCD=∠PFC.∴PC=PF.设P（n. + n+4）.则PF=﹣ +2n.过P作PN⊥y轴于N.Rt△PNC中.PC2=PN2+CN2=PF2.∴n2+（ + n+4﹣4）2=（﹣ +2n）2.解得：n=3.即Rt△PDC∽Rt△BOC时.P（3. ）；综上所述.当△PDC与△COA相似时.点P的坐标为（6.4）或（3. ）．（12分）【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、勾股定理的逆定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.学会根据方程解决问题.属于中考压轴题．5. （2018•达州•7分）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中.因此.越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时.以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号自行车的进价不变.按（1）中的标价出售.该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元.每月可多售出3辆.求该型号自行车降价多少元时.每月获利最大？最大利润是多少？【分析】（1）设进价为x元.则标价是1.5x元.根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车8辆的利润是1.5x×0.9×8﹣8x.将标价直降100元销售7辆获利是（1.5x﹣100）×7﹣7x.根据利润相等可得方程1.5x×0.9×8﹣8x=（1.5x﹣100）×7﹣7x.再解方程即可得到进价.进而得到标价；（2）设该型号自行车降价a元.利润为w元.利用销售量×每辆自行车的利润=总利润列出函数关系式.再利用配方法求最值即可．【解答】解：（1）设进价为x元.则标价是1.5x元.由题意得：1.5x×0.9×8﹣8x=（1.5x﹣100）×7﹣7x.解得：x=1000.1.5×1000=1500（元）.答：进价为1000元.标价为1500元；（2）设该型号自行车降价a元.利润为w元.由题意得：w=（51+×3）（1500﹣1000﹣a）.=﹣（a﹣80）2+26460.∵﹣＜0.∴当a=80时.w最大=26460.答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大.最大利润是26460元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用.以及元一次方程的应用.关键是正确理解题意.根据已知得出w与a的关系式.进而求出最值．6.（2018•上海•12分）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1.0）和点B（0.）.顶点为C.点D在其对称轴上且位于点C下方.将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°.点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移.使其顶点C移到原点O的位置.这时点P落在点E的位置.如果点M在y轴上.且以O、D.E.M为顶点的四边形面积为8.求点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣（x﹣2）2+.则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2.如图.设CD=t.则D（2.﹣t）.根据旋转性质得∠PDC=90°.DP=DC=t.则P（2+t.﹣t）.然后把P（2+t.﹣t）代入y=﹣x2+2x+得到关于t的方程.从而解方程可得到CD的长；（3）P点坐标为（4.）.D点坐标为（2.）.利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2.﹣2）.设M（0.m）.当m＞0时.利用梯形面积公式得到•（m++2）•2=8当m＜0时.利用梯形面积公式得到•（﹣m++2）•2=8.然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1.0）和点B（0.）代入y=﹣x2+bx+c得.解得.∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+；（2）∵y=﹣（x﹣2）2+.∴C（2.）.抛物线的对称轴为直线x=2.如图.设CD=t.则D（2.﹣t）.∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°.点C落在抛物线上的点P处.∴∠PDC=90°.DP=DC=t.∴P（2+t.﹣t）.把P（2+t.﹣t）代入y=﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t. 整理得t2﹣2t=0.解得t1=0（舍去）.t2=2.∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4.）.D点坐标为（2.）.∵抛物线平移.使其顶点C（2.）移到原点O的位置.∴抛物线向左平移2个单位.向下平移个单位.而P点（4.）向左平移2个单位.向下平移个单位得到点E.∴E点坐标为（2.﹣2）.设M（0.m）.当m＞0时.•（m++2）•2=8.解得m=.此时M点坐标为（0.）；当m＜0时.•（﹣m++2）•2=8.解得m=﹣.此时M点坐标为（0.﹣）；综上所述.M点的坐标为（0.）或（0.﹣）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．7.（2018•达州•12分）如图.抛物线经过原点O（0.0）.点A（1.1）.点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA.过点A作AC⊥OA交抛物线于C.连接OC.求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点.连接OM.过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M.使以点O.M.N为顶点的三角形与（2）中的△AOC 相似.若存在.求出点M的坐标；若不存在.说明理由．【分析】（1）设交点式y=ax（x﹣）.然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）延长CA交y轴于D.如图1.易得OA=.∠DOA=45°.则可判断△AOD 为等腰直角三角形.所以OD=OA=2.则D（0.2）.利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=﹣x+2.再解方程组得C（5.﹣3）.然后利用三角形面积公式.利用S△AOC=S△COD﹣S△AOD进行计算；（3）如图2.作MH⊥x轴于H.AC=4.OA=.设M（x.﹣x2+x）（x＞0）.根据三角形相似的判定.由于∠OHM=∠OAC.则当=时.△OHM∽△OAC.即=；当=时.△OHM∽△CAO.即=.则分别解关于x的绝对值方程可得到对应M点的坐标.由于△OMH∽△ONM.所以求得的M点能以点O.M.N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣）.把A（1.1）代入得a•1（1﹣）=1.解得a=﹣.∴抛物线解析式为y=﹣x（x﹣）.即y=﹣x2+x；（2）延长CA交y轴于D.如图1.∵A（1.1）.∴OA=.∠DOA=45°.∴△AOD为等腰直角三角形.∵OA⊥AC.∴OD=OA=2.∴D（0.2）.易得直线AD的解析式为y=﹣x+2.解方程组得或.则C（5.﹣3）.∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD=×2×5﹣×2×1=4；（3）存在．如图2.作MH⊥x轴于H.AC==4.OA=.设M（x.﹣x2+x）（x＞0）.∵∠OHM=∠OAC.∴当=时.△OHM∽△OAC.即=.解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去）.x2=﹣（舍去）.解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去）.x2=.此时M点坐标为（.﹣54）；当=时.△OHM∽△CAO.即=.解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去）.x2=.此时M点的坐标为（.）. 解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去）.x2=﹣.此时M点坐标为（.﹣）；∵MN⊥OM.∴∠OMN=90°.∴∠MON=∠HOM.∴△OMH∽△ONM.∴当M点的坐标为（.﹣54）或（.）或（.﹣）时.以点O.M.N 为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式.会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．7. （2018•遂宁•12分）如图.已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3.且与x轴相交于A.B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A.B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B.C两点之间的一个动点（不与B.C重合）.则是否存在一点P.使△PBC的面积最大．若存在.请求出△PBC的最大面积；若不存在.试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点.过点M作y轴的平行线.交直线BC于点N.当MN=3时.求M点的坐标．【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x=3.利用二次函数的性质即可求出a值.进而可得出抛物线的解析式.再利用二次函数图象上点的坐标特征.即可求出点A.B的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B.C的坐标.利用待定系数法即可求出直线BC的解析式.假设存在.设点P的坐标为（x.﹣x2+x+4）.过点P作PD∥y轴.交直线BC于点D.则点D的坐标为（x.﹣x+4）.PD=﹣x2+2x.利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x 的函数关系式.再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）设点M的坐标为（m.﹣m2+m+4）.则点N的坐标为（m.﹣m+4）.进而可得出MN=|﹣m2+2m|.结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程.解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3.∴﹣=3.解得：a=﹣.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．当y=0时.﹣x2+x+4=0.解得：x1=﹣2.x2=8.∴点A的坐标为（﹣2.0）.点B的坐标为（8.0）．（2）当x=0时.y=﹣x2+x+4=4.∴点C的坐标为（0.4）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．将B（8.0）、C（0.4）代入y=kx+b..解得：.∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．假设存在.设点P的坐标为（x.﹣x2+x+4）.过点P作PD∥y轴.交直线BC于点D.则点D的坐标为（x.﹣x+4）.如图所示．∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x.∴S△PBC=PD•OB=×8•（﹣x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16．∵﹣1＜0.∴当x=4时.△PBC的面积最大.最大面积是16．∵0＜x＜8.∴存在点P.使△PBC的面积最大.最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m.﹣m2+m+4）.则点N的坐标为（m.﹣m+4）. ∴MN=|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|=|﹣m2+2m|．又∵MN=3.∴|﹣m2+2m|=3．当0＜m＜8时.有﹣m2+2m﹣3=0.解得：m1=2.m2=6.∴点P的坐标为（2.6）或（6.4）；当m＜0或m＞8时.有﹣m2+2m+3=0.解得：m3=4﹣2.m4=4+2.∴点P的坐标为（4﹣2.﹣1）或（4+2.﹣﹣1）．综上所述：M点的坐标为（4﹣2.﹣1）、（2.6）、（6.4）或（4+2.﹣﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积.解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a的值；（2）根据三角形的面积公式找出S△PBC关于x的函数关系式；（3）根据MN的长度.找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．8.（2018•资阳•12分）已知：如图.抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0.6）.B（6.0）.C（﹣2.0）.点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时.△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线.交线段AB于点D.再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E.连结DE.请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在.求出点P的坐标；若不存在.说明理由．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）作PM⊥OB与点M.交AB于点N.作AG⊥PM.先求出直线AB解析式为y=﹣x+6.设P（t.﹣t2+2t+6）.则N（t.﹣t+6）.由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+ PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式.利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO.据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°.结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形.则∠EDP=45°.从而得出点E与点A 重合.求出y=6时x的值即可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6.0）、C（﹣2.0）.∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）.将点A（0.6）代入.得：﹣12a=6.解得：a=﹣.所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如图1.过点P作PM⊥OB与点M.交AB于点N.作AG⊥PM于点G.设直线AB解析式为y=kx+b.将点A（0.6）、B（6.0）代入.得：.解得：.则直线AB解析式为y=﹣x+6.设P（t.﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6.则N（t.﹣t+6）.∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t. ∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•（AG+BM）=PN•OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+.∴当t=3时.△PAB的面积有最大值；（3）如图2.∵PH⊥OB于H.∴∠DHB=∠AOB=90°.∴DH∥AO.∵OA=OB=6.∴∠BDH=∠BAO=45°.∵PE∥x轴、PD⊥x轴.∴∠DPE=90°.若△PDE为等腰直角三角形.则∠EDP=45°.∴∠EDP与∠BDH互为对顶角.即点E与点A重合.则当y=6时.﹣x2+2x+6=6.解得：x=0（舍）或x=4.即点P（4.6）．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题.解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．9.（2018•乌鲁木齐•10分）在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=﹣ x2+bx+c 经过点A（﹣2.0）.B（8.0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点.连接BC.设点P是抛物线上在第一象限内的点.PD⊥BC.垂足为点D．①是否存在点P.使线段PD的长度最大？若存在.请求出点P的坐标；若不存在.请说明理由；②当△PDC与△COA相似时.求点P的坐标．【分析】（1）直接把点A（﹣2.0）.B（8.0）代入抛物线的解析式中列二元一次方程组.解出可得结论；（2）先得直线BC的解析式为：y=﹣ x+4.①如图1.作辅助线.先说明Rt△PDE中.PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB= PE.则当线段PE最长时.PD的长最大.设P（t. ）.则E（t. ）.表示PE的长.配方后可得PE的最大值.从而得PD的最大值；②先根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°.则△COA∽△BOC.所以当△PDC与△COA相似时.就有△PDC与△BOC相似.分两种情况：（I）若∠PCD=∠CBO时.即Rt△PDC∽Rt△COB.（II）若∠PCD=∠BCO时.即Rt△PDC∽Rt△BOC.分别求得P的坐标即可．【解答】解：（1）把A（﹣2.0）.B（8.0）代入抛物线y=﹣ x2+bx+c. 得： .解得： .∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+4；（3分）（2）由（1）知C（0.4）.∵B（8.0）.易得直线BC的解析式为：y=﹣ x+4.①如图1.过P作PG⊥x轴于G.PG交BC于E.Rt△BOC中.OC=4.OB=8.∴BC= =4 .在Rt△PDE中.PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB= PE.∴当线段PE最长时.PD的长最大.设P（t. ）.则E（t. ）.∴PG=﹣ .EG=﹣ t+4.∴PE=PG﹣EG=（﹣）﹣（﹣ t+4）=﹣ t2+2t=﹣（t﹣4）2+4.（0＜t＜8）. 当t=4时.PE有最大值是4.此时P（4.6）.∴PD= = .即当P（4.6）时.PD的长度最大.最大值是；（7分）②∵A（﹣2.0）.B（8.0）.C（0.4）.∴OA=2.OB=8.OC=4.∴AC2=22+42=20.AB2=（2+8）2=100.BC2=42+82=80.∴AC2+BC2=AB2.∴∠ACB=90°.∴△COA∽△BOC.当△PDC与△COA相似时.就有△PDC与△BOC相似.∵相似三角形的对应角相等.∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO.（I）若∠PCD=∠CBO时.即Rt△PDC∽Rt△COB.此时CP∥OB.∵C（0.4）.∴yP=4.∴）=4.解得：x1=6.x2=0（舍）.即Rt△PDC∽Rt△COB时.P（6.4）；（II）若∠PCD=∠BCO时.即Rt△PDC∽Rt△BOC.如图2.过P作x轴的垂线PG.交直线BC于F.∴PF∥OC.∴∠PFC=∠BCO.∴∠PCD=∠PFC.∴PC=PF.设P（n. + n+4）.则PF=﹣ +2n.过P作PN⊥y轴于N.Rt△PNC中.PC2=PN2+CN2=PF2.∴n2+（ + n+4﹣4）2=（﹣ +2n）2.解得：n=3.即Rt△PDC∽Rt△BOC时.P（3. ）；综上所述.当△PDC与△COA相似时.点P的坐标为（6.4）或（3. ）．（12分）【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、勾股定理的逆定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.学会根据方程解决问题.属于中考压轴题．10. （2018•临安•8分）如图.△OAB是边长为2+的等边三角形.其中O 是坐标原点.顶点B在y轴正方向上.将△OAB折叠.使点A落在边OB上.记为A′.折痕为EF．（1）当A′E∥x轴时.求点A′和E的坐标；（2）当A′E∥x轴.且抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A′和E时.求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动.但不与点O、B重合时.能否使△A′EF成为直角三角形？若能.请求出此时点A′的坐标；若不能.请你说明理由．【分析】（1）当A′E∥x轴时.△A′EO是直角三角形.可根据∠A′OE的度数用O′A表示出OE和A′E.由于A′E=AE.且A′E+OE=OA=2+.由此可求出OA′的长.也就能求出A′E的长．据此可求出A′和E的坐标；（2）将A′.E点的坐标代入抛物线中.即可求出其解析式．进而可求出抛物线与x轴的交点坐标；（3）根据折叠的性质可知：∠FA′E=∠A.因此∠FA′E不可能为直角.因此要使△A′EF成为直角三角形只有两种可能：①∠A′EF=90°.根据折叠的性质.∠A′EF=∠AEF=90°.此时A′与O重合.与题意不符.因此此种情况不成立．②∠A′FE=90°.同①.可得出此种情况也不成立．因此A′不与O、B重合的情况下.△A′EF不可能成为直角三角形．【解答】解：（1）由已知可得∠A′OE=60°.A′E=AE.由A′E∥x轴.得△OA′E是直角三角形.设A′的坐标为（0.b）.AE=A′E=b.OE=2b.b+2b=2+.所以b=1.A′、E的坐标分别是（0.1）与（.1）．（2）因为A′、E在抛物线上.所以.所以.函数关系式为y=﹣x2+x+1.由﹣x2+x+1=0.得x1=﹣.x2=2.与x轴的两个交点坐标分别是（.0）与（.0）．（3）不可能使△A′EF成为直角三角形．∵∠FA′E=∠FAE=60°.若△A′EF成为直角三角形.只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°若∠A′EF=90°.利用对称性.则∠AEF=90°.A.E.A三点共线.O与A重合.与已知矛盾；同理若∠A′FE=90°也不可能.所以不能使△A′EF成为直角三角形．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、直角三角形的判定和性质等知识点.综合性较强．。
初中数学 函数模块3-4 二次函数讲义(含答案解析)
二次函数题型练题型一：二次函数的定义1.二次函数的概念：一般地，形如²y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b ，c 可以为零，二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数²y ax bx c =++的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2（2）a ，b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．①二次函数的识别例1.1下列函数中，是二次函数的是（）A .261y x =+B .61y x =+C .8y x =D .281y x=-+【详解】解：A ．是二次函数，故本选项符合题意；B ．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；C ．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；D ．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A ．变式1.11.下列各式中，y 是x 的二次函数的是（）A.31y x =-B.21y x =C.231y x x =+- D.212y x x=+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的定义：形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数求解可得．【详解】解：A 、y =3x -1是一次函数，不符合题意；B 、21y x =中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；C 、y =3x 2+x -1是二次函数，符合题意；D 、212y x x=+中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．②根据二次函数的定义求参数例1.2如果函数22(2)27my m x x -=-+-是二次函数，则m 的取值范围是（）A .2m =±B .2m =C .2m =-D .m 为全体实数【详解】解：由题意得：20m -≠，222m -=，解得：2m =-，故选：C ．变式1.22.已知函数y ＝（2﹣k ）x 2+kx +1是二次函数，则k 满足__．【答案】k ≠2【解析】【分析】利用二次函数定义可得2﹣k ≠0，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：2﹣k ≠0，解得：k ≠2，故答案为：k ≠2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．题型二：二次函数表达式的图像和性质①2y ax =方的图像和性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0,0y 轴0x >时，y 随着x 的增大而增大；0x <时，y 随着x的增大而减小；0x =时，y 有最小值00a <向下()0,0y 轴0x >时，y 随着x 的增大而减小；0x <时，y 随着x的增大而增大；0x =时，y 有最大值0例2.1抛物线22y x =-的对称轴是（）A .直线12x =B .直线12x =-C .直线0x =D .直线0y =【详解】解：对称轴为y 轴，即直线0x =．故选C ．变式2.13.抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的共同性质是（）A.开口向上B.对称轴是y 轴C.都有最高点D.y 随x 的增大而增大【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质解题．【详解】抛物线y ＝2x 2，y ＝12x 2开口向上，对称轴是对称轴是y 轴，有最低点，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而增大，y ＝－2x 2，开口向下，对称轴是对称轴是y 轴，有最高点，在y 轴的左侧，y 随x 的增大而增大，故抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的共同性质是对称轴是y 轴，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．②2y ax c =+方的图像和性质a 的符开口顶点坐对称性质号方向标轴a >向上()0,c y 轴0x >时，y 随着x 的增大而增大；0x <时，y 随着x的增大而减小；0x =时，y 有最小值c0a <向下()0,c y 轴0x >时，y 随着x 的增大而减小；0x <时，y 随着x的增大而增大；0x =时，y 有最大值c例2.24.将抛物线y ＝x 2＋3向右平移2个单位后，所得抛物线顶点是_______________．【答案】(2，3)【解析】【分析】根据题目给出的二次函数顶点式，以及“左加右减”的平移原则写出平移后的顶点式，再写出对应的顶点坐标．【详解】解：根据“左加右减”的平移原则，向右平移两个单位，平移后解析式应该是2(2)3y x =-+，∴顶点坐标是()2,3．故答案是：()2,3．【点睛】本题考查二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数平移的方法．【详解】解：根据“左加右减”的平移原则，向右平移两个单位，平移后解析式应该是2(2)3y x =-+，∴顶点坐标是()2,3．故答案是：()2,3．变式2.25.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：222111,2,2222y x y x y x ==+=-．【答案】见解析【解析】【分析】利用描点法可画出这三个函数的图象．【详解】解：列表：描点：见表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的线连接，如图所示：【点睛】本题主要考查二次函数图象的画法，掌握基本的描点法作函数图象是解题的关键．③顶点式()2y a x h k =-+的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上(),h k 直线x h=x h >时，y 随着x 的增大而增大；x h <时，y 随着x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k0a <向下(),h k 直线x h >时，y 随着x 的增大而减小；x h <时，y 随x h =着x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k例2.3若二次函数2()1y x m =--．当3x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A .3m =B .3m >C .3m ≥D .3m ≤【详解】解：由题知二次函数对称轴为x m =，开口向上，根据二次函数图像的性质：只需满足3x m ≤≤即可满足题意，故选C ．变式2.36.已知点P （m ，n ）在抛物线y ＝a （x ﹣5）2+9（a ≠0）上，当3＜m ＜4时，总有n ＞1，当7＜m ＜8时，总有n ＜1，则a 的值为（）A.1B.﹣1C.2D.﹣2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的解析式可以确定抛物线的顶点和增减性，再根据已知条件确定a 的符号和关于a 的不等式，从而得到a 的值．【详解】解：∵抛物线y ＝a （x ﹣5）2+9（a ≠0），∴抛物线的顶点为（5，9），∵当7＜m ＜8时，总有n ＜1，∴a 不可能大于0，则a ＜0，∴x ＜5时，y 随x 的增大而增大，x ＞5时，y 随x 的增大而减小，∵当3＜m ＜4时，总有n ＞1，当7＜m ＜8时，总有n ＜1，且x ＝3与x ＝7对称，∴m ＝3时，n≥1，m ＝7时，n≤1，∴491491a a +≥⎧⎨+≤⎩,∴4a+9＝1，∴a ＝﹣2，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、增减性及其与图象的关系是解题关键．④一般式2y ax bx c=++a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线2bx a=-2bx a >-时，y 随着x 的增大而增大；2b x a <-时，y 随着x 的增大而减小；2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -0a <向下24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线2bx a=-2bx a>-时，y 随着x 的增大而增大；0x <时，y 随着x 的增大而增大；2b x a=-时，y 有最小值244ac b a -例2.4若()1–3.5,A y 、()2–1,B y 、()31,C y 为二次函数2––45y x x =+的图象上三点，则123,,y y y 的大小关系是__________．（用＞连接）【详解】对称轴为直线4222(1)b x a -==-=⨯-，∵–10a =<，∴当–2x <时，y 随x 的增大而增大，当–2x >时，y 随x 的增大而减小，∵2( 3.5)2 3.5 1.5,1(2)121,1(2)123---=-+=---=-+=--=+=，∴213y y y >>．故答案为：213y y y >>．变式2.47.某同学利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：序号①②③④⑤x 01234y3﹣23经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你找出错误的那组数据_____．（只填序号）【答案】③．【解析】【分析】由图表的信息知：第一、二、四、五个点的坐标都关于x=2对称，所以错误的一组数据应该是（2，-2）；可选取其他四组数据中的任意三组，用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】解：选取（0，3）、（1，0）、（3，0）；设抛物线的解析式为y=a （x-1）（x-3），则有：a （0-1）（0-3）=3，a=1；∴y=（x-1）（x-3）=x 2-4x+3．当x ＝2时，y ＝22﹣4×2+3＝﹣1≠﹣2，所以③数据计算错误．故答案为：③．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，能够正确的判断出错误的一组数据是解答此题的关键．⑤一般式与顶点式的转换将一般式进行配方变形得到224y 24b ac b a x a a -⎛⎫=±+⎪⎝⎭可以根据上述公式，实现二次函数的一般式与顶点式之间的转换．例2.5对于抛物线243y x x =-+．（1）将抛物线的一般式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x……y ……（3）结合图象，当03x <<时，求出y 的取值范围．【详解】（1）()222434443(2)1y x x x x x =-+=-+-+=--．∴抛物线的顶点式为2(2)1y x =--．（2）x (012)34…y…31-03…函数图象如图所示：（3）根据函数图象可知，当03x <<时，y 的取值范围是13y -≤<．变式2.58.将抛物线223y x x =--变成顶点式为________．【答案】()214y x =--【解析】【分析】由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】解：223y x x =--2214x x =-+-()214x =--．故答案为：()214y x =--．【点睛】本题主要考查的是二次函数的顶点式，正确配方是解题的关键．⑥二次函数图象的平移例2.6将抛物线2y x =向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，它的解析式为（）A .2(1)3y x =++B .2(1)3y x =-+C .2(1)3y x =+-D .2(1)3y x =--【详解】解：将抛物线2y x =图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象解析式为2(1)3y x =-+故选择：B ．变式2.69.把抛物线y=-2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A.()2y 211x =-++ B.()2y 211x =--+C.()2y 211x =--- D.()2y 211x =-+-【答案】B【解析】【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【详解】抛物线22y x =-向上平移1个单位，可得221y x =-+，再向右平移1个单位得到的抛物线是()2211y x =--+．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．题型三：各项系数与函数图像的关系a 决定二次函数图象的开口方向，a ，b 决定对称轴的位置，（左同右异，即a 与b 同号，则对称轴在y 轴左侧，反之在y 轴右侧）c 决定抛物线与y 轴交点的位置．例3已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：①0,0b c <>；②0a b c ++<；③方程的两根之和大于0；④0a b c -+<，其中正确的个数是（）A .4个B .3个C .2个D .1个【详解】试题分析：∵抛物线开口向下，∴0a <，∵抛物线对称轴0x >，且抛物线与y 轴交于正半轴，∴0,0b c >>，故①错误；由图象知，当1x =时，0y <，即0a b c ++<，故②正确，令方程20ax bx c ++=的两根为1x 、2x ，由对称轴0x >，可知1202x x +>，即120x x +>，故③正确；由可知抛物线与x 轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：10x -<<，∴当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确．故选B ．变式310.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac<b 2，③2a+b=0，④a －b+c>2，其中正确的结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【详解】①∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x ==﹣1，∴b =2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＞0，所以①正确；②∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，∴4ac <b 2，所以②正确；③∵b =2a ，∴2a ﹣b =0，所以③错误；④∵x =﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b +c ＞2，所以④正确．故选C ．视频题型四：待定系数法求二次函数解析式一般用待定系数法求解二次函数的解析式，再求解过程中需要注意其使用的形式，1.已知抛物线上的三点坐标，一般用一般式求解析式2.已知抛物线顶点或对称轴或最值，一般用顶点式进行求解，3.已知抛物线与x 轴的交点横坐标，一般用交点式进行求解，4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，一般用顶点式进行求解．例4已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过(1,0),(0,5)-两点，则这个二次函数的解析式为_______．【详解】解：把()1,0、()0,5代入2y x bx c =-++，得105b c c --+=⎧⎨=⎩，解得45b c =⎧⎨=⎩，所以二次函数的解析式为245y x x =-++．故答案为：245y x x =-++．变式411.若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，则这个二次函数的解析式为________________．【答案】223y x x =+-．【解析】【分析】设出二次函数的解析式为2y ax bx c =++，将三点坐标代入二次函数解析式求出a ，b ，c 的值，即可确定出解析式．【详解】设二次函数的解析式为2y ax bx c =++，将（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点代入解析式得：93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．则二次函数解析式为223y x x =+-．故答案为：223y x x =+-．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．题型五：二次函数与一元二次方程1.一元二次方程20ax bx c ++=，是二次函数2y ax bx c =++当0y =，即与x 轴相交的特殊情况2.二次函数与x 轴的交点个数当0∆>是，抛物线与x 轴有两个交点；当0∆=是，抛物线与x 轴有一个交点；当∆<0是，抛物线与x 轴没有交点；①抛物线与X 轴Y 轴的交点问题例5.1抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为（）A .()3,0B .()0,3C .D .【详解】当0x =时，3y =，则抛物线23y x =+与y 轴交点的坐标为()0,3，故选B ．变式5.112.抛物线y ＝2x 2﹣2x 与x 轴的交点坐标为___．【答案】（0，0），（1，0）．【解析】【分析】解方程2x 2﹣2x ＝0，即可求出抛物线与x 轴的交点坐标.【详解】当y ＝0时，2x 2﹣2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0），（1，0）．故答案为（0，0），（1，0）．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标与一元二次方程解的关系，二次函数与x 轴的交点横坐标是ax 2+bx +c =0时方程的解，纵坐标是y =0.②根据二次函数图象确定相应方程根的情况例5.2已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则关于x 的方程240ax bx c ++-=的根的情况是（）A .有两个相等的实数根B .有两个异号的实数根C .有两个不相等的实数根D .没有实数根【详解】∵函数的顶点的纵坐标为4，∴直线4y =与抛物线只有一个交点，∴方程240ax bx c ++-=有两个相等的实数根，故选A ．变式5.213.如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的解为______．【答案】12x =-，21x =【解析】【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，于是易得关于x 的方程ax 2-bx-c=0的解．【详解】解：∵抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，∴方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，即关于x 的方程20ax bx c --=的解为12x =-，21x =．故答案为x 1=-2，x 2=1．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，对称轴直线x=-2b a ．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．③用图象求一元二次方程的近似根例5.3如表是一组二次函数23y x x =--的自变量和函数值的关系，那么方程230x x --=的一个近似根是（）x1234y 3-1-39A ．1.2B .2.3C .3.4D .4.5【解析】【分析】根据二次函数的图象特征解答．【详解】解：观察表格得：方程230x x --=的一个近似根在2和3之间，故选：B ．变式5.3.114.如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（）．A.23x << B.34x << C.45x << D.56x <<【答案】C【解析】【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴1x =，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．【详解】∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴为1x =，而对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围是32x -<<-，∴右侧交点横坐标的取值范围是45x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．变式5.3.215.若m 、n （n ＜m ）是关于x 的一元二次方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两个根，且b ＜a ，则m ，n ，b ，a 的大小关系是（）A.m＜a＜b＜nB.a＜m＜n＜bC.b＜n＜m＜aD.n＜b＜a＜m【答案】D【解析】【详解】试题分析：如图抛物线y=（x ﹣a ）（x ﹣b ）与x 轴交于点（a ，0），（b ，0），抛物线与直线y=1的交点为（n ，1），（m ，1），由图象可知，n ＜b ＜a ＜m ．故选D ．考点：抛物线与x 轴的交点．③利用图象求不等式的取值范围例5.3如图是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分．当0y <时，自变量x 的范围是___【详解】解：∵由函数图象可知，函数图象与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，对称轴为直线2x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()5,0，∴当0y <时，15x -<<．故答案为：15x -<<．变式5.316.二次函数2y x bx c =-++的部分图象如图所示，由图象可知，方程20x bx c -++=的解为___________________；不等式20x bx c -++<的解集为___________________．【答案】①.11x =-，25x =②.1x <-或5x >【解析】【分析】根据抛物线的对称轴和抛物线与x 轴一个交点求出另一个交点，再通过二次函数与方程的两根，二次函数与不等式解集的关系求得答案．【详解】∵抛物线的对称轴为2x =，抛物线与x 轴一个交点为（5，0）∴抛物线与x 轴另一个交点为（-1，0）∴方程20x bx c -++=的解为：11x =-，25x =由图像可知，不等式20x bx c -++<的解集为：1x <-或5x >．故答案为：11x =-，25x =；1x <-或5x >．【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，掌握二次函数与方程的两根，二次函数与不等式的解集关系，是解决问题的关键．④求x 轴与抛物线的截线长例5.4已知二次函数24y x x m =-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，且点A 的坐标为()1,0，则线段AB 的长为（）A .1B .2C .3D .4【详解】将点()1,0A 代入24y x x m =-+，得到3m =，所以243y x x =-+，与x 轴交于两点，设()()1122,,,A x y b x y ∴2430x x -+=有两个不等的实数根，∴12124,3x x x x +=⋅=，∴122AB x x =-==；故选B ．变式5.417.已知方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1，则抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点间距离为_________．【答案】72【解析】【详解】试题分析：根据一元二次方程与二次函数的关系可知抛物线与x 轴两交点的横坐标，再根据距离公式即可得出答案.解：∵方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1，∴抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点的横坐标分别为52，﹣1，∴两个交点间距离为57(1)22--=.故答案为72.题型六：实际问题与二次函数①图形问题例6.1如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（由两个小矩形花圃组成）．设花圃的一边AB 为m x ，面积为2m S ．（1）求S 与x 之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）．（2）如果要围成面积为245m 的花圃，那么AB 的长是多少米？（3）能围成面积比245m 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【详解】解：（1）∵024310x <-≤，∴1483x ≤<∴()21424332483S x x x x x ⎛⎫=-=-+≤< ⎪⎝⎭．（2）当45S =时，有232445x x -+=．解得123,5x x ==．∵1483x ≤<，∴5x =，即AB 的长为5m ．（3）能围成面积比245m 更大的花圃．∵()223243448S x x x =-+=--+，其函数图象开口向下，对称轴为直线4x =，当4x >时，y 随x 的增大而减小，∴在1483x ≤<的范围内，当143x =时，S 取得最大值，1403S =最大值．即最大面积为2140m 3，此时14m,10m 3AB BC ==．变式6.1设等边三角形的边长为()0x x >，面积为y ，则y 与x 的函数关系式是（）A .212y x =B .214y x =C .22y x =D .24y x =【详解】解：作出BC 边上的高AD ．∵ABC 是等边三角形，边长为x ，∴12CD x =，∴高为2=h x ，∴2124y x h x =⨯=．故选：D ．②图形运动问题例6.2如图，矩形ABCD 中，6cm,3cm AB BC ==，动点P 从A 点出发以1cm /秒向终点B 运动，动点Q 同时从A 点出发以2cm /秒按A D C B →→→的方向在边,,AD DC CB 上运动，设运动时间为x （秒），那么APQ 的面积()2cmy 随着时间x （秒）变化的函数图象大致为（）A .B .C .D .【详解】根据题意可知：,2AP x AQ x ==，①当点Q 在AD 上运动时，211222y AP AQ x x x =⋅⋅=⋅=，为开口向上的二次函数；②当点Q 在DC 上运动时，1133222y AP DA x x =⋅=⨯=，为一次函数；③当点Q 在BC 上运动时，211(122)622y AP BQ x x x x =⋅⋅=⋅⋅-=-+，为开口向下的二次函数．结合图象可知A 选项函数关系图正确．故选：A ．变式6.218.如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，12BC cm =，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，分别到达B ，C 两点就停止运动，则△PQB 的面积最大时，所用时间为（）A.2sB.3sC.4sD.5s【答案】B【解析】【分析】表示出PB ，BQ 的长，根据三角形面积公式列出函数关系式，然后配方求解即可.【详解】解：由题意得：AP=tcm ，则PB=(6-t)cm ，BQ=2tcm ，故S △PQB =221(6)26(3)92t t t t t ??-+=--+，∴当t=3s 时，△PQB 的面积最大，故选B.【点睛】本题考查的是二次函数的应用，根据题意表示出三角形的两直角边长是根本，得出面积并配方找最大值是关键．③拱桥问题例6.3如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．【详解】抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图．（仅举两例）①如图1建立坐标系，∵顶点在原点，∴设函数解析式为2y ax =，∵图像过()20,6，∴2620a =⨯，解得：3200a =-，∴抛物线的表达式为23200y x =-．②如图2建立坐标系，∵图像相当于图1的图像向上平移6，∴抛物线的表达式为236200y x =-+．故正确，抛物线表达式为23200y x =-或236200y x =-+．变式6.319.如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过______m.【答案】1.2【解析】【详解】以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，设水平面与拱桥的交点为A（-2，0），B（2，0），C（0，2），利用待定系数法设函数的解析式为y=a（x+2）（x-2）代入点C坐标，求得a=-12，即抛物线的解析式为y=-12（x+2）（x-2），令x=1，解得y=1.5，船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.故答案为：1.2.④销售问题例6.4我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价时200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低5元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）求出月销售量y （单位：台）与售价x （单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当售价x 定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w （单位：元）最大？最大利润是多少？【详解】解：（1）根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，当售价为x 时，降了()400x -，所以月销售多了()10400x -台，则月销售量y （台）与售价x （元/台）之间的函数关系式；()10400200104200y x x =-+=-+∵空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台∴300104200450x x ≥⎧⎨-+≥⎩解得300375x ≤≤（2）由题意有：(200)w x y=-(200)(104200)x x =--+2106200840000x x =-+-210(310)121000x =--+∴当售价x 定为310元时，w 有最大值，为121000变式6.420.某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．【答案】（1）20元；（2）每件衬衫应降价15元，商场盈利最多，共1250元．【解析】【分析】（1）总利润=每件利润×销售量，根据题意可得利润表达式，再求当1200w =时x 的值；（2）根据函数关系式，运用二次函数的性质求最值．【详解】解：设每天利润为w 元，每件衬衫降价x 元，根据题意得()()()22402022608002151250w x x x x x =-+=-++=--+（1）当1200w =时，22608001200x x -++=，解之得121020x x ==，．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）解：商场每天盈利w=()()40202x x -+()22151250x =--+．∵-2＜0∴抛物线开口向下∴当x=15时，w 有最大值，w 的最大值为1250，所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．【点睛】本题考查二次函数应用的销售问题的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．⑤投球问题例6.5如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度()m y 与运行的水平距离()m x 满足关系式()2y a x k h =-+．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（）A .球不会过网B .球会过球网但不会出界C .球会过球网并会出界D .无法确定【详解】分析：（1）将点()0,2A 代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出9x =和18x =时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．详解：根据题意，将点()0,2A 代入2(6) 2.6y a x =-+，得：362.62a +=，解得：160a =-，∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+；当9x =时，21(96) 2.6 2.45 2.4360y =--+=>，∴球能过球网，当18x =时，21(186) 2.60.2060y =--+=>，∴球会出界．故选C ．变式6.521.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（）A. 4.6mB. 4.5mC.4mD.3.5m【答案】B【解析】【分析】根据题意将篮圈高度y =3.05代入函数21 3.55y x =-+解得x ，再加上3即可求得L .【详解】如图，把y =3.05代入函数21 3.55y x =-+，解得：x ＝1.5或x ＝﹣1.5（舍），则L ＝3+1.5＝4.5m.故选B.⑥喷水问题例6.6如图，花坛水池中央有一喷泉，水管3m OP =，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m ，P 距抛物线对称轴1m ，则为使水不落到池外，水池半径最小为（）A .1B .1.5C .2D .3【详解】如图建立坐标系：抛物线的顶点坐标是()1,4，设抛物线的解析式是()214y a x =-+，把()0,3代入解析式得：43a +=，解得：1a =-，则抛物线的解析式是：()214y x =--+，当0y =时，()2140x --+=，解得：123,1x x ==-（舍去），则水池的最小半径是3米．故选：D ．变式6.622.如图，斜坡AB 长10米，按图中的直角坐标系可用53y x =-+表示，点A 、B 分别在x 轴和y 轴上，在坡上的A 处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B 处，抛物线可用213y x bx c =-++表示．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求水柱离坡岗AB的最大高度．【答案】（1）21533y x x =-++；（2）254【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）水柱离坡面的距离d=21553x x ⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭，整理成一般式，再配方成顶点式即可得.【详解】解：（1）∵AB=10、∠OAB=30°，∴OB=12AB=5、OA=ABcos ∠OAB=10×2=，则A（，0）、B （0，5），将A 、B 坐标代入213y x bx c =-++，得175035c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：35b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为21533y x x =-++；（2）水柱离坡面的距离d=21553x x ⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭，=2125324x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴当254.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质等知识点，难度不大.⑦增长率问题例6.7共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a 辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系是（）A .2y x a=+B .()21y a x =+C .()21y x a=-+D .()21y a x =-【详解】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，依题意得第三个月第三个月投放单车()21a x +辆，则()21y a x =+．故选：B ．变式6.723.某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x ，预计今年比去年的年增长率仍为x ，今年的总产值为y 万元．（1）求y 关于x 的函数关系式．（2）当x=20%时，今年的总产值为多少？（3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？【答案】（1）210(1)y x =+；（2）14.4万元；（3）36.4万元．【解析】【分析】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)²；(2)把x 的值代入(1)求解即可；(3)代入求解即可.【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)²；(2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%)²=14.4万元；(3)依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+10(1＋x)²=36.4(万元).【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数求解．⑧其他问题例6.8小明和小丽先后从A 地出发同一直道去B 地，设小丽出发第min x 时，小丽、小明离B 地的距离分别为1y m 、2y m ，1y 与x 之间的数表达式11802250y x =-+，2y 与x 之间的函数表达式是22101002000y x x =--+．（1）小丽出发时，小明离A 地的距离为m ．（2）小丽发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？【详解】解（1）当0x =时，122250,2000y y ==∴1222502000250(m)y y -=-=故答案为：250（2）设小丽出发第min x 时，两人相距m S ，则()21802250101002000S x x x =-+---+即21080250S x x =-+其中010x ≤≤因此，当8042210b x a -=-=-=⨯时S 有最小值，224410250(80)904410ac b a -⨯⨯--==⨯也就是说，当小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m变式6.824.如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为8m ，两侧距底面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个隧道入口的最大高度为_________m ．。
人教版九年级数学上册 第22章 二次函数和一元二次方程讲义(习题及答案)
二次函数与一元二次方程（习题）➢例题示范例：若一元二次方程(x-a)(x-b)（）的两个实数根分别为x1，x2，则实数a，b，x1，x2的大小关系为（）A．B．C．D．思路分析a，b可以看做抛物线y=(x-a)(x-b)与x轴交点的横坐标，x1，x2可以看做抛物线y=(x-a)(x-b)与直线的交点的横坐标．如图所示，结合图象可得，．故选B．➢巩固练习1.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是（）A．B．C．D．或第1题图第2题图2.二次函数（a≠0）的图象如图所示，若（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．3.抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（）A．B．C．或D．或第3题图第4题图4.函数的图象如图所示，根据该图象提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．或5.如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（）A．B．C．D．第5题图第6题图6.如图，若抛物线与双曲线的交点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是（）A．B．C．D．7.坐标平面上，若平移二次函数y=2(x-175)(x-176)+6的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式可为下列哪一种（）A．向上平移3个单位B．向下平移3个单位C．向上平移6个单位D．向下平移6个单位8.设一元二次方程（）的两根分别为α，β，且，则α，β，1，3之间的大小关系为___________；的解集为_____________．9.若二次函数的图象与直线没有交点，求的取值范围．10.已知P(-3，m)和Q(1，m)是抛物线上的两点．（1）求b的值；（2）将抛物线的图象先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，请判断新抛物线与x轴的交点情况．11.已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个交点，则C1的顶点坐标为__________．12.若关于x的一元二次方程无实数根，则函数的图象顶点在第______象限．13.抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：①一元二次方程的根为_________________．②抛物线经过点(-3，_____)；③在对称轴右侧，y随x的增大而_________．（2）确定抛物线的解析式，并求出该函数的最值．➢思考小结1.对于二次函数和一元二次方程的关系，尝试着进行总结：①函数与x轴交点坐标，与方程的根：__________________________________________．②函数与x轴交点个数，与方程解的个数：当时，函数与x轴有____个交点，方程有______根；当时，函数与x轴有_____个交点，方程有_______根；当时，函数与x轴______交点，方程________根．【参考答案】➢巩固练习1. A2. C3. B4. D5. D6. D7. D8.1＜α＜β＜3；α＜x＜β9.10.（1）b=4 （2）无交点11.(-1，0)12.一13.（1）①x1=-2，x2=1 ②8 ③增大（2）y=2x2+2x-4，最小值：➢思考小结1.①函数与轴交点的横坐标即为方程的根②两，两；一，一；无，无．。
初中数学《二次函数解析式》讲义及练习 (2)
板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求二次函数能根据实际情境了解二次函数的意义；会利用描点法画出二次函数的图像能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；能从函数图像上认识函数的性质；会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题一、二次函数的图像与系数关系1. a 决定抛物线的开口方向：当0a >时⇔抛物线开口向上；当0a <时⇔抛物线开口向下a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小； a 越小，抛物线开口越大.注：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反数，则形状相同、开口相反.2. b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.（对称轴为：2bx a=-）当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当,a b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当,a b 异号时，对称轴在y 轴的右侧.3. c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置.（抛物线与y 轴的交点为()0c ，） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点； 当0c >时，交点在y 轴的正半轴； 当0c <时，交点在y 轴的负半轴.二、二次函数的三种表达方式（1）一般式：()20y ax bx c a =++≠ （2）顶点式：()2y a x h k =-+()0a ≠（3）双根式（交点式）：()()()120y a x x x x a =--≠2.如何设点：⑴ 一次函数y ax b =+（0a ≠）图像上的任意点可设为()11x ax b +，.其中10x =时，该点为直线与y 轴交知识点睛中考要求第二讲二次函数的解析式点.⑵ 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图像上的任意一点可设为()2111x ax bx c ++，.10x =时，该点为抛物线与y 轴交点，当12bx a=-时，该点为抛物线顶点． ⑶ 点()11x y ，关于()00x x ，的对称点为()010122x x y y --，． 4.如何设解析式：① 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；② 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；③ 已知抛物线与x 的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式.④ 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.一、二次函数图象分布与系数的关系【例1】 ⑴（07济南）已知2y ax bx =+的图象如下左图所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第二、三、四象限D. 第一、三、四象限⑵（07常州）若二次函数222y ax bx a =++-（a b ，为常数）的图象如下中图，则a 的值为（ ）A. 2-B. 2-C. 1D. 2⑶（07南宁）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下右图所示，则点()P a bc ，在第 象限. OyxyxAO yxO重、难点1. 灵活应用二次函数的三种表达形式，求二次函数解析式。
二次函数知识点总结+练习+答案
二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. ()2y a x h k =-+的性质：左加右减（括号内），上加下减（括号外）。
三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a-． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下， 当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反， 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：用二次函数解决最值问题二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少例某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则1525,220k bk b+=⎧⎨+=⎩解得k=-1，b=40，•即一次函数表达式为y=-x+40．（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+B. 22(1)y x =--C. 221y x =-+D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
中考数学总复习《二次函数》练习题及答案
中考数学总复习《二次函数》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．要得到二次函数y=−x2图象，可将y=−(x−1)2+2的图象如何移动（）A．向左移动1单位，向上移动2个单位B．向右移动1单位，向上移动2个单位C．向左移动1单位，向下移动2个单位D．向右移动1单位，向下移动2个单位2．若二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（0，1）和（1，0），则m=a-b+c的值的变化范围是（）A．0<m<1B．0<m<2C．1<m<2D．-1<m<13．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1−(x−a)(x−b)=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b4．对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②若当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；④若当x=4时的函数值与x=2时的函数值相等，则当x=6时的函数值为﹣3．其中正确的说法是（）A．①②③B．①④C．②④D．①②④5．已知二次函数y=x2+2mx+m的图象与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且满足，4≤a+b≤6.当1≤x≤3时，该函数的最大值H与m满足的关系式是（）A．H=3m+1B．H=5m+4C．H=7m+9D．H=−m2+m6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣1），且顶点在第三象限，则a的取值范围是（）A．a＞0B．0＜a＜1C．1＜a＜2D．﹣1＜a＜17．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（）A．y=(x+3)2B．y=x2+9C．y=x2+6x D．y=3x2+12x9．若将抛物线y=2x2+1先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y=2(x−1)2−2B．y=2(x+1)2−2C．y=2(x−1)2+3D．y=2(x+1)2+310．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a−b<0；②abc<0；③a+b+c<0；④a−b+c>0；⑤4a+2b+c>0.其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣312．已知某种礼炮的升空高度ℎ(m)与飞行时间t(s)的关系式是ℎ=−52t2+20t+1.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（）A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s二、填空题13．若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E(x，x2−2x+3)图象上的最低点是.14．有一个角是60°的直角三角形，它的面积S与斜边长x之间的函数关系式是．15．如图，点P是双曲线C：y=4x（x>0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y=12x−2于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△ POQ面积的最大值是.16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣4617＜3时，x的取值范围是．18．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2ax与直线y=x+2的图象在-1≤x≤1的范围有且只有一个公共点P，则a的取值范围是．三、综合题19．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，74）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；（3）当y≤ 74时，直接写出x的取值范围是.20．已知抛物线y=−12x2+bx+c经过点(1，0)，(0，32).（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=−12x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.21．如图，有一个长为24米的篱笆，一面有围墙（墙的最大长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2.（1）求S与的函数关系式及x的取值范围.（2）如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？22．如图，二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D（1）求点A，B，C的坐标．（2）求△BCD的面积23．给出两种上宽带网的收费方式：收费方式月使用费/元包月上网时间/h超时费/（元/ min）A30250.05B50500.0512（1）直接写出y1,y2与x之间的函数关系式；（2）x为何值时，两种收费方式一样？（3）某用户选择B方式宽带网开网店.若该用户上网时间x小时，产生y=−x2+ax+1950（元）（a>103）的经济收益.若某月该用户上网获得的利润最大值为5650元，直接写出a的值.（上网利润=上网经济收益－月宽带费）24．已知抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)的图象过点A（3，m）.（1）当a＝－1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标；（2）若P（t，n）为该抛物线上一点，且n＜m，求t的取值围；（3）如图，直线l：y=kx+c(k<0)交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD△x轴交直线l于点D，作QE△y轴于点E，连接DE.设△QED＝b，当2≤x≤4时，b 恰好满足30°≤β≤60°，求a的值.参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】B13．【答案】（1，2）14．【答案】√38x 215．【答案】3 16．【答案】①③④ 17．【答案】－1＜x ＜3 18．【答案】a≥0或a≤-119．【答案】（1）解：把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+3解得：a ＝﹣1，b ＝2抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3（2）解：把点D 的y 坐标y ＝ 74，代入y ＝﹣x 2+2x+3解得：x ＝ 12 或 32则EF 长 =32−(−12)=2 （3）x ≤12 或 x ≥32.20．【答案】解：把(1，0)，(0，32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32，解得：{b =−1c =32，则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32（2）将抛物线y =−12x 2+bx +c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.【答案】解：抛物线解析式为y =−12x 2−x +32=−12(x +1)2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y =−12x 2.（1）解：把(1，0)，(0，32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32解得：{b =−1c =32则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32（2）解：抛物线解析式为y=−12x2−x+32=−12(x+1)2+2将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=−12x2.21．【答案】解：AB为xm，则BC就为（24-3x）m，S=(24-3x)x=24x-3x2，∵x＞0，且10≥24-3x＞0，∴143≤x＜8. (2)如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？解：45=24x-3x2，解得x=5或x=3；故AB的长为5米.（1）解：AB为xm，则BC就为（24-3x）mS=(24-3x)x=24x-3x2∵x＞0，且10≥24-3x＞0∴143≤x＜8.（2）解：45=24x-3x2解得x=5或x=3；故AB的长为5米.22．【答案】（1）解：令y=0，可得x=3或x=﹣1．令x=0，可得y=3．∴A（-1，0）B（3，0）C（0，3）（2）解：依题意，可得y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4．∴顶点D（1，4）．令y=0，可得x=3或x=-1．∴令x=0，可得y=3．∴C（0，3）．∴OC=3，∴直线DC的解析式为y=x+3．设直线DE交x轴于E．∴BE=6．∴S△BCD=S△BED-S△BCE=3．∴△BCD的面积为3．23．【答案】（1）解：由题意可得：A、B两种收费超时收费都为0.05×60=3元/小时A种上网的月收费为y1=30+3(x−25)=3x−45；B种上网的月收费可分①当25≤x≤50时，y2=50，②当x>50时，y2=50+3(x−50)=3x−100综上所述：y2={50,25≤x≤503x−100,x>50.（2）解：由（1）可分：①当25≤x≤50时，两种收费一样，则有3x−45=50解得：x=953②当x>50时，两种收费一样，则有3x−45=3x−100，方程无解，故不成立∴综上所述：当上网时间为953小时，两种上网收费一样；答：当上网时间x为953小时，两种上网收费一样.（3）解：设上网利润为w元，则由题意得：①当上网时间25≤x≤50时，上网利润为w=−x2+ax+1950−50=−x2+ax+1900∵a>103∴x=a2>50∵该二次函数的图象开口向下，在25≤x≤50，y随x的增大而增大∴该用户上网获得的利润最大值为5650元，所以当x=50时，则有：−2500+50a+1900=5650，解得：a=125；②当x>50时，上网利润为w=−x2+ax+1950−3x+100=−x2+(a−3)x+2050∴该二次函数的图象向下，对称轴为直线x=a−3 2∵a>103∴x=a−32>50∴y随x的增大而减小∴当x=a−32时，y有最大值，即−(a−32)2+(a−3)(a−32)+2050=5650解得：a1=123,a2=−117（不符合题意，舍去）综上所述：当某月该用户上网获得的利润最大值为5650元，则a=125或123. 24．【答案】（1）解：当a＝－1，m＝0时，y=−x2+2x+c，A点的坐标为（3，0）∴－9＋6＋c＝0.解得c＝3∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3.即y=−(x−1)2+4.∴抛物线的顶点坐标为（1，4）.（2）解：∵y=ax2−2ax+c的对称轴为直线x=−2a−2a=1∴点A关于对称轴的对称点为（－1，m）.∵a<0∴当x<1，y随x的增大而增大；当x>1，y随x的增大而减小.又∵n ＜m∴当点P 在对称轴左边时，t ＜－1； 当点P 在对称轴右边时，t ＞3.综上所述：t 的取值范围为t ＜－1或t ＞3； （3）解：∵点Q （x ，y ）在抛物线上 ∴y =ax 2−2ax +c .又∵QD△x 轴交直线 l ：y =kx +c(k <0) 于点D ∴D 点的坐标为（x ，kx ＋c ）.又∵点Q 是抛物线上点B ，C 之间的一个动点 ∴QD =ax 2−2ax +c −(kx +c)=ax 2−(2a +k)x . ∵QE ＝x∴在Rt△QED 中， tanβ=QD QE =ax 2−(2a+k)x x=ax −2a −k . ∴tanβ 是关于x 的一次函数 ∵a ＜0∴tanβ 随着x 的增大而减小.又∵当 2≤x ≤4 时， β 恰好满足 30°≤β≤60° ，且 tanβ 随着 β 的增大而增大 ∴当x ＝2时， β ＝60°；当x ＝4时， β ＝30°. ∴{2a −2a −k =√34a −2a −k =√33解得 {k =−√3a =−√33∴a =−√33.。
人教版初中数学九年级二次函数(经典例题含答案)
二次函数经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、二次函数（一）二次函数的定义（共4小题，每题3分，共计12分）例 1.下列函数：①225y xz =++；②258y x x =-+-；③2y ax bx c =++；④()()2324312y x x x =+--；⑤2y mx x =+；⑥21y bx =+（b 为常数，0b ≠）；⑦220y x kx =++，其中y 是x 的二次函数的有②⑥.例1.变式1.函数24233y x x =--中，a =3-，b =34，c =2-.例1.变式2.若()232my m x -=-是二次函数，且2m >，则m 等于（B）A.C. D.5例1.变式3.已知函数()22346mm y m m x -+=+-是二次函数，求m 的值.2122342:1,2602,31m m m m m m m m m -+===+-≠∴≠≠-∴ 解：由题意得：解得的值为（二）列二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例2.一台机器原价60万元，每次降价的百分率均为x ,那么连续两次降价后的价格y (万元)为（C ）A.()601y x =-B.()601y x =+ C.()2601y x =- D.()2601y x =+例2.变式1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如下表:写出用t 表示s 的函数关系式:22t s =.例2.变式2.矩形的长为x cm，宽比长少2cm，请你写出矩形的面积y (2cm )与x (cm)之间的关系式xx y 22-=.时间t (秒)1234…距离s (米)281832…例2.变式3.某商场将进价为每套40元的某种服装按每套50元出售时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装销售单价每提高1元，销量就减少5套.如果商场将销售单价定为x 元,请你写出每天销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式.[]2200075055)50(300)40(2-+-=⨯---=x x y x x y 即解：由题意得：二、二次函数的图象和性质（一）形如2y ax =和2y ax c =+的二次函数的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例3.对于二次函数2y x =-的图象，在y 轴的右边，y 随x 的增大而减小.例3.变式1.二次函数2y ax =的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内.（1）22y x =如图（D ）；（2）212y x =如图（C ）；（3）2y x =-如图（A）；（4）213y x =-如图（B）；（5）219y x =如图（F）；（6）219y x =-如图（E）.例3.变式2.与抛物线222y x =-+开口方向相同,只是位置不同的是（D）A.22y x =B.2211y x =- C.221y x =+ D.221y x =--例3.变式3.坐标平面上有一函数22448y x =-的图象,其顶点坐标为（C ）A.()0,2- B.()1,24- C.()0,48- D.()2,48（二）二次函数()2y a x h =-与()2y a x h k =-+的图像和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例4.将抛物线2y x =-向左平移2个单位长度后,得到的抛物线的表达式是(A )A.()22y x =-+ B.22y x =-+ C.()22y x =-- D.22y x =--例4.变式1.二次函数()221y x =-，当x 1<时,y 随着x 的增大而减小，当x 1>时,y 随着x 的增大而增大.例4.变式2.已知二次函数()2231y x =-+.有下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线3x =-；③其图象顶点坐标为(3，-1)；④当3x <时,y 随着x 的增大而减小.则其中说法正确的有（A ）A.1个B.2个C.3个D.4个例4.变式3.将抛物线21y x =+先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，那么所得抛物线的表达式是（B ）A.()222y x =++ B.()222y x =+- C.()222y x =-+ D.()222y x =--（三）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例5.二次函数225y x x =+-有(D)A.最大值为-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6例5.变式1.如图是二次函数224y x x =-++的图象，使1y ≤成立的x 的取值范围是（D ）A.13x -≤≤B.1x ≤-C.1x ≥ D.13x x ≤-≥或例5.变式2.抛物线2y x bx c =++向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，所得图象的表达式为223y x x =--，求b ，c 的值.,2234)21(:32324)1(3222222==∴+=+-+-=--=--=--=c b x x x y x x y x x x y 得个单位个单位，再向上平移向左平移将抛物线解：例5.变式3.如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列4个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->，其中正确结论的有（B）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、确定二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例6.已知二次函数的图象的顶点坐标是（-2，-3），且经过点（0,5），求这个函数表达式.5823)2(22:53)20()5,0(3)2()3,2(),0()(22222++=-+=∴==-+∴-+=∴--≠++=x x x y a a x a y a k h x a y 解得此二次函数图象经过点又坐标为此二次函数图象的顶点达式为解：设此二次函数的表 例6.变式1.已知抛物线与y 轴交点的纵坐标为52-，且还经过（1，-6）和（-1,0）两点，求抛物线的表达式.22(0)5(0,),(1,6),(1,0)251226305215322y ax bx c a c a a b c b a b c c y x x =++≠---⎧⎧=-=-⎪⎪⎪⎪++=-=-⎨⎨⎪⎪-+=⎪⎪=-⎩⎩∴=---解：设抛物线表达式为将代入得：解得：抛物线表达式为：例6.变式2.已知，一抛物线与x 轴的交点是A（-2,0），B（1,0），且经过点C（2,8）.（1）求该抛物线的函数表达式；4224228240024)8,2(),0,1(),0,2()0(22-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+--≠++=x x y c b a c b a c b a c b a C a c bx ax y 抛物线表达式为：解得：代入得：将解：设抛物线表达式为（2）求该抛物线的顶点坐标.)29,21(2921(242222---+=-+=顶点坐标为：x x x y 例6.变式3.已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A(-1,0),B(3,0),C (0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴.（1）求抛物线的函数表达式;321)3,0()1)(3(2++-=∴-=+-=x x y a C x x a y 抛物线表达式为：代入，解得：将点线表达式为：解：由题意得：设抛物（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标.:,(2,3,,(1,0),(2,30123111,2(1,2)l C C C AC l P PAC AC y kx m A C k m k k m m AC y x x y P ''∴'∆''=+--+==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩'∴=+==解过直线作点的对称点）连接交直线于点此时的周长最小设直线表达式为将）代入得：解得：直线表达式为：令则点的坐标为：四、二次函数的应用（一）利用二次函数解决“面积最大问题”（共4小题，每题3分，共计12分）例7.小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是（A）A.24cm B.28cm C.216cm D.232cm 例7.变式1.在Rt ABC ∆中，∠A=90°，AB=4,AC=3，D 在BC 上运动(不与B,C 重合),过点D 分别向AB,AC 作垂线,垂足分别为E,F,则矩形AEDF 的面积最大值为3.例7.变式2.如图,正方形ABCD 的边长为2cm,E,F,G,H 分别从A,B,C,D 向B,C,D,A 同时以0.5cm/s的速度移动,设运动时间为t(s).(1)求证:△HAE≌△EBF；)90,,:SAS EBF HAE B A EB HA BF AE （由题意得：解∆≅∆∴=∠=∠==(2)设四边形EFGH 的面积为S(2cm ),求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；)40(4221)5.02()5.0(901,5.02,5.0222222222≤≤+-=-+=+==∴∴=∠+∠∆≅∆+=∆-===t t t t t AE AH HE S HEFG AHE DHG EBF HAE AE AH HE AEH Rt t AH t AE DH 是正方形四边形可得）又由（中则解：由题意得 (3)t 为何值时,S 最小？最小是多少？222)2(21422122最小，最小为时，当S t t t t S =∴+-=+-=例7.变式3.在青岛市开展的创建活动中，某小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长度为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园BC 边的长为x m ，花园的面积为y 2m .(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；）（解：由题意得：15020212402≤<+-=-⋅=x x x x x y (2)满足条件的花园面积能达到2002m 吗?若能，求出此时的x 的值；若不能，请说明理由；.20015020,2002m x x x y 到此时花园的面积不能达的取值范围是而，时当∴≤<==(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？.5.18715150,20202122m y x x y x x x x y 有最大值，最大值为时，当的增大而增大随范围内，在对称轴为直线线图象是开口向下的抛物=∴≤<=+-=（二）二次函数的综合运用（共4小题，每题3分，共计12分）例8.一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（A）A.5元B.10元C.0元D.3600元例8.变式1.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（B ）A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m例8.变式2.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元?元租金高，每张床收费则为使租出的床位少且时，时，为整数，则又因为有最大值时，当则有元元，每天收入为个解：设每张床位提高1602031001120031120025.22100001000200)10100)(20100(202=⨯+======-=++-=-+=y x y x x y abx x x x x y y x 例8.变式3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)3200242525048)(20002400(2++-=+--=x x x x y 由题意得：（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?元即每台冰箱应降价降价越多越好要使百姓得到实惠，则解得：得：代入将200200200,1004800320024252,30002425248002122=∴===++-++-==x x x x x x x y y (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？元。
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yxO第三讲 二次函数的性质及其应用✧ 相关概念及定义➢ 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．➢ 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数各种形式之间的变换➢ 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.➢ 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.二次函数解析式的表示方法➢ 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； ➢ 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；➢ 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.➢ 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞0 a ＜0图 象开 口 对 称 轴 顶点坐标最 值当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 增减性 在对称轴左侧y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧y 随x 的增大而y 随x 的增大而✧ 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ➢ a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.➢ 对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a=-.特别地，y 轴记作直线0=x . ➢ 顶点坐标：），（ab ac a b 4422--➢ 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a │越大，开口越小，图像两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，•图像两边越靠近x 轴当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；✧ )2. ✧ k ，交点为✧ ➢【或左(h <0)】平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．经验✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
➢ 三点式。
1，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。
➢ 顶点式。
1，已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。
2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
➢ 交点式。
1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2➢ 1Q ，直线=y 23➢ 1， 2+k,2， ➢ 12➢ 12倍，2、 43OC ，➢ 1， ，将三角2， 求与抛物线y=x 2+4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。
➢ 切点式。
1，已知直线y=ax-a 2(a ≠0) 与抛物线y=mx 2有唯一公共点，求抛物线的解析式。
2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax 2+k 的唯一公共点A （2，1）,求抛物线的解析式。
➢ 判别式式。
1、已知关于X 的一元二次方程（m+1）x 2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x 2+(m+1)x+3解析式。
2、 已知抛物线y=(a+2)x 2-(a+1)x+2a 的顶点在x 轴上,求抛物线的解析式。
3、已知抛物线y=(m+1)x 2+(m+2)x+1与x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。
✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达➢ 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；➢ 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；➢ 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；➢ 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是22b y ax bxc =--+-；a 永远不1.A ．2. A 3.4.A ．(18)-， B ．(18)，C ．(12)-，D ．(14)-，5.函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）6.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）B ． C ． D ．A 、y=x 2-x-2 B 、y=121212++-x C 、y=121212+--x x D 、y=22++-x x 7. 把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2－3x+5，则a+b+c=__________8.抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ） 1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x =已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）410.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11.已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ）A ．2B 3C 、4D 、5 12.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是A ．a ＜0 B.abc ＞0 C .c b a ++＞0 D.ac b 42-＞013.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象xyO1 yxO 10 11 12可能．．是 14.把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为__________ 15.把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2－3x+5，则a+b+c=__________16.二次函数2241y x x =-++的图象如何平移就褥到22y x =-的图像( ) A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位． B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位． C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位． D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位。
17.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如右图所示，下列结论①0abc > ②b a c <+ ③20a b +=④()(1a b m am b m +>+≠的实数)， 其中正确的结论有A 1个B ．2个C ． 3个D ．4个18.抛物线c bx ax y ++=2图像如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数a b c y x ++=在同一坐标系内的图像大致为第15题图19.抛物线2y x bx c =-++的图象如图6所示，则此抛物线的解析式为 ．20.已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）21.在同一坐标平面内，下列4个函数：（1）y=2（x+1）2-1，（2）y=2x 2+3，（3）y=-2x 2-1，（4）y=0.5x 2-1.期中图像不可能有函数y=2x 2+1的图像通过平移变换，轴对称变换得到的函数是__________. 应用题：1.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；xxxx xyxO 3x =1图6A（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。
根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；3.某村为增加蔬菜的种植面积，一年中修建了一些蔬菜大棚，平均修建每公顷大棚要用的支架，塑料膜等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积x（公顷）的平方成正比，比例系数为9000，每公顷大棚的年平均经济收益为75000元。