几何概型案例
几何概型
几何概型试验1（幸运卡片）班上有9位同学持有卡片，其中3张写着数学家的名言，老师随机选一张，恰好挑到写有名言的卡片的概率是多少？试验2（剪绳试验）取一根长度为30cm 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm 的概率有多大？【情境拓展】3. 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,黄心直径为12.2cm.运动员在70m 外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?1、几何概型的概念：设D 是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等). 每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点.这时，事件A 发生的概率与d 的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d 区域的形状，位置无关.我们把满足这样条件的概率模型称几何概型.2、几何概型的概率计算公式：的测度的测度D d A P =)( 例1：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.解：记“豆子落入圆内”为事件A,由于是随机地丢豆子，故认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的， 可将边长为2a 的正方形看作区域D.其内切圆为区域d 。
44)(22ππ===a a A P 正方形面积圆面积例2：在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,含有麦锈病种子的概率是多少？解：记“取出10mL 麦种，其中含有麦锈病种子”为事件A.麦锈病种子在这1L 种子中的分布可以看作是随机的,取得的10mL 种子可视为区域d,所有种子可视为区域D.所有种子的体积取出种子的体积于是)(A P专项训练： 1. 点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．2.已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．3. 已知集合A {x |－1<x <5}，B ＝{x |x －23－x>0}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．4. 如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则f (1)＞0成立的概率是________．。
几何概型的经典例题
几何概型的经典例题
一、例题
在区间[ - 1,2]上随机取一个数x，则| x|≤slant1的概率为多少？
二、解析
1. 首先确定全部结果构成的区域长度
- 区间[ - 1,2]的长度为2-( - 1)=3。
2. 然后确定满足条件| x|≤slant1，即-1≤slant x≤slant1的区域长度
- 区间[ - 1,1]的长度为1-( - 1)=2。
3. 最后根据几何概型的概率公式P(A)=(构成事件A的区域长度(面积或体积))/(试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积))
- 这里是在数轴上的区间问题，属于长度型几何概型，所以P = (2)/(3)。
三、例题
已知正方形ABCD的边长为2，在正方形ABCD内随机取一点P，求点P到正方形各顶点的距离都大于1的概率。
四、解析
1. 首先确定全部结果构成的区域面积
- 正方形ABCD的边长为2，则其面积S = 2×2 = 4。
2. 然后确定满足条件的区域面积
- 点P到正方形各顶点的距离都大于1，那么点P在以正方形各顶点为圆心，1为半径的四个四分之一圆的外部（这些圆在正方形内部的部分）。
- 四个四分之一圆的面积之和相当于一个半径为1的圆的面积，即
S_1=π×1^2=π。
- 满足条件的区域面积S_2=4 - π。
3. 最后根据几何概型的概率公式
- 这里是平面区域问题，属于面积型几何概型，所以P=frac{S_2}{S}=(4 - π)/(4)。
几何概型例题及解析
几何概型例题及解析题目：在边长为2的正方形内随机取一个点，则该点到正方形四个顶点的距离都大于1的概率是( )。
A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 1/16解析：在边长为2的正方形内，到四个顶点距离都大于1的区域是一个边长为1的正方形。
因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即1/4。
题目：在半径为2的圆内随机取一条弦，则弦长小于等于2√3的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √3/2解析：在半径为2的圆内，弦长小于等于2√3的弦对应的圆心角为120°。
因此，所求概率为120°/360° = 1/3，但选项中并没有这个值，可能题目有误或选项不完整。
题目：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，则满足x^2 + y^2 ≤ 2的概率是( )。
A. π/4B. π/2C. 1 - π/4D. 1 - π/2解析：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，对应的平面区域是一个边长为2的正方形。
满足x^2 + y^2 ≤ 2的区域是一个半径为√2的圆在正方形内的部分。
所求概率为圆的面积与正方形面积之比，即π*(√2)^2 / (2*2) = π/2。
题目：在边长为1的正方形内随机取一个点，则该点到正方形中心的距离小于1/2的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √2/2解析：在边长为1的正方形内，到中心距离小于1/2的区域是一个边长为1/2的正方形。
因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即(1/2)^2 = 1/4。
题目：在三维坐标系中，随机取一个点P(x, y, z)，其中x, y, z ∈ [0, 1]，则点P到原点O的距离小于等于√2/2的概率为( )。
A. π/6B. π/4C. π/3D. π/2解析：在三维坐标系中，到原点距离小于等于√2/2的点构成一个半径为√2/2的球在[0, 1]^3内的部分。
所求概率为球的体积与[0, 1]^3的体积之比，即(π*(√2/2)^3) / 1^3 = π/6。
生活中的几何概型案例
生活中的几何概型案例生活中的几何概念案例：1. 汽车刹车距离的计算当一辆汽车需要紧急刹车时，刹车距离的计算就涉及到几何概念。
刹车距离取决于车速、刹车力和摩擦系数等因素。
通过应用几何公式和原理，可以计算出汽车在何时刹车以保持安全距离。
2. 建筑物的结构设计在建筑物的设计中，几何概念被广泛运用。
例如，在设计一座桥梁时，需要考虑桥梁的强度、稳定性和荷载分布等因素。
几何原理可以帮助工程师确定桥梁的几何形状和结构，以确保其安全可靠。
3. 花园景观设计在花园景观设计中，几何概念被用于规划和布局花坛、草地和路径等元素。
几何原理可以帮助设计师确定花园的几何形状、大小和比例，以创建出美观和和谐的景观效果。
4. 厨房瓷砖的拼贴在装修厨房时，几何概念被应用于瓷砖的拼贴。
通过合理地选择和安排瓷砖的几何形状和图案，可以创造出独特和吸引人的装饰效果。
5. 服装设计的图案布局在服装设计中，几何概念被用于图案的布局。
例如，几何形状和对称原理可以影响服装的整体视觉效果，而对比和重复原则可以增加服装的视觉吸引力。
6. 珠宝设计中的切割技术在珠宝设计中，几何概念被用于切割宝石和钻石。
通过几何原理，设计师可以确定最佳的切割方式，以使宝石能够充分反射和折射光线，展现出独特的光彩和闪耀效果。
7. 摄影中的构图在摄影中，几何概念被用于构图。
例如，黄金分割原理可以帮助摄影师确定主题和背景的位置，以创造出平衡和美感的照片。
8. 动画设计中的角色建模在动画设计中，几何概念被用于角色建模。
通过几何原理，设计师可以创建出具有逼真形状和动作的角色模型，使动画更加生动和真实。
9. 家居设计中的空间规划在家居设计中，几何概念被用于空间规划。
通过考虑房间的几何形状、大小和比例，设计师可以合理布置家具和装饰品，以提高空间的利用率和美观度。
10. 网络布线的规划在网络布线中，几何概念被用于规划和布局网络线路。
通过几何原理，可以确定最佳的线路路径和连接方式，以确保网络的高效和稳定运行。
几何概型(优秀课件)
例2.甲、乙二人约定在下午12点到17点之间在某地会面， 先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻 到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。
解： 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，
于是 0 X 5, 0 Y 5.
y
即 点 M 落在图中的阴影部
分.所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.
3.3.1几何概型
问创题设情情境境3：
下图是卧室和书房地板的示意图，图中 每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在 卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留 在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在 黑砖上的概率大？
卧室
书房
几何图形
思考：上述问题的概率与什么有关？ 这是古典概型问题吗？
古典概型的两个基本特点: （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的.
那么对于有无限多个试验结果的情况 相应的概率应如果求呢?
问题
1.取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位 置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的 概率有多大？
基本事件: 从30cm的绳子上的任意一点剪断.
解：记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时, 事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3.
练一练:
4.有一杯1升的水,其中含有1个大肠杆 菌,用一个小杯从这杯水中取出10毫升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.
思 考:
国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话， 发现30min的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段 内容包含间谍犯罪的 信息．后来发现,这段谈话的部分被 某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按 错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了．那么 由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 的概率有多大？
几何概型中_面积型_测度典型问题例析
1 2 = 60 × 40 2
2
1 2 2 2 ×40 = 60 - 40 , 2
设“ 两人能会面 ” 为事件 A, 则 2 2 d 60 - 40 2 2 5 P (A ) = = =1 - ( ) = , 2 D 3 9 60
・14・
数理化学习 (高中版 ) 分析 : 雨点落在地图 上的 概 率 问 题 是 几 何 概 型 , 用面积比计算 . 雨点 打在 地 图 和 板 上 是 随 机 的 , 地图上有 9 个雨点痕 迹 , 板上其他位置有 18 个 雨点痕迹 , 由此计算雨点 落在地图上的概率 , 反过来推导地图面积 . 解 :由题意 , 雨点落在地图上的概率 P = 9 1 = , 又正方形板的面积为 1平方米 , 故 9 + 18 3 1 1 所求地图面积为 1 × = 平方米 . 3 3 点评 :本题有别于常规的面积型概率计算 , 设计新颖 , 不直接问事件的概率 , 而是通过随机 性先求出雨点落在地图上的概率 , 再由几何概 型的公式来求地图面积 . 江苏省张家港市暨阳高级中学 ( 215600 ) ●王 杰
上点的最近距离是 2. 2 51若抛物线 y = ax - 1 ( a > 0 ) 上存在关
●吕兆勇
几何概型中“ 面积型 ” 测度典型问题例析
解决几何概型问题的关键是利用己知条 件建立适当的几何模型 , 从建立的几何模型入 手 , 来解决概率问题 . 本文从几何概型“ 面积 型” 测度中的几个典型问题来说明如何解决此 类问题 . 例 1 在面积为 S的 △AB C内任选一点 P, 则 △PB C 的面积小于
约定见车就乘的事件所表示的区域d为图中4个黑的小方格所示所求概率约定最多等一班车的事件所表示的区域d为图中10个黑的小方格所示所求概率为1016从上面几例我们可以看出要解决面积型测度概率问题关键在于如何将文字语言转化为与之对应的图形语言在这点上需认真地体会
几何概型课件(公开课)(28张PPT)
假设每箭都能中靶，射中黄心的概率
P( A)
A对应区域的面积 试验全部结果构成区域的面积
1 100
2 500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放
在显微镜下观察，发现草履虫的概率
P(
A)
A对应区域的体积 试验全部结果构成区域的体积
= A C '= A C = 2 AB AB 2
则AM小于AC的概率为2
2
解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)， 满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外 部(含边界)． 故所求概率
练习 5.在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则
其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？
2 500
1 250
某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位， 问此人在7：00-7：10到达单位的概率？
设“某人在7:10-7:20到达单位”为事件A
P( A)
A对应区域的长度 试验全部结果构成区域的长度
1 6
不是古典概 型！
问此人在7：50-8：00到达单位的概率？
类比古典概型，这些实验有什么特点？ 概率如何计算？
2a
解: 记“豆子落在圆内”为事件A,
P(A)
圆的面积 πa2 正方形面积 4a2
π 4
答 豆子落入圆内的概率为π4 .
应用巩固：
(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机.
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的与大面陆积架成储比藏例 着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
F
E B
P=2/9
几何概型应用举例 魏立国
几何概型应用举例内容摘要：几何概型解决古老的约会问题，让人们感受到数学才是最美的思维之花。
笔者就常见的几何概型举例如下：1、“与数相关的几何概型”2、“与时间相关的几何概型”3、“与形相关的几何概型”。
几何概型，以其形象直观的特点，倍受人青睐，尤其用几何概型解决古老的约会问题，让人们感受到数学才是最美的思维之花。
笔者就常见的几何概型举例如下：1、“与数相关的几何概型”例1：在区间(0，1)上随机取两个数u 、v ，则关于x 的一元二次方程x 2－vx+u=0有实根的概率。
分析：设事件A 表示方程x 2－vx+u=0有实根，因为u,v是从(0，1)中任意取的两个数，所以点(u, v)与正方形D 内点一一对应，其中D={(u, v)| 0<v<1, 0<u<1},事件A={(u, v)| v －4u ≥0，(u, v)∈D}, 有利事件A 的样本点区域为图中阴影部分A, P(A)=81=DA S S2(例1)例2：从(0，2)中，随机地取两个数；两数之和小于0.8的概率。
分析：设两数分别为x, y ，则样本空间D={(x, y)| 0<x<2, 0<y<2}, A 表示两数之和小于0.8，则 A={(x, y) | x+y<0.8,(x, y)∈D}, P(A)=08.0=A S（例2）说明：解此类问题关键，画出题目所涉及的图形。
2、“与时间相关的几何概型”例3：某公共汽车站每隔a 分钟有一辆公共汽车到站。
乘客到达车站时间是任意的，求一个乘客候车时间不超过b 分钟的概率(b ≤a)3分析：设A=“乘客候车时间不超过b 分钟”。
设乘客到站离上车时间为x 分钟，则样本空间s={x | 0<x ≤a}，事件A 可表示成：A={x | 0<x ≤b}，p(A)=a b例4：两人约好在某地相会，两人随机地在7点到8点时间内到相会点，每个人最多等待15分钟，求两人能相会的概率。
人教B版几何概型
上诸数字,在桌面上旋转,求当它停下来时，圆周与桌 面接触处的刻度位于区间 [2 , 3] 上的概率。
D.抛掷两枚同样的硬币，求同时出现正面的概率.
2.在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分布出现， 记a∈(-1,2]为事件A，则P（A）=（ C）
16
=
23 75
.
答:海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为23/75.
三.应用举例
例1. 一海豚在水池中自由的游弋，水池为长30m,
宽20m的长方形，求此海豚嘴尖离岸边不超过2m
的概率。
字母标
分析：关键是找出随机事件及构造出与所有基本事件记相事对件
应的几何区域,把问题转化为几何概率问题.
解：设事件A:“海豚嘴尖离岸
例2. 平面上画了一些彼此相距6cm的平行线， 把一枚半径为1cm硬币任意掷在这平面上，
求硬币不与任一条平行线相碰的概率。 M
解：记事件A：“硬币不与任 一条平行线相碰”. 为了确定硬币的位置,由 硬币中心O向平行线引垂 线OM，垂足为M、N，如
oo "' 6cm。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。O。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
A.12 B. 6 C . 3 D. 1
5
5
例谈几何概型——丁玲
例谈几何概型江苏省丹阳高级中学数学组 丁玲用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何量（长度、面积、体积）的计算。
以下给出几何概型的几种类型。
类型一 与长度有关的几何概型例1．如图，A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？ 分析：在A,B 之间每一个位置安装路灯C 、D 都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型的条件。
解：记“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”为事件E ，把AB 三等分，由于中间长度为 103130=⨯。
313010)(==∴E P 。
点评：几何概型中的概率计算公式的“测度”，既可以是本例中的长度，也可以是面积，几何体的体积或者是图形的角度等，而且这个“测度”只与“大小”有关，与形状、位置无关。
然而，有些几何概型的问题，既不容易分辩出属于几何概率模型，也难发现随机事件的构成区域，但仔细 研究此类问题后，我们可以发现一些解题的规律.类型二 会面问题的几何概型例2 两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去. 求两人能够会面的概率. 解析：设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x有可能结果为：}600,600|),{(≤≤≤≤=y x y x M ； 记两人能够会面为事件A ，则事件A 的可能结果为： }600,600 ,20|||),{(≤≤≤≤≤-=y x x y y x A 如图所示，试验全部结果构成区域M 为正方形ABCD. 而事件A 所构成区域是正方形内两条直线 20,20=-=-y x x y 所夹中间的阴影部分. 根据几何概型公式，得到：956022)2060(60)(222=⨯--==正方形阴影S S A P 所以，两人能够会面的概率为.点评：题目的意思简单明了，但如何转化为数学模型来求解却比较困难. 需要我们先从实际问题中分析得到存在的两个变量，如此题中两人到达的时间都是随机的，设为两个变量. 然后把这两个变量所满足的条件及满足题意的事件A 的集合也分析得出. 把两个集合用平面区域表示，转化为与面积有关的问题。
几何概型教学案例
归纳与技巧：几何概型(含解析)
归纳与技巧：几何概型基础知识归纳1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).基础题必做1．(教材习题改编)设A (0,0)，B (4,0)，在线段AB 上任投一点P ，则|P A |＜1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选C 满足|P A |＜1的区间长度为1，故所求其概率为14.2． 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13.3.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析：选B 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22.4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P ＝0.05.答案：0.055.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：16解题方法归纳1.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．与长度、角度有关的几何概型典题导入[例1] 已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． [自主解答] (1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c |5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.[答案] 5 16本例条件变为：“已知圆C ：x 2＋y 2＝12，设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN .”求弦MN 的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD .则MD ＝MC ＝2 6. 当N 点不在半圆弧CM D 上时，MN ＞2 6. 所以P (A )＝π×232π×23＝12.解题方法归纳求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．以题试法1．(1) 已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A ′，则AA ′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB ≥90°的概率为________．解析：(1)如图，满足AA ′的长度小于半径的点A ′位于劣弧BA C 上，其中△ABO 和△ACO 为等边三角形，可知∠BOC ＝2π3，故所求事件的概率P＝2π32π＝13. (2)如图，在Rt △ABC 中，作AD ⊥BC ，D 为垂足，由题意可得BD ＝12，且点M 在BD 上时，满足∠AMB ≥90°，故所求概率P ＝BD BC ＝122＝14. 答案：(1)13 (2)14与面积有关的几何概型典题导入[例2] (1) 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤a (a ＞0)表示平面区域M ，若点P (x ，y )在所给的平面区域M 内，则点P 落在M 的内切圆内的概率为( )A.(2－1)4πB ．(3－22)πC ．(22－2)πD.2－12π [自主解答] (1)法一：设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.法二：连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形B C ＝S 弓形O C ， 所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB＝π－2π＝1－2π.(2)由题知平面区域M 为一个三角形，且其面积为S ＝a 2.设M 的内切圆的半径为r ，则12(2a ＋22a )r ＝a 2，解得r ＝(2－1)a .所以内切圆的面积S 内切圆＝πr 2＝π[(2－1)·a ]2＝(3－22)πa 2.故所求概率P ＝S 内切圆S＝(3－22)π.[答案] (1)A (2)B解题方法归纳求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起．以题试法2． 点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π解析：选C 如图，满足|P A |≤1的点P 在如图所示阴影部分运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为S 阴影S 正方形＝14×π×121×1＝π4.与体积有关的几何概型典题导入[例3] (1) 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38[自主解答] (1)点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球的外部．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. (2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.[答案] (1)B (2)C解题方法归纳与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．以题试法3． 在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率是________． 解析：如图，三棱锥S —ABC 的高与三棱锥S —APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S —APC V S —ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB ＞13时，满足条件．设AD AB ＝13，则P 在BD 上，所求的概率P ＝BD BA ＝23. 答案：231． 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( ) A.13 B.2π C.12D.23解析：选A 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝⎛⎭⎫－π6π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.2． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选C 设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x )cm,0<x <12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x (12－x )<32⇒0<x <4或8<x <12，故所求概率为812＝23.3． 在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.23 C.34D.14解析：选C 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2＜0，即(a ＋2b )(a －2b )＜0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b ＞0， ∴a －2b ＜0. 作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b ＜0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.4． 已知函数f (x )＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]．∀x ∈[0,1]，f (x )≥0的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C 由∀x ∈[0,1]，f (x )≥0得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≥0，f (1)≥0，有－1≤k ≤1，所以所求概率为1－(－1)1－(－2)＝23. 5． 在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为( )A.15B.25C.35D.12解析：选A 如图，线段AB 长为5米，线段AC 、BD 长均为2米，线段CD 长为1米，满足题意的悬挂点E 在线段CD 上，故所求事件的概率P ＝15.6． 一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为( )A.π12 B.π10 C.π6D.π24解析：选A 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C 2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于2π24＝π12.7． 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －3≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．解析：∵y ＝x 与y ＝－x 互相垂直，∴M 的面积为3，而N 的面积为π4，所以概率为π43＝π12.答案：π128． 如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设题图1长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h(2h ＋2)(2h ＋1)＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：39. 投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为12米的小方块．试验是向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分，则事件A 发生的概率为________．解析：∵事件A 所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应．∴由几何概型的概率公式得P (A )＝⎝⎛⎭⎫12212＝14. 答案：1410．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．故所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.11．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S 2＝4，所求概率为P ＝S 2S ＝12.12． 已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3个．故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a·b ＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，且－2x ＋y ＜0}； 画出图形， 矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b ＜0的概率为2125.1．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由sin x ＋3cos x ≤1得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12. 由于x ∈[0，π]，故x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，因此当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12时，x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤5π6，4π3，于是x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. 由几何概型公式知事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为P ＝π－π2π－0＝12.2．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝2π3.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2π32π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.答案：233． 设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段． (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率． 解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形， 则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.1.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 由题意知，可设事件A 为“点Q 落在△ABE 内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD 内所有点，事件A 为△ABE 内的所有点，又因为E 是CD 的中点，所以S △ABE ＝12AD ×AB ，S 矩形ABCD ＝AD ×AB ，所以P (A )＝12.2．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．解析：由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0， ∵a ，b ∈[0,1]，∴a ≥b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a ≥b ，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案：123． 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D 不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y )，则随机事件：在区域D 内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4.为( )A.14 B.34 C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x )3＝6364，得x ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎫1－342＝964.。
几何概型典型例题
几何概型例1、取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率是多少？例2、等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM<AC 的概率。
例3、甲、乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人15分钟，过时即可离去。
求两人能会面的概率。
例4、将长为1的棒任意折成三段，求：三段的长度都不超过a （1132a ≤≤）的概率。
1、（2009，山东）在区间[-1,1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到12之间的概率是（ ）A 、13 B 、2π C 、12 D 、23 2、（2009，辽宁）四边形ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 点的距离大于1的概率为（ ）A 、4πB 、14π-C 、8π D 、18π- 3、（2009，福建）点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为__________4、（2008，江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是_____________5、（2007，海南）设有关于x 的一元二次方程 2220x ax b ++=.（1）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率。
6、（2010，青岛）若区域M 为{(,)x y |||||2x y +≤}，在区域M 内的点的坐标为(,)x y ，则220x y -≥的概率是（ ）A 、14B 、13C 、12D 、347（2010，海口）点D 为正三角形ABC 的边BC 的中点，从点D 发出的光线到AC 边上每一点的概率相同，则由点D 发出的光线，先后经过AC 边、AB 边反射后仍落在BC 边上的概率为（ ）A 、12B 、13C 、14D 、158、（2010，深圳模拟题）一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，某时刻次蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（ ）A 、16π- B 、112π- C 、6π D 、12π 9、（2010，银川）设圆上的点是等可能分布的，作圆内接△ABC ，求△ABC 是锐角三角形的概率。
几何概型
【练习】
2、 一海豚在水池中自由游弋， 、 水池为长30m，宽20m的长方 形(如图10)，求此刻海豚嘴尖 离岸边不超过2m的概率. 3、 平面上画了一些彼此相距 、 的平行线，把一枚半径为的硬 币任意掷在这平面上(如图11)， 求硬币不与任一条平行线相碰 的概率
【练习】2解法二：
设海豚的嘴尖在任意时刻离较近的长和宽两 岸的距离分别为xm、ym。则 Ω={（x，y）：0≤x ≤ 15，0≤y≤10} A=“海豚嘴尖离岸边不超过2m” ={（x，y）：2≤x ≤ 15，2≤y≤10} Ω、 A对应的几何区域分别是的面积分别是 150和104 P(A)=104/150
两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为 卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收 范围为25公里，在下午3:00时莉莉正在 基地正东距基地30公里以内的某处向基 30 地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地 正北距基地40公里以内的某地向基地行 驶，试问在下午3：00时他们能够通过对 讲机交谈的概率有多大？
几何概率的计算公式
设几何概型的样本空间Ω可表示成有度 量的区域，仍记为Ω，事件A所对应的 区域仍以A表示，则事件A的概率为
A的度量 P( A) = Ω的度量
注： 几何度量又叫测度，可以是长度、 面积或体积，由问题本身决定。
说明：
所谓的几何概型就是事件A能理解为区域Ω 的某一子区域A，事件A的概率只与其相对 应的子区域A的几何度量(长度、面积或体 积)成正比，而与A的位置和形状无关。 运用几何概型解题的关键是从等可能的角 度理解概率为哪一种测度的比。解决问题 的关键就是如何构造一个与之对应的区域Ω 及其某一子区域A。
盘被等分成8个扇形区域.顾客随 意转动转盘，如果转盘停止转动 时，指针正好指向阴影区域，顾 客则可获得一套福娃玩具.问顾 客能得到一套福娃玩具的概率是 多少？
几种常见的几何概率模型
几种常见的几何概率模型济宁一中 贾广素(邮编：272000)电话：130********几何概型是高中阶段一个重要的概率模型,其求解方法是多种多样的.但我们只要掌握了几种常见的几何概型,就可以做到“举一反三”,做到真正的了解和掌握这一类题目的求法.下面我们就介绍几种常见的几何概型.一、长度型的几何概率模型例1、 如图1所示,平面上画了一些彼此相距a 2的平行线，把一枚半径a r <的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行相碰的概率。
分析：硬币不与直线相碰，可以看作硬币的中心O到直线的距离r OM >||，这样就可以把问题转化为中心O 到较近的一条直线的距离||OM 满足a OM r ≤<||的概率问题。
因为硬币是任意掷在平面上的，所以硬币中心O 到较近一条直线的距离||OM 在0到a 解：设事件A={硬币不与任一条平行相碰}，为了确定硬币的位置，由硬币的中心O 向靠得最近的平行线引垂线，垂足为M ，如图1所示，这样线段OM 的长度的取值范围是[]a ,0，只有当a OM r ≤<||时硬币不与平行线相碰。
由几何概率公式求得：a r a A P -=)(。
即硬币不与任一条平行相碰的概率为a r a -。
注：解决本题的关键是把硬币与直线的关系转化为中心到直线的距离，从而转化为长度型的几何概率问题。
二、角度型的几何概率模型例2、如图2所示，在直角三角形ABC 中，030=∠A ，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，求使|AM|>|AC|的概率。
分析：因为过一点作射线是均匀的，因而应把在∠内任射线CM 看作是等可能的。
基本事件为射线CM 落在内任一处。
使|AM|>|AC|的概率只与1ACC ∠以这是符合几何概型的。
解：记事件A={作射线CM ，使|AM|>|AC|}，在AB 任取一点1C 使得||||1AC AC =，所以1ACC ∆是等腰三角形，所以000175230180=-=∠ACC ，由几何概率公式求得：619015)(==A P 。
几何概型典型例题ppt课件
则△PBC 的面积不小于 S 的概率是（ ） 3
A． 2 B． 1 C． 3 D． 1
3
3
4
4
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
面积型概率（建系法）
1. 甲乙两人相约晚上7点到8点之间见面， 约定谁先到达约定地点就等对方20分钟， 等待超过20分钟则离开。求甲乙两人约 会成功的概率。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
长度型概率
1.在长为 1 的线段 AB 上取一点 C，则 AC 之间的
距离小于 1 的概率为 2
A． 1 4
C． 3 4
B． 1 2
D． 7 8
[0，2] 任取的一个整数，求上述方程有实根的概率． （Ⅱ）若 a 是从区间[0，3] 任取的一个实数， b 是从区间
[0，2] 任取的一个实数，求上述方程有实根的概率．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
面积型概率（建系法）
3.设有关于 x 的一元二次方程 x2 2ax b2 0 ． （Ⅰ）若 a 是从区间[0，3] 任取的一个整数， b 是从区间
面积型概率上半圆(圆
中阴影部分)中的概率是( )
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
几何概型教学案例
的 教学 设 计 １教 材 分 析 ．
１１ 材 的 地 位 与 作 用 ．教
“ 我射 了 ！ Ｉ ｈｔ） 为 了证 明 自己 的确 开 了枪 ， 蒙斯 还 拉 开 （ ｓｏ！ ” 埃 了枪 栓 ， 出 弹 壳 ， 后 叫 裁 判 过 来 检 查 。几 分 钟 之 后 ， 取 然 当值 主 裁 判 德 里 奥 斯 宣 布 ： 二 号 靶 位 的 选 手 （ 蒙 斯 ） 后 ～ 枪 “ 埃 最 的 成 绩 为 零 环 。” 时 。号 靶 纸 显 示 出 已 中两 弹 ． 是怎 么 回 此 ３ 这 事 ？ 两 弹 分 别 是 １．环 和８１ ， 道 埃 蒙 斯 帮 助 普 拉 纳 尔 打 ０６ ．环 难 了 一 枪 ？这 种 射 击 史 上 少 有 的 场 面 如 何 判 罚 ？ ｉ名 官 员 围在
教， 还是 对 学 生 的 学 ， 提 出 了 新 的挑 战 ， 时也 带 来 了新 的 都 同 机 遇 。 如 何 正 确 理 解 新 课 程 的 理 念 ， 确 把 握 教 学 观 念 的 转 正
赛 。还 剩 最 后 一枪 时 ，美 国人 埃 蒙 斯 领 先 中 国选 手 贾 占波 ３ 环 ， 居第 一 。贾 占波 率 先 发 枪 ，０１ 。这 意 味着 ， 位 １．环 埃蒙 斯 只 要 不 打 出低 于 ７１ 的成 绩 ， 能将 金 牌 收入 囊 中 。 而 ， ．环 就 然 就在 人 们 以为 埃 蒙 斯 将 稳 稳 夺 冠 时 ， 想 不 到 的 事 情 发 生 了 。埃 意 蒙 斯 要 击 发 ２ 靶 位 ， 大 利 亚 人 普 拉 纳 尔 站在 他 旁 边 。普 拉 号 澳 纳 尔 在 ９ 之 后 ， 时 排 在 第 ５ ， 经 与 金 牌 无 缘 。 拉 纳 尔 枪 暂 位 已 普
高中数学几何概型应用实例教案 新课标 人教版 必修3(A)
几何概型应用实例一
问题：估计π的近似值
模拟方法一：如图向边长为1的正方形内随机地撒一把
芝麻，统计落在圆形内的芝麻数m 和落在正方形内芝麻数n ， 则近似地有n m 1S ＝＝方圆πS ，即近似地：n
m ＝π.
模拟方法二：在Excel 中用产生随机函数RAND()产生两列随机数，分别代表随机点（x ，y ）的坐标.再在
第三列用IF()函数判断随机点（x ，y ）是否在
4
1圆内. 则用n m =4π进行估计π的近似值（其中m 表示落在41圆内的点的 总数，n 表示模拟总次数）.
几何概型应用实例二
小明家的晚报在下午5：30～6：30之间任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午
6：00～7：00之间的任何一个时间随机的开始晚餐.则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？ 模拟方法：建立平面直角坐标系，图中x ＝6，x ＝7，y ＝5.5，y ＝6.5围成一个正方形区域G.设晚餐在x （76≤≤x ）时开始，晚报在y （5.65.5≤≤y ）时被送到，这个结果与平面上的点（x ，y ）对应.于是试验的所有可能结果就与G 中的所有点一一对应.
由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此，试验属于古典概型.晚报在晚餐开始之前被送到，当且仅当y<x ，因此图中的阴影区域g 就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”.容易求得g 的面积为87，G 的面积为1.由几何概型的概率公式，“晚报在晚餐开始之前被送到”的 概率为
.87G ＝的面积的面积g。
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《几何概型》教学案例教学目标一、知识与技能目标（1）通过学生对几个几何概型的实验和观察，了解几何概型的两个特点。
（2）能识别实际问题中概率模型是否为几何概型。
（3）会利用几何概型公式对简单的几何概型问题进行计算。
二、过程与方法让学生通过对几个试验的观察分析，提炼它们共同的本质的东西，从而亲历几何概型的建构过程，并在解决问题中，给学生寻找发现、讨论交流、合作分享的机会。
教学重点几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。
教学难点建立合理的几何模型求解概率。
教学过程一、创设情境引入新课师：上节课我们共同学习了概率当中的古典概型，请同学们回想一下其中所包含的主要内容，并依据此举一个生活当中的古典概型的例子。
生甲：掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
师：请同学们判断这个例子是古典概型吗？你判断的依据是什么？生乙：是古典概型，因为此试验包含的基本事件的个数是有限个，并且每个基本事件发生的可能性相等。
师：非常好，下面允许老师也举一个例子，请同学们作以判断。
如图:把一块木板平均分成四部分,小球随机的掉到木板上，求小球掉在阴影区域内的概率。
生丙：此试验不是古典概型，因为此试验包含的基本事件的个数有无数多个。
师：非常好，此试验不是古典概型，由此我们可以看到，在我们的生活中确实存在着诸如这样的不是古典概型的实际问题，因此我们有必要对这样的问题作进一步更加深入的学习和研究。
今天这节课我们在学习了古典概型的基础上再来学习几何概型。
那到底什么是几何概型，它和古典概型有联系吗？在数学里又是怎样定义的呢？为此，我们接着来看刚才这个试验。
试验一师：请同学们根据我们的生活经验回答此试验发生的概率是多少？生丁：四分之一师：很好，那你是怎样得到这个答案的呢？生丁：就是用阴影的面积比上总面积。
师：非常好，下面我们再来看图中的右边这种情形，现在阴影的面积仍是总面积的四分之一，只不过阴影的形状及其位置发生了变化，那么此时小球落在阴影区域内的概率又是多少？生丁：仍是四分之一，还是用阴影的面积比上总面积。
师：非常好，请坐。
我们梳理一下我们刚才的发现。
首先此试验所包含的基本事件的个数为无数多个，并且每个基本事件发生的可能性相等，而所求的概率就是用阴影的面积比上总面积，所以此概率仅与阴影的面及有关系，而与阴影的形状和位置并无关系。
试验二在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出２ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.师：首先请同学们观察这个试验跟刚才那个试验有没有共同本质的东西。
生戊：此试验所包含基本事件的个数仍是无限多个，每个基本事件发生的可能行都相等。
师：所求的概率是多少？生戊：就是用取出的水样的体积比上总体积，答案是五百分之二。
试验三取一根长为60厘米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于20厘米的概率有多大?请同学首先思考讨论，老师作以分析如下：首先此试验所包含的基本事件的个数仍是无限多个，并且每个基本事件发生的可能性都相等。
现在把这根绳子抽象为一条线段，因此每做一次随机试验就可以理解为在对应这条线段上取一个点，也就是说一次随机试验就可以理解为线段上的一个点，那基本事件空间就可以理解为这条线段，因此此试验的本质就是在此线段上取一个点，能够使得事件A 发生，所以现在问题的关键是线段上找到可以使事件A 发生的点。
老师通过实物的演示帮助学生在线段上找到可以使事件A 发生的点。
师:通过刚才的演示我们可以发现，当取到的点在A 、B 之间的时候能够使得事件A 发生，因此这个问题又可以理解为：在此线段上取一点当这个点在A 、B 之间的时候的概率是多少？ 生己：就是用线段AB 的长度比上总长度，答案是三分之一。
老师对此问题作以小结：在剪刀剪的次数可以是无限多次的情况下，通过建立等量替代关系，在“每剪一次→绳子上一点”对应基础上，顺次建立“无数次随即剪→线段上所有点”，“剪数量→线段长度”对应关系，在“数（次数）→形（点）→数（长度）” 转换过程中，解决无限性无法计算的问题。
这样对应是内在的，逻辑的，因此建立的度量公式是合理的。
二、几何概型的建构 1、想一想⑴以上三个试验共同点:①所有基本事件的个数都是无限多个。
②每个基本事件发生的可能性都相等。
AB20cm20cm⑵三个试验的概率是怎样求得的？师：简单的说所求概率就是它们的面积之比、体积之比和长度之比，具体的说，就是把基本事件空间理解为一个区域，不妨记为Ω，而事件A 可以理解为它的一个子区域，而所求的概率就是用子区域A 的几何度量（长度、面积、体积）比上区域Ω的几何度量。
⑶我们把满足上述条件的试验称为几何概型，参照上述三个试验请给出几何概型的定义。
2、几何概型的定义事件A 理解为区域 的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。
满足以上条件的试验称为几何概型。
在几何概型中，事件Ａ的概率定义为其中 表示区域 的几何度量，表示 区域A 的几何度。
3、古典概型和几何概型的比较4、怎样求几何概型的概率对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解. ⑴ 利用几何概型的定义判断该问题能否转化为几何概型求解； ⑵ 把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω； ⑶ 把随机事件A 转化为与之对应的区域A ； ⑷ 利用几何概型概率公式计算。
三、几何概型的应用 练一练Ω=μμAA P )(ΩμΩA μΩ⑴在面积为S 的△ABC 边AB 上任取一点P,求△PBC 的面积大于 的概率。
⑵在高产小麦种子100ml 中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出3ml ，求含有麦锈病种子的概率是多少？⑶取一个边长为2a 的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。
答案: 试试看⑴一海豚在水池中自由游弋，水池长为30m,宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率．解：事件A=“海豚嘴尖离岸边不超过2m⑵面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率。
2a3S2331004π20米7523600184)(18416262030600203022====⨯-⨯==⨯=ΩΩμμμμA A A P m m｝a-r分析：首先可以判定此试验为几何概型，我们为了描述每一次随机试验的结果只需要确定硬币中心O 的位置即可，一旦中心位置确定，只要当中心O 到其最近平行线的距离大于其半径时，就满足事件A,由此不难想到由中心O 向靠的的最近的平行线引垂线，垂足为M,显然线段OM 长度是介于0到a 之间的一个实数，接下来我们做一条长度为a 的线段，因此这个实数在此线段上就对应着一个点，从而我们每做一次随机试验就可以理解为在此线段上取一个点，所以这条线段就可以理解为区域Ω,其长度为a 。
接下来我们再来看事件A 所理解的区域，首先看一种临界状态，就是当硬币与平行线相切时，此时中心O 到最近平行线的距离r,显然只有当中心O 到最近平行线的距离大于r 时满足事件A,所以事件A 理解的区域其长度应为a －r,所以 四、小结 学生自主小结 老师总结今天我们通过观察分析发生在我们生活中的三个试验，得到了它们共同的本质的东西，定义了几何概型，，通过几何模型的建立，从而实现了无限和无限的对接，进而归纳出几何概型的概率公式，以此我们可以解决生活中的这类具体问题。
由此我们可以发现我们的数学本身来源于生活，而又服务于生活，我们的生活是多姿多彩的，我们的数学也同样的多姿多彩的，让我们在今后的生活中学会观察和分析，从我们的生活中去发现和提炼更多的真善美的东西。
五、作业1 、分别举出一个生活中的古典概型和几何概型的例子2 、 P115 1、2ar a a a r A P -==的长度的长度],0[],()(教学反思本节课让学生对几个试验亲历感受基本事件的个数为不可数的情形下，从而引起思维的困惑，进而引导学生利用数形结合的思想，通过建立等量替代关系，实现无限和无限之间的对应转化，从而解决了无限性无法计算的问题，让学生理解这样的对应是内在的，逻辑的，因此建立的度量公式是合理的，这是本节课的难点，也是学生容易引起误会的地方。
本节课在教学方法上通过让学生亲历实验、观察蕴含在生活当中的几个问题，从中体会几何概型特点及其概率计算公式的几何意义，让学生在动手操作中，经历概念数学化的过程，让学生在感性活动基础上，浓墨重彩的勾画概念的建构过程，激发思维的困惑、迷茫直至清晰、透彻，从而让学生的思维从感性上升到理性。
本节课以问题为载体，通过设计活动，让学生参与并让学生成为探索问题的主体。
让学生在讨论中明知，在争论中解惑，在思考中提升。
例如，在对教材例题建模时，着重让学生讨论思考实际问题的模型是一维、二维还是三维。
结果因过程而精彩，现象因方法而生动，在运用公式时，不仅停留在代入数字的层面上，重点是寻找实际问题中的数学模型，即寻找公式适用的条件是否满足，着力点在公式前。
在这个过程中学生的主体地位得到体现，学生的资源得以充分开发，数学素养在原有的基础上得以提高和发展。