圆锥曲线高考题及答案
2020高考—圆锥曲线(解答+答案)
2020年高考——圆锥曲线1.(20全国Ⅰ文21)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.2.(20全国Ⅰ理20)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.3.（20全国Ⅱ文19）(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．4.（20全国Ⅱ理19）（12分）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．5.（20全国Ⅲ文21）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．6.（20全国Ⅲ理20）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．7.（20新高考Ⅰ22）（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8.(20天津18)（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．9.(20浙江21)（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10.（20江苏18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．11.(20北京20)（本小题15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．参考答案：1．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<． 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++． 代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=． 解得3n =-（舍去），32n =． 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2． 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.3．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.4．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.5．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52.6．解：（1）由题设可得54=，得22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ 的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52.7．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++．整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q . 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.8．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．9.（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32． （Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=， 所以点M 的纵坐标22M mt y m =-+． 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=， 因此22022(2)p m x m+=． 由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m，t =时，p．10.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =.设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+= 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=. 由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解； 由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.11.。
圆锥曲线高考真题专练(含答案)
（一）数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.由已知可得，点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB∠=∠.已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1，C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.解：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134a b a b+>+知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241ab⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214xy+=.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t≠，且||2t<，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则121k k+-=-，得2t=，不符合题设.从而可设l：y kx m=+（1m≠）.将y kx m=+代入2214xy+=得222(41)8440k x kmx m+++-=由题设可知22=16(41)0k m∆-+>.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk-+，x1x2=224441mk-+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-） 数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
高中数学-高考圆锥曲线难题
高中数学-高考圆锥曲线-难题-17道-教师版一、单选题1．（2011·湖北高考真题（文））（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（ ）A ．n=0B ．n=1C ．n=2D ．n≥3 【答案】C2．（2013·全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．112⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， C ．113⎛⎤-⎥ ⎝⎦， D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B二、解答题3．（2014·上海高考真题（文）） 在平面直角坐标系中，对于直线：0ax by c和点记1122)().ax by c ax by c η=++++（若<0，则称点被直线分隔.若曲线C 与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C 的一条分隔线.⑴求证：点被直线分隔；⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；⑶动点M 到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明轴为曲线E的分割线.【答案】(1)证明见解析；（2）11(,][,)22k ∈-∞-⋃+∞；（3）证明见解析. 4．（2014·福建高考真题（文））已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2. （1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明见解析.5．（2011·山东高考真题（文））在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=﹣3于点D（﹣3，m）．（1）求m2+k2的最小值；（2）若|OG|2=|OD|∙|OE|，（i）求证：直线l过定点；（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．【答案】（1）2 （2）见解析6．（2013·浙江高考真题（理））图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．【答案】（1）（2）7．（2013·湖北高考真题（文））（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1=λS 2？并说明理由．【答案】（1）（2）见解析8．（2011·广东高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，给定抛物线21:4L y x =，实数,p q 满足240p q -≥，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记(){}12,max ,p q x x φ=（1）过点()20001,04A P P P ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭作L 的切线交y 轴于点B ，证明：对线段AB 上的任一点(),Q p q ，均有()0,2P p q φ=； （2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足2400a b a ->≠，，过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),'(,)44E P P E P P ，12,l l 与y 轴分别交于,'F F ，线段EF 上异于两端点的点集记为X ，证明：112(,)(,)2P M a b X P P a b φ∈⇔>⇔=；（3）设()21(,)|15144y x D x y y x ⎧⎫≤-⎧⎪⎪⎪=⎨⎨⎬≥+-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，当点(),p q 取遍D 时，求(),p q φ的最小值（记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）min 1ϕ=，max 54ϕ=. 9．（2019·全国高考真题（理））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G . （i ）证明：PQG 是直角三角形； （ii ）求PQG 面积的最大值.10．（2018·浙江高考真题）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）⎡⎢⎣⎦.11．（2017·山东高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为2，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：1y k x =E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.【答案】（1）2212x y += （2）SOT ∠ 的最大值为π3 ，取得最大值时直线l 的斜率为12k =±. 12．（2017·浙江高考真题）如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围；（II ）求·PA PQ 的最大值 【答案】（I ）（-1，1）；（II ）2716. 13．（2014·重庆高考真题（理））如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 14．（2015·湖北高考真题（文））一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子在滑槽AB 内作往复运动时，带动绕O 转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8． 15．（2014·重庆高考真题（文））如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 16．（2015·江苏高考真题）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.【答案】（1）x 22+y2=1（2）y=x−1或y=−x+1．17．（2015·重庆高考真题（文））（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如图，椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1,F2,且过F2的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ⊥PF1.（Ⅰ）若|PF1|=2+√2，|PF2|=2-√2，求椭圆的标准方程.（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF1|，且34≤λ≤43，试确定椭圆离心率的取值范围.【答案】（Ⅰ）x 24+y2=1，（Ⅱ）√22<e≤√53.。
圆锥曲线大题精选(含答案解析)(适合文理科)
1．过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知抛物线为24x y =，点P ，Q 在直线l ：1y =-上，过P ，Q 两点对应的切点弦分别为AB ，CD()1当点P 在l 上移动时，直线AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由()2当AB CD ⊥时，点P ，Q 在什么位置时，PQ 取得最小值？详解：()1设()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1P x -，则2114x y =，2224x y =，抛物线的方程可变形为214y x =，则'2x y =， ∴直线PA 的斜率为01'|2PA x x xk y ===，∴直线PA 的方程()1112xy y x x -=-，化简()112x x y y =+，同理可得直线PB 的方程为()222x x y y =+，由()0,1P x -可得()()011x 2102221x y x x y =-⎧⎪=-⎨⎪⎩，∴直线AB 的方程为()021x x y =-，则{1x y ==是方程的解， ∴直线AB 经过定点()0,1．()2设(),1P P x -，(),1Q Q x -，由()1可知2PAB x k =，2Q CD x k =， AB CD ⊥，14P Q AB CD x x k k ∴⋅==-，即4P Q x x =-，P x ∴，Q x 异号，不妨设0P x >，则0Q x <，且4Q Px x =-， 44P Q P Q P PPQ x x x x x x ∴=-=-=+≥，当且仅当2P x =，2Q x =-时取等号， 即当()2,1P --，()2,1Q --时，PQ 取得最小值42．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC ∆的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由. 【详解】（1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,A a B b -由于ABC ∆的面积为3，1(2)32b a ∴+=，又由e =2a b =， 解得：=1b ，或=3b -（舍去），2,=1a b ∴=∴椭圆方程为2214x y +=；（2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+ 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N x x y =+ 1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++=由韦达定理得1221214x x k =+,1221614kx x k +=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k +==-+++22212412489363k k k =-++，是定值．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l x ⊥轴时，3RS =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若1214k k =-，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 详解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得112(22)223b c b a c ⋅⋅=+⋅，得12c a =①将x c =代入22221x y a b+=，结合222a b c =+②，得2b y a =±，所以223b a =③，由①②③得2,a b ==故椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）设点,P Q 的坐标分别为11,x y （），22,x y （）. ①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得331122P Q -（，），（，）或331122P Q -（，），（，），直线PQ 的方程为1x =②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+，联立得22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2224384120k x kmx m +++-=（）， 由222222644(43)(412)48(43)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，得2243k m +>21212228412,.(1)4343km m x x x x k k -+=-=++） 由1212121,(2)(2)4y y k k x x ==-++可得12124(2)(2)0y y x x +++=，得12124()()(2)(2)0kx m kx m x x +++++=，整理得221212(41)(42)()440,(2)k x x km x x m ++++++= 由（1）和（2）得2220m km k --=，解得2m k =或m k =-当2m k =时，直线PQ 的方程为2y kx k =+，过定点(2,0)-，不合题意； 当m k =-时，直线PQ 的方程为y kx k =-，过定点(1,0)， 综上直线PQ 过定点，定点坐标为(1,0).4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点(P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设()()0000,0Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E，取点(0,A ，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ，点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 详解：（1）因为焦距为4，所以224a b -=，又因为椭圆C过点(P ，所以22421a b +=，故28a =，24b =，从而椭圆C 的方程为22184x y +=已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点(P .（2）由题意，E 点坐标为()0,0x ，设(),0D D x ，则(0,AE x =-，(,D AD x =-，再由AD AE ⊥知，0AE AD ⋅=，即080D x x +=. 由于000x y ≠，故08D x x =-，因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点08,0G x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故直线QG 的斜率00020088QG y x y k x x x =--=.又因()00,Q x y 在椭圆C 上，所以220028x y +=.①从而002QG x k y =-，故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭② 将②代入椭圆C 方程，得()222200021664160nxy x x x y +-+-=③再将①代入③，化简得：220020x x x x -+=解得0x x =，0y y =，即直线OG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点()4,0D 的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其中120y y ≠.（1）若10x =，求OAB 的面积；（2）在x 轴上是否存在定点T ，使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形. 【详解】（1）当10x =时，代入椭圆方程可得A 点坐标为()0,1或()0,1- 若A 点坐标为()0,1，此时直线l ：440x y +-=联立2244044x y x y +-=⎧⎨+=⎩，消x 整理可得25830y y -+= 解得11y =或235y =，故B 83,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以OAB 的面积为1841255⨯⨯= ()0,1A -若点坐标为，由对称性知OAB 的面积也是45，综上可知，当10x =时，OAB 的面积为45. （2）显然直线l 的斜率不为0，设直线l ：4x my =+联立22444x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()2248120m y my +++= 由()226441240m m =-⨯+>，得212m >则12284m y y m +=-+，122124y y m =+ , 因为直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以0TA TB k k += 设(),0T t ，则()()()()()()()()122112121212111224TA TB y x t y x t my y t y y y y k k x t x t x t x t x t x t -+-+-++=+==------,即()()()()1212222848124240444m t m t m my y t y y m m m --+-+=+==+++,解得1t =.故x 轴上存在定点()1,0T ，使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形．6．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由. 【详解】 (1)ca =，22131a4b +=，又222a b c -=，解得2a 4=，2b 1=.所以，椭圆C 的方程为22x y 14+=(2)存在定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称. 设直线l的方程为x my 0+=，与椭圆C 联立，整理得，()224m y 10+--=.设()22B x ,y ，11x xy y 12+=，定点()Q t,0.(依题意12t x ,t x )≠≠则由韦达定理可得，12y y +=，1221y y 4m -=+.直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数.所以，1212y y0x t x t+=--，即得()()1221y x t y x t 0-+-=.又11x my 0+=，22x my 0+=，所以，))1221y my t y my t 0-+-=，)()1212t y y 2my y 0+-=.从而可得，)21t 2m 04m-⋅=+，即()2m 40=，所以，当t =，即Q ⎫⎪⎪⎝⎭时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地，当直线l 为x轴时，Q ⎫⎪⎪⎝⎭也符合题意. 综上所述，存在x轴上的定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.7．设椭圆22:182x y C +=，过点()2,1A 的直线AP ，AQ 分别交C 于不同的两点P 、Q ，直线PQ 恒过点()4,0B（1）证明：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值；（2）直线AP ，AQ 分别与x 轴相交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在定点G ，使得GM GN ⋅为定值?若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由.【详解】（1）设()()()()112234,,,,,0,,0P x y Q x y M x N x ，直线PQ AP AQ 、、的斜率分别为12,,k k k ，由()22448y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()222214326480k x k x k +-+-= >0∆，可得：222121222132648,,41414k k k x x x x k k -<+==++，()()()()12121212121212121241412(61)16411222224k x k x kx x k x x k y y k k x x x x x x x x -----++++--+=+=+=-----++2222222222648322(61)16416414814164832164241414k k k k k k k k k k k k k-⋅-+⋅++-++-+===----⋅+++（2）由()112y k x -=-，令0y =，得3112x k =-，即112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 同理4212x k =-，即212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设x 轴上存在定点()0,0G x 则 ()()20000121212111112222GM GN x x x x k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=-+-⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()212001212122k k x x k k k k ⎛⎫+=-+-⋅+ ⎪⎝⎭()()20012121122x x k k k k ⎛⎫-=-+-⋅+⎪⎝⎭，要使GM GN ⋅为定值，即0021,3x x -==故x 轴上存在定点()3,0G 使GM GN ⋅为定值，该定值为18．如图,已知抛物线E :y 2=4x 与圆M :(x -3)2+y 2=r 2(r>0)相交于A ,B ,C ,D 四个点.(1)求r 的取值范围;(2)设四边形ABCD 的面积为S ,当S 最大时,求直线AD 与直线BC 的交点P 的坐标. 【详解】(1)联立抛物线与圆的方程22224,(3),y x x y r ⎧=⎨-+=⎩消去y ,得x 2-2x+9-r 2=0.由题意可知x 2-2x+9-r 2=0在(0,+∞)上有两个不等的实数根,所以2244(9)0,90,r r ⎧∆=-->⎨->⎩解得3,即r. (2)根据(1)可设方程x 2-2x+9-r 2=0的两个根分别为x 1,x 2(0<x 1<x 2),则A (x 1),B (x 1, -C (x 2, -D (x 2且x 1+x 2=2,x 1x 2=9-r 2, 所以S=12(AB +CD )·(x 2-x 1)=12x 2-x 1) ==令∴(0,1),f (t )=S 2=4(2+2t )(4-4t 2)= -32(t 3+t 2-t -1), f'(t )= -32(3t 2+2t -1)= -32(t+1)(3t -1),可得f (t )在(0,13)上单调递增,在(13,1)上单调递减,即当t=13时,四边形ABCD 的面积取得最大值. 根据抛物线与圆的对称性,可设P 点坐标为(m ,0),由P ,A ,D 三点共线,21=1整理得m=--t=-13, 所以点P 的坐标为(-13,0).9．设椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>，离心率e =，短轴2b =点，以坐标轴为对称轴，焦点为()0,1， （1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为O ,A 为抛物线上第一象限内的点，B 为椭圆是一点，且有OA OB ⊥，当线段AB 的中点在轴上时，求直线AB 的方程． 【详解】 (1)由2e =得a =，又有b =222a b c =+，解得a = 所以椭圆方程为2212010y x +=由抛物线的焦点为()0,1得，抛物线焦点在y 轴，且12p=， 抛物线的方程为：24x y =(2)由题意点A 位于第一象限，可知直线OA 的斜率一定存在且大于0 设直线OA 方程为：y kx =，0k >联立方程24y kx x y=⎧⎨=⎩得：24x kx =，可知点A 的横坐标4A x k =，即()24,4A k k因为OA OB ⊥，可设直线OB 方程为：1y x k=-连立方程22112010y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：2222012k x k =+，从而得x =若线段AB 的中点在y轴上，可知B x =B ⎛ ⎝有4k =0k >，解得k =从而得12A ⎫⎪⎭，()B 直线AB的方程：8180y +-=10．已知中心在原点的椭圆C 1和抛物线C 2有相同的焦点(1，0)，椭圆C 1过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点为原点．(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；(2)设点P 为抛物线C 2准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 2的两条切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点．设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；②若直线AB 交椭圆C 1于C ，D 两点，S ∴PAB ，S ∴PCD 分别是∴PAB ，∴PCD 的面积，试问：PAB PCDSS是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由. 【详解】(1)因为抛物线C 2有相同的焦点(1，0),且顶点为原点,所以12p=,所以2p =, 所以抛物线2C 的标准方程为24y x =,设椭圆方程为22221x ya b +=,则1c =且222211914a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得224,3a b ==, 所以椭圆1C 的方程为:22143x y +=.(2)①证明:设(1,)P t -,过点P 与抛物线24y x =相切的直线为(1)y t k x -=+,由2(1)4y t k x y x -=+⎧⎨=⎩,消去x 得24440t y y k k -++=, 由∴=244()4(4)0tkk--+=,得210k tk +-=, 则121k k =-.②设1122(,),(,)A x y B x y 由①得112,y k =222y k =,则12221211,x x k k ==,所以直线AB 的方程为211121()y y y y x x x x --=--,所以211222122(1)11k k y y x k k --=--,即122(1)y x k k =--+,即直线AB 恒过定点(1,0),设点P 到直线AB 的距离为d ,所以PAB PCDS S1||||21||||2d AB AB CD d CD ⋅==⋅,当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为(1)y k x =-, 设3344(,),(,)C x y D x y ,由24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩,消去y 得2222(24)0k x k x k -++=, 0k ≠时,∴0>恒成立,||AB == 224(1)k k+=, 由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=,∴0>恒成立,则||CD == 2212(1)34k k+=+. 所以22224(1)12(1)34PAB PCD k S k k S k+=++22234144333k k k +==+>, 当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为1x =,此时||4AB =,||3CD =,PAB PCDS S43=, 所以PAB PCDS S的最小值为43.11.已知过圆1C ：221x y +=上一点12E ⎛ ⎝⎭的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B 恰好分别为椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q -，求证：PM PN ⊥. 【详解】（1）直线OE l的方程为y ，则直线AB l的斜率AB k =. 所以AB l：y x =A ⎛ ⎝⎭，()2,0B ，椭圆方程为：221443x y +=； （2）①当MN k 不存在时，()1,1M -，()1,1N --，因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=，所以PM PN ⊥.②当MN k 存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN l ：()1y k x =+，联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得：()2222136340k x k x k +++-=.所以2122613k x x k +=-+，21223413k x x k-=+，又已知左顶点P 为()2,0-， ()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+，又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+， 所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++2222234124123013k k k k k --++-==+，所以PM PN ⊥.综上PM PN ⊥得证.12.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，且1213k k ⋅=-，椭圆的焦距长为4. （1）求椭圆C 的离心率；（2）过右焦点F 且倾斜角为30的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，分别记ABM ∆，ABN ∆的面积为1S 、2S ，求12S S -的值. 【详解】（1）设点()()000,P x y x a ≠，则2200221x y a b+=，①∵2000122200013y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==-+--，②∴联立①②得()()222230b a x a --=，∴()2203a a b x =≠，∴22222212133a b e a a c -===-=，∴e =. （2）由题意知，24c =，即2c =，由（1）知，223a b ，∴22224a b c b =+=+，∴22b =，26a =，∴椭圆C 的方程为：22162x y +=，由已知得l：)2y x =-.联立)2223162y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得2210x x --=.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据韦达定理，得122x x +=，于是)12121212S S y x x -=⨯+=+13．（本小题满分12分）记抛物线2::2C y x =-的焦点为F ，点M 在抛物线上，(3,1)N -，斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于P Q ，两点．（1）求||||MN MF +的最小值；（2）若(2,2)M -，直线MP MQ ，的斜率都存在，且20MP MQ k k ++=；探究：直线l 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【解析】（1）设抛物线C 的准线为l '，过点M 作1MM l '⊥，垂足为1M ，过点N 作1NN l '⊥，垂足为1N ，如图：则117||||||2MN MF MN MM NN +=+=，即||||MN MF +的最小值为72． （2）设直线l 的方程为()11,,y kx b P x y =+，()22,Q x y ，将直线l 与抛物线C 的方程联立得22y kx b y x=+⎧⎨=-⎩，222(22)0k x kb x b +++=，212122222,kb b x x x x k k --+== ① 又121222222MP MQ y y k k x x --+=+=-++， 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x bx x x x ++++-++-=--+-，将①代入得，222(1)0b b k b ---+=，即(1)(22)0b b k +--=，得1b =-或22b k =+， 当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-；当22b k =+时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)M -（舍去）． 综上所述，直线l 过定点(0,1)-．14．（本小题满分12分）已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ，N 两点，满足||4MN =． （I ）求抛物线Γ的方程；（II ）若P 为Γ上动点，B ，C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ，求PBC 面积的最小值． 【解析】（I ）抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为,04a F ⎛⎫⎪⎝⎭，则过点F 且斜率为1的直线方程为4ay x =-， 联立抛物线方程2y ax =，消去y 得：2230216a ax x -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，则1232a x x +=， 由抛物线的定义可得12||242aMN x x a =++==，解得2a =，∴抛物线的方程为2:2y x Γ=．（II ）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ，不妨设b c >，00:PB y bl y b x x --=，化简得：()0000y b x x y x b --+=，圆心()1,0到直线PB 的距离为11=，即()()()222220000002y b x y b x b y b x b -+=-+-+，不难发现02x >，上式又可化为()2000220x b y b x -+-=，同理有()2000220x c y c x -+-=，∴,b c 可以看做关于t 的一元二次方程()2000220x t y t x -+-=的两个实数根，0022y b c x -∴+=-，()()220002020042,()22x y x x bc b c x x +--=∴-=--， 由条件：2002y x =()2220042()22x x b c b c x x ∴-=∴-=--，， ()()20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--，当且仅当04x =时取等号， ∴PBC S △面积的最小值为8．15．（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴的正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足3.4OA OB ⋅=- （1）求抛物线C 的方程；（2）若P 是抛物线C 上的动点，点,M N 在x 轴上，圆2211x y +-=（）内切于PMN ∆，求PMN ∆面积的最小值． 【解析】（1）由题意，设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>，则焦点F 的坐标为02p（，）．设直线l 的方程为()()11222py kx A x y B x y =+，，，，， 联立方程得222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得2222220,440x pkx p p k p --=∆=+>，∴221212122.4p x x pk x x p y y +==-=，，∵121234OA OB x x y y ⋅=+=-，∴ 1.p =故抛物线的方程为22x y =．(2)设()()()()0000000P x y x y M m N n ≠,,,,,，易知点M N ,的横坐标与P 的横坐标均不相同，不妨设m n >，易得直线PM 的方程为()00y y x m x m=--化简得()0000y x x m y my ---=，又圆心（0，1）到直线PM 的距离为11=，∴()()()222220000002x m y x m my x m m y -+=-+-+，不难发现02y >，故上式可化为()2000220y m x m y -+-=，同理可得()2000220y n x n y -+-=，,m n ∴可以看作是()2000220y t x t y -+-=的两个实数根，则0000222x y m n mn y y --+==--,,∴()()()2222000204484.2x y y m n m n mn y +--=+-=- ∵()00P x y ，是抛物线C 上的点，∴2002x y =，则()()222042y m n y -=-，又02y >，∴02,2y mn y =- 从而()02000000014242222PMNy y S m n y y y y y y ∆=-=⋅==-++---48≥=，当且仅当()2024y-=时取得等号，此时004,y x ==±故△PMN 面积的最小值为8．16．（12分）已知直线与抛物线：交于，两点，且2x p =C ()220y px p =>P Q POQ∆的面积为16（为坐标原点）. （1）求的方程；（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，证明：为定值.【解析】（1）将代入，得，所以的面积为. 因为，所以，故的方程为.（2）证明：由题意设直线的方程为，由，得.设，，则，所以.因为线段的中点的横坐标为，纵坐标为，所以线段的垂直平分线的方程为，令，得，所以的横坐标为，所以，故为定值.17．（12分）已知椭圆2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线与椭圆C交于点E ，F ，过点E 作轴于点M ，直线FM 交椭圆C 于另一点N ，证明：． 【解析】（1）由题，，∴，， 故椭圆方程为； O C l C F l x C A B AB x D AB DF2x p =22y px =2y p =±POQ ∆21244162p p p ⨯⨯==0p >2p =C 24y x =l ()()10y k x k =-≠()214y k x y x⎧=-⎨=⎩()2222240k x k x k -++=()11,A x y ()22,B x y 212224k x x k ++=212244k x x p AB k +=++=AB 212222x x k k ++=2kAB 22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭0y =223x k =+D 223k +2222312k D kF =+-=+2AB DF =2222:1(0)x y C a b a b +=>>y kx =EM x ⊥EF EN ⊥2c a =22c =a =1e =1b =2212x y +=（2）设，，，则，与椭圆方程联立得，由得，， ∴，即.18．（12分）如图，设抛物线21C x y =与()22:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >，过M 且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ，过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ，记S 为MBA ∆的面积.（∴）求p 的值（用t 表示）； （∴）若1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求t 的取值范围.注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切. 【解析】00(,)E x y ()00,F x y --00(),M x 000:()2FM y l y x x x =-()22222220002240x y x x y x x y x +-+-=2000220022N F N x y x x x x x y +=-=+230002200322N x y x x x y +=+()0000000000022N N ENN N N y x x y y y y y x k x x x x x x x ---===----00230000022003222y y x y x x x x y =-+-+2200000222220000000222224y y y x y x x x x y x y +=-=⋅+-+2220000000000022222y x y x x x x y x y y +-=-==-00001EN EF x y k k y x ⋅=-⋅=-EF EN⊥（∴）因点M 在抛物线1C :2x y =上,故()()2,0M t tt >，又点M 在抛物线2C ：()220y px p =>上,故()222tpt =,则32t p =（∴）设点()11,A x y ,直线MA 的方程为()2y k x t t =-+，联立方程组22(),,y k x t t x y ⎧=-+⎨=⎩消去y ,得220x kx kt t -+-=，则()()222420k kt tk t ∆=--=-=，因此2k t ，即直线MA的方程为22y tx t =-则直线MA 的斜率223112211132y t y t t k t y x t y t t t --====-+-，从而212t y =-,即2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理,直线MB 的方程为222t t y x =+,点2,24t t B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此2t MB t =-=2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线MB ：2022t t x y -+=的距离29t d ==MBA ∆的面积23911272232t t S MB d ===，即32732t S =，因为1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即31272432t ≤≤，解得24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.19.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b ＞＞)C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x ＞．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形．若P 在直线MN 右下方，求m 的值． 【解析】 （1）依题意，1b =，因为离心率c e a ===，=a = 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（2）因为直线y x m =+的倾斜角为45︒，且PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 右下方，所以NP x ∥轴．过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，所以()12,Q x y ，故()1222,P x x y -， 所以()12232450x x y -+-=， 即()()12232450x x x m -++-=， 整理得126450x x m ++-=．①由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+＞，解得22m -＜＜， 所以1232x x m +=-，②()212314x x m =-，③ 由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，解得1m =-．综上，m 的值为1-．20．（12分）已知直线2x p =与抛物线C ：()220y px p =>交于P ，Q 两点，且POQ∆的面积为16（O 为坐标原点）． （1）求C 的方程．（2）直线l 经过C 的焦点F 且l 不与x 轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，试问在x 轴上是否存在点E ，使AB DE为定值？若存在，求该定值及E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）将2x p =代入22y px =，得2y p =±，所以POQ ∆的面积为21244162p p p ⨯⨯==． 因为0p >，所以2p =，故C 的方程为24y x =． （2）由题意设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，由()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224k x x k ++=，所以212244||k AB x x p k+=++=． 因为线段AB 的中点的横坐标为212222x x k k++=，纵坐标为2k ， 所以线段AB 的垂直平分线的方程为22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭， 令0y =，得223x k =+，所以D 的横坐标为223k +，设(),0E t ，则()2223223t k DE t k k-+=+-=，()224432AB k DE t k +∴=-+， 所以当且仅当32t -=，即1t =时，AB DE为定值，且定值为2，故存在点E ，且E 的坐标为()1,0．21.已知直线l 与抛物线()2:20C x py p =>相交于,A B 两个不同点，点M 是抛物线C 在点,A B 处的切线的交点。
2024高考巴蜀圆锥曲线解答题解析
2024高考巴蜀圆锥曲线解答题解析一、解答题1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知抛物线()2:20E y px p =>，O 是坐标原点，过()4,0的直线与E 相交于A ，B 两点，满足OA OB ⊥．(1)求抛物线E 的方程；(2)若()0,2P x 在抛物线E 上，过()4,2Q -的直线交抛物线E 于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率都存在，分别记为1k ，2k ，求12k k ⋅的值．3【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知抛物线2:4,,C x y M N =为抛物线C 上两点，,M N 处的切线交于点()00,P x y ，过点P 作抛物线C 的割线交抛物线于,A B 两点，Q 为AB 的中点.(1)若点P 在抛物线C 的准线上，（i ）求直线MN 的方程（用含0x 的式子表示）；（ii ）求PMN 面积的取值范围.(2)若直线MQ 交抛物线C 于另一点D ，试判断并证明直线ND 与AB 的位置关系.【答案】(1)（i ）012y x =【详解】（1）（i ）设点221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为抛物线2:4C x y =，得12y x '=，则()21111:42MP x l y x x x -=-，整理得2111124y x x x =-①，()22221:42NP x l y x x x -=-，整理得2221124y x x x =-②，联立①②得()0120121214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点P 在抛物线C 的准线上，即直线1y =-上，所以124x x =-，设直线MN 的方程为y kx b =+，斜率必存在，联立24=+⎧⎨=⎩y kx bx y ，消去y 得2440x kx b --=，所以212012Δ161604244k b x xk x x x b ⎧=+>⎪+==⎨⎪=-=-⎩，得0121k x b ⎧=⎪⎨⎪=⎩.所以直线MN 的方程为0112y xx =+；（ii ）由（i ）得21x x -=（2）直线ND 与AB 平行，证明：直线AB 斜率必存在，设消去y 得20444x kx kx -++=则()2034340161610444k kx x x k x x kx ⎧-+>⎪+=⎨⎪=+⎩，得则直线(21:4MQ x l y k x x '-=-()2122011214442x k k x x x k x ----=-整理得()(221284k x x k ---则2211112842D kx k x kx x x k x -+-=-则2101284142D kx k kx y k x ⎛-+-= -⎝【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般联立方程，然后用韦达定理来解决问题，特别是当一个交点知道的情况下，3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知()()122,0,2,0C C -，动点P 满足1PC 与2PC 的斜率之积为定值14.(1)求动点P 的轨迹Γ的方程；(2)过点()4,0M 的直线l 与曲线Γ交于,A B 两点，且,A B 均在y 轴右侧，过点A 作直线:1l x '=的垂线，垂足为D .（i ）求证：直线BD 过定点；（ii ）求MBD 面积的最小值.【答案】(1)(22104x y y -=≠(2)（i ）证明见解析；（ii ）3【分析】（1）设动点P 的坐标，由题意列式并化简，即可得答案；（2）（i ）设直线方程:l x my =结合题意有(2212212240Δ644884124m m m m y y m y y m ⎧-≠⎪=-⎪⎪-⎨+=⎪-⎪⎪⋅=<-⎩解得22m -<<，且122my y =又直线BD 的方程为1y y -=令0y =，则()122111y x x y y -=--()(122121235422=y y y y y y y y ++-=-4．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知点00(,)P x y 是椭圆E :221(0)a b a b +=>>上的动点，离心率2e =设椭圆左、右焦点分别为12,F F ，且12|||4|PF PF +=(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线12,PF PF 与椭圆C 的另一个交点分别为A ，B ，问PAB 面积是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．5．（23-24高三上·重庆·期中）已知椭圆C :()2210a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,01,0F F -,，椭圆C 上一动点A 在第二象限内，点A 关于x 轴的对称点为点B ，当AB 过焦点1F 时，直线2AF 过点30,4⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)点B 与焦点2F 所在直线交椭圆C 于另一点P ，直线AP 交x 轴于点T ，求TAB △面积最大时，点A 横坐标的值.【答案】(1)22143x y +=(2)13-设直线PB 的方程为1x my =+，联立得()2234690m y my ++-=，由于直线则12122269,343m y y y y m m -+=-=++直线PA 的方程为(21121y y y y x x ++=-令0y =，得(1121212y my y x y x x y y ==++即(4,0)T ；()()1114||432TABS x AB x =-⋅=-6．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆C ：()2210a b a b +=>>的上、下顶点分别为A ，B ，左顶点为D ，ABD △(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆外一点(),0M m 的直线交椭圆于P ，Q 两点，已知点P 与点P '关于x 轴对称，直线P Q '与x 轴交于点K ；若AKB ∠是钝角，求m 的取值范围．【点睛】方法点睛：求解椭圆的方程，关键是求得所以需要两个条件，如本题中，等边三角形以及等边三角形的面积，一共两个条件，用这两个条件列方程组，即可求得,a 7．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）如图3所示，点1F ，A 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点和右顶点，点F 为抛物线2:16C y x =的焦点，且124OF OA OF ==（O 为坐标原点）.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点1F 作直线l 交椭圆E 于B ，D 两点，连接AB ，AD 并延长交抛物线的准线于点M ，N ，求证：1MF N ∠为定值.8．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆()22:10x y C a b a b +=>>的离心率为e =，且经过点()1,e .(1)求椭圆C 的方程；(2)若A ，F 分别为椭圆C 的上顶点和右焦点，直线()3:0l y kx k =->与椭圆C 交于点B ，D ，F 到直线AB ，AD 的距离分别为1d 和2d ，求证：12d d =.。
圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))
圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小． 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。
全国一卷圆锥曲线高考题汇编含答案#(精选.)
高二数学专题学案圆锥曲线部分高考试题汇编(椭圆部分)1、(2016全国I卷)(20)(本小题满分12分)设圆x2 + y2 + 2x—15 = 0的圆心为4直线l过点B (1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明|EA| + |EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于PQ两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.x2 y22、（2015全国I卷）（14）一个圆经过椭圆7十一二1的三个顶点，且圆心在乂轴上，则该圆的标准方程16 4为。
3、（2014全国I卷）20.（本小题满分12分）已知点A（0，-2），椭圆E：上+ y2= 1（a > b > 0）的离心率为3，，F是椭圆a2 b2 2的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.（I）求E的方程；（II）设过点A的直线l与E相交于P, Q两点，当A OPQ的面积最大时，求l的方程.4、（2016山东卷）（21）（本小题满分14分）平面直角坐标系g中，椭圆C：：喙=1（a>b>°）的离心率是浮，抛物线E3x=2'的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点6，记^PFG的面积为S j ^PDM的面积为S2，求S-的最大值及取得最大值2时点P的坐标.八- x 2 Y 2 一，，〜5、（2015山东卷）（20）（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ：— + ） =1（a > b > 0）a 2 b2的离心率为*，左、右焦点分别是F , F ，以F 为圆心，以3为半径的圆与以F 为圆心，以1为半径的 2 1212圆相交，交点在椭圆C 上. （I ）求椭圆C 的方程；x 2 y 2（H ）设椭圆E ：江+而二1，P 为椭圆C 上的任意一点,过点P的直线厂"m 交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.圆锥曲线部分高考试题汇编（双曲线部分）1、（2016全国I 卷）（5）已知方禾m 2+n--就工=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的i ）求|OQ | | OP |的值；（ii ）求A ABQ 面积最大值.取值范围是（2、（2015全国I 卷）（5）已知M （x 0 丫0）是双曲线C ： --W= 1上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若西 • MF 2 <0,则y 0的取值范围是（2J3(D )(一二33、（2014全国I 卷）4.已知F 是双曲线C ： x 2 - my 2 = 3m （m > 0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A . <3B .3C . <3mD . 3mx 2 y 24、（2016山东卷）（13）已知双曲线E_,： ---= 1 （a >0, b >0）,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上， 1a 2b 2AB , CD 的中点为E 的两个焦点，且21AB |=3|BC |,则E 的离心率是.x 2 y 25、（2015山东卷）（15）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C : 一--—= 1（a > 0,b > 0）的渐近线与抛物线1a 2 b2C : x 2 = 2py （p > 0）交于点O , A , B ，若A OAB 的垂心为C 的焦点，则C 的离心率为. 2 21x 2 y 2 x 2 y 26、（2014山东卷）（10）已知a > b ，椭圆C 的方程为—+ -- = 1 ,双曲线C 的方程为——^- = 1, C1 a2 b 2 2 a 2 b 2 1与C 的离心率之积为二，则C 的渐近线方程为（）222（A ） x 土 <2y = 0 （B ） J2x 土 y = 0 （C ） x 土2y = 0 （D ） 2x 土 y = 0圆锥曲线部分高考试题汇编（抛物线部分）(A )(-1,3)(B )(-1八”)(C )(0,3)(D )(0,\与)2<2 (C )(-—— 32<31、（2016全国I卷）（10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A, B两点，交C的准线于D, E两点.已知| AB | = 4"；2 , | DEI= 2d5，则C的焦点到准线的距离为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）82、（2015全国I卷）（20）（本小题满分12分）x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y =—与直线y = kx + a（a >0）交与M,N两点，（I）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（II）y轴上是否存在点R使得当k变动时，总有N OPM =Z OPN ?说明理由。
（完整版）圆锥曲线高考真题
（完整版）圆锥曲线⾼考真题（1）求M 的⽅程（2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对⾓线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的⾯积最⼤值.2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上⼀点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另⼀个交点为N.（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离⼼率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .3.已知椭圆C ：，直线不过原点O 且不平⾏于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1) 证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点（）,延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平⾏四边⾏？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.4.已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平⾏于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的⾯积是△ABF 的⾯积的两倍，求AB 中点的轨迹⽅程.5.已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的⽅程．6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上⼀点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：FA u u u r，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离⼼率为，且经过点(0,1)，圆22221:C x y a b +=+。
高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题（含答案）一、单选题1．双曲线2228x y -=的渐近线方程是（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．2C ．21+D ．21-3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，1AP =，若点M 是侧面CBP 内一动点，且满足AM BC ⊥，则点M 的轨迹长度的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．23D ．324．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．46．已知抛物线M ：24y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，斜率为()0k k >的直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，且点A ，B 分别位于第一、四象限，交抛物线的准线l '于点C ．若2ACFABFSS=，2BF =，则AOBS=（ ）A ．33-B ．33+C ．2D ．231+7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．33y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±8．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点.若点P 在E 上，2OP OQ =-，22PF OF =，1132QF OF =，则E 的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．31+9．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于A ．42B ．83C ．24D ．4810．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，直线20l :x y '-+=，动点M 在C 上运动，记点M 到直线l 与l ′的距离分别为d 1，d 2，O 为坐标原点，则当d 1+d 2最小时，cos ∠MFO ＝（ ） A ．22B ．23C ．24D ．2611．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别是棱1,AA BC 上的动点，若2MN =，则线段MN 的中点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一部分球面D ．两条平行线段12．已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（ ）A 1B C D二、填空题13．已知点(3，2)在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.14．过点且渐近线与双曲线22:12x C y -=的渐近线相同的双曲线方程为______.15．焦点在y 轴上的双曲线221y mx -=，则m 的值为___________.16．已知过抛物线C ：y 2＝8x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，AB BM =，则A 点的横坐标为___．三、解答题17．求经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．18．已知椭圆C ：22143x y +=，过椭圆右焦点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求MN 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且椭圆C 经过点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程.(2)不过点P 的直线:2l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y b C b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．21．已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的两点.（1）求椭圆G 的离心率；（2）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程.22．已知椭圆C 的离心率2e =()10,1B -，()20,1B . (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知点P 在圆22:4O x y +=上运动，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点A 满足12AQ PQ =. （1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线E 交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.24．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点. （1）求抛物线1C 的方程； （2）证明：直线AD 与圆2C 相交参考答案1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A 13．点在椭圆外 14．22163x y -=15．4 16．417．设所求的等轴双曲线的方程为：()220x y λλ-=≠，将(3,1)A -代入得：()2231λ--=，即=8λ， 所以等轴双曲线的标准方程：22188x y -=18．解：由椭圆C ：22143x y +=知，2a =，b =1c =，所以椭圆C 的右焦点为()1,0F ．当直线l 的斜率不存在时，223b MN a==． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆C 的方程得()22223484120kxk x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以=MN ()222121333434+==+++k k k因为20k ≥，所以(]3,4MN ∈． 综上，MN 的取值范围是[]3,4． 19．(1)因为12c e a ==，所以2a c =，所以222234b a c a =-=.因为椭圆C 过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以221914a b +=，所以24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)因为直线l 不过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且直线P A ，PB 的斜率存在，所以72k ≠且12k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22341640k x kx +++=， 则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 由()()221616340k k ∆=-+>，得214k >且72k ≠.因为()()12121212121212121273377272222211111kx x k x x y y kx kx k k x x x x x x x x ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭+=+=+=+++++++， 所以2221222271682712482134343416416713434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-++++===-+-+++， 即12k k +为定值，且123k k +=.20．（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==， 椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=．（2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线， 设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2y ==， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSS SOF y OFy O y y y F y =+=+=-=-==， 化简得4259m=，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上， 所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,4x y ==即321,,48A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 21．解：（1）由已知2b =， 由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a ==； （2）当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件； 设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-），点(),C C C x y ，由22131124y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222316(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B 和点C 的横坐标， 所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)431C k x k --=+，所以2236131C k k y k --+=+，因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，2222963961(3,1),3131k k k k AB AC k k ⎛⎫-----⋅=-⋅ ⎪++⎝⎭2236128031k k k --==+， 即(32)(31)0k k -+=， 123k ，213k =-， 当213k =-时，即直线AB ，与已知点C 不同于点A 矛盾，所以123BC k k ==， 所以直线BC 的方程为213y x =-. 22．（1）由题意可设椭圆为22221x y a b+=由题意可得c e a ==1b =，可得a =所以椭圆的方程为：2212x y +=.（2）联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：()222124220k x kmx m +++-=， 由题意可得()()222216412220k m k m ∆=-+-=，可得2212m k =+；可得()242212P km k x m k -==-+，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 联立2y kx mx =+⎧⎨=⎩，可得2Q x =，2Q y k m =+，即()2,2Q k m +，设在x 轴上存在()0,0N x .由0PN QN ⋅=，可得()0021,2,20k x x k m m m ⎛⎫+-⋅---= ⎪⎝⎭，可得200242210k k k x x m m m ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即()200022110kx x x m-++-=， 可得20002101x x x ⎧-+=⎨=⎩，可得01x =，即定点()1,0N .23．（1）设(,)A x y ，11(,)P x y ， ∵12AQ PQ =，∴A 为PQ 的中点， ∴11,2,x x y y =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +=，即2214x y +=.∴点A 的轨迹E 的方程2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为32y kx =+，将直线方程代入椭圆方程中得22(14)1250k x kx +++=， ∴222251444(14)56420016k k k k ∆=-⨯+=->⇒>. 设1122(,),(,)M x y N x y ，∴12133||224OMN POM PON S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=令2914()4t k t =+>，则214k t -=，∴3344OMN S S ∆====∵914049t t >⇒<<，∴129t =时，34143OMN S ∆≤⨯=，∴S 的最大值1.24．（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点，所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点， 所以()0,4F ，则42p=，解得8p =， 故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ， 所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -，设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =， 设直线AD 的方程为y mx n =+，联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =， 故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-， 而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-， 且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴，因此，直线AD 与圆2C 相交.。
高考经典圆锥曲线习题(含答案)
高考圆锥曲线试题精选一、选择题：（每小题5分，计50分）1、(2008海南、宁夏文)双曲线22110x y -=的焦距为（ ）2.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3 C ．27D ．4 3．（2006辽宁文）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．（2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向 抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（ ） （A ）48. （B ）56 （C ）64 （D ）72.5.(2007福建理)以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A .B.C .D.6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A ．13422=+y xB ．16822=+y xC ．1222=+y x D ．1422=+y x 7．（2005湖北文、理）双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163B ．83C ．316D ．388. (2008重庆文)若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( )(A)2(B)3(C)4(D)429．（2002北京文）已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么 双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 二、填空题：（每小题5分，计20分）11. （2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是_________________________12．(2008江西文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为y x =， 若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．13.（2007上海文）以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的 抛物线方程是 ．三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）15.（2006北京文）椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥== （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M , 交椭圆C 于,A B 两点, 且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程..16．（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.17.(2007安徽文)设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.(Ⅰ)过点P （0，-4）作抛物线G 的切线,求切线方程:(Ⅱ)设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ，求四边形ABCD 面积的最小值.18．(2008辽宁文) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？19. （2002广东、河南、江苏）A 、B 是双曲线x 2－y22＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？20.（2007福建理)如图，已知点F （1，0），直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且＝。
高三数学圆锥曲线试题答案及解析
高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【答案】D【解析】以为高线，为顶点作顶角为的圆锥面，则点就在这个圆锥面上，用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得：是的中点，利用中点坐标公式，得,在双曲线上，所以代入双曲线方程得：,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质；2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为：,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点；2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.（Ⅰ）求动点轨迹的方程；（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．由，得．故曲线的方程为． 5分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得． 7分设，，，．从而．11分当直线的斜率不存在时，得，得．综上，恒有． 12分【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，则，，故椭圆的标准方程为 5分（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，又圆与轴相切，故点的坐标为，不妨设点位于第一象限，因为，所以， 7分代入椭圆的方程，可得，因为，解得， 10分所以圆的圆心为，半径为，其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点，抛物线上点满足（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）点的坐标为(,)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点，、两点的横坐标均不为，连结、并延长交抛物线于、两点，设直线的斜率为,问是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）利用抛物线的定义得到，再得到方程；（Ⅱ）利用点的坐标表示直线的斜率，设直线的方程，通过联立方程，利用韦达定理计算的值.试题解析：（Ⅰ）由题根据抛物线定义，所以，所以为所求． 2分（Ⅱ）设则，同理 4分设AC所在直线方程为，联立得所以， 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得， 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程，直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度. （Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补，求证:.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程，再利用换元法求范围，利用参数方程代入，计算得到结果.试题解析：(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为， 2分设，所以的取值范围是 4分（Ⅱ）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），（5分）代入得：即 7分同理 9分所以（10分）【考点】极坐标、参数方程，换元法应用.10.已知直线，，过的直线与分别交于，若是线段的中点，则等于（）A．12B．C．D．【答案】B【解析】设、，所以、．所以．故选B．【考点】两点之间的距离点评：主要是考查了两点之间的距离的运用，属于基础题。
圆锥曲线求方程真题练习(解析版)
圆锥曲线求方程真题练习（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．2．已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点． (1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；①PQ AB ∥；①||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.4．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求①AMN 的面积的最大值.9．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．10．抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析11．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.12．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.13．已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．14．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.15．已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ①x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.（1C 上. （①）求C 的方程；（①）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.17．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.18．已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的焦点，直线AFO 为坐标原点． (1)求E 的方程； (2)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程．19．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆 M ：22221x y a b +=（ 0a b >>）右焦点的直线0x y +交 M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且 OP 的斜率为12.（①）求椭圆M 的方程； （①）C ， D 为M 上的两点，若四边形ACBD的对角线 CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，长轴长为4，离心率为12．过点(4,0)Q 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线,AF BF 的斜率分别为()122,0k k k ≠，求证：12k k 为定值．。
圆锥曲线--2023高考真题分类汇编完整版
圆锥曲线--高考真题汇编第一节椭圆1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则OP =（）A.25 C.35【解析】解法一（利用焦点三角形面积公式）:设122F PF θ∠=，π02θ<<.22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====++，解得1tan 2θ=.由椭圆焦点三角形面积公式得1222121tantan 6322F PF F PF S b b θ∠===⨯=△.121211322F PF P P S F F y ===△，解得23P y =.则代入椭圆方程得292P x =，因此302OP ==.故选B.解法二（几何性质+定义）:因为1226PF PF a +==①，22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=，即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②，联立①②，解得12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，而12F F =，解得302OP =.故选B.解法三（向量法）:由解法二知12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.而()1212PO PF PF =+，所以1213022PO PF PF =+===.故选B.2.（2023全国甲卷文科7）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅= ，则12PF PF ⋅=（）A.1B.2C.4D.5【分析】解法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可解出；解法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【解析】解法一：因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠= ，从而122121tan 4512F PF S b PF PF ===⨯⋅ △，所以122PF PF ⋅=．故选B.解法二：因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠= ，由椭圆方程可知，25142c c =-=⇒=，所以22221212416PF PF F F +===，又122PF PF a +==22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=，所以122PF PF ⋅=．故选B.3.（2023新高考I 卷5）设椭圆()2212:11x C y a a +=>，222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e .若21e =，则a =（）A.233B.【解析】11a e a =，232e =，由21e =可得32=，解得233a =.故选A.4.（2023新高考II 卷5）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB △的面积是2F AB △面积的2倍，则m =（）A.23B.3C.3-D.23-【解析】设AB 与x 轴相交于点(),0D m -，由122F AB F AB S S =△△，得122F DF D=.又12F F =23F D =，则有()3m --=，解得3m =.故选C.第二节双曲线1.（2023新高考I 卷16）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =- ，则C 的离心率为.【解析】解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设()()()12,0,,0,0,F c F c B n -，由2223F A F B =- 可得52,33A c n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又11F A F B ⊥ 且182,33F A c n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()1,F B c n = ，则()22118282,,03333F A F B c n c n c n ⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪⎝⎭ ，所以224n c =，又点A 在C 上，则2222254991c n a b -=，整理可得2222254199c n a b-=，代入224n c =，可得222225169c c a b -=，即222162591e e e -=-，解得295e =或()215e =舍.故355e =.解法二：由2223F A F B =-可得2223F A F B =，设222,3F A x F B x ==，由对称性可得，13F B x =，由定义可得，122AF x a =+，5AB x =，设12F AF θ∠=，则33sin 55x x θ==，所以422cos 55x a xθ+==，解得x a =，所以1224AF x a a =+=，222F A x a ==，在12AF F △中，由余弦定理可得222216444cos 165a a c a θ+-==，2295a c =，所以355e =.2.（2023全国甲卷理科8）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15B.55C.255 D.455【解析】由5e =，则222222215c a b b a a a +==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离22235521d ⨯-==+，所以弦长221452155AB r d =--.故选D.3.（2023全国甲卷文科9）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15B.55C.255D.455【解析】由e =，则222222215c a b b a a a+==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离55d ==，所以弦长5AB =.故选D.4.（2023北京卷12）已知双曲线C 的焦点为()2,0-和()2,0，离心率为，则C 的方程为.【分析】根据给定条件，求出双曲线C 的实半轴、虚半轴长，再写出C 的方程作答.【解析】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半焦距2c =，由双曲线C ，得ca，解得a =，则b =所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=.因为()2,0F c ，不妨设渐近线方程为所以222bc bcPF c a b ==+设2POF θ∠=，则tan θ=第三节抛物线2.（2023全国乙卷理科13，文科13）已知点A 在抛物线2:2C y px =上，则A 到C 的准线的距离为.【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为54x =-，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【解析】由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.3.（2023新高考II 卷10）设O 为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于,M N 两点，l 为C 的准线，则（）A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ，所以12p=，2p =，A 正确；联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得12103x x +=，所以12163MN MF NF x x p =+=++=，B 错误；设MN 的中点为Q ，分别过,,M N Q 向l 作垂线，垂足分别为111,,M N Q ，由梯形中位线性质及抛物线定义可得，()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==，所以以MN 为直径的圆与准线l 相切，C 正确；由上述解题过程知，231030x x -+=，解得121,33x x ==，从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭，易得OM ON MN ≠≠，OMN △不是等腰三角形，D 错误.综上，故选AC.第四节直线与圆锥曲线的位置关系1.（2023全国乙卷理科11，文科12）已知,A B 是双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1 B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--【分析】设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ，根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A ，B ，D 通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1k =，9AB k =，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得2k =-，92AB k =-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()()22454456144545610∆=⨯-⨯⨯=⨯⨯-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3k =，3AB k =，则:3AB y x =.由双曲线方程可得1a =，3b =，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：4k =，94AB k =，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确.故选D.2.（2023新高考I 卷22）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于【解析】（1）设(,)P x y ，则22212x y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故21:4W y x =+.（2）解法一：不妨设三个顶点,,A B C 在抛物线214y x =+上，且AB BC ⊥，显然,AB BC 的斜率存在且不为0，令222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,AB BC k a b k b c =+=+，1AB BC k k =-，即()()1a b b c ++=-，即1a b b c-+=+，本题等价于证明332AB BC +>，令||||AB BC b c m +=--=，则m b c =-+-，（未知数有,,a b c ，通过转化（放缩），将变量归一）由221ABBC kk =⋅，即()()22221AB BC k k a b b c =++=⋅，不妨设()221AB k a b =+≤，则m b c=-+-b =-+b c ≥--c ≥-()b b c =+-+1b a b=+++()3221a b a b⎡⎤⎣⎦++=+.令a b t +=，则()()1232323323222211223411332t t a b ta b tt t⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥++⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+++==≥=+⎣⎦，当212t =时取等号，又()2321t m t+≥取等时必有21t =，因此取不到等号，所以332m >.解法二：如图所示，先将第一问中的曲线下移14个单位，其表达式为2x y =.不妨设,,A B D 三点在抛物线上，再设()2,A t t 及AB 的斜率为k .由题意知AD 的斜率为1k -，因为11k k ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，故而可再使01k <≤，直线AB 的方程()2y t k x t -=-，即2y kx kt t =-+，与曲线联立可得220x kx kt t -+-=，由此可知()222222221211414412AB k x x k k kt t k k kt t k k t=+-=+--=+-+=+-同理，21112AD t k k=++，由此可知矩形ABCD 的周长ρ满足2211122122k k t t k kρ+-++=+2211122212k k t k t k k=+-+++22t t≥-+①12+2k t tk⎫-+⎪⎭1+k≥②()323222112122=2kkk k⎛⎫++⎪+⎝⎭=322k⎛⎫⎝⎭≥⨯③22⨯==.当1k=时①处取等号，当12,2k t tk-+同号时②处取等号，当212k=时③处取等号，显然三处不能同时取等号，所以矩形ABCD的周长大于.由题意得31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得所以椭圆的方程为24x y +（2）由题意得，直线2A A P 的方程为y =第五节圆锥曲线综合探究型问题1.（2023全国甲卷理科20）设抛物线()2:20C y px p =>，直线210x y -+=与C 交于,A B 两点，且AB =.（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，,M N 为抛物线C 上的两点，0MF NF ⋅=，求MNF △面积的最小值.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程22102x y y px -+=⎧⎨=⎩，消x 得()2221y p y =-，即2420y py p -+=，()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩，12AB y y ==-=，解得2p =，32p =-（舍）.所以2p =.（2）解法一（向量法）：由（1）知，抛物线的方程为24y x =，()1,0F ，设()33,M x y ，()44,N x y ，()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22223434341164y y y y y y +++=，又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又22223434341164y y y y y y +++=，得()()22343444y y y y +=-，因此343442y y y y +=-，即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=，得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-（这一步至关重要），()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R△()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNF S =-△（当且仅当2t -=时，即32t y =-=时取最小值）.解法二（极坐标法）：如图所示，设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ，则有21cos MF θ=-，21sin NF θ=+，从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然当且仅当4θ3π=，即4MFO π∠=时取等号.2.（2023全国甲卷文科21）设抛物线()2:20C y px p =>，直线210x y -+=与C 交于,A B两点，且AB =.（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，,M N 为抛物线C 上的两点，0MF NF ⋅=，求MNF △面积的最小值.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程22102x y y px-+=⎧⎨=⎩，消x 得()2221y p y =-，即2420y py p -+=，()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩，12AB y ==-==，解得2p =，32p =-（舍）.所以2p =.（2）解法一：由（1）知，抛物线的方程为24y x =，()1,0F ，设()33,M x y ，()44,N x y ，()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22223434341164y y y y y y +++=.又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅==++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又22223434341164y y y y y y +++=，得()()22343444y y y y +=-，因此343442y y y y +=-，即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=，得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-（这一步至关重要）,()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R △()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNFS-=-△2t -=时，即32t y =-=时取最小值）.解法二（极坐标）：如图所示，设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ，则有22,1cos 1sin MF NF θθ==-+，从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然当且仅当4MFO π∠=时取等号.3.（2023全国乙卷理科20，文科21）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的离心率为3，点()2,0A -在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，求证：线段MN 中点为定点.【解析】（1）依题意，2b =，3c e a ==，则2224b a c =-=，得3a =，c =，曲线C 的方程为22194y x +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线():32PQ y k x -=+，()11:22y AP y x x =++，令0x =，得1122M yy x =+，()22:22y AQ y x x =++，令0x =，得2222N yy x =+.MN 的中点坐标为12120,22y y x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，联立直线PQ 的方程和椭圆方程得()22239436y k x x y ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消y 建立关于x 的一元二次方程，()229423360x k x +⎡++⎤-=⎣⎦，即()()222249162416480k x k k x k k +++++=，21222122162449164849k kx x k k k x x k ⎧++=-⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，又()()121212121223231123222222k x k x y y k x x x x x x ++++⎛⎫+=+=++ ⎪++++++⎝⎭()2221222121222162416364492323164832482444949k k k x x k k k k k k k x x x x k k --+++++=+⋅=+⋅+++++-+++3=.所以线段MN 过定点()0,3.【评注】本题为2022全国乙卷的变式题，难度有所降低，考查仍为极点、极线的性质，定点()0,3为()2,3P -关于椭圆22194y x +=的极线123x y +=-与y 轴的交点.本题以椭圆中极点极线理论的射影不变性为命题背景，考查椭圆中对称式的计算方法，要求考生具有较强的计算能力.除此之外，如果考生具有先猜再证的解题意识，本题中的定点可以通过极限思想进行猜想.4.（2023新高考II 卷21）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为()-.（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，求证：点P 在定直线上.【解析】（1）设双曲线方程为()22221,0x y a b a b-=>，且22220c a b =+=.又c e a a===，得2a =，因为c =，所以4b =，因此双曲线的方程为221416x y -=.（2）（设点设线）.设()()1122,,,M x y N x y ，:4MN x ty =-.由（1）可得，()()122,0,2,0A A -，则()111:22y MA y x x =++,()222:22yNA y x x =--.联立12,MA NA 的方程，消y 得()()12122222y yx x x x +=-+-，即2121122212112122222266y x y ty ty y y x x x y ty y ty y y +--+=⋅=⋅=----.联立MN 的方程与双曲线221416x y -=，得224416x ty x y =-⎧⎨-=⎩，消x 得()224416ty y --=，即()224132480t y ty --+=.由韦达定理()()221221223244148032414841t t t y y t y y t ∆⎧=---⨯>⎪⎪⎪+=⎨-⎪⎪=⎪-⎩（非对称结构处理）.()12122483412t ty y y y t ==+-，则()()1221212112331221222393236222y y y y y x x y y yy y +--+===--+--+，得1x =-.因此点P 在定直线1x =-上.5.（2023北京卷19）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为53，,A C 分别是E 的上、下顶点，,B D分别是E 的左、右顶点，4AC =.（1）求椭圆E 的方程；（2）点P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线AP 与直线2y =-交于点N .求证：//MN CD .【分析】（1）结合题意得到c a =24b =，再结合222a c b -=，解之即可；（2）依题意求得直线BC 、PD 与PA 的方程，从而求得点,M N 的坐标，进而求得MN k ，再根据题意求得CD k ，得到MN CD k k =，由此得解.【解析】（1）依题意，得53c e a ==，则53c a =，又,A C 分别为椭圆上下顶点，4AC =，所以24b =，即2b =，所以2224a c b -==，即22254499a a a -==，则29a =，所以椭圆E 的方程为22194x y +=.（2）因为椭圆E 的方程为22194x y +=，所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --，因为P 为第一象限E 上的动点，设()(),03,02P m n m n <<<<，则22194m n +=，易得022303BC k +==---，则直线BC 的方程为223y x =--，033PD n n k m m -==--，则直线PD 的方程为()33n y x m =--，联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩，即()332612,326326n m n M n m n m ⎛-+⎫- ⎪+-+-⎝⎭，而220PA n n k m m --==-，则直线PA 的方程为22n y x m-=+，令=2y -，则222n x m --=+，解得42m x n -=-，即4,22m N n -⎛⎫- ⎪-⎝⎭，又22194m n +=，则22994n m =-，2287218m n =-，所以()()()()()()12264122326332696182432643262MN n n m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++--()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+，又022303CD k +==-，即MN CD k k =，显然，MN 与CD 不重合，所以//MN CD .第六节平面几何性质在圆锥曲线中的应用1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则OP =（）A.25C.35【解析】因为1226PF PF a +==①，22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=，即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②，联立①②，解得12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，而12F F =，解得302OP =.故选B.2.（2023新高考II 卷10）设O为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于,M N 两点，l 为C 的准线，则（）A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ，所以12p =，2p =，A 正确；联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得12103x x +=，所以12163MN MF NF x x p =+=++=，B 错误；设MN 的中点为Q ，分别过,,M N Q 向l 作垂线，垂足分别为111,,M N Q ，由梯形中位线性质及抛物线定义可得，()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==，所以以MN 为直径的圆与准线l 相切，C 正确；由上述解题过程知，231030x x -+=，解得121,33x x ==，从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭，易得OM ON MN ≠≠，OMN △不是等腰三角形，D 错误.综上，故选AC.。
高考数学：圆锥曲线复习题附答案解析
圆锥曲线复习题1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，经过F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．求弦AB 的长．【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解．【解答】解：∵抛物线C ：y 2＝4x ，∴抛物线的焦点F （1，0），p ＝2，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵直线l 经过F 倾斜角为60°，∴直线l 的方程为y =√3(x −1)，联立方程{y =√3(x −1)y 2=4x，化简整理可得，3x 2﹣10x +3＝0， 由韦达定理可得，x 1+x 2=103，∴|AB |=|AF|+|BF|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p =103+2=163． 【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．2．已知A(2，√2)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与抛物线y 2＝2px 的交点，设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，抛物线的焦点为F ，直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分．（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）若直线l ：y ＝kx +m 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相交于P 、Q 两点，且△OPQ 的重心恰好在圆O ：x 2+y 2＝1上，求m 的取值范围．【分析】（1）利用点A 为椭圆和抛物线的交点，代入两个方程，即可求出抛物线的方程，再利用直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分，求出c 的值，由此得到a ，b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理和判别式大于0，由△POQ 重心恰好在圆x 2+y 2＝1上，得到(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=9，利用韦达定理进行化简变形，表示出m 2的表达式，由基本不等式求解即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，点A(2，√2)为椭圆与抛物线的交点，4a 2+2b 2=1且2＝4p ，解得p =12，则y 2＝x ；又直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分，所以c +14=97(c −14)，解得c ＝2，则a 2﹣b 2＝4，解得b =2，a =2√2，抛物线的方程为y 2＝x ；椭圆的方程为x 28+y 24=1； （2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{x 28+y 24=1y =kx +m，可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0， 由Δ＞0，可得4（2k 2+1）＞m 2（※），且x 1+x 2=−4km1+2k 2，由△POQ 重心恰好在圆x 2+y 2＝1上，可得(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=9，即(x 1+x 2)2+[k(x 1+x 2)+2m]2=9，即(1+k 2)(x 1+x 2)2+4km(x 1+x 2)+4m 2=9，所以16(1+k 2)k 2m 2(1+2k 2)2−16k 2m 21+2k 2+4m 2=9，化简得m 2=9(1+2k 2)24(4k 2+1)，代入（※）中可得k ∈R ，设4k 2+1=t ⇒k 2=t−14(t ≥1)，则m 2=9(1+2k 2)24(4k 2+1)=9(t 2+2t+1)16t =916(t +1t +2)≥94， 当且仅当t ＝1时取等号，故m 2≥94，则实数m 的取值范围为m ≤−32或m ≥32．【点评】本题考查了椭圆标准方程以及抛物线标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．3．点P （x 0，y 0）为椭圆C ：x 25+y 2＝1上位于x 轴上方的动点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点．（1）若线段PF 1的垂直平分线经过椭圆C 的上顶点B ，求点P 的纵坐标y P ；（2）设点A （t ，0）为椭圆C 的长轴上的定点，当点P 在椭圆上运动时，求|P A |关于x 0的函数f （x 0）的解析式，并求出使f （x 0）为增函数的常数t 的取值范围；（3）延长PF 1、PF 2，分别交C 于点M 、N ，求点P 的坐标使得直线MN 的斜率等于−19．【分析】（1）根据题意，建立关于x 0，y 0的方程组，解出即可；（2）由两点间的距离公式表示出f （x 0），再由二次函数的性质可得出t 的取值范围；（3）设出点M ，N 的坐标及直线PF 1，直线PF 2的方程，分别与椭圆方程联立，进而可得到直线MN 的斜率，再结合题意可得到x 0＝5y 0，代入椭圆方程即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，B （0，1），|PB |＝|BF 1|，则√x 02+(y 0−1)2=√5，即x 02+(y 0−1)2=5，而点P （x 0，y 0）在椭圆x 25+y 2=1上，则x 025+y 02=1，联立{ x 02+(y 0−1)2=5x 025+y 02=1y 0＞0，解得y 0=√5−14， ∴点P 的纵坐标为y p =√5−14； （2）∵|PA|=√(x 0−t)2+y 02=√(x 0−t)2+1−x 025=√4x 025−2tx 0+t 2+1， ∴f(x 0)=√4x 025−2tx 0+t 2+1，x 0∈(−√5，√5)，其对称轴为x 0=5t 4，要使f （x 0）为增函数，只需5t 4≤−√5， ∴−√5≤t ≤−4√55；（3）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线PF 1的方程为x ＝my ﹣2，直线PF 2的方程为x＝ny +2，则m =x 0+2y 0，n =x 0−2y 0， 由{x =my −2x 2+5y 2=5得（m 2+5）y 2﹣4my ﹣1＝0， ∴y 1=4m m 2+5−y 0=−y 04x 0+9，x 1=my 1−2=−9x 0−204x 0+9， 同理，由{x =ny +2x 2+5y 2=5得（n 2+5）y 2+4ny ﹣1＝0， ∴y 2=y 04x 0−9，x 2=9x 0−204x 0−9， ∴k MN =y 04x 0−9+y 04x 0+99x 0−204x 0−9+9x 0+204x 0+9=x 0y 09x 02−45=−19， ∴5−x 02=x 0y 0，则5y 02=x 0y 0，又y 0＞0，∴x 0＝5y 0，代入椭圆方程得y 0=5√66，∴x 0=5√66，∴P(5√66，√66)．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查化简变形及运算求解能力，特别是对运算能力要求较高，属于较难题目．4．过椭圆W ：x 22+y 2＝1的左焦点F 作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合，过F 做x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ．（Ⅰ）求椭圆W 的离心率和B 点坐标；（Ⅱ）求证：E ，G 两点关于x 轴对称．【分析】（I ） 由题意可得直线 l 1 的方程为y ＝x +1．与椭圆方程联立方程组，即可求解B 点坐标；（II ） 设 C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），l 2的方程为y ＝k （x +1），联立方程组，根据根与系数的关系，求得x 1+x 2=−4k 22k 2+1x 1x 2=2k 2−22k 2+1，进而得出E ，G 点的纵坐标，化简即可证得，得到证明．【解答】解：（I ）由椭圆的标准方程x 22+y 2=1，得a =√2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的离心率为e =c a =√22， 由题意可得l 1的方程为y ＝x +1，与椭圆方程联立得{y =x +1x 22+y 2=1．， 解得x ＝0或−43，当x =−43时，y =−13，所以B(−43，−13)．解：（2）当l 2斜率不存在时，C ，D 两点与E ，G 重合，因为椭圆W 关于x 轴对称，所以E ，G 两点关于x 轴对称；当l 2斜率存在时，设 C （x 1，y 1），（x 1≠−43），D （x 2，y 2），（x 2≠0），设l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1），y 1＝k （x 1+1），y 2＝k （x 2+1），A(0，1)，B(−43，−13)，所以直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)， 直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ， 联立 {y +13=y 1+13x 1+43(x +43)x =−1，解得 y =y 1−x 1−13x 1+4=(k−1)(x 1+1)3x 1+4， 所以G(−1，(k−1)(x 1+1)3x 1+4)， y =x 2−y 2+1x 2=(1−k)(x 2+1)x 2， 所以E(−1，(1−k)(x 2+1)x 2)， 所以y G +y E =(1−k)(x 1+1)3x 1+4+(1−k)(x 2+1)x 2=(1−k)[2x 1x 2+3(x 1+x 2)+4]3x 1x 2+4x 2， 联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，因为Δ＝（4k2）2﹣4（2k2+1）（2k2﹣2）＝8k2+8＞0，所以x1+x2=−4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1，所以y G+y E=(1−k)(2⋅2k2−22k2+1−3⋅4k22k2+1+4)3x1x2+4x2=0，所以y G＝﹣y E，综上所述：E，G两点关于x轴对称．【点评】本题考查椭圆的离心率，椭圆与直线的综合应用，属于难题．5．作斜率为﹣1的直线l与抛物线C：y2＝2px交于A，B两点（如图所示），点P（1，2）在抛物线C上且在直线l上方．（Ⅰ）求C的方程并证明：直线P A和PB的倾斜角互补；（Ⅱ）若直线P A的倾斜角为θ(π4＜θ＜π2)，求△P AB的面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用点P在抛物线上，求出p的值，即可得到抛物线的方程，联立直线与抛物线方程，求出b的取值范围，利用两点间斜率公式以及韦达定理化简k P A+k PB＝0，即可证明；（Ⅱ）先由倾斜角的范围确定直线P A斜率的范围，结合（Ⅰ）中的结论，进一步求解b 的取值范围，由弦长公式求出|AB|，点到直线的距离公式求出三角形的高，用b表示出三角形的面积，构造函数f（x）＝（x+1）（3﹣x）2，x∈（﹣1，3），利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为点P（1，2）在抛物线C上，所以22＝2p×1，解得p＝2，因此抛物线C的方程为y2＝4x，设直线l的方程为y＝﹣x+b，因为直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P（1，2）在直线l的上方，所以设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且1+2﹣b ＞0，即b ＜3，由{y =−x +b y 2=4x，可得x 2﹣（2b +4）x +b 2＝0， 而由Δ＝[﹣（2b +4）]2﹣4b 2＝16（b +1）＞0，解得b ＞﹣1，因此﹣1＜b ＜3，且x 1+x 2＝2b +4，x 1x 2=b 2，所以k PA +k PB =y 1−2x 1−1+y 2−2x 2−1=−x 1−2+b x 1−1+−x 2−2+b x 2−1=−(x 1−1)−3+b x 1−1+−(x 2−1)−3+b x 2−1=−2+(b −3)(1x 1−1+1x 2−1) =−2+(b −3)×x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=−2+(b −3)×2b+2b 2−2b−3=−2+2(b+1)(b−3)(b+1)(b−3)=0(−1＜b ＜3)，即k P A +k PB ＝0，所以直线P A 和直线PB 的倾斜角互补；（Ⅱ）因为直线P A 的倾斜角为θ(π4＜θ＜π2)，所以k P A ＞1，又由（Ⅰ）可知，k P A +k PB ＝0，所以k PA k PB =−k PA 2＜−1， 由（Ⅰ）可知，−(x 1−1)−3+b x 1−1⋅−(x 2−1)−3+b x 2−1＜−1， 即x 1x 2+(2−b)(x 1+x 2)+(2−b)2x 1x 2−(x 1+x 2)+1＜−1， 所以−4b+12b 2−2b−3＜−1，解得﹣1＜b ＜3，又因为|AB|=√2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2×√b +1，而点P 到直线l 的距离为√2，所以△P AB 的面积S =4√22×√b +1×√2=2√(b +1)(3−b)2， 设f （x ）＝（x +1）（3﹣x ）2，x ∈（﹣1，3），则f '（x ）＝3x 2﹣10x +3＝（3x ﹣1）（x ﹣3），当x ∈(−1，13)时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈(13，3)时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， 故当x =13时，f （x ）取得最大值为f(13)=25627，所以△P AB的面积的最大值为2√f(13)=32√39．【点评】本题考查了抛物线标准方程的求解、直线与抛物线位置关系的应用，两点间斜率公式的应用，弦长公式以及点到直线距离公式的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。
圆锥曲线文科高考习题含答案
2 2 1设F1F2是椭圆E:\ ab，一，…，… 3a ,一1(a b 0)的左、右焦点，P为直线x ——上一点,2F2PF1是底角为30o的等腰三角形，则E的离心率为(A)2 (B)3 (C) - (D)—等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上, C与抛物线y216x的准线交于A, B两点,AB 4 J3 ；则C的实轴长为((A) 2 (B) 2/2 (C) (D)23.已知双曲线a ：与a 1(a0,b 0)的离心率为2.若抛物线 2C2：x 2py(p0)的焦点到双曲线C i的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为小 2 8.3 (A) x --y3 _ 2 16--.-3 _ 2 2(B) x ----- y (C) x 8y (D) x316y4椭圆的中心在原点, 焦距为4, 一条准线为x 4,则该椭圆的方程为2(A)—162L 112(B)2x122(C)—8 (D)2x125.12012高考全国文 210】已知F1、F2为双曲线C: x 2的左、右焦点，点P在C上,| PF i | 2| PF? |,则COS F1PF2(A) 1 46.12012高考浙江文曲线的两顶点。
若M3(B)一53(C)—44(D)一58],O如图，中心均为原点。
的双曲线与椭圆有公共焦点，M , N是双N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A.3B.2C. . 3D. 247.12012高考四川文9】已知抛物线关于X轴对称，它的顶点在坐标原点O,并且经过点M (2, y°)。
若点M到该抛物线焦点的距离为3 ,则|OM |(2 28.12012考考四川又11】万程ay b x c 中的a,b, c {在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（圆”的（）2210.12012高考江西文8］椭圆三、1（a b 0）的左、右顶点分别是A, B,左、右a b焦点分别是F I , F 2。
若|AF I |,|F I F 2|,|F I B|成等比数列,则此椭圆的离心率为A. 1B T45 C. 1 D.、、5-22y-^ =1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的bA 、242B 、273C 、4A、28 条 B 、32 条 C 、36 条 D 、48 条9.12012高考上海文 16】对于常数m 、n“mn 0” 是 “方程2mxny 21的曲线是椭渐近线上，则C 的方程为A. 2 2 土、1 20 5 22B 土-X=15 202 2 — 80 202 2D ±-L=120 8012. 【2102 （Wj 考福建文 5】已知双曲线2-L=1 5的右焦点为（ 3,0）,则该双曲线的离心率等3.14 14 13.12012高考四川文 15】2x椭圆~ay 25 1（a 为定值，且aJ5）的的左焦点为F ,直线x m 与椭圆相交于点 A、B , FAB 的周长的最大值是12则该椭圆的离心率是14.12012高考辽宁文 15】已知双曲线x 2y 2=1,点F I ,F 2为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若P F 11P F 2,则I P F 1 I + I P F 2 I 的值为2,0,123} 且a,b, c 互不相同,A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件11.12012高考湖南文 6】已知双曲线C :bx 2 17.12012高考重庆文14】设P 为直线y —X 与双曲线 —3aa交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率 e18.12012高考安徽文14】过抛物线y 24x 的焦点F 的直线交该抛物线于 A, B 两点，若| AF | 3,贝U | BF |=2 2C 2 :— — 1有相同的渐近线，且 C 1的右焦点为F(J5,0)，则a ;b4 1620.12012高考天津19】(本小题满分14分)已知椭圆+(a>b>0),点P (争事)在椭圆上。
(完整版)历年圆锥曲线高考题(带答案)
历年高考圆锥曲线2000年：（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直03422=+++x y x 线的方程是（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）x y 3=x y 3-=x 33x 33-（11）过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线()02>=a ax y段PF 与FQ 的长分别是、，则等于（ ）p q qp 11+（A ）（B ）（C ） （D ）a 2a21a 4a4（14）椭圆的焦点为、，点P 为其上的动点，当为钝角14922=+y x 1F 2F 21PF F ∠ 时，点P 横坐标的取值范围是________。
（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中，点E 分有向线段所成的比为，CD AB 2=AC λ双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当时，求双曲线离心率4332≤≤λ的取值范围。
e 2004年3．过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程为（ ）032=+-y x A ．B ．C ．D ．12=-+y x 052=-+y x 052=-+y x 072=+-y x 8．已知圆C 的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C 相切，则圆x 0443=++y x C 的方程为（ ）A ．B ．03222=--+x y x 0422=++x y x C ．D ．3222=-++x y x 0422=-+x y x 8．（理工类）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线21=e 的焦点重合，x y 42-= 则此椭圆方程为（ ）A ．B ．13422=+y x 16822=+y x C ．D ．1222=+y x 1422=+y x 22．（本小题满分14分）双曲线的焦距为2c ，直线过点（a ，0）和（0，b ），且点)0,1(12222>>=-b a by a x l （1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e l l .54c s ≥的取值范围.2005年：9．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且则点1222=-y x 12,F F M 120,MF MF ⋅= 到M 轴的距离为（x ）A ．B ．CD435310．设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△为12,,F F 2F 12F PF等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A B C ．D 2121、（理工类）（本小题满分12分）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。
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数学圆锥曲线测试高考题选讲）已知双曲线y |= 1的一条渐近线方程为 y =善x ,则双曲线的离心率为（a 2b 23A.-3.2 C . -49. （2006全国卷I ）双曲线mx 2 • y 2 =1的虚轴长是实轴长的 10. （2006 上海卷）已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为D(2, 0),设点 A 1,1 I 2J，则求该椭圆的标准方程为11. （2011年高考全国新课标卷理科 14）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点 F |,F 2在 x 轴上,离心率为—。
过l 的直线 交于代B 两点，且 ABF 2的周长为16,那么C 的方程为2、选择题: 5 (A ) 3 4B)3 5C)4 3 D)22. (2006 全国 II ）已知△ ABC 勺顶点B C 在椭圆x 2 + y 2= 1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ ABC 的周长是（ （A ） 2 3 （ B ）(C 43(D 123. （2006全国卷I ）抛物线y --x 上的点到直线 4x • 3y - 8 =0距离的最小值是（4. （2006广东高考卷） 已知双曲线 3x 2 - y 2 =9，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等5. 6. 7. 于( ) A. 2 B. - 23 （2006辽宁卷）方程 C. 2 D. 422x -5x • 2 = 0的两个根可分别作为（ A. —椭圆和一双曲线的离心率 C. 一椭圆和一抛物线的离心率 E.两抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 2 2 2 (2006辽宁卷)曲线 x y — =1(m ：：：6)与曲线 一 10 —m 6 —m 5 — m（A ）焦距相等 （B ） 离心率相等 （C ） 焦点相同 （2006安徽高考卷）若抛物线 y 2 =2px 的焦点与椭圆 2—=1(5 ：： m . 9)的( )+ 9 -m（D ） 准线相同2 2—-' =1的右焦点重合，则6 -p 的值为（1. (2006 全国 II A. -2 8. （2006辽宁卷）直线 y =2k 与曲线 9k 2x 2 y 2 =18k 2 （k • R,且k =0）的公共点的个数为（（A ）1二、填空题:(B)2(C)3(D)4F （-G,0）,右顶点为2 212. （2011年高考四川卷理科14）双曲线x _y =1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么点P 到左准线的距64 36离是标为（2 , 0） , AM 为/ RAK 的角平分线.则|AB| = _ 三、解答题：15. 已知抛物线关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点216. （2010浙江理数）已知m> 1，直线l:x-my-m =0，椭圆2F 1F 2 =2.13,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4 ,离心率之比为3: 7。
求这两条曲线的方程。
19. （2011年高考辽宁卷理科 20）（本小题满分12分）如图，已知椭圆 C1的中心在原点 O,长轴左、右端点 M N 在x MN 且C1, C2的离心率都为e ,直线I 丄MN I 与C1交于两点，与 C2交于两点，这四点按纵20. （2006 上海卷）已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为D(2, 0),设点 A 1,1 .13.（上海卷）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 （3,0）,且焦距与虚轴长之比为 5: 4，则双曲线的标准方程是14.（2011年高考全国卷理科 15）已知F I、F 2分别为双曲线 2 亠x C — 92y _=1的左、右焦点，点 A 为C 上一点，点 M 的坐27（I ）当直线 I 过右焦点F 2时，求直线I 的方程;M （、、3,-2、、3 ）,求它的标准方程。
2x 2C ：r+y 2=1, RE 分别为椭圆C 的左、右焦点。
m（n ）设直线 I 与椭圆C 交于代B 两点，VAF 1F 2, V BF 1F 2的重心分别为G,H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.17. (2010江苏卷)2 2在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆29十=1的左、右顶点为A B 右焦点为F 。
设过(1) (2) (3)（t,m ）的直线 设动点P 满足 TA 、 PF 2TB与椭圆分别交于点 M （x 1, y 1） > N （x 2,y 2），其中 2-PB = 4 ,求点P 的轨迹;1— ?3设t =9,求证：直线 MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关）。
设 x-i =2, x 2 求点T 的坐标; 18.中心在原点，焦点在 x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且m>0, y 1 0, y 2 :: 0。
轴上，椭圆C2的短轴为 坐标从大到小依次为 A , B, C, D.（I ）设e =丄，求2（II ）当e 变化时, BC |与|AD |的比值;是否存在直线I ，使得BO// AN 并说明理由2 15.方程2x 2 -5x 2 =0的两个根分别为 2,—,故选A2x 2y7.椭圆1的右焦点为(2,0)，所以抛物线6 22y =2px 的焦点为(2,0)，贝U p = 4，故选 D8•将 y =2k 代入 9k 2x 2 y 2 =18k 2 x 得：9k 2x 2 4k 2 = 18k 2 x2 211. 答案：x y 116 8求椭圆方程为：16 812. 答案：16解析：由双曲线第一定义，|PF 1|-|PF 2|= ± 16，因|PF 2|=4，故|PF 1|=20，(IPF 1F -12舍去)，设P 到左准线的距离是 d ，6.由 x y — =1(m :: 6)知该方程表示焦点在10「m 6「m x 轴上的椭圆，由5—m 9-m =1(5 ：： m ■ 9)知该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故只能选择答案A 。
(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点M 的轨迹方程； (3) 过原点0的直线交椭圆于点 B,C ，求 ABC 面积的最大值。
高二数学圆锥曲线高考题选讲答案b 4—1.双曲线焦点在x 轴，由渐近线方程可得，可得e 二一=a 3a32 422.(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得 ABC 的周长为4a=4. 3 ,所以选C3.设抛物线y --x 2上一点为(m ,— m)，该点到直线4x 亠3y - 8 = 0的距离为2|4m - 3m- 8|「 2」亓…，当m=-时，取得最34小值为一，选 3A.4.依题意可知a 二 一 3,c 二■- a 2b 2 =3^9 = 2〔. 3 , e =—故选 C.,2二9|x| -18x +4=0，显然该关于|x|的方程有两正解，即 x 有四解，所以交点有4个，故选择答案Db22 2x9.双曲线mx 2 • y 2-1的虚轴长是实轴长的 2倍，••• m<0,且双曲线方程为 -42y =110.椭圆的标准方程为42xy 2 =1解析：由椭圆的的定义知,—C \ =4a =16,. a =4，又因为离心率一= a2, —=2 2，- b 222 2=a - — =8因此，所20 10由第二定义，得二，解得d =16.d 813.双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为（3,0）,则焦点在x 轴上，且a=3,焦距与虚轴长之比为 5: 4，即c:b=5:4 ，解得c =5,b =4，则双曲线的标准方程是2 2 —.9 1614.【答案】6 【解析】： F 1（~6,0）,F 2（6,0），由角平分线的性质得AF 1 AF 2F 1M MF 2又 |AF J |AF 2| 2 3=6 |AF 2| 615.解：因为抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （ J3,-2J3），所以可设它的标准方程为:y 2 =2px （p 0），又因为点 M 在抛物线上，所以（：.、：3） = -2 p （x - 2“.：；3）3即p盲，因此所求方程是x 2.3 216.(I)解：因为直线I : x - my2 __________________________ _________________________ 2—0 经过 F 2( , m 2 -1,0),所以.m -1 二,得 m 2 = 2 ,2 2又因为m ・1，所以m 二2，故直线I 的方程为x-、、2y-22(n)解：设 A(x 1,y 1), B(x 2, y 2)。
x = my由|x 2 2m y22，消去x 得=1则由厶=m22 2-1) = -m8 0，知2 .m m 1 且有 y 1 y 2, %Ly 2 ： 2 8 2由于 F i (p,O), F 2(c,0),， 故0为F 1F 2的中点, 由 AG=2GO,BH=2HO ，x可知G （」,n设M 是GH 的中点，贝U M （勺竺上y2）,6 6由题意可知2 MO c GH ,2y i y2=(my i m T)(my^T ) y i y 22.m i 小 所以8 2即 m 2 ::: 4又因为m .i 且.；• 0 所以 i ：： m ：： 2。
所以m 的取值范围是（i,2）。
i7.［解析］本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。
考查运算求解能力和探究问题 的能力。
满分i6分。
（1） 设点 P （x , y ），则：F （2，0）、B （ 3，0）、A （-3，0）。
由 PF 2 -PB 2 =4，得（x-2）2 y 2 -［（x-3）2 y 2］ =4,化简得 x=9。
29故所求点P 的轨迹为直线x = —。
215120（2） 将 X i =2,X 2 =—分别代入椭圆方程，以及y i =0,y 2 £0得：M （2，— ）、N （—，——）33 3 9直线MTA 方程为： 乞= ―3，即y =丄乂 • i ，5^2+373，一 -0直线 MTA 方程为：——=—_3，即 y =’(x 3)，m —0 9+3 I2即4[(X i X 2)2 (y iy 2)2]6 62 2(xi - x 2) ( yi - y 2)< ----------- + --------------9 9即 X |X 2 yi y2 ::: 0而 x |x 23直线NTB 方程为： y -0x-3 5 即y 620 c 一 0 9丄一3, 3x = 7联立方程组，解得：i0，J所以点T 的坐标为 I0 (7<T )。