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费马点

一、研究目的

费马点是17 世纪法国著名的数学家费马发现的。所指的是在三角形所在的平面上，有一个点到三角形三个顶点距离之和最小。而费马点有许多有意义的性质，即为此，本人以费马点的性质为因来进行一系列的调查与研究。

二、研究结果

（一）费马点的发现者费马点的发现者是费马［Fermat, Pierre de, 1601-1665］，17世纪的法国数学家。1601年8月17 日在法国南部图卢兹附近波蒙--德洛马涅出生。早年于家乡受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任职律师。自1631 年起任图卢兹议会议员。任职期间，他利用工余时间钻研数学，并经常以书信与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者交往，讨论数学问题。他饱览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学的知识。虽年近三十才认真注意数学，但成就累累。最后于1665 年 1 月12 日在卡斯特尔逝世。

他生前由于性情淡泊，为人谦逊，因此较少发表论着，大多成果只留在手稿、通信或书页之空白处。他的儿子于1679 年把这些遗作整理汇集成书［共两卷］，在图卢兹出版。由于他在数论、解析几何、概率论等方面贡献良多，被后世誉为「业余数学家之王」。

（二）费马点的求法

△ABC 需是三个内角皆小于120°三角形，分别以AB 、BC 、CA 为边，向三角形外侧做正三角形△ ABD、△ ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P,则点P就是所求的费马点。

（三）费马点的验证

「△ABC是等边三角形，以边AB、AC分别向△ ABC夕卜侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P,点P为费马点。则可得出结论：

① AP=BP=CP;②/ APB= / BPC=Z APC=120 °;③点P

是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点；④ 点P是垂心，是△ ABC各边的高线的交点；⑤厶ABP、

△ ACP、A BCP全等。⑥点P是厶ABC各边的中线的交点；⑦厶ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P 为费马点时和最小。

24ABC是等腰三角形，以边AB、AC分别向△ ABC夕卜侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P,点P为费马点。则可得出结论：

①厶ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小；②/ APB= / BPC=Z APC=120°;③

△ ABP与厶ACP全等；④厶BCP为等腰三角形。

3.A ABC是直角三角形，以边AB、AC分别向△ ABC夕卜侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P,点P为

费马点。则可得出结论：

①厶ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为

费马点时和最小；②/ APB= / BPC=Z APC=120°

（四）费马点的性质

1•费马点到三角形三个顶点距离之和最小

2. 费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°

3. 费马点为三角形中能量最低点。（调查得知）

4..三力平衡时三力夹角皆为120。，所以费马点是三力平衡的点。（调查得知）（五）费马点的应用

在实际生活中，若三角形的三个顶点分别是在三个地方，而要求是在“三角形”内建一处车

站等，且要是车站到三个地方的公路路程和最短，可利用费马点的性质①：费马点到三角形

三个顶点距离之和最小。则这车站应建在费马点上。

三、结论

由此次研究可让我们知道，若想要在某方面做出伟大成就必先努力、锲而不舍的钻研，就如胡适所言：“做学问要再不疑处有疑……”。并且，将成就运用于生活，服务生活，方便生活，才是他们的价值所在！

、找费马点

在平面上一三角形ABC，试找出内部一点P，使得PA PB PC为最小。首先，让我们先找到P点的性质，再来研究怎么做出P点。

P点有什么性质呢？它的位置是否有什么特殊意义呢？在中学里，我们学过三角形的内心、外心、重心以及垂心，P点和这些心之间有关联吗？还是和有些线段长、角度大小

有关系呢？

①如右图，以B点为中心，将APB旋转60至U C'BP'

APB

、

【解法1】

BPC和CPA很接近，这三个角度有何关联?

ci

A

A

B

C

因为旋转60，且PB P'B ，所以 P'PB 为一个正三角形

因此，PA PB PC PC P'P PC

由此可知当C'、P'、P 、C 四点共线时，PA PB PC ②若C' P' P 共线时，则

但是，该用什么方法找出 P 点呢?

以ABC 三边为边，分别向外

作正三角形 连接 AA'、BB'、CC'

AA'、BB'、CC'三线共点，设交点为 P ，即为所求

【证明1】

（在解法1曾提到若PA PB PC PC' PP PC ,即C'P'PC 四点共线时，

PA PB PC C'C 有最小值，所以P 要在CC'上。）

PB P'P P'C' P'P PC 为最小 BP'P 60 C' P'B 同理，若P' P C

共线时，则 所以P 点为满足 APB

BPC

APB 120 BPP' 60 BPC 120 CPA 120的点 ABC'、A'BC 、AB'C

ABB' AC'C 1 则

DPB ~ DAC'，得60

在PC'上取点P'，使得BP BP' BPP'为正三角形

则ABP C'BP'，得AP C'P'

所以PA PB PC P'C' P'P PC C'C

【证明

2】

120

APB

所以CPA' 60

BPC CPA ，又A'BPC四点共圆（BPC BA'C 180 ) 故APC CPA' 180 ,因此P在AA'上

同理可证P在BB'、CC'上,

故P 为AA'、BB'、CC '三线交点

三、画出费马点

经过上面的讨论，可以知道，在平面上ABC，想找出一点P，使PA PB PC为最小,