工程力学---应力状态分析
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§1 引言 §2 平面应力状态应力分析 §3 极值应力与主应力 §4 复杂应力状态的最大应力 §5 广义胡克定律 §6 复合材料应力应变关系简介
§1 引 言
实例 应力状态概念 平面与空间应力状态
实例
微体A
微体abcd
微体A
应力状态概念
应力状态 过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点 处的应力状态
主应力－主平面上的正应力
主应力符号与规定－ s1s2s3（按代数值）
应力状态分类 单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态
二向与三向应力状态，统称复杂应力状态
纯剪切与扭转破坏
纯剪切状态的最大应力
s1
s3
sm sx 2sysx 2syco a stxs 2ian 2 11M 4.5 Pa
tmsx 2sysia n2txcoas235M .0Pa
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解：
sm11M 5 Patm35MPa
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： 1. 画应力圆 A点对应截面 x, B点对应截面 y
由于tx 与 ty 数值相等,并利用三角函数的变换关系,得
sa sx 2sy sx 2syco a s tx 2 sia n2
tasx 2sysia n2 txcoas2
上述关系建立在静力学基础上，故所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适
用于各向异性、非线弹性与非弹性问题
应力圆
应力圆原理
sa sx 2sy sx 2syco a stx 2 sia n2
sH sx 2sy sx 2syco a stx 2 sia n s2 a
sa sx 2sy sx 2syco a stx 2 sia n2
同理可证： tH ta
点、面对应关系
转向相同，转角加倍 互垂截面，对应同一直径两端
例题
例 2-1 计算截面 m-m 上的应力
解：sx10M 0 Ptax60MPsay 50MPaa30
研究方法 环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋 于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应 力与应变状态
研究目的 研究一点处的应力状态以及应力应变间的一般关系， 目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广 泛的理论基础
平面与空间应力状态
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
s sm ma i n xsx 2sysx 2sytx 22966
MPa MPa
a0arctansmtaxxsy62.5
s126MPas2 0 s396MPa
ssasatt aa ax c2 o y s s2 i n (x y )sc in os t ssaat at a a (x y )sc io n x c s2 o y s s2 in
ssasatt aa ax c2 o y s s2 i n (x y )sc in os t ssaat at a a (x y )sc io n x c s2 o y s s2 in
问题：已知sx , tx , sy , 画相应应力圆
根据：
sC
sx
sy
2
R sx 2sy2tx2
满足上述二条件 确为所求应力圆
图解法求斜截面应力
sH O C C cD o a 0s wk.baidu.com2 a ()2
s aa aa H O C C cD o 0 cs o C 2 s sD 2 i 0 s n in 2 2
ttmmainx CK
sx
sy
2
2
tx2
极值应力方位
• 最大正应力方位： tana20sx2tsx y
taan 0sx ts xminsm tx a s xy
• smax与smin所在截面正交
• s 极值与t 极值所在截
面, 成 45夹角
主平面与主应力
s2
s1 s3
主平面－切应力为零的截面 相邻主平面相互垂直，构成一 正六面形微体 － 主平面微体
2. 由应力圆求 sm与tm
由A点（截面 x ）顺时针转60。至D点（截面 y ）
sm11M 5 Patm35MPa
§3 极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力 主平面与主应力 纯剪切与扭转破坏 例题
平面应力状态的极值应力
极值应力数值
ssm mainxOCCAsx 2sy sx 2sy2tx2
tasx 2sysin a 2txcoas2
sa sx 2sy sx 2syco a stx 2 sia n2
应力圆
ta0sx 2sysia nt2xcoas2
圆心位于s 轴
sa sx 2sy 2 ta 0 2 sx 2sy 2 tx 2
sC
sx
sy
2
R sx 2sy2tx2
应力圆的绘制
stm , ax sCt scm , axsDt
tma xtm in t
s1 s3 t, s2 0
主平面微体位于 45 方位
圆轴扭转破坏分析
滑移与剪断
发生在tmax
的作用面
断裂发生在
smax 作用面
例题
例 4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位
解：1. 解析法 sx70MPatx50MPas y 0
斜截面应力公式
s t aas aa F n 0 ， a d A (x d A co )s s i(n x d A co )c s os ( ty d A sa i)n c a o (sy d s A sa i)n s a i0 n
t t aas aa F t 0 ， a d A (x d A co )c s o (x d A sco )s s in t aas aa (y d A si)n s i(n y d A si)n c o 0s
平面应力状态 的一般形式
微体各侧面均作用有 应力－空间应力状态
空间应力状态一般形式
§2 平面应力状态应力分析
应力分析的解析法 应力圆 例题
应力分析的解析法
问题
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa , ta
符号规定：
切应力 t － 以企图使微体沿 旋转者为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、 者为正 问题：建立 sa , ta 与 sx , tx , sy , ty 间的关系
§1 引 言
实例 应力状态概念 平面与空间应力状态
实例
微体A
微体abcd
微体A
应力状态概念
应力状态 过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点 处的应力状态
主应力－主平面上的正应力
主应力符号与规定－ s1s2s3（按代数值）
应力状态分类 单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态
二向与三向应力状态，统称复杂应力状态
纯剪切与扭转破坏
纯剪切状态的最大应力
s1
s3
sm sx 2sysx 2syco a stxs 2ian 2 11M 4.5 Pa
tmsx 2sysia n2txcoas235M .0Pa
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解：
sm11M 5 Patm35MPa
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： 1. 画应力圆 A点对应截面 x, B点对应截面 y
由于tx 与 ty 数值相等,并利用三角函数的变换关系,得
sa sx 2sy sx 2syco a s tx 2 sia n2
tasx 2sysia n2 txcoas2
上述关系建立在静力学基础上，故所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适
用于各向异性、非线弹性与非弹性问题
应力圆
应力圆原理
sa sx 2sy sx 2syco a stx 2 sia n2
sH sx 2sy sx 2syco a stx 2 sia n s2 a
sa sx 2sy sx 2syco a stx 2 sia n2
同理可证： tH ta
点、面对应关系
转向相同，转角加倍 互垂截面，对应同一直径两端
例题
例 2-1 计算截面 m-m 上的应力
解：sx10M 0 Ptax60MPsay 50MPaa30
研究方法 环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋 于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应 力与应变状态
研究目的 研究一点处的应力状态以及应力应变间的一般关系， 目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广 泛的理论基础
平面与空间应力状态
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
s sm ma i n xsx 2sysx 2sytx 22966
MPa MPa
a0arctansmtaxxsy62.5
s126MPas2 0 s396MPa
ssasatt aa ax c2 o y s s2 i n (x y )sc in os t ssaat at a a (x y )sc io n x c s2 o y s s2 in
ssasatt aa ax c2 o y s s2 i n (x y )sc in os t ssaat at a a (x y )sc io n x c s2 o y s s2 in
问题：已知sx , tx , sy , 画相应应力圆
根据：
sC
sx
sy
2
R sx 2sy2tx2
满足上述二条件 确为所求应力圆
图解法求斜截面应力
sH O C C cD o a 0s wk.baidu.com2 a ()2
s aa aa H O C C cD o 0 cs o C 2 s sD 2 i 0 s n in 2 2
ttmmainx CK
sx
sy
2
2
tx2
极值应力方位
• 最大正应力方位： tana20sx2tsx y
taan 0sx ts xminsm tx a s xy
• smax与smin所在截面正交
• s 极值与t 极值所在截
面, 成 45夹角
主平面与主应力
s2
s1 s3
主平面－切应力为零的截面 相邻主平面相互垂直，构成一 正六面形微体 － 主平面微体
2. 由应力圆求 sm与tm
由A点（截面 x ）顺时针转60。至D点（截面 y ）
sm11M 5 Patm35MPa
§3 极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力 主平面与主应力 纯剪切与扭转破坏 例题
平面应力状态的极值应力
极值应力数值
ssm mainxOCCAsx 2sy sx 2sy2tx2
tasx 2sysin a 2txcoas2
sa sx 2sy sx 2syco a stx 2 sia n2
应力圆
ta0sx 2sysia nt2xcoas2
圆心位于s 轴
sa sx 2sy 2 ta 0 2 sx 2sy 2 tx 2
sC
sx
sy
2
R sx 2sy2tx2
应力圆的绘制
stm , ax sCt scm , axsDt
tma xtm in t
s1 s3 t, s2 0
主平面微体位于 45 方位
圆轴扭转破坏分析
滑移与剪断
发生在tmax
的作用面
断裂发生在
smax 作用面
例题
例 4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位
解：1. 解析法 sx70MPatx50MPas y 0
斜截面应力公式
s t aas aa F n 0 ， a d A (x d A co )s s i(n x d A co )c s os ( ty d A sa i)n c a o (sy d s A sa i)n s a i0 n
t t aas aa F t 0 ， a d A (x d A co )c s o (x d A sco )s s in t aas aa (y d A si)n s i(n y d A si)n c o 0s
平面应力状态 的一般形式
微体各侧面均作用有 应力－空间应力状态
空间应力状态一般形式
§2 平面应力状态应力分析
应力分析的解析法 应力圆 例题
应力分析的解析法
问题
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa , ta
符号规定：
切应力 t － 以企图使微体沿 旋转者为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、 者为正 问题：建立 sa , ta 与 sx , tx , sy , ty 间的关系