函数单调性练习题
函数的单调性与奇偶性-练习题-基础
1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数xx f 3)(=在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1B ．x y 2=C ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝｜x －1｜＋23．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．21≥a B ．21≤a C ．21>a D ．21<a ~4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( )A ．必是增函数B ．不一定是增函数C ．必是减函数D ．是增函数或减函数 (二)填空题5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______．6．若函数xax f =)(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)43(f 的大小关系是______。
*9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． -(三)解答题10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断：甲说f (x )在定义域上是增函数；乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。
；11．已知函数.21)(-=xx f (1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数．12．已知函数||1)(x x f =． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式；&(2)画出函数f (x )的图象，并根据图象写出函数f (x )的单调区间及单调性．2 函数单调性(二) (一)选择题1．一次函数f (x )的图象过点A (0，3)和B (4，1)，则f (x )的单调性为( )（A ．增函数B ．减函数C ．先减后增D ．先增后减 2．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (2m ＋1)＞f (3m －4)，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，5)B ．(5，＋∞)C ．),53(+∞D ．)53,(-∞3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则下列一定是y ＝f (x )＋5的递增区间的是( )A ．(3，8)B ．(－2，3)C ．(－3，－2)D ．(0，5) 4．已知函数f (x )在其定义域D 上是单调函数，其值域为M ，则下列说法中 ①若x 0∈D ，则有唯一的f (x 0)∈M ②若f (x 0)∈M ，则有唯一的x 0∈D ！③对任意实数a ，至少存在一个x 0∈D ，使得f (x 0)＝a ④对任意实数a ，至多存在一个x 0∈D ，使得f (x 0)＝a 错误的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 (二)填空题 5．已知函数f (x )＝3x ＋b 在区间[－1，2]上的函数值恒为正，则b 的取值范围是_____． 6．函数])2,1[(12∈-=x xx y 的值域是______． *7．已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数x ，y ，都有0)()(<--yx y f x f 成立，则f (x )在R 上的单调性为________(填增函数或减函数或非单调函数)． -8．若函数y ＝ax 和x by -=在区间(0，＋∞)上都是减函数，则函数1+=x ab y 在(－∞，＋∞)上的单调性是______(填增函数或减函数或非单调函数)．9．若函数⎩⎨⎧<-≥+=)1(1)1(1)(2x ax x x x f 在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围是______．(三)解答题10．某同学在求函数]4,1[,)(∈+=x x x x f 的值域时，计算出f (1)＝2，f (4)＝6，就直接得值域为[2，6]．他的答案对吗，他这么做的理由是什么11．用max{a ，b }表示实数a ，b 中较大的一个，对于函数f (x )＝2x ，xx g 1)(=，记F (x )＝max{f (x )，g (x )}，试画出函数F (x )的图象，并根据图象写出函数F (x )的单调区间．|*12．已知函数f (x )在其定义域内是单调函数，证明：方程f (x )＝0至多有一个实数根．3 函数的奇偶性·(一)选择题1．下列函数中：①y ＝x 2(x ∈[－1，1]) ； ②y ＝｜x ｜； ;1)(xx x f +=③ ④y ＝x 3(x ∈R ) 奇函数的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．对于定义域为R 的任意奇函数f (x )一定有( ) A ．f (x )－f (－x )＞0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )＜0 D ．f (x )·f (－x )≤0￥3．函数⎩⎨⎧<+≥-=)0(1)0(1)(x x x x x fA ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 4．下面四个结论中，正确命题的个数是( ) ①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )。
函数的单调性练习题
函数的单调性练习题函数的单调性是高中数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题时起着重要的作用。
通过对函数的单调性进行分析，我们可以更好地理解函数的性质，并在解决问题时提供指导。
下面，我将给大家提供一些关于函数单调性的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一概念。
练习题1：已知函数f(x) = x^2 + 3x - 2，求函数f(x)的单调区间。
解析：要求函数f(x)的单调区间，首先需要求出函数f(x)的一阶导数f'(x)。
对函数f(x)进行求导得到f'(x) = 2x + 3。
由于一阶导数的符号可以反映函数的单调性，我们只需要找出f'(x)的正负变化区间即可。
令f'(x) = 0，解得x = -1.5。
这个点将数轴分成了两个区间：(-∞, -1.5)和(-1.5, +∞)。
我们只需要在这两个区间内取一点代入f'(x)，判断f'(x)的正负即可。
选取x = 0代入f'(x)，得到f'(0) = 3，说明在区间(-∞, -1.5)内f'(x) > 0，在区间(-1.5, +∞)内f'(x) > 0。
因此，函数f(x)在整个定义域上都是递增的，即f(x)的单调区间为(-∞, +∞)。
练习题2：已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数g(x)的单调区间。
解析：同样地，我们需要求出函数g(x)的一阶导数g'(x)。
对函数g(x)进行求导得到g'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令g'(x) = 0，解得x = 1。
这个点将数轴分成了两个区间：(-∞, 1)和(1, +∞)。
选取x = 0代入g'(x)，得到g'(0) = 9，说明在区间(-∞, 1)内g'(x) > 0，在区间(1, +∞)内g'(x) > 0。
(完整版)函数单调性练习题
函数单调性练习题1. 已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a 的取值范围是 .2.讨论函数f(x)＝21xax - (a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.3.判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？4. 已知：f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)<f (x 2－1)求x 的取值范围．5.设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间．6．函数21)(++=x ax x f 在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a 的取值范围是（ ）.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )8.已知f (x )在其定义域R +上为增函数，f (2)=1，f (xy )=f (x )+f (y )，解不等式f (x )+f (x －2) ≤39.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.10.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3.11.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -=（1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）；（2）设f （2）=1，解不等式2)31()(≤--x f x f 。
函数单调性练习题及答案详解(拔高)
函数单调性（拔高）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数()()f x g x 、是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()22f x g x ax x +=++，若对于任意1212x x <<<，都有()()12122g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,][0,)2-∞-⋃+∞ B ．(0,)+∞C ．1[,)2-+∞D ．1[,0)2-2．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2xf x =，若对任意[]0,21x t ∈+，均有()()3f x t f x ≥⎡⎤⎣⎦+，则实数t 的最大值是（ ） A ．49-B ．13-C ．0D ．163．已知定义域为R 的函数()f x 在[)2,+∞单调递减，且()()40f x f x -+=，则使得不等式()2f x x ++()20f x <成立的实数x 的取值范围是（ ）A ．41x -<<B ．1x <-或3x >C ．3x <-或1x >D ．4x <-或1x >4．已知函数()f x 的定义域为R ，图象恒过()0,1点，对任意12,x x R ∈当12x x ≠时，都有()()12121f x f x x x ->-，则不等式()()ln 11ln 1xx f e e ⎡⎤-<+-⎣⎦的解集为（ ） A ．()ln 2,+∞B ．(),ln 2-∞C ．()ln 2,1D ．()0,ln 25．已知函数()f x x x =，若对任意的[],2x t t ∈+，不等式()()3f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．)2,⎡+∞⎣ B ．()2,+∞C ．(0,2⎤⎦D ．(2⎤-⎦6．已知f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （﹣1）＝﹣1，当a ，b ∈[﹣1，1]，且a +b ≠0时，（a +b ）（f （a ）+f （b ））＞0成立，若f （x ）＜m 2﹣2tm +1对任意的t ∈[﹣1，1]恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C ．（﹣2，2）D ．（﹣2，0）∪（0，2）7．已知定义在R 上函数()f x ，对任意的[)12,2017,x x ∈+∞且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，若函数()2017y f x =+为奇函数，()()201720170a b --<且4034a b +>，则（ ）A ．()()0f a f b +>B ．()()0f a f b +<C ．()()0f a f b +=D ．以上都不对8．已知函数()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()22f x g x ax x +=++，（0a ≠），若对于任意1212x x <<<，都有()()12121g x g x x x -<--，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1[,0)4B ．1(,]4-∞-C ．1[,0)2-D ．1(,]2-∞-9．已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，满足()()2ln 21xf f x e x e --+=-，则函数()f x 的零点所在区间为（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,e10．已知函数()y f x =的定义域为R ,(1)y f x =+为偶函数，对任意12,x x ，当121x x >≥时，()f x 单调递增，则关于a 的不等式(91)(35)a a f f +<-的解集为（ ）A ．(,1)-∞B ．3(,log 2)-∞C ．3(1,log 2)D ．(1,)+∞11．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 为增函数,且1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭,则(1)f 等于（ ）A B C D12．设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若对所有的[]1,1x ∈-及任意的[]1,1a ∈-都满足()221f x t at ≤-+，则t 的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．11,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．{},20(][2,)∞-⋃⋃+∞D ．{}11,0(][,22)∞-⋃⋃+∞13．已知函数())20192019 2019 2x xf x log x -=-+++,则关于x 不等式()() 23 4f x f x +->的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．(),2-∞D ．()1,+∞14．已知函数())44log 42xx f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为( )A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),0-∞15．若定义在[]2015,2015-上的函数()f x 满足：对于任意[]12,2015,2015x x ∈-有1212()()()2014,f x x f x f x +=+-且0x >时，有()2014,()f x f x >的最大值、最小值分别为,,M N 则M N += A ．2013B ．2014C ．4026D ．402816．已知()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+，如果对于任意[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．[]5,2m ∈-- B ．[],2m ∈-∞- C ．[]3,2m ∈- D ．[]3,m ∈+∞二、填空题17．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()()1xf x a a =>．若对任意的[]0,21x t ∈+，均有()[]3()f x t f x +≥，则实数t 的取值范围是________．18．已知函数()222131x x f x x =-++．若存在()1,4m ∈使得不等式()()2432f ma f m m -++>成立，则实数a 的取值范围是________．19．已知函数22()4f x x x ax =---在区间(,2)-∞-和(2,)+∞上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．20．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有32()415xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则()2log 3f =________．21．已知2223,0()43,0x x x f x x x x ⎧-++≤=⎨++>⎩，若关于x 的不等式f (x ＋a )＞f (2a －x 2)在区间[a －1，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.22．已知函数()1()lg 2xf x m -=+，m R ∈.任取12,[,2]x x t t ∈+，若不等式()()12||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立，则实数m 的取值范围是________.23．设()y f x =是定义在R 上的函数，对任意的x ∈R ，恒有()()2f x f x x +-=成立，()()22x g x f x =-，若()y f x =在(],0-∞上单调递增，且()()222f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围是______.参考答案1．C 【分析】题目比较综合，先要通过()()f x g x 、的奇偶性，列出关于()()f x g x 、的方程组，用方程组的方法求出关于()g x 的解析式，()()12122g x g x x x ->--，可以变形为1122()2()2g x x g x x +<+，是单调性的定义，说明构造新函数之后，函数在1,2单调递增，最后根据新函数在区间1,2的单调性，可以分类讨论得到函数中参数的范围 【详解】由题得：()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-；()g x 是偶函数，所以()()g x g x -= 将x -代入2()()2f x g x ax x +=++得：2()()2f x g x ax x +=--+联立22()()2()()2f xg x ax x f x g x ax x +=++-+-=+⎧⎪⎨⎪⎩ 解得：()22g x ax =+1212()()2g x g x x x ->--，1212x x <<<等价于()1212()()2g x g x x x -<--， 即：1122()2()2g x x g x x +<+，令()()2222h x g x x ax x =+=++，则()h x 在1,2单增①当0a >时，函数的对称轴为2102x a a=-=-<，所以()h x 在1,2单增 ②当0a <时，函数的对称轴为2102x a a=-=->，若()h x 在1,2单增，则12a -≥，得：102a -≤< ③当0a =时，()h x 单增，满足题意 综上可得：12a ≥-故选：C 【点睛】题目考察的知识点比较综合，涉及到： ①函数奇偶性的应用②通过方程组法求解函数的解析式 ③构造新函数④已知函数在某一区间内的单调性，求解参数的范围 需要对函数整个章节的内容都掌握比较好，才能够顺利解决 2．A 【分析】根据函数为偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，得到|||3|x t x +≥，化简解出即可. 【详解】易知，函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴12102t t +>⇒>-，又∵()()()33f x t f x f x ⎡⎤+≥=⎣⎦，且函数为偶函数，∴|||3|x t x +≥，两边平方化简，则22820x xt t --≤在[0,21]t +恒成立，令()2282g x x xt t =--，则()()002421039g t g t ⎧≤⎪⇒-≤≤-⎨+≤⎪⎩. 综上：t 的最大值为49-.故选：A. 3．D 【分析】由已知可得函数()f x 的对称性，然后结合函数()f x 在[)2,+∞单调递减，所以可判断()f x 在定义域上的单调性，进而利用单调性可解. 【详解】解：()()40f x f x -+=，则()f x 关于()2,0对称， 因为()f x 在[)2,+∞单调递减， ∴()f x 在R 上单调递减， 又()()242f x f x =--∴()()222042())0(f x x f x f x x f x ++<⇔+--<，∴()2()42f x x f x +<-，∴2421x x x x +>-⇔>或4x <-， 故选：D . 【点睛】结论点睛：若()f x 满足()()2f a x f b x c ++-=，则()f x 关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称. 4．D 【分析】 由()()12121f x f x x x ->-，设12x x >，得到()()1122f x x f x x ->-，令()()g x f x x =-，然后将不等式()()ln 11ln 1xx f e e ⎡⎤-<+-⎣⎦，转化为()()ln 10x g e g ⎡⎤-<⎣⎦，利用()g x 的单调性求解. 【详解】 因为()()12121f x f x x x ->-，不妨设12x x >，则()()1122f x x f x x ->-， 令()()g x f x x =-，在R 上递增， 又()01f =，所以不等式()()ln 11ln 1xx f e e ⎡⎤-<+-⎣⎦， 即为()()()ln 1ln 1100xx f e e f ⎡⎤---<=-⎣⎦， 即()()ln 10xg e g ⎡⎤-<⎣⎦， 所以()ln 10xe -<，则011x e <-<， 解得 0ln 2x <<， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是由()()12121f x f x x x ->-，构造函数()()g x f x x =-，利用其单调性得解. 5．B 【分析】显然函数()f x 在R 上单调递增，又())3f x f=，由()()3f x t f x +≥结合函数的单调性可知)1t x ≥，构造函数)()1g x x =，即)()max ()12t g x t ≥=+恒成立，解不等式即可得解. 【详解】()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，∴函数()f x 在R 上单调递增，又())33x x f x f===()()()))31f x t f x f x t fx t t x ⇔∴+≥+⇔+≥⇔≥≥所以对[],2x t t ∀∈+，不等式()()3f x t f x +≥恒成立，即不等式)1t x ≥恒成立，令)()1g x x =，[],2x t t ∈+，即max ()t g x ≥又)()1g x x =在[],2t t +上单调递增，)()max ()(2)12g x g t t ∴=+=+)()()21122212t t t t ≥+⇒≥⇒≥=所以实数t 的取值范围是()2,+∞ 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)； ③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立. 6．B 【分析】先利用函数的奇偶性将已知不等式化为：,[1,1]a b ∈-时，()(()())0a b f a f b -->，根据增函数的定义推得函数()f x 在[1,1]-上是增函数，从而求得最大值为(1)1f =，然后将已知不等式先对x 恒成立，再对t 恒成立，就可以求出m 的范围 【详解】解：因为f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当a ，b ∈[﹣1，1]，且a +b ≠0时，（a +b ）（f（a ）+f （b ））＞0成立，所以将b 换为b -，可得()(()())0a b f a f b -->， 所以函数()f x 在[1,1]-上是增函数， 所以max ()(1)(1)1f x f f ==--=，所以f （x ）＜m 2﹣2tm +1对任意的t ∈[﹣1，1]恒成立，等价于2121m tm <-+， 即220tm m -<对任意的t ∈[﹣1，1]恒成立，令2()2g t tm m =-，则(1)0(1)0g g -<⎧⎨<⎩，即222020m m m m ⎧--<⎪⎨-<⎪⎩， 解得2m <-或2m >， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性和单调性，含3个变量的不等式对2个变量恒成立求第三个变量取值范围的问题，解题的关键是按顺序先对一个变量恒成立，转化为求最值，再对另一个变量恒成立，转化为求最值即可，考查数学转化思想 7．B 【分析】根据题意，由于[)12,2017,x x ∈+∞且12x x ≠，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，利用单调性的定义得出()f x 在区间[)2017,+∞上单调递减，根据函数()2017y f x =+为奇函数，得出()20170f =，且根据奇函数的性质，得出()f x 图象关于点()2017,0对称，从而得出()f x 在R 上单调递减，最后根据()()201720170a b --<且4034a b +>，结合单调性和对称性，即可得出结论. 【详解】解：由题可知，定义在R 上函数()f x ，[)12,2017,x x ∈+∞且12x x ≠， 由于()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则()f x 在区间[)2017,+∞上单调递减， 因为函数()2017y f x =+为奇函数，则()()20172017f x f x -+=-+， 当0x =时，则()()20172017f f =-，即()20170f =，又因为()2017y f x =+图象关于原点()0,0对称，则()f x 图象关于点()2017,0对称， 所以，()f x 在R 上单调递减，因为()()201720170a b --< 设a b <，则2017,2017a b <>， 则有()()0,0f a f b ><，又因为4034a b +>，则()()0f a f b +<. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质的综合应用，考查单调性、奇偶性、对称性的定义和性质，考查解题运算能力. 8．D 【分析】根据由于()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()22f x g x ax x +=++，得到2()2g x ax =+，结合对于任意1212x x <<<，都有()()12121g x g x x x -<--，得到函数()()F x g x x =+在(1,2)单调递减，分类讨论即得解. 【详解】由于()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()22f x g x ax x +=++，因此：()()2()()2f x g x f x g x ax x -+-=-+=-+，2()2g x ax ∴=+由于对于任意1212x x <<<，都有()()12121g x g x x x -<--()()()()()()1212121122121212+[+]100g x g x g x g x x x g x x g x x x x x x x x ---+-<-⇔<⇔<---因此2()2F x ax x =++在(1,2)单调递减， （1）当0a >时，对称轴102x a=-<，()F x 在(1,2)单调递增，不成立；（2）当0a <时，对称轴102x a=->，()F x 在(1,2)单调递减，11122a a ∴-≤∴≤- 故选：D 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性综合，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算的能力，属于难题. 9．C 【分析】设()2ln 2x f x e x t --+=，即()2ln 2xf x e x t =+-+，()1f t e =-再通过函数()f x 的单调性可知，即可求出t 的值，得到()f x 函数的解析式，然后根据零点存在性定理即可判断零点所在区间． 【详解】设()2ln 2x f x e x t --+=，即()2ln 2xf x e x t =+-+，()1f t e =-，因为()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，所以由解析式可知，()f x 在()0,∞+上单调递增．而()12f e t =-+，()1f t e =-，故1t =，即()2ln 1xf x e x =+-． 因为()110f e =->，11112ln 13e e f e e e e ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，由于11ln ln 3ln 30e e e -=-<，即有13e e <，所以1130e f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭．故()110f f e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()f x 的零点所在区间为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，零点存在性定理的应用，意在考查学生的转化能力，属于较难题． 10．B 【分析】首先根据函数()y f x =的定义域为R ，(1)y f x =+为偶函数，得到函数()y f x =关于1x =对称，根据函数()y f x =在[1,)+∞为增函数，得到函数()y f x =在(,1]-∞为减函数.从而将不等式(91)(35)a a f f +<-等价于911351a a+-<--，解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =的定义域为R ，(1)y f x =+为偶函数， 所以(1)(1)-+=+f x f x ，得到函数()y f x =关于1x =对称. 因为函数()y f x =在[1,)+∞为增函数， 所以函数()y f x =在(,1]-∞为减函数.不等式(91)(35)a a f f +<-等价于911351a a+-<--即369369a a a a⇒->->或369a a -<-令3a t =，(0)t >得到：260t t -+<或260t t +-< 当260t t -+<时，无解. 当260t t +-<时，(3)(2)0t t +-<，解得：2t <，即32a <，3log 2a <. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的平移，函数的奇偶性和单调性，同时还考查了绝对值不等式的解法，属于难题. 11．A 【分析】设(1)f t =,当0t =时,即(1)0f =,则1(1)011f f ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭不成立,故0t ≠.令1x =,代入1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭,得:1(1)f t t +=.令1x t =+,代入1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭得:1(1)(1)11f t f f t t ⎛⎫+⋅++= ⎪+⎝⎭,结合(0,)+∞上函数()f x 为增函数,即可求得(1)f .【详解】 设(1)f t =,当0t =时,即(1)0f =∴ 1(1)011f f ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭不成立,故0t ≠.令1x =,代入1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭ 得:1(1)(1)11f f f ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭,即111t f t ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭,故: 1(1)f t t +=.令1x t =+,代入1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭ 得: 1(1)(1)11f t f f t t ⎛⎫+⋅++= ⎪+⎝⎭即: 11111f t t t ⎛⎫⋅+= ⎪+⎝⎭,故111f t t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭(1)111f tf tt t =⎧⎪⎨⎛⎫+= ⎪⎪+⎝⎭⎩即:1111t t +=+,整理可得:210t t --= 解得:1t =2t = 结合(0,)+∞上函数()f x 为增函数.当(1)1f t ==>时,则(1)(1)1f t f +>>,但1(1)1f t t +=<,矛盾!∴1t =.所以t =故(1)f =故选:A. 【点睛】本题考查了复合函数和抽象函数.本题解题关键是设出(1)f t =,令1x =和1x t =+代入已知条件,得到111f t t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭,结合单调性,讨论解是否合理.12．C 【分析】先计算函数()f x 的最大值为1，得到220t at -≥恒成立，得到不等式222020t t t t ⎧-≥⎨+≥⎩，计算得到答案. 【详解】奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，则()max (1)(1)1f x f f ==--=()221f x t at ≤-+恒成立，即2212120t at t at ≤-+∴-≥恒成立将22y t at =-看作a 为变量，定义域为[]1,1-的函数，则函数最值一定在端点上即222020t t t t ⎧-≥⎨+≥⎩ 解得2t ≥或2t ≤-或0t = 故选C 【点睛】本题考查了恒成立问题，将22y t at =-看作a 为变量的函数是解题的关键. 13．B 【分析】设()())201920192019 x xg x h x log x -=-=，，易知()(),g x h x 都是R 上递增的奇函数，故()2f x -为R 上递增的奇函数，()() 23 4f x f x +->可转化为()()22320f x f x -+-->，利用奇函数的性质即可求解.【详解】设()())201920192019 x xg x h x log x -=-=，.易得()(),g x h x 都是R 上递增的奇函数，设()()() m x g x h x =+，则()m x 是R 上递增的奇函数，若()() 234f x f x +->，则()()22320f x f x -+-->，即()()230m x m x +->，即()()23m x m x >--,即()() 23m x m x >-+，即23x x >-+，解得1x <, 所以(),1x ∈-∞. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，解不等式，属于中档题. 14．A 【分析】可先设())44log 4xx g x x -=+-，根据要求的不等式，可以判断()g x 的奇偶性及其单调性，容易求出()()g x g x -=-，通过解析式可判断其单调性，从而原不等式可变成，()()31g x g x +>-，而根据()g x 的单调性即可得到关于x 的一元一次不等式，解该不等式即得原不等式的解集. 【详解】设())44log (4,xx g x x -=+-则())44log 4xx g x x --=+-，可得()g x +()0g x -=， 由解析式易知()g x 在R 上单调递增；∴由()()314f x f x ++>得，()()31224g x g x ++++>；()()31g x g x ∴+>-，即为()()31g x g x +>-，得31x x +>-， 解得14x >-，∴原不等式的解集为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故选A ． 【点睛】本题考查对数的运算，奇函数的判断方法，函数单调性的应用，属于中档题．判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， ()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， ()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） . 15．D 【分析】由题对于任意[]12,2015,2015x x ∈-有()()()12122014f x x f x f x +=+- ∴令120x x == ，得()02014f = ，再令120x x += ，将()02014f = 代入可得()()4028f x f x +-= ． 设1212[20152015]x x x x ∈-＜，，，， 则()()()21212102014x x f x x f x f x ->-=+--， ，()()2120142014f x f x ∴+--> ． 又()()114028f x f x -=- ，()()21f x f x ∴>，即函数()f x 是递增的，()()()()20152015max min f x f f x f ∴==-， ． 又()()201520154028f f +-= ，M N ∴+ 的值为4028．故选D ．【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性，以及函数求值等知识.其中利用赋值法，证明函数的单调性是解题的关键． 16．A 【解析】∵()f x 是定义在[]22-,的奇函数， ∴(0)0f =，当(]0,2x ∈时，(]()210,3xf x =-∈，∴当[]2,2x ∈-时，()f x 的值域为：[]3,3-； ∵2()2g x x x m =-+，对称轴为：1x =， ∴min ()(1)1g x g m ==-，max ()(2)8g x g m =-=+， 即()g x 的值域为[]1,8m m -+．∵对于任意的[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，便得21()()g x f x =， 则max ()3g x ≥且min ()3g x -≤， 即83m +≥且13m --≤， 解得：52m --≤≤，所以实数m 的取值范围是：[]5,2--， 故选A ．点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即1212,,()()()x x f x g x y f x ∀∃=⇒=的值域包含于()y g x =的值域；1212,,()()()x x f x g x y f x ∃∃=⇒=的值域与()y g x =的值域交集非空． 17．14,29⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【分析】根据函数()f x 为偶函数，且在[)0,+∞单调递增，转化为3x t x +≥对任意[]0,21x t ∈+恒成立，进而可得结果. 【详解】∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()()1xf x a a =>，∴()()1xf x aa =>，则[]()()333()3x xf x a af x ===，则()[]3()f x t f x +≥等价于()()3f x t f x +≥，当0x ≥时()f x 为增函数，则3x t x +≥，即22820x tx t --≤对任意[]0,21x t ∈+恒成立， 设()2282g x x tx t =--，则()()22000210273080g t g t t t ⎧≤⎧-≤⎪⇔⎨⎨+≤++≤⎪⎩⎩，解得2439t -≤≤-，又210t +≥，所以1429t -≤≤-.故答案为：14,29⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：依题意将问题转化为3x t x +≥对任意[]0,21x t ∈+恒成立. 18．(),8-∞ 【分析】令()()1F x f x =-，判断函数()F x 的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为234m m ma +>-，分离参数可得43a m m<++，令4()3g m m m =++，(1,4)m ∈，利用对勾函数的单调性可得()8g m <，结合题意即可求解a 的取值范围．【详解】函数222()()131x x f x f x x ==-++，若存在(1,4)m ∈使得不等式2(4)(3)2f ma f m m -++>成立，令2222()()1(31)3131x x x x x F x f x x =-=-=-++，22(31)(13)()()3113x x x xx x F x F x -----===-++，所以，()F x 为奇函数．不等式2(4)(3)2f ma f m m -++>，即2(4)1(3)10f ma f m m --++->， 即2(4)(3)0F ma F m m -++>，所以2(3)(4)(4)F m m F ma F ma +>--=-，因为20y x=>在(0,)+∞上为增函数，21031x y =->+在(0,)+∞上为增函数，所以22()(1)31xF x x =-+在(0,)+∞上为增函数， 由奇函数的性质可得()F x 在R 上为增函数，所以不等式等价于234m m ma +>-，分离参数可得43a m m<++， 令4()3g m m m=++，(1,4)m ∈， 由对勾函数的性质可知()g m 在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增， g （1）8=，g （4）8=，所以，()8g m <，所以由题意可得8a <， 即实数a 的取值范围是(,8)-∞． 故答案为：(,8)-∞． 【点睛】方法点睛：数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性 19．08a <≤ 【分析】设2()4g x x ax =--，求出函数()g x 的两个零点12,x x ，且12x x <，将函数()f x 化为分段函数，分类讨论a ，当0a ≤时，可知函数()f x 在区间(,2)-∞-上不可能单调递增；当0a >时，根据1x 的范围可知恒满足函数()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，根据解析式可知()f x 在[,)4a +∞上单调递增，再由24a≤可解得结果. 【详解】设2()4g x x ax =--，其判别式2160a ∆=+>，所以函数()g x 一定有两个零点， 设函数()g x 的两个零点为12,x x ，且12x x <，由240x ax --=得1x =2x =，所以函数2()|()|f x x g x =-=121224,,24,4,ax x x x ax x x x ax x x+<⎧⎪--≤≤⎨⎪+>⎩，①当0a ≤时，()f x 在1(,)x -∞上单调递减或为常函数，从而()f x 在(,2)-∞-不可能单调递增，故0a >，②当0a >时，1x=0<=，122x +=0==>，所以12x >-，所以120x -<<，因为()f x 在1(,)x -∞上单调递增，所以()f x 在(,2)-∞-上也单调递增，因为()f x 在2[,]4ax 和2(,)x +∞上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以()f x 在[,)4a +∞上单调递增，欲使()f x 在(2,)+∞上单调递增，只需24a≤，得8a ≤， 综上所述：实数a 的取值范围是08a <≤. 故答案为：08a <≤ 【点睛】关键点点睛：求解关键有2个：①利用2()4g x x ax =--的零点将函数()f x 化为分段函数；②分类讨论a ，利用分段函数的单调性求解. 20．710【分析】令02()5f x =，由题意知0001()41x x f x =++，可求出0x ，又22log 332[(log 3)]415f f +=+，即有023(log 3)10x f =+，进而可求()2log 3f . 【详解】若02()5f x =，则0032[()]415x f f x +=+，又()f x 是定义域为R 的单调函数， ∴0032415x x -=+，得01x =， 又222log 3332[(log 3)][(log 3)]41105f f f f +=+=+，∴023(log 3)110x f =+=，则()27log 310f =. 故答案为：710. 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，以及恒等式成立，求02()5f x =时的0x 值，再利用恒等式求目标函数值.21．1,(2,)4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】先确定函数()f x 单调性，再根据单调性化简不等式f (x ＋a )＞f (2a －x 2)，然后利用恒成立问题，根据二次函数最值分类求解. 【详解】223y x x =-++在(,0]-∞上单调递增，243y x x =++在(0,)+∞上单调递增，2202030403-+⨯+=+⨯+，所以2223,0()43,0x x x f x x x x ⎧-++≤=⎨++>⎩，在(,)-∞+∞上单调递增，因为不等式f (x ＋a )＞f (2a －x 2)在区间[a －1，a ＋1]上恒成立， 所以22x a a x +>-，2a x x ∴<+在区间[a －1，a ＋1]上恒成立，当131,22a a +≤-≤-时，()22min(1)1xxa a +=+++，2(1)1a a a ∴+++>，a R ∴∈， 32a ∴≤-当13111,222a a a -<-<+-<<时，()22min1122xx⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，21122a ⎛⎫∴--> ⎪⎝⎭， 14a ∴<-， 3124a ∴-<<- 当111,22a a -≥-≥时， ()22min (1)1x x a a +=-+-，2(1)1a a a ∴-+->，2a ∴>或0a <，2a ∴>， 综上：14a <-或2a > 故答案为：1,(2,)4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查分段函数单调性、不等式恒成立、二次函数最值，还考查了分类讨论思想和运算求解能力，属较难题.22．23m >- 【分析】先将问题转化为()()12max ||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立，再结合不等式恒成立问题，可将问题转化为392tm ->对任意[2,1]t ∈--恒成立，然后求最值即可得解. 【详解】解：由不等式()()12||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立，即()()12max ||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立，又()()12max max min ||()()f x f x f x f x -=-，又函数()1()lg 2x f x m -=+在[,2]x t t ∈+为减函数， 即()()1112max ||lg(2)lg(2)t t f x f x m m ----=+-+，即11lg(2)lg(2)1t t m m ---+-+<对任意[2,1]t ∈--恒成立， 即392tm ->对任意[2,1]t ∈--恒成立， 即max 39(),2tm ->[2,1]t ∈--， 即23m >-， 故答案为：23m >-. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了函数的单调性的应用，属中档题.23．1a ≤【分析】由题可求，()()0g x g x +-=，又由()y f x =在(],0-∞上单调递增可知()()22x g x f x =-在(],0-∞也单增，结合()g x 为奇函数，可判断()g x 在R 上单增，再由()()222f a f a a --≥-通过拼凑法得()()22(2)2022a a f a f a ----+≥，可转化为()()2g a g a -≥，即可求解【详解】由()()()()2222x x g x f x g x f x =-⇒-=--，()()0g x g x +-=，故()g x 在R 上为奇函数， 由()y f x =在(],0-∞上单调递增⇒()()22x g x f x =-在(],0-∞也单增，故()g x 在R 上单增， ()()()()22(2)2222022a a f a f a a f a f a ---≥-⇔---+≥， 即()()2g a g a -≥，2a a -≥，解得1a ≤故答案为：1a ≤【点睛】本题考查由奇偶性和增减性解不等式，能够通过()f x 对应表达式推导出()g x 为奇函数，并能判断()g x 为增函数是解题关键，解题过程不易考虑到这两步转化，属于难题。
完整版)函数的单调性练习题及答案
完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。
[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。
[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。
4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。
b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。
y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。
1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。
0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。
3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。
证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。
11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。
函数单调性练习题高中
函数单调性练习题高中一、选择题1. 设函数f(x) = x^3 3x，则下列结论正确的是（）A. f(x)在（∞，+∞）上单调递增B. f(x)在（∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增C. f(x)在（∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增D. f(x)在（∞，1）上单调递增，在（1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增2. 已知函数f(x) = (1/2)^x，则下列结论正确的是（）A. f(x)在（∞，+∞）上单调递增B. f(x)在（∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增C. f(x)在（∞，+∞）上单调递减D. f(x)在（∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减二、填空题1. 已知函数f(x) = x^2 2x，求f(x)的单调递增区间：______。
2. 已知函数f(x) = 3x^3 9x，求f(x)的单调递减区间：______。
三、解答题1. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x，求f(x)的单调区间。
2. 已知函数f(x) = (1/3)^x 2x，求f(x)的单调区间。
3. 设函数f(x) = x^2 4x + 3，求f(x)的单调区间。
4. 已知函数f(x) = 2x^3 3x^2 12x + 5，求f(x)的单调区间。
5. 设函数f(x) = (1/2)^x + x^2 4x，求f(x)的单调区间。
6. 已知函数f(x) = x^4 4x^3 + 6x^2，求f(x)的单调区间。
7. 设函数f(x) = 3x^3 9x^2 + 5，求f(x)的单调区间。
8. 已知函数f(x) = (1/3)^x x^3 + 2x^2，求f(x)的单调区间。
9. 设函数f(x) = 2x^4 8x^3 + 12x^2，求f(x)的单调区间。
10. 已知函数f(x) = x^5 5x^4 + 10x^3，求f(x)的单调区间。
四、判断题1. 函数f(x) = x^2 + 2x在整个实数域上单调递增。
中职教育数学《函数单调性》练习题
1、在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y =x 2 D ．y =2x 2＋x ＋12、函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于（ ）A ．－7B ．1C ．17D ．253、定义R 在上的函数()y f x =关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是增函数，则下列关系成立的是（ ）A ．(3)(4)()f f f π<-<-B ．()(4)(3)f f f π-<-<C ．(4)()(3)f f f π-<-<D ．(3)()(4)f f f π<-<-4、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥35、已知()f x 为R 上的减函数，则满足1()(1)f f x>的实数x 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞ C ．(,0)(0,1)-∞ D ． (,0)(1,)-∞+∞6、已知函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，则2(2)f a a -+与7()4f 的大小关系是 . 7、函数2()42f x x ax =++在(,6)-∞内递减，则实数a 的取值范围是 .8、求函数y =x －2x -1＋2的值域．9、求证：函数1()f x x x=+在区间[1,]+∞上是增函数.10、已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．。
函数的单调性练习题(含标准答案)
函数的单调性练习题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2- - 3函数的单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞- -4C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．- -520．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为 单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．- - 6参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则- -7f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27．- - 8(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
高一函数单调性精品练习题
高一函数单调性精品练习题一．选择题（共17小题）1．已知函数f（x）=，则该函数的单调递增区间为（）A．（﹣∞，1]B．[3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．[1，+∞）2．函数f（x）=的单调增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1），（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）3．已知f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，则满足的x取值范围是（）A．B．C．D．4．函数y=的单调递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣2，1）C．（1，4） D．（1，+∞）5．函数y=x2﹣2|x|+1的单调递减区间是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）和（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）和（0，1）6．下列区间是函数f（x）=1﹣的递增区间的是（）A．（1，2） B．[1，2]C．（0，+∞）D．（﹣∞，2）7．若函数在区间（﹣∞，4）上是增函数，则有（）A．a＞b≥4 B．a≥4＞b C．4≤a＜b D．a≤4＜b8．函数y=|x﹣3|的单调递减区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，3]D．[0，+∞）9．已知定义在R的奇函数f（x），在[0，+∞）上单调递减，且f（2﹣a）+f（1﹣a）＜0，则a的取值范围是（）A． B．C． D．10．函数y=的单调减区间和图象的对称中心分别为（）A．（﹣∞，0），（0，+∞），（1，1） B．（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞），（1，0）C．（﹣∞，1），（1，+∞），（1，0） D．（﹣∞，1），（1，+∞），（1，1）11．若函数f（x）在区间（a，b）上是增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数f（x）在区间（a，b）∪（b，c）上（）A．必是增函数B．必是减函数C．是增函数或减函数D．无法确定单调性12．函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2（x1＜x2）都有x2f（x1）＞x1f（x2），记a=f（2），b=f（1），c=﹣f（﹣3），则a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b13．已知函数y=f （x）是偶函数，且函数y=f （x﹣2）在[0，2]上是单调减函数，则（）A．f （﹣1）＜f （2）＜f （0）B．f （﹣1）＜f （0）＜f （2）C．f （2）＜f （﹣1）＜f （0）D．f （0）＜f （﹣1）＜f （2）14．已知函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，则以下结论正确的是（）A．函数|f（x）|为偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递增B．函数|f（x）|为奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递增C．函数f（|x|）为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增D．函数f（|x|）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增15．已知奇函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，则不等式f（）+f（2x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，） B．[﹣，+∞）C．（﹣6，﹣）D．（﹣，）16．已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜017．函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，+∞）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二．填空题（共10小题）18．若f（x）=是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为．19．已知函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在[4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是．20．函数y=|x2﹣4|的单调增区间为．21．设函数，则f（x）的单调增区间是．22．函数y=﹣（x﹣5）|x|的递增区间是．23．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[2，10]上具有单调性，则实数k的取值范围是．24．若函数f（x）的图象关于原点对称，且在（0，+∞）上是增函数，f（﹣3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是．25．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围为．26．函数f（x）=满足对于任意x1＜x2时都有＞0成立，则a的取值范围．27．函数y=在（﹣1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是．高一函数单调性精品练习题答案一．选择题（共17小题）1．B；2．C；3．C；4．B；5．D；6．A；7．C；8．C；9．D；10．D；11．D；12．B；13．D；14．D；15．D；16．B；17．B；二．填空题（共10小题）18．[，+∞）；19．[﹣3，+∞）；20．[﹣2，0]和[2，+∞）；21．[1，2）；22．；23．（﹣∞，16]∪[80，+∞）⊥；24．（﹣3，0）∪（0，3）；25．（﹣，1]；26．[﹣，0）；27．﹣5＜a≤﹣1；。
函数的单调性·基础练习
函数的单调性·基础练习函数的单调性(一)选择题[ ]A ．增函数B ．既不是增函数又不是减函数C ．减函数D ．既是增函数又是减函数2．函数(1) ,(2) ,(3) ,(4) 中在上围增函数的有[ ]A ．(1)和(2)B ．(2)和(3)C ．(3)和(4)D ．(1)和(4)3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有[ ]A 、B 、C 、D 、4．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是[ ]A ．a ≥－3B ．a ≤－3C ．a ≤5D ．a ≥35．函数y ＝3x －2x 2＋1的单调递增区间是[ ]1y ()．函数＝－在区间－∞，＋∞上是x 2x y =x x y =x x y 2-=x xx y +=)0,(-∞21>k 21<k 21->k 21-<kA 、B 、C 、D 、6．若y ＝f (x )在区间(a ，b)上是增函数，则下列结论正确的是[ ]A ．在区间上是减函数B ．y ＝－f (x )在区间(a ，b)上是减函数C ．y ＝|f (x )|2在区间(a ，b)上是增函数D ．y ＝|f (x )|在区间(a ，b)上是增函数7．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则[ ]A ．f (a)＞f(2a)B ．f (a 2)＜f (a)C ．f (a 2＋a)＜f (a)D ．f (a 2＋1)＜f (a)(二)填空题1．(1)函数的单调区间是 (2)函数的单调区间是 2．函数y ＝4x 2－m x ＋5，当x ∈(－2，＋∞)时，是增函数，当x ∈(－∞，－2)时是减函数，则f (1)＝________．3．(1)函数的增区间是(2)函数的减区间是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-43,⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43⎦⎤ ⎝⎛-∞-43,⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,43)(1x f y =()b a ,xy -=11xx y +-=11245x x y --=322-+=x x y4．函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2，0]，则f (x )的单调递减区间是________．5．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与之间的大小关系是 。
函数的单调性练习题
函数的单调性练习题高一数学同步测试（6）—函数的单调性1.在区间(0.+∞)上不是增函数的函数是：B。
y=3x^2+1.2.函数f(x)=4x^2-mx+5在区间[-2.+∞]上是增函数，在区间(-∞。
-2)上是减函数，则f(1)等于：C。
17.3.函数f(x)在区间(-2.3)上是增函数，则y=f(x+5)的递增区间是：A。
(3.8)。
4.函数f(x)=(ax+1)/(x+2)在区间(-2.+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是：B。
(0.+∞)。
5.已知函数f(x)在区间[a。
b]上单调，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a。
b]内：A。
至少有一实根。
6.已知函数f(x)=8+2x-x^2，如果g(x)=f(2-x^2)，那么函数g(x)：B。
在区间(0.1)上是减函数。
7.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0.-1)、B(3.1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x+1)|<1的解集的补集是：D。
(-∞。
-1)∪[2.+∞)。
8.已知定义域为R的函数f(x)在区间(-∞。
5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5+t)=f(5-t)，那么下列式子一定成立的是：C。
f(9)<f(-1)<f(13)。
9.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是：B。
(-∞。
]。
[1.+∞)。
10.已知函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞。
4]上是减函数，则实数a的取值范围是：C。
[-1.1]。
1.已知函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数，实数 $a,b\in \mathbb{R}$ 且 $a+b\leq 0$，则下列不等式中正确的是（）A。
$f(a)+f(b)\leq -f(a)+f(b)$B。
$f(a)+f(b)\leq f(-a)+f(-b)$C。
$f(a)+f(b)\geq -f(a)+f(b)$D。
函数单调性练习题
函数单调性练习题函数单调性是高中数学中的一个重要概念，它描述了函数在定义域上的变化规律。
通过研究函数的单调性，我们可以更深入地理解函数的性质和特点。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来探讨函数的单调性。
1. 练习题一给定函数f(x) = x^2 - 3x + 2，判断其在定义域上的单调性。
解析：首先，我们需要求出函数的一阶导数f'(x)。
对于f(x) = x^2 - 3x + 2，求导得到f'(x) = 2x - 3。
接下来，我们观察f'(x)的符号变化。
当f'(x) > 0时，函数f(x)单调递增；当f'(x) < 0时，函数f(x)单调递减。
解方程 2x - 3 = 0，得到x = 3/2。
我们可以得到以下结论：- 当x < 3/2时，f'(x) < 0，即f(x)在这个区间上单调递减；- 当x > 3/2时，f'(x) > 0，即f(x)在这个区间上单调递增。
所以，函数f(x)的定义域上是先递减后递增的。
2. 练习题二考虑函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，判断其在定义域上的单调性。
解析：同样地，我们计算函数g(x)的一阶导数g'(x)。
对g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6进行求导，得到g'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
我们需要找出g'(x)的符号变化。
解方程3x^2 - 12x + 11 = 0之后，我们可以得到两个根x = 1和x = 11/3。
现在我们可以得到以下结论：- 当x < 1时，g'(x) > 0，即g(x)在这个区间上单调递增；- 当1 < x < 11/3时，g'(x) < 0，即g(x)在这个区间上单调递减；- 当x > 11/3时，g'(x) > 0，即g(x)在这个区间上单调递增。
高中数学函数的单调性练习题和答案
函数的单调性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2 D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2)，那么函数g (x )（ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9)9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则（ ）A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)=f (－3)D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212aa-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞)设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
(完整版)函数的单调性课后练习题
函数的单调性课后练习题1.下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝1x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝x 0D ．y ＝x 2答案：D2．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( )A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>0 解析：由增函数的定义易知A 、B 、D 正确，故选C. 答案：C3．若区间(0，＋∞)是函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax 的递减区间，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a >1C ．0≤a ≤1D ．0<a <1 解析：由二次函数及反比例函数的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，∴0<a <1. 答案：D4．若二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，那么( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：函数的对称轴x ＝1－a 3，由题意得1－a3≥1时，函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，故得a ≤－2.答案：C5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上具有单调性，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一个实根B ．至多有一个实根C ．没有实根D ．有唯一的实根解析：∵f (x )是单调函数，且图象是连续不断的，又f (a )f (b )<0，则f (x )的图象必与x 轴相交，因此f (x )在[a ，b ]上必存在一点x 0，使f (x 0)＝0成立，故答案D 正确．答案：D6．已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f ⎝⎛⎭⎫34的大小关系是__________．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34，又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34. 答案：f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫347．(2011·潍坊模拟)函数y ＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2,2]时，是增函数，则m 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝2x 2－mx ＋3是开口向上的抛物线，要使x ∈[－2,2]时为增函数，只要对称轴x ＝－－m 2×2≤－2，即m ≤－8.答案：m ≤－88．函数y ＝|3x －5|的递减区间是________．解析：y ＝|3x －5|＝⎩⎨⎧3x －5，x ≥53，－3x ＋5，x <53.作出y ＝|3x －5|的图象，如图所示，函数的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，53. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，53 9．判断函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上的单调性，并用定义证明．解：f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．证明：设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个值， 且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝1＋2x 2－1－⎝⎛⎭⎫1＋2x 1－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1<x 2<0，∴x 1－x 2<0，x 1－1<0，x 2－1<0， ∴2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)>f (1－x )，求x 的取值范围．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.∵f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (x －2)>f (1－x )， ∴x －2>1－x ，∴x >32.由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，x >32，得32<x ≤2.故满足条件的x 的取值范围是32<x ≤2.品位高考1.(全国卷)设f (x )，g (x )都是单调函数，下列四个命题，正确的是( )①若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增；②若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增；③若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④答案：C2．(湖南高考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，当a ≤1时，f (x )在[1,2]上是减函数；g (x )＝a x ＋1，当a >0时，g (x )在[1,2]上是减函数，则a 的取值范围是0<a ≤1.答案：D备课资源1.下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上不是单调函数； ③函数y ＝－1x 在定义域内是增函数；④y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：函数的单调性定义是指定义在I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意性，从而①不对；y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性，故②正确．y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5，而f (－3)>f (5)，从而③不对；y ＝1x 的单调区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，而不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，从而④不对．答案：B2．(2007·福建)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：依题意得⎪⎪⎪⎪1x >1，∴|x |<1，且x ≠0， ∴－1<x <1且x ≠0，因此答案C 正确． 答案：C3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，(x ≥1)，5－x ，(x <1)，则f (x )的递减区间是________．答案：(－∞，1)4．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f (x )<f (2x －3)，求x 的取值范围．解：由题意知⎩⎨⎧x >2x －3x >02x －3>0⇒32<x <3. 5．已知f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，判断f (x )的单调性并证明． 解：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 13＋x 1－(x 23＋x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋x 22)2＋34x 22＋1]<0∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．。
(完整版)函数单调性的习题及答案
函数的单调性（一）一、选择题：1．在区间(0,＋∞）上不是增函数的函数是 （ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2 D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f （x )=4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1）等于（ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x ）在区间(－2，3)上是增函数，则y =f （x ＋5）的递增区间是 ( ） A ．（3,8） B ．（－7，－2) C ．（－2，3) D ．(0，5)4．函数f （x ）=21++x ax 在区间（－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．（0，21)B ．( 21，＋∞）C ．（－2，＋∞)D ．（－∞,－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f （x ）在区间［a ，b ]上单调，且f (a ）f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间［a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x ）=8＋2x －x 2，如果g (x ）=f ( 2－x 2)，那么函数g （x ) （ ） A ．在区间(－1,0)上是减函数 B ．在区间（0，1)上是减函数 C ．在区间（－2，0)上是增函数 D ．在区间（0，2)上是增函数7．已知函数f （x )是R 上的增函数,A （0,－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1）|＜1的解集的补集是 ( ） A ．（－1，2) B ．(1，4） C ．（－∞，－1)∪[4,＋∞) D ．(－∞,－1)∪［2，＋∞)8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f （5＋t )＝f (5－t ）,那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1）＜f (9）＜f (13） B ．f (13)＜f (9）＜f (－1) C ．f （9)＜f (－1)＜f （13） D ．f （13)＜f (－1)＜f （9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ )A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311．已知f (x )在区间（－∞,＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a ）＋f (b ）] B ．f （a ）＋f （b )≤f （－a ）＋f （－b ） C ．f (a ）＋f （b ）≥－f （a )＋f （b ）] D ．f (a )＋f （b ）≥f （－a )＋f （－b ) 12．定义在R 上的函数y =f （x ）在（－∞，2）上是增函数，且y =f (x ＋2）图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1）＜f （3) B ．f （0）＞f （3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f （3）二、填空题:13．函数y =（x －1)—2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___．15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 。
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,函数单调性练习题1. （1）已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是 .（2）已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a 的取值范围是 .（3）已知x ∈[0，1]，则函数 的最大值为_______最小值为_________2.讨论函数f(x)＝21xax- (a≠0)在区间(-1，1)内的单调性. 解：设-1＜x 1＜x 2＜１，则f(x 1)-f(x 2)＝2111x ax --2221x ax -＝)1)(1()1)((22212121x x x x x x a --+- /∵x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1＜x ２，∴x 1-x 2＜0，1+x 1x 2＞0，(1-x 21)(1-x 22)＞0 于是，当a ＞0时，f(x 1)＜f(x 2)；当a ＜0时，f(x1)＞f(x 2).故当a ＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a ＜0时，函数在(-1，1)上为减函数.3.判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数、4. 已知：f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)<f (x 2－1)求x 的取值范围．~5.设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间．|xx y --+=122上 在 又 — ） ，（－ ） ，（ 而 ）上是增函数，} ， （ 在 则由已知得 解：令 ) 0 , ：( 2 ) ( 0 4 6 （ 2 2 ) ( 6 2 ) ( ） ,2 ) (【 ； x x x t x x x : t t t f x x t6．函数21)(++=x ax x f 在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a 的取值范围是（ ） ^A.210<<a B.21>a<-1或a>1 >-2解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2a x ＋2＋a . 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2ax 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2).∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >12. 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)~解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥0，4x －x 2＝－(x －2)2＋4，x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.故选C.8.已知f (x )在其定义域R +上为增函数，f (2)=1，f (xy )=f (x )+f (y )，解不等式f (x )+f (x －2) ≤3…9.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.），的单减区间是（－04)2(x f -∴3)2()4()8(2)2()2()4()()()(=+=∴=+=∴+=f f f f f f y f x f xy f 解：)2()2()(2x x f x f x f -=-+又)8()2(2f x x f ≤-由题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤->->∴82020R )(2x x x x x f 上的增函数为＋ (]42，解得∈x】（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。
（2）当0 < x < y 时，y/x > 1，所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。
故f 单调减。
（3）f(3) = -1，f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3)，f(9) = -2而 f （｜x ｜)＜-2 = f(9)，且f 单调减，所以| x | > 9 x ＞9或x ＜-9—10.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3.（1）设x1,x2∈R ，且x1＜x2, 则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) -=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.∴f （x2）＞f(x1).即f(x)是R 上的增函数.（2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5，∴f （2）=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2), ∵f(x)是R 上的增函数，∴3m2-m-2＜2, 解得-1＜m ＜ ,故解集为 . /11.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f yxf -=（1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）； （2）设f （2）=1，解不等式2)31()(≤--x f x f 。
（1）证明：)()()(y f x f yx f -=，令x=y=1，则有：f （1）=f （1）-f （1）=0，)()()]()1([)()1()()1()(y f x f y f f x f y f x f yx f xy f +=--=-==。
（2）解：∵)]3()1([)()31()(---=--x f f x f x f x f )3()3()(2x x f x f x f -=-+=，34⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,1∵2=2×1=2f （2）=f （2）+f （2）=f （4）， ∴2)31()(≤--x f x f 等价于：)4()3(2f x x f ≤-①， (且x>0，x-3>0[由f （x ）定义域为（0，+∞）可得∵03)3(2>-=-x x x x ，4>0，又f （x ）在（0，+∞）上为增函数，∴①41432≤≤-⇒≤-⇔x x x 。
又x>3，∴原不等式解集为：{x|3<x ≤4}。
12.已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)． (1)若a >0，则f (x )的定义域是________；(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析： "(1)当a >0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3a，即此时函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3a ； (2)当a －1>0，即a >1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需3－a ×1≥0，此时1<a ≤3.当a －1<0，即a <1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需－a >0，此时a <0. 综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．13. 定义在R 上的函数()y f x =，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的a b R ∈、，有()()()f a b f a f b +=⋅. (1)求(0)f 的值；(2)求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >；(3)若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围.解：（1）解：令0a b ==，则2(0)(0).f f = 又(0)0f ≠，(0)1f =.（2）证明：当0x <时，0x ->，∴()1f x -> ∵(0)()()1f f x f x =⋅-=，∴1()0()f x f x =>- 又0x ≥时， ()10f x ≥> ∴对任意的x R ∈，恒有()0f x >. （3）解：设12x x <，则210x x ->. ∴21()1f x x ->. 又1()0f x >∴ 1212111211()()()[()]()()()f x f x f x f x x x f x f x x f x -=--+=--⋅ =121()[1()]0f x f x x --<∴ 12()()f x f x <.∴ ()f x 是R 上的增函数. 由2()(2)1f x f x x ⋅->，(0)1f =得 2(3)(0)f x x f ->.∴ 230x x ->，∴03x <<∴所求的x 的取值范围为(0,3)14.已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)解法一：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数．解法二：设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.。