麦克斯韦方程组浅析

麦克斯韦方程摘要：本文对麦克斯韦方程组作了全面的分析和阐述，主要包括：麦克斯韦方程组的建立与推导，麦克斯韦方程组的表现形式及其意义，麦克斯韦方程组的应用等三个方面的内容。

关键词：麦克斯韦方程组 库仑定律 毕奥—萨伐尔定律 法拉第定律引言：麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在1865年英国皇家学会上发表的《电磁场的动力学理论》中提出来的。

麦克斯韦在全面深入的审视了库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，经过长达十年的研究后才得到的成果。

可以说，麦克斯韦方程组概括了电磁场的基本性质和规律，构成完整的经典电磁场理论体系。

它与洛伦磁力方程共同组成经典电磁学的基础方程，其重要性不言而喻。

一 、麦克斯韦方程组的建立与推导 1、麦克斯韦方程组的建立麦克斯韦方程组是经典电磁学理论的核心，因此麦克斯韦方程组的建立过程实际上就是经典电磁学理论的建立过程。

到1845年，关于电磁现象的三个基本实验定律：库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律已经被总结出来，这为麦克斯韦方程组的建立提供了理论基础。

此外，19世纪30年代，法拉第创造性的提出了场和场线的概念，结束了长期以来科学历史上关于超距作用与近距作用的争论。

随后，场的思想逐渐完善，科学家们建立了较为成熟的电磁场概念，这对麦克斯韦的工作具有极大的帮助。

1855年，麦克斯韦开始了电磁学基础理论方面的研究。

在随后的十年里，他相继发表了《论法拉第力线》、《论物理力线》、《电磁场的动力学理论》等三篇论文。

麦克斯韦建立电磁理论的过程大致可分为三步：第一步，麦克斯韦分析总结了电磁学已有的成果，提出感生电场的概念；第二步，他设计了电磁作用的力学模型，对已经确立的电学量和磁学量之间的关系给以物理解释。

第三步，他把近距作用理论引向深入，明确地提出了电磁场的概念，并且全面阐述了电磁场的含义，建立了电磁场的普遍方程即麦克斯韦方程组。

【1】2、麦克斯韦方程组的推导 我们先来考察一下库仑定律： r e F 20014rq q πε=因为q FE =，所以E = r e 2004rq πε。

（1）电场高斯定律推导(a) 对于真空中静止的单个点电荷，作任意的高斯面，电荷位于面内。

则有：Φd = S Ed ⋅=r e 2004rq πε• S d = 004πεq Ωd 故 00d π 4εεqqΦ=Ω=⎰ 即 ∑⎰==⋅=nii Sq S E Φ11d ε(b) 对于真空中静止的单个点电荷，作任意的高斯面，电荷位于面外。

则有：S E Φd d 11⋅= =r1e 20041r q πε• 1d S= -004πεq Ωd222d d S E Φ⋅= =r2e 20042r q πε• 2d S=04πεq Ωd则 0d d 21=+ΦΦ⎰⋅=SS E Φd =0 该式表明：高斯面外电荷的电场穿过该高斯面的电通量为零。

（c ）对于真空中静止的多个点电荷，作高斯面，则有： 由场强叠加原理可知：=E∑ii E⎰∑⎰⋅=⋅=S iiS S E S EΦd d ∑⎰∑⎰⋅+⋅=（外）内）(d d iS iiS iS E S E又由（b ）可知0d （外）=⋅∑⎰i Si S E则∑∑∑⎰==⋅=内）(0内）(0（内）1d ii i i i Si q q S E Φεε（d ）对于真空中静止的电荷连续分布的带电体，作高斯面，则有：E=r e 204rπερdVΦd = S Ed ⋅= re 204r περdV• S d =04περdV Ωd所以⎰⋅=SS E Φd =4πε1⎰VdVρ⎰Ωd =⎰=VqdV 01ερε 综上可得 ∑⎰==⋅=nii Sq S E Φ11d ε这就是静电场高斯定理。

对于非真空状态，我们引入电位移矢量=DE ε，方程修改为：⎰⎰==⋅V f f SdV q d ρS D（2）、法拉第感应定律推导（a ）对于点电荷电场因为 l E q Wd d 0⋅=l r rqq d π 4300⋅=ε 又θcos d d l r l r =⋅r r d = 故r r qq W d π 4d 200ε=⎰⎰==BAr r r rqq dW W 200d π 4ε=)11(π 400BA r r qq -ε 由上式可知：点电荷静电场力做功与路径无关。

（b ）对于任意带电体电场，可用微元法分析，易得静电场力做功与路径无关。

综上可知，静电场力做功与路径无关。

则有：W Lab = W L`ab 点电荷q 0沿路径L ab 和L `ab 运动，始点与终点分别为a 、b 。

即⎰⎰⋅=⋅abL Labl E q l E q 'd d 000d =⋅⎰l l E这就是静电场环路定理。

此前，我们讨论的是静止带电体激发的电场，现在我们再来看一下法拉第电磁感应定律：Ɛ= -tΦd d 该定律表明：变化的磁场B 也能在空间中激发电场E，因为闭合回路中Ɛ=⎰⋅l l E d ，因此⎰⋅l l Ed = -tΦd d 。

当空间中同时存在静电场和变化的磁场激发的电场时，综合静电场环路定理和上式可得：⎰⋅ll Ed =⎰⋅lE l Ed +⎰⋅l B l Ed =0 + ( -tΦd d )即⎰⋅ll Ed = -tΦd d 。

（3）、磁场高斯定律推导磁场中基本实验定律是毕奥—萨伐尔定律：⎰⨯=L rId 204)(r e l x Bπμ 此外，B=∑ii B 。

πμ40=B d 2rId r e l⨯=πμ402dl r I sinϴ φe =πμ403dl r I R φe上式表明：在以电流元延长线为轴，任意半径R 的圆周各点上，dB 有相同的值并沿圆周的切向，于是对于圆周上包围P 点的一个闭合小管，取小管的截面积ΔS 处处相等，则从小管一个端面穿入的磁通量与从另一个端面穿出的磁通量之和必定为零【2】：即 ：1B d∆S 1+2B d ∆S 2=0故 ：0=⋅⎰Sd S B上式即为磁场高斯定理，又叫磁通连续性原理。

事实上，根据实验事实：迄今为止仍未找到磁单极子存在的可靠证据，磁性物质中两极总是成双存在，我们可以直观的得知：磁力线总是连续且闭合的。

从而得到上式。

（4）、麦克斯韦-安培定律推导（a ）单个闭合电流穿过任意闭合环路对微元l d 进行矢量分割，将其分成平行于B 和垂直于B的两部分： ⊥+=l l ld d d //则l Bd ⋅=+⋅//d (l B )d ⊥l =//d l B ⋅+⊥⋅l B d因为⊥⋅l Bd =B ⋅⊥l d cos π/2=0IIr r I l B l B l B L LLL0200//d 2d 2d cos d d μϕπμϕπμθπ====⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰(b)单个闭合电流不穿过任意闭合环路将闭合回路划分L 1和L 2为两部分，使到L 1 L 2对电流所张角相等。

则⎰⎰⎰⋅+⋅=⋅21d d d L L Ll B l B l B= ⎰1d cos L l B θ + ⎰2d cos L l B θ=⎰ϕϕπμ00d 2r r I+ ⎰00d 2ϕϕπμr r I =0(c)当空间中存在多个电流时，可以通过磁场叠加原理，得到下式：⎰⋅Ll Bd ∑=)穿过(0L i I μ综上可得，稳恒磁场的安培环路定理：⎰⋅Ll Bd ∑=)穿过(0L i I μ以上传导电流激发磁场的情况，前面我们通过对法拉第电磁感应定律的讨论，了解到：变化的磁场B 能在空间中激发电场E 。

那么反过来，变化的电场E是否也能在空间中激发磁场B呢？答案是肯定的。

事实上，麦克斯韦发现: 在连接着交变电源的电容器中,电介质内并不存在传导电流,却存在着磁场。

经过深入研究后，麦克斯韦认为：只要有电动力作用于导体上,就会产生出传导电流,而当电动力作用于电介质上时,则会使电介质内的分子产生极化,一端显正电,另一端显负电。

随着电场的变化,这种极化状态也会发生变化,这种变化对于整个电介质的影响,是引起电荷在一定方向上总位移的不断变化,这就是所谓的位移电流,它和传导电流一样能激发磁场,位移电流的大小与电场随时间的变化率成正比。

引入位移电流概念后,对上述电路就可以这样说明：当传导电流在一极板上终止时,就有同样强度和方向的位移电流接上, 在整个电路内传导电流+位移电流= 总电流,就形成一个连续的闭合回路,这时再应用安培环路定律解此电路问题,无论以L 为周界的曲面取在何处,都有确定值,从而圆满地解决了上述的矛盾。

【3】位移电流：⎰⎰⎰⎰⋅∂∂=⋅=S SD D S t DS d J Id因为真空中的位移电流与真实电流同等地激发磁场。

【4】则对于位于电流I D 由安培环路定律得：∑⎰=⋅D LI l B 0d μ因此⎰⎰⎰⎰⎰⋅∂∂=⋅=⋅SSD LS tDS d J l Bd d 00μμ 当传导电流与位移电流同时存在时，⎰⎰∑⎰⎰⎰⋅∂∂+=⋅+⋅=⋅SL iL L L S t DI l Bl Bl Bd d d d 0)穿过(0位传μμ 上式就是麦克斯韦-安培定律。

综上可得麦克斯韦方程组： ∑⎰==⋅=nii Sq S E Φ11d ε⎰⋅ll Ed = -tΦBd d 0=⋅⎰Sd S B⎰⎰∑⎰⋅∂∂+=⋅Si LS tDI l Bd d 0i0μμ 其推导流程如下：【5】至此麦克斯韦方程组的推导已经完成。

实际上，麦克斯韦方程组的推导方法有多种，例如：根据库仑定律和洛仑兹变换或最小作用量原理来建立麦克斯韦方程组。

二、麦克斯韦方程组的表达形式及其意义 1、电场高斯定律：积分形式：∑⎰==⋅=nii Sq S E Φ11d ε∑⎰=⋅f Sq S Dd （介质中）微分形式：0ερ=⋅∇Ef D ρ=⋅∇（介质中）该定律单独描述了电场的一种性质，反映了空间中电场分布与电荷分布间的关系。

它既适用于静止带电体激发的静电场，又适用于变化的磁场激发感生涡旋电场。

对于静电场∑⎰==⋅=ni i Sq S E Φ101d ε（0ερ=⋅∇E ） ，一点的静电场散度，表明该点在空间其他点产生静电场的能力，散度函数表明有源场场源的分布。

【6】而静电场的散度在有电荷的地方不为零，这反映了电荷是静电场的源，而由积分形式我们可以知道，静电场的电场线是不闭合的曲线，在有电荷的地方电场线不连续，说明静电场是有源矢量场。

对于感生涡旋电场0d =⋅=⎰SS E Φ（0=⋅∇E）， 这表明感生涡旋电场与静电场不同，涡旋电场的散度是零，它的电场线是自闭合的，是无源矢量场。

2、法拉第感应定律：积分形式：⎰⋅l l Ed = -t ΦBd d 微分形式：t B E ∂∂-=⨯∇观察该式，我们发现等式两边分别为电场的量和磁场的量，这表明电场与磁场之间存在某种关联或者说是转化关系。