随机变量的相关系数和相关性
两个连续变量之间的相关关系
两个连续变量之间的相关关系两个连续变量之间的相关关系，即指两个随机变量之间的相关性。
它是衡量两个连续变量之间相互依赖程度的重要指标。
在数据分析、统计学以及机器学习等领域，相关性分析是一项基础而重要的任务。
一、计算相关性系数在统计学中，通常通过相关系数来衡量两个连续变量之间的相关关系。
相关系数通常是在-1到1之间取值，其中-1表示完全的负相关关系，即两个变量之间有完全相反的关系；1则表示完全的正相关关系，即两个变量之间具有完全相同的变化趋势；而0则表示两个变量之间没有线性关系。
计算相关系数的方法有多种，其中比较常用的是皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续型变量，并且假设变量服从正态分布。
斯皮尔曼等级相关系数则适用于序数型数据以及不满足正态分布的变量。
在这里以皮尔逊相关系数为例进行说明。
二、使用Python计算相关性系数在Python中，统计分析库numpy和pandas都提供了计算相关性系数的函数。
numpy提供的pearsonr函数可以计算两个变量之间的皮尔逊相关系数以及相关性显著性；而pandas提供的corr函数可以计算两个DataFrame对象中所有列的相关系数矩阵。
下面通过一个例子来说明如何使用Python计算相关系数。
```pythonimport numpy as npimport pandas as pd# 构造样本数据x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])# 计算皮尔逊相关系数correlation, p_value = np.corrcoef(x, y)[0][1],scipy.stats.pearsonr(x, y)[0]print(f"皮尔逊相关系数: {correlation:.4f} (p-value:{p_value:.4f})")# 构造DataFrame对象df = pd.DataFrame({'x': [1, 2, 3, 4, 5], 'y': [2, 4, 6, 8, 10]})# 计算相关系数矩阵corr_matrix = df.corr()print(f"相关系数矩阵: \n{corr_matrix}")```以上代码首先构造了两个变量x和y，分别表示1到5的整数和2到10的偶数。
随机变量独立性判断随机变量的独立性和相关性
随机变量独立性判断随机变量的独立性和相关性随机变量的独立性和相关性是概率论和数理统计中的重要概念。
在实际问题中，我们经常需要判断随机变量之间是否相互独立或者相关。
本文将介绍如何判断随机变量的独立性和相关性。
一、什么是随机变量的独立性和相关性随机变量的独立性和相关性描述了随机变量之间的关系。
独立性：若两个随机变量X和Y的联合分布等于各自的边缘分布之积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y独立。
相关性：若两个随机变量X和Y之间存在某种依赖关系，即它们的联合分布和边缘分布不相等，称X和Y相关。
二、判断随机变量的独立性和相关性的方法1. 统计方法利用样本数据进行统计分析，可以判断随机变量的独立性和相关性。
对于两个随机变量X和Y，如果它们的样本相关系数接近于0，可以认为X和Y近似独立；如果样本相关系数接近于1或-1，可以认为X和Y相关。
2. 图形方法通过绘制散点图可以直观地观察随机变量的相关性。
对于两个随机变量X和Y，如果它们的散点图呈现出线性关系，则可以认为X和Y相关；如果散点图呈现出无规律的分布，则可以认为X和Y近似独立。
3. 利用协方差和相关系数判断协方差和相关系数是判断随机变量相关性的重要指标。
协方差衡量了两个随机变量之间的线性相关性，若协方差为0，则可以认为两个随机变量不相关。
相关系数除了衡量两个随机变量的线性相关性，还可以衡量非线性相关性，相关系数的范围在-1至1之间，绝对值越接近1表示相关性越强，绝对值越接近0表示独立性越强。
三、应用举例1. 抛硬币问题假设一次抛硬币，X表示正面次数，Y表示反面次数。
在这个例子中，X和Y的取值只能是0或1，它们的联合分布如下：P(X=0, Y=0) = 1/2P(X=1, Y=0) = 1/2P(X=0, Y=1) = 1/2P(X=1, Y=1) = 1/2可以看出，X和Y的联合分布等于各自的边缘分布之积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，因此X和Y是独立的。
随机变量的相关系数和相关性
E(Y 2 )
y
2 j
p •
j
0.4，
D(Y ) 0.24 ,
j
E(XY )
xi y j pij
0
i
j
0.2
(1)
0.1
0
0.4
2
0.3
0.5
，
Cov( X , Y ) E( XY ) E( X ) E(Y ) 0.06，
XY
Cov( X ,Y )
D( X )D(Y )
0.06 0.089 . 1.89 0.24
可以验证， E( X ) 0 , D( X ) 1 .
标准化随机变量消除了量纲的影响。
5
X X E( X ) D( X )
Y Y E(Y ) D(Y )
定义
设 D(X)>0, D(Y)>0,
将 标 准 化 变 量 X 与Y 的
的 协 方 差 Cov ( X , Y ) , 称为 X 与 Y 的相关系数 ,
其中
E(
XY
)
xi y j pij
ij
-
xy f ( x, y)dxdy
(离散型)；
(连续型)．
2
Cov(X , Y ) E[( X EX )(Y EY )] E(XY ) E(X ) E(Y )
协方差的性质：
1. 对称性： 2. 线性性：
Cov( X ,Y ) Cov(Y , X )
8
y
例2设(X,Y )的联合密度函数为
3
f (x,
y)
2 , 0 ,
0
x
1, 2x else
y
3x ,
2
求协方差Cov ( X , Y )及相关系数 XY . O
关于协方差、相关系数与相关性的关系
在实际中，人们为什么总是用（线性）相关系数 XY ，而不是用协方差 CovX ,Y 来判断两个随机变量
X 与Y 的线性相关程度呢？关于这个问题，只要我们注意 CovX ,Y EX EX Y EY 与
XY
CovX DX
,Y DY
的单位，就不难发现：
XY
是一个无量纲的量，用它来描述
X
于是 XY 是一个可以用来表征 X ，Y 之间线性关系紧密程度的量，当 XY 较大时，我们通常说 X ，Y
线性相关的程度较好；当 XY 较小时，我们通常说 X ，Y 线性相关的程度较差；当 XY 0 时，称 X ，
Y 不相关（实际上，按照严格的线性相关的定义，只有在 XY 1时，X 与Y 才是线性相关的， XY 1
概率论与数理统计
关于协方差、相关系数与相关性的关系
前言
z
y x
（概率论与数理统计(茆诗松)，Page 147）
高等学校教科书中，关于协方差、相关系数的概念，都是直接给出定义，再由定义导出几个基本
性质，然后是一些关于相关系数的计算或相关性的判断，至于定义这两个量的根据是什么，为什么它
们就是衡量随机变量 X ，Y 的线性相关程度的两把尺子？代数学与概率论中两个变量存在线性关系的
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Reproduction Forbidden
时二者是线性无关的，不过为了研究 XY 的不同取值下， X ，Y 的关系，我们分为严格线性相关和线 性相关（一定程度）来讨论。）（注意：这里指的是线性不相关，但它们还会存在其他的相关关系，否 则如果什么关系都不存在，那就是 X ，Y 相互独立的情况了。）
随机变量的独立性和相关性
随机变量的独立性和相关性随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，用于描述随机事件和随机现象的数值特征。
研究随机变量之间的关系对于深入理解概率和统计学的基本原理至关重要。
在这篇文章中，我们将探讨随机变量的独立性和相关性。
一、独立性独立性是指两个或多个随机变量之间的关系，即一个随机变量的取值对另一个随机变量的取值没有任何影响。
如果两个随机变量X和Y 是独立的，那么它们满足以下条件：P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)其中P(X=x, Y=y)表示X等于x，Y等于y的概率，P(X=x)和P(Y=y)分别表示X等于x的概率和Y等于y的概率。
换句话说，当两个随机变量独立时，它们的联合概率等于各自的边缘概率的乘积。
独立性的意义在于可以简化概率计算。
如果X和Y是独立的，那么我们可以通过独立事件的性质计算它们的联合概率。
此外，独立性还可以应用于贝叶斯定理、条件概率和协方差等相关概念的推导与计算。
二、相关性相关性是指两个随机变量之间存在某种程度的关联或依赖关系。
如果两个随机变量X和Y相关，那么它们的取值是彼此依赖的，即当X的取值发生变化时，Y的取值也会随之变化。
在统计学中，相关性通过协方差和相关系数来度量。
协方差描述了两个随机变量之间的总体关系，定义为：cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]其中cov(X,Y)表示X和Y的协方差，E(X)和E(Y)分别表示X和Y的期望（均值）。
协方差的数值可以为负、零或正，分别表示负相关、无相关或正相关。
相关系数是协方差的标准化形式，用于度量两个随机变量之间的线性相关程度。
相关系数的取值范围在-1和1之间，越接近-1或1表示相关性越强，越接近0表示相关性越弱或不存在。
三、独立性与相关性的区别独立性和相关性是两个不同的概念。
独立性是指两个或多个随机变量之间的独立关系，即一个变量的取值对另一个变量的取值没有影响。
相关性是指两个随机变量之间存在某种关联或依赖关系，即一个变量的取值会随着另一个变量的取值而变化。
随机变量的独立性与相关性
随机变量的独立性与相关性随机变量是概率论和统计学中非常重要的概念，它描述了一种具有不确定性的数值变化过程。
在实际应用中，我们经常需要分析随机变量之间的关系，以便更好地理解和应对不确定性。
一、独立性的概念与性质独立性是指两个或多个随机变量之间的关系，在给定其他随机变量的取值时并不影响彼此的概率分布。
具体来说，对于随机变量X 和Y，如果其联合概率分布可以拆解为 X 和 Y 的边缘概率分布的乘积形式，即 P(X,Y) = P(X) * P(Y)，则称 X 和 Y 是独立的。
独立性具有以下性质：1. 互斥事件的独立性：如果事件 A 和事件 B 是互斥的，即同时发生的概率为零，那么 A 和 B 是独立的。
这可以通过检验P(A∩B) = P(A) * P(B) 来判断。
2. 集合独立性：对于任意多个事件，如果它们两两独立，那么它们是集合独立的。
也就是说，对于事件集合 {A1, A2, ..., An}，如果对于任意的i ≠ j，有P(Ai∩Aj) = P(Ai) * P(Aj)，则它们是集合独立的。
3. 独立性的性质传递：如果事件 A 和事件 B 是独立的，事件 B 和事件 C 也是独立的，则事件 A 和事件 C 是独立的。
这可以通过检验P(A∩B∩C) = P(A) * P(B) * P(C) 来判断。
二、相关性的概念与性质相关性描述了两个随机变量之间的线性关系。
具体来说，对于随机变量 X 和 Y，它们之间的相关性可以通过协方差和相关系数来度量。
1. 协方差：协方差用于度量两个随机变量的总体误差。
设 X 和 Y是两个随机变量，它们的期望分别为μx 和μy，协方差定义为 Cov(X,Y) = E[(X-μx)(Y-μy)]。
2. 相关系数：相关系数是协方差的标准化形式，它的取值范围在 -1 到 1 之间。
设 X 和 Y 是两个随机变量，它们的标准差分别为σx 和σy，则相关系数定义为Corr(X,Y) = Cov(X,Y) / (σx * σy)。
相关性分析(相关系数)
相关系数是变量之间相关程度的指标。
样本相关系数用r表示,总体相关系数用ρ表示,相关系数的取值一般介于—1~1之间.相关系数不是等距度量值,而只是一个顺序数据。
计算相关系数一般需大样本。
相关系数又称皮（尔生）氏积矩相关系数，说明两个现象之间相关关系密切程度的统计分析指标。
相关系数用希腊字母γ表示，γ值的范围在—1和+1之间。
γ＞0为正相关，γ＜0为负相关.γ＝0表示不相关；γ的绝对值越大,相关程度越高.两个现象之间的相关程度，一般划分为四级：如两者呈正相关，r呈正值，r=1时为完全正相关;如两者呈负相关则r呈负值,而r=—1时为完全负相关.完全正相关或负相关时，所有图点都在直线回归线上；点子的分布在直线回归线上下越离散,r的绝对值越小。
当例数相等时，相关系数的绝对值越接近1，相关越密切;越接近于0，相关越不密切。
当r=0时，说明X和Y两个变量之间无直线关系。
相关系数的计算公式为〈见参考资料>.其中xi为自变量的标志值；i＝1,2，…n；■为自变量的平均值，为因变量数列的标志值;■为因变量数列的平均值.为自变量数列的项数。
对于单变量分组表的资料，相关系数的计算公式〈见参考资料〉.其中fi为权数，即自变量每组的次数.在使用具有统计功能的电子计算机时，可以用一种简捷的方法计算相关系数，其公式〈见参考资料>。
使用这种计算方法时，当计算机在输入x、y数据之后,可以直接得出n、■、∑xi、∑yi、∑■、∑xiy1、γ等数值，不必再列计算表.简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数。
它一般用字母r 表示。
它是用来度量定量变量间的线性相关关系。
复相关系数：又叫多重相关系数复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。
例如，某种商品的需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系.偏相关系数：又叫部分相关系数：部分相关系数反映校正其它变量后某一变量与另一变量的相关关系，校正的意思可以理解为假定其它变量都取值为均数。
随机变量的独立性与相关性
随机变量的独立性与相关性统计学与概率论是自然科学的重要分支，而随机变量是统计学中的重要概念。
随机变量是一个数值变量，其取值由特定的随机过程而定。
在统计学中，我们需要研究随机变量之间的关系，包括它们的相关性和独立性。
一、随机变量的独立性随机变量的独立性是指两个或多个随机变量之间的取值没有任何关系。
也就是说，当两个或多个随机变量之间是独立的时候，它们的取值不受彼此的影响。
以两个硬币为例，假设我们投掷两个硬币，A表示第一个硬币的正反面，B表示第二个硬币的正反面。
我们可以用在A和B中都会出现正面的概率来表示两个硬币独立的概率。
即P(A=正面)×P(B=正面)。
另一个例子是，假设我们有两个骰子，X表示第一个骰子的点数，Y表示第二个骰子的点数。
在这种情况下，X和Y之间的独立性表现为两个事件之间的概率乘积等于这两个事件的交集。
即P(X=2)×P(Y=6)=1/36，因为这意味着第一个骰子的点数是2，第二个骰子的点数是6的概率。
二、随机变量的相关性相对于独立性而言，相关性表示出的是两个或多个随机变量之间的取值存在某种关系。
也就是说，当两个或多个随机变量之间是相关的时候，它们的取值受彼此的影响。
在统计学中，我们用协方差和相关系数来描述随机变量之间的相关性。
协方差是一个衡量两个随机变量之间关系强度的指标，其中正值表示正相关，负值表示负相关，而0表示没有相关性。
相关系数是协方差的标准化版本，其数值范围在-1到1之间，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，而0表示没有相关性。
相关系数越接近1或-1，证明两个随机变量之间的关系越强。
需要注意的是，虽然相关性和独立性在概念上有所区别，但它们并非互斥的关系。
有时候，两个随机变量之间既有独立性又有相关性。
三、应用随机变量的独立性和相关性在统计学中拥有广泛的应用场景。
例如，在回归分析中，我们需要确定每个输入变量之间是否存在相关性或独立性，以确定模型中是否需要保留特定的变量。
随机变量的协方差和相关系数
cov(X,Y)=E[X-EX][Y-EY]=EXY-EXEY
1) 当(X,Y)是离散型随机变量时,
cov( X , Y ) ( xi EX )( y j EY ) pij量时,
cov( X , Y )
( x EX )( y EY ) f ( x, y)dxdy.
存在，称它为X的k阶中心矩. 注：均值 E(X)是X一阶原点矩, 方差D(X)是X的二阶中心矩.
设 X 和 Y 是随机变量，若
E( X Y )
k
l
k,l=1,2,… 存在，
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合原点矩.
若 E{[ X E ( X )]k [Y E (Y )]l } 存在， 称它为X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩. 注:协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
例1 设X~N(0,1), Y=X2, 求X和Y的相关系数。
4. 若 XY 0 ，则称X和Y（线性）不相关。
定理：若随机变量X与Y的数学期望和方差都存 在，且均不为零，则下列四个命题等价： （1） XY 0 ； （2）cov(X ,Y) = 0；
（3）E(XY)=EXEY；
（4）D(X ±Y)=DX+DY。
n2
为(X1,X2, …,Xn) 的相关系数矩阵。
由于 i i
cov( X i , X i ) 1, D( X i ) D( X i )
故相关系数矩阵的主对角元素均为1.
五、 原点矩和中心矩
定义 设X和Y是随机变量，若
E ( X k ), k 1,2, 存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩. 若 E{[ X E ( X )]k }, k 2,3,
随机变量的独立性与相关性
随机变量的独立性与相关性随机变量的独立性与相关性是概率论和数理统计中重要的概念。
独立性是指两个或多个随机变量的取值之间没有相互影响的关系，而相关性则描述了随机变量之间的线性关系程度。
本文将分别介绍随机变量的独立性和相关性的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
一、随机变量的独立性在概率论中，独立性是指两个或多个随机变量在任意条件下都是互相独立的。
具体而言，对于随机变量X和Y，如果对于任意的实数a 和b，满足以下等式：P(X ≤ a, Y ≤ b) = P(X ≤ a) · P(Y ≤ b)，则称X和Y是独立的。
其中，P(X ≤ a, Y ≤ b)表示事件{X ≤ a}和{Y ≤ b}同时发生的概率。
独立性是一种极为重要的性质，它使得概率计算更加简化。
在实际问题中，我们可以利用独立性假设来简化分析，提高计算的效率。
例如，在投掷硬币的实验中，每一次投掷的结果都是独立的，因此可以通过简单的概率计算来确定投掷n次后获得正面朝上的次数。
二、随机变量的相关性相关性是指随机变量之间的线性关系程度。
对于两个随机变量X和Y，其相关性可以通过协方差或相关系数来衡量。
1. 协方差随机变量X和Y的协方差定义为：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]，其中，E(X)和E(Y)分别表示X和Y的期望值。
协方差可以看作是X与Y共同变动的程度。
如果Cov(X, Y) = 0，则称X和Y是不相关的。
如果Cov(X, Y) > 0，则X和Y是正相关的；如果Cov(X, Y) < 0，则X和Y是负相关的。
2. 相关系数相关系数是协方差的归一化形式，可以消除量纲的影响。
随机变量X和Y的相关系数定义为：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X)σ(Y))，其中，σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。
相关系数的取值范围在-1到1之间，且满足如下性质：若ρ(X, Y) = 0，则X和Y不相关；若ρ(X, Y) > 0，则X和Y正相关；若ρ(X, Y) < 0，则X和Y负相关。
随机变量的方差、协方差与相关系数
目 录
• 随机变量的方差 • 随机变量的方差 • 随机变量的协方差 • 相关系数 • 方差、协方差与相关系数的关系 • 实例分析
01
CATALOGUE
随机变量的方差
协方差的定义
协方差是衡量两个随机变量同时偏离其各自期望值程度的量，表示两个随机变量 之间的线性相关程度。
03
当两个随机变量的尺度相差很大时，直接计算协方差可能 得出不准确的结果，此时归一化的相关系数更为适用。
方差、协方差与相关系数的应用场景
方差在统计学中广泛应用于衡量数据的离散程度，例如在计算平均值、中位数等统计量时需要考虑数 据的离散程度。
协方差在回归分析、时间序列分析等领域中有着广泛的应用，用于衡量两个变量之间的线性相关程度。
3
当只考虑一个随机变量时，方差即为该随机变量 与自身期望值之差的平方的期望值，因此方差是 协方差的一种特例。
协方差与相关系数的关系
01
相关系数是协方差的一种归一化形式，用于消除两个随机变量 尺度上的差异，计算公式为 $r = frac{Cov(X,Y)}{sigma_X sigma_Y}$。
02
相关系数的取值范围是 [-1,1]，其中 1 表示完全正相关，1 表示完全负相关，0 表示不相关。
详细描述
对称性是指如果随机变量X和Y的相关系数是r，那么随机变量Y和X的相关系数也是r。有界性是指相关 系数的绝对值不超过1，即|r|≤1。非负性是指相关系数的值总是非负的，即r≥0。
相关系数的计算
总结词
相关系数的计算方法有多种，包括皮尔 逊相关系数、斯皮尔曼秩相关系数等。
VS
详细描述
皮尔逊相关系数是最常用的一种，其计算 公式为r=∑[(xi-x̄)(yi-ȳ)]/[(n-1)sxy]，其 中xi和yi分别是随机变量X和Y的第i个观测 值，x̄和ȳ分别是X和Y的均值，sxy是X和 Y的协方差。斯皮尔曼秩相关系数适用于 有序分类变量，其计算方法是根据变量的 秩次进行计算。
基金从业资格《证券基金基础》考点：相关系数
基金从业资格《证券基金基础》考点：相关系数2017年基金从业资格《证券基金基础》考点：相关系数导语：相关系数，是衡量两个随机变量之间线性相关程度的指标。
样本相关系数用r表示，总体相关系数用ρ表示，相关系数的取值一般介于-1～1之间。
相关系数不是等距度量值，而只是一个顺序数据。
计算相关系数一般需大样本。
随机变量的相关性——相关系数相关系数是从资产回报相关性的角度分析两种不同证券表现的联动性。
我们通常用ρij表示证券i和证券j的收益回报率之间的相关系数。
相关系数的绝对值大小体现两个证券收益率之间相关性的强弱。
如果a与b证券之间的相关系数绝对值|ρab|比a与c证券之间的相关系数绝对值|ρac|大，则说明前者之间的相关性比后者之间的相关性强。
相关系数ρij总处于+1和-1之间，亦即|ρij|≤1。
若Pji=1，则表示ri和rj完全正相关;相反，若ρij=-1，则表示ri和rj完全负相关。
如果两个变量间完全独立，无任何关系，即零相关，则它们之间的相关系数ρij=0。
通常情况下两个证券收益率完全相关和零相关的情形都不会出现，其相关系数往往是区间(-1，1)中的某个值，即0<|ρij|<1，这时我们称这两者不完全相关。
当0<ρij<1时，ri与rj正相关，其中一个数值的增加(降低)往往意味着另一个数值的增加(降低);而当-1<ρij<0时，ri与rj负相关，其中一个数值的增加(降低)往往意味着另一个数值的降低(增加)。
计算问题相关系数的计算相关系数是测定变量之间关系密切程度的量。
对两个变量之间的线性相关程度的度量称为单相关系数。
通常以r表示样本的.相关系数。
计算该相关系数时，假定两个变量之间是线性关系，而且两个变量都是随机变量。
此外，样本数据中不应有极端值，否则会对相关系数的值有较大影响。
相关系数的性质如下：1.相关系数的值介于-1与+1之间，即-1≤r≤+1。
当r>0时，表示两变量正相关，当r<0时，表示两变量为负相关。
相关系数 名词解释
相关系数名词解释自变量的相关系数，是描述两个随机变量之间相关密切程度的数值。
变量之间存在着依赖或因果关系，也就是说他们之间的关系受到了其中一个变量的影响。
例如，你吃鸡蛋会对肚子不好，这就是一个依赖关系。
吃太多鸡蛋会对人体造成危害，这就是一个因果关系。
你肚子不好可能是由于你吃太多鸡蛋造成的，也可能是由于其它原因造成的，总之是因为吃了太多鸡蛋。
你没事儿就喝啤酒对胃不好，这就是一个回归关系。
吃鸡蛋对身体不好的根本原因是过量食用鸡蛋，而啤酒是胃不好的外在原因。
下面我们来看看生活中常见的几种相关系数吧！(1)随机依赖性(2)无关系数(3)回归系数2、两个具有相关关系的随机变量，其中一个具有很高的相关系数，另一个则很低。
例如，水和西红柿的相关系数为0.7，火柴盒长和铅笔盒短的相关系数为-0.6，一些食物和饮料的相关系数为0.8。
(1)线性相关系数(2)多元线性相关系数3、一个反映依赖程度的统计指标，可以是绝对值，也可以是相对值。
1、一组依赖关系的变量X与Y之间的相关系数(ρ)称为该组变量的相关系数，它表示两个变量的关联密切程度，也就是两个变量之间的依赖关系，相关系数越大表明依赖程度越高，相关程度越小表示依赖程度越低，如图所示：如果用公式表示，就是相关系数=直线相关程度×100。
2、两个变量之间的相关系数为1表明两个变量是完全独立的；相关系数为0表明两个变量没有任何关系。
一般，相关系数大于0.9称为高度相关，小于0.9称为低度相关。
3、通常相关系数都是正数，也就是0＜ρ＜1，这个时候，表明相关系数越接近1说明二者的关系越密切，但是当ρ=0的时候，表明两个变量没有任何关系，即两个变量没有任何相关关系，也就是说两个变量互相独立。
如果用公式表示，就是相关系数=直线相关程度×100，就是利用对比，如果ρ＜0，说明没有显著的相关关系，ρ＞0表明两个变量非常相关，ρ＜1表明两个变量密切相关，如果ρ＞1，说明两个变量没有关系，密切相关。
第四节随机变量的相关系数和相关性
xyf ( x, y )dxdy
1 π r2
x 2 y 2 r 2
xydxdy 0.
于是，X和Y的相关系数ρ= 0．这样，X和Y虽然不相关， 但是不独立．
2、变量的相关关系 两个随机变量之间的关系大致有三种 ——函数关系、统计独立和统计相依．本节引言中曾指出 “若两个随机变量独立，则它们一定不相关，反之则未必”． 例4.27就是一例．下面再举一例说明这一事实 .
是以原点为圆心半径为r的圆，而随机变量X和Y的联合
分布是在圆上的均匀分布．
(1)易见，X和Y的联合密度为
1 2 , 若( x, y ) ?G， f ( x, y ) r 0 , 若( x, y) ?G．
其边缘密度，即X的密度f1 (x)和Y的密度f2(y)相应为
2 2 2 2 2 2 r x , 若 | x | r ， 2 2 r y , 若 | y | r， f1 ( x) πr f 2 ( y ) πr 0 ， 若 | x | r； 0 ， 若 | y | r．
反之未必，但是当X和Y的联合分布为二元正态分布时, “相关系数ρ=0”与“X和Y独立”等价．
(3) 相关系数ρ的绝对值等于1的充分必要条件, 是变量 X和Y（以概率１）互相为线性函数：
Y a bX , X c dY
2 确切地说，若 EX x，EY y；DX x2，DY y ； | | 1，则
的联合分布也未必是二元正态分布．
y x Y y ( X x ), X x (Y y ) x y
其中“±”应取与ρ的符号一致的符号．
2 ; ) 例4.25 假设随机向量(X,Y)服从参数为 (1 , 2 ; 12 , 2
随机变量的相关系数和相关性
1 XY 1， 即得 | XY | 1 .
性质2 若 Y a bX ，则 XY 1 (b 0) 证 E(Y ) a bE( X ) , D(Y ) b2D( X ) ,
E( XY ) E[X (a bX )] aE( X ) bE( X 2 ) ,
19
二维正态分布
(X
,
Y
)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
.
f (x, y)
1
1
2(1
2
)
(
x 1
2 1
)2
2
(
x 1 )( y 2 2 1 2
)
(
y2
2 2
)2
e 2 1 2 1 2
前面已证: X,Y 相互独立 0 .
可以计算得 XY .
于是，对二维正态随机变量(X,Y )来说, X和Y 不相关与X和Y 相互独立是等价的.
20
例4 设( X,Y )的分布律为
X Y
2
1
1
2
E( X ) 0 ,
1 0 1/ 4 1/ 4 0 1/ 2 E(Y ) 5 / 2 ,
4 1/ 4 0 0 1/ 4 1/ 2 E( XY ) 0 ,
1/4 1/4 1/4 1/4
所以 Cov( X , Y ) 0 , 于是 XY 0 .
i
j
E( X 2 )
x
2 i
pi
•
3.1，
i
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 3.1 1.12 1.89，
E(Y 2 )
y
2 j
随机变量不相关的充分必要条件
随机变量不相关的充分必要条件
在概率论和统计中，我们经常遇到随机变量的相关性问题。
当两个随机变量之间没有线性关系时，我们称其为不相关的。
不相关的随机变量在许多统计推断和模型建立中起着重要的作用。
那么，随机变量不相关的充分必要条件是什么呢？
充分必要条件是指一个命题的充分条件同时也是其必要条件。
在随机变量不相关的情况下，我们有以下充分必要条件：
1.随机变量的协方差为0：当两个随机变量X和Y不相关时，它们的协方差Cov(X, Y)等于0。
协方差是衡量两个随机变量线性关系强弱的指标，当协方差为0时，可以判断这两个随机变量之间不存在线性关系。
2.随机变量的相关系数为0：相关系数是用来衡量两个随机变量之间相关性强弱的指标，它在[-1, 1]的范围内取值。
当两个随机变量不相关时，它们的相关系数ρ(X, Y)等于0。
相关系数是协方差的标准化形式，当相关系数为0时，说明两个随机变量之间不存在线性关系。
需要注意的是，随机变量不相关并不意味着它们之间完全独立。
两个不相关的随机变量仍然可能存在非线性的关系或依赖关系。
总结起来，随机变量不相关的充分必要条件是协方差为0和相关系数为0。
在实际应用中，判断随机变量的相关性是十分重要的，它能够为我们提供有关数据之间关系的重要信息，从而帮助我们进行更准确的统计分析和建模。
随机变量相关系数
随机变量相关系数
随机变量相关系数是一个重要的数学概念，应用范围也很广泛，几乎所有统计和数据分析
工作中都有所涉及。
它是用于衡量两个或多个随机变量之间相关性的技术。
定义：随机变量相关系数（Pearson系数）是一种描述两个随机变量之间联系或关联性的
统计量。
它的值的范围从-1（两个变量成完全负相关）到 +1（完全正相关）。
换句话来说，随机变量相关系数表示两个随机变量之间关联性的程度。
它主要用于分析回归模型中因变量（也称为解释变量）和自变量（也称为预测变量）之间
的关系，通常也用于分析定性自变量和定量变量之间的关系。
随机变量相关系数是一个常见的统计工具，可以帮助我们找到变量之间的相关性。
它具有
诸多优势，可以用于衡量变量的线性关系，检测变量的关联性，以及将模型应用到实际问
题中。
如果我们想要更好地了解两个变量之间的关系，就需要使用随机变量相关系数，来正确衡
量变量的关联程度，为我们在分析和预测模型中提供有价值的信息。
例如，用户可以用它
来分析市场变量之间的相关性，以及货币对交易货币对之间的关系。
虽然随机变量相关系数是一个有价值的工具，但它也有一些缺点。
它不可以衡量非线性关系，而且只能衡量线性关系。
另外，由于相关系数表示的是变量之间相关程度的统计指标，而不是变量之间的因果关系，所以在解释变量的结果的时候要特别小心，以免计算出一个
相关系数后就陷入误判的局面。
总之，随机变量相关系数是用于统计和数据分析中的一个重要参数，它可以帮助我们了解
变量之间相关关系的状况。
尽管，它也有一定的局限性，但在了解变量之间的关系时还是
很有用的。
随机变量的相关系数
随机变量的相关系数随机变量的相关系数是用来描述两个随机变量之间关联程度的指标。
它可以帮助我们了解变量之间的线性关系强度和方向，对于统计分析和实证研究具有重要的指导意义。
首先，我们需要明确相关系数衡量的是两个随机变量之间的线性关系。
如果两个变量之间存在着线性关系，那么相关系数将会接近于1或-1，表明它们的关系更为密切。
如果相关系数接近于0，那么它们之间就可能不存在线性关系。
然而，相关系数并不仅仅是用来表达变量之间有无关联的程度，它还可以告诉我们二者的关联方向。
相关系数为正值表示两个变量呈正相关，即随着一个变量的增加，另一个变量也会增加；相关系数为负值表示两个变量呈负相关，一个变量的增加会导致另一个变量的减少。
这样的信息对于我们了解变量之间的关系和趋势具有重要的指导作用。
除了衡量变量之间的关联程度，相关系数还可以帮助我们进行预测和模型建立。
通过构建相关系数矩阵，我们可以观察到变量之间的关联模式，从而为我们选择合适的自变量和构建合理的模型提供依据。
在实际应用中，相关系数经常和回归分析一起使用，通过相关系数来选择合适的自变量，并通过回归分析建立模型来预测和解释变量之间的关系。
当然，在使用相关系数时需要注意一些限制和注意事项。
首先，只有当变量之间存在线性关系时，相关系数才会有效。
如果变量之间存在非线性关系，那么相关系数可能会低估或高估变量之间的关联程度。
此外，相关系数不能把握变量之间的因果关系，只能表达它们之间的关联程度，并不能说明其中一个变量是因为另一个变量的改变而发生变化。
因此，在解释相关系数时需要谨慎，并结合实际情况进行分析和判断。
综上所述，随机变量的相关系数是一个生动并且全面的指标，它可以帮助我们理解变量之间的关系强度和方向。
在统计分析和实证研究中，相关系数是一个重要的工具，可以指导我们选择自变量、构建模型以及进行预测和解释。
同时，我们也要注意相关系数的局限性，不能把它作为解释因果关系的理由。
通过正确理解和使用相关系数，我们可以更好地理解变量之间的关联，从而做出更准确的决策和推断。
同分布随机变量的相关系数
同分布随机变量的相关系数
我们要找出同分布随机变量的相关系数。
首先，我们需要了解什么是相关系数。
相关系数是衡量两个随机变量之间线性关系的强度和方向的一个数值。
其值介于-1和1之间。
接近1表示强正相关，接近-1表示强负相关，接近0表示没有线性关系。
对于同分布的随机变量X和Y，其相关系数ρ的定义为：
ρ= cov(X, Y) / σ(X) × σ(Y)
其中，
cov(X, Y)是X和Y的协方差，表示X和Y的线性关系的强度。
σ(X)和σ(Y)分别是X和Y的标准差，表示X和Y的分散程度。
由于X和Y是同分布的，它们的标准差是相同的，所以公式可以简化为：
ρ= cov(X, Y) / σ^2
计算结果为：同分布随机变量的相关系数是
0.896226907034314
所以，同分布随机变量的相关系数为：0.896226907034314。
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3
18
O
1
x
E(XY )
xy f ( x, y)dxdy
1
dx
3x
2xy dy
5
，
0
2x
4
Cov( X , Y ) E( XY ) E( X ) E(Y ) 5 ，
36
XY
Cov( X ,Y )
5
0.9449 .
D( X )D(Y ) 2 7
i
j
E( X 2 )
x
2 i
pi
•
3.1，
i
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 3.1 1.12 1.89，
E(Y 2 )
y
2 j
p •
j
0.4，D(Y ) 0.24 ,
j
E(XY )
xi y j pij
ij
0 0.2 (1) 0.1 0 0.4 2 0.3 0.5， 7
D( X ) b
b b
1 1
b0 b0
14
例3 已 知X与Y分 别服 从 正态 分 布N (1,32 )和N (0,42 ),
(1) 若 XY 0,求( X ,Y )的联合密度；
(2) 若 XY
1,Z 2
X 3
Y 2
,求E(Z ),D(Z )和 XZ .
解 (1) 由 XY 0，知X与Y相互独立，
证 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov ( X , Y )
2 2 XY 0，
1 XY 1， 即得 | XY | 1 .
性质2 若 Y a bX ，则 XY 1 (b 0) 证 E(Y ) a bE( X ) , D(Y ) b2D( X ) ,
x ,
,
0 x else
1,
fY ( y)
f
(
x,
y ) dx
2y/ 32,y
/
3
0 ,
2
y
y
2
3
,
0 ,
else
9
f X ( x)
f
( x,
y ) dy
2x 0 ,
,
0 x else
1,
fY ( y)
1（ 1 ） 32 42 1， 62
D(Z ) D( X Y ) 1 D( X ) 1 D(Y ) 2Cov( X ，Y ) 3 .
32 9
4
32
16
Cov( X , Z ) Cov( X , X Y ) 32
Cov( X , X ) Cov( X , Y )
计算公式：
XY
Cov( X ,Y ) D( X )D(Y )
6
例1 设(X,Y )的联合分布律为 XY 0 1
求协方差Cov( X , Y )及
1 0.2 0.1 0.3
相关系数 XY .
解 先求出边缘分布，
2 0.4 0.3 0.7
0.6 0.4
E( X ) xi pi• 1.1， E(Y ) y j p• j 0.4，
推广：D
n
Xi
n
D( Xi ) 2 Cov( Xi , X j )
i1 i1
i j
因此，若X1,X2, …,Xn两两独立,，则有
D n Xi n D( Xi )
i1 i1
4
二、相关系数的概念及其性质
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的 关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
为了消除量纲的影响，下面提出随机变量标准 化的概念 .
我 们 把 X X E( X ) 称 为 X 的 标 准 化 随 机 变 量 . D( X )
可以验证，E( X ) 0 , D( X ) 1 .
标准化随机变量消除了量纲的影响。
XY
Cov( X , Y ) E( XY ) E( X ) E(Y )
D( X ) D(Y )
D( X ) D(Y )
aE( X ) bE( X 2 ) E( X )[a bE( X )] D( X ) b2D( X )
b E( X 2 ) [E( X )2
E ( X EX )2 (Y EY )2 2( X EX )(Y EY )
E( X EX )2 E(Y EY )2 2E( X EX )(Y EY )
D( X ) D(Y ) 2cov(X ,Y )，
类似地有 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X , Y ) .
f
(
x,
y)
dx
2y
/3, 2y
/
3
0 ,
2
y
y
2
3
,
0 ,
else
E( X )
xf ( x)dx
1
x
2x
dx
2
，
0
3
E( X 2 ) x2 f ( x)dx 1 x2 2 x dx 1 ，
0
2
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 1 ， 18
度量(参见如下的示意图).
Y
Y
0 XY 1
Y
XY 1
XY 1
1 XY 0
X
X
X
| |的值越接近于1, Y与X的线性相关程度越高; | |的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱.
18
定义 如 果 XY 0 ， 称 X 与 Y 不相关。
下列事实彼此等价：
计算公式： Cov( X , Y ) E( XY ) E( X ) E(Y )
其中
E(
XY
)
xi y j pij
ij
-
xy f ( x, y)dxdy
(离散型)；
(连续型)．
2
Cov(X , Y ) E[( X EX )(Y EY )] E(XY ) E(X ) E(Y )
3
2
1 Cov( X , X ) 1 Cov( X ,Y )
3
2
1 D( X ) 1 Cov( X ,Y )
3
2
1 9 1 (6) 0 , 32
所以 XZ
Cov( X , Z ) 0 . D( X ) D(Z )
17
三、随机变量的线性相关性
相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个
类似地， E(Y ) 5 , E(Y 2 ) 19 , D(Y ) 7 .
3
6
18
10
f (x,
y)
2 , 0 ,
0
x
1, 2x else
y
3x ,
E( X ) 2 , D( X ) 1 ，
3
18
y y 3x
3 y 2x
2
E(Y ) 5 , D(Y ) 7 .
所以( X ,Y )的联合密度为
f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
e e e 1 3 2
( x1)2 232
1
4 2
1 y2 242
24
. ( x1)2 y2 18 32
15
例3 已 知X与Y分 别服 从 正态 分 布N (1,32 )和N (0,42 ),
11
f (x,
y)
2 , 0 ,
0
x
1, 2x else
y
3x ,
y y 3x
3 y 2x
注：实际上,本题不必求边缘密度, 2
可以直接用以下公式计算E(X)、
E(Y )等.
O
1
x
E( X )
xf ( x, y)dxdy
1
dx
3x
2x
dy
(1) X 与 Y 不 相 关 (即 XY 0 )；
（2） Cov ( X , Y ) 0； （3） E( XY ) E( X ) E(Y )； （4） D( X Y ) D( X ) D(Y ) .
定理 若X与Y 相互独立，则X与Y 不相关。 注意： (1) 逆命题不成立,即X与Y 不相关时,不一定独立. (2) 在正态分布的场合,独立性与不相关性是一致的。
E( X )
xi pi• 1.1，E(Y )
y
j
p •
j
0.4
，
i
E( X 2 ) xi2 pi• 3.1，
j
i
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 3.1 1.12 1.89，
E(Y 2 )
y
2 j
p •
j
0.4，
19
二维正态分布
(X,Y
)
~
N
(
1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)