三角形中位线在初中几何中的应用
中位线及其应用
中位线及其应用知识定位中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。
中位线的证明性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、三角形中位线定义（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线与三角形的中线区分：三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ∆的中位线。
几何语言描述：因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，所以DE//BC,且DE=12BC提示 a ：“平行且等于第三边的一半”，具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并 不一定要把两个结论都写出来。
b ：一个三角形有三条中位线。
c ：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要 的作辅助线的方法。
2、三角形中位线的性质（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
（2）中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
（3）运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
（4）中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰补充：有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
初中几何中三角形中位线定理的应用
初中几何中三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。
它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系。
就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。
我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。
一、证明问题1、证明角相等关系例1、已知：如图在四边形ABCD 中对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N为EF 与BD ，AC 的交点。
求证：OM=ON 分析：证明OM=ON 可转化成证明∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要取AD 中点H 作出△ABD 与△ACD 的中位线，即可得到EH=21BD ,HF=21AC,因为AC=BD,从而 得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。
证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。
∴EH=21BD ，EH//BD ，HF=21AC ，FH//AC (三角形中位线定理)而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE又∵EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠DMF ，∠HFE=∠ANM∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF=∠DFE分析：欲证：∠AEF=∠DFE 。
由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN=∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB ∥，12GN CD ∥，由于AB=CD ，进而有GM=GN ，∠GMN=∠GNM 然后再转化∠EPN=∠Q ，从而证出结论。
三角形中位线应用
三角形中位线应用
本文是关于三角形中位线的应用。
运用中位线原理可以解决一些绘图中的问题。
三角形中位线的定义是：在三角形中，从一点出发，经过其他两个顶点，以及三角形内部的其他任意一点，连接到某一边上的线段叫做中位线。
应用1：首先，可以使用中位线将具有特殊形状的三角形分成三个较小的等边三角形，以此来解决复杂的绘图问题，例如求解多边形面积、求解多边形各边长等。
应用2：其次，中位线也可以用于追踪三角形的边缘，理解物体的形状与大小，例如求解物体体积、求解多边形内角之和等。
应用3：另外，中位线也可以用于求解三角形的边长，以及求解它们之间关系的研究，例如求解三角形的内角之和，求解三角形中各角的大小等。
以上就是本文关于三角形中位线的应用。
在绘图中，使用中位线原理能够有效解决复杂的计算问题，有助于深入理解物体的几何特性。
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三角形中位线定理的证明及其应用
例 ｌ 如 图，在 四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， Ａ Ｂ ＝ Ｃ Ｄ， Ｅ、 盼 别
是Ｂ Ｃ 、 Ａ Ｄ的 中点 ，延长Ｂ Ａ和Ｃ Ｄ分别 与Ｅ Ｆ 的延 长线 交 于Ｋ、 日， 求证 ： ／ ＿ ＿ Ｂ Ｋ Ｅ＝ Ｃ Ｈ Ｅ ． （ ２ ０ ０ ６ 年 内 蒙 古 呼 和 浩 特市初 中数学 竞赛题 ）
样 取 中点 比作平行 线好 ． 证明： 连 接Ｂ Ｄ并取Ｂ Ｄ的中 点Ｇ， 连Ｆ Ｇ、 Ｇ Ｅ， 在 △Ｄ Ａ Ｂ 和 △Ｂ Ｃ Ｄ 中，
・ ．
・
Ｆ 是ＡＤ的中 点， Ｅ 是Ｂ Ｃ 的 中点 ，
・ ． ．
Ｆ Ｇ ／ ／ Ａ Ｂ Ｊ ￣ Ｆ Ｇ ＝ Ａ ， Ｅ Ｇ ／ ／ ／ Ｄ Ｇ Ｊ ￣ Ｅ Ｇ ＝ 二Ｄ Ｃ ．
・ ．
．
Ａ ＡＥ Ｆ￣ Ａ ＡＢＣ ＥＦ ＝
＝
＝
Ｅ Ｆ ／ ／ Ｂ Ｃ Ｊ ｔ Ｅ Ｆ ＝Ｉ － － Ｂ Ｃ
２ ．
ＢＣ Ａ Ｂ ２
以
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Ａ（ ０，口）
‘ 、
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童（ｂ ，ｏ’
＼ ‘ 专 ｆ口
．
、
Ｃ‘ ｃ－ Ｏ）
证 明 二 ： ’ 诜 ４ （ ｏ ， ， 日 （ ６ ， ０ ） ， ｃ （ ｃ ， ｏ ） ． 贝 Ｊ ｌ Ｅ （ 告 ， 号 ） ， 畸， 号 ） ．
求证： Ｅ Ｆ ＜２ １（ ＡＢ ＋ Ｃ Ｄ） ． （ ２ ０ １ １ 年银 川市 中考 题）
￣
分 析 ： 利 用 中 位 线 ， 将 矾吉 Ｂ ＋ ｃ Ｄ ） 转 移 到 同 一 三 角 形 中 ．
・ 。
・
直 线 Ｅ Ｆ 的 方 程 为 ） ， ＝ 号 ，
三角形的中位线
三角形的中位线1. 引言在几何学中，三角形是最基本的形状之一。
它由三条边和三个顶点组成。
在研究三角形的性质时，有一条特殊的线段叫做中位线，它连接三角形的一个顶点和对边中点。
本文将介绍三角形的中位线的定义、性质和应用。
2. 定义三角形的中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
对于三角形ABC，以顶点A为例，其中位线是连接顶点A和对边BC中点的线段AD。
3. 性质三角形的中位线有以下几个重要的性质：3.1. 中点中位线的一个重要特点是它的中点。
对于三角形ABC来说，中位线AD的中点是线段BC的中点。
这意味着中位线将三角形分为两个面积相等的小三角形。
3.2. 长度在一个三角形中，三个中位线的长度是相等的。
对于三角形ABC来说，中位线AD的长度等于中位线BE和CF的长度。
3.3. 平行性三角形的三条中位线互相平行。
也就是说，对于三角形ABC来说，中位线AD 和中位线BE是平行的，中位线BE和中位线CF是平行的，中位线CF和中位线AD是平行的。
3.4. 相交点三角形的三条中位线相交于一个点，这个点被称为三角形的重心。
重心是三角形内部的一个点，它从三个顶点到对边的距离之和最小。
3.5. 面积三角形的三条中位线将三角形分成六个小三角形。
这六个小三角形的面积之和等于三角形的面积。
4. 应用三角形的中位线在几何学和实际应用中有一些重要的应用：4.1. 三角形面积通过利用三角形的中位线，可以更方便地计算三角形的面积。
由于三条中位线将三角形分成六个小三角形，我们可以根据这些小三角形的面积相加来得到整个三角形的面积。
4.2. 构造平行线利用三角形的中位线平行性，我们可以构造出一对平行线。
例如，如果我们在三角形ABC的中位线AD上取一个点E，并将DE延长到与BC相交于点F，那么线段EF就与AB平行。
4.3. 定位三角形重心通过绘制三角形的中位线，我们可以定位三角形的重心。
重心是三角形内部的一个点，通过中位线的相交点可以轻松确定。
三角形中位线定理的证明与应用
三角形中位线定理的证明与应用三角形中位线定理是初中数学中的重要定理，也是几何学中的基本概念之一。
本文将通过证明与应用，来深入解析三角形中位线定理的原理和意义。
一、三角形中位线定理的证明三角形中位线定理是指在任意三角形ABC中，连接三个顶点A、B、C处的中点形成的三条线段AD、BE、CF，它们两两平行且长度相等。
为了证明这个定理，我们可以利用向量和线段相等的性质进行推导。
假设三角形ABC的顶点分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），中点分别为D（x4,y4）、E（x5,y5）、F（x6,y6）。
可以得到以下向量关系式：AB = AO + OB = (x2 - x1, y2 - y1) + (x2, y2)BC = BO + OC = (x3 - x2, y3 - y2) + (x3, y3)AC = AO + OC = (x3 - x1, y3 - y1) + (x3, y3)根据中点的定义，可以得到：D = (A + B) / 2 = (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2E = (B + C) / 2 = (x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2F = (A + C) / 2 = (x1 + x3) / 2, (y1 + y3) / 2利用向量的加减法，可以计算得到：AD = D - A = [(x1 + x2) / 2 - x1, (y1 + y2) / 2 - y1]BE = E - B = [(x2 + x3) / 2 - x2, (y2 + y3) / 2 - y2]CF = F - C = [(x1 + x3) / 2 - x3, (y1 + y3) / 2 - y3]将上述结果代入，得到：AD = [(-x1 + x2) / 2, (-y1 + y2) / 2]BE = [(-x2 + x3) / 2, (-y2 + y3) / 2]CF = [(x1 - x3) / 2, (y1 - y3) / 2]可以观察到AD、BE、CF的x方向和y方向的分量相等，即它们的长度相等。
三角形中位线定理在几何问题中的应用
三角形中位线定理在几何问题中的应用
胡智宁
【期刊名称】《学苑教育》
【年(卷),期】2009(000)012
【摘要】连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行三角形的第三边且等于第三边的一半。
它是初中几何的重点和难点,它阐述了三角形中位线与第三边的数量关系和位置关系。
利用这两个关系将分散的问题转化到同一个三角形中,再应用三角形的知识进行解决,能真正起到桥梁的作用。
【总页数】1页(P21-21)
【作者】胡智宁
【作者单位】安徽省黄山市屯溪五中
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.三角形面积在几何题中的巧妙应用 [J], 刘敏
2.三角形面积公式S=1/2ah在几何证明题中的应用 [J], 陈邦桥
3.三角形面积公式S=1/2ah在几何证明题中的应用 [J], 陈邦桥;
4.椭圆定义在一些数学问题中的应用——以轨迹方程、三角形、立体几何、数列为例 [J], 周培祥
5.三角形中位线定理的教学及其在证题中的应用 [J], 光先
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中考数学复习指导：中位线定理在几何证明中的应用
中位线定理在几何证明中的应用中位线定理在几何证明中的应用三角形 (梯形) 中位线定理在初中平面几何中是一个很重要的定理，运用定理结论中的位置关系和数量关系，往往能证明许多有关问题．现举例谈谈它在几何证明中的应用． 一、证明线段相等或倍分关系例1 求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等．已知：如图1，梯形．ABCD 中，AB ∥DC ，B C ⊥AB ，E 为AD 中点．求证：EC=EB ．分析 要证EC=EB ，由E 为AD 中点想到梯形的中位线，可取BC 的中点G ，连结EG ，则EG 为梯形中位线，根据中位线定理可得EG ∥AB ∥CD ，再根据BC ⊥AB ，可得E G ⊥BC ，进而证明△BEG ≌△CEG ，可得对应边EC=EB ．例2 已知：如图2，在△ABC 中，∠B =2∠C ，A D ⊥BC ，M 是BC 的中点．求证求证：DM =12AB ．分析 要证DM =12AB ，可设法证明DM 与等于12AB 的线段相等，为此取AC 的中点N ，连MN ，则MN 为△ABC 的中位线，根据中位线定理得MN ∥AB ，MN =12AB ．要证DM=MN ，可连结DN ，由已知条件可知DN 是Rt △ADC 斜边AC 上的中线， ∴ DN=NC ，∠NDM =∠C ．又 M N ∥AB ，得∠NMC =∠B =2∠C ， ∴ ∠MND =∠NMC －∠NDM =2∠C －∠C =∠C ． ∴ ∠MND =∠C =∠NDM ，得DM=MN=12AB ． 二、证明线段和或差关系例3 已知：如图3，正方形ABCD 中，E 为CD 上的一点，F 为BC 的中点，且F A 平分∠BAE ．求证：AE=AB+EC ．证明 取AE 的中点G ，连FG ，则FG 为梯形ABCE 的中位线．∴ GF =12(AB+EC )，GF ∥AB ．∴ ∠F AB =∠GF A ．又∠F AB =∠GAF ， ∴ ∠GF A =∠GAF ， 又∵ G 为AE 中点，∴ AE =2AG =2 GF =AB+EC ．例4 已知：如图4，△ABC 中，AE=BF ，AC ∥EG ∥FH ．求证：EG=AC －FH ．证明 取AB ，BC 的中点M ，N ，连MN ，则MN 为△ABC 的中位线．∴ MN =12AC ．又AE=BF ，∴ EM=FM ．∵ AE=BF ，AC ∥EG ∥FH ． ∴ GC=BH又CN=BN ，∴ GN=HN ．∴ MN 为梯形EFHG 的中位线．∴ MN =12(EG+FH )．∴12 (EG+FH )=12AC ．∴ EG =AC －FH 。
三角形的中位线与中心连线的性质
三角形的中位线与中心连线的性质三角形是初中数学中一个重要的概念，它具有许多有趣的性质和特点。
其中，三角形的中位线和中心连线是我们常见的几何性质之一。
在本文中，我将详细介绍三角形中位线和中心连线的性质，并通过举例和分析，说明它们的应用和重要性。
一、中位线的定义和性质中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A和边BC中点D的线段AD就是三角形ABC的中位线。
中位线具有以下几个重要的性质：1. 三角形的三条中位线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心是三角形的一个重要特点，它将三角形分成六个小三角形，且每个小三角形的面积都相等。
2. 重心到三角形各顶点的距离相等，即重心到顶点的距离相等于重心到对边中点的距离。
这个性质在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到三角形的重心。
3. 三角形的重心将中位线按照1:2的比例分成两段。
即重心到中点的线段长度是顶点到重心的线段长度的两倍。
这个比例关系在计算三角形的面积时非常有用。
二、中心连线的定义和性质中心连线是连接三角形的顶点和三角形的内心、外心、垂心、重心的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A和内心I的线段AI、连接顶点A和外心O的线段AO、连接顶点A和垂心H的线段AH、连接顶点A和重心G的线段AG都是三角形ABC的中心连线。
中心连线具有以下几个重要的性质：1. 三角形的内心、外心、垂心、重心四个中心连线交于一点。
这个点被称为三角形的垂心，它是三角形内心、外心、重心所在直线的垂线交于三角形的交点。
2. 三角形的内心到三条边的距离相等，即内心到三角形各边的距离相等。
这个性质在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到三角形的内心。
3. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，即外心到三个顶点的距离相等。
这个性质在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到三角形的外心。
4. 三角形的垂心将中心连线按照1:2的比例分成两段。
即垂心到顶点的线段长度是垂心到对边的线段长度的两倍。
三角形的中线和定理在几何问题中的应用
三角形的中线和定理在几何问题中的应用几何问题一直以来都是数学领域的重要研究对象之一。
在几何学中，三角形是一个基本的几何形状，而三角形的中线和定理则是研究三角形特性的重要工具。
本文将讨论三角形的中线和定理在几何问题中的应用。
一、三角形的中位线在了解三角形的中线和定理之前，我们首先要了解什么是三角形的中位线。
三角形的中位线是连接三角形两个顶点所对的边中点的线段。
一个三角形有三条中位线，它们分别连接三个顶点，而与顶点相对的那条边的中点。
三角形的中位线有一些有趣的性质。
首先，三角形的三条中位线交于一点，这个点叫做三角形的质心。
质心是三角形内心到三个顶点连线上距离各个点距离之和最小的点，具有重要的几何意义。
其次，质心将每条中位线分成比例为2：1的两部分，即质心到顶点的距离是质心到中点距离的两倍。
二、中线定理中线定理是指在一个三角形中，三条中线的长度满足一定的关系。
具体来说，三角形的任意两条中线长度之和等于第三条中线长度的两倍。
假设在三角形ABC中，AD是边BC的中位线，BE是边AC的中位线，CF是边AB的中位线。
根据中线定理，可以得到以下等式：AD + BE = CFBE + CF = ADCF + AD = BE中线定理是几何问题中常用的定理之一，可以应用于三角形相关的推导和证明。
而且中线定理也可用于解决一些实际问题，比如求解三角形的面积、判断三角形的类型等。
三、中线定理的应用举例中线定理在几何问题中有广泛的应用。
下面列举几个实例来说明中线定理的具体应用。
1. 求解三角形的面积利用中线定理，可以简化求解三角形的面积问题。
假设三角形ABC 的中线AD和BE相交于点O，根据中线定理可得AD + BE = CF，即CF = 2AO。
由于CF是三角形ABC底边的中线，所以CF的长度等于底边一半的长度。
因此，通过测量底边和连接底边中点与顶点的中线的长度，就可以使用中线定理计算出三角形ABC的面积。
2. 判断三角形的类型中线定理还可以用于判断三角形的类型。
三角形的中位线角平分线和垂线
三角形的中位线角平分线和垂线三角形的中位线、角平分线和垂线三角形是初中数学中一个重要的图形，它由三条边和三个顶点组成。
在三角形中，中位线、角平分线和垂线是三条与三角形内部相关的特殊线段。
本文将介绍中位线、角平分线和垂线在三角形中的性质和应用。
一、中位线中位线是连接一个三角形的两个顶点和对边中点的线段。
对于三角形ABC，三条中位线分别为AD，BE和CF（D、E和F分别为边BC、AC和AB的中点）。
中位线具有以下性质：性质1：三角形中的三条中位线互相平分。
性质2：三角形中的三条中位线交于一个点，该点被称为中心。
性质3：中心到各顶点的距离等于中心到对边中点的距离，而且中心是中位线的重心。
应用：中位线的应用较多，最常见的是利用中位线求三角形重心。
重心是以三角形三条中位线的交点为顶点的新三角形的重心。
我们可以根据中位线的性质计算重心的坐标。
二、角平分线角平分线是从一个角的顶点出发，平分这个角的角度的线段。
对于三角形ABC，角BAC的角平分线为AD（D在BC上）。
角平分线具有以下性质：性质1：角平分线把原来的角分成两个相等的角。
性质2：三角形的三条角平分线交于一点，该点被称为内角平分点。
性质3：内角平分点到三个顶点的距离相等。
应用：角平分线的应用较多，最常见的是利用角平分线求三角形内心。
内心是以三角形的三条角平分线的交点为顶点的新三角形的内心。
我们可以根据角平分线的性质计算内心的坐标。
三、垂线垂线是从一个顶点引出，与对边垂直相交的线段。
对于三角形ABC，从顶点A引出的垂线为AD（D在BC上）。
垂线具有以下性质：性质1：垂线与对边垂直相交，交点为垂足。
性质2：三角形的三条垂线交于一点，该点被称为垂心。
应用：垂线的应用较多，可以用于求解三角形的垂心。
垂心是以三角形的三条垂线的交点为顶点的新三角形的垂心。
我们可以根据垂线的性质计算垂心的坐标。
综上所述，三角形的中位线、角平分线和垂线在几何学中具有重要的地位和应用。
中位线定理
中位线定理中位线是在三角形或梯形中一条特殊的线段，与其所在的三角形或梯形有着特殊的关系。
用途：平面几何线段间的关系。
一、中位线概念：(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
注意：三角形有三条中位线。
(2)梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：（1）梯形中位线不是连接两底中点，是连接两腰中点。
（2）三角形有三条中位线，而梯形的中位线是唯一的。
二、定理介绍：(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。
推论1：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。
(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
推论2：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。
推论3：梯形的面积等于它的中位线和高的积。
三、定理证明：1）三角形中位线定理证明已知△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 两边中点。
求证DE 平行于BC 且等于2BC .2)梯形中位线证明已知梯形ABCD ，E 为AB 的中点，F 为CD 的中点，连接EF ，求证：EF 平行两底且等于两底和的一半。
思考：试证明推论1、2/3四、定理应用：1）三角形中位线定理在初中几何中的应用：三角形中位线有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系（2）等于第三边的一半，这是数量关系。
就第一个特性而言，可以得到三角形中位线定理的逆定理（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）。
我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，一下举例说明它的具体应用。
一）证明问题1、证明角相等关系例1、已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC=BD，E、F分别为AB、CD中点，点O为AC，BD的交点，M、N为EF与BD，AC的交点。
求证：OM=ON.例2、已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为AD、BC的中点，EF⊥MN交AB于E，交CD于F，求证：∠AEF=∠DFE.2、证明线段的倍分关系以及相等关系例3、如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接EF ，交BD 于点M 点。
初中数学 如何使用中位线定理计算三角形的高度
初中数学如何使用中位线定理计算三角形的高度要使用中位线定理计算三角形的高度，我们可以根据定理的性质和已知条件进行推导和计算。
下面是一个详细的步骤说明：假设我们已知一个三角形ABC，其中D是边BC的中点，我们要计算三角形ABC的高。
步骤1：连接顶点A和中点D，得到中位线AD。
步骤2：根据中位线定理，中位线AD平分对边BC，并且AD的长度等于BC的一半。
因此，我们可以得到以下等式：AD = 1/2 * BC步骤3：根据已知条件，我们需要找到BC的值。
如果BC的长度已知，我们可以直接代入。
如果BC的长度未知，但我们知道其他边长或角度的信息，我们可以使用几何定理或三角函数来计算。
步骤4：将BC的值代入到等式中，计算AD的长度。
这将给出中位线AD的长度。
步骤5：根据中位线的性质，我们可以得到以下等式：BD = 1/2 * AC这是因为中位线BD也可以用来平分边AC。
因此，BD的长度等于AC的一半。
步骤6：使用三角形的面积公式，计算三角形ABC的面积S。
三角形的面积公式为：S = 1/2 * 底边长度* 高在这里，底边长度为AC，高为三角形ABC的高。
步骤7：使用中位线的性质和三角形的面积公式，计算三角形ABC的高h。
由于中位线AD 平分边BC，因此，我们可以将三角形ABC分成两个等面积的小三角形ABD和ACD。
因此，三角形ABC的面积等于小三角形ABD和ACD的面积之和，即：S = 1/2 * BD * h + 1/2 * AD * h将BD和AD代入上式中，得到：S = 1/2 * 1/2 * AC * h + 1/2 * 1/2 * BC * h化简后得到：S = 1/4 * (AC + BC) * h步骤8：将已知条件和计算结果代入到等式中，计算三角形ABC的高h。
这将给出三角形ABC 的高的长度。
通过以上步骤，我们可以使用中位线定理计算三角形的高。
重要的是要注意，我们需要已知边长或角度的信息来开始计算，并且需要使用几何定理或三角函数来计算未知值。
初中中位线知识点总结
初中中位线知识点总结一、中位线的概念及作用1. 中位线是一条线段，它将一个几何图形分成两个面积相等的部分。
2. 在三角形和四边形中，中位线与其它中线交点的位置可以用于解决一些几何问题。
3. 中位线可用于解决实际问题，如计算房屋地面面积、农田面积等。
二、三角形中的中位线1. 三角形中位线定义：通过三角形的一个顶点，作对边中点连线。
2. 中位线的性质：三角形中位线相等，即三角形中的三条中位线相等。
这是因为三角形的三边相等。
3. 中位线的作用：在三角形中，中位线可以用来证明三角形的面积、证明三角形的角平分线等。
三、四边形中的中位线1. 四边形中位线定义：四边形的对角线中点连线。
2. 中位线的性质：四边形中的中位线相等，即四边形的两对对角线中的中位线相等。
3. 中位线的作用：中位线可以用来证明四边形的面积、证明四边形的性质。
四、中位线的应用1. 实际问题：中位线可用于计算几何图形的面积，如计算房屋地面面积、农田面积等。
2. 定理证明：中位线可用于证明几何定理，如证明三角形的角平分线，证明四边形的面积等。
3. 建筑设计：在建筑设计中，中位线可用于布局、规划和设计。
五、中位线的计算1. 中位线长度的计算：中位线的长度等于对角线中点间的距离。
2. 中位线的数学公式：中位线的长度等于两个对角线中点的距离的一半。
3. 计算实例：根据给定的对角线长度，可以计算四边形中位线的长度。
六、中位线与中心线的区别1. 中位线是一条几何图形中的线段，它具有等长性质。
2. 中心线是几何图形的中心轴线，它与图形的对称轴或对称中心有关。
七、中位线与平行四边形1. 中位线是平行四边形的对角线的中点连线，它将平行四边形分成两个面积相等的部分。
2. 中位线的性质：平行四边形的两条对角线中的中位线相等，即平行四边形中的两条中位线相等。
八、中位线与菱形1. 中位线是菱形的对角线的中点连线，它将菱形分成两个面积相等的部分。
2. 中位线的性质：菱形的两条对角线中的中位线相等，即菱形中的两条中位线相等。
中考重点三角形的中位线定理
中考重点三角形的中位线定理三角形是几何学中一种基本的图形，其中位线定理作为三角形的重要定理在中考中往往会被重点考察。
本文将对中考重点三角形的中位线定理进行详细阐述，以帮助同学们更好地理解和掌握这一定理。
一、中位线的定义及性质在三角形ABC中，连接三角形的一个顶点到对边中点的线段称为该顶点的中位线。
设AD是BC的中线，可以得出以下几个性质：1. 中位线的三个交点连接起来一定是一个点，称为三角形的重心，用G表示。
重心是三角形内部离三边距离之和最小的点。
2. 重心将每条中位线分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。
3. 重心到三角形三个顶点的距离满足OG = 2DG，其中O是坐标原点。
二、中位线定理的表述中位线定理是指：三角形的三条中位线交于一点，且这个交点与三个顶点之间的距离满足OG = 2DG。
即在三角形ABC中，连接三个顶点到对边中点的中位线交于一点G，且OG = 2DG。
三、中位线定理的证明为了证明中位线定理，我们可以利用向量的方法进行推导。
设向量OA = a，OB = b，OC = c，且D为BC的中点，则向量OD = (b + c) / 2。
根据中位线的定义，由向量的加法运算，我们可以得到：OG = OA + OB + OC = a + b + cDG = OD - OG/3 = (b + c)/2 - (a + b + c)/3 = (c - a) / 6由此可以得到OG = 2DG，证明了中位线定理的正确性。
四、中位线定理的应用中位线定理在解决三角形相关问题时有着广泛的应用，下面将介绍两个常见的问题：1. 求三角形三条中位线的交点坐标已知三角形的三个顶点坐标A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，可通过中位线的定义和公式求得交点坐标。
设中位线交点为G(x, y)，则有：x = (x1 + x2 + x3) / 3y = (y1 + y2 + y3) / 3通过计算可得到交点G的坐标。
例谈中位线定理在几何问题中的应用
例谈中位线定理在几何问题中的应用作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2024年第02期［摘要］中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。
文章通过分析典型例题，介绍一些中位线定理的应用方法，旨在帮助学生提高解题效率，提升解题能力。
［关键词］中位线定理；几何问题；应用［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）05-0009-03中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。
下面笔者结合一些典型例题介绍一些中位线定理的应用方法。
一、利用中位線定理求线段的长因为中位线定理反映两条线段之间的数量关系，所以已知三角形中位线与第三边中的其中一个量，就可以求得另一个量。
［例1］（1）课本再现：如图1所示，[D]、[E]分别是[△ABC]的边[AB]、[AC]的中点。
求证：[DE]∥[BC]，且[DE=12BC]。
定理证明：如图2所示，延长[DE]至点[F]，使得[EF=DE]，连接[CF]。
请你写出完整的证明过程。
（2）知识应用：如图3所示，在四边形[ABCD]中，[AB=6]，[CD=8]，[∠BAC=30°]，[∠ACD=120°]，点[E]、[F]、[M]分别是[AD]、[BC]、[AC]的中点，求[EF]的长。
（1）证明：在[△AED]和[△CEF]中，[DE=FE，∠AED=∠CEFAE=CE，]，∴[△AED ]≌[△CEF]（SAS），∴[AD=CF]，[∠A=∠ECF]，∴[AB]∥[CF]，∵[AD=BD]，∴[BD=CF]，∴四边形[DBCF]为平行四边形，∴[DF]∥[BC]，[DF=BC]，∴[DE]∥[BC]，[DE=12BC]。
（2）解：∵点[E]、[M]分别是[AD]、[AC]的中点，∴[EM]是[△ADC]的中位线，∴[EM=12CD=4]，[EM]∥[CD]，∴[∠EMC+∠ACD=180°]，∵[∠ACD=120°]，∴[∠EMC=60°]。
八年级数学下册《三角形中位线定理》优秀教学案例
（四）总结归纳
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结三角形中位线的定义、性质及定理。
2.强调三角形中位线定理在几何图形中的应用，让学生明确定理的价值。
3.引导学生反思学习过程中的收获和不足，为下一步的学习制定合理计划。
（五）作业小结
1.布置以下作业：
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线定理及其证明过程，能够准确运用定理分析解决问题。
2.学会通过实际操作和观察，发现三角形中位线与第三边的关系，提高学生的观察、分析、综合能力。
3.能够运用三角形中位线定理解决实际问题，如计算线段长度、证明线段相等等，提高学生的应用能力。
a.教材课后习题，巩固三角形中位线定理的应用；
b.拓展练习，运用三角形中位线定理解决实际问题；
c.写一篇学习心得，总结自己在学习三角形中位线定理过程中的收获和感悟。
2.提醒学生按时完成作业，养成良好的学习习惯。
3.鼓励学生在课后进行自主学习，探索三角形中位线的其他性质和定理，提高自己的几何素养。
五、案例亮点
2.提问：“同学们，你们知道三角形的中位线吗？它有什么作用呢？”引发学生思考，为新课的学习做好铺垫。
3.介绍本节课的学习目标，让学生明确学习内容，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
1.利用多媒体课件，直观演示三角形中位线的定义及性质，让学生对中位线有初步的认识。
2.通过实际操作，让学生在三角形纸片上画出中位线，观察中位线与第三边的关系，引导学生发现三角形中位线定理。
4.培养学生运用几何图形和符号语言表达数学问题的能力，提高数学表达能力。
（二）过程与方法
例析三角形中位线定理及其应用
２０２３年４月下半月㊀学法指导㊀㊀㊀㊀例析三角形中位线定理及其应用◉甘肃省白银市第六中学㊀苏东红㊀㊀摘要:与三角形有关的 线 非常多,如高线㊁中线㊁角平分线㊁垂直平分线等,它们都在解决三角形有关问题中扮演着不同的 角色 ㊁发挥着不同的作用．本文中以北师大版初中数学教材为蓝本,结合例题分析三角形中位线定理及其应用,可以给一线教师带来帮助．关键词:三角形;中位线;作用㊀㊀在北师大版初中数学教材中,三角形的中位线及其定理被安排在了 平行四边形 这一章,属于比较基础且非常重要的知识点．基础是因为难度较小,重要是因为它在解决初中几何问题中往往发挥着重要的作用,是一线教师应着重讲解㊁分析的内容．基于此,本文中首先介绍了三角形的中位线及其定理,然后通过例题分析其具体应用．１三角形中位线及其定理１．１三角形中位线在教材中,三角形的中位线是这样定义的:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．由此不难得知,一个三角形有三条不同的中位线．另外,三角形的中位线与三角形的中线不同:三角形中位线的两个端点分别是三角形两边的中点(如图１Ｇ１),而三角形的中线的两个端点,分别是三角形的顶点和这个顶角对边的中点(如图１Ｇ２)[１]．图１Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１Ｇ２１．２三角形中位线定理在教材中,通过研究得到了 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半 ,这就是三角形中位线定理．由此不难得到三角形的中位线与第三边的关系．(１)位置关系:三角形的中位线与第三边互相平行,如在图１Ｇ１中,有D EʊB C;(２)数量关系:三角形的中位线等于第三边的一半,如在图１Ｇ１中,有D E＝１２B C．２三角形中位线定理的应用三角形中位线定理是初中数学几何部分非常重要的理论知识,对解答几何问题的帮助非常大[２]．下面结合例题分析三角形中位线定理的具体应用．２．１证明两条直线平行图２例１㊀(２０２２钦州)如图２,D E是әA B C的中位线,则әA D E与әA B C的面积比是．分析:由中位线可知D EʊB C,D E＝１２B C,则әA D EʐәA B C,相似比为１ʒ２．根据相似三角形的面积比是相似比的平方,即得结果．解:ȵD E是әA B C的中位线,ʑD EʊB C,且D E＝１２B C．ʑәA D EʐәA B C,且相似比为１ʒ２．ȵ相似三角形的面积比是相似比的平方,ʑәA D E与әA B C的面积的比为１ʒ４．点评:本题要熟悉中位线定理及相似三角形的判定及性质,牢记相似三角形的面积比是相似比的平方．图３变式１㊀如图３,D,E分别是әA B C两边A B,A C的中点,将әA B C沿着线段D E所在直线折叠,使点A落在点F处．若øB＝５５ʎ,则øB D F＝ʎ．解析:因为D,E分别是әA B C两边A B,A C的中点,所以D E是әA B C的中位线．根据三角形中位线定理,可知D EʊB C,进一步利用平行线的性质得到øB＝øA D E＝５５ʎ．最后,根据折叠前后的两个图形全等这一特点,易得øF D E＝øA D E＝５５ʎ．所以øB D F＝１８０ʎ－øF D E－øA D E＝７０ʎ．答案:７０．点评:本题用到的知识点比较多,如三角形中位线定理㊁平行线的性质㊁图形折叠的性质等,其中判断D E是әA B C的中位线且根据三角形中位线定理得到D EʊB C最关键．由此可见,证明两边互相平行的１６Copyright©博看网. All Rights Reserved.学法指导２０２３年４月下半月㊀㊀㊀方法不只有平行线的判定定理,还有三角形中位线定理．２．２证明线段的相等或倍分关系图４例２㊀如图４,在әA B C中,A D 为B C 边上的中线,F 为A C 边上一点,A F ＝１３A C ,连接B F 交A D 于点E ,E F ＝５c m ,求B F 的长．分析:因为A D 为B C 边上的中线,所以D 为B C 的中点,取C F 的中点M ,连接DM ,则DM 为әB C F 的中位线,可得DM ʊB F ,DM ＝１２B F ．再通过证明可得E F 为әA DM 的中位线,则E F ＝１２DM ,从而得到B F ＝４E F ,最后求出B F 的长．解:如图５,取C F 的中点M ,连接DM ．ȵD 为B C 的中点,ʑDM 是әB C F 的中位线．ʑDM ʊB F ,DM ＝１２B F ,即B F ＝２DM ．图５ȵA F ＝１３A C ,ʑA F ＝１２F C ．又ȵF M ＝１２F C ,ʑA F ＝F M ,即F 是AM 的中点．ȵE F ʊDM ,ʑE 为A D 的中点．ʑE F 是әA DM 的中位线．ʑE F ＝１２DM ,即DM ＝２E F ．ʑB F ＝２DM ＝２ˑ２E F ＝４E F ．ȵE F ＝５c m ,ʑB F ＝２０c m ．图６变式２㊀如图６,在四边形A B C D 中,A B ＝C D ,E ,F 分别是B C ,A D 的中点,B A ,C D 的延长线分别与E F 的延长线交于点M ,N ．求证:øB M E ＝øC N E ．分析:受例２解题方法的启发,遇到中点就构造三角形的中位线,考虑E ,F 在不同的边上,所以在构造中位线时应连接B ,D ,使得E ,F 两个中点产生联系．解:如图７,连接B D ,取B D 的中点G ,连接G E ,G F ．ȵG ,F 分别是B D ,A D 的中点,图７ʑG F ＝１２A B ,G F ʊB M ．同理可证G E ＝１２C D ,G E ʊC N ．ȵA B ＝C D ,ʑG F ＝G E ．ʑøG F E ＝øG E F ．ȵG F ʊB M ,ʑøG F E ＝øB M E ．ȵG E ʊC N ,ʑøG E F ＝øC N E ．ʑøB M E ＝øC N E ．点评:已知三角形一边中点时,常取另一边的中点,或者连接某线段,构造出三角形的中位线．３总结通过以上几道题的分析和总结,不难发现三角形中位线定理在解决平行㊁线段数量关系中发挥着重要作用．教师在教学中要注意以下两个方面:首先, 遇中点,想中位线 ,让学生充分掌握作辅助线构造三角形中位线的方法．例２和变式２都采用了作辅助线的方法,但例２的方法比较简单,而变式２中的方法比较复杂．这就启示解题者 遇中点,想中位线 是解决这一类问题的通法[３]．当中点数量较多时,可连接某两个点形成一条线段并将之作为 桥梁 ,把若干个中点联系起来,如变式２中的B D ．其次,注重知识网络的构建,利用变式激发学生思维．三角形中位线定理会出现在许多几何题中,与之相关的知识点也非常多[４]．所以,为了结合三角形中位线定理顺利㊁高效地解决问题,一定要及时构建和完善知识网络[５]．当然,利用变式训练学生的思维也非常重要．参考文献:[１]张培恳．不同的课题与学生,需要不同的教法 谈 三角形中位线定理 一课的不同教法[J ]．数学教学通讯,２０１９(２３):３６Ｇ３７．[２]边锋．三角形中位线构造方法的探究与建议[J ]．中学数学,２０２０(２０):３８Ｇ４０．[３]赵蓉．基于问题解决能力提升的初中数学探究性教学策略研究 以 三角形中位线定理 教学为例[J ]．数学教学通讯,２０２０(１４):３４Ｇ３５．[４]廖志东,林艳霞．简约而不简单 剖析 三角形中位线定理 教学的重㊁难点突破[J ]．中国数学教育,２０２０(Z ３):７Ｇ１０．[５]王松．与三角形中位线相关的典型中考题[J ]．初中生学习指导,２０２１(１７):１４Ｇ１５．Z２６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
浅谈三角形中位线定理应用的教学
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浅谈三角形中位线定理应用的教学
作者：钟伟滨
来源：《读写算》2012年第36期
三角形中位线的知识是初中几何中一个非常重要的内容，在几何中有着非常广泛的应用，它为以后几何知识的学习奠定了坚实的基础。
单纯地看这个定理其实是很简单，就是“三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半”，然而要想熟练的在各种题型中应用它却不是那么容易的事情。
既然这部分的内容如此重要，教师应该怎样让学生很好地掌握并应用三角形的中位线定理呢？
一、确立明确的教学目标。
深入初中数学三角形中的中位线和高线
深入初中数学三角形中的中位线和高线在初中数学的学习中，我们经常会遇到各种各样的图形，其中最为常见且重要的就属于三角形了。
而在三角形中，中位线和高线是两个非常重要且常见的概念。
本文将深入探讨初中数学中的中位线和高线，并分析它们的性质和应用。
一、中位线中位线是三角形内的一条线段，连接一个顶点和对边中点，一个三角形有三条中位线，而每两条中位线的交点称为三角形的重心。
中位线的性质：1. 三角形的三条中位线交于一点，该点恰好位于三角形的重心位置。
2. 三角形的重心将每条中位线分成2:1的比例。
由于中位线连接一个顶点和对边中点，因此中位线可以将三角形划分为两个面积相等的小三角形。
这个性质可以很容易地通过数学推导进行证明。
对于任意一个三角形，我们可以通过连接顶点和对边中点来构造三条中位线，连接三条中位线的交点即为三角形的重心。
根据相似三角形的性质，我们可以得到重心分割中位线的比例为2:1。
中位线的应用：1. 面积计算：通过连接三角形顶点和对边中点，我们可以将三角形划分为两个面积相等的小三角形，从而可以更方便地计算三角形的面积。
2. 延长线定比分割：在解决一些几何题目时，可以利用中位线的性质，通过插值法将线段进行分割或延长。
3. 证明性质：在解决一些几何问题时，可以利用中位线的性质进行证明推导，进而得到结论。
二、高线高线是从一个顶点向对边或其延长线所引的垂线，一个三角形有三条高线。
高线的性质：1. 三角形三条高线的交点称为垂心，位于三角形内部或延长线上。
2. 高线和对边之间的垂直距离最短。
高线的性质可以通过数学推导和几何证明得到。
对于任意一个三角形，我们可以从一个顶点向对边作垂线，并将垂足连接起来，得到三条高线的交点，该点称为垂心。
高线的应用：1. 求三角形的高：通过高线的性质，我们可以方便地计算三角形的高，从而帮助我们解决一些几何问题。
2. 求三角形的面积：在解决一些几何题目时，我们可以利用高线将三角形划分为两个高和底的矩形，从而更方便地计算三角形的面积。
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1初中几何中三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。
它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系。
就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。
我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。
一、证明问题1、证明角相等关系例1、已知：如图在四边形ABCD 中 对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD 中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N 为EF 与BD ，AC 的交点。
求证：OM=ON分析：证明OM=ON 可转化成证明∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要取AD 中点H 作出△ABD 与 △ACD 的中位线，即可得到EH=21BD ,HF=21AC,因为AC=BD,从而得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN,∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。
证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。
∴EH=21BD ，EH//BD ，HF=21AC ，FH//AC (三角形中位线定理)而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE 又∵EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠DMF ，∠HFE=∠ANM ∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ， M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证： ∠AEF=∠DFE分析：欲证：∠AEF=∠DFE 。
由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN=∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB ∥，12GN CD ∥，由于AB=CD ，进而有GM=GN ，∠GMN=∠GNM 然后再转化∠EPN=∠Q ，从而证出结论。
证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN 。
∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥。
同理可证：12GN AB ∥，又∵AB=CD ，∴GM=GN ，∴∠GMN=∠GNM ，∵GM//AB ，GN=CD ，∴∠GMN=∠EPN ，∠GNM=∠Q ，∴∠EPN=∠Q ，又 EF ⊥MN ，2∴∠AEF=∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点。
尤其像例2、要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结。
2、证明线段的倍分以及相等关系FBC例1、 如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点。
求证：（1）BM=14BD （2）ME=MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM=MO 。
又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO=OD ，即BM=41BD 。
欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM=12AO ，MF=12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论。
证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ， ∴BM=MO=12BO （平行线等分线段定理） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO=OD=12BD ，AO=OC=12AC ， ∴BM=1124BO BD =，即BM=14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点． ∴12=ME AD ，12=MF OC ，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系。
例2、 巳知：如图，在△ABC 中AB ＝AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 的中点，求证：CD ＝2CE分析：这是证明线段的倍半问题，证明一条 线段等于另一条线段的二倍或一半时，常常是先找出短线段的二倍，或者取长线段的一半，设法把线段的倍半问3题转化为证明线段的相等问题，这就是通常所说的“加倍”、“折半”的方法，下面我们就把问题转化成证明线段的相等。
方法：1、找出CD 的一半，然后证明CD 的一半和CE 相等， 此重取CD 中点F ，证CF ＝CE证明：取CD 的中点F 连结BF ， ∴CD ＝2CF ，∵AB ＝BD ，∴BF 是 △ADC 的一条中位线，BF ∥AC ， 12=BF AC ，∴∠2=∠ACB ， ∵AB=AC, ∴∠1=∠ACB ，∴∠1=∠2，∴E 是AB 中 点，∴12=BE AC ，∵12=B F A C ，且AB=AC ，∴BE=BF ，在△BCE 和△BCF 中，⎧⎪⎨⎪⎩BE=BF 1=2BC=BC∠∠，∴△BCE ≌△BCF(SAS)， ∴CE=CF ，∵CD=CF ，∵CD=2CF ， ∴CD=2CE 方法：2、找出CE 的2倍，然后证明CE 的2倍和CD 相等，因此，要延长CE 到使EF=CE ，证CF=CD证明：延长CE 至F 使EF=CE ，连结FB ∴CF=2CE , ∠1=∠2，∵E 为AB 中点， ∴AE=BE ，在△AEC 和△BEF 中⎧⎪⎨⎪⎩CE=EF 1=2AE=BE∠∠，∴△AEC ≌△BEF(SAS)， ∴AC=BF ，∠3=∠F ，∴AC ∥BF ，∴∠FBC+∠ACB=1800，∵∠CBD+∠ABC=1800，又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠FBC=∠DBC ，∵AC=AB ， AB=BC ，AC=BF ，∴BF=BD 。
在△CBF △CBD 中⎧⎪⎨⎪⎩CB=CB FBC=DBC FB=DB∠∠，∴△CBF ≌△CBD(SAS)， ∴CD=CF ，∴CF=2CE ，∴CD=2CE3、证明线段平行关系 例1、 如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E 。
求证：DE ∥BC 分析：欲证ED//BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC 。
4证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB=∠BDG=900． 在△ABD 与△GBD 中⎧⎪⎨⎪⎩1=2BD=BDBDG= BDA∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD(ASA) ∴AD=DG ，同理可证，AE=GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行。
二、比较大小 1、比较线段大小例1、 如图，M 、N 是四边形ABCD 的边BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行。
求证：MN ＜12(AB ＋CD)分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD)，我们从表 面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了。
证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD 。
∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上。
在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM+PN ＝12(AB+CD)小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明。
2、比较角的大小例1、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB>AC ，那么∠BAD<∠CAD 。
分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB>AC, 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD<∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点。
∴∠1=∠3，∵AB>AC ，∴12AB>12AC ，即在△AED 中，DE>AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD<∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一5个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题。
三、求值问题例1， 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD+DC=8，且AD ：BC=3:7,E , F 分别是BD ，AC 的中点，求EF 的长。
分析：欲求EF 的长，关键是如何建构三角形，使EF 成为这个三角形的中位线，所以，本题的突破口在于添作辅助线DH ，这也是解题中常用的方法。
解：AD+BC=8，AD ：BC=3∶7 得 AD=2.4 BC=5.6 连结DF ，并延长交BC 于H ，在△ADF 与△CHF 中AF=CF 1= 2DF=FH⎧⎪⎨⎪⎩∠∠，∴△ADF ≌△CHF(SAS) ∴CH=AD ，DF=FH ，∴EF=12BH ＝12(BC －AD)＝1.6例2、 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ， 若GE ＝24 求FC 的长。