北师大版高中数学《函数的表示法》完美课件1
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北师大版高中数学必修1课件2 函数的表示法课件
终趋势，知道定什么样的价便有怎样的日销售量，不仅知道单价为
35元时的日销售量，还能知道36元时的日销售量，通过此题能让 我们充分认识到函数三种表示法的优点．
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例：已知函数f(x)由下表给出 x f ( x) 则f(2)的值为( A．4 C．0 －1 4 ) B．2 D．1 0 2 1 0 2 1
应法则，这样的函数通常叫分段函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并 集．(填“交集”或“并集”)
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例：某商场经营一批进价是30元的商品，在市场试销中发现，
此商品销售单价x元与日销售量y台之间有如下关系： x 35 y 57 40 42 45 27 50 12 … …
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在所给的坐标系中，根据表中 提供的数据描出实数对(x，y)的对 应点，并确定你认为比较适合的 x
与y的一个函数关系式y＝f(x)．
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[思路分析] 由对应关系表确定变量x，y关系，作出图像，并判断函数类 型求出解析式．
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[答案] D
[解析] 本题是列表的形式给出函数表示方法，由表可知当x＝2
时，f(2)＝1，故选D.
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第二章 ·函数
第 2.2 节函数的表示法
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一、导入新课
复习提问：函数的定义及其三要素是什么？ 函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ上对应关系，在研究函数的 过程中，我们常用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理 解函数的性质，是研究函数的重要手段。
北师大版数学必修一《函数的表示法》教学课件
m (3)可设 f(x)＝kx，g(x)＝ (k≠0，m≠0)， x m 则 φ(x)＝kx＋ . x 1 由 φ( )＝16，φ(1)＝8， 3 1 k＋3m＝16， 得 3 k＋m＝8，
k＝3， ∴ m＝5.
5 ∴φ(x)＝3x＋ . x
作函数的图象
作出下列函数的图象.
2a＋b＝b＋1， ∴ a＋b＝1，
1 a ＝ 2， 1 b＝2.
1 1 ∴f(x)＝ x2＋ x. 2 2
(1)中解法为直接变换法或称为配凑法，通过观察、分析，
将右端“x2－3x＋2”变为接受对象“x＋1”的表达式，即变为含(x＋1)的表 达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求. (2)中解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象 “
2.2 函数的表示法
1.两个函数相同是指它们的 定义域 相同，且 对应关系
完全一致.
2.在函数定义域中，任意的x∈A，在f的作用下，在B中都有唯一确定的
f(x)与之对应.这可概述为： 存在性
和 唯一性 .
3 3. f ( x) 2x 3 7 x 的定义域为 ,7 2
1 (2)方法一：设 t＝ ， x 1 则 x＝ (t≠0)， t 1 x 代入 f( )＝ ， x 1－x2 1 t t 得 f(t)＝ ＝2 ， 1 t －1 1－( )2 t x 故 f(x)＝ 2 (x≠0). x －1 1 x 方法二：∵f( )＝ ＝ ， x 1－x2 1 2 ( ) －1 x x ∴f(x)＝ 2 (x≠0). x －1 1 x
每个函数都可以用列表法、图象法、解析式法三种形式表示吗？
【提示】 不一定，如函数y＝x，x∈R，就无法用列表法表示.
求函数解析式
函数的表示法_课件1
0≤x＜3之间的一段弧，如图(2)所示．
(3)y＝|x－1|＝
x－1，x≥1， 1－x，0＜x＜1，
其图象是一条折线，如图(3)所
示．
(4)此函数的图象由两部分组成，当0＜x＜1时，为双曲线y＝
1 x
的一段，当x≥1时，是直线y＝x的一部分，如图(4)所示．
点评：(1)函数的图象不一定是一条或几条无限长的平滑曲线， 也可以是一些点、一些线段、一段曲线等．
∴f(x)＝x2－x＋1.
点评：求函数的解析式的常用方法有： (1)代入法．如已知 f(x)＝x2－1，求 f(x＋x2)时，有 f(x＋x2)＝(x2 ＋x)2－1. (2)待定系数法．已知 f(x)的函数类型，要求 f(x)的解析式时，可 根据类型设其解析式，确定其系数即可．
(3)拼凑法．已知 f[g(x)]的解析式，要求 f(x)时，可从 f[g(x)]的解 析式中拼凑出“g(x)”，即用 g(x)来表示，再将解析式的两边的 g(x)用 x 代替即可．
中的关键词语“任何”、“都有”、“唯一”等，并能正确地理解
它们．
►跟踪训练 4．(1)在如图所示的对应中是A到B的映射的是( )
A．(2) B．(3) C．(3)(4) D．(4) (2)集合A＝{a，b}，B＝{－1，0，1}，从A到B的映射f：A→B满 足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数是( ) A．2个 B．3个 C．5个 D．8个
答案：(1)C (2)B
题型3 实际问题中的函数问题
例3 国内投寄信函(外埠)，假设每封信函不超过20 g付邮资 120分，超过20 g而不超过40 g付邮资240分，依此类推，每封x g(0 ＜x≤100)的信函应付邮资为y(单位：分)，写出y＝f(x)的表达式．
【数学】2.2.2《函数表示法》课件(北师必修1)
问题探究
3. 下表列出的是正方形面积变化情况.
边长x米 面积y 米2
1 1
1.5 2.25
2 4
2.5 6.25
3 9
当x在(0,+∞)变化时，这个函数关系你能用式子表示吗?
解析法有两个优点：一是简明、精确地概 括了变量间的关系；二是可以通过解析式 求出任意一个自变量的值所对应的函数 值．中学阶段所研究的主要是能够用解析 式表示的函数．
问题探究
4. 国内跨省市之间邮寄信函,每封 信函的质量和对应的邮资如下表:
信函质量(m)/g 0 m 2 0 邮资(M)/元
2 0 m 4 0 4 0 m 6 0 60 m 80 8 0 m 1 0 0
1.20
2.40
3.60
4.80
6.00
请画出图像,并写出函数的解析式.
10
O
v 30
质点的速度.
10
20
30
t
t+10, (0 ≤ t<5)
解 解析式为v (t)=
3t, (5 ≤ t＜10)
30, ( 10 ≤t ＜20) -3t+90,(20 ≤ t≤30)
t=9s时,v(9)=3×9=27 (cm/s)
小结： 1.函数图像可以是一些点或线段。 2.分段函数是一个函数，自变量在 不同的范围内时，函数的对应法则 不同（每段解析式不同）。
问题探究
1. 下表列出的是正方形面积变化情况.
边长x米 面积y 米2
1 1
1.5 2.25
2 4
2.5 6.25
3 9
这份表格表示的是函数关系吗?
列表法的优点：不需要计算就可以直接看 出与自变量的值相对应的函数值，简洁明 了．列表法在实际生产和生活中也有广泛 应用．如成绩表、银行的利率表等．
北师大版高中数学必修 -函数的图像 PPT优质教学ppt1
对于具有周期性的函数，其图 像呈现周期性重复的特点。
CHAPTER 02
常见函数的图像
一次函数的图像
一次函数
y=kx+b，当k>0时，函数图像为上 升直线；当k<0时，函数图像为下降 直线。
斜率
截距
b决定了函数图像与y轴的交点，当 b>0时，交点在y轴的正半轴；当b<0 时，交点在y轴的负半轴。
计算机构图法
利用计算机软件（如 GeoGebra、Desmos等 ）输入函数解析式，自动 生成函数的图像。
函数图像的基本特征
连续性
函数图像是连续的曲线，没有 间断。
单调性
函数在其定义域内可能存在单 调增或单调减的情况。
奇偶性
根据函数是否满足奇偶性，函 数的图像可能关于原点对称或 关于y轴对称。
周期性
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
验证模型
通过函数图像验证数学模型的正确性和有效性。
应用模型
将数学模型应用于实际问题，解决实际问题。
CHAPTER 04
函数图像的变换
平移变换
平移变换
函数图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行等距离移动。
水平平移
函数图像沿x轴方向移动，左加右减。
垂直平移
函数图像沿y轴方向移动，上加下减。
伸缩变换
不等式的性质
通过观察函数图像与不等式解集的关系，可以进一步了解不等式的性质，如对 称性、传递性等。
函数图像与方程的关系
方程的根
通过观察函数图像与x轴的交点，可以确定方程的根。如果函数图像与x轴交于一 点，则该点为方程的一个根；如果交于两点，则这两个点分别为方程的两个根。
函数的奇偶性
CHAPTER 02
常见函数的图像
一次函数的图像
一次函数
y=kx+b，当k>0时，函数图像为上 升直线；当k<0时，函数图像为下降 直线。
斜率
截距
b决定了函数图像与y轴的交点，当 b>0时，交点在y轴的正半轴；当b<0 时，交点在y轴的负半轴。
计算机构图法
利用计算机软件（如 GeoGebra、Desmos等 ）输入函数解析式，自动 生成函数的图像。
函数图像的基本特征
连续性
函数图像是连续的曲线，没有 间断。
单调性
函数在其定义域内可能存在单 调增或单调减的情况。
奇偶性
根据函数是否满足奇偶性，函 数的图像可能关于原点对称或 关于y轴对称。
周期性
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
验证模型
通过函数图像验证数学模型的正确性和有效性。
应用模型
将数学模型应用于实际问题，解决实际问题。
CHAPTER 04
函数图像的变换
平移变换
平移变换
函数图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行等距离移动。
水平平移
函数图像沿x轴方向移动，左加右减。
垂直平移
函数图像沿y轴方向移动，上加下减。
伸缩变换
不等式的性质
通过观察函数图像与不等式解集的关系，可以进一步了解不等式的性质，如对 称性、传递性等。
函数图像与方程的关系
方程的根
通过观察函数图像与x轴的交点，可以确定方程的根。如果函数图像与x轴交于一 点，则该点为方程的一个根；如果交于两点，则这两个点分别为方程的两个根。
函数的奇偶性
高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法课件北师大版必修1
1 x (2)已知 fx＝1－x2，求 f(x)． (3)已知函数 φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中 f(x)是 x 的正比例函数，g(x)是 x 的反比
1 例函数，且 φ3＝16，φ(1)＝8，求 φ(x)的解析式．
t－1 解析： (1)设 t＝2x＋1，则 x＝ 2 ，
[边听边记] (1)方法一(换元法)：设 x＋1＝t，则 x＝t－1. ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. 方法二(配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1 ＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. (2)方法一(换元法)：令 x＋1＝t(t≥1)， 则 x＝(t－1)2， ∴f(t)＝(t－1)2＋2 t－12＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二(换元法)：令 t＝x－1，则 x＝t＋1，可得 f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，即 f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)设 f(x)＝ax＋b，则 f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b.
又∵3f(x＋1)＝6x＋9，∴3(ax＋a＋b)＝6x＋9，
3a＝6，
a＝2，
∴3a＋b＝9， ∴b＝1，
[规律方法] (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代 入相应的解析式求得．
(2)像本题中含有多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． (3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．
x＋1 3．已知 f(x)＝π0
x＞0
x＝0 ， x＜0
5 ∴φ(x)＝3x＋x.
作函数图像
作出下列函数的图像： (1)y＝－x＋1，x∈Z； (2)y＝2x2－4x－3,0≤x<3； (3)y＝|1－x|. [思路探究] (1)由于函数的定义域是整数集，故其图像是一些孤立点；(2)只要画出抛物线 上位于[0,3)内的部分；(3)函数其实是一个分段函数，只要分段画出图像即可．
1 例函数，且 φ3＝16，φ(1)＝8，求 φ(x)的解析式．
t－1 解析： (1)设 t＝2x＋1，则 x＝ 2 ，
[边听边记] (1)方法一(换元法)：设 x＋1＝t，则 x＝t－1. ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. 方法二(配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1 ＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. (2)方法一(换元法)：令 x＋1＝t(t≥1)， 则 x＝(t－1)2， ∴f(t)＝(t－1)2＋2 t－12＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二(换元法)：令 t＝x－1，则 x＝t＋1，可得 f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，即 f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)设 f(x)＝ax＋b，则 f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b.
又∵3f(x＋1)＝6x＋9，∴3(ax＋a＋b)＝6x＋9，
3a＝6，
a＝2，
∴3a＋b＝9， ∴b＝1，
[规律方法] (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代 入相应的解析式求得．
(2)像本题中含有多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． (3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．
x＋1 3．已知 f(x)＝π0
x＞0
x＝0 ， x＜0
5 ∴φ(x)＝3x＋x.
作函数图像
作出下列函数的图像： (1)y＝－x＋1，x∈Z； (2)y＝2x2－4x－3,0≤x<3； (3)y＝|1－x|. [思路探究] (1)由于函数的定义域是整数集，故其图像是一些孤立点；(2)只要画出抛物线 上位于[0,3)内的部分；(3)函数其实是一个分段函数，只要分段画出图像即可．
新教材北师大版必修第一册 第二章2.2函数的表示法1函数的表示法 课件(49张)
x
所以f(x)=- 1.
x
=-
x
,
3
xx
【补偿训练】
已知f(x)满足f(x)=2f ( 1 )+x,则f(x)的解析式为________.
x
【解析】因为f(x)=2f ( 1+) x,用
x
替1 换x得f
x
=( 12)f(x)+
x
,1
x
代入上式得f(x)= 2[2f x 1 ] x,
x
解得f(x)= 2 . x
【补偿训练】 某公共汽车,行进的站数与票价关系如表:
行进的 站数
票价
123456789 111222333
此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?
类型二 函数的图象及其应用(直观想象) 【典例】1.(2020·徐州高一检测)函数y= x2 的图象的大致形状是( )
x
2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图. (2)根据图象写出f(x)的值域. 【思路导引】1.分x>0,x<0两种情况作出判断. 2.先作出图象,再根据图象写值域.
【跟踪训练】 作出下列函数的图象并写出其值域. (1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}. (2)y= 2 ,x∈[2,+∞).
x
【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些? 提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称. (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称. (4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象 沿y轴对折而成. (5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉 x轴下方的图象而成.
所以f(x)=- 1.
x
=-
x
,
3
xx
【补偿训练】
已知f(x)满足f(x)=2f ( 1 )+x,则f(x)的解析式为________.
x
【解析】因为f(x)=2f ( 1+) x,用
x
替1 换x得f
x
=( 12)f(x)+
x
,1
x
代入上式得f(x)= 2[2f x 1 ] x,
x
解得f(x)= 2 . x
【补偿训练】 某公共汽车,行进的站数与票价关系如表:
行进的 站数
票价
123456789 111222333
此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?
类型二 函数的图象及其应用(直观想象) 【典例】1.(2020·徐州高一检测)函数y= x2 的图象的大致形状是( )
x
2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图. (2)根据图象写出f(x)的值域. 【思路导引】1.分x>0,x<0两种情况作出判断. 2.先作出图象,再根据图象写值域.
【跟踪训练】 作出下列函数的图象并写出其值域. (1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}. (2)y= 2 ,x∈[2,+∞).
x
【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些? 提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称. (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称. (4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象 沿y轴对折而成. (5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉 x轴下方的图象而成.
新教材高中数学2函数2-2函数的表示法第1课时函数的表示法课件北师大版必修第一册
(1)画出f(x)的图象;
(2)根据图象写出f(x)的值域.
解(1)f(x)的图象如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],故
f(x)的值域是[-1,3].
x=3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心圈.
变式训练3
作出下列函数的图象,并写出其值域.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
(2)y=
2
,x∈[2,+∞).
解(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).
图象如图所示.
由图可知,函数的值域为[1,5].
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示.( × )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示.( × )
2.若 f
1
x
=x+1,则 f(2)=(
1
B.
2
A.2
)
C.3
答案 D
解析
1
令 =2,则
1
1
3
x= ,∴f(2)= +1= .故选
2
2
2
D.
3
D.
2
3.某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.下列图中纵
(方法二)令√+1=t,则 x=(t-1)2,且 t≥1,
函数 f(√+1)=x+2√可化为 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
故所求函数的解析式为 f(x)=x2-1,x∈[1,+∞).
(3)因为对任意的 x∈R,且 x≠0 都有 f(x)+2f
(2)根据图象写出f(x)的值域.
解(1)f(x)的图象如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],故
f(x)的值域是[-1,3].
x=3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心圈.
变式训练3
作出下列函数的图象,并写出其值域.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
(2)y=
2
,x∈[2,+∞).
解(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).
图象如图所示.
由图可知,函数的值域为[1,5].
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示.( × )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示.( × )
2.若 f
1
x
=x+1,则 f(2)=(
1
B.
2
A.2
)
C.3
答案 D
解析
1
令 =2,则
1
1
3
x= ,∴f(2)= +1= .故选
2
2
2
D.
3
D.
2
3.某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.下列图中纵
(方法二)令√+1=t,则 x=(t-1)2,且 t≥1,
函数 f(√+1)=x+2√可化为 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
故所求函数的解析式为 f(x)=x2-1,x∈[1,+∞).
(3)因为对任意的 x∈R,且 x≠0 都有 f(x)+2f
北师版高中数学必修第一册精品课件 第2章 函数 2.2 函数的表示法
,
+
∈(-∞,),
+
即 f(x+1)=
,∈(-∞,-),
+
( + ) , + ∈[, + ∞),
( + ) ,∈[-, + ∞).
利用换元法或配凑的形式求解析式,要注意新元的范围.
的对应关系,且很难
看出函数性质
有时只能近似
求出自变量的
值所对应的函
数值,而且有时
误差较大
5.(1)函数f(x)的图象如图,则f(x)的定义域为
(2)若反比例函数f(x)满足f(3)=-6,则f(x)的解析式为
答案:(1)[-2,3)
(2)f(x)=-
.
.
探究一 画函数的图象
【例1】 画出下列函数的图象.
2.2
函数的表示法
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
一、函数的表示法
【问题思考】
1.某种签字笔的价格为每支6元,购买的支数为x,所花费用为y,
则购买签字笔的支数x与所花费用y之间存在怎样的函数关
系?y与x的关系能否用一个式子表示?
提示:正比例函数关系,能用一个式子表示,即y=6x(x∈N).
解:由例3的求解知,f(x)=x2-1,
故f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x.
3.已知f(x+1)=x2-1,求f(x)的解析式.
解法1:设t=x+1,则x=t-1,因为f(x+1)=x2-1,
所以f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,
即f(x)的解析式是f(x)=x2-2x.
解法2:因为f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),
+
∈(-∞,),
+
即 f(x+1)=
,∈(-∞,-),
+
( + ) , + ∈[, + ∞),
( + ) ,∈[-, + ∞).
利用换元法或配凑的形式求解析式,要注意新元的范围.
的对应关系,且很难
看出函数性质
有时只能近似
求出自变量的
值所对应的函
数值,而且有时
误差较大
5.(1)函数f(x)的图象如图,则f(x)的定义域为
(2)若反比例函数f(x)满足f(3)=-6,则f(x)的解析式为
答案:(1)[-2,3)
(2)f(x)=-
.
.
探究一 画函数的图象
【例1】 画出下列函数的图象.
2.2
函数的表示法
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
一、函数的表示法
【问题思考】
1.某种签字笔的价格为每支6元,购买的支数为x,所花费用为y,
则购买签字笔的支数x与所花费用y之间存在怎样的函数关
系?y与x的关系能否用一个式子表示?
提示:正比例函数关系,能用一个式子表示,即y=6x(x∈N).
解:由例3的求解知,f(x)=x2-1,
故f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x.
3.已知f(x+1)=x2-1,求f(x)的解析式.
解法1:设t=x+1,则x=t-1,因为f(x+1)=x2-1,
所以f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,
即f(x)的解析式是f(x)=x2-2x.
解法2:因为f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),
函数的表示法421张PPT北师版必修1
（2）
1, x (0,), y 1, x (,0].
解（1）
解（2）
解（1） f (x) 2x, x Z,且 x 2;
解（2）
1, x (0,), （2） y 1, x (,0].
例3 21世纪游乐园要建造一个直径为20m 的圆形 喷水池，如图所示，计划在喷水池的周边靠近水面 的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心 4m处达到最高，高度为6m。另外还要在喷水池的 中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处 汇合。这个装饰物的高度应当如何设计？
解：这个函数的定义域为0＜x≤200, 函数解析式为
80, x (0,20],
160, x (20,40],
y
240,0,80],
400, x (80,100], 600, x (100,200].
它的图象是6条线段 (不包括左端点),都平 行于x轴,如图所示。
本课小结
1、这节课主要学习了函数的三种表示法及其 应用。
2、利用函数模型解决实际问题时的方法步骤：
(1)对实际问题综合分析、归纳，抽象出函数 模型种类；
(2)用相关的函数知识，进行合理设计，确定 最佳解题方案，进行数学上的求解；
(3)对实际问题进行总结作答。
结束
函数的表示法
开始
函 数 的 表 示 法
1 函数的各种表示方法 2 解题引入 3 例题1 4 例题2 5 练习1 6 例题3 7 练习2 8 本课小结
阅读课本P53—P54的第二行， 然后回答下列问题： （1）函数常用哪些方法来表示？
解析法；列表法；图象法。
（2）函数的各种表示方法各有什么优点？
（1）解析法：把两个变量的函数关 系，用一个等式来表示，这个等式叫 做函数的解析表达式，简称解析式。
北师大版高中数学必修1精品课件：第二章 函数 2.2函数的表示法
反思与感悟 1.求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值所 在的区间或范围,根据这一范围选择相应的解析式代 入求得,含有多层“f”符号时,应由内向外依次求解. 2.已知分段函数的函数值求相应自变量的值时,要注 意分类讨论求解,同时应对得到的自变量的值进行检 验,看其是否满足相应的条件.
三 分段函数的图像及应用
不够形象、直观
列表法 图像法
不通过计算就可以直接看出与自 变量的值相对应的函数值
直观、形象地表示出函数的变化 情况，有利于通过图形研究函数 的某些性质
一般只能表示部分 自变量的函数值
只能近似地求出自 变量所对应的函数 值，有时误差较大
二、分段函数 在函数的定义域内,对于自变量x的 不同取值区间, 有着 不同的 解析式,这样的函数通常叫作分段函数.
������2 + 1,������
1,������ <. 0,
≥
0,
则满足不等式f(1-x)>f(x)的x的
◆反思与感悟 函数的图像与函数值间具有密切的关系,在函数 图像上方的函数值大于下方所有函数图像对应的 函数值,故可以根据函数图像的上、下位置关系, 把不等式的解的问题转化为数量关系求解,如本例 中借助分段函数的图像可以直接把求解的问题转 化为1-x与x的关系求解.
小结
1．已知函数f（g（x））的解析式求f(x)的解析式要用换元法；已知f（x） 的解析式求f（g（x））的解析式要用代入法。
2.要求分段函数的函数值，需要首先弄清自变量所在的区间，然后把自变量 的值代入相应区间的函数解析式 再做计算求得 。
3．作分段函数的图像，要根据分段表达式所在的不同区间，在每段区间上 做出相应的函数图像，注意端点的函数值如果不能取到，那么这个端点要用 空心点表示。
2.2.2 函数的表示法课件-高一数学北师大版(2019)必修第一册
得 + + + ( + ) = + ( + ) +
=
+ = +
则
，解得
+=
=
所以 =
+
.
这道题的方法
叫待定系数法
巩固练习
(2)若函数 = − + 的定义域为[, ]，值域为[, ]，
当今世界上最大水利
枢纽工程。
探究新知
如图，是我国最大的水库——三峡水库上游某个地区年降雨量的
统计图，图中表示了年号与降雨量之间的对应关系，那么它们是不是
函数关系呢？能不能用精确的解析式表示呢？
探究新知
提示：是函数关系，但没有精确的函数解析式。
函数的三种表示法：
解析法、列表法、图象法
将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法；
典例剖析
例4.设是任一实数，[]表示不超过的最大整数，如 −. = −、
− = −、 . = 、 . = 等等，我们把函数 = []叫作
取整函数（高斯函数）。试画出取整函数 = []的局部图象.
解：根据题意，函数 = [] 的定义域为 ，
值域为.
所以 = + + ≥ − ；
这两道题的方
法叫换元法
（注意定义域）
巩固练习
③ +
=
+
；
解：由均值不等式，| +
+
= +
=
+ = +
则
，解得
+=
=
所以 =
+
.
这道题的方法
叫待定系数法
巩固练习
(2)若函数 = − + 的定义域为[, ]，值域为[, ]，
当今世界上最大水利
枢纽工程。
探究新知
如图，是我国最大的水库——三峡水库上游某个地区年降雨量的
统计图，图中表示了年号与降雨量之间的对应关系，那么它们是不是
函数关系呢？能不能用精确的解析式表示呢？
探究新知
提示：是函数关系，但没有精确的函数解析式。
函数的三种表示法：
解析法、列表法、图象法
将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法；
典例剖析
例4.设是任一实数，[]表示不超过的最大整数，如 −. = −、
− = −、 . = 、 . = 等等，我们把函数 = []叫作
取整函数（高斯函数）。试画出取整函数 = []的局部图象.
解：根据题意，函数 = [] 的定义域为 ，
值域为.
所以 = + + ≥ − ；
这两道题的方
法叫换元法
（注意定义域）
巩固练习
③ +
=
+
；
解：由均值不等式，| +
+
= +
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北师大版高中数学《函数的表示法》完美课件1（公开课课件）
• 当自变量x在某个区间内变化时，函数值f(x) 始终是一个常量，这样的函数称为常值函数， 简称常函数。其形式为：
f(x) = c（x∈A)
其中c为常数
常函数的图像，一般来说是与x轴平行或 重合的一直线，或线段或射线.
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6、分段函数
• 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取 值区间，有着不同的对应法则，这样的函 数叫做分段函数。
说明： (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数. (2)作分段函数的图像时，必须按各个解析式 段描绘.
2、图象法
• 图象法：就是用函数图象表示两个变量之 间的关系.
优点：能直观形象地表示出函数的变化情况。
思考
• 如何检验一个曲线是否是函数的图像？
y
•y=f(x)
0
x
总结
• 过x轴上任一点作x轴的垂线，若与图像至 多有一个交点，则是函数的图像，否则不 是。
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3、解析法
• 解析法：就是把两个变量的函数关系，用 一个等式表示，这个等式叫做函数的解析 表达式，简称解析式.
优点（1）简明、全面地概括了变量间的关 系；（2）是可以通过解析式求出任意一个 自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的 函数主要是用解析法表示的函数.
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• 例2、作函数（1）y= x （2) f(x)=2的图像
• 解：（1）列表
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 …..
y
0 0.7 1 1.2 1.4 1.6 1.7 1.9 2 2.1 2.2 …….
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• （2）描点，连线。
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7、小结
• 1、函数的三种表示法：列表法、图象法、 解析法
• 2、分段函数及常函数的概念.
• 3、作函数图像时应注意的问题.
• 4、函数图像的作法大致分为两种：一是描 点法；二是利用基本初等函数的图像作出 所求函数的图像。
2.1.2.函数的表示方法
1、列表法
• 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函 数关系
优点：（1）不需要计算就可以直接看出与 自变量的值相对应的函数值.
（2）可直接看出函数的定义域和值域。
年份
1953 1964 1982 1990 2000
总人口数／亿 5.9 6.9 10.1 11.3 12.7
f( 2 ) 2 • f( 2 1 ) 2 • f( 1 ) 2 1 2 ,. f( 3 ) 3 • f( 3 1 ) 3 • f( 2 ) 3 2 6 ,. f( 4 ) 4 • f( 4 1 ) 4 • f( 3 ) 4 6 2 ,
f( 5 ) 5 • f( 5 1 ) 5 • f( 4 ) 5 2 1 4.2
1.画图象时，要标出x轴、y轴、原点及长度 单位。一般情况下，两轴的长度单位相同。
2.函数的图像能帮助我们全面了解函数的性 质，因此，“数形结合法”是研究函数的 重要思想方法。
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5、常函数
y
2 1•
o1 2 3 4 5
x
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y
2
1
-1
01 2
F(x)=2 x
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说明
• 例3.设x是任意的一个实数，y是不超过x • 的最大整数，试问x和y之间是否是函 • 数关系？如果是，写出这个函数的解 • 析式，并画出这个函数的图像
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• 例4.已知一个函数的定义域为区间[0,2]，当 x∈[0,1]时，对应法则为y=x，当x∈(1,2] 时，对应法则为y=2-x，试用解析式与图像 法分别表示这个函数.
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例5.作出函数y=|x-1|+|x+2|的图像.
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• 例6.国内投寄信函（外埠），每封信函不 超过20g付邮资80分，超过20g而不超过 40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0<x100)的信函应付邮资为y（单位： 分），试写出以x为自变量的函数y的解析 式，并画出这个函数的图像
例 1 、已 y f(n 知 )满 , f(0 函 ) 足 1 ， f数 (n ) 且 n(n f 1 ) n N 。 f( 1 )求 f,(2 )f,( 3 )f,(4 )f,( 5 ).
解： f (0) 1，f (n) n f (n 1)
f( 1 ) 1 • f( 1 1 ) 1 • f( 0 ) 1 ,