易错汇总年北京市人大附中高二(上)期末数学试卷和答案

2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x

∈B，则（）

A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B

（）2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ＝A．B．C．﹣ D．﹣

3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则

双曲线的虚轴长为（）

A．B．5 C．2 D．10

4．（5分）“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，

点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．

6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动

点，那么的最小值是（）

A．0 B．1 C．2 D．

7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分

别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝（）

A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3

8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）

A．B．C．D．

二、填空题（每小题5分，共30分）

9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是．10．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为．

11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．

12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为．

13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为．

14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=．

三、解答题（共30分）

15．（8分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．

（I）直接写出E、F的坐标；

（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；

（III）求证：A1F⊥C1E．

16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面与圆O所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．

（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；

（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；

（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？

17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．

（I）求椭圆C的方程；

（II）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；

（III）已知点M（，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k，使得向量+与

共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x ∈B，则（）

A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B

【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，

∴命题p：?x∈A，2x∈B 的否定是：

￢p：?x∈A，2x?B．

故选：C．

（）2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ＝A．B．C．﹣ D．﹣

【解答】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，

∴==，

∴λ＝﹣．

故选：C．

3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）

A．B．5 C．2 D．10

【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则

∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，

∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5

∴双曲线方程的虚轴长为2．

故选：C．

4．（5分）“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【解答】解：当a=b=1时，满足a＞0，b＞0，曲线方程ax2+by2=1为x2+y2=1为圆，不是椭圆，充分性不成立．

若ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0且a≠b，即a＞0，b＞0，必要性成立，即“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的必要不充分条件，

故选：B．

5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．

【解答】解：连结DE，到DE中点P，连结PF、PC，

∵正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，

点E、F分别是棱BC、AD的中点，

∴PF∥AE，∴∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，

AE==a，DE==a，

CF==，

PF=，PC==，

∴cos∠PFC==．

∴异面直线AE和CF所成角的余弦值为．

故选：A．