1.4-晶体的定向和晶面符号
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第四章 晶体的定向及晶面符号
1 晶体的定向和晶体的分类 2 晶面指数和晶棱指数 3 晶带定律 4 晶面间距
晶体定向
晶体的定向就是以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴 组成,也可由X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
c 大拇指
Z
β
α
O
食指
γ
a
=bc
β= a c
γ=ab
中指
b
欧拉定理：对于相互垂 直的3个坐标轴，有
晶面间距
一组平行晶面的晶面间距d hkl与晶面指数和晶格常数a、b、c 有下列关系：
正交晶系
dhkl
1
h a
2
k b
2
l c
2
四方晶系
dhkl
1
h2 k 2 a2
l c
2
立方晶系 dhkl
a h2 k2 l2
六方晶系
dhkl
1
4 3
h2
系，即H（Hexagonal）取向；②R（Rhombohedral）取向。即选取三 次轴为对称的相交的3个主要晶面带轴为a、b、c轴，如图所示。三次 轴对称对这种取向有如下要求：a0=b0=c0，α=β=γ≠90º
民 主 评 议 党员 个人年 度总结 的进行 是为了 使党员 们更好 地反思 过去的 工作， 不 断 地 改 进 。以下 是小编 为大家 精心整 理的民 主评议 党员个 人年度 总结范 文，欢
迎 大 家 阅 读 。 第 一 篇 ： 民主 评议党 员个人 年度总 结范文 一、政 治思想 方面 我 热爱祖 国，热 爱中国 共产党 ，热爱 党的教 育事业 ，拥护 党的领 导及路 线、方 针、 政 策 ;一 年 来 认真学 习党的 十八大 会及十 八届三 中全会 的各项 文件和 重要精神。坚 决 贯 彻 执 行 上级领 导下达 的各项 工作与 指示。 同时深 入学习 《中小 学教师 职业道 德 规 范 》 ， 坚决依 法执教 ，爱岗 敬业， 廉洁从 教，为 人师表 。积极 参与党 组织的 各 项 活 动 ， 坚决服 从组织 安排。 作为一 个共产 党员， 我在思 想上严 于律己 ，不断 鞭 策 自 己 ， 牢记全 心全意 为人民 服务的 宗旨， 不断提 高自己 的道德 修养和 业务水 平 ， 努 力 提 高自身 的党性 修养和 觉悟， 力争思 想上和 工作上 在同事 、学生 的心目 中 都 树 立 起 榜样的 作用。 二 、 教 学 工作方 面 恪 职 守 责 ，勇 于创新 ，分层 教 学 。 在 过 去的一 年里， 我担任 高一、 二两个 年级的 专业课 程教学 工作， 上半年 担 任高一 年级的 《发动 机维护 》、《 底盘维 护》和 高二年 级的《 汽车维 护》课 程。 下 半年担 任高一 年级的 《汽车 与汽车 维修企 业概况 》和高 二年级 的《底 盘维护 》、
晶体定向
晶胞参数：晶体内部结构的特征是以a0、b0、c0，α、β、γ在晶体内部
割取的平行六面体来表征，这就是晶胞。 a0、b0、c0，α、β、γ称为
晶胞参数。不难看出，32个点群共有7个晶胞参数的选择，即7个晶系。 7个晶系按照轴的高低分为三类：
不具有高次轴（三斜、单斜、正交）称为低级晶系；具有一个高次轴 （六方、三方、四方）称为中级晶系；具有一个以上高次轴（立方） 称为高级晶系。
求法： 1. 确定坐标系 2. 过坐标原点，作直线与待求晶向平行； 3. 在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（xyz），若某一坐
标值为负，则在其上加一负号。 4. 将此值化成最小整数uvw并加以方括号[uvw]即是。
（代表一组互相平行，方向一致的晶向）
晶面指数与晶棱指数
练习题：请确定各晶面指数
晶面指数与晶棱指数
晶面指数与晶棱指数
晶棱指数：表示晶棱在已经确定的晶轴中的方向。与晶面指数相似，用3
个互质的整数并以方括号[uvw]表示晶棱的方向。晶体中每个实际的或者可能 的晶面与3个晶体学轴的取向关系，我们给每一个晶面以3个整数并加以括号 （hkl）来表示。其中hkl为互质的整数，被称为晶面指数。
h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0 有： （h1＋h2）u＋（k1＋k2）v＋（l1＋l2）w = 0 即：（h1＋h2）、（k1＋k2）、（l1＋l2）为此晶带上一晶面的 晶面指数。
晶面间距
晶面间距:两相邻平行晶面间的垂直距离，用dhkl表示 从原点作（h k l）晶面的法线，则法线被最近的（h k l）面所 交截的距离即是晶面间距。
U
Y
X
120º
坐标轴符合右手定则
那么,怎么选出这些晶轴?
晶体定向
选晶轴的原则
1）依赖于晶Leabharlann Baidu内部的点阵特征，与晶体的对称特点 相符合(既一般都以对称要素作晶轴，要么对称轴 ，要么对称面法线);
2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为90度 .
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶 轴的具体方法也不同。
求法： 1. 在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点o，三棱边为三坐标
轴x，y，z 2. 以棱边长为单位，量出待定晶面在三个坐标轴上的截距。若
某一截距为负，则在其上加一负号。 3. 取截距之倒数，并化为最小整数h，k，l并加以圆括号（h k l）
即是。
代表一组互相平行的晶面；指数相同符号相反晶面互相平行
下面分别对32点群进行讨论：
晶体定向
1. 三斜晶系：对称性对6个参数的选择无任何约束。原则上 任何3条不平行的阵点列方向都可以选作晶轴。如点群1和 1
晶体定向
2. 单斜晶系：只有一个二次轴2或一个对称面m的点群以及它 们两者的组合点群2/m。选择二次轴或对称面的法线为一个晶
体学轴（b轴），垂直与二次轴的任何两条互不平行的阵点列
晶体定向
5. 六方晶系：具有一个六次轴（包括六次反轴）的点群。首先 选择六次轴或六次反轴作为C轴，然后将垂直于六次轴的两个 二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足六次轴的对称，a、 b轴必须满足：①单位轴长必须相等，即a0=b0；②交角为120º
晶体定向
6. 三方晶系：具有一个三次轴的点群。有2种取向方式：①六方晶
都可以选择为a，c轴，二者的夹角β最好是大于并接近与90º。
晶体定向
3. 正交晶系：不具有高次轴，但具有一个以上的二次轴或一个 以上对称面的点群。它们的2次轴或对称面都是互相垂直的， 因此选择二次轴及对称面的法线作为3个晶轴，这样的坐标系 必然是正交晶系。
晶体定向
4. 四方晶系：具有一个四次轴（包括四次反轴）的点群。首先 选择四次轴或四次反轴作为C轴，然后将垂直于四次轴的两个 相互垂直的二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足四次轴 的对称，a、b轴的单位轴长必须相等，即a0=b0
晶带定律
②由晶向[u1 v1 w1]和[u2 v2 w2]求晶面符号 建立方程组：
得：
hu1＋kv1＋lw1 = 0 hu2＋kv2＋lw2 = 0
h:k:l v1 w1 : w1u1 : u1 v1 v2w2 w2u2 u2v2
晶带定律
③由同一晶带的两个晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求此晶带上 另一晶面指数，由：
下表列出了7种晶系及其所属点群。表中每个晶系所列的最后一个点群 是该晶系最高对称类型，称为该晶系的全对称型。
晶体定向
晶面指数与晶棱指数
晶面指数：为了表示晶体中每个实际的或者可能的晶面与3个晶体学轴的
取向关系，我们给每一个晶面以3个整数并加以括号（hkl）来表示。其中hkl 为互质的整数，被称为晶面指数。
①由晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求晶带符号 根据晶带定律建立方程组：
h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0 解出：
u:v:w k1 l1 : l1 h1 : h1 k1 k2l2 l2h2 h2k2
解法：①将每一个晶面的面指数在一 列上连续写2次，其指数按次序一一对 应； ②将最右及最左的纵行删去，如 右式； ③用交叉相乘方法，并依次取 出乘积差数即可。
hk a2
k2
l 2 c
上述公式仅适用于简单晶胞，对于复杂晶胞，要考虑附加原 子面的影响。
晶面间距好像晶体的指纹，是进行物相鉴别 的重要依据。
晶带定律
晶带：所有相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成
一个“晶带”，此直线称为晶带轴，所有的这些晶面都称为 晶带面。
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下关系
hu ＋ kv ＋ lw＝0 ——— 晶带定律
凡满足此关系的晶面都属于以[u v m]为晶带轴的晶带
晶带定律
晶带定律的应用：
《汽车电
晶体定向
7. 立方晶系：具有四个三次轴的点群。将4个三次轴分别与
立方体中4个对角线重合，那么立方体中3个通过体心并相互垂直的三 对面的法线将被选择为晶轴a、b、c。3个晶轴分别与3个二次轴或3个 四次轴或3个四次反轴重合。这种对称性对要求： a0=b0=c0，α=β=γ = 90º
c
b a
1 晶体的定向和晶体的分类 2 晶面指数和晶棱指数 3 晶带定律 4 晶面间距
晶体定向
晶体的定向就是以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴 组成,也可由X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
c 大拇指
Z
β
α
O
食指
γ
a
=bc
β= a c
γ=ab
中指
b
欧拉定理：对于相互垂 直的3个坐标轴，有
晶面间距
一组平行晶面的晶面间距d hkl与晶面指数和晶格常数a、b、c 有下列关系：
正交晶系
dhkl
1
h a
2
k b
2
l c
2
四方晶系
dhkl
1
h2 k 2 a2
l c
2
立方晶系 dhkl
a h2 k2 l2
六方晶系
dhkl
1
4 3
h2
系，即H（Hexagonal）取向；②R（Rhombohedral）取向。即选取三 次轴为对称的相交的3个主要晶面带轴为a、b、c轴，如图所示。三次 轴对称对这种取向有如下要求：a0=b0=c0，α=β=γ≠90º
民 主 评 议 党员 个人年 度总结 的进行 是为了 使党员 们更好 地反思 过去的 工作， 不 断 地 改 进 。以下 是小编 为大家 精心整 理的民 主评议 党员个 人年度 总结范 文，欢
迎 大 家 阅 读 。 第 一 篇 ： 民主 评议党 员个人 年度总 结范文 一、政 治思想 方面 我 热爱祖 国，热 爱中国 共产党 ，热爱 党的教 育事业 ，拥护 党的领 导及路 线、方 针、 政 策 ;一 年 来 认真学 习党的 十八大 会及十 八届三 中全会 的各项 文件和 重要精神。坚 决 贯 彻 执 行 上级领 导下达 的各项 工作与 指示。 同时深 入学习 《中小 学教师 职业道 德 规 范 》 ， 坚决依 法执教 ，爱岗 敬业， 廉洁从 教，为 人师表 。积极 参与党 组织的 各 项 活 动 ， 坚决服 从组织 安排。 作为一 个共产 党员， 我在思 想上严 于律己 ，不断 鞭 策 自 己 ， 牢记全 心全意 为人民 服务的 宗旨， 不断提 高自己 的道德 修养和 业务水 平 ， 努 力 提 高自身 的党性 修养和 觉悟， 力争思 想上和 工作上 在同事 、学生 的心目 中 都 树 立 起 榜样的 作用。 二 、 教 学 工作方 面 恪 职 守 责 ，勇 于创新 ，分层 教 学 。 在 过 去的一 年里， 我担任 高一、 二两个 年级的 专业课 程教学 工作， 上半年 担 任高一 年级的 《发动 机维护 》、《 底盘维 护》和 高二年 级的《 汽车维 护》课 程。 下 半年担 任高一 年级的 《汽车 与汽车 维修企 业概况 》和高 二年级 的《底 盘维护 》、
晶体定向
晶胞参数：晶体内部结构的特征是以a0、b0、c0，α、β、γ在晶体内部
割取的平行六面体来表征，这就是晶胞。 a0、b0、c0，α、β、γ称为
晶胞参数。不难看出，32个点群共有7个晶胞参数的选择，即7个晶系。 7个晶系按照轴的高低分为三类：
不具有高次轴（三斜、单斜、正交）称为低级晶系；具有一个高次轴 （六方、三方、四方）称为中级晶系；具有一个以上高次轴（立方） 称为高级晶系。
求法： 1. 确定坐标系 2. 过坐标原点，作直线与待求晶向平行； 3. 在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（xyz），若某一坐
标值为负，则在其上加一负号。 4. 将此值化成最小整数uvw并加以方括号[uvw]即是。
（代表一组互相平行，方向一致的晶向）
晶面指数与晶棱指数
练习题：请确定各晶面指数
晶面指数与晶棱指数
晶面指数与晶棱指数
晶棱指数：表示晶棱在已经确定的晶轴中的方向。与晶面指数相似，用3
个互质的整数并以方括号[uvw]表示晶棱的方向。晶体中每个实际的或者可能 的晶面与3个晶体学轴的取向关系，我们给每一个晶面以3个整数并加以括号 （hkl）来表示。其中hkl为互质的整数，被称为晶面指数。
h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0 有： （h1＋h2）u＋（k1＋k2）v＋（l1＋l2）w = 0 即：（h1＋h2）、（k1＋k2）、（l1＋l2）为此晶带上一晶面的 晶面指数。
晶面间距
晶面间距:两相邻平行晶面间的垂直距离，用dhkl表示 从原点作（h k l）晶面的法线，则法线被最近的（h k l）面所 交截的距离即是晶面间距。
U
Y
X
120º
坐标轴符合右手定则
那么,怎么选出这些晶轴?
晶体定向
选晶轴的原则
1）依赖于晶Leabharlann Baidu内部的点阵特征，与晶体的对称特点 相符合(既一般都以对称要素作晶轴，要么对称轴 ，要么对称面法线);
2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为90度 .
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶 轴的具体方法也不同。
求法： 1. 在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点o，三棱边为三坐标
轴x，y，z 2. 以棱边长为单位，量出待定晶面在三个坐标轴上的截距。若
某一截距为负，则在其上加一负号。 3. 取截距之倒数，并化为最小整数h，k，l并加以圆括号（h k l）
即是。
代表一组互相平行的晶面；指数相同符号相反晶面互相平行
下面分别对32点群进行讨论：
晶体定向
1. 三斜晶系：对称性对6个参数的选择无任何约束。原则上 任何3条不平行的阵点列方向都可以选作晶轴。如点群1和 1
晶体定向
2. 单斜晶系：只有一个二次轴2或一个对称面m的点群以及它 们两者的组合点群2/m。选择二次轴或对称面的法线为一个晶
体学轴（b轴），垂直与二次轴的任何两条互不平行的阵点列
晶体定向
5. 六方晶系：具有一个六次轴（包括六次反轴）的点群。首先 选择六次轴或六次反轴作为C轴，然后将垂直于六次轴的两个 二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足六次轴的对称，a、 b轴必须满足：①单位轴长必须相等，即a0=b0；②交角为120º
晶体定向
6. 三方晶系：具有一个三次轴的点群。有2种取向方式：①六方晶
都可以选择为a，c轴，二者的夹角β最好是大于并接近与90º。
晶体定向
3. 正交晶系：不具有高次轴，但具有一个以上的二次轴或一个 以上对称面的点群。它们的2次轴或对称面都是互相垂直的， 因此选择二次轴及对称面的法线作为3个晶轴，这样的坐标系 必然是正交晶系。
晶体定向
4. 四方晶系：具有一个四次轴（包括四次反轴）的点群。首先 选择四次轴或四次反轴作为C轴，然后将垂直于四次轴的两个 相互垂直的二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足四次轴 的对称，a、b轴的单位轴长必须相等，即a0=b0
晶带定律
②由晶向[u1 v1 w1]和[u2 v2 w2]求晶面符号 建立方程组：
得：
hu1＋kv1＋lw1 = 0 hu2＋kv2＋lw2 = 0
h:k:l v1 w1 : w1u1 : u1 v1 v2w2 w2u2 u2v2
晶带定律
③由同一晶带的两个晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求此晶带上 另一晶面指数，由：
下表列出了7种晶系及其所属点群。表中每个晶系所列的最后一个点群 是该晶系最高对称类型，称为该晶系的全对称型。
晶体定向
晶面指数与晶棱指数
晶面指数：为了表示晶体中每个实际的或者可能的晶面与3个晶体学轴的
取向关系，我们给每一个晶面以3个整数并加以括号（hkl）来表示。其中hkl 为互质的整数，被称为晶面指数。
①由晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求晶带符号 根据晶带定律建立方程组：
h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0 解出：
u:v:w k1 l1 : l1 h1 : h1 k1 k2l2 l2h2 h2k2
解法：①将每一个晶面的面指数在一 列上连续写2次，其指数按次序一一对 应； ②将最右及最左的纵行删去，如 右式； ③用交叉相乘方法，并依次取 出乘积差数即可。
hk a2
k2
l 2 c
上述公式仅适用于简单晶胞，对于复杂晶胞，要考虑附加原 子面的影响。
晶面间距好像晶体的指纹，是进行物相鉴别 的重要依据。
晶带定律
晶带：所有相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成
一个“晶带”，此直线称为晶带轴，所有的这些晶面都称为 晶带面。
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下关系
hu ＋ kv ＋ lw＝0 ——— 晶带定律
凡满足此关系的晶面都属于以[u v m]为晶带轴的晶带
晶带定律
晶带定律的应用：
《汽车电
晶体定向
7. 立方晶系：具有四个三次轴的点群。将4个三次轴分别与
立方体中4个对角线重合，那么立方体中3个通过体心并相互垂直的三 对面的法线将被选择为晶轴a、b、c。3个晶轴分别与3个二次轴或3个 四次轴或3个四次反轴重合。这种对称性对要求： a0=b0=c0，α=β=γ = 90º
c
b a