第3章__周期信号的FS
信号与系统复习题及答案
1． 系统的激励是)t (e ，响应为)t (r ,若满足dt)t (de )t (r =，则该系统为 线性、时不变、因果。
（是否线性、时不变、因果？) 2． 求积分dt )t ()t (212-+⎰∞∞-δ的值为 5 。
3． 当信号是脉冲信号f(t)时，其 低频分量 主要影响脉冲的顶部,其 高频分量 主要影响脉冲的跳变沿。
4． 若信号f(t)的最高频率是2kHz ，则t)f(2的乃奎斯特抽样频率为 8kHz 。
5． 信号在通过线性系统不产生失真,必须在信号的全部频带内，要求系统幅频特性为 一常数相频特性为_一过原点的直线(群时延）. 6． 系统阶跃响应的上升时间和系统的 截止频率 成反比。
7． 若信号的3s F(s)=(s+4)(s+2)，求该信号的=)j (F ωj 3(j +4)(j +2)ωωω。
8． 为使LTI 连续系统是稳定的，其系统函数)s (H 的极点必须在S 平面的 左半平面 。
9． 已知信号的频谱函数是））00(()j (F ωωδωωδω--+=，则其时间信号f(t)为01sin()t j ωπ。
10． 若信号f(t)的211)s (s )s (F +-=，则其初始值=+)(f 0 1 .二、判断下列说法的正误，正确请在括号里打“√"，错误请打“×"。
(每小题2分，共10分)1.单位冲激函数总是满足)()(t t -=δδ （ √ ）2.满足绝对可积条件∞<⎰∞∞-dt t f )(的信号一定存在傅立叶变换，不满足这一条件的信号一定不存在傅立叶变换。
（ × ） 3.非周期信号的脉冲宽度越小，其频带宽度越宽。
（ √ ）4.连续LTI 系统的冲激响应的形式取决于系统的特征根，于系统的零点无关。
（ √ )5。
所有周期信号的频谱都是离散谱,并且随频率的增高，幅度谱总是渐小的。
（ × ）三、计算分析题（1、3、4、5题每题10分，2题5分， 6题15分，共60分）1.信号)t (u e )t (f t-=21，信号⎩⎨⎧<<=其他，01012t )t (f ,试求)t (f *)t (f 21。
数字信号处理第三章
FS：~x (t)
X (k0 )e jk0t
k
（周期为T0
，Ω0
2
T0
）
对上式进行抽样，得：
（抽样间隔为T，s
2π ） T
~x(nT )
X~(k0 )e jk0nT
n
反 : x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
s s / 2
---
时域抽样间隔为T ,
频域的周期为 s
2
T
注：DTFT反变换原式为 x(n) 1 X (e j )e jnd
2
根据关系
T 将变量换为
，并利用s
2
T
即得
x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
jnk0T
s k0
又 0T
2
T0
T
0
2
s
2
N
这里 T Ω0 1 ，因此 T0 Ωs N
j 2 k
N 1
j 2 nk
X (e N ) x(nT)e N
n0
1 N 1
j 2 k
j 2 nk
x(nT)
X (e N )e N
N k0
x(nT ) 视作 n 的函数， x(nT ) x(n)
0 -0.5
-1 0
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
§ 3-3 周期序列的离散傅里叶级数 Discrete Fourier Series （DFS）
信号处理-习题(答案)
数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入，x 1（t ）=cos2πt ，x 2（t )=cos5πt 。
试问输出信号y 1(t ），y 2（t ）有无失真?为什么？分析:要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍,即满足Ωs ≥2Ωh 。
解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ，所以y 1(t ）无失真；因为x 2（t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ，所以y 2(t ）失真。
2.2 设模拟信号x （t ）=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ,求：（1） 该信号的最小采样频率；（2） 若采样频率f s =5000Hz,其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。
错误!采样定理采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即f s ≥2f m错误!采样公式)()()(s nT t nT x t x n x s===解:（1）在模拟信号中含有的频率成分是f 1=1000Hz,f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ,得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nTt s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明:由上式可见,采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分，即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号,则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见，恢复后的模拟信号y (t ) 不同于原模拟信号x （t ），存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求,而产生混叠的结果。
信号与系统第6讲第3章周期信号的傅里叶级数表示
sin(2 k(1/ 4)) k
sin(k k
/ 2)
根据Example3.5的结果，用性质计算傅里叶级数的系数
分析：原函数为x(t),本函数为g(t)
g (t )
x(t
1)
1 2
,周期方波的参数T
4,T1
1,
如果原函数的系数为ak，x(t 1)的系数为bk
bk
a e jk (2 / 4)1 k
在不连续点上，傅里叶级数的收敛趋势-吉伯斯现象
不连续点上收敛于不连续点的平均值 不连续点附近呈现起伏现象，起伏的峰值不随N增加而降低 峰值为不连续点差值的9%
吉伯斯现象的实际意义
不连续信号的傅里叶级数截断近似在接近不连续点有高频起伏 选择足够大的N，可以保证这些起伏的总能量可以忽略
2024/6/10
2024/6/10
信号与系统－第6讲
19
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（4）Example3.8 计算周期冲激串的傅里叶级数系数 根据性质计算周期方波的系数
周期冲激串可表示为x(t) (t kT ) k
ak
1 T
T / 2 (t)e jk 2t /T dt 1
T / 2
T
周期方波为g (t ),它的导数为q(t )
c0为直流分量， c0 2T1 / T
对照前面 例题验证
结果
20
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（5）Example3.9
1.x(t)是实信号
2.x(t)是周期信号，T 4，傅里叶级数系数ak
3.ak 0，k 1
4.傅里叶系数为bk
e
j
k
/
2
a
的信号是奇信号
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
信号与系统第三章习题部分参考答案
（7） (1 − t) f (1 − t) ；
（2） [1 + m f (t)]cosω0 t
（4） (t + 2) f (t)； ( ) （6） e− jω0 t df t
dt
（8） f (t)∗ f (t − 3)；
t
（9） ∫τ f (τ )dτ −∞
1−t / 2
（11） ∫ f (τ )dτ −∞
2π (sin π t )2 ↔ 2π (1− ⎜w⎜)[ε(w + 2π ) − ε(w − 2π )]
πt
2π
即 (sin π t )2 ↔ (1− ⎜w⎜)[ε(ω + 2π ) − ε(w − 2π )]
πt
2π
（3）双边指数信号
∵ e−a⎜t⎜
↔
2a a2 + w2
(−∞
<
t
<
+∞)
∴ 2a a2 + w2
（13） f (t)∗ Sa(2t) （15） t df (1 − t)
dt
t+5
（10） ∫ f (τ )dτ −∞
（12） df (t) + f (3t ) − 2 e− jt ；
dt
（14） f (t) u(t)
（16） (t − 2) f (t)e j2(t−3)
解：（1） f 2 (t) + f (t) = f (t). f (t) + f (t) ↔ 1 [F (w}* F (w)] + F (w)
又 f (t) = 2 + cos⎜⎛ 2πt ⎟⎞ + 4sin⎜⎛ 5πt ⎟⎞
⎝3⎠
【信号与系统（郑君里）课后答案】第三章习题解答
【信号与系统（郑君⾥）课后答案】第三章习题解答3-1 解题过程：（1）三⾓形式的傅⽴叶级数（Fourier Series ，以下简称 FS ）f ( t ) = a ++∞cos ( n ω t) + b sin ( n ω t ) a 0 ∑ n 1n 1 n =1式中ω1 =2π，n 为正整数，T 1 为信号周期T 11 t +T（a ）直流分量a 0 = 0 ∫ 1 f ( t ) dtT1 t2 t +T（b ）余弦分量的幅度a n = 0∫ 1f ( t ) cos ( n ω1t ) dtT1 t 02 t +T（c ）正弦分量的幅度b n = 0 ∫ 1f ( t ) sin ( n ω1t ) dtT 1 t（2）指数形式的傅⽴叶级数+∞f ( t ) = ∑ F ( n ω1 )e jn ω1tn == F ( n ω1 ) = 1 ∫t 0 +T 1f ( t ) e ? jn ω1t dt T 1 t 0F n =1( a n ? jb n ) F ? n = 1 ( a n + jb n ) 2 2由图 3-1 可知， f ( t ) 为奇函数，因⽽a 0 = a n = 0 4 Tb n = T ∫02= 2Eπ n4TE2EEf (t ) sin ( n ω t ) dt =sin ( n ω t ) dt = cos ( n ω t = 1 ? cos ( n π2T 1 ∫0 2 1 n t 1 n ) 1n = 2, 4,n = 1, 3,所以，三⾓形式的 FS 为2 E1 12π f ( t ) =sin ( ω1t ) +sin ( 3ω1t ) +sin ( 5ω1t ) +ω1 =π 3 5Tn = 0, ±2, ±4,F n = ? jb n jE=2 n = 0,± 1, ±3,n π1所以，指数形式的 FS 为f ( t ) = ? jE π ej ω1t+ πjE e ? j ω1t ? 3jE π e j 3ω1t + 3jEπ e ? j 3ω1t +3-15 分析：半波余弦脉冲的表达式 f ( t ) =πτ E cos t u t+ τ 2求 f ( t ) 的傅⽴叶变换有如下两种⽅法。
信号与系统知识要点
《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、 周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。
（2）离散信号思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时，周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。
2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量：2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率： def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑⎰∞∞-=t t f E d )(2def（2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；③还有一些非周期信号，也是非能量信号。
例如：ε(t )是功率信号； t ε(t )3、典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+tt4、信号的基本运算 1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化 a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c)尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。
正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。
第三章周期信号的傅里叶级数表示
1、复指数傅里叶级数
sk =jk0，即:
eskt e jk0t , k 0, 1, 2,L
一个周期为T的周期信号x(t) 的复指数傅里叶级数：
x(t) ake jk0 t k
0 2 / T
其中系数 ak一般来说是 k0 的复函数。
e jk0t , k 0, 1, 2, 成谐波关系的复指数信号集
0
xˆ4
a4e j 40t
a4e j 40t
0
x(t) ake jk0 t
k
k
即：x(t) a0 xˆ1(t) xˆ3(t) xˆ5(t)
xˆ1 xˆ3 xˆ5 xˆ9 xˆ19
a0 xˆ1 xˆ3 a0 xˆ1 xˆ3 xˆ5 a0 xˆ1 xˆ7 a0 xˆ1 xˆ19 a0 xˆ1 xˆ99 x(t)
est 是连续LTI系统的特征函数
zn 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk )或 H (z就k ) 是对应的特征值。
7
4、将一个信号分解为特征函数(复指数信号) 的线性加权和
如果一个LTI系统的输入信号（连续/离散）可以分解 为复指数信号的线性加权和：
x(t) ak e skt
因此xn可以分解为n个不同的特征函数的线性加权和其傅里叶级数只需对连续n个独立k值求和记为352傅里叶级数系数的确定两边同乘以并在n内求和范围同的取值其中周期内求和为一个周期正弦信号在以下推导供学有余力同学参考36离散时间周期信号周期为n的傅里叶级数是一个有限项级数n个不同的复指数信号求和但a本身是一个周期为n的周期信号
T x(t)e jn0tdt T
0
0
ak e e jk0t jn0t dt
信号分析与处理第3章离散时间信号的分析_1-44
X (z) x(n)zn x(n)(re j )n [x(n)r n ]e j n
x
x
x
只有当 x(n)rn 符合绝对可和的收敛条件，即
x(n)r n
x=
时，x(n) 的 z 变换才有意义。对序列 x(n) ，其 z 变换 X (z)收
敛的所有 z 的集合称为 X (z)的收敛域，简记为 ROC
X (z) x(n)zn x(0) x(1)z1 x(2)z2 x0
上式是序列 x(n) 的单边 z 变换。
n<0 时样点均为零的序列称为因果序列，对因果序 列，其双边 z 变换与单边 z 变换相同。
单边 z 变换定义式表明，序列的单边 z 变换是复变 量 z 的负幂级数，该级数的系数即是序列 x(n) 本身。
1、 周期单位冲激串的傅里叶变换
周期单位冲激串，如图（a）所示。该函数在研
究信号的采样问题中经常用到，称为狄拉克梳状函数
或理想采样函数，用数学公式表示为
p(t) (t nT ) n
在 2.3 节中已得到，其傅里叶级数为 p(t) 1 ejkt
T k
上式表明，周期单位冲激串的傅里叶级数中，只包 含位于 0，0 ，20 ，…，k0 ，…处的频率分量， 每个频率分量的大小相等且都等于 1 。
两者进行相乘，如图(c) 所示，相乘结果 xS (t) x(t) p(t) 称为 x(t) 的采样信号（sampled signal），如 图（d）所示。xS (t) 中各分量的冲激强度构成的序列为 x(t) 的样本 x(n) 。
设采样间隔为TS ，采样角频率S
2
f
2 TS
。由采
样过程，有
xS (t) x(t) p(t)
为书写方便，对序列 x(n) 取 z 变换和对 X (z)取逆 z 变换常常记为
第3章习题解求下列周期信号的基波角频率和周期。(1);(3
第3章习题解求下列周期信号的基波角频率和周期。
（1）；（3第3章习题解3-1．求下列周期信号的基波角频率和周期。
,T0t5t（1），，ft,Acos，Bsin；（3）；，，ft,Acos4t，Bsin6t46（2）；，，ft,Acos2,t,Bsin3,t，Csin5,t2j10t（4）；（5）；，，，，，，ft,eft,sin,t2,jt（6）；（7）；，，，，，，ft,Ae，Bsin6tft,Acos2t,Bsin5t2,t5,t,,,,3-2：已知连续时间周期信号，，。
将其表示成复指ft,2，cos，4sin,,,,33,,,,数傅立叶级数形式，求，并画出双边幅度谱和相位谱。
Fn解：由于，，ft为连续的时间周期信号。
, 由于题易知 T=6 = ,132,t5,t,,,,又，， ft,2，cos，4sin,,,,33,,,,31,即有 a,1 a,2b,4205111，，，，F,a,jb,F,a,jb,,j2 F,a,22225550022246(1)(),ftAcos4tB，sin6tXt,，()(Xt)122,,,,对为Xt()周期信号,T,11w212,,对也Xt()为周期信号,T,,.22w32T,,,31,,因是有理数,则X(t)是周期信号,TT,,23T,,.12T,,,222,XtT,,(2)(),8,,11w1212,,XtT(),,,.225w2F,F,F134 Fn,t,t23jj135故，，ft,2，e,2je2 2 F F F0,55又其双边幅F,Fn,n1 F F,22 度谱如图 3-2-1所示0 w ,5w,2w2w5w1111图 3-2-1 易知 ,,,,,,,,,, 01234n,,,,,,,, 5,5222其相位谱如图 3-2-2所示w 0 5w ,5w11,, 2图3-2-2 相位谱3-3已知周期电压,,,,,,,,,，，ftttt,2，2cos，,sin2，，cos3，,,,,,, cn443,,,,,,2c c01，试画其单边，双边幅度谱和相位1 cc 32谱。
张宇-信号与系统各章内容整理
第一章 信号与系统主要内容重点难点1.信号的描述x[n]、x （t ），两者不同之处2.【了解】 信号的功率和能量3.【掌握】自变量变换（计算题目）、理解变换前后图片的缩放或信号的变化，离散信号与连续信号的差别4.【了解】 常见信号：指数（j t j n e e w w 、）、正弦（cos cos t n w w 、）、单位冲激（()[]t n d d 、）、单位阶跃（()[]u t u n 、） ，离散与连续的差别5.【掌握】用阶跃函数表示矩形函数；冲激与阶跃信号的关系；冲激信号的提取作用；指数信号和正弦信号的周期性。
6.【了解】系统互联7.【掌握】系统的基本性质：记忆与无记忆性、可逆性、因果性、稳定性、时不变与线性。
对已知系统进行性质判断（掌握）1.3、5、71.00cos j n n e w w 、的周期性判断，是周期的条件，若是周期的，则周期： 2.00cos j tt ew w 、的周期：自变量变换的量值确定0cos j nn e w w 、的周期性和频率逆转性。
系统的时不变性与线性等性质的证明2T ωπ=2N mωπ=第二章 线性时不变系统第三章 周期信号的傅里叶级数表示FS本章内容安排基本思路:主要内容难点 ✧ 系统的单位冲激响应容易求出：令()()x t t d =，对应的输出即为单位冲激响应() h t ；单位阶跃响应的求解和物理意义； ✧ 将任意信号分解为冲激信号()[]t n d d 、的线性组合[][][]; ()()()k x n x k n k x t x t d d t d t t ¥¥-?=-?=-=-åò✧ 利用LTI 系统的线性和时不变性，在单位冲激响应[]() h t h n 、已知的情况下，推导连续时间和离散时间系统对任意输入x 的响应：[][][]y n =x n * h n ; y(t)=x(t)* h(t)✧ 利用输入输出的卷积关系，根据单位冲激响应[]() h t h n 、，判断ITI 系统的性质✧ 了解线性常系数微分方程和差分方程的时域求解。
信号与系统课后习题与解答第三章
3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。
图3-1解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n2112011201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n Edt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-====⎰⎰所以，三角形式的傅利叶级数（FS ）为T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数为⎪⎩⎪⎨⎧±±=-±±==-= ,3,1,0,,4,2,0,021n n jE n jb F n n π所以，指数形式的傅利叶级数为Te jE e jE e jEe jEt f t j t j t j t j πωππππωωωω2,33)(11111=++-+-=--3-2 周期矩形信号如图3-2所示。
若：图3-22τT-2τ-重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20= 幅度 V E 10=求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰--22sin 12,)(1112212211τωττωππωττωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F tjn TT t jn n则的指数形式的傅利叶级数（FS ）为∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛==n tjn n tjn ne n Sa TE eF t f 112)(1ωωτωτ其直流分量为T E n Sa T E F n ττωτ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2lim100 基波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-2sin 2111τωπEF F 二次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-22sin 122τωπEF F 三次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得s T s rad 441102,/10-⨯==πω 将各参数的值代入，可得直流分量大小为V 110210201046=⨯⨯⨯--基波的有效值为())(39.118sin 210101010sin 210264V ≈=⨯⨯⨯- πππ二次谐波分量的有效值为())(32.136sin 251010102sin 21064V ≈=⨯⨯⨯- πππ三次谐波分量的有效值为())(21.1524sin 32101010103sin 2310264V ≈=⨯⨯⨯⨯- πππ3-3 若周期矩形信号)(1t f 和)(2t f 的波形如图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，s T μ1= ，V E 1=； )(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3= ，V E 3=，分别求：（1）)(1t f 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）)(2t f 的谱线间隔和带宽； （3）)(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比； （4）)(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。
数字信号处理课后答案第三章3
1e 4
1
(1)k
j k
1e 4
当 k 2,4,6,... 时，X%1(k) 0
序列2: X%2 (k)
2 j nk
e4
n0
j 3 k
1
e
4 j
k
1e 4
当 k 2,4,6,... 时，X%1(k) 0
序列3:
x%3(n) x%1(n) x%1(n 4)
故 f (n)中只有 n 5到 n 14的点对应于 x(n) y(n)
应该得到的点。
10. 已知两个有限长序列为
n 1, 0 n 3
x(n)
0,
4n6
y(n)
1,
1,
0n4 5n6
试用作图表示 x(n) ，y(n)以及 f (n) x(n) ⑦ y(n) 。
又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的
最少点数为 N 210 1024
x((n))5
x((n))6 x((n))6 R6 (n)
x((n 3))5 R5(n)
x((n))3 R3(n) x((n))7 R7 (n)
5. 试求以下有限长序列的N 点DFT（闭合形式表
达式）：
(2) x(n) anRN (n)
N 1
解：X (k) x(n)WNnk RN (k)
根据序列移位性质可知
X%3 (k )
X%1 (k )
e
j k X%1 (k )
(1
ej kΒιβλιοθήκη )1(1)k j k
1e 4
3傅立叶变换
第三章傅立叶变换第一题选择题1、连续周期信号f （t ）的频谱)(ωj F 的特点是 （4）（1）周期、连续频谱； （2）周期、离散频谱； （3）连续、非周期频谱； （4）离散、非周期频谱。
2、满足抽样定理条件下，抽样信号f s （t ）的频谱)(ωj F s 的特点是 （1）（1）周期、连续频谱； （2）周期、离散频谱； （3）连续、非周期频谱； （4）离散、非周期频谱。
3、信号的频谱是周期的离散谱，则原时间信号为 （2） 。
（1）连续的周期信号 （2）离散的周期信号 （3）连续的非周期信号 （4）离散的非周期信号4、已知f （t ）的频带宽度为Δω，则f （2t -4）的频带宽度为（ 1 ）（1）2Δω （2）ω∆21（3）2（Δω-4） （4）2（Δω-2）5、已知信号f （t ）的频带宽度为Δω，则f （3t -2）的频带宽度为（ 1 ）（1）3Δω （2）13Δω （3）13（Δω-2） （4）13（Δω-6）6、已知：1()F j ω=F 1[()]f t ，2()F j ω=F 2[()]f t 其中，1()F j ω的最高频率分量为12,()F j ωω的最高频率分量为2ω，若对12()()f t f t ⋅进行理想取样，则奈奎斯特取样频率s f 应为（21ωω>）:（ 3 ）（1）2ω1 （2）ω1+ω2 （3）2（ω1+ω2） （4）12（ω1+ω2）7、已知信号2()Sa (100)Sa (60)f t t t =+，则奈奎斯特取样频率f s 为（ 2 ）（1）π50（2）π120（3）π100（4）π608、信号f （t ）=Sa （100t ），其最低取样频率f s 为（ 1 ）（1）π100（2）π200（3）100π （4）200π9、若对f （t ）进行理想取样，其奈奎斯特取样频率为f s ，则对)231(-t f 进行取样，其奈奎斯特取样频率为（ 2 ）（1）3f s （2）s f 31 （3）3（f s -2） （4）)2(31-s f10、若=)(1ωj F F =)()],([21ωj F t f 则F =-)]24([1t f （ 4 ）（1）ωω41)(21j ej F - （2）ωω41)2(21j ejF --（3）ωωj e j F --)(1 （4）ωω21)2(21j ejF --第二题判断题1、若周期信号f （t ）是奇谐函数，则其傅氏级数中不会含有直流分量。
数字信号处理第三章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
周期
2
s、fs N
分辨率
2
N
fs N
返回
回到本节
DFT和DFS之间的关系：
周期延拓
取主值
有限长序列
周期序列
主值区序列
有限长序列 x(n) n 0,1, 2, M 1
周期序列 xN (n) x(n mN ) x((n))N m 0 n0 N 1 n mN n0 ((n))N n0
四种傅立叶变换
离散傅立叶变换（DFT）实现了信号首次在频域 表示的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理。 并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信 号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速 化。因而具有重要的理论意义和应用价值，是本课程 学习的一大重点。
本节主要介绍
3.1.1 DFT定义 3.1.2 DFT与ZT、FT、DFS的关系 3.1.3 DFT的矩阵表示
• X(k)为x(n)的傅立叶变换 X (e j ) 在区间 [0, 2 ]上的N
点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。
j ImZ
2பைடு நூலகம்3
4
5 6
1 2
N
k=0 ReZ
7 (N-1)
DFT与z变换
X(ejω)
X(k)
0
o
2
0
N 1 k
DFT与DTFT变换
回到本节
变量
、f k
之间的某种变换关系.
• 所以“时间”或“频率”取连续还是离 散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换 对。
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
时间域
t:连续
模拟域
信号与系统-第三章周期信号的傅立叶级数表示
7
结论：
❖ 复指数函数 est 、z n 是一切LTI系统的特征函
数。H (s)、H (z)分别是LTI系统与复指数信号相对
27
3.4 连续时间傅里叶级数的收敛
（Convergence of the Fourier series）
这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性 问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里 叶级数。
一. 傅里叶级数是对信号的最佳近似
若 x(t以) 为T0周期
x(t)
a e jk0t k
k
波分量。
例1：
x(t)
cos0t
1 2
e j0t
1 2
e j0t
11
显然该信号中，有两个谐波分量，
a1
为1相应分 2
量的加权因子，即傅立叶系数。
例2： x(t) cos0t 2cos30t
1 [e j0t e j0t ] e j30t e j30t 2
在该信号中，有四个谐波分量，即 k 1, 3,
14
例2 已知
f
(t)
1
sin
1t
2 cos1t
cos
21t
π 4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
化为指数形式
f (t) 1 1 2j
e e j1t j1t
e e j1t
j1t
1 2
e j21t
4
e j21t
4
1
1
1 2j
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N1 1 2 N k N
图：N1=2, N=10,20,40
3.5 连续时间傅立叶级数性质
x(t ) ak
FS
3.5.1 线性 FS FS ak y(t ) bk 若x(t),y(t)周期均为T, x(t ) FS Aak Bbk Ck 则：Z (t ) Ax(t ) By(t )
物理意义： 总平均功率=所有谐波的平均功率之和
3.6 离散时间福立叶级数性质 3.6.1 相乘
FS x[n] ak FS x [ n ] y [ n ] d k al bk l FS y[n] bk l N
周期卷积 • 计算
3.6.2 一次差分 x[n]-x[n-1]
k
结论：若连续(离散)时间LTI系统的输入 x(t)= ak es t x[n]= ak zk n k k 则 s t n a H ( z ) z a H ( s ) e k k k y(t)= k y[n]= k k k s,z可以是任意复数 j j s= ，z= e 时，即分别以 j n j t e 为基函数 e ——傅立叶分析
3.2 LTI系统对复指数信号的响应
复指数信号 e z 的重要性质 ： LTI系统对其的响应是同样的复指数信号 ，增 加幅度因子：即 e st →H(s) e st n z →H(z) z n n e st z ——LTI系统的特征函数 复振幅因子H(s)，H(z) ——系统的特征值
st
n
2
三角形式的傅立叶级数（实周期信号）
x(t ) c0 (an cos(n0t ) bn sin(n0t ))
n 1
1 c0 T0 2 an T0 2 bn T0
t0 T0
t0 t0 T0
x(t )dt x(t ) cos(n0t )dt x(t ) sin(n0t )dt
0
jk 2T t
k 0, 1, 2
2 T
其线性组合： jk t x(t ) ak e jk t ak e k k 2 也是周期的，基波周期 T 0 k 1 的两项基波频率为 0 ——基波分量或 一次谐波分量 k N 的两项基波频率为 N0 ——N次谐波分 量 上式即为周期信号的傅立叶级数表示
证明：LTI系统h(t).输入x(t)= e st y(t)= h( )x(t )d = h( )es (t ) d = est h( )e s d
H(s)= h( )e s d 若收敛， st 则y(t)=H(s) e 对离散LTI 系统 ， n k h [ k ] z H(z)= ,y[n]=H(z) z
0 2 N
k N
k N
k N
两边同乘 e 在N项上求和 …… 利用正交性 e
n N
n jr 2N
n jk 2N
N 0
k 0, N , 2 N 其余k
n jr 2 N
ar
1 N
n N
x[n]e
x[n] ak e jk0 n ak e jk N n k N k N n jk 2N jk0 n 1 1 N x[n]e ak N x[n]e n N n N
2
3.94 3.95
没有收敛问题 物理意义：周期信号可以分解为成谐波关 系的复指数信号的线性组合 ak ---频谱系数，共有N个，常为复数 反映x[n]中每一个谐波分量的相对大小 综合公式、分析公式
例：求 x[n] sin 0n 的频谱系数 2 解：仅当 整数或整数的比时， 0 x[n]是周期的。分两种情况： 2 （1）基波频率 0 N …… a1 21j a1 21j 一个周期内其余 ak 0 2 N （2） …… M 0 aM 21j a M 21j 一个周期内其余 ak 0
k
回顾第二章，系统的零状态响应： y(t ) x(t ) h(t ) x()h(t )d
y[n] x[n] h[n]
启示：如果 任意（或者是非常广泛的）信号都能分解 为某基本信号的线性组合 系统对基本信号的响应简单易求 则可方便地求出系统对任意输入信号的响应 ——解决方法之一：卷积法求系统响应 ？是否有其他的信号可作为基本信号 答： e j t e st e j n z n
k k
若x(t)为实偶信号？ 若x(t)为实奇信号 ？
* ak ak ak
ak 纯虚数，奇
3.5.7 连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理
1 T
T
x(t ) dt
2 T
2
k
ak
2
2
1 T
T
ak e
jk0t 2
1 dt T ak dt ak
——k次谐波的平均功率
0
jn0 t
n
T
0
T
连续时间周期信号傅立叶级数
物理意义：周期信号可以分解为成谐波关 系的复指数信号的线性组合 ak 傅立叶级数系数/频谱系数，常为复数 反映 x(t ) 中每一个谐波分量的相对大小 1 直流分量 a0 T x(t )dt
T
jk T t jk0t 1 1 ak T x(t )e dt T x(t )e dt T T jk 2T t jk0t ak e x(t ) ak e k k
t0 t0 T0
t0
3.3.3 傅立叶级数收敛的条件 两种表示： A. 一个周期内能量有限的信号,即
k
T
x(t ) dt
2
满足此条件，信号 x(t)与其傅立叶级数表示
ak e j0t
在能量上没有差别
B. 狄里赫利条件：
条件1：在任何周期内，x(t)绝对可积，即 条件2：在任意有限区间内，x(t)具有有限个 起伏变化. 条件3：在x(t)的任何有限区间内，只有有限 个不连续点，且在不连续点上函数值有限 满足这组条件的信号x(t)，在连续点上x(t)的 值等于其傅立叶级数表示，而在不连续点上， 傅立叶级数收敛于不连续点两边值的平均值
0 0
3.5.4 时域尺度变换 周期改变：x(t)周期为T， 则 x( t ) ( 为正实数)周期为 T FS FS x(t ) ak x(t ) ak 傅立叶系数没有改变，但傅立叶级数表示改 变，因基波频率改变
x( t )
k
ae
k
jk (0 ) t
~
3.4 离散时间周期信号的傅立叶级数表示 与连续时间信号的区别：离散---有限项级数， 连续---无穷级数 3.4.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合 2 周期信号：x[n]=x[n+N].基波频率 0 N 考虑 k [n] e jk n e jk ( ) n k 0, 1, 2 （1）谐波信号 （2）只有N个信号是不同的
例：
N1
0 N1 N
求频谱系数 解： ak
1 N
n N1
N1
e
n jk 2 N
在0…N-1一个周期中，
k0
k0
ak
ak
1 N
2 N1 1 N
1 e
(2 N 1) jk 2N 1
1 e
jk 2N
e
( N ) jk 2N 1
1 N
sin[2 k ] sin[ ]
第三章 周期信号的 傅立叶级数表示
3.1 引言
回顾第一章，由单位冲激的组合性质→ 信号可分解为单位冲激信号的加权积分或 加权和 x(t ) x(t ) (t ) x()(t )d
x[n] x[n] [n] x[k ][n k ]
3.5.5 相乘 若x(t)、y(t)周期都为T，且 则乘积的周期仍为T，且有：
FS x(t ) y(t ) hk
x(t ) ak
FS
FS y(t ) bk
l
ab
l k l
(卷积)
3.5.6 共轭及共轭对称性 FS x ( t ) ak 若 FS * * x ( t ) a k 则 （用综合公式证明） 对实信号 ？ a a*
T
x (t ) dt
例 x(t)=
a1 1 2j
sin 0t 求 ak
a1 1 2j
-1/2j -1 0 1
1/2j k
k 1, ak 0
1 x(t ) 0
-T
例：周期方波，在一个周期内
t T1 T T1 t 2
T 2 T1 T1
T=4T1
3.3.4 傅立叶级数的近似
用有限项的线性组合组合来表示原信号
x(t )
~ jk0t a e k M ~
Hale Waihona Puke 按均方误差最小准则，得k M
1 ak T
~
T
x(t )e jk0t dt
傅立叶级数系数与无限项组合的系数相同， 且与所取项数目无关
吉布森现象- x(t ) 存在“超量”，且与项数无 ~ 关 x(t ) 项数M越大， 越接近原信号：上升沿和下 降沿越来越陡，峰值位置越接近原信号的不 连续点——含有更多的高频分量
-1
1
2
1 2
解：回忆3.3节例
T 2
……
T
k 0,
a0
1 T
T 1