第3章__周期信号的FS
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0 2 N
k N
k N
k N
两边同乘 e 在N项上求和 …… 利用正交性 e
n N
n jr 2N
n jk 2N
N 0
k 0, N , 2 N 其余k
n jr 2 N
ar
1 N
n N
x[n]e
Fra Baidu bibliotek
x[n] ak e jk0 n ak e jk N n k N k N n jk 2N jk0 n 1 1 N x[n]e ak N x[n]e n N n N
~
3.4 离散时间周期信号的傅立叶级数表示 与连续时间信号的区别：离散---有限项级数， 连续---无穷级数 3.4.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合 2 周期信号：x[n]=x[n+N].基波频率 0 N 考虑 k [n] e jk n e jk ( ) n k 0, 1, 2 （1）谐波信号 （2）只有N个信号是不同的
3.3.2 连续时间周期信号傅立叶级数表示的确 定 jk t
x(t )
k
ak e
0
两边同乘以 e 此处有错 2 0 ~ T 从 积分…… 0 T k n T j ( k n ) t dt 利用 （正交性） 0 e kn 0 在任意一个T间隔内，有 a 1 x(t )e jn t dt
T
x (t ) dt
例 x(t)=
a1 1 2j
sin 0t 求 ak
a1 1 2j
-1/2j -1 0 1
1/2j k
k 1, ak 0
1 x(t ) 0
-T
例：周期方波，在一个周期内
t T1 T T1 t 2
T 2 T1 T1
3.2 LTI系统对复指数信号的响应
复指数信号 e z 的重要性质 ： LTI系统对其的响应是同样的复指数信号 ，增 加幅度因子：即 e st →H(s) e st n z →H(z) z n n e st z ——LTI系统的特征函数 复振幅因子H(s)，H(z) ——系统的特征值
st
n
N1 1 2 N k N
图：N1=2, N=10,20,40
3.5 连续时间傅立叶级数性质
x(t ) ak
FS
3.5.1 线性 FS FS ak y(t ) bk 若x(t),y(t)周期均为T, x(t ) FS Aak Bbk Ck 则：Z (t ) Ax(t ) By(t )
-1
1
2
1 2
解：回忆3.3节例
k
结论：若连续(离散)时间LTI系统的输入 x(t)= ak es t x[n]= ak zk n k k 则 s t n a H ( z ) z a H ( s ) e k k k y(t)= k y[n]= k k k s,z可以是任意复数 j j s= ，z= e 时，即分别以 j n j t e 为基函数 e ——傅立叶分析
0
jk 2T t
k 0, 1, 2
2 T
其线性组合： jk t x(t ) ak e jk t ak e k k 2 也是周期的，基波周期 T 0 k 1 的两项基波频率为 0 ——基波分量或 一次谐波分量 k N 的两项基波频率为 N0 ——N次谐波分 量 上式即为周期信号的傅立叶级数表示
t0 t0 T0
t0
3.3.3 傅立叶级数收敛的条件 两种表示： A. 一个周期内能量有限的信号,即
k
T
x(t ) dt
2
满足此条件，信号 x(t)与其傅立叶级数表示
ak e j0t
在能量上没有差别
B. 狄里赫利条件：
条件1：在任何周期内，x(t)绝对可积，即 条件2：在任意有限区间内，x(t)具有有限个 起伏变化. 条件3：在x(t)的任何有限区间内，只有有限 个不连续点，且在不连续点上函数值有限 满足这组条件的信号x(t)，在连续点上x(t)的 值等于其傅立叶级数表示，而在不连续点上， 傅立叶级数收敛于不连续点两边值的平均值
T 2
……
T
k 0,
a0
1 T
T 1
T 1
dt
2T 1 T
(占空比)
e
jk0t
k 0, ak
1 T
T1
T1
e
jk0t
dt
1 jk0T
T1
sin(k0T1 ) T1 k
0T1 sin(k0T1 ) 2T1 Sa(k0T1 ) k0T1 T
0 0
3.5.4 时域尺度变换 周期改变：x(t)周期为T， 则 x( t ) ( 为正实数)周期为 T FS FS x(t ) ak x(t ) ak 傅立叶系数没有改变，但傅立叶级数表示改 变，因基波频率改变
x( t )
k
ae
k
jk (0 ) t
3.5.5 相乘 若x(t)、y(t)周期都为T，且 则乘积的周期仍为T，且有：
FS x(t ) y(t ) hk
x(t ) ak
FS
FS y(t ) bk
l
ab
l k l
(卷积)
3.5.6 共轭及共轭对称性 FS x ( t ) ak 若 FS * * x ( t ) a k 则 （用综合公式证明） 对实信号 ？ a a*
3.5.2 时移 FS ak ， 若 x(t ) FS e jk t ak (模不变)(分析公式证 ) 则 x(t t0 ) 3.5.3 时间反转 FS x ( t ) ak ， 若 FS 则 x( t ) a k (由综合公式证） ak a k 偶函数的 ak ？ ak a k 奇函数的 ak ？
0 2 N
k [n] 的线性组合：
x[n]
k N
a [ n] a e
k k k N k
jk0 n
k N
ae
k
n jk 2N
<N>表示仅需在连续N个整数上取值 -----离散时间傅立叶级数 ak -----傅立叶级数系数 /频谱系数
3.4.2 离散周期信号傅立叶级数表示的确定 方法一：解联立方程组 方法二：类似连续时间 jk n x[n] ak k [n] ak e jk n ak e
T=4T1
3.3.4 傅立叶级数的近似
用有限项的线性组合组合来表示原信号
x(t )
~ jk0t a e k M ~
按均方误差最小准则，得
k M
1 ak T
~
T
x(t )e jk0t dt
傅立叶级数系数与无限项组合的系数相同， 且与所取项数目无关
吉布森现象- x(t ) 存在“超量”，且与项数无 ~ 关 x(t ) 项数M越大， 越接近原信号：上升沿和下 降沿越来越陡，峰值位置越接近原信号的不 连续点——含有更多的高频分量
物理意义： 总平均功率=所有谐波的平均功率之和
3.6 离散时间福立叶级数性质 3.6.1 相乘
FS x[n] ak FS x [ n ] y [ n ] d k al bk l FS y[n] bk l N
周期卷积 • 计算
3.6.2 一次差分 x[n]-x[n-1]
FS x[n] ak
x[n] x[n 1] (1 e
FS
jk 2 T
)ak
3.6.3 离散时间周期信号的帕斯瓦尔定理
1 N n N
x[n]
2
k N
ak
2
周期信号的平均功率 = 所有谐波分量平均功 率之和
3.7 举例 1、求频谱系数
g(t)
1 2
-2
2
三角形式的傅立叶级数（实周期信号）
x(t ) c0 (an cos(n0t ) bn sin(n0t ))
n 1
1 c0 T0 2 an T0 2 bn T0
t0 T0
t0 t0 T0
x(t )dt x(t ) cos(n0t )dt x(t ) sin(n0t )dt
例：
N1
0 N1 N
求频谱系数 解： ak
1 N
n N1
N1
e
n jk 2 N
在0…N-1一个周期中，
k0
k0
ak
ak
1 N
2 N1 1 N
1 e
(2 N 1) jk 2N 1
1 e
jk 2N
e
( N ) jk 2N 1
1 N
sin[2 k ] sin[ ]
第三章 周期信号的 傅立叶级数表示
3.1 引言
回顾第一章，由单位冲激的组合性质→ 信号可分解为单位冲激信号的加权积分或 加权和 x(t ) x(t ) (t ) x()(t )d
x[n] x[n] [n] x[k ][n k ]
2
3.94 3.95
没有收敛问题 物理意义：周期信号可以分解为成谐波关 系的复指数信号的线性组合 ak ---频谱系数，共有N个，常为复数 反映x[n]中每一个谐波分量的相对大小 综合公式、分析公式
例：求 x[n] sin 0n 的频谱系数 2 解：仅当 整数或整数的比时， 0 x[n]是周期的。分两种情况： 2 （1）基波频率 0 N …… a1 21j a1 21j 一个周期内其余 ak 0 2 N （2） …… M 0 aM 21j a M 21j 一个周期内其余 ak 0
k
回顾第二章，系统的零状态响应： y(t ) x(t ) h(t ) x()h(t )d
y[n] x[n] h[n]
启示：如果 任意（或者是非常广泛的）信号都能分解 为某基本信号的线性组合 系统对基本信号的响应简单易求 则可方便地求出系统对任意输入信号的响应 ——解决方法之一：卷积法求系统响应 ？是否有其他的信号可作为基本信号 答： e j t e st e j n z n
k k
若x(t)为实偶信号？ 若x(t)为实奇信号 ？
* ak ak ak
ak 纯虚数，奇
3.5.7 连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理
1 T
T
x(t ) dt
2 T
2
k
ak
2
2
1 T
T
ak e
jk0t 2
1 dt T ak dt ak
——k次谐波的平均功率
0
jn0 t
n
T
0
T
连续时间周期信号傅立叶级数
物理意义：周期信号可以分解为成谐波关 系的复指数信号的线性组合 ak 傅立叶级数系数/频谱系数，常为复数 反映 x(t ) 中每一个谐波分量的相对大小 1 直流分量 a0 T x(t )dt
T
jk T t jk0t 1 1 ak T x(t )e dt T x(t )e dt T T jk 2T t jk0t ak e x(t ) ak e k k
证明：LTI系统h(t).输入x(t)= e st y(t)= h( )x(t )d = h( )es (t ) d = est h( )e s d
H(s)= h( )e s d 若收敛， st 则y(t)=H(s) e 对离散LTI 系统 ， n k h [ k ] z H(z)= ,y[n]=H(z) z
k
k
3.3 连续时间周期信号的 傅立叶级数表示
3.3.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合 j t x ( t ) e 周期复指数信号 与正弦信号 x(t ) cos 0t 2 T 基波频率 0 ，基波周期
0
0
成谐波关系的复指数信号集：
k (t ) e
jk0t
e
k N
k N
k N
两边同乘 e 在N项上求和 …… 利用正交性 e
n N
n jr 2N
n jk 2N
N 0
k 0, N , 2 N 其余k
n jr 2 N
ar
1 N
n N
x[n]e
Fra Baidu bibliotek
x[n] ak e jk0 n ak e jk N n k N k N n jk 2N jk0 n 1 1 N x[n]e ak N x[n]e n N n N
~
3.4 离散时间周期信号的傅立叶级数表示 与连续时间信号的区别：离散---有限项级数， 连续---无穷级数 3.4.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合 2 周期信号：x[n]=x[n+N].基波频率 0 N 考虑 k [n] e jk n e jk ( ) n k 0, 1, 2 （1）谐波信号 （2）只有N个信号是不同的
3.3.2 连续时间周期信号傅立叶级数表示的确 定 jk t
x(t )
k
ak e
0
两边同乘以 e 此处有错 2 0 ~ T 从 积分…… 0 T k n T j ( k n ) t dt 利用 （正交性） 0 e kn 0 在任意一个T间隔内，有 a 1 x(t )e jn t dt
T
x (t ) dt
例 x(t)=
a1 1 2j
sin 0t 求 ak
a1 1 2j
-1/2j -1 0 1
1/2j k
k 1, ak 0
1 x(t ) 0
-T
例：周期方波，在一个周期内
t T1 T T1 t 2
T 2 T1 T1
3.2 LTI系统对复指数信号的响应
复指数信号 e z 的重要性质 ： LTI系统对其的响应是同样的复指数信号 ，增 加幅度因子：即 e st →H(s) e st n z →H(z) z n n e st z ——LTI系统的特征函数 复振幅因子H(s)，H(z) ——系统的特征值
st
n
N1 1 2 N k N
图：N1=2, N=10,20,40
3.5 连续时间傅立叶级数性质
x(t ) ak
FS
3.5.1 线性 FS FS ak y(t ) bk 若x(t),y(t)周期均为T, x(t ) FS Aak Bbk Ck 则：Z (t ) Ax(t ) By(t )
-1
1
2
1 2
解：回忆3.3节例
k
结论：若连续(离散)时间LTI系统的输入 x(t)= ak es t x[n]= ak zk n k k 则 s t n a H ( z ) z a H ( s ) e k k k y(t)= k y[n]= k k k s,z可以是任意复数 j j s= ，z= e 时，即分别以 j n j t e 为基函数 e ——傅立叶分析
0
jk 2T t
k 0, 1, 2
2 T
其线性组合： jk t x(t ) ak e jk t ak e k k 2 也是周期的，基波周期 T 0 k 1 的两项基波频率为 0 ——基波分量或 一次谐波分量 k N 的两项基波频率为 N0 ——N次谐波分 量 上式即为周期信号的傅立叶级数表示
t0 t0 T0
t0
3.3.3 傅立叶级数收敛的条件 两种表示： A. 一个周期内能量有限的信号,即
k
T
x(t ) dt
2
满足此条件，信号 x(t)与其傅立叶级数表示
ak e j0t
在能量上没有差别
B. 狄里赫利条件：
条件1：在任何周期内，x(t)绝对可积，即 条件2：在任意有限区间内，x(t)具有有限个 起伏变化. 条件3：在x(t)的任何有限区间内，只有有限 个不连续点，且在不连续点上函数值有限 满足这组条件的信号x(t)，在连续点上x(t)的 值等于其傅立叶级数表示，而在不连续点上， 傅立叶级数收敛于不连续点两边值的平均值
T 2
……
T
k 0,
a0
1 T
T 1
T 1
dt
2T 1 T
(占空比)
e
jk0t
k 0, ak
1 T
T1
T1
e
jk0t
dt
1 jk0T
T1
sin(k0T1 ) T1 k
0T1 sin(k0T1 ) 2T1 Sa(k0T1 ) k0T1 T
0 0
3.5.4 时域尺度变换 周期改变：x(t)周期为T， 则 x( t ) ( 为正实数)周期为 T FS FS x(t ) ak x(t ) ak 傅立叶系数没有改变，但傅立叶级数表示改 变，因基波频率改变
x( t )
k
ae
k
jk (0 ) t
3.5.5 相乘 若x(t)、y(t)周期都为T，且 则乘积的周期仍为T，且有：
FS x(t ) y(t ) hk
x(t ) ak
FS
FS y(t ) bk
l
ab
l k l
(卷积)
3.5.6 共轭及共轭对称性 FS x ( t ) ak 若 FS * * x ( t ) a k 则 （用综合公式证明） 对实信号 ？ a a*
3.5.2 时移 FS ak ， 若 x(t ) FS e jk t ak (模不变)(分析公式证 ) 则 x(t t0 ) 3.5.3 时间反转 FS x ( t ) ak ， 若 FS 则 x( t ) a k (由综合公式证） ak a k 偶函数的 ak ？ ak a k 奇函数的 ak ？
0 2 N
k [n] 的线性组合：
x[n]
k N
a [ n] a e
k k k N k
jk0 n
k N
ae
k
n jk 2N
<N>表示仅需在连续N个整数上取值 -----离散时间傅立叶级数 ak -----傅立叶级数系数 /频谱系数
3.4.2 离散周期信号傅立叶级数表示的确定 方法一：解联立方程组 方法二：类似连续时间 jk n x[n] ak k [n] ak e jk n ak e
T=4T1
3.3.4 傅立叶级数的近似
用有限项的线性组合组合来表示原信号
x(t )
~ jk0t a e k M ~
按均方误差最小准则，得
k M
1 ak T
~
T
x(t )e jk0t dt
傅立叶级数系数与无限项组合的系数相同， 且与所取项数目无关
吉布森现象- x(t ) 存在“超量”，且与项数无 ~ 关 x(t ) 项数M越大， 越接近原信号：上升沿和下 降沿越来越陡，峰值位置越接近原信号的不 连续点——含有更多的高频分量
物理意义： 总平均功率=所有谐波的平均功率之和
3.6 离散时间福立叶级数性质 3.6.1 相乘
FS x[n] ak FS x [ n ] y [ n ] d k al bk l FS y[n] bk l N
周期卷积 • 计算
3.6.2 一次差分 x[n]-x[n-1]
FS x[n] ak
x[n] x[n 1] (1 e
FS
jk 2 T
)ak
3.6.3 离散时间周期信号的帕斯瓦尔定理
1 N n N
x[n]
2
k N
ak
2
周期信号的平均功率 = 所有谐波分量平均功 率之和
3.7 举例 1、求频谱系数
g(t)
1 2
-2
2
三角形式的傅立叶级数（实周期信号）
x(t ) c0 (an cos(n0t ) bn sin(n0t ))
n 1
1 c0 T0 2 an T0 2 bn T0
t0 T0
t0 t0 T0
x(t )dt x(t ) cos(n0t )dt x(t ) sin(n0t )dt
例：
N1
0 N1 N
求频谱系数 解： ak
1 N
n N1
N1
e
n jk 2 N
在0…N-1一个周期中，
k0
k0
ak
ak
1 N
2 N1 1 N
1 e
(2 N 1) jk 2N 1
1 e
jk 2N
e
( N ) jk 2N 1
1 N
sin[2 k ] sin[ ]
第三章 周期信号的 傅立叶级数表示
3.1 引言
回顾第一章，由单位冲激的组合性质→ 信号可分解为单位冲激信号的加权积分或 加权和 x(t ) x(t ) (t ) x()(t )d
x[n] x[n] [n] x[k ][n k ]
2
3.94 3.95
没有收敛问题 物理意义：周期信号可以分解为成谐波关 系的复指数信号的线性组合 ak ---频谱系数，共有N个，常为复数 反映x[n]中每一个谐波分量的相对大小 综合公式、分析公式
例：求 x[n] sin 0n 的频谱系数 2 解：仅当 整数或整数的比时， 0 x[n]是周期的。分两种情况： 2 （1）基波频率 0 N …… a1 21j a1 21j 一个周期内其余 ak 0 2 N （2） …… M 0 aM 21j a M 21j 一个周期内其余 ak 0
k
回顾第二章，系统的零状态响应： y(t ) x(t ) h(t ) x()h(t )d
y[n] x[n] h[n]
启示：如果 任意（或者是非常广泛的）信号都能分解 为某基本信号的线性组合 系统对基本信号的响应简单易求 则可方便地求出系统对任意输入信号的响应 ——解决方法之一：卷积法求系统响应 ？是否有其他的信号可作为基本信号 答： e j t e st e j n z n
k k
若x(t)为实偶信号？ 若x(t)为实奇信号 ？
* ak ak ak
ak 纯虚数，奇
3.5.7 连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理
1 T
T
x(t ) dt
2 T
2
k
ak
2
2
1 T
T
ak e
jk0t 2
1 dt T ak dt ak
——k次谐波的平均功率
0
jn0 t
n
T
0
T
连续时间周期信号傅立叶级数
物理意义：周期信号可以分解为成谐波关 系的复指数信号的线性组合 ak 傅立叶级数系数/频谱系数，常为复数 反映 x(t ) 中每一个谐波分量的相对大小 1 直流分量 a0 T x(t )dt
T
jk T t jk0t 1 1 ak T x(t )e dt T x(t )e dt T T jk 2T t jk0t ak e x(t ) ak e k k
证明：LTI系统h(t).输入x(t)= e st y(t)= h( )x(t )d = h( )es (t ) d = est h( )e s d
H(s)= h( )e s d 若收敛， st 则y(t)=H(s) e 对离散LTI 系统 ， n k h [ k ] z H(z)= ,y[n]=H(z) z
k
k
3.3 连续时间周期信号的 傅立叶级数表示
3.3.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合 j t x ( t ) e 周期复指数信号 与正弦信号 x(t ) cos 0t 2 T 基波频率 0 ，基波周期
0
0
成谐波关系的复指数信号集：
k (t ) e
jk0t
e