平均变化率
变化率简介
变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。
例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。
拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。
即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。
利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。
平均变化率与瞬时变化率详解课件
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
2.1平均变化率与瞬时变化率(教学课件)——高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册
＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，
Δs 21.05
＝
＝210.5(m/s)．
Δt
0.1
Δs 10 20+Δt +5 20+Δt 2 −10×20−5×202
(2)∵ ＝
＝5Δt＋210，
Δt
Δt
Δs
当Δt趋于0时， 趋于210，
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
答案：D
Δs 5−3 1+Δt 2 − 5−3
解析： ＝
Δt
Δt
故选D.
＝－6－3Δt.
3．设某产品的总成本函数为C(x)＝1
2
100＋
，其中x为产量数，
1200
19
12
生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．
§1 平均变化率与瞬时变化率
要点一 平均变化率
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)
−
−
变为f(x2)，它的平均变化率为___________．通常我们把自变量的变
x2－x1
改变量
化________称作自变量x的________，记作________，函数值的变化
Δy 2Δx+ Δx 2
∴ ＝
＝2＋Δx.
Δx
Δx
故选C.
)
题型二 平均变化率的实际应用
例2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试
比较两人的速度哪个快？
解析：在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，
平均变化率的计算公式
平均变化率的计算公式Calculating the average rate of change is an essential concept in mathematics that is used to determine how a quantity changes over a specific interval. This calculation involves analyzing the difference in values of a variable over a given period and then dividing it by the change in time or another independent variable. By understanding the average rate of change, individuals can make informed decisions in various fields, such as economics, physics, and engineering.计算平均变化率是数学中一个重要的概念，用于确定某个数量在特定区间内的变化情况。
这种计算涉及分析一个变量在给定时间内的差异值，然后将其除以时间或其他独立变量的变化。
通过理解平均变化率，个人可以在各个领域做出明智的决策，如经济学、物理学和工程学。
In mathematics, the formula for calculating the average rate of change is (change in y) / (change in x). This formula represents how much the dependent variable y changes for a unit change in the independent variable x. By applying this formula to a set of data points, one can determine the overall trend or direction of the changes occurring in the system.在数学中，计算平均变化率的公式为（y变化）/（x变化）。
平均变化率及其几何意义
平均变化率及其几何意义
平均变化率是衡量投资或经济数据变化情况的一个重要参数。
它可以提供有关一段事件、投资等变化的全面概况，因此被经常用于估计重要的经济数据，以及评估投资收益的可靠性。
一、什么是平均变化率
平均变化率是衡量一段事件或投资的变化情况的数据，也叫做变化速率、变化率或百分比变化率。
它指的是从一组数据的开头到结尾之间，每个数据点间的平均改变值，以百分比来表示。
二、平均变化率的计算
平均变化率可以通过以下公式计算：
平均变化率 = (结尾数据值 - 开头数据值) / 开头数据值
例如，假设从某个时刻开始，某个基金投资组合的价值从100到200，那么这段时间内的平均变化率就是：（200-100）/100 = 100%。
三、平均变化率的几何意义
由于平均变化率反映的是数据的累计变化，它也具有几何意义。
如果一个投资组合在一定时间内的平均变化率为100%，那么这段时间的投资组合总体上就处于增长的趋势，那么投资组合的价值会两倍增长。
相反，如果平均变化率为-100%，则表示该投资组合所处的趋势是下降的，那么投资组合的价值会两倍下降。
四、平均变化率的用途
平均变化率可以用来比较不同的投资组合的表现，这样可以让投资者更好地抉择有潜力的投资组合。
此外，平均变化率还可以帮助投资者了解不同时间段投资价值的变化趋势。
五、总结
平均变化率是用于了解投资价值变化趋势的重要参数，它衡量一段时期内数据的各种变化方向，具有几何意义和应用价值。
尽管这一概念不是投资行情精准分析的最终答案，但是它有助于投资分析的可信度，使投资者更好地进行投资决策。
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明一、教学目标：1. 让学生理解平均变化率的定义及其几何意义。
2. 让学生掌握平均变化率的计算方法。
3. 让学生能够应用平均变化率解决实际问题。
二、教学内容：1. 平均变化率的定义2. 平均变化率的计算方法3. 平均变化率的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 教学难点：平均变化率的计算方法及应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 利用多媒体课件，直观展示平均变化率的图形，增强学生对概念的理解。
3. 开展小组讨论，让学生在合作中思考、交流，提高解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引出平均变化率的概念。
2. 讲解与演示：讲解平均变化率的定义，展示相关图形，让学生直观理解。
3. 自主学习：学生自主探究平均变化率的计算方法。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的方法，互相学习。
5. 练习与应用：布置练习题，让学生巩固所学知识，并应用到实际问题中。
6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考如何更好地运用平均变化率解决实际问题。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
教案说明：本教案以学生为主体，注重培养学生的自主学习能力、合作意识及解决问题的能力。
在教学过程中，充分利用多媒体课件，直观展示平均变化率的图形，有助于学生更好地理解概念。
通过生活中的实例，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
在练习与应用环节，注重让学生将所学知识运用到实际问题中，提高学生的数学素养。
本教案旨在让学生掌握平均变化率的知识，培养学生的数学思维能力。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问，了解学生对平均变化率定义的理解程度。
2. 练习题：收集学生的练习作业，评估学生对平均变化率计算方法的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生的合作能力和问题解决能力。
第1章 1.1.1 平均变化率
1．1 导数的概念 1．1.1 平均变化率学习目标 1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．知识点 平均变化率1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．特别提醒：在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在区间[x 1，x 2]上有意义．(2)在式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0.(3)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (4)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．1．平均变化率一定为正值．( × )2．函数的平均变化率为零，说明函数没有发生变化．( × ) 3．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )4．函数在区间上的变化速度与平均变化率的绝对值大小有关．( √ )一、实际问题中的平均变化率例1 (1)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T ＝120t ＋5＋15，其中T 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)，则t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率为_______℃/min. 答案 －1.6解析 ΔT Δt ＝T (10)－T (0)10－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12010＋5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫1200＋5＋1510＝－1.6(℃/min)，∴从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6℃/min.(2)某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率．解 前5年森林面积的平均变化率为6.5－2.55－0＝0.8(公顷/年)．后5年森林面积的平均变化率为14.5－6.510－5＝1.6(公顷/年)．反思感悟 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．跟踪训练1 某质点沿方程为y ＝f (x )＝5x 2＋3(x 表示时间，f (x )表示位移)的曲线运动，则该质点从x ＝10到x ＝11的平均速度等于________． 答案 105解析 因为f (x )＝5x 2＋3，则质点从x ＝10到x ＝11的平均速度为v ＝f (11)－f (10)11－10＝(5×112＋3)－(5×102＋3)11－10＝105.二、函数在某区间上的平均变化率例2 (1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率． 解 (1)函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为f (2.1)－f (2)2.1－2＝(3×2.12＋2)－(3×22＋2)0.1＝12.3.(2)函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－2)(－1)－(－2)＝[3×(－1)－2]－[3×(－2)－2](－1)－(－2)＝(－5)－(－8)－1＋2＝3.反思感悟 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x 2－x 1. (2)求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)． (3)求平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练2 (1)计算函数y ＝f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为： ①2；②1；③0.1；④0.01；(2)思考：当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)因为f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－12＝(Δx )2＋2Δx ， 所以f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(Δx )2＋2Δx Δx ＝Δx ＋2.①当Δx ＝2时，平均变化率Δx ＋2＝4， 即函数f (x )＝x 2在区间[1,3]上的平均变化率为4； ②当Δx ＝1时，平均变化率Δx ＋2＝3， 即函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为3；③当Δx ＝0.1时，平均变化率Δx ＋2＝2.1，即函数f (x )＝x 2在区间[1,1.1]上的平均变化率为2.1； ④当Δx ＝0.01时，平均变化率Δx ＋2＝2.01，即函数f (x )＝x 2在区间[1,1.01]上的平均变化率为2.01.(2)当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2. 三、函数平均变化率的应用例3 婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第________年增长较快．答案 一解析 ∵ΔW 1Δt 1＝11.25－3.7512－0＝0.625，ΔW 2Δt 2＝14.25－11.2524－12＝0.25， ∴ΔW 1Δt 1>ΔW 2Δt 2，故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快． 反思感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化速度越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化速度越慢．跟踪训练3 汽车行驶的路程S 和时间t 之间的函数图象如图所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系是______________．答案 v 3>v 2>v 1解析 v 1＝S (t 1)－S (t 0)t 1－t 0＝k OA ，v 2＝S (t 2)－S (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝S (t 3)－S (t 2)t 3－t 2＝k BC ，由图象知，k OA <k AB <k BC ， 所以v 3>v 2>v 1.1．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 B解析 平均变化率为1－33－1＝－1.故选B.2．一物体的运动方程是S ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3 D ．0.2 答案 B解析 v ＝S (2.1)－S (2)2.1－2＝7.2－70.1＝2.3．函数f (x )＝2x ＋4在区间[a ，b ]上的平均变化率为________． 答案 2 解析f (b )－f (a )b －a ＝(2b ＋4)－(2a ＋4)b －a ＝2(b －a )b －a＝2. 4．一个半径为r 的圆面，当半径增大Δr 时，面积S 的平均变化率为________． 答案 2πr ＋π·Δr解析 半径增大Δr 时，面积增加ΔS ＝π(r ＋Δr )2－πr 2 ＝π(Δr )2＋2πr ·Δr ，所以ΔS Δr ＝π(Δr )2＋2πr ·Δr Δr＝2πr ＋π·Δr .5．某市一天12小时内的气温变化图如图所示，则在区间[0,4]内温度的平均变化率为________ ℃/h.答案 －14解析 Δy Δx ＝f (4)－f (0)4－0＝－14(℃/h)．1．知识清单： (1)平均变化率．(2)平均变化率的几何意义及应用． 2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致出错．1．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 答案 B解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 2．已知函数f (x )＝x 2＋2，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 A解析 ∵f (3)＝11，f (1)＝3，∴该函数在区间[1,3]上的平均变化率为f (3)－f (1)3－1＝11－33－1＝4.3．某质点沿曲线运动的方程为f (x )＝－2x 2＋1(x 表示时间，f (x )表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6 答案 D解析 由题意得该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为f (2)－f (1)2－1＝－8＋1－(－2＋1)1＝－6.4．一根金属棒的质量y (单位：kg)是长度x (单位：m)的函数，y ＝f (x )＝3x ，则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( )A.25kg/m B.35kg/m C.34kg/m D.12kg/m 答案 B解析 从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是 f (9)－f (4)9－4＝3(9－4)9－4＝35(kg/m)．5．质点运动规律的方程是S ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]内，相应的平均速度是( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt答案 A解析 平均速度为(3＋Δt )2＋3－32－3Δt ＝6Δt ＋(Δt )2Δt＝6＋Δt .6．国庆黄金周7天期间，某大型商场的日营业额从1 300万元增加到4 100万元，则该商场国庆黄金周期间日营业额的平均变化率是______万元/天． 答案 400解析 日营业额的平均变化率为4 100－1 3007＝400(万元/天)．7．函数y ＝x 3＋2在区间[1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________. 答案 4解析 (a 3＋2)－(13＋2)a －1＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21.解得a ＝4或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝4.8．函数y ＝f (x )＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为________． 答案 －8－2Δx解析 ∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝－8－2Δx ，即平均变化率为－8－2Δx . 9．已知函数f (x )＝x 2＋3x 在[0，m ]上的平均变化率是函数g (x )＝2x ＋1在[1,4]上的平均变化率的3倍，求实数m 的值．解 函数g (x )在[1,4]上的平均变化率为g (4)－g (1)4－1＝9－33＝2.函数f (x )在[0，m ]上的平均变化率为f (m )－f (0)m －0＝m 2＋3mm ＝m ＋3.令m ＋3＝2×3，得m ＝3.10．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s 到0 m/s 花了5 s ，乙车从18 m/s 到0 m/s 花了4 s ，试比较两辆车的刹车性能． 解 甲车速度的平均变化率为0－255＝－5(m/s 2)．乙车速度的平均变化率为0－184＝－4.5(m/s 2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．11．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A ．3 B ．3Δx －(Δx )2 C ．3－(Δx )2 D ．3－Δx答案 D解析 ∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)＝3Δx －(Δx )2 ∴ΔyΔx＝3－Δx . 12．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度答案 BC解析 在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝s 0t 0，故A 错误，B 正确；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故C 正确，D 错误． 13．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值： t /min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c (t )/ (mg/mL) 0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服药后30～70 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为________mg/(mL·min)． 答案 －0.002 解析c (70)－c (30)70－30＝0.90－0.9840＝－0.002mg/(mL·min)．14．如图是函数y ＝f (x )的图象．(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为______； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．答案 12 34解析 (1)函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数y ＝f (x )的图象知， f (x )＝⎩⎨⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3，所以函数y ＝f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.15．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 答案 2解析 体积的增加量ΔV ＝4π3m 3－4π3＝4π3(m 3－1)，所以ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3，所以m 2＋m ＋1＝7，所以m ＝2或m ＝－3(舍)．16．圆柱形容器，其底面直径为2 m ，深度为1 m ，盛满液体后以0.01 m 3/s 的速率放出，求液面高度的平均变化率．解 设液体放出t 秒后液面高度为y m ， 则π·12·y ＝π·12×1－0.01t ， ∴y ＝1－0.01πt ，液面高度的平均变化率为 ΔyΔt ＝1－0.01π(t ＋Δt )－1＋0.01πtΔt ＝－0.01π，故液面高度的平均变化率为－0.01π.。
2.1平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练）（解析版）
2.1平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练）一、平均变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；例1：1．若函数()2f x x t =-，当1x m ≤≤时，平均变化率为2，则m 等于（ ）A ．5B ．2C ．3D ．1【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平均变化率的公式求解. 【详解】 解：由题得.故选：D2．求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率.【答案】320x ＋3x 0·Δx ＋(Δx )2【解析】 【分析】利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式求出即可. 【详解】当自变量从x 0到x 0＋Δx ，函数的平均变化率为00()()f x x f x x +∆-∆＝3300()x x x x +∆-∆ ＝23233000033()()x x x x x x x x +⋅∆+∆+∆-∆ ＝2300233()()x x x x x x⋅∆+∆+∆∆ ＝320x ＋3x 0·Δx ＋(Δx )2.举一反三：1．求函数223y x x =-+在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率.【答案】在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率分别为2312和2512.【解析】【分析】根据题意，由平均变化率的定义求出函数在两个区间上的平均变化率，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数2223(1)2y x x x =-+=-+，在区间23[12，2]的平均变化率为2223[(21)2][(1)2]23122312212y x -+--+==-， 在区间[2，25]12的平均变化率为2225[(1)2][(21)2]25122512212y x -+--+==-． 2．小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t 内所经过的距离为()2s t at =，求小球在时间段[]2,2h +内的平均速度. 【答案】4a ah + 【解析】 【分析】利用平均速度的定义直接可求. 【详解】因为小球在t 内所经过的距离为()2s t at =，所以在时间段[]2,2h +内的平均速度为()()()222222422s h s a h a a ah h h+-+⨯==++--.3．如图，直线l 为经过曲线上点P 和Q 的割线．(1)若(1,2)P ，(5,7)Q ，求l 的斜率；(2)当点Q 沿曲线向点P 靠近时，l 的斜率变大还是变小？ 【答案】(1)54(2)斜率变大 【解析】 【分析】（1）直接根据两点的斜率公式计算可得；（2）根据直线的倾斜角的变化及直线的斜率与倾斜角的关系判断即可； (1)解：因为(1,2)P ，(5,7)Q ，所以725514l k -==-； (2)解：当Q 沿曲线向点P 靠近时，直线的倾斜角α（锐角）在变大，又tan k α=，所以直线l 的斜率变大了；二．瞬时变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；当x ∆、△y 都趋向0时。
02 瞬时变化率与平均变化率
1 02 瞬时变化率与平均变化率
一．平均变化率——割线的斜率
平均变化率，是y 的增量与x 的增量的比。
例题：函数f (x )＝－2x ＋10在区间[－3，－1]内的平均变化率为________．
【解析】Δy Δx ＝f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)
＝－2. 二．瞬时变化率——切线的斜率
可以通过减小自变量的该变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率。
形象地理解为函数图像上某点处切线的斜率。
例题：一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是________m/s.
【解析】
t t t
t t t t t t t t t t t t S ∆++-=∆∆+∆⋅+∆-=∆+--∆++∆+-=∆∆21)(2)1()()(1222 当t ∆趋于0时，即为：瞬时速度t 21+-.因此物体在3 s 末的瞬时速度是5321=⨯+-m/s
你能区分瞬时变化率与平均变化率了吗？。
第一部分 第3章 3.1 3.1.1 平均变化率
3．1导数的概念3．1.1 平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：问题1：试比较时间x 从0 min 到20 min 和从20 min 到30 min 体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从20 min 到30 min 变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率．问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正、可负、可为零．1．平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．平均变化率与曲线变化关系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．对平均变化率的理解(1)由平均变化率的定义知，平均变化率可正、可负、可为零． (2)平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．[对应学生用书P36][例1] 已知函数f ((1)求函数f (x )在区间[1,1.1]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率． [思路点拨] 直接利用平均变化率的定义求解即可． [精解详析] (1)f (1.1)－f (1)1.1－1＝2×1.12－2×120.1＝0.420.1＝4.2.(2)f (2.01)－f (2)2.01－2＝2×2.012－2×220.01＝8.080 2－80.01＝0.080 20.01＝8.02.[一点通] 求函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤： 第一步：求x 2－x 1； 第二步：求f (x 2)－f (x 1)； 第三步：由定义得出f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.1.如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. (2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)342．求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解：在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大.[例2] 已知气球的体积为V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3.(1)求半径r 关于体积V 的函数r (V )；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 时半径r 的平均变化率，哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？[思路点拨] 首先由球的体积公式变形得到函数r (V )的解析式，再根据求平均变化率的步骤运算．[精解详析] (1)∵V ＝43πr 3，∴r 3＝3V 4π，r ＝ 33V 4π，∴r (V )＝ 33V4π.(2)函数r (V )在区间[0,1]上的平均变化率约为r (1)－r (0)1－0＝33×14π－01≈0.62(dm/L)． 函数r (V )在区间[1,2]上的平均变化率约为r (2)－r (1)2－1＝－ 33×24π－33×14π≈0.16(dm/L)．显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着体积的增加，气球的半径增加的越来越慢．[一点通] 平均变化率在实际问题中有很大作用，要把实际问题中的量与函数中的量对应起来，从而能利用平均变化率的定义来解决实际问题．3．已知某一细菌分裂的个数随时间t s 的变化满足函数关系式f (t )＝3t ＋1，分别计算该细菌在[1,2]，[3,4]，[5,6]时间段内分裂个数的变化率，由此你能得出什么结论？解：细菌分裂的个数在[1,2]内的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝32－3＝6， 细菌分裂的个数在[3,4]内的平均变化率为 f (4)－f (3)4－3＝34－33＝54. 细菌分裂的个数在[5,6]内的平均变化率为 f (6)－f (5)6－5＝36－35＝486. 由此得出随时间的增加，细菌分裂的个数增加速度越来越快． 4.某商户2017年上半年的销售收入如图所示：试说明该商户1月到2月和2月到6月的经营情况．解：1月到2月，销售收入的平均变化率为6－22－1＝4(万元/月)，2月到6月，销售收入的平均变化率为12－66－2＝1.5(万元/月)．因为4＞1.5，故可说明该商户1月到2月的销售情况较好，2月到6月销售迟缓．平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，平均变化率的绝对值反映了曲线在给定的区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，曲线在该区间上的变化越快；反之则慢．[对应课时跟踪训练(十五)]1．函数f (x )＝1x 在x ＝1到x ＝2之间的平均变化率为________．解析：f (2)－f (1)2－1＝12－11＝－12.答案：－122．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值：解析：c (70)－c (30)70－30＝0.90－0.9840＝－0.002.答案：－0.0023．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.解析：Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋1－(1＋1)1＋Δx －1＝2Δx ＋(Δx )2Δx ＝Δx ＋2.答案：Δx ＋24．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1.1,2.21)，则该曲线在[1,1.1]上的平均变化率为________．解析：2.21－21.1－1＝0.210.1＝2.1.答案：2.15．函数y ＝f (x )＝ln x ＋1从e 到e 2的平均变化率为________． 解析：因为Δy ＝f (e 2)－f (e)＝(ln e 2＋1)－(ln e ＋1)＝1，Δx ＝e 2－e ， 所以Δy Δx ＝1e 2－e .答案：1e 2－e6．已知自由落体运动的位移s (m)与时间t (s)的关系为s ＝f (t )＝12gt 2，计算t 从3秒到3.1秒、3.001秒、3.000 1秒各段时间内的平均速度(g ＝9.8 m/s 2)．解：设Δt ＝(t ＋d )－t 指时间改变量，Δs ＝f (t ＋d )－f (t )指位移改变量． 则Δs ＝f (t ＋d )－f (t )＝12g (t ＋d )2－12gt 2＝gtd ＋12gd 2，v ＝Δs Δt ＝gtd ＋12gd 2d ＝gt ＋12gd ，所以t 从3秒到3.1秒的平均速度v ＝29.89(m/s)； t 从3秒到3.001秒的平均速度v ＝29.404 9(m/s)； t 从3秒到3.000 1秒的平均速度v ＝29.400 49(m/s)．7．路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上射影点C 沿某直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率．解：(1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BECD ，即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x .(2)在[0,10]上身影的平均变化率为： f (10)－f (0)10－0＝14×10－14×010＝14.即人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率为14.8．若函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ，所以由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又因为Δx ＞0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞)．。
课件3：1.1.1 函数的平均变化率
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
平均变化率公式
平均变化率公式
平均变化率，是y的增量与x的增量的比，可以用来观察函数的变化速度以及函数是怎样变的。
在学习导数之前也可以先学习平均变化率，为后来学习导数做铺垫。
平均变化率公式：Δy=f(x+Δx)-f(x)。
平均变化率是y的增量与x的增量的比，可以用来观察函数的变化速度以及函数是怎样变的。
在学习导数之前也可以先学习平均变化率，为后来学习导数做铺垫。
导数也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明一、教学目标1. 让学生理解平均变化率的定义及其几何意义。
2. 引导学生掌握平均变化率的计算方法。
3. 培养学生运用平均变化率解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 平均变化率的定义2. 平均变化率的计算方法3. 平均变化率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 教学难点：平均变化率的计算方法。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究平均变化率的定义和计算方法。
2. 利用几何图示法，帮助学生理解平均变化率的意义。
3. 运用实例分析法，让学生学会运用平均变化率解决实际问题。
五、教学准备1. 教学课件：平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 练习题：包括不同类型的题目，以便巩固所学知识。
教案说明：本教案以学生理解为出发点，通过问题驱动、几何图示和实例分析等教学方法，让学生掌握平均变化率的定义、计算方法及其应用。
在教学过程中，注意引导学生主动参与、积极思考，培养学生的数学思维能力。
教学过程分为三个部分：1. 引入：通过实例引导学生关注变化率的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解平均变化率的定义、计算方法，并结合几何图示帮助学生理解。
3. 应用：运用实例分析，让学生学会运用平均变化率解决实际问题。
在教学过程中，关注学生的学习情况，及时进行反馈和调整教学方法，以确保教学效果。
布置练习题，让学生在课后巩固所学知识。
六、教学步骤1. 引入：通过一个实际问题，如物体运动的速度与时间的关系，引导学生关注变化率的概念。
2. 讲解：讲解平均变化率的定义，即物体在某段时间内的位移与时间的比值。
通过几何图示，如直线、曲线，帮助学生理解平均变化率的几何意义。
3. 计算：讲解平均变化率的计算方法，即求解位移关于时间的导数。
给出具体的计算示例，让学生跟随步骤进行计算。
4. 应用：运用实例分析，让学生学会运用平均变化率解决实际问题。
例如，分析物体在不间段的平均速度，或者计算物体在某段时间内的平均加速度。
函数的平均变化率
例1．求函数y=x2在区间[x0，x0+△x] (或[x0+△x，x0])的平均变化率。
解：函数y=x2在区间[x0，x0+△x] (或
f(x0 x)f(x0)[(x 0x+0△ x ， x 0x ] ))的2平 均x 变0 2 化 率 为
x
x
2x0 x
由上式可以看出，当x0取定值时，△x取不同的值， 函数的平均变化率不同，当△x取定值，x0取不同 的值时，该函数的平均变化率也不一样。 例如，x0取正值，并不断增大时，该函数的平均变 化率也不断地增大，曲线变得越来越陡峭。
许多小段，每一小段的山坡可视为平直
的。例如，山坡DE可近似的看作线段
DE，再用对平直山坡AB分析的方法，
得到此段山路的陡峭程度可以用比值近
似y地刻画。f (xk1) f (xk)
x
xk1 xk
y
x
注意各小段的 是不尽相同的。但不管是哪
一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、
终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值
来度y量。 f (xk1) f (xk)
x
xk1 xk
由此我们引出函数平均变化率的概念。
函数平均变化率的概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是
其定义域内不同的两点，记△x=x1－x0，
△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－
f(x0).
则当△x≠0时，商
f(x0x)f(x0)y
一质点运动的方程为s=1－2t2，则在
一段时间[1，2]内的平均速度为
（）
○ A．－4
B．－8
○ C． －6
D．6
C
三．将半径为R积增加△S等于（ 8 ） R R4 R2
初中数学 反比例函数的平均变化率为什么是常数
初中数学反比例函数的平均变化率为什么是常数反比例函数的平均变化率为常数的原因是反比例函数的性质决定了它的变化率始终保持恒定。
反比例函数的一般形式为y = k/x，其中k 是非零常数。
我们可以计算反比例函数在某一区间上的平均变化率。
设区间上的两个点为(x1, y1) 和(x2, y2)，其中x1 ≠ x2。
那么平均变化率可以表示为：平均变化率= (y2 - y1) / (x2 - x1)代入反比例函数的表达式，得到：平均变化率= (k/x2 - k/x1) / (x2 - x1)化简上式，得到：平均变化率= k * (1/x2 - 1/x1) / (x2 - x1)我们知道，1/x2 - 1/x1 可以写成一个分数的形式：1/x2 - 1/x1 = (x1 - x2) / (x1 * x2)将其代入平均变化率的表达式中，得到：平均变化率= k * (x1 - x2) / (x1 * x2 * (x2 - x1))可以看出，分子k * (x1 - x2) 是一个常数，而分母x1 * x2 * (x2 - x1) 不等于零（因为x1 ≠ x2）。
因此，平均变化率= 常数/ 非零数= 常数这就意味着反比例函数的平均变化率是一个常数。
无论我们选择哪两个点来计算平均变化率，结果始终是相同的。
这是因为反比例函数的性质决定了它的变化率始终保持恒定。
总结起来，反比例函数的平均变化率是一个常数。
这是由于反比例函数的性质决定了它的变化率始终保持恒定。
这个常数可以通过计算两个点之间的差异来确定，并且无论选择哪两个点，结果始终相同。
这个特性使得反比例函数在一些实际问题中具有重要的应用价值。
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江苏省盱眙中学高二数学组张勇
平均变化率
【创设情境】
1.同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢,这种现象我们如何去解释
呢!
2.请观察教材中图，随着时间的推移，气温的变化趋势；从图中我们可以看出：在整个区间[1，32]这个31天内，气温仅仅上升了15.1；0问题1：平均每小时上升了多少度？而在区间[32，34]这两天内，气温就上升了14.80，
问题2：平均每小时上升了多少度？
我们把这个比值叫做在给定的区间上的平均变化率;
虽然A，B之间的温差与点B，C之间的温差几乎不同，但它们的平均变化率却相差很大；因此我们可以利用平均变化率的大小来刻画变量平均变化的趋势，快慢程度；
问题3：观察这个比值与这两点连线斜率之间有什么关系？
【探索研究】
1、平均变化率：
f(x)?f(x)12上的平均变化率为[x一般地，函数f(x)在区间,x]21x?x12点拨：?xxx??○x?,1本质：如果函数的自变量的“增量”为相应的函数值的“增量”为,且12f(x)?f(x)y?21?)f(x)f?y?(x?xx?xx?x)(fxy?到,则函数,
从的平均变化率为122121．
江苏省盱眙中学高二数学组张勇
○；连线的斜率（割线的斜率）2几何意义：两点)) ))，(x，f(x(x，f(x1122○，或说在某个区平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢）3间上曲线陡峭的程度；
课件展示平均变化率；
【例题评析】
2+2x，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率1：已知函数f(x)=x; 例1.[1，2] 2. [3，4] 3. [－1，1]
?y; ，求2＋△y））及邻近一点B（1＋△x，的图象上取一点变题1：在曲线y=x2+1A（1,2
?x f(x)=2x+1,
：已知函变题2 的平均变化率；-1]，[0，5]上函数f(x)1.分别计算在区间[-3，上的平均变化率的特点；探求一次函数y=kx+b在区间[m，n]2.1x?)f(x?y内的平均变化率在区间[1,1+]变式3:
求函数x反思：曲线上两点的连线（割线）的斜率即为函数f(x)在区间[x，x]上的BA f(x)?f(x)AB平
均变化率；x?x AB12：自由落体运动的物体的位移s（单位:s）与时间t（单位：sgt(g是例3）之间的关系是：s(t)=2重力加速度)，求该物体在时间段[t，t]内的平均速度；21
【反馈练习】
???????1.0,,上的平均变化率，并比较大小；在区间y=sinx 和试比较正弦函数???? 362????23ax)?f(x f(x)在区间[-2,-1]则在区间[1,2]上的平均变化率为上的平均变化2.练习:
已知函数,率为( )
?23? D.-3 C.-2 B. A.
江苏省盱眙中学高二数学组张勇
3.在高台跳水运动中,运动员相对于水面高度与起跳的时间t的函数关系为
2(a?0,b??c?bt?at0)h(t),则( )
bbbbbb)?h(0)h()?h()h()?h(0)h()?h()h(aa2a2a2a2a??A. B.
bbbbbb???0?0
aaa22aa2a2b(0)?hh()b a?t0?0?这段时间内处于静止状态 D.C. 运动员在b a0?a4.A、B两船从同一码头同时出发,A船向北,B船向东,若A 船的速度为30km/h,B船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t,t]上,A,B两船间距离变化的平均速度为_______
21【课堂小结】
1、平均变化率的概念；
如何求平均变化率；、 2 3、平均变化率的几何意义；。