计数原理复习课习题课共36页
数学：第一章《计数原理》复习课件(人教A版2-3)
门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则 不同的选法共有( A．30种 C．42种 ) B．35种 D．48种
[解析]
分两类：①选A类选修课2门，B类选修课1门，有
C32·C41＝12(种)； ② 选 A类 选修 课 1 门 ，B类 选 修 课2 门 ， 有 C31·C42 ＝ 3×6 ＝ 18(种)， 共有12＋18＝30(种)． [答案] A
题中的应用．这里应该注意两点：一是集合M中的每个元素可作为 同一点的横、纵坐标；二是第(3)问用逆向求解的间接法．
[课堂记录]
(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：
第一步确定a的值，共有6种确定方法；
第二步确定b的值，也有6种确定方法．
根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6×6＝36. (2)确定第二象限的点，可分两步完成： 第一步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；
答案：8
热点之一
分类加法计数原理
分类加法计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来 的基本规律．从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决 问题就是将一个复杂问题分解为若干“类别”，先分类解决，各 个击破，再将其整合，得出原问题的答案．运用该原理解决问题 的突破口是明确什么是“完成一件事”．
[例1] 多少个？
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理 分析和解决一些简单的实际问题.
1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方 法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，…，在第n类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ (m1＋m2＋…＋mn) 种 不 同的方法．
计数原理课件-2025届高三数学一轮复习
式共有A22 A33 C21 ＝24种，故选B.
答案 （1）B
目录
பைடு நூலகம்
｜解题技法｜
解排列、组合问题要遵循的2个原则
（1）按元素（位置）的性质进行分类；
（2）按事情发生的过程进行分步.
具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素
（位置），再考虑其他元素（位置）.
目录
学习评测1
1.将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践
目录
学习评测2
2022年4月22日是第53个世界地球日，某学校开展了主题为“珍爱地球，人与自
然和谐共生”的活动.该校5名学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少
分配一人，每人只能去一个社区宣传，则不同的安排方案共有 （
A.60种
B.90种
C.150种
D.300种
）
解析 （2）先将5名学生分为三组，分组情况为2，2，1或3，1，1，不同的分
m
（n－
n ＝n（n－1）·
公式
性质
!
2）…（n－m＋1）＝
(−)!
nn ＝n！，0！＝1
(−1)(−2)…(−+1)
m
n ＝ ＝
m!
m
n0 ＝1，nm ＝nn−m ，nm ＋nm−1 ＝n+1
目录
｜解题技法｜
1.利用两个计数原理解决问题的一般步骤
同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m＋
n 种不同的方法；
（2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的
计数原理复习课习题课共38页文档
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
计数原理复习课习题课
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
复习课(一) 计数原理
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[类题通法] 求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第 r＋1 项，再由特 定项的特点求出 r 值即可．
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数 项，再由通项公式写出第 r＋1 项，由特定项得出 r 值，最后求出 其参数．
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2．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出 3 个不同的数，使这 3 个数
成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3
B．4
C．6
D．8
解析：以 1 为首项的等比数列为 1，2，4；1，3，9.
以 2 为首项的等比数列为 2，4，8.
以 4 为首项的等比数列为 4，6，9.
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2．(2019·浙江高考)在二项式( 2＋x)9 的展开式中，常数项是________， 系数为有理数的项的个数是________． 解析：由二项展开式的通项公式可知 Tr＋1＝Cr9·( 2)9－r·xr，r ∈N,0≤r≤9， 当为常数项时，r＝0，T1＝C09·( 2)9·x0＝( 2)9＝16 2. 当项的系数为有理数时，9－r 为偶数， 可得 r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是 5. 答案：16 2 5
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[考点精要] 计数原理 (1)分类加法计数原理：N＝n1＋n2＋n3＋…＋nm； (2)分步乘法计数原理：N＝n1·n2·n3·…·nm．
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[典例] 如图所示，花坛内有五个花
10.1 计数原理复习课
如果完成一件事情有n类不同的办法，在每
一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计 数呢？
分类计数原理
有n 类办法
共有多少种不同的方法
第 1 类办法中
有 k1 种不同的方法
完
成
第 2 类办法中
一 件
有 k2 种不同的方法
事
……
N＝k1＋k2＋…＋kn
第 n 类办法中 有 kn 种不同的方法
动脑思考 探索新知
课堂练习
2.书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有7本不 同的英语书，第三层有10本不同的语文书，现从书架 第一层、第二层、第三层各取一本书，共有多少种不 同的方法？
解：从书架１,２,３层各取一本,可以分成三个步骤完成： 第一步从第1层取1本数学书，有6种方法， 第二步从第2层取1本英语书，有7种方法， 第三步从第3层取1本语文书，有10种方法， 根据分步计数原理，得不同的取法有：
分析: 从重庆到西昌有2类方法,
火车1 火车2
Ⅰ.乘火车，3种方法;
火车 3
Ⅱ.乘汽车，2种方法; 重庆
汽车1
西昌
汽车2
所以 从重庆到西昌共有 3 + 2 = 5 种不同方法。
［延伸］：
如果重庆到西昌，除了３班火车２班汽车外还有 ２班飞机，那么王先生有多少种不同的走法呢？
共有： 3+2+2=7 种
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法 根据分步计数原理，最多可以有
授课教师：游彦
问题1: 重庆的王先生 想到西昌现场观看嫦 娥一号卫星的发射， 从重庆到西昌可以乘 坐火车或者汽车，一 天中，火车有３班， 汽车有２班，问从重 庆到西昌共有多少种 不同的走法?
第一章计数原理复习课(复习课)
种数
符号 计算 公式 关系
所有排列的的个数
An
m
所有组合的个数
Cn
Cn
m
m
m
An n(n 1) (n m 1)
An
m
n( n 1) ( n m 1)
n! ( n m)!
An n !
m
n
0! 1
m
Cn
m
n!
m!
性质
区别
An
m
Cn Am
m
m!( n m )! m
m
Cn 1
0
A n n A n 1
先选后排
m 1
Cn Cn
n m
C n1 C n C n
m
m 1
只选不排
解排列组合问题遵循的一般原则: 1.有序---- 排列; 无序--- 组合 2. 分类--- 加法 ; 分步--- 乘法 3. 既有分类又有分步: 先分类再分步 4. 既有排列又有组合: 先选后排 5. 先 特殊后一般 6. 正难则反 7.分类 要不重不漏
练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
60
要考虑“钻石圈”可以翻转的特点
设六颗颜色不同的钻石为a,b,c d,e,f.与围桌 而坐情形不同点是a,b,c,d,e,f与f,e,d,c,b,a在 围桌而坐中是两种排法，即在钻石圈中只 是一种排法,即把钻石圈翻到一边,所求数 为：[(6－1)!]/2＝60
排列组合、二项式定理 复习课
一、两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
做一件事，完成它可以有n类办法， 第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法…， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法
计数原理阶段复习课课件
【解析】(1)分两类：第一类，a，b均不为零，a，b的取值 共有4×3=12种方法． 第二类：a,b中有一个为0，则不同的直线仅有两条x＝0和y ＝0. 所以共有不同直线12+2=14条． 答案：14
(2)第一步选英语角所用彩色粉笔，有6种不同的选法；第二 步选语文学苑所用彩色粉笔，不能与英语角所用颜色相同， 有5种不同的选法； 第三步选理综世界所用彩色粉笔，与英语角和语文学苑所用 颜色都不能相同，有4种不同的选法； 第四步选数学天地所用彩色粉笔，只需与理综世界的颜色不 同即可，有5种不同的选法. 共有6×5×4×5=600种不同的书写方案.
(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任 务．步与步之间要相互独立．必须并且只需连续完成这些步 骤后，这件事才算最终完成．
【典例1】(1)若直线方程ax＋by＝0中的a,b可以从0,1,2,3,5 这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直 线一共有______条． (2)用6种不同的彩色粉笔写黑板报， 黑板报设计如图所示，要求相邻区 域不能用同一种颜色的彩色粉笔， 该板报有多少种书写方案？
【解析】(1)选C.甲、乙相邻的所有方案有 A22A66＝(1种44)0； 其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多，各有 A22A55＝(2种40)，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有 A22A44＝(种48)，故符合题设要求的不同安排方案有1 440－ 2×240＋48＝1 008(种)，故选C.
5
x
Tr＋1＝C5r
(16 5
x
2
)5－r
(
1 x
) r＝(16 )5－r 5
C5r
x
205r 2
.
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第5章 计数原理 习题课——计数原理的综合应用
是“分类”问题
“分步”问题
区别二
各种方法相互独立
各个步骤中的方法互相依存
区别三
任何一种方法都可以完成 只有各个步骤都完成才算完成这
这件事
件事
2.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其 中奇数的个数为( ).
A.24 B.18 C.12 D.6 解析:由题意知,分为两类:“奇偶奇”和“偶奇奇”. 第1类是“奇偶奇”时,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有2种选择,有 3×2×2=12个奇数; 第2类是“偶奇奇”时,个位有3种选择,十位有2种选择,百位不能选0,有1种选 择,有3×2×1=6个奇数. 由分类加法计数原理,得共有12+6=18个奇数. 答案:B
项冠军归属结果有4种可能,3项冠军则有4×4×4=43种可能结果.故选A.
答案:A
“mn”或“nm”型问题的求解策略:关键在于搞清楚要以谁为主来研究问题,弄 清楚哪类元素必须用完,就以它为主进行分析,再用分步乘法计数原理求解.
【变式训练1】 5名同学去参加同时进行的4个课外知识讲座,每名同学可 自由选择,则不同的选择种数是( ). A.54 B.5×4×3×2 C.45 D.5×4 解析:每名同学有4种选择,由分步乘法计数原理可得5名同学就有 4×4×4×4×4=45种选择,故不同的选择种数是45. 答案:C
1.处理计数原理的综合问题,一般先分类,再分步.即先确定分类标准和类数, 再逐类分步计算,最后利用分类加法计数原理求得结果. 2.注意题目中的隐含条件——“多面手”的归类.
【变式训练】 在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋 但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋.现在从这7人中选2人分别同 时参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选法? 解:分为两类:第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,这时7 人中还有4人会下围棋,从中选1名参加围棋比赛,有3×4=12种选法; 第2类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,这时7人 中还有3人会下围棋,从中选1名参加围棋比赛,有2×3=6种选法. 由分类加法计数原理,知不同的选法共有N=12+6=18种.
第7章计数原理复习课件-湘教版数学选修2-3
Δ≥0， 负半轴有两个交点，则必须满足－ba＜0， ac＞0，
⇒ab，2－b4，acc≥同0号，， 即 b＝3，a，c 在
1,2 中取，有 2 条，由分类加法计算原理可得，共有 18＋6＋2＝26(条)．
1．如图为电路图，从 A 到 B 共有________条不同的线路可通电．
解析：先分三类．第一类，经过支路①有 3 种方法；第二类，经过支路②有 1 种方法； 第三类，经过支路③有 2×2＝4(种)方法，所以总的线路条数 N＝3＋1＋4＝8. 答案：8
专题三 二项式定理及其应用 (1)二项式定理揭示了二项展开式在项数、系数以及各项中的指数等方面的联系． (2)求二项展开式中的特定项或特定项的系数是高考考查二项式定理的主要题型之 一．解这类问题的关键是弄清楚待求解的特定项是哪一项，这一项如何计算，基本方 法就是根据题目的要求和二项展开式的通项列出方程，通过解方程找到是哪一项，然 后再根据二项展开式的通项进行计算． (3)赋值法是解决有关二项式展开式中系数问题的有力工具，作为一种常用方法，在 考查中也时常出现，应熟练掌握．
3．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班
级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数有( )
A．6
B先把 4 名学生分两组有CA24C22 22＝3(种)．然后再把这两组给这 6 个班中的两个班 有 A26＝30(种)，根据分步乘法计数原理得不同的安排方案种数有 3×30＝90(种)．
答案：D
4．袋中有大小相同的 4 个红球和 6 个白球，从中取出 4 个球． (1)若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？ (2)取出一个红球记 2 分，取一个白球记 1 分，若取出 4 球的总分不低于 5 分，则有 多少种不同的取法？ 解析：(1)可分三类：有 4 红、3 红 1 白、2 红 2 白，则有不同的取法有 C44＋C34C16＋ C24C26＝115(种)． (2)取 4 球的总分不低于 5 分转化为至少有一个红球被取即可． 解法一(直接法) C14C36＋C24C26＋C34C16＋C44＝195(种)． 解法二(间接法) C410－C46＝195(种)．
计数原理课件-2024届高三数学一轮复习
由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有5×4 ×3×3×3＝540(种)， 所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共 有180＋540＝720(种).
两个计数原理的综合应用
有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若
从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是
A.14
B.23
C.48
D.120
√
分两步：第1步，取多面体，有5＋3＝8(种)不同的取法； 第2步，取旋转体，有4＋2＝6(种)不同的取法.所以不同的取法种数是 8×6＝48.
对于A，A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践， 每个学生有4种选法，则三个学生有4×4×4＝43(种)选法，故A正确； 对于B，三人到4个工厂，有43＝64(种)情况，其中甲工厂没有人去， 即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33＝27(种)， 则甲工厂必须有同学去的安排方法有64－27＝37(种)，故B正确； 对于C，若同学A必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可， 有42＝16(种)安排方法，故C错误； 对于D，若三名同学所选工厂各不相同，有4×3×2＝24(种)安排方法， 故D正确.
1.已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种
数为
A.16
B.13
√C.12
D.10
将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走 法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，不同走法共有4×3＝12(种).
2.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要
设 I ＝ {1,2,3,4} ， A 与 B 是 I 的 子 集 ， 若 A∩B ＝ {1,2} ， 则 称 (A ， B) 为 一 个 “理想配集”.若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此 条件的“理想配集”有__9___个.
计数原理复习课课件高二下学期数学人教A版选择性
错因：全不相邻与不全相邻混淆，不全相邻包含两种情况：互不相邻和 2 人相邻.
例1:某课外活动小组共7人，其中男生3名、女生4名，并且男、女生各有 一名队长.
（3）排成一列时，3名男生按照从矮到高站队的排法有多少种？
解析：方法一（倍缩法/消序法）
7 人排成一列时，有 A77 种方法，其中 3 名男生之间的排列顺序共有 A33 种，按照从矮到高站
（5）现从中选派3人参加社区服务，要求两名队长当选，有多少种不同的 方案？
解析：从7人中选派3人参加社区服务，两名队长当选，只需从余下5人中任意选 取1人，有 C51 种，共有 C22 C51=5 种.
小结：无序问题用组合；
例1:某课外活动小组共7人，其中男生3名、女生4名，并且男、女生各有 一名队长.
两个计数原理
排列，排列数公式 组合，组合数公式
应用
二项式定理
任务二：要点归纳 问题1：两个计数原理分别是什么？它们的联系与区别是什么？
1）分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法.那么完成这件事共有 N m n种不同的方法.
练 习 ： 从0，1，2，3，4，5，6中任取两个奇数和两个偶数，可组成没有重复数字
的四位数有 （ ）
A.72个
B.378个
C.432个
D.840个
分析：本题中0比较特殊：既是偶数，又不能排在首位，故本题可从偶数中是否 包含0进行分类.
解析：本题中奇数：1,3,5，偶数：0,2,4,6，共3奇4偶，要从中任取2奇2偶.
排法，共有 A66 +A51 A51 A55 =3720 种.
计数原理复习PPT
回
顾
一所2名，一所3名，则有
种不同的分法．
课 后
限
(2)把8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则不同
时 集 训
课 堂
的放法种数为(
)
考
点 探 究
A．35
B．70
C．165
D．1 860
返 首 页
33
课 前
本题属于不等分问题，只需先分组，后排列，注意分
自
主
回 顾
组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
时 集
训
课 堂
用一天，则不同的用车方案种数为(
)
考
点 探 究
A．64
B．80
C．96
D．120
返 首 页
17
考点2 排列问题
课 前
求解排列应用问题的6种常用方法
自
主 回
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
顾
课
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
后 限
时
集
相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排 训
课
后
1.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，
限 时
集
每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )
训
课
堂
考 点
A．18种
B．24种
探
究
C．36种
D．72种
返 首 页
34
课
2．(2019·唐山二模)将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校
前
自 主
任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教
回
高中数学《第一章计数原理复习参考题》297PPT课件
廊坊八中 张玉侠
学习目标
❖ 1、通过典型例题的复习进一步体会二项式定 理的广泛应用，并渗透 “逻辑推理” “数学 运算”等核心素养。
❖ 2.通过习题练习体现 “数学抽象” “数据分 析”等核心素养。
❖ 3.通过强调解题中的注意事项，实现 “会用 数学的眼光观察世界；会用数学的思维思考 世界；会用数学的语言表达世界。”的终极 目标。
的展开式中
的系数为( )
通项法
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
【解析】
2
瞄准高考.使命必达
课堂练习1．【2016年全国1卷】
(2x x )5 的展开式中 x3 项的系数 是
．
课堂练习2．【2018年浙江卷】
的展开式中常数项是_________．
【变式】 本题中有理项的项数是_____．
D4 x＋ax5(x∈R)展开式中 x3 的系数为 10，则实数 a 等于
()
A．－1
1 B.2
C．1
D．2
二项乘方知多少，万里源头通项找； 若要三项变两项，化归思想别忘掉； 易混易错常念叨，永远不忘记心上。
必做： 试卷必做部分
选做： 试卷选做部分
谢谢光临指导！
2
例3.在
的展开式中常数项
为
（结果用数值表示）．化归法
瞄准2 高考.使命必达
课堂练习4：在
的展开式中常数项
为
（结果用数值表示）．
抢答题：
抢答题：
必答题：
c
必答题：
c 2．(2013·江西)(x2－x23)5 展开式中的常数项为(
)
A．80
B．－80
C．40
D．－40
秋高中数学第一章计数原理阶段复习课第1课计数原理学案新人教A版选修2-3(2021年整理)
2018年秋高中数学第一章计数原理阶段复习课第1课计数原理学案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学第一章计数原理阶段复习课第1课计数原理学案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋高中数学第一章计数原理阶段复习课第1课计数原理学案新人教A版选修2-3的全部内容。
第一课计数原理［核心速填］（建议用时5分钟）1．分类加法计数原理：完成一件事可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法,…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理:完成一件事需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…,做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n 种不同的方法．3．排列数与组合数公式及性质组合数公式C错误!＝错误!＝错误!＝n！m!n－m！（1)二项式定理的内容（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－k b k＋…＋C错误!b n(n∈N*)．（2)通项公式：T k＋1＝C错误!a n－k b k，k∈｛0，1,2，…,n｝，(3）二项式系数C错误!(k∈｛0,1,2,…,n}）的性质①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项错误!的二项式系数最大;若n为奇数，中间两项错误!的二项式系数相等且最大．③C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝2n；C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋…＝2n－1.［体系构建］通过前面的学习与核心知识的填写,请把本课的知识点以网络构建的形式展现出来．[题型探究]两个计数原理问题进行分类或者分步进行分析求解．（1）“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情．“分步”表现为必须把各步骤均完成,才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件．（2)分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.(1）方程错误!＋错误!＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈｛1,2，3,4,5，6,7｝,那么这样的椭圆的个数是________．(2)某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式?【导学号:95032096】（1)20［以m的值为标准分类，分五类:第一类:m＝1时,使n＞m，n有6种选择;第二类：m＝2时,使n＞m，n有5种选择;第三类:n＝3时,使n＞m，n有4种选择；第四类:n＝4时,使n＞m，n有3种选择；第五类:n＝5时，使n＞m，n有2种选择；所以共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法．］（2）[解］用1，2，3,4,5,6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4，6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1，3,6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．[延伸探究] 若本例(1）中条件“y轴”改为“x轴",试求满足条件的椭圆的个数．[解］因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m＞n＞0.以m的取值进行分类．当m＝1时,n值不存在；当m＝2时，n可取1，只有1种选择；当m＝3时，n可取1，2，有2种选择；当m＝4时,n可取1，2,3，有3种选择；当m＝5时，n可取1，2,3，4，有4种选择；由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有10个．属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法．（3）分步乘法计数原理的关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后,这件事才算完成,只有满足了上述条件,才能用分步乘法计数原理．2．使用两个原理解决问题时应注意的问题对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．［跟踪训练］1．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加）（1)每人恰好参加一项，每项人数不限；（2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3）每项限报一人，但每人参加的项目不限．[解］（1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729（种)．（2）每项限报一人，且每人至多参加一项,因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理,得共有报名方法6×5×4＝120（种)．(3）由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216（种)．排列、组合的应用质，利用排列、组合的知识解决．（1)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．（用数字作答)（2）在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？③若已定好节目单,后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序?【导学号：95032097】［思路探究］按照“特殊元素先排法”分步进行，先特殊后一般．［解］(1）①只有1名老队员的排法有C1，2C错误!A错误!＝36种．②有2名老队员的排法有C错误!C错误!C错误!A错误!＝12种．所以共有36＋12＝48种．（2）①第一步,先将4个舞蹈节目捆绑起来,看成1个节目，与6个演唱节目一起排,有A 错误!＝5 040种方法；第二步,再松绑，给4个节目排序，有A错误!＝24种方法．根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960种．②第一步,将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A错误!＝720种方法．×□×□×□×□×□×□×第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图中“×"的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A错误!＝7×6×5×4＝840种．根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800种．③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A错误!种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有错误!＝A错误!＝132种排法．(7）复杂问题构造模型策略．［跟踪训练]2．(1）我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ）A．12种B．18种C．24种D．48种（2）3名教师与4名学生排成一横排照相，求①3名教师必须排在一起的不同排法有多少种?②3名教师必须在中间(在3,4,5位置上)的不同排法有多少种？③3名教师不能相邻的不同排法有多少种？C[（1）法一：将甲、乙两机“捆绑”看作一个元素，与除去丙、丁两机外的另一架飞机进行全排列，再将丙、丁两机“插空”排入,共有A错误!·A错误!·A错误!＝24种不同着舰方法．法二:先对甲、乙两机“捆绑”在一起看作整体，该整体有两种着舰方法,此时相当于只有4架舰载机，这4架舰载机有A错误!种着舰方法，其中有A错误!·A错误!种方法丙丁两机相邻着舰,利用分步乘法计数原理得2×错误!＝24种．］(2)①3名教师的排法有A错误!，把3名教师作为一个整体与4个学生共5个元素的全排列共有A错误!种，则共有A错误!A错误!＝720（种)．②3名教师的排法有A33,4个学生在4个位子上的全排列共有A44种，则共有A错误!A错误!＝144（种）．③先4个学生全排列，再在五个空位中任选3个排3名教师，共A错误!A错误!＝1 440（种）．二项式定理的应用错误!n－r rr＋1系数的变化,是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用．（1)已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中x8的系数小于120，则k＝________.(2)已知二项式错误!错误!展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍.【导学号：95032098】①求n；②求展开式中二项式系数最大的项;③求展开式中所有x的有理项．（1)1［（1＋kx2)6的展开式的通项为T r＋1＝C错误!（kx2）r＝C错误!k r x2r，令2r＝8得r＝4，∴x8的系数为C错误!·k4＝15k4∴15k4＜120。