26.1二次函数的概念
二次函数的概念
26.1.1 二次函数的概念一、回顾旧知1．函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个______的值，y 都有__________的值与其对应，那么我们就说x 是_______，y 是x 的______。
2.观察下列函数:(1)y = 2x+1 (2)y = -x-4()x y 23= (4)y = 5x 2(5)y = -4x (6)y = ax+1其中正比例函数有____，其一般形式为_________，正比例函数是_______的特例.一次函数有_________，其一般形式为_____________.反比例函数有_________,其一般形式为______________。
二、探索新知1.函数y=x+1 ，自变量是___,自变量的次数是___,y 是x 的____函数。
2.函数s=-2t-4 ，自变量是___,自变量的次数是___,s 是t 的____函数. 你能写出下列函数的表达式吗？①圆的半径是r(cm)时,面积s(cm2)与半径之间的关系___________，自变量是___,它的最高次数是______。
②设正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间的关系是________,自变量是___,它的最高次数是______。
③多边形的对角线数d 与边数n 的函数关系为d=___________, 自变量是______,它的最高次数为______.④某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。
如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系为___________________，自变量为_______，它的最高次数为_________。
归纳：①②③④中的函数的最高次数都是____次的。
二次函数的定义：一般地，形如y =ax 2+bx+c （a,b,c 是常数，a ≠0） 的函数，叫做二次函数。
上海教育版数学九年级上册26.1《二次函数的概念》教案
教学目标：1、理解二次函数的概念；掌握二次函数解析式的典型特征，能判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是不是二次函数。
2、对简单的实际问题，能根据具体情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函数解析式，并确定函数的定义域。
3、经历从实际问题引进二次函数概念的过程，体会用函数去描述、研究变量之间的变化规律的意义。
4、培养学生的观察、分析、总结能力，让学生体会二次函数是研究和解决生产、生活实际问题的有用工具。
教学重点：引进二次函数的概念，并帮助学生理解概念，初步学会用二次函数描述实际问题中两个变量之间的依赖关系。
教学难点：让学生根据具体问题情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函数解析式，并确定函数的定义域。
教学用具：多媒体工具。
教学过程：[复习] 函数的意义，一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式和定义域。
[新知探索1 ] （学生探索回答）1、请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与x 之间的关系：(1)圆的面积y (cm2)与圆的半径x ( cm );(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y万元;(3)一个边长为4厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，则面积随之增加y平方厘米，求y 关于x的函数解析式。
2、仔细观察上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?（1）y =πx2（2）y = 2(1+x)2=2x2+4x+2 （3）y= (x+4)242= x2+8x3、得出结论：经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式，a,b,c是常数, a≠0。
[讲授]我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
注:在二次函数中,含x的代数式必须是整式,含x项的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
[新知探索2 ] 问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？例如：圆的面积y ( cm2 )与圆的半径x（cm)的函数关系是y =πx2, 其中自变量x能取哪些值呢？(x>0)注意:在实际应用问题中, 必须注意函数的定义域,自变量x的取值符合实际意义. [趣味练习] （演练竞技场）6个动物的图片，每个图片后面都有一个题目，学生可以选择动物的图片来回答后面的题目，同学可以一起帮助解决问题。
26.1二次函数概念doc
26.1.1 二次函数导学案【学习目标】1. 了解二次函数的有关概念．2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。
3. 确定实际问题中二次函数的关系式。
【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。
【学习过程】 一、温故知新：1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。
二、自学指导：认真阅读课本第P 2-3页的内容，完成下列问题。
1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．3. 正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 的函数,关系可表示为 。
4、多边形的对角线条数d 与边数n 的关系式可表示为 5.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？归纳总结：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。
其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 尝试练习1、函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．2.下列函数中:① y=－x 2② y=4+x 2－x 3③ y=2x ④ m=3－t －t 2⑤ y ＝x ＋1x是二次函数的是 ( x,t 为自变量 ) 三、合作交流：（1）二次项系数a 为什么不等于0？答： 。
26.1二次函数教案[修改版]
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第一篇：26.1二次函数教案26．1 二次函数[本课知识要点]通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．[创新思维]（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm）是多少？s = a（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．y = (4+x)(3+x)−4×3 = x+7x222请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．二次函数的概念：形如ax+bx+c = 0(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫二次函数．2[实践与探索]例题：补充例题：1．m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？分析若函数．解若函数解得因此，当，且，且时，函数．．是二次函数，须满足的条件是：是二次函数，则是二次函数．的函数只有在的条件下才是二次函数．回顾与反思形如探索若函数值？是以x为自变量的一次函数，则m取哪些2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S（cm）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．解（1）由题意，得，其中S是a的二次函数；222（2）由题意，得（3）由题意，得其中y是x的一次函数；，其中y是x的二次函数；（x≥0且是正整数），（4）由题意，得数．，其中S是x的二次函3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S（cm）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．2解（1）（2）当x = 3cm时，；（cm）．2[当堂课内练习]1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）（2）（3）（4）为二次函数？2．当k为何值时，函数3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．(1)请写出y与x的函数关系式；(2)判断y是否为x的二次函数．[本课课外作业]A组1．已知函数2．已知二次函数是二次函数，求m的值．，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．3．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x 为3，求此时的y．4．用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．B组5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）A．B．C．（D．6．下列函数关系中，可以看作二次函数A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系）模型的是（）B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）圆的周长与圆的半径之间的关系典型例题1．下列各式中，y是x的二次函数的是( ) A．x+y−1 = 0 B．y = (x+1)(x−1)−xC.y = 1+22D.2(x−1)+3y−2 = 0 答案：D2 4说明：选项A、C都不难看出关系式中不含x的平方项，因此，都不满足二次函数的定义，选项B，y = (x+1)(x−1)−x可化简为y = −1，也不满足二次函数的定义，只有选项D是正确的，答案为D．2．下列函数中，不是二次函数的是( )2A．y = 1−x B．y = 2(x−1)+4 C．y =2222(x−1)(x+4) D．y = (x−2)−x22答案：D说明：选项D，y = (x−2)−x可化为y = −4x+4，不是二次函数，而选项A、B、C中的函数都是二次函数，答案为D．3．函数y = (m−3)是二次函数，则m的值为：（答案：−3）说明：因为y = (m−3)且m≠3，即m = −3．4．已知函数y = ( 4a ＋3)是二次函数，所以m2−7 = 2，且m−3≠0，因此有m = ±3，＋x−1是一个二次函数，求满足条件的a的值．解：∵y = ( 4a ＋3)＋x−1是一个二次函数，∴，解得a = 1．习题精选21．在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为x(cm)的小圆，剩下的圆环面积为y(cm)，则y与x之间的函数关系式为( ) A．y = πx−4 B．y = π(2−x)C．y = −(x+4) D．y = −πx+16π答案：D说明：半径为4cm的圆，面积为16π(cm)，挖去的小圆面积为πx(cm)，所以剩下的圆环222面积为(16π-πx)(cm)，即有y =-πx+16π，答案为D．2．若圆锥的体积为Vcm，高为6cm，底面半径为rcm．写出V与r之间的函数关系式，并判断它是否是二次函数?此题考查圆锥的体积公式及二次函数的概念．32222222解：由题意得：V=n+2πr×6，即V=2πr，此函数是二次函数．223．若函数y=2x+1是二次函数，求n的值．此题考查二次函数概念中关于自变量的二次式．解：由题意得：n+2=2 ∴n=04．若函数y=(a−1)x+x+1是二次函数，求a、b的取值范围．b+12 5此题综合考查二次函数的概念，分三种情况讨论：（1）(a−1)x是二次项（2）(a−1)x是一次项（3）(a−1)x是常数项．解：分三种情况：b+1b+1b+1（1）∴b = 1，a≠1（2）∴b = 0，a≠1（3）a−1 = 0 ∴a = 1∴a = 1；b = 0且a≠1且b = 15．一个长方形的周长为50cm，一边长为x(cm)，求这个长方形的面积y(cm)与一边长x(cm)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围答案：y=−x+25x，0说明：由已知不难得出，该长方形的另一边长为50÷2−x，即25−x，长方形的两边长则分别为x、25−x，而这两边长都应该大于0，即x>0且25−x>0，同时，该长方形的面积为22x(25−x)=−x+25x，即有y=−x+25x，06．小明存入银行人民币200元，年利率为x，两年到期，本息和为y元(以单利计算)．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)若年利率为2.25%，求本息和．(3)若利息税率为20%，求到期时，小明实际所得利息．答案：(1)y=200+400 (2)209 (3)7.2元说明：(1)两年到期的利息应该是2×200x，即400x，所以本息和y=200+400x(2)当x=2.25%时，y=200+400×2.25%=209(3)实际所得利息为2×200×2.25%×(1−20%)=7.2．22 6第二篇：《26.1二次函数》教学反思《26.1二次函数》教学反思龙潭镇第一初级中学黄海东这节课是安排在学了一次函数、反比例、一元二次方程之后的二次函数的第一节课，学习目标是要学生懂得二次函数概念，能分辨二次函数与其他函数的不同，能理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对自变量的取值范围的限制。
沪教版九年级上册数学 26.1二次函数的概念(解析版)
26.1二次函数的概念一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）下列函数中是二次函数的是（ ）A ．12y x =+B ．21y x x=- C ．22(1)y x x =-- D ．23(1)y x =-【答案】D 【解析】解：A 、是一次函数，故A 不符合题意； B 、函数关系式不是整式，故B 不符合题意； C 、是一次函数，故C 不符合题意； D 、是二次函数，故D 符合题意； 故选：D ．2．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）函数2y ax bx c =++ (a ，b ，c 为常数)是二次函数的条件是（ ）． A ．0a ≠或0c ≠ B ．0a ≠ C ．0b ≠且0c ≠ D ．0a b c ++≠【答案】B 【解析】由二次函数定义可知，自变量x 和应变量y 满足2y ax bx c =++ (a ，b ，c 为常数，且0a ≠)的函数叫做二次函数； 故选：B ． 【点睛】本题考察了二次函数的知识，求解的关键是准确掌握二次函数的定义，从而得到答案． 3．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）若y=(2-m)22m x -是二次函数,则m 等于( ) A ．±2 B ．2C ．-2D ．不能确定【答案】C 【解析】分析：根据二次函数的定义，自变量指数为2，且二次项系数不为0，列出方程与不等式求解则可． 解答：解：根据二次函数的定义，得：m 2-2=2 解得m=2或m=-2 又∵2-m≠0 ∵m≠2∵当m=-2时，这个函数是二次函数． 故选C ．4．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm 的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．216y x ππ=-+ B ．24y x π=- C ．2(2)y x π=-D ．2(4)y x =-+【答案】A 【解析】先求出原来的圆的面积，再用x 表示挖去的圆的面积，相减得到圆环的面积． 解：圆的面积公式是2S r π=，原来的圆的面积=2416ππ⋅=，挖去的圆的面积=2x π， ∵圆环面积216y x ππ=-． 故选：A ．5．（2020·乐陵市实验中学月考）二次函数y=2x 2-6x -9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．6，2，9 B ．2，-6，9C ．2，6，9D ．2，-6，-9【答案】D 【解析】根据二次函数的标准形式即可得到答案．二次函数y=2x 2-6x -9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-6，-9． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，属于基础题，熟知二次函数的一般形式是解题的关键．6．（2020·全国初三课时练习）已知二次函数y ＝ax 2+4x +c ，当x 等于﹣2时，函数值是﹣1；当x ＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ） A ．y ＝2x 2+4x ﹣1 B ．y ＝x 2+4x ﹣2 C ．y ＝﹣2x 2+4x +1 D ．y ＝2x 2+4x +1【答案】A 【解析】将2组x 、y 值代入函数，得到关于a 、c 的二元一次方程，求解可得函数表达式.解：根据题意得48145a c a c -+=-⎧⎨++=⎩，解得21a c =⎧⎨=-⎩，所以抛物线解析式为y ＝2x 2+4x ﹣1． 故选A ．7．（2020·全国初三课时练习）下列函数关系中，是二次函数的是（ ） A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系 B ．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系 C ．等边三角形的周长C 与边长a 之间的关系 D ．半圆面积S 与半径R 之间的关系 【答案】D 【解析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． A 选项为y kx b =+，是一次函数，错误； B 选项为st v=不是二次函数，错误； C 选项为3C a =，是正比例函数，错误； D 选项为212S R π=，是二次函数，正确． 故选：D ．8．（2020·全国初三课时练习）下列函数：∵23y =-; ∵22y x =; ∵(35)y x x =-; ∵(12)(12)y x x =+-,是二次函数的有: A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】根据二次函数的定义，对每个函数进行判断，即可得到答案.解：∵23y =-是二次函数，正确；∵22y x =不是二次函数，错误； ∵(35)y x x =-整理得253y x x =-+，是二次函数，正确；∵(12)(12)y x x =+-整理得214y x =-，是二次函数，正确； ∵一共有3个二次函数； 故选择：C.9．（2020·全国初三课时练习）若二次函数y=(m∵1)x 2-mx∵m 2-2m -3的图象经过原点，则m 的值必为( ) A ．-1或3 B ．-1 C ．3 D ．-3或1 【答案】C 【解析】由图像经过原点可知m 2-2m -3=0∵同时注意m∵1≠0.解∵由图像过原点可得，m 2-2m -3=0∵解得m=-1或3∵再由二次函数定义可知m∵1≠0∵即m≠-1∵故m=3. 【点睛】本题考查了二次函数的定义，很容易遗漏m∵1≠0.10．（2019·北京市第五十四中学初二期中）如图，Rt AOB 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】Rt∵AOB 中，AB∵OB ，且AB=OB=3，所以很容易求得∵AOB=∵A=45°；再由平行线的性质得出∵OCD=∵A ，即∵AOD=∵OCD=45°，进而证明OD=CD=t ；最后根据三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．解：∵Rt∵AOB 中，AB∵OB ，且AB=OB=3， ∵∵AOB=∵A=45°， ∵CD∵OB ， ∵CD∵AB ， ∵∵OCD=∵A ， ∵∵AOD=∵OCD=45°， ∵OD=CD=t ， ∵S ∵OCD =12×OD×CD=12t 2（0≤t≤3），即S=12t 2（0≤t≤3）． 故S 与t 之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象； 故选D ．二、填空题11．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知2()352f x x x =-+那么()2f =____________．【答案】4【解析】根据题意，令x =2，代入二次函数求值． 解：(2)345224f =⨯-⨯+=．故答案是：4．12．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知二次函数2y ax =，如果当x=-1时y=2，那么当x=2时，y=_____． 【答案】8 【解析】先根据x =-1时y =2求出a 的值，得到原函数，再令x =2，求出y ．解：当x =-1 ，y =2时，()221a =⋅-，2a =，∵22y x =，当x =2时，()2228y =⨯=． 故答案是：8．13．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）半径为5的圆，如果半径增加x 时，面积增加y ，那么y 与x 的函数关系式是_____________________． 【答案】210y x x ππ=+ 【解析】根据题意，圆增加的面积等于现在的面积减原来的面积，分别用x 表示现在的面积和原来的面积，再相减列出函数关系式． 解：()()22225510252510y x x x x x ππππππ=+-=++-=+ ．故答案是：210y x x ππ=+．14．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知函数y=(k+2)24k k x +-是关于x 的二次函数，则k=________． 【答案】2或-3 【解析】根据二次函数的定义列出方程与不等式解答即可． ∵函数y=(k+2)24kk x +-是关于x 的二次函数，∵k 2+k ﹣4=2，解得k=2或﹣3， 且k+2≠0，k≠﹣2． 故答案为： 2或﹣3．15．（2020·上海初三月考）如果函数232(3)72k k y k x x -+=-++是关于x 的二次函数，则k =__________．【答案】0 【解析】根据二次函数的定义得到30k -≠且2322k k -+=，然后解不等式和方程即可得到k 的值．∵函数232(3)72kk y k x x -+=-++是关于x 的二次函数，∵30k -≠且2322k k -+=， 解方程得：0k =或3k =(舍去)， ∵0k =． 故答案为：0．16．（2020·上海黄浦·初三一模）如果抛物线221y x x m =++-经过原点，那么m 的值等于________∵【答案】1【解析】将点（0，0）代入抛物线方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可． 解：根据题意，知点（0，0）在抛物线221y x x m -＝＋＋上， ∵0＝m －1， 解得，m ＝1； 故答案是：1．17．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x 米，广告牌的面积为S 平方米，则S 与x 的函数关系式为________________． 【答案】210S x x =-+ 【解析】广告牌的一边长是x 米，根据周长再用x 表示出另一边，矩形广告牌的面积等于长⨯宽． 解：另一边长为()10x -米，()21010S x x x x =-=-+．故答案是：210S x x =-+．18．（2019·四川绵阳·初三月考）函数y ＝(m 2﹣3m +2)x 2+mx +1﹣m ，则当m ＝_____时，它为正比例函数；当m ＝_____时，它为一次函数；当m _____时，它为二次函数． 【答案】1 1或2 m ≠1且m ≠2 【解析】（1）正比例函数：y kx =，2320m m ∴-+=且10m -=，即可求得m 的值；（2）一次函数：y kx b =+2320m m ∴-+=且10m -≠，即可求得m 的值；（3）二次函数：2y ax bx c =++2320m m ∴-+≠，即可求得m 的值；（1）正比例函数：y kx =，2320m m ∴-+=且10m -=，解得m ＝1；（2）一次函数：y kx b =+2320m m ∴-+=，解得m ＝1或2，；（3）二次函数：2y ax bx c =++2320m m ∴-+≠，解得m ≠1且m ≠2故当m ＝1时，它为正比例函数；当m ＝1或2时，它为一次函数；当m ≠1且m ≠2时，它为二次函数. 故答案为：1；1或2；m ≠1且m ≠219．（2020·江苏扬中·初三期末）点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上一点，则236m m -的值为__________ 【答案】6 【解析】把点(),1m 代入221y x x =--即可求得22m m -值，将236m m -变形()232m m -，代入即可．解：∵点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上，∵2121m m =--则222m m -=．∵()223632326m m m m -=-=⨯= 故答案为：6．20．（2020·全国初三课时练习）∵∵∵∵O∵∵∵∵2∵C 1∵∵∵y=2x 2∵∵∵∵C 2∵∵∵y=∵2x 2∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵_______∵【答案】2π【解析】试题分析：根据题意可知两个函数的图像关于x 轴对称，通过对称性可知阴影部分为一个半圆，求半圆的面积为π×22÷2=2π. 故答案为2π.三、解答题21．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知：二次函数22(1)1y m x x m =-++-的图像经过原点，求m 的值，并写出函数解析式． 【答案】函数解析式为22y x x =-+ 【解析】根据二次函数图象过原点，把()0,0这个点代入函数解析式，求出m 的值，再写出函数解析式．解：令x =0，y =0，得201m =-，21m =，1m =±，∵是二次函数，∵二次项系数不能为零，即10m -≠，1m ≠，∵1m =-， 将1m =-代入原函数，得()()22211112y x x x x =--++--=-+，综上：1m =-，函数解析式为22y x x =-+．22．（2020·全国初三单元测试）一个二次函数y=（k ﹣1）x 234k k -++2x ﹣1．（1）求k 值．（2）求当x=0.5时y 的值？ 【答案】（1）k=2；（2）y=14【解析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k 2-3k+4=2，且k -1≠0，再解即可；（2）根据（1）中k 的值，可得函数解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y 的值． 解：（1）由题意得：k 2﹣3k+4=2，且k ﹣1≠0， 解得：k=2；（2）把k=2代入y=（k ﹣1）234-+kk x +2x ﹣1得：y=x 2+2x ﹣1，当x=0.5时，y=14． 23．（2020·福建省连江第三中学初三月考）已知函数y=（m 2﹣m ）x 2+（m ﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m 的值； （2）若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？ 【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1. 【解析】根据一次函数与二次函数的定义求解． 解：（1）根据一次函数的定义，得：m 2﹣m=0 解得m=0或m=1 又∵m ﹣1≠0即m≠1；∵当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得：m 2﹣m≠0 解得m 1≠0，m 2≠1∵当m 1≠0，m 2≠1时，这个函数是二次函数．24．（2020·安徽滁州·初三其他）定义：如果一个点的纵坐标是横坐标的二倍，则称该点为“倍点”（1）若点(,6)P m 是双曲线ky x=上的倍点，则k = ； （2）求出直线31y x =-上的倍点的坐标；（3）若抛物线241y x bx =++上有且只有一个倍点，求b 的值．【答案】（1）18；（2）(1,2)；（3）b 的值是6或2-． 【解析】（1）根据“倍点”定义求出点P 的坐标为（3,6），即可求出k ；（2）设倍点的坐标为(,2)n n ，将点坐标代入解析式得到231n n =-，求出n 即可得到答案；（3））设抛物线241y x bx =++的倍点坐标为(,2)a a ，将点坐标代入241y x bx =++得到2412a ba a ++=，根据抛物线241y x bx =++上有且只有一个倍点，得到方程24(2)10a b a +-+=有两个相等是实数根，利用∆=0得到2(2)4410b --⨯⨯=，即可求出b.解：（1）∵点(,6)P m 是双曲线ky x=上的倍点， ∵2m=6,得m=3， ∵P （3,6）， ∵3618=⨯=k ， 故答案为：18；（2）设倍点的坐标为(,2)n n ， 则231n n =-， 解得1n =，所以倍点的坐标为(1,2)；（3）设抛物线241y x bx =++的倍点坐标为(,2)a a ，2412a ba a ∴++=，即24(2)10a b a +-+=， 该抛物线上有且只有一个倍点，∴方程24(2)10a b a +-+=有两个相等是实数根，则2(2)4410b --⨯⨯=， 解得6b =或2b =-， 所以b 的值是6或2-.25．（2020·湖北黄石八中）根据下面的运算程序，若输入1x =时，请计算输出的结果y 的值．【答案】2． 【解析】1的范围，然后根据分段函数解析式，代入相应的解析式进行计算即可求解．解：当输入1x =，因为011≤<，所以满足第二个函数解析式．所以211)2y =+=26．（2020·北京人大附中初三月考）某种型号的电热水器工作过程如下：在接通电源以后，从初始温度20℃下加热水箱中的水，当水温达到设定温度60℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到保温温度30℃时，再次自动加热水箱中的水至60℃，加热停止；当水箱中的水温下降到30℃时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环．小宇根据学习函数的经验，对该型号电热水器水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y 是时间x 的函数，其中y （单位：℃）表示水箱中水的温度，x （单位：min ）表示接通电源后的时间．下面是小宇的探究过程，请补充完整：（1）小宇记录了从初始温度20℃第一次加热至设定温度60℃，之后水温冷却至保温温度30℃的过程中，y 随x 的变化情况，如下表所示：∵请写出一个符合加热阶段y 与x 关系的函数解析式______________；∵根据该电热水器的工作特点，当第二次加热至设定温度60℃时，距离接通电源的时间x 为________min ． （2）根据上述的表格，小宇画出了当020x ≤≤时的函数图象，请根据该电热水器的工作特点，帮他画出当2040x ≤≤时的函数图象．（3）已知适宜人体沐浴的水温约为35C 50C ︒︒-，小宇在上午8点整接通电源，水箱中水温为20℃，热水器开始按上述模式工作，若不考虑其他因素的影响，请问在上午9点30分时，热水器的水温______（填“是”或“否”）适合他沐浴，理由是_________________．【答案】（1）∵()()25200812*******4x x y x x x +⎧≤≤⎪=⎨<≤-+⎪⎩；∵26；（2）见详解；（3）否；加热至9点30分的温度为33︒，不在人体适合的温度范围内． 【解析】（1）∵根据表格数据特点，应用待定系数法求解即可；∵根据表格数据先确定从30加热至60︒需要的时间，再将所得时间加上第一次加热至保温的时间即得；（2）根据加热温度变化规律可知从30加热至60︒需要6min ，即可确定点()2660，， （3）根据表格数据特点，第一次加热需要20分钟，之后每18分钟一次循环，即可确定早上9点30分对应第一次加热的时间段． 解：（1）∵当08x ≤≤时，设解析式为：()0y kx b k =+≠将()()0202,30，，代入()0y kx b k =+≠并联立得： 20230b k b =⎧⎨+=⎩，解得：205b k =⎧⎨=⎩∵当08x ≤≤时，520y x =+当820x <≤时，设解析式为：()20y ax bx c a =++≠将()()()10,5112,4514,40，， 代入()20y ax bx c a =++≠并联立得：100105114412451961440a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得：1823496a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∵当820x <≤时，21239684y x x =-+ ∵第一次加热阶段y 与x 关系的函数解析式为：()()2520081238209684x x y x x x +⎧≤≤⎪=⎨<≤-+⎪⎩ 故答案为：()()2520081238209684x x y x x x +⎧≤≤⎪=⎨<≤-+⎪⎩ ∵根据表格数据可知从30加热至60︒需要6min∵当第二次加热至设定温度60℃时，距离接通电源的时间x 为20+6=26min 故答案为：26． （2）如下图：（3）从早上8点至早上9点30分，总共用时90分钟，且第一次加热需要20分钟至保温温度30，第一次以后每18分钟循环一次．∵90=20+183+16⨯，即最后一次重新加热至9点30分对应第一次的第18分钟的温度：33︒． ∵在上午9点30分时，热水器的水温不适合他沐浴．故答案为：否，加热至9点30分的温度为33︒，不在人体适合的温度范围内．。
数学沪教版(上海)九年级第一学期2二次函数的概念课件
【思索归纳】
定义： 一般地,解析式形如
y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数,且 a≠ 0)
的函数叫做二次函数.
二次函数y=ax²+bx+c 的定义域为一切实数. 遇到实际问题，具角线数 d 与边数 n 有什么关系？ n边形有＿＿n 个顶点,从一
个顶点出发,连接与这点不相 邻的各顶点,可作＿＿(n－＿3) 条对 角线.因此,n边形的对角线总 数 d =＿＿＿1 n＿(n－＿3) ＿.
2
即:
➢ 通过研究函数可以帮助我们解决生活中的 问题
➢ 分享曾经用函数解决的生活问题
正比例函数 反比例函数 一次函数
函数: 在一个变化过程中,如果有两个变 量x与y, 并且对于x的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么就说y 是x的函数, x是自变量.
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函 数
(正比例函数) y=kx (k≠0)
反比例函数
y=
k x
(k≠0)
问题1: 正方体六个面 是全等的正方形,设正 方形棱长为 x,表面积为 y ,则 y 关于x 的关系式 为＿＿＿＿. y=6x2
3、把一根 40 cm 长的铁丝分成两段，再分 别将每一段弯折成一个正方形，设其中一段 铁丝为 x cm，两个正方形的面积和为y cm 2，
则y =__4x__2_____4_0_4___x___2___y____18_x2 5x 100
4、农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三 个月的产量 y (台)与月平均增长率 x 之间的
26.1二次函数的概念
教学目标 :
对二次函数概念的理解。
由实际问题确定函数解析式和确定自变量的 取值范围。
二次函数的概念(3)
26.1（2） 二次函数的概念-2020-2021学年九年级数学上册《课时同步练》（沪教版）基础巩固 一．填空题1. 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如下图所示，请你在下图中画出直线y=ax+b 与双曲线y=abx在同一坐标系中的大致图象．【答案】见解析． 【解析】【分析】二次函数的开口向上，a ＞0；过原点，c=0；对称轴在y 轴左侧，那么﹣2b a＜0，则b ＞0．那么一次函数应过一、二、三象限，反比例函数应过一、三象限． 【详解】解：因为抛物线开口向上， 所以a ＞0；因为抛物线的对称轴在y 轴左侧， 所以﹣2ba＜0，即b ＞0； 所以，一次函数应过一、二、三象限，反比例函数应过一、三象限．【点睛】解决本题的关键是根据所给的二次函数解析式得到a 和b 的符号． 2. 若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则直线y=abx+c 不过第_____象限．【答案】四 【解析】【分析】由图像可知其对称轴小于0且c＞0. 【详解】解：由图像可知02ba-＜＞则ab＞0＞再由c＞0可知直线y=abx+c 不过第四象限． 故答案为四.【点睛】本题考查了由抛物线图像判断参数符号.3. 若抛物线y ＞ax 2＞bx ＞c 过点A (1＞0)＞B (3＞0)，则此抛物线的对称轴是直线_____＞ 【答案】x ＝2． 【解析】【详解】∵点A(1,0),B(3,0)的纵坐标相等， ∴A、B 两点是抛物线上的两个对称点， ∴对称轴是直线x=132+=2.故答案为x=2. 4. y=（m 2﹣2m ﹣3）x 2+（m ﹣1）x+m 2是关于x 的二次函数要满足的条件是______．【答案】m≠﹣1且m≠3 【解析】【分析】保证x 2的系数不为0即可．【详解】解：由题意得：m 2﹣2m ﹣3≠0，（m ﹣3）（m+1）≠0， 解得m≠﹣1且m≠3， 故答案为：m≠＞1且m≠3．【点睛】二次函数y=ax 2+bx+c 的定义条件是：a 、b 、c 为常数，a≠0，自变量最高次数为2． 5. 若y=（m ﹣2）2m 2x -+mx+1是关于x 的二次函数，则m=_____．【答案】﹣2 【解析】【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式求解即可．【详解】解：根据二次函数的定义，得： m 2﹣2=2，解得m=2或m=﹣2， 又∵m ﹣2≠0， ∴m≠2，∴当m=﹣2时，这个函数是二次函数， 故答案为：-2．【点睛】本题考查二次函数的定义,解题的关键是熟知二次函数的特点．二．解答题6. 当m 为何值时，232(1)32m m y m x x --=++-是二次函数？【答案】4m =. 【解析】【分析】二次函数需满足两个条件，首先二次项系数不为零，其次x 次数为2，两个方程联立，即可求出m 的值.【详解】根据题意得232210m m m ⎧--=⎨+≠⎩，解得4m =，故本题答案为4.【点睛】本题考查了二次函数的性质及定义＞将函数式给出的形式进行恒等变形＞转化为解析式的标准形式是解决本题的关键. 7. 已知函数y=（m 2﹣m ）x 2+（m ﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m 的值； （2）若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？ 【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1. 【解析】【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解． 【详解】解：（1）根据一次函数的定义，得：m 2﹣m=0 解得m=0或m=1 又＞m ﹣1≠0即m≠1；＞当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得：m 2﹣m≠0解得m 1≠0，m 2≠1＞当m 1≠0，m 2≠1时，这个函数是二次函数． 【点睛】考点：二次函数的定义；一次函数的定义8. 已知()22212(3)mm y m m xm x m --=-+-+是x 的二次函数，求出它的解析式．【答案】y=6x 2+9或y=2x 2﹣4x+1． 【解析】【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．【详解】解：根据二次函数的定义可得：m 2﹣2m ﹣1=2，且m 2﹣m≠0， 解得，m=3或m=﹣1； 当m=3时，y=6x 2+9； 当m=﹣1时，y=2x 2﹣4x+1；综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x 2+9或y=2x 2﹣4x+1．【点评】本题考查二次函数的定义．一般地，形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．9. 已知函数y=（m 2﹣m ）x 2+（m ﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m 的值； （2）若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？ 【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1. 【解析】【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解． 【详解】解：（1）根据一次函数的定义，得：m 2﹣m=0 解得m=0或m=1 又＞m ﹣1≠0即m≠1；＞当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得：m 2﹣m≠0 解得m 1≠0，m 2≠1＞当m 1≠0，m 2≠1时，这个函数是二次函数．【点睛】考点：二次函数的定义；一次函数的定义10. 证明：对于任何实数m ，y=（m 2+2m+3）x 2+2012x ﹣1都是y 关于x 的二次函数．【答案】证明见解析． 【解析】【分析】由二次函数定义知，证明二次项系数不为零即可． 【详解】∵()2222321212m m m m m ++=+++=++ 又∵()210m +≥∴()22223212120m m m m m ++=+++=++>∴对于任何实数m ，y=（m 2+2m+3）x 2+2012x ﹣1都是y 关于x 的二次函数． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．11. （1）已知函数y=（m 2﹣m ）x 2+（m ﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m 的取值范围；（2）已知函数y=（m 2+m ）221mm x --是二次函数，求m 的值．【答案】（1）m≠0且m≠1；（2）m 的值为3＞ 【解析】【分析】（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案； （2）直接利用一元二次方程的定义得出关于m 的等式求出即可． 【详解】解：（1）函数y=（m 2﹣m ）x 2+（m ﹣1）x+m+1是二次函数， 即m 2﹣m≠0， 即m≠0且m≠1，∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数； （2）由题意得：m 2﹣2m ﹣1=2，m 2+m≠0， 解得：m 1=3，m 2=﹣1（不合题意舍去）， 所以m 的值为3．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键． 12. 已知函数y=（m+2）24mm x +-是关于x 的二次函数，当x ＞0时，y 随x 增大而增大的函数解析式及其最值．【答案】y=4x 2；函数有最小值，最小值为0． 【解析】【分析】根据二次函数的定义可知m 2+m ﹣4=2，由x ＞0时，y 随x 增大而增大可知m+2＞0，从而可求得m 的值． 【详解】解：∵函数y=（m+2）24m m x +-是关于x 的二次函数，∴m 2+m ﹣4=2＞m+2≠0 解得：m=﹣3或m=2． ∵x ＞0时，y 随x 增大而增大， ∴m=2．∴函数的解析式为y=4x 2． ∴函数有最小值，最小值为0．【点评】本题主要考查的是二次函数的定义和性质，根据二次函数的定义和性质求得m 的值是解题的关键．13. 请在同一坐标系中画出二次函数①212y x =；②21(2)2y x =-的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．【答案】画图见解析；①向左平移两个单位得到②；②的开口方向向上，对称轴是x=2，顶点坐标为（2，0）． 【解析】【分析】根据描点法，可得函数图象，根据0a >，图象开口向上，对称轴是2bx a=-，顶点坐标是（2b a-，244ac b a -），可得答案．【详解】解：列表：描点： 连线，如图．由图像可知，①向左平移两个单位得到②，∴②的开口方向向上，对称轴是2x =，顶点坐标为（2，0）．【点评】本题考察了二次函数图象，利用描点法画函数图象，根据0a >，图象开口向上，对称轴是2b x a =-，顶点坐标是（2b a -，244ac b a -）是解题关键．14. 图1是一种数值转换器的示意图，图2是小敏按照其对应关系画出的y 关于x 的函数图象．已知点A 的坐标为（0，3），点B 的横坐标为4． （1）求m ，n 的值和输出y 的最小值； （2）当y=5时，求x 的值．【答案】（1）m=3，n=2；y 最小=2；（2）x 1x 2=6x 3=83．【解析】【分析】（1）根据数值转换器，可得函数解析式，根据待定系数法，可得函数解析式；根据顶点坐标是函数的最值，可得答案；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得相应自变量的值． 【详解】解：（1）由数值转换器，得y=23(04)4(6)(4)x m x x n x ⎧+⎪⎨⎪-+>⎩，当x=0时，y=m=3，当x=4时，y=3+3=6，即B （4，6）． 将B 点坐标代入y=（x ﹣6）2+n ，得 4+n=6，解得n=2； 当x=6时，y 最小=n=2； （2）当y=5时，34x+3=5，解得x=83，当y=5时，（x ﹣6）2+2=5，解得x 1x 2=6【点评】本题考查了二次函数图象，利用待定系数法求函数解析式是解题关键，又利用了二次函数的性质得出自变量与函数值的对应关系． 15. 阅读以下材料：例：解不等式1x x >解：设y 1=x ，21=y x，在同一直角坐标系中画出它们的图象：两个图象的交点为（1，1）和（﹣1，﹣1）∴由图可知，当﹣1＜x ＜0或x ＞1时，1x x>根据上述解题过程，画出示意图，试解不等式：21x x>．【答案】画图见解析；x ＜0或x ＞1 【解析】【分析】首先设y 1=x 2，21=y x，在同一直角坐标系中画出它们的图象，即可得出x 2＞1x时解集． 【详解】解：设y 1=x 2，21=y x，在同一直角坐标系中画出它们的图象， 两个图象的交点为（1，1）， ∴由图可知，当x ＜0或x ＞1时，x 2＞1x．【点睛】此题主要考查了利用函数图象求不等式的解集，正确画出图象结合图象得出解集是解题关键．拓展提升16. 在同一坐标系中画出函数21213,2y x y =+=2132x -和2312y x =的图象，并说明y 1，y 2的图象与函数212y x =的图象的关系．【答案】见解析，y 1，y 2的图象是212y x =的图象分别向上和向下平移3个单位． 【解析】【分析】根据描点法，可得函数图象，根据图象间的关系，可得答案【详解】解：如图，21132y x =+的图象由2312y x =的图象向上平移3个单位得到； 2y = 2132x -的图象由2312y x =的图象向下平移3个单位得到．【点睛】本题考查了函数图象，利用描点法画函数图象，也可利用平移画函数图象：向上平移加，向下平移减． 17. 对于方程m 2+2（1+2m）=0，用一般的方法去分母将是一个一元三次方程，且好像没有整数解．请你考虑可以采取什么特殊方法找到它的解的范围，要求这个范围在相邻的两个整数之间，并写出这两个整数． 【答案】m 2+2（1+2m）=0的解在﹣2与﹣1之间． 【解析】【分析】根据等式的性质，可化简方程，根据函数与方程的关系，可得答案．【详解】解：由等式的性质，得m2+2=﹣4m．在同一平面直角坐标系内画出n=m2+2，n=﹣4m，，由图象，得n=m2+2与n=﹣4m的交点坐标在﹣2与﹣1之间，即方程m2+2（1+2m）=0的解在﹣2与﹣1之间．【点评】本题考查了函数图象，利用等式的性质把方程转化成m2+2=﹣4m，利用函数与方程的关系是解题关键．18. 已知两个变量x、y之间的关系为y=（m﹣2）221mx x-+-，若x、y之间是二次函数关系，求m的值．【答案】-2【解析】【详解】【试题分析】根据二次函数的定义得：同时满足二次项系数不为0，且x的最高次数为2，即2222 20mmm⎧-=⇒=-⎨-≠⎩【试题解析】根据题意，得m2－2＝2且m－2≠0.解得m＝－2.所以m的值为－2.【方法点睛】本题目是一道二次函数概念的题目，要求同时满足：二次项系数不为0，且自变量的最高次为2次.19. 已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）作出函数的图象；（2）当1＜x＜5时，求y的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）﹣1＜y＜8．【解析】【分析】（1）求出函数对称轴，函数与x轴的交点坐标，即可作出函数的图象；（2）对称轴是x=1，则当x=5时点的纵坐标，则y的取值范围即可确定．【详解】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，则函数顶点坐标是（1，﹣1），函数的对称轴是x=2，方程x2﹣4x+3=0的根是x1=1，x2=3．则函数与x轴的交点是（1，0）和（3，0）．则抛物线y=x2﹣4x+3的图象如图所示：；（2）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，则函数顶点坐标是（2，﹣1），当x=5是，y=25﹣20+3=8，则当1＜x＜5时，y的范围是﹣1＜y＜8．【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的根，二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解．20. 已知抛物线y1=x2+2（m+2）x+m﹣2与x轴交于A，B（点A在点B左侧）两点，且对称轴为x=﹣1．（1）求m的值并画出这条抛物线；（2）根据图象回答当x取什么值时，函数值y1大于0？（3）若直线y2=kx+b过点B且与抛物线交于点P（﹣2，﹣3），根据图象回答当x 取什么值时，y2≤y1．【答案】（1）m=﹣1，画图见解析；（2）x ＜﹣3或x ＞1；（3）x≤﹣2或x≥1．【解析】【分析】（1）根据题意，易得2(2)12m +-=-，可得m 的值，进而可得解析式，根据解析式可以得到AB 的坐标，进而可作出图象，（2）由图象可知，当x ＜﹣3或x ＞1时，抛物线在x 轴上方，进而可得答案． （3）根据题意，易得直线与抛物线的图象间的关系，根据图象，可得答案．【详解】解：（1）由题意得12b a -=-． 即：2(2)12m +-=-， ∴m=﹣1．∴抛物线解析式为：y 1=x 2+2x ﹣3．令y 1=0，即x 2+2x ﹣3=0，解得x 1=﹣3，x 2=1．∴点A （﹣3，0），点B （1，0）∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．（2）由图象可知，当x ＜﹣3或x ＞1时，抛物线在x 轴上方，函数值y 1大于0． （3）根据题意，易得直线与抛物线的图象间的关系，易得两个函数的交点是B 与（﹣2，﹣3），由图象可知，当x≤﹣2或x≥1时，y 2≤y 1．【点评】本题考查二次函数的图象与运用，解题注意时注意准确作图，并结合图象解题．21. 已知二次函数y=x2﹣5x+6．（1）画出这个二次函数的图象．（2）观察图象确定：x取什么值时，①y=0；②y＞0；③y＜0．【答案】（1）画图见解析；（2）①x=2或x=3；②x＜2或x＞3；③2＜x＜3．【解析】【分析】（1）将y=x2﹣5x+6化为y=（x﹣2）（x﹣3），再根据二次函数的图象的作法作出图象．（2）观察图象，作答即可．【详解】解：（1）图象如图：（2）观察图象可得：①当x=2或x=3时，y=0；②当x＜2或x＞3时，y＞0；③当2＜x＜3时，y＜0．【点评】本题考查二次函数的图象的作法，要结合解析式的特征来作图，如与x 轴、y轴的交点坐标．。
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》这一节的内容，主要介绍了二次函数的定义、性质和图像。
二次函数是中学数学中的重要内容，对于学生来说，掌握二次函数的知识对于理解高中阶段的函数学习和解决实际问题具有重要意义。
本节内容首先介绍了二次函数的定义，包括函数的表达式、自变量和函数值的限制条件等。
接着，通过实例讲解，让学生理解二次函数的图像特征，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等。
然后，引导学生学习二次函数的性质，包括单调性、极值等。
最后，通过练习题，让学生巩固所学知识，并能应用于解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本知识，对于一次函数和二次函数的概念有一定的了解。
但是，对于二次函数的性质和图像的深入理解还需要加强。
此外，学生对于实际问题的解决能力也有待提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的定义、性质和图像，能够解决简单的实际问题。
2.过程与方法目标：通过实例讲解和练习，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.重点：二次函数的定义、性质和图像。
2.难点：二次函数的图像特征的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用讲授法、案例教学法和练习法。
2.教学手段：利用多媒体课件进行教学，展示二次函数的图像和实例。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次函数的概念，激发学生的兴趣。
2.讲解：讲解二次函数的定义、性质和图像，通过实例进行解释和展示。
3.练习：让学生进行练习，巩固所学知识，并能应用于解决实际问题。
4.总结：对本节内容进行总结，强调二次函数的重要性和应用价值。
七. 说板书设计板书设计包括二次函数的定义、性质和图像的主要内容，以及相关的重要概念和公式。
二次函数及其图像
学科教师辅导讲义（1）0<x<2 (2) 23x ≤≤考点九：2y ax bx c =++中a ，b ，c 符号的确定抛物线的开口方向决定a 的符号，当a>0时函数图像开口方向向上，当a<0时函数图像的开口方向向下；抛物线与y 轴的交点确定c 的符号，抛物线过原点c=0，抛物线交于y 轴的正半轴c>0，抛物线与y 轴交与y 轴的负半轴c<0;对称轴以及抛物线的开口方向决定b 的取值注1：a+b+c 的符号由x=1时的y 值来确定，a-b+c 的符号由x=-1时的y 值来确定注2：本考点是中考的中的阿，一般是结合图像求a,b,c 的符号以及其他代数式的符号。
题目以填空选择为主，特别是求a+b+c ，a-b+c ，4a+2b+c,4a-2b+c 以及2a+b,2a-b 的符号考查题目11：若二次函数241y mx x m =++-的最小值为2，求m 的值练习题目一：1、已知二次函数y ＝Ax 2＋Bx ＋C 的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0(第1题)【答案】D2、如图5，已知抛物线cbxxy++=2的对称轴为2=x，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）【答案】D3、二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，则一次函数abxy+=的图象不经过A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D4、函数2y ax b y ax bx c=+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( )【答案】C.5、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2－3x＋5，则（）A．b=3，c=7B．b=6，c=3 C．b=-9，c=-5D．b=-9，c=21【答案】A.6、若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E（x，122+-xx）可以由E（x，2x）怎样平移得到？A．向上平移１个单位B．向下平移１个单位C．向左平移１个单位D．向右平移１个单位O xyA图5x = 2Bx（第3题图）yO【答案】D7、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a、b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0，④当y=4时，x的取值只能为0．结论正确的个数有（）个A．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4【答案】C8、已知抛物线2y ax bx c=++（a＜0）过A（2-，0）、O（0，0）、B（3-，1y）、C（3，2y）四点，则1y与2y的大小关系是A．1y＞2y B．1y2y=C．1y＜2y D．不能确定【答案】A9、设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一，则a的值为（）A. 6或－1B. －6或1C. 6D. －1【答案】D10、平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2010)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位【答案】B11、已知抛物线103:2-==xxyC，将抛物线C平移得到抛物线C'若两条抛物线C、C'关于直线1=x对称，则下列平移方法中，正确的是A．将抛物线C向右平移25个单位B．将抛物线C向右平移3个单位C．将抛物线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位【答案】C12、抛物线772--=xkxy的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）A．47-≥k B．47-≥k且0≠k C．47->k D．47->k且0≠k【答案】B13、二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，则一次函数acbxy-=与反比例函数xcbay+-=在同一坐标系内的图象大致为（）yxOyxOyxO 1－1yxO 1－110：如图，两条抛物线y1=-21χ2+1、y2=21χ2-1 与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为A．8 B．6 C．10 D．4【答案】A11：已知二次函数()()221y x a a=-+-（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当1a=-，0a=，1a=，2a=时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y=.【答案】112x-12：已知实数yxyxxyx+=-++则满足,033,2的最大值为.【答案】413：已知抛物线bxxy+=221经过点A(4,0)。
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿3
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》这一节的内容是在学生已经掌握了函数概念、一次函数和二次函数的性质的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是二次函数的图象和性质，以及二次函数的应用。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生深入理解二次函数的图象和性质，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，以及如何运用二次函数解决实际问题，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生理解和掌握二次函数的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次函数的图象和性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生解决函数问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的图象和性质，以及二次函数的应用。
2.教学难点：二次函数的性质，如何运用二次函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等教学方法。
同时，利用多媒体课件和数学软件，帮助学生直观地理解二次函数的图象和性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：引导学生观察二次函数的图象，分析二次函数的性质，总结规律。
3.巩固新知：通过一系列的练习题，帮助学生巩固二次函数的知识。
4.应用拓展：布置一些实际问题，让学生运用二次函数的知识解决，提高学生的应用能力。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，引导学生反思学习过程，提高学生的思维能力。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出二次函数的图象和性质。
26.1.1二次函数概念
学习目标 1. 理解并掌握二次函数的定义,图像及 画法。 2. 掌握函数图像的特征。
指导自学 观察函数关系式(1)-(3)，提出以下问题让学生思 考回答； (1)函数关系式(1)-(3)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分 别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)-(3)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P3页的问题2有什么 共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见5分钟后，比谁 能正确地做出与例题类似的习题。
2.定义的实质是：ax² +bx+c是整式,自变量x的最高次 数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
作业：练习册相关题目
再 见
3 ,8
小结
拓展
1.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做二次函数.其中, x是自变量,a,b,c分别是函 数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
知识剖析
复习
回顾
1. 函数的定义： （在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于 x在某一范围内的每一个确定的值，变量y都 有一个唯一确定的x值与它对应，那么我们称 y是x的函数，其中x是自变量，y是函数．） 2. 大家还记得我们学过哪些函数吗? （ 正比例函数，一次函数，反比例函数．）
26.1
Байду номын сангаас
沪教版数学九年级上册26.1《二次函数的概念》教学设计
沪教版数学九年级上册26.1《二次函数的概念》教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册第26.1节《二次函数的概念》是整个初中数学阶段的重要内容，它为学生以后学习高中数学乃至大学数学打下基础。
本节内容主要介绍二次函数的定义、一般形式以及二次函数的图像特征。
教材通过实例引导学生理解二次函数的概念，并通过自主探究活动，让学生掌握二次函数的性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，例如一次函数和正比例函数。
他们在学习过程中能初步运用观察、实验、猜测、推理、交流等数学活动方式，进一步抽象和概括数学问题。
但二次函数的概念较为抽象，学生理解起来存在一定困难，因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过实际问题来感受二次函数的实际意义，激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式。
2.使学生能够通过实际问题，运用二次函数的知识进行分析。
3.培养学生运用数学语言描述和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的概念，二次函数的一般形式。
2.难点：理解二次函数的图像特征，能够运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次函数的实际意义。
2.自主探究法：教师提出问题，引导学生分组讨论，共同探究二次函数的性质。
3.讲解法：教师对二次函数的概念、性质进行系统的讲解。
4.练习法：通过课堂练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.课件：制作关于二次函数概念、图像特征的课件。
2.练习题：准备一些关于二次函数的练习题，用于课堂练习和课后作业。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如抛物线运动，引出二次函数的概念。
提问：你们认为什么是二次函数？2.呈现（10分钟）呈现二次函数的一般形式，y=ax^2+bx+c（a≠0）。
讲解二次函数的各部分含义，让学生理解二次函数的定义。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，探究二次函数的性质。
26.1.1 二次函数的意义-丁博
2
+kx+1是二次函
知识的升华
已知函数 y (k k ) x kx 2 k (1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数？
2 2
k 0 k 解（1）根据题意得 k 0
2
∴k=1时,y是x的一次函数。
所求的二次函数是y x 12x 15
2
牛刀小试
5.已知二次函数
y 2( x 1) 4
2
（1）你能说出此函数的最小值吗？ 当x=1时,函数y有最小值为4 （2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？
x取任意实数
开动脑筋
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量
的取值范围都是任意实数呢？ 2 例如：圆的面积 y (cm )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2 其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
2
(o<x<10)
(2) y 2 32 20 3 42m
小试牛刀
圆的半径是1cm,假设半径增加 xcm时,圆的面积增加ycm² . （1）写出y与x之间的函数关系表 达式；
（2）当圆的半径分别增加 1cm, 2cm ,2cm时,圆的面积增加多 少？
问题再探究
在种树问题中,种 多少棵橙子树,可 以使果园橙子的 y=-5x² +100x+60000, 总产量最多？
4. 已知二次函数y=x² +px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次 函数的解析式.
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y x 2 px q, 得：
26.1.1二次函数
k 反比例函数y = (k≠0) ， x 二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)。
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表 面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场 比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之 间的关系式. 1 2 1 1 m nn 1 即 m n n 2 2 2
x²
1 (2) y=x+ __ 不是二次函数.
x
(6) v=8π r² 是二次函数. 二次项系数: 8π
(3) s=3-2t² 是二次函数.
二次项系数: 一次项系数: 常数项:
-2 0 3
一次项系数: 0
常数项: 0
思考：2. 二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0 （a≠0）有什么联系和区别？ 联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数 y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
1 d nn 3 2
即
1 2 3 d n n② 2 2
3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划 今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产 量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随 计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎 样表示？
y=20(1+x)2
即 y=20x2+40x+20 ③
26.1 二次函数
基础回顾
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫因变量。 目前，我们已经学习了那几种类型的函 数？
26.1二次函数的概念
温馨提示：同桌交流，互相帮助！
观察 （１） Y=-2x2+20x (0﹤x﹤10) （２）y=-100x2+100x+200
讨论 得到的两个函数关系式有什么特点?
答(1)右边都是关于x的整式. (2)自变量x的
最高次数是2.
即都是自变量的二次整
式！
提问 对比一次函数归纳二次函数的定义？
2007年11月13日制作
( 0≤x≤2)
概念引入
二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是 常数，a≠0)的函数叫做x的二 次函数.
2007年11月13日制作
驶向胜利的 彼岸
提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？ 2. 对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0， 上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
2 怎样写出该关系式？ 每天利润= 单件利润×每天销量
降价x元前
单件利润 （元）
10-8
每天销量 （件）
每天利润（y元)
１００
(１０-８)×１００
降价x元后
100+100x (10-x-8)(100+100x)
y2=007(年1110月1-3日x制-作8)(100+100x)
即y=-100x2+100x+200 ( 0≤x≤2)
（１）写出正方体的表面积Ｓ与正方体棱长a之间的
函数关系？
解：S=6a2 它是一个关于a的二次函数
（2）菱形的两条对角线的和为２６cm，求菱形 的面积Ｓ与一对角线x之间的函数的关系？
2007年11月13日制作
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26.1二次函数的概念
教学目标：1、理解二次函数的概念；掌握二次函数解析式的典型特征，能判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是不是二次函数。
2、对简单的实际问题，能根据具体情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函
数解析式，并确定函数的定义域。
3、经历从实际问题引进二次函数概念的过程，体会用函数去描述、研究变量之
间的变化规律的意义。
4、培养学生的观察、分析、总结能力，让学生体会二次函数是研究和解决生产、
生活实际问题的有用工具。
教学重点：引进二次函数的概念，并帮助学生理解概念，初步学会用二次函数描述实际问题中两个变量之间的依赖关系。
教学难点：让学生根据具体问题情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函数解析式，并确定函数的定义域。
教学用具：多媒体工具。
教学过程：
[复习] 函数的意义，一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式和定义域。
[新知探索1 ] （学生探索回答）
1、请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与x 之间的关系：
(1)圆的面积y (cm2)与圆的半径x ( cm );
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y万元;
(3)一个边长为4厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，则面积随之增加y平方厘米，求y 关于x的函数解析式。
2、仔细观察上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
（1）y =πx2（2）y = 2(1+x)2=2x2+4x+2 （3）y= (x+4)2-42= x2+8x
3、得出结论：经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式，a,b,c是常数, a≠0。
[讲授]我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
注:在二次函数中,含x的代数式必须是整式,含x项的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
[新知探索2 ] 问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？
例如：圆的面积y ( cm2 )与圆的半径x（cm)的函数关系是y =πx2, 其中自变量x能取哪些值呢？(x>0)
注意:在实际应用问题中, 必须注意函数的定义域,自变量x的取值符合实际意义. [趣味练习] （演练竞技场）
6个动物的图片，每个图片后面都有一个题目，学生可以选择动物的图片来回答后面的题目，同学可以一起帮助解决问题。
6个题目为：
1、已知二次函数y=x2-x- 2。
（1）当x= 1 时，求函数y的值；（2）当x取何值时，函数值
为0？
2、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项，（1）y=-3x2-x-1（2）y=x2+x
（3）y=5x2-6
3、对于任意实数k,下列函数一定是二次函数的是( )
A 、y=(k-1)2x 2
B 、y= (k+1)2x 2
C 、 y=(k 2+1)x 2
D 、 y=(k 2-1)x 2
4、请举1个符合以下条件的y 关于x 的二次函数的例子。
二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍。
5、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x 2 (3)y=3x 3+2x 2 (4)y=2x 2-2x+1 (5)y= 21x
(6)y=x 2-x(1+x) 6、函数y=ax²+bx+c ，(a,b,c 是常数)，当a 、b 、c 满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？
[讲授] 例1、若函数m m x
m y --=2)1(2 为二次函数，求m 的值。
解：∵
m
m x m y --=2)1(2
为二次函数 ∴
∴解（1）得：m=2或-1
解（2）得：m ≠1且m ≠-1
∴ m=2
例2、用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），一面靠墙（墙的长度超过20米），设AB 边长为x,矩形的面积为y, 求：(1)写出y 关于x 的函数解析式和函数的定义域.
(2)当x=3时,矩形的面积为多少?
解:(1)∵长方形ABCD 中，AB=x ，则BC=（20-2x ）， ∴面积y 关于x 的函数解析式为：y=x(20-2x)=-2x 2+20x
由 x>0,20-2x>0，得0<x<10
∴函数的定义域是0<x<10
（2）当x=3时,y=-2·32+20·3=42
∴矩形的面积是42平方米。
[独立练习] 1、已知函数y=(m+1)x + (m-1)x (m 为常数).
求：当此函数为二次函数时，m 的值；
2、一条隧道的横截面如图所示，它的上半部是一个半
圆，下半部是一个矩形，矩形的一边长2.5米，如果隧道的下部的
宽度大于5米但不超过10米，求：隧道横截面积S （平方米）关于上半部分半径r （米）的函数解析式和函数的定义域。
[小结] 这堂课，你学到了哪些新知识？（学生小结，教师补充）
[作业] 练习册26.1
23m m 2--D C
B A
⎪⎩⎪⎨⎧≠-=-)2(01)1(222m m m。