26.1二次函数的概念

26.1二次函数的概念

教学目标：1、理解二次函数的概念；掌握二次函数解析式的典型特征，能判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是不是二次函数。

2、对简单的实际问题，能根据具体情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函

数解析式，并确定函数的定义域。

3、经历从实际问题引进二次函数概念的过程，体会用函数去描述、研究变量之

间的变化规律的意义。

4、培养学生的观察、分析、总结能力，让学生体会二次函数是研究和解决生产、

生活实际问题的有用工具。

教学重点：引进二次函数的概念，并帮助学生理解概念，初步学会用二次函数描述实际问题中两个变量之间的依赖关系。

教学难点：让学生根据具体问题情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函数解析式，并确定函数的定义域。

教学用具：多媒体工具。

教学过程：

[复习] 函数的意义，一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式和定义域。

[新知探索1 ] （学生探索回答）

1、请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与x 之间的关系：

(1)圆的面积y (cm2)与圆的半径x ( cm );

(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y万元;

(3)一个边长为4厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，则面积随之增加y平方厘米，求y 关于x的函数解析式。

2、仔细观察上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?

（1）y =πx2（2）y = 2(1+x)2=2x2+4x+2 （3）y= (x+4)2-42= x2+8x

3、得出结论：经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式，a,b,c是常数, a≠0。

[讲授]我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

注:在二次函数中,含x的代数式必须是整式,含x项的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。

[新知探索2 ] 问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？

例如：圆的面积y ( cm2 )与圆的半径x（cm)的函数关系是y =πx2, 其中自变量x能取哪些值呢？(x>0)

注意:在实际应用问题中, 必须注意函数的定义域,自变量x的取值符合实际意义. [趣味练习] （演练竞技场）

6个动物的图片，每个图片后面都有一个题目，学生可以选择动物的图片来回答后面的题目，同学可以一起帮助解决问题。6个题目为：

1、已知二次函数y=x2-x- 2。（1）当x= 1 时，求函数y的值；（2）当x取何值时，函数值

为0？

2、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项，（1）y=-3x2-x-1（2）y=x2+x

（3）y=5x2-6

3、对于任意实数k,下列函数一定是二次函数的是( )

A 、y=(k-1)2x 2

B 、y= (k+1)2x 2

C 、 y=(k 2+1)x 2

D 、 y=(k 2-1)x 2

4、请举1个符合以下条件的y 关于x 的二次函数的例子。

二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍。

5、下列函数中，哪些是二次函数？

(1)y=3x-1 (2)y=3x 2 (3)y=3x 3+2x 2 (4)y=2x 2-2x+1 (5)y= 21x

(6)y=x 2-x(1+x) 6、函数y=ax²+bx+c ，(a,b,c 是常数)，当a 、b 、c 满足什么条件时

(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？

[讲授] 例1、若函数m m x

m y --=2)1(2 为二次函数，求m 的值。 解：∵

m

m x m y --=2)1(2

为二次函数 ∴

∴解（1）得：m=2或-1

解（2）得：m ≠1且m ≠-1

∴ m=2

例2、用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），一面靠墙（墙的长度超过20米），设AB 边长为x,矩形的面积为y, 求：(1)写出y 关于x 的函数解析式和函数的定义域.

(2)当x=3时,矩形的面积为多少?

解:(1)∵长方形ABCD 中，AB=x ，则BC=（20-2x ）， ∴面积y 关于x 的函数解析式为：y=x(20-2x)=-2x 2+20x

由 x>0,20-2x>0，得0

∴函数的定义域是0

（2）当x=3时,y=-2·32+20·3=42

∴矩形的面积是42平方米。 [独立练习] 1、已知函数y=(m+1)x + (m-1)x (m 为常数).

求：当此函数为二次函数时，m 的值；

2、一条隧道的横截面如图所示，它的上半部是一个半

圆，下半部是一个矩形，矩形的一边长2.5米，如果隧道的下部的

宽度大于5米但不超过10米，求：隧道横截面积S （平方米）关于上半部分半径r （米）的函数解析式和函数的定义域。

[小结] 这堂课，你学到了哪些新知识？（学生小结，教师补充）

[作业] 练习册26.1

23m m 2--D C

B A

⎪⎩⎪⎨⎧≠-=-)2(01)1(222m m m