数学物理方法第二章

记为 C.
数学物理方法第二章
A
o
B
x1
关于曲线方向的说明:
在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为 起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向.
简单闭曲线正向的定义:
简单闭曲线C的正向是 y
指当曲线上的点P顺此方向
P
前进时, 邻近P点的曲线的
内部始终位于P点的左方.
记为 f(z)dz.
C
(2)如果 C是x轴上的a区 x间 b,而f(z) u(x),这个积分定义实 就变 是函 一数 元 定积分的 . 定义
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3. 存在的条件和计算法
如果 f(z)是连续C函 是数 光而 滑, 曲线
积分 Cf(z)dz一定.存在
证 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
9
公式 C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
在形式上可以看成是
f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
C f(z)dzC (uiv )d (xid y)
C u d x id v x id u y v d y
u d x v d y i v d x u d y .积分的计算法1
如 果 不 C的 论分 对法 k的 及取 法 ,Sn如 有何 唯
一 极 ,那 限么 称 这 极 限 值 为
函数 f(z)沿曲C的 线积 ,y 分
记为
n
f(z)dzlimf(
C
n k1
k)zk.
源自文库 A
1
2
z1
z2
B
C zn1
k zk z k 1
o
x
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关于定义的说明:
(1)如果C是闭曲,那 线么沿此闭曲线的积
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
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并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
设 kkik,
因 z k z k z k 1 为 x k i k ( y x k 1 i k 1 ) y ( x k x k 1 ) i ( y k y k 1 )
o
与之相反的方向就是曲线的负方向.
P
P
P
x
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2
2.积分的定义:
设函数 w f(z)定义在区D内 域,C为区域
D内起点A为 终点为 B的一条光滑的有, 向曲
把曲线 C任意分n成 个弧,段 设分点为
Az0, z1,,zk1, zk,, zn B,
y
在每个弧段zk1zk
(k 1,2,,n)
特别地，若在L上有 f (z) M，L的长记为L，则 性质(5)成为
(6) L f (z)dzML
注意：数学分析中的积分中值定理不能推移到复 变函数积分上来，例如：
2.1复变函数的积分
——复平面上的线积分
(与实函数积分相似，定义为和的极限)
1.有向曲线:
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线.
如果A到B作为曲线C的正向, y
那么B到A就是曲线C的负向,
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当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
不论 C的 对分法 ,点 (任 k,k)的 何取法 , 如
下式两端 , 极限存在
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
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性质：
设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则
(1)f(z)dz f(z)d;z反转积分路径，积分反号
L
L
(2 LR ) (z f)d zR Lf(z)d,z其R 为 中复常数
常数因子可以移到积分号外
( L 3 f( z ) ) g ( z ) d L z f( z ) d L z g ( z ) d ; z
xki yk,
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n
所以 f(k)zk
k1
n
[u (k,k) iv (k,k) ]x k ( i y k)
k 1
n
[u(k,k)xk v(k,k)yk]
k1
n
i [v(k,k)xk u(k,k)yk]
k1
由于 u,v都是连续,函 根据数 线积分的存在定理,
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Cf(z)d zf[z(t)z](t)d t
如果 C是由 C1,C2, ,Cn等光滑曲线 相互连接所光 组滑 成,曲 的 则线 按段
f(z)dzf ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z .
C
C 1
C 2
C n
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
上任意取一点 k ,
1 A
2
z1
z2
B
C zn1
k zk z k 1
o
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x
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n
n
作S n 和 f(k 式 ) ( z k z k 1 )f(k ) z k ,
k 1
k 1
这 z k 里 z k z k 1 , s k z k 1 z k 的 ,长度
记 m 1kn{a skx },当 n无限增 加 0时 ,且
C
C
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积分的计算法2
Cf(z)dz可以通过两个 函二 数元 的实 线
积分来. 计算
Cf(z)d z{u [x(t)y ,(t)x ](t)v[x(t)y ,(t)y ](t)d }t i {v[x(t)y ,(t)x ](t)u [x(t)y ,(t)y ](t)d }t
{ u [ x ( t ) y ( t , ) i ] [ x v ( t ) y ( t , )x ] ( t ) } i y ( t { ) d t} f[z(t)z](t)dt.
函数的和的积分等于各函数积分之和
(4f)(z)d z f(z)d z f(z)d,z其L 是 中
L
L 1
L 2
由 L 1和 L 2组成全的 路径上的积分等于各段上积分之和
(5) f(z)dz f(z)ds
L
L 数学物理方法第二章
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注意到 d zd xidy(d)2 x(d)2 yds
性质(5)可以写为 Lf(z)dzL f(z)dz