数学物理方法第二章
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z→∞时，可以只保留 f (z)–f (b) 的展开式中不为零的第一项，
即
f(z)f(b )1f(n )(b )(z b )2 o (z b )2
2 !
令 zbrie,f(b)aie 0代入(2-2-9)式，略去高次项，得到
f(z) f(b ) a 2 2c ro 2 s0 ) ( ia 2 2s ri2 n 0 () (2-2-10)
所谓“沿某一方向穿过 b 点”，就是先固定一个θ值，让 r从大于零减小到零，然后将θ加大π，让r从零增加到大于零。 如果对于相应的θ，(2-2-10) 式的实部取最大的正值，则在这 一方向附近，f (z)上升最陡；如果对于相应的θ，(2-2-10)式 的是不取绝对值最大的负值，则在这一方向附近，f(z)下降 最陡，因此：
解：我们用待定系数法求这个展开式。设在|z| <π /2 内， secz可展开成
secza 0 a 1 z a nzn
但另一方面，在 |z| <π /2 内，有
sezc 1
1
cozs 1z2 z4
2 4!
因此在 |z| <π /2 内，有
1 (a 0 a 1 z a nzn )1 ( z 2 2 !z 4 4 ! )
a. 幂级数在其收敛圆内解析； b. 解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的。 (2) 如果f(z)在D内有一阶导数存在，则f(z)可在D内每一点的 邻域内展开成泰勒级数。而对于实变函数来说，f (x) 的一
阶导数存在，它的二阶或高阶导数可能不存在，因此 f(x) 就不可能展开成泰勒级数。
f(k)(0)m (m1) (mk1)
k!
k!
代入 (2-2-4) 得
( 1 z ) m 1 m m ( m z 1 ) z 2 m ( m 1 ) ( m k 1 ) z k
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法第二章复变函数的积分
1 1
一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有 关, 同时还与路径有关。
§2.2 柯西（Cauchy）定理
——研究积分与路径之间的关系 （一）单连通域情形 单连通域： 在其中作任何简单闭合围线，围 线内的点都是属于该区域内的点。 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f (z) 在闭 单连通区域 B 中单值且解析， 则沿 B 中任 何一个分段光滑的闭合曲线 l (也可以是 B 的 边界 l0 ), 函数的积分为零。
lim f( z z ) k)( k k 1
n
存在且与 k 的选取无关, 则这个和的极限称为 函数 f (z) 沿曲线 l 从 A 到 B 的路积分，记为
即
l
f (z) dz
n k k k 1
z ) d z lim f ( )( z z f(
l n k 1 max | z | 0 k
l 1 l 2
f (z)=Re (z)不是解析函数!
y i l2 o l1 1 l2
I1 Rez d z xd( x iy) 1 xd x i d y i 0 0 2 ( y = 0) (x=1)
1 1
1+i
l1 x
1 I 0 id y x d x 2 0 0 (x=0) ( y=i ) 2
l l l
v u u v d x d y i d x d y s s x y y x
又u、v 满足C-R条件 u v u v , x y y x
y
f ( z ) d z 0
l
B
l
o
一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有 关, 同时还与路径有关。
§2.2 柯西（Cauchy）定理
——研究积分与路径之间的关系 （一）单连通域情形 单连通域： 在其中作任何简单闭合围线，围 线内的点都是属于该区域内的点。 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f (z) 在闭 单连通区域 B 中单值且解析， 则沿 B 中任 何一个分段光滑的闭合曲线 l (也可以是 B 的 边界 l0 ), 函数的积分为零。
lim f( z z ) k)( k k 1
n
存在且与 k 的选取无关, 则这个和的极限称为 函数 f (z) 沿曲线 l 从 A 到 B 的路积分，记为
即
l
f (z) dz
n k k k 1
z ) d z lim f ( )( z z f(
l n k 1 max | z | 0 k
l 1 l 2
f (z)=Re (z)不是解析函数!
y i l2 o l1 1 l2
I1 Rez d z xd( x iy) 1 xd x i d y i 0 0 2 ( y = 0) (x=1)
1 1
1+i
l1 x
1 I 0 id y x d x 2 0 0 (x=0) ( y=i ) 2
l l l
v u u v d x d y i d x d y s s x y y x
又u、v 满足C-R条件 u v u v , x y y x
y
f ( z ) d z 0
l
B
l
o
数学物理方法第2章复变函数积分-2016方案
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)，
将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
3
【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；
(2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)；
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析，则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理．
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
29
这就是解析函数的定积分公式，它与实变 函数中的牛顿-莱布尼茨公式具有相同的形 式。
通常把f(z)的原函数的集合
称f(z)的不定积分，式中C为复常数。
30
(2.2.8)
31
§2.2.3 复通区域的柯西定理
定理 若f(z)在闭复通区域 解析，则f(z)沿所
有内、外边界线(L=L0+ 之和为零
37
【2.2.2】试计算 其中积分回路分别(图2.11) (1) |z-i|＝2；(2) |z+i|＝2；(3) |z|＝3.
38
解 首先，将被积函数分解为部分分式(利用通 分可以凑出来)
≠0
=0
39
40
【例2.2.3】若f(z)=1/(z-a) 在z=a的无心邻域内 连续，积分回路是以a点为圆心的圆弧
由于a点在D内随意变动时，柯西公式依然成立， 有时分别用z和x代替式 (2.3.1)的a和z。将柯西公 式改写为
数学物理方法 第二章 复变函数的积分
wuxia@
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
数学物理方法第2章复变函数积分-2016
49
50
【例2.3.2】试计算积分，
积分回路L为x2 + y2=2x 解 (1) 积分回路的形状： (x-1)2+y2=1
(2)被积函数的奇点．
方程z4+1=0有四个根：z=exp[i (p+2kp)/4]， k=0,1,2,3，因此，被积函数有四个奇点，但仅有 z1与z4位于积分回路之内
51
2. 复通区域的柯西公式
设f (z)在闭复通区域D中解析，a为D的内点， 则 式中积分沿D的内外边界线的正方向．
32
证明 为了应用单通区域的柯西定理，作割线把外边界线 L0与内边界线连接起来，将闭复通区域变成闭单通区域。
33
推论3 在f(z)的解析区域中，积分回路连 续变形时，其积分值不变．
证明 取变形前后的积分回路 作为复通区域 的内外边界 线，如图2.9所示．由式 (2.2.21a) 可得
移项后，改变l2的积分方向，即有
复变积分性质(5)及式(2.2.34)，可证
43
由于e可任意地小，(q2-q1)为常量，式
(2.2.35)表明
可任意地小根据极限的定义，可得
44
2. 大圆弧引理
若j(z)在无穷远点的无心邻域内连续，在大 圆弧CR(z=Reiq, R→∞,q1<q<q2 )上
这两个引理为计算沿圆弧的积分带来方便． 2.3节将分别用来证明单通区域及无界区域的 柯西公式．
(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算以小圆周c1 和c2分别包围奇点z1和z4 ，则被积函数在外边界线l 与内边界线c1 ， c2 所围的复通区域解析。按复通区 域的柯西定理，沿l的积分等于沿C1与C2积分之和， 后两个积分可按柯西公式算出，即
数学物理方法第二章 第二讲PPT课件
，设
L
为：
|
z
|
2a
(a 0) .
1
【解法
1】显然被积函数
f
(z)
z 3a z2 a2
在积分区域
L
内部有两个奇点 z1 a, z2 a ．设 l1 仅含奇点 z1 ，l2 仅含
奇点 z2 ，利用复合闭路柯西积分定理和有界域的柯西
积分公式有
21
1
1
I
dz
(za)(z3a)dz (za)(z3a)dz
L(z2 a2)(z3a) l1
za
l2
za
1
1
2πi(za)(z3a) |za 2πi(za)(z3a) |za
2πi 1 2πi 1 πi 2a(2a) (2a)(4a) 4a2
22
【解法 2】 若将上式逆时针方向转化为顺时针方向
1
积分，则被积函数 f (z) z2 a2 在 L 外部仅有一个奇点
z 3a
z
3a ，且当|
z
|
时，
f
(z)
z2
1 a2
0
，满足无界区域
的柯西积分公式条件． 故有
I
dz
dz
L (z2 a2 )(z 3a)
L (z2 a2 )(z 3a)
1
L
(z2 a2) (z 3a)
dz
2πi
z2
1
a2
|z3a
πi 4a2
23
特别说明：显然当积分区域内部的奇点 多于外部的奇点时，考察是否满足无界区域 的柯西积分公式条件，如果满足则可简化计 算．
| z | 时 f (z) ；0
（3）应用有界区域公式的积分沿着逆时针方向进
数学物理方法第二章
证明：对 [ f (z)]n 应用柯西公式
[ f (z)]n 1 [ f ( )]n d
2 i l z
若 |f(z)| 在l上极大值为M，|z| 的极小值为，l的长为s
f (z) n M n s
2
1
f
(z)
M
s
2
n
n
f (z) M
21
Liouville定理：如 f(z) 在全平面上解析，并且是有界 的，即 |f(z)| N，则 f(z) 必为常数。
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
l
l1
l2
ln
13
柯西定理总结 1. 闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。
2. 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向 的积分和为零。
3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的 积分等于沿所有内境ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线逆时针方向的积分的和。
P Q y x
由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分
z2
z2
z2
f (z)dz udx vdy i vdx udy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
7
单连通区域柯西定理： 如果函数f (z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任
一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有
f (z) f ()dz
max f (z) f ()
2 0
C z
18
如果l是圆周z= +reiθ，
f () 1 2 f ( rei )d 2 0
这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它
在圆周的平均值。
武汉大学数学物理方法第二章
如果该静电场是无旋场，则 存在标量函数v(x,y)，使得
xvEx, yvEy
C-R条件
uv, uv x y y x
静电场的复势 f(z ) u (x ,y ) iv (x ,y )
E E x iE y gv r a x v d i y v if(z )
谢谢观赏
共同学习交流提高
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请 尽量言简意赅的阐述观点。
=f(z)
解析函数 非解析函数： =Rez
解析函数将z平面上的区域变为 平面上 的区域
解析函数可以将z平面上的一个区域变换 为 平面上的一个区域，其中区域的边界
变换为区域的边界，甚至保持边界的方向 不变；同时区域的内部变换为区域的内部
y
v
B
D
O
x =f(z)
O
u
举例yLeabharlann O/3xf(z)=z3
v
O
u
v y
ia
z ia
z ia
O
u
O
x
在解析变换下调和方程式不变的
设 =f(z)是某区域B内的解析函数，它将z
平面上的区域B变为 平面上的一个区域
D，而将B上的函数u(x,y)将为u( , )，则
有
x2u2 y2u2| f(z)|2 2u22u2
y
u(x,y)
u( , )
B
D
O
x
=f(z)
举例
de z e z dz dsinz cosz
dz
dLnz 1 dz z
dcosz sinz dz
dsinhz coshz dz
dcoshz sinhz dz
第二节 解析函数
数学物理方法-2.1 调和函数和初等函数
指数和对数函数
指数函数
e z e x (cos y i sin y )
对数函数
指数函数 是周期的 T＝2kπi, k为整数
指数函数的反函数：若两个复数z,w满足关系z=ew， 称w是z的对数函数，记为 w Ln( z ) 主值
对数函数 Ln( z ) ln | z | i Arg( z ) 是多值的
第二章
解析函数
复变函数的导数 解析函数 调和函数 初等函数 平面场的复势
调和函数是解析函数的扩展、加深； 初等函数是基本函数类型，是复变函数的基础。
复习：解析函数的判别法(CR条件)
条件1 的充分条件：u, v具有连续的一阶偏导数。
。
调和函数
拉普拉斯方程 又称势函数
简单性质 有限个调和函数的线性组合也是调和函数； 解析函数的实部和虚部都是调和函数； 但，两个调和函数u, v构成的复变函数f(z)=u+iv不一定 构成解析函数。
幂函数的应用：写出复数(1+i)i的代数式。
三角函数、反三角函数
定义复变数z的正弦、余弦函数分别如下：
e iz e iz cos z 2 例：求函数cos(z)的模。
e iz e iz sin z 2i
三角函数的反函数，称为反三角函数 设z=cosw或z=sinw，其反函数分别为：
例1： u(x, y)=e-ycosx，求一解析函数f(z)=u+iv
例2：u(x, y)=(x-y)(x2+4xy+y2) ，求一解析函数 f(z)=u+iv.
已知调和函数u或v，求解析函数f(z)的方法小结
方法一：曲线积分 积分路径：从z0到z的任意路径 方法二：逐步积分 先根据CR条件的一个方程用记分方法求出v, 与另一个 方程匹配，确定积分常数。（步骤清晰、容易理解） 方法三：全微分 根据CR条件第一点（可微条件），要求更高（能看出 全微分）。
数学物理方法-第二章
一点 ς k ⊂ [zk−1, zk ] 求和:
z0 = a, z1, z2 ,⋯, zk−1, zk ,⋯, zn = b ,在每个弧段 zk−1zk 上任意取
∑ f (ς
k =1
n
k
)(zk − zk−1 ) = ∑ f (ς k )∆zk (1)
k =1
n
当 n → ∞ 时,即每个弧段长趋于 0 时,若和的极限存在, 则称此极限为函数 f (z) 在 l 上的积分, 图示见课本 n 记作: ∫ f (z)dz = limn→∞ ∑ f (ς k )∆zk . (2)
l k =1
将 f (z) = u(x, y) + iv(x, y),
dz = dx + idy 代入
∫ f (z)dz = lim
l
l l
n→∞
∑ f (ς
k =1
n
k
)∆zk 式,得
∫ f (z)dz = ∫ udx − vdy + i∫ vdx + udy .
l
这表明复变积分实际上是两个实变函数积分的组合。 因此,从实变函数定积分的存在定理 (高等数学,同济大学数学教研室编,第四版,上册 279 页)可知, 只要复变函数 f (z) 在曲线 l 上连续,则积分(即和的极限)存在.
l l1 l2 ln
即全路径的积分等于各段路径上积分之和
(5).
f (z)dz ≤ ∫ f (z) ds . 其中 ds = dz = dx2 + dy2 ∫
l l
是积分曲线 l 的弧元. 证:对不等式 (6).
∑ f (ς )∆z
k =1 k
n
k
≤ ∑ f (ςk ) ∆zk 两边取极限即得
z0 = a, z1, z2 ,⋯, zk−1, zk ,⋯, zn = b ,在每个弧段 zk−1zk 上任意取
∑ f (ς
k =1
n
k
)(zk − zk−1 ) = ∑ f (ς k )∆zk (1)
k =1
n
当 n → ∞ 时,即每个弧段长趋于 0 时,若和的极限存在, 则称此极限为函数 f (z) 在 l 上的积分, 图示见课本 n 记作: ∫ f (z)dz = limn→∞ ∑ f (ς k )∆zk . (2)
l k =1
将 f (z) = u(x, y) + iv(x, y),
dz = dx + idy 代入
∫ f (z)dz = lim
l
l l
n→∞
∑ f (ς
k =1
n
k
)∆zk 式,得
∫ f (z)dz = ∫ udx − vdy + i∫ vdx + udy .
l
这表明复变积分实际上是两个实变函数积分的组合。 因此,从实变函数定积分的存在定理 (高等数学,同济大学数学教研室编,第四版,上册 279 页)可知, 只要复变函数 f (z) 在曲线 l 上连续,则积分(即和的极限)存在.
l l1 l2 ln
即全路径的积分等于各段路径上积分之和
(5).
f (z)dz ≤ ∫ f (z) ds . 其中 ds = dz = dx2 + dy2 ∫
l l
是积分曲线 l 的弧元. 证:对不等式 (6).
∑ f (ς )∆z
k =1 k
n
k
≤ ∑ f (ςk ) ∆zk 两边取极限即得
数学物理方法2-1Fourier变换new
函数f (t)的Fourier积分公式
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
定理2.1.1 Fourier积分收敛定理 设 f ( x ) 在 ( , ) 上满足： 1°在任一有限区间满足 Dirichlet 条件；
2°绝对可积
f (t ) dt
1 -i w x iwt 则 f x dx dw ( ( )e )e 2 在 t 点连续 f ( t ), 1 ( f ( t 0) f ( t 0))， 其它 2 注:满足条件1°才能保证函数在任意有限区间上能展为 Fourier级数;满足条件2°才能保证T→+∞时极限存在。
T 则当T→+∞时，等价于△w → 0,从而
1 T -i wn x i wnt 2 ( ( )e ) e f (t ) lim f x dx w T T T 2 n 2 1 ( f ( x)e-i wxdx)ei wtdw 2
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
注:
1.
ˆ ( w ) | dw 收敛 | f ( x ) | dx 收敛保证，不一定保证 | f
2.能否扩大Fourier变换（逆变换）定义空间
1 ˆ 1 ˆ ˆ 3. f (t ) f ( w) F [ f ](t ) ， F [ f ](t )等于f (t )？ 1
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
1, t 1 例 1 求矩形脉冲函数 f (t ) 的Fourier积分。 0, t 1
1 e it it ˆ f ( w) f (t )e dt e dt 1 i it 1
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
定理2.1.1 Fourier积分收敛定理 设 f ( x ) 在 ( , ) 上满足： 1°在任一有限区间满足 Dirichlet 条件；
2°绝对可积
f (t ) dt
1 -i w x iwt 则 f x dx dw ( ( )e )e 2 在 t 点连续 f ( t ), 1 ( f ( t 0) f ( t 0))， 其它 2 注:满足条件1°才能保证函数在任意有限区间上能展为 Fourier级数;满足条件2°才能保证T→+∞时极限存在。
T 则当T→+∞时，等价于△w → 0,从而
1 T -i wn x i wnt 2 ( ( )e ) e f (t ) lim f x dx w T T T 2 n 2 1 ( f ( x)e-i wxdx)ei wtdw 2
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
注:
1.
ˆ ( w ) | dw 收敛 | f ( x ) | dx 收敛保证，不一定保证 | f
2.能否扩大Fourier变换（逆变换）定义空间
1 ˆ 1 ˆ ˆ 3. f (t ) f ( w) F [ f ](t ) ， F [ f ](t )等于f (t )？ 1
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
1, t 1 例 1 求矩形脉冲函数 f (t ) 的Fourier积分。 0, t 1
1 e it it ˆ f ( w) f (t )e dt e dt 1 i it 1
数学物理方法教学Chapt2
将回路积分化成面积分，有
同样，由于f(z)在B上解析，其实部u和虚部v在B上满足 柯西-黎曼条件：
柯西定理
因此，这两个面积分为0，柯西定理得证！ 推广的单连通区域柯西定理：如果函数f(z)在单连通区域B上解析， 在闭单连通区域 上连续，则沿 上任一分段光滑闭合曲线l(也可 以是 的边界)，有
例2. 试计算积分 解：
将zk和f(z)都用实部和虚部写出， 则有，
复变函数的积分
复变函数的路积分可以归结为两个实变函数线积分，它们分别是路积 分的实部和虚部.因而，实变函数线积分的许多性质也对路积分成立： 1.常数因子可以移到积分号之外； 2.函数的和的积分等于各个函数的积分的和； 3.反转积分路径，积分变号； 4.全路径上的积分等于各段上积分之和； 5.积分不等式1：
不定积分 上一节的结论：
若函数f(z)在单连通区域B上解析，则沿B上任一路 径l积分的值只与起点和终点有关，而与路径无关.
不定积分定义：当起点z0固定时，终点z不固定，区域B上的解析函 数f(z)的不定积分就定义了一个单值函数，记作
可以证明，F(z)在B上是解析的，且F’(z)=f(z),即F(z)是f(z)的一 个原函数.
于是
不定积分
由于f(z)在B上连续，对任意给定的正数ε,必存在正数δ,使得当 时， ，即只要小圆取得足够小，则小圆内的一切点均满足 这样
即
还可以证明
就是说，路积分的值等于原函数的该变量.
不定积分
例1 计算积分
解：1.若回路l不包围点α，则被积函数在l所围区域上解析的，按照柯西定理积分值 为零; 2.回路l包围点α的情形: 2a.如果n≧0, 被积函数在l所围区域上是解析的；积分值也为零. 2b.如果n<0,被积函数在l所围区域中有一个奇点α.
数学物理方法 第二章(1)
外处处发散.(利用Abel定理采用反证法证明)
k a ( z b ) , 必存在一个R0,使得在圆 z b R 推论二:对于幂级数 k k 0
k 0
内处处收敛,而在圆外处处发散.
k a ( z b ) z b R ， R 为收敛半径，在该圆内 收敛圆： k k 0
n
就称级数收敛， s lim sn 称为级数的和；否则称 级数发散的。 复常数项级数收敛的充 要条件 - - - 柯西审敛原理 必要条件： lim wn 0 2017/3/20
n
3
绝对收敛： 若级数 wk w1 w2 wk 收敛，则称
201812925按定理展成taylor级数与实函幂级数展开相似laurent级数较复杂根据幂级数在收敛域上是绝对一致收敛且解析的性质可运用sinzcosz等的展开式和幂级数的四则运算逐项求导逐项积分宗量代换及函数的复合展开p5859例题2018129第三章261利用2018129第三章272018129第三章282利用esinzcosz等的展开式2018129第三章294级数相乘或相除sincoscotp49运用级数乘法或待定系数法据cotz是奇函数并可知最低幂项为z1cot代入cossincot2018129第三章305其它展开法例如
(其中μ是常数）
k 1 k
各判据依次增强，其复杂程度依次增加.
绝对收敛级数的乘积仍绝对收敛 连续的一致收敛级数可逐项积分 解析且一致收敛的级数可逐项求导
2017/3/20
解析、绝对且一致收敛级 数,可进行四则运算、逐 项积分、逐项求导 10
（三）幂级数
幂级数的一般形式：
阿贝尔(Abel)定理:
第1和2章数学物理方法
z z0
有
f ( z) w0
z z0
称z --> z0时w0为极限，计为
lim f ( z ) w0
注意：z在全平面，z --> z0须以任意方式
若有
z z0
lim f ( z ) f ( z0 )
*
*
e
i
1 i i cos (e e ) 2
（二） 无限远点 N
1 i i sin (e e ) 2i
零点 无限远点
Riemann球面 复球面
A
z S
（三）复数的运算 1、复数的加减法
z1 z2 x1 y1i ( x2 y2i) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i
例：计算 cos cos 2 cos 3 cos n
sin sin 2 sin 3 sin n
解： 令
a cos cos 2 cos 3 cos n b sin sin 2 sin 3 sin n
2、复数的乘法
z1 z2 ( x1 y1i)( x2 y2i) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 )
z1 z2 1e
i1
2e
i 2
1 2 e 1 2[cos(1 2 ) i sin( 1 2 )]
1 1 * * * ( z1 z2 ) ( z1 z2 ) 3）、 2 2
例：讨论式子 Re(1 / z ) 2在复平面上的意义
解：
Re(1 / z ) 2
z x yi
1 1 x yi 2 z x yi x y2
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o
与之相反的方向就是曲线的负方向.
P
P
P
x
数学物理方法第二章
2
2.积分的定义:
设函数 w f(z)定义在区D内 域,C为区域
D内起点A为 终点为 B的一条光滑的有, 向曲
把曲线 C任意分n成 个弧,段 设分点为
Az0, z1,,zk1, zk,, zn B,
y
在每个弧段zk1zk
(k 1,2,,n)
xki yk,
数学物理方法第二章
7
n
所以 f(k)zk
k1
n
[u (k,k) iv (k,k) ]x k ( i y k)
k 1
n
[u(k,k)xk v(k,k)yk]
k1
n
i [v(k,k)xk u(k,k)yk]
k1
由于 u,v都是连续,函 根据数 线积分的存在定理,
数学物理方法第二章
特别地，若在L上有 f (z) M，L的长记为L，则 性质(5)成为
(6) L f (z)dzML
注意：数学分析中的积分中值定理不能推移到复 变函数积分上来，例如：
2.1复变函数的积分
——复平面上的线积分
(与实函数积分相似，定义为和的极限)
1.有向曲线:
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线.
如果A到B作为曲线C的正向, y
那么B到A就是曲线C的负向,
数学物理方法第二章
12
性质：
设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则
(1)f(z)dz f(z)d;z反转积分路径，积分反号
L
L
(2 LR ) (z f)d zR Lf(z)d,z其R 为 中复常数
常数因子可以移到积分号外
( L 3 f( z ) ) g ( z ) d L z f( z ) d L z g ( z ) d ; z
如 果 不 C的 论分 对法 k的 及取 法 ,Sn如 有何 唯
一 极 ,那 限么 称 这 极 限 值 为
函数 f(z)沿曲C的 线积 ,y 分
记为
n
f(z)dzlimf(
C
n k1
k)zk.
A
1
2
z1
z2
B
C zn1
k zk z k 1
o
x
数学物理方法第二章
4
关于定义的说明:
(1)如果C是闭曲,那 线么沿此闭曲线的积
9
公式 C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
在形式上可以看成是
f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
C f(z)dzC (uiv )d (xid y)
C u d x id v x id u y v d y
u d x v d y i v d x u d y .积分的计算法1
函数的和的积分等于各函数积分之和
(4f)(z)d z f(z)d z f(z)d,z其L 是 中
L
L 1
L 2
由 L 1和 L 2组成全的 路径上的积分等于各段上积分之和
(5) f(z)dz f(z)ds
L
L 数学物理方法第二章
13
注意到 d zd xidy(d)2 x(d)2 yds
性质(5)可以写为 Lf(z)dzL f(z)dz
8
当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
不论 C的 对分法 ,点 (任 k,k)的 何取法 , 如
下式两端 , 极限存在
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
数学物理方法第二章
记为 f(z)dz.
C
(2)如果 C是x轴上的a区 x间 b,而f(z) u(x),这个积分定义实 就变 是函 一数 元 定积分的 . 定义
数学物理方法第二章
5
3. 存在的条件和计算法
如果 f(z)是连续C函 是数 光而 滑, 曲线
积分 Cf(z)dz一定.存在
证 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
C
C
数学物理方法第二章
10
积分的计算法2
Cf(z)dz可以通过两个 函二 数元 的实 线
积分来. 计算
Cf(z)d z{u [x(t)y ,(t)x ](t)v[x(t)y ,(t)y ](t)d }t i {v[x(t)y ,(t)x ](t)u [x(t)y ,(t)y ](t)d }t
{ u [ x ( t ) y ( t , ) i ] [ x v ( t ) y ( t , )x ] ( t ) } i y ( t { ) d t} f[z(t)z](t)dt.
记为 C.
数学物理方法第二章
A
o
B
x1
关于曲线方向的说明:
在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为 起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向.
简单闭曲线正向的定义:
简单闭曲线C的正向是 y
指当曲线上的点P顺此方向
P
前进时, 邻近P点的曲线的
内部始终位于P点的左方.
上任意取一点 k ,
1 A
2
z1
z2
B
C zn1
k zk z k 1
o
数学物理方法第二章
x
3
n
n
作S n 和 f(k 式 ) ( z k z k 1 )f(k ) z k ,
k 1
k 1
这 z k 里 z k z k 1 , s k z k 1 z k 的 ,长度
记 m 1kn{a skx },当 n无限增 加 0时 ,且
数学物理方法第二章
11
Cf(z)d zf[z(t)z](t)d t
如果 C是由 C1,C2, ,Cn等光滑曲线 相互连接所光 组滑 成,曲 的 则线 按段
f(z)dzf ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z .
C
C 1
C 2
C n
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
数学物理方法第二章
6
并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
设 kkik,
因 z k z k z k 1 为 x k i k ( y x k 1 i k 1 ) y ( x k x k 1 ) i ( y k y k 1 )