丁玉美《数字信号处理》(第3版)(课后习题 快速傅里叶变换(FFT))
数字信号处理课后答案+第2章(高西全丁美玉第三版)
j k j k e 4 (e 4
n 0
3
~ (n)e x
j
2 kn 4
π 4
n 0
1
j kn e 2
1j k e 2源自j k e 4 )
2 cos(
π j k k) e 4
~ X ( k )以4为周期
证明输入x(n)=A cos(ω0n+j)的稳态响应为
y (n) A | H (e j0 ) | cos0 n j (0 )
解： 假设输入信号x(n)=ejω0n，系统单位脉冲响应为h(n)， 则系统输出为
y ( n) h( n) x ( n) e j 0 n
(9)
x(n / 2) n 偶数 x9 (n) n 奇数 0
解：（1）
FT[ x(n n0 )]
n
x(n n0 )e jn
令n′=n－n0, 即n=n′+n0， 则
FT[ x(n n0 )]
（2）
FT[ x (n)]
n
x(n)e jn
令n′=－n， 则
FT[ x(n)]
n
x(n)e jn X (e j )
（4）
FT［x(n)*y(n)］=X(ejω)Y(ejω)
下面证明上式成立：
x ( n) y ( n)
m
x ( m) y ( n m)
FT[ x(n) y (n)]
n
x(n)e j2n X (e j2 )
数字信号处理第三版课后答案丁玉美
7． 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列 x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。
解： 解法（一）采用列表法。
y(n)=x(n)*h(n)= x(m)h(n－m) m
有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。
（1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)
解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=
R4(m)R5(n－m)
m
先确定求和域。 由R4(m)和R5(n－m)确定y（n）对于m的 非零区间如下:
（5）y(n)=x2(n)
（6）y(n)=x(n2)
n
（7）y(n)= x(m) m0
（8）y(n)=x(n)sin(ωn)
解： （1） 令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)
由于
x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3) 1
h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ2(n－2)
x(n)*δ(n)=x(n)
x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)
故
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)=x(n)*h(n)
=x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ1(n－2) 2
数字信号处理西安电子高西全丁美玉第三版课后习题答案全1-7章
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=T［ax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］ +3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］ T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
输出为
x(n－n1)
y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
=aT［x1(n)］+mbT0 ［x2(n)］
故系统是线性系统。
n
m0
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（8） y(n)=x(n) sin(ωn)
令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x(n－n0) sin(ωn) y(n－n0)=x(n－n0) sin［ω(n－n0)］≠y′(n) 故系统不是非时变系统。 由于
(5) 画x3(n)时， 先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题2解图（一）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)PPT课件
所以
DFT［X(n)］=Nx(N－k) k=0, 1, …, N－1 5． 如果X(k)=DFT［x(n)］， 证明DFT的初值定理
x(0)
1
N 1
X (k)
证: 由IDFT定义式
N k0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNkn
k 0
n 0, 1, , N 1
可知
x(0)
1
N 1
X (k)
教材第3章习题与上机题解答
1． 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0≤n≤N－1内，
(1) x(n)=1
(2) x(n)=δ(n) (3) x(n)=δ(n－n0) (4) x(n)=Rm(n)
0<n0<N 0<m<N
j2π mn
(5) x(n) e N , 0 m N
(6) x(n) cos 2π mn, 0 m N N
sin
(0
2π N
k
)
/
2
k 0, 1, , N 1
或
1 e j0N
X
7
(k
)
1
e
j(0
2 N
k)
（8） 解法一 直接计算：
k 0, 1, , N 1
x8 (n)
sin(0n)
RN
(n)
1 [e j0n 2j
e j0n ]RN
(n)
X8(n)
N 1
x8 (n)WNkn
n0
1
N 1
[e j0n
1 WNk
j π (m1)k
e N
sin
π N
mk
sin
π N
数字信号处理(第三版)课后答案及学习指导(高西全_丁玉美)第二章
n
x(n) 2N n
0
求x(n)的Z变换。
0≤n≤N N+1≤n≤2N n<0, 2N<n
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第２章 时域离散信号和系统的频域分析
解： 题中x(n)是一个三角序列， 可以看做两个相同的矩
形序列的卷积。
设y(n)=RN(n)*RN(n), 则
0
n<0
y(n)
n0
k
~x (n) IDFS[ X~(k)] 1
X~
(k
)e
j
2π N
kn
N k
n
这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对， 可用以 表现周期序列的频谱特性。
2021/4/21
7
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
（3）
X (e j ) FT[~x (n)] 2π X~(k)δ( 2π k)
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第２章 时域离散信号和系统的频域分析
根据零、 极点分布可定性画幅频特性。 当频率由0到2π 变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点 附近会形成峰。 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形 成谷， 零点愈靠进单位圆， 谷值愈低， 零点在单位圆上则 形成幅频特性的零点。 当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的 极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。
（9） 若x(n)=a|n|, 则
X
(z)
(1
1 a2 az)(1
az 1 )
a z a 1
x(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列， 一些测试题都是用它演变出来的。
2021/4/21
数字信号处理第三版高西全数字信号处理(第三版)高西全丁玉美课后答案
数字信号处理第三版高西全数字信号处理(第三版)高西全丁玉美课后答案西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理课后答案1.2教材第一章习题解答1.用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。
解：2.给定信号：（1）画出序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列；（3）令，试画出波形；（4）令，试画出波形；（5）令，试画出波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）（3）的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，波形如题2解图（四）所示。
3.判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1），A是常数；（2）。
解：（1），这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2），这是无理数，因此是非周期序列。
5.设系统分别用下面的差分方程描述，与分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）；（3），为整常数；（5）；（7）。
解：（1）令：输入为，输出为故该系统是时不变系统。
故该系统是线性系统。
（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。
令输入为，输出为，因为故延时器是一个时不变系统。
又因为故延时器是线性系统。
（5）令：输入为，输出为，因为故系统是时不变系统。
又因为因此系统是非线性系统。
（7）令：输入为，输出为，因为故该系统是时变系统。
又因为故系统是线性系统。
6.给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）；（3）；（5）。
解：（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。
如果，则，因此系统是稳定系统。
（3）如果，，因此系统是稳定的。
系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。
数字信号处理(第三版)课后答案及学习指导(高西全-丁玉美)第八章
第8章 上机实验
x2n=ones(1， 128)； %产生信号x2n=un hn=impz(B， A， 58)； %求系统单位脉冲响应h(n) subplot(2， 2， 1)； y=′h(n)′； tstem(hn， y)；
%谐振器对正弦信号的响应y32n figure(3) subplot(2， 1， 1)； y=′y31(n)′； tstem(y31n， y) title(′(h) 谐振器对u(n)的响应y31(n)′) subplot(2， 1， 2)； y=′y32(n)′； tstem(y32n， y)； title(′(i) 谐振器对正弦信号的响应y32(n)′)
%调用函数tstem title(′(d) 系统单位脉冲响应h1(n)′) subplot(2， 2， 2)； y=′y21(n)′； tstem(y21n， y)；
第8章 上机实验
title(′(e) h1(n)与R8(n)的卷积y21(n)′)
subplot(2， 2， 3)； y=′h2(n)′； tstem(h2n， y)；
注意在以下实验中均假设系统的初始状态为零
第8章 上机实验
3． （1） 编制程序， 包括产生输入信号、 单位脉冲响应 序列的子程序， 用filter函数或conv函数求解系统输出响应 的主程序。 程序中要有绘制信号波形的功能。 （2） 给定一个低通滤波器的差分方程为
y(n)=0.05x(n)+0.05x(n－1)+0.9y(n－1) 输入信号
第8章 上机实验
8.1.3
实验结果与波形如图8.1.1所示。
第8章 上机实验
数字信号处理课后答案+第4章(高西全丁美玉第三版)
令 y(n)=x1(n)+jx2(n) Y(k)=DFT［y(n)］ 则
这样， 通过一次N点IFFT计算就完成了计算2N点DFT。 当然还要进行由Y(k)求X1(k)、 X2(k)和X(k)的运算(运算量相对
k=0, 1, …, N－1
⎧ ⎛n⎞ ⎪ x1 ⎜ 2 ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ x (n) = ⎨ ⎪x ⎛ n −1 ⎞ ⎪ 2⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎩ ⎝
n = 偶数 n = 奇数
在编程序实现时， 只要将存放x1(n)和x2(n)的两个数组的元 素分别依次放入存放x(n)的数组的偶数和奇数数组元素中 即可。
运算流图。 但画图占篇幅较大， 这里省略本题解答， 请 读者自己完成。
很少)。 （2） 与（1）相同， 设 x1(n)=x(2n) n=0, 1, …, N－1 x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, …, N－1 X1(k)=DFT［x1(n)］ X2(k)=DFT［x2(n)］ 则应满足关系式
1 X 1 ( k ) = DFT[ x1 ( n)] = Yep ( k ) = [Y ( k ) + Y * ( N − k )] 2 1 jX 2 (k ) = DFT[ jx2 (n)] = Yep (k ) = [Y ( k ) − Y * ( N − k )] 2
4． 设x(n)是长度为2N的有限长实序列， X(k)为x(n)的 2N点DFT。 (1) 试设计用一次N点FFT完成计算X(k)的高效算法。 (2) 若已知X(k) ，试设计用一次N点IFFT实现求X(k)的 2N点IDFT运算。
x1(n)和x2(n)均为实序列， 所以根据DFT的共轭对称性， 可用
② 由X1(k)和X2(k)构成N点频域序列Y(k): Y(k)=X1(k)+jX2(k)=Yep(k)+Yop(k)
数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答案第3与4章
x 6 ( n ) ID [X ( k F ),]n T 0 ,1 ,2 , ,5
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
解：直接根据频域采样概念得到
x6(n ) x(n 6 l)R 6(n )R 6(n )R 2(n ) l
［例3.4.3］ 令X(k)表示x(n)的N点DFT， 分别证明： （1） 如果x(n)满足关系式
yc(1)
x(1)
x(0)
x(L1)
x(2)
h(1)
yc(2)
x(2)
x(1)
x(0) x(3) h(2)
yc(L1) x(L1) x(L2) x(L3) x(0)h(L1)
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
循环卷积定理： 若
yc(n)=h(n) L x(n) 则
~xN(n) x(niN) n
会发生时域混叠， xN(n)≠x(n)。
通过频率域采样得到频域离散序列xN(k)， 再对xN(k)进行 IDFT得到的序列xN(n)应是原序列x(n)以采样点数N为周期进行 周期化后的主值区序列， 这一概念非常重要。
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
(FFT)
3.1.2 重要公式
1） 定义
N1
X(k)DF [x(T n)N ] x(n)W N k n k=0, 1, …, N－1 n0
x(n)ID[X F(kT )N ]N 1N k 0 1X(k)W N kn
2） 隐含周期性
k=0, 1, …, N－1
N 1
N 1
X (k m ) N x (n ) W N (k m )n N x (n ) W N k nX (k )
数字信号处理第三版课后答案
数字信号处理第三版课后答案西安电⼦(⾼西全丁美⽟第三版)数字信号处理课后答案1.2教材第⼀章习题解答1.⽤单位脉冲序列及其加权和表⽰题1图所⽰的序列。
解：2.给定信号：（1）画出序列的波形，标上各序列的值；（2）试⽤延迟单位脉冲序列及其加权和表⽰序列；（3）令，试画出波形；（4）令，试画出波形；（5）令，试画出波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（⼀）所⽰。
（2）（3）的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（⼆）所⽰。
（4）的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所⽰。
（5）画时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，波形如题2解图（四）所⽰。
3.判断下⾯的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1），A是常数；（2）。
解：（1），这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2），这是⽆理数，因此是⾮周期序列。
5.设系统分别⽤下⾯的差分⽅程描述，与分别表⽰系统输⼊和输出，判断系统是否是线性⾮时变的。
（1）；（3），为整常数；（5）；（7）。
解：故该系统是时不变系统。
故该系统是线性系统。
（3）这是⼀个延时器，延时器是⼀个线性时不变系统，下⾯予以证明。
令输⼊为，输出为，因为故延时器是⼀个时不变系统。
⼜因为故延时器是线性系统。
（5）令：输⼊为，输出为，因为故系统是时不变系统。
⼜因为因此系统是⾮线性系统。
（7）令：输⼊为，输出为，因为故该系统是时变系统。
⼜因为故系统是线性系统。
6.给定下述系统的差分⽅程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）；（3）；（5）。
（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输⼊有关。
如果，则，因此系统是稳定系统。
（3）如果，，因此系统是稳定的。
系统是⾮因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。
如果，则，因此系统是稳定的。
7.设线性时不变系统的单位脉冲响应和输⼊序列如题7图所⽰，要求画出输出输出的波形。
数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)PPT课件
证：
y(n)
IDFT[Y (k)]
1 N
N 1
Y (k )WNkn
k 0
1 N
N 1
X ((k
k 0
l)) N WNkn
W ln N
1 N
N 1
X
k 0
((k
l
))
N
W (k N
l
)n
令m=k+l, 则
y(n)
WNln
1 N
N 1
为x(n)=nRN(n)， 所以 x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n)
等式两边进行DFT， 得到
X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k)
故
N[δ(k) 1] X (k)
1 WNk
k 1, 2, , N 1
当k=0时， 可直接计算得出X(0)为
X (0)
N 1
n WN0
(1) x(n)=1
(2) x(n)=δ(n) (3) x(n)=δ(n－n0) (4) x(n)=Rm(n)
0<n0<N 0<m<N
j2π mn
(5) x(n) e N , 0 m N
(6) x(n) cos 2π mn, 0 m N N
(7) x(n)=ejω0nRN(n)
(8) x(n)=sin(ω0n)RN(n)
X
((m))
N
W
mn N
ml
WNln
1 N
N 1
X
(m)W
mn N
m0
WNln x(n)
9． 已知x(n)长度为N， X(k)=DFT［x(n)］，
数字信号处理课后答案+第2章(高西全丁美玉第三版)
上式中|H(ejω)|是ω的偶函数， 相位函数是ω的奇函数， |H(ejω)|=|H(e-jω)|， θ(ω)=－θ(－ω), 故
1 y (n) A H (e j0 ) e jj e j0 n e j (0 ) e jj e j0 n e j (0 ) 2 A H (e j0 ) cos(0 n j (0 ))
j
πk 4
π δ( k ) 2
5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示， 不直接求出 X(ejω)， 完成下列运算或工作：
题5图
j0 (1) X (e )
(2)
π
π
X (e j )d
(3) X (e jπ ) (4) 确定并画出傅里叶变换实部Re［X(ejω)］的时间序列 xa(n)； (5) (6)
令n′=2n， 则
FT[ x(2n)]
n ， n取偶数
x(n)e jn / 2
j n 1 n [ x(n) (1) x(n)]e 2 2 n
1
1 1 j n j n 1 x ( n )e 2 e jn x(n)e 2 2 n n
题4解图
或者
1 1 j πk j πk e 2 (e 2 1 j πk e 2 )
~ X (k )
n 0
1
π j kn e 2
1 e jπk
π j k 1 e 2
1 1 1 j πk j πk j πk e 4 (e 4 e 4 )
1 j πk e 4
证明输入x(n)=A cos(ω0n+j)的稳态响应为
数字信处理西安电子高西全丁美玉第三版课后习题答案全章
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（5） y(n)=x2(n)
令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x2(n－n0) y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠aT［x1(n)］+bT［x2(n) =ax21(n)+bx22(n)
5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输 出， 判断系统是否是线性非时变的。
（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(n－n0) n0 （4）y(n)=x(－n)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题2解图（四）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
3． 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。
(1) x(n)Acos3πn A是常数
7 8
(2)
j(1n )
x(n) e 8
解： （1） 因为ω= 列， 周期T=14
π, 所以3 7
, 这是2 π有理1数4， 因此是周期序 3
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
输出为
x(n－n1)
y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
数字信 处理 西安电子科技大学出版 高西全丁美玉 第三版 课后习题答案 全
=x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2) 1 2
=2x(n)+x(n－1)+ x(n－2)
将x(n)的表示式代入上式， 得到 1 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n2 )+2δ(n－1)+δ(n－2)
+4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)
k nn0
如果|x(n)|≤M， 则
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（4）假设n0>0， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入 有关。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤M，
（5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果
|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM，
9． 证明线性卷积服从交换律、 结合律和分配律， 即证明下面等式成立： （1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n) （2） x(n)*(h1(n)*h2(n))=(x(n)*h1(n))*h2(n) （3） x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) 证明： （1） 因为
（2） 因为ω=
,
所以
1
8
=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。
2π
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
* 4． 对题1图给出的x(n)要
1
2
求：
1
2
(1) 画出x(－n)的波形；
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解：（1） x(－n)的波形如题4 (2) 将x(n)与x(－n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫无疑问， 这是 一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。 (3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。
数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)
1 = ∑e 2 n =0
N −1
j
2π ( m−k ) n N
1 + ∑e 2 n =0
N −1 − j 2π ( m + k ) n N
2π 2π j (m−k ) N − j (m+k ) N 1 1 − e N 1− e N = + 2π 2π 2 j (m−k ) − j (m+ k ) 1− e N 1− e N
j
2π mn N ,
0<m< N
2π x(n) = cos mn , 0 < m < N N
(7) (8) (9)
x(n)=ejω0nRN(n) x(n)=sin(ω0n)RN(n) x(n)=cos(ω0n)RN(N)
(10) x(n)=nRN(n) 解： (1)
故
N [δ( k ) − 1] X (k ) = k 1 − WN
k = 1, 2, ⋯, N − 1
当k=0时， 可直接计算得出X(0)为
N ( N − 1) X ( 0) = ∑ n ⋅ W = ∑ n = 2 n=0 n =0
N −1 0 N N −1
这样， X(k)可写成如下形式：
N ( N − 1) 2 X (k ) = −N k 1 − W N , k =0 k = 1, 2, ⋯ , N − 1
1 x ( 0) = N
∑ X (k )
n = 0, 1, ⋯ , N − 1
1 x( n) = N
∑
k =0
N −1
− X (k )W N kn
可知
1 x ( 0) = N
∑ X (k )
k =0
数字信号处理课后答案第一章 西安电子科技大学(第三版)丁于美
2．给定信号：
(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列值；
(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；
（3）令x1(n)=2x(n－2)，试画出x1(n)波形；
（4）令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；
（5）令x3(n)=x(2－n)，试画出x3(n)波形。
6．给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）y(n)=x(n－k)（2）y(n)=x(n)+x(n+1)（3）y(n)=x(k)（4）y(n)=x(n－n0)（5）y(n)=ex(n)
解：（1）只要N≥1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。
解：分析的方法是让系统输入分别为δ(n)、δ(n－1)、δ(n)+δ(n－1)时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。
（1）令x(n)=δ(n),这时系统的输出用y1(n)表示。
该情况在教材例1.4.1中已求出，系统的输出为
y1(n)=anu(n)
(2)令x(n)=δ(n－1)，这时系统的输出用y2(n)表示。
n=0时，
n=1时，
n=2时
任意n时，
(3)令x(n)=δ(n)+δ(n－1),系统的输出用y3(n)表示。
N=0,
n=1,
n=2
n=3时
13．有一连续信号xa(t)=cos(2πft+j)，式中，f=20 Hz,j=π/2。
（1）求出xa(t)的周期；
（2）用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样，试写出采样信号的表达式；
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第4章 快速傅里叶变换（FFT）
1．如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4μs，每次复数加需要1μs，用来计算N＝1024点DFT，问直接计算需要多少时问。
用FFT计算呢？照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估计可实现实时处理的信号最高频率。
解：当N＝1024＝210时，直接计算DFT的复数乘法运算次数为
N2＝1024×1024＝1048576次
复数加法运算次数为
N（N－1）＝1024×1023＝1047552次
直接计算所用计算时间T D为
用FFT计算1024点DFT所需计算时间T F为
快速卷积时，需要计算一次N点FFT（考虑到H（k）＝DFT[h（n）]已计算好存入内存）、N次频域复数乘法和一次N点IFFT。
所以，计算1024点快速卷积的计算时间T c约为
所以，每秒钟处理的采样点数（即采样速率）
由采样定理知，可实时处理的信号最高频率为
应当说明，实际实现时，f max还要小一些。
这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率，而且在采用重叠相加法时，重叠部分要计算两次。
重叠部分长度与h（n）长度有关，而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。
2．如果将通用单片机换成数字信号处理专用单片机TMS320系列，计算复数乘和复数加各需要10ns。
请重复做上题。
解：与第1题同理。
直接计算1024点DFT所需计算时间T D为
用FFT计算1024点DFT所需计算时间T F为
快速卷积计算时间T c约为
可实时处理的信号最高频率f max为
由此可见，用DSP专用单片机可大大提高信号处理速度。
所以，DSP在数字信号处理领域得到广泛应用。
机器周期小于1ns的DSP产品已上市，其处理速度更高。
3．已知X （k ）和Y （k ）是两个N 点实序列x （n ）和y （n ）的DFT ，希望从
X （k ）和Y （K ）求x （n ）和y （n ），为提高运算效率，试设计用一次N 点IFFT 来完成的算法。
解：因为x （n ）和y （n ）均为实序列，所以，X （k ）和Y （n ）为共轭对称序列，jY （k ）为共轭反对称序列。
可令X （k
）和jY （k ）分别作为复序列F
（k ）的共轭对称分
量和共轭反对称分量，即计算一次
N 点IFFT 得到
由DFT 的共轭对称性可知
故
4．设x （n ）是长度为2N 的有限长实序列，X （k ）为x （n ）的2N 点DFT 。
（1）试设计用一次N 点FFT 完成计算X （k ）的高效算法。
（2）若已知X （k ），试设计用一次N 点IFFT 实现求X （k ）的2N 点IDFT 运算。
解：本题的解题思路就是DIT-FFT 思想。
（1）在时域分别抽取偶数和奇数点x （n ），得到两个
N 点实序列x1（n ）和
x2（n ）：
根据DIT-FFT 的思想，只要求得x 1（n ）和x 2（n ）的N 点DFT ，再经过简单的一级蝶形运算就可得到x （n ）的2N 点DFT 。
因为x 1（n ）和x 2（n ）均为实序列，所以根据DFT 的共轭对称性，可用一次N 点FFT 求得X 1
（k ）和
X 2（k ）。
具体方法如下：
令
则
2N 点DFT[x （n ）]＝X （k ）可由
X 1（k ）和X 2（k ）得到
这样，通过一次N 点IFFT 计算就完成了计算2N 点DFT 。
当然还要进行由Y （k ）求X 1（k ）、X 2（k ）和
X （k
）的运算（运算量相对很少）。
（2）与（1）相同，设
则应满足关系式
由上式可解出
由以上分析可得出运算过程如下：
①由X （k ）计算出
X 1（k ）和X 2（k ）：
②由X 1（k ）和X
2（k ）构成N 点频域序列Y （
k ）：
其中，进行N 点IFFT ，得到
由DFT 的共轭对称性知
③由x 1（n
）和x 2（n ）合成x （n ）：
在编程序实现时，只要将存放x 1（n ）和x 2（n ）的两个数组的元素分别依次放入存放x （n ）的数组的偶数和奇数数组元素中即可。
5．分别画出16点基2DIT-FFT 和DIF-FFT 运算流图，并计算其复数乘次数，如果考虑三类碟形的乘法计算，试计算复乘次数。
解：本题比较简单，仿照教材中的8点基2DIT-FFT 和DIF-FFT 运算流图很容易画出16点基2DIT-FFT 和DIF-FFT 运算流图。
6．按照下面的IDFT 算法编写MATLAB 语言IFFT 程序，其中的FFT 部分不用写出出
清单，可调用fft 函数。
并分别对单位脉冲序列、矩形序列、三角序列和正弦序列进行FFT 和IFFT 变换，验证所编程序。
解：为了使用灵活方便，将本题所给算法公式作为函数编写
ifft46．
m 如下：
％函数ifft46．in
％按照所给算法公式计算WET
％对Xk 取复共轭
％按照所给算法公式计算IFFT
分别对单位脉冲序列、长度为8的矩形序列和三角序列进行FFT ，并调用函数ifft46计算IFFT 变换，验证函数ifft46的程序ex406.m 如下：
％程序ex406.m
％调用fft 函数计算IDFT
x1n ＝1； ％输入单位脉冲序列x1n
x2n ＝[1 1 1 1 1 1 1 1]； ％输入矩形序列向量x2n
x3n ＝[1 2 3 4 4 3 2 1]； ％输入三角序列序列向量x3nN ＝8：
X1k ＝fft （x1n ，N ）； ％计算x1n 的N 点DFTX2k ＝fft （x2n ，N ）；
％计算x2n 的N 点DFTX3k ＝fft （x3n ，N ）； ％计算x3n 的N 点DFT
x1n ＝ifft46（X1k ，N ） ％调用ifft46函数计算X1k 的IDFT
x2n ＝ifft46（X2k ，N ） ％调用ifft46函数计算X2k 的IDFT
x3n ＝ifft46（X3k ，N ） ％调用ifft46函数计算X3k 的IDFT
运行程序输出时域序列如下所示，正是原序列x1n 、x2n 和x3n 。