(浙江专用)202x版高考数学大一轮复习 第二章 不等式 第3节 基本不等式
浙江专用202x版高考数学新增分大一轮复习第二章不等式2.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示.( √ ) (5)线性目标函数的最优解是唯一的.( × ) (6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.( √ ) (7)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的 截距.( × )
目标函数 线性目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 关于x，y的 一次 解析式
可行解
满足线性约束条件的解_(x_，__y_)_
可行域 最优解
所有可行解组成的__集__合__ 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值或最小值问题
【概念方法微思考】 1.不等式x≥0表示的平面区域是什么？ 提示 不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴). 2.可行解一定是最优解吗？二者有何关系？ 提示 不一定.最优解是可行解中的一个或多个. 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一.
原不等式组表示的平面区域为一个三角形的内部区域，因此 a<32，故选 C.
思维升华
平面区域的形状问题主要有两种题型 (1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状. (2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域， 但要注意对参数进行必要的讨论.
跟踪训练 1
由图知该平面区域的面积为12×2× 3＝ 3，故选 B.
命题点2 含参数的平面区域问题 x－y>0，
例2 (2018·嘉兴市基础测试)若不等式组 3x＋y<3，表示的平面区域为一个三
x＋y>a
角形的内部区域，则实数a的取值范围是
(浙江专用)2020版高考数学新增分大一轮复习 第二章 不等式 2.4 基本不等式及其应用讲义(含解
§2.4 基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析掌握基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ＞0)及其应用.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识．常在解答题中考查，难度为中档.1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编2．[P100A 组T1]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max＝81.3．[P100A 组T2]若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m,0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2.因为x ，1x同号，所以若x ＋1x≥2，则x >0，1x>0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件，故选C.5．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，等号成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.6．(2018·温州市适应性考试)已知2a＋4b＝2(a ，b ∈R )，则a ＋2b 的最大值为________． 答案 0解析 因为2＝2a＋4b≥22a ＋2b，当且仅当a ＝b ＝0时等号成立，所以a ＋2b ≤0，即a ＋2b 的最大值为0.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)(2019·台州质检)当x >0时，x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，则实数a 的值为________．答案 4解析 因为当x >0，a >0时，x ＋a x ＋1＝x ＋1＋a x ＋1－1≥2a －1，当且仅当x ＋1＝ax ＋1时，等号成立，又x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，所以2a －1＝3，解得a ＝4.命题点2 常数代换法例2(2018·浙江部分重点中学调研)已知a >0，b >0，且满足a ＋2b ＝2.若不等式abt ＋(t －2)a －b ≤1恒成立，则实数t 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94解析 因为对于任意的a >0，b >0，a ＋2b ＝2，不等式abt ＋(t －2)a －b ≤1恒成立，即1a ＋2b ＋1≥t恒成立．因为1a ＋2b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋b ＋12＝54＋b ＋12a ＋a 2(b ＋1)≥54＋1＝94，当且仅当b ＋12a＝a 2(b ＋1)，即a ＝b ＋1＝43，b ＝13时，取到最小值，所以t ≤94.命题点3 消元法例3已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( )A ．有最大值145B ．有最小值145C ．有最小值3D ．有最大值3答案 B解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4， ∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4. 又∵a ，b >0，∴aa ＋b ≤aa 2＋a ＋4，∴－aa ＋b≥－aa 2＋a ＋4，∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a＋1＝145， 当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法．跟踪训练1(1)(2018·杭州高级中学高考仿真测试)若正数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则2x ＋y 的最小值是( ) A.22B.2C.32D. 3 答案 D解析 由x 2＋2xy －1＝0，得y ＝12x －x 2，所以2x ＋y ＝2x ＋12x －x 2＝32x ＋12x ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≥3x ·1x＝3，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立，此时y ＝33，符合题意，所以2x ＋y 的最小值为3，故选D.(2)(2018·浙江绍兴一中模拟)已知x ，y >0，且x ＋y ＋1x ＋12y ＝194，则3x －716y 的最小值是________．答案 －14解析 因为x ＋y ＋1x ＋12y ＝194，所以3x －716y ＝3x －716y ＋x ＋y ＋1x ＋12y －194＝x ＋4x ＋y ＋116y －194≥92－194＝－14，当且仅当x ＝4x ，y ＝116y ，即x ＝2，y ＝14时，取等号．题型二 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →(m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为( )A ．3B ．4C.83D.103答案 A解析 ∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23()AC →－AB → ＝13AB →＋23AC →＝13m AM →＋23n AN →， ∵M ，P ，N 三点共线，∴13m ＋23n＝1，∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋23n ＝13＋43＋2n 3m ＋2m 3n ≥53＋22n 3m ×2m 3n＝53＋43＝3， 当且仅当m ＝n ＝1时等号成立． 命题点2 求参数值或取值范围例5(2018·杭州七校联考)设x ，y 是正实数，若不等式x 4x ＋y ＋y x ＋4y ≤a ≤x x ＋4y ＋y4x ＋y 恒成立，则实数a 的值是________．答案 25解析 令t ＝y x>0，则x 4x ＋y ＋y x ＋4y ＝14＋y x ＋yx1＋4y x＝14＋t ＋t 1＋4t ＝14＋t －14＋16t ＋14＝4＋16t －4－t (4＋t )(4＋16t )＋14＝15t 16＋68t ＋16t 2＋14＝1516t ＋16t＋68＋14≤15100＋14＝25，当且仅当t ＝1，即x ＝y 时，取等号，所以a ≥25.又x x ＋4y ＋y4x ＋y＝11＋4yx＋y x4＋y x＝11＋4t ＋t 4＋t ＝11＋4t －44＋t＋1＝4＋t －4－16t (1＋4t )(4＋t )＋1＝1－15t 4＋17t ＋4t 2＝1－154t ＋4t＋17≥1－1525＝25，当且仅当t ＝1，即x ＝y 时，取等号，所以a ≤25.综上，a ＝25.跟踪训练2(2018·金华名校统练)已知正实数x ，y 满足x －y >0，x ＋y －2≤0，若m ≤2x ＋3y ＋1x －y恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3＋224解析2x ＋3y ＋1x －y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ×44≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y 4＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ·x ＋3y －y ＋x 4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋2(x －y )x ＋3y ＋x ＋3y x －y ≥14⎝⎛⎭⎪⎫3＋2 2(x －y )x ＋3y ·x ＋3y x －y ＝3＋224， 当且仅当x ＋y ＝2，2(x －y )x ＋3y ＝x ＋3yx －y 时取等号，此时x ＝22－1，y ＝3－22，符合题意， 所以2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为3＋224，即m ≤3＋224.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．例某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2， ∴x ＝3－2m ＋1， 每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，∴2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1， 即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．素养提升 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B.2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C. 3．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b的最小值为( )A.53B ．3C ．5D ．9 答案 D解析 由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1， 则4a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝4＋1＋4b a＋ab≥5＋24b a ·ab＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b的最小值为9，故选D.4.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.5．(2018·杭州模拟)若实数x ，y ，z 满足2x＋2y＝2x ＋y,2x＋2y ＋2z ＝2x ＋y ＋z，则z 的最大值为( )A ．2－log 23B ．2＋log 23 C.43 D ．log 23答案 A 解析 因为2x ＋y＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以2x ＋y≥4.又2x ＋2y ＋2z＝2x ＋y ＋z，所以2x ＋y＋2z ＝2x ＋y·2z，所以2z＝2x ＋y2x ＋y －1＝1＋12x ＋y －1，由2x ＋y ≥4得2z的最大值为43，从而z 的最大值为2－log 23.6．(2018·嘉兴市教学测试)已知x ＋y ＝1x ＋4y＋8(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．53B ．9C ．4＋26D ．10 答案 B解析 由题意可知(x ＋y )2＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋8＝5＋8(x ＋y )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ，由基本不等式可知y x ＋4x y≥2y x ·4x y＝4(当且仅当y ＝2x 时取等号)，令t ＝x ＋y (t >0)，则t 2≥5＋8t ＋4，即t 2－8t －9＝(t －9)·(t ＋1)≥0，得t ≥9，从而当x ＝3，y ＝6时，x ＋y 取得最小值，最小值为9，故选B. 7.(2019·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为( )A.32B ．2C.52D.92 答案 D解析 设AD →＝mAB →＋nAC →，AE →＝λAB →＋μAC →， ∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1， ∵AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →＝()m ＋λAB →＋()n ＋μAC →， 则x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2，∴1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ()x ＋y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝92，当且仅当x ＝23，y ＝43时，等号成立． 故1x ＋4y 的最小值为92，故选D. 8．(2018·湖州五校模拟)已知x 2－3xy ＋2y 2＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.10－6 B.10＋6 C ．210＋6 D ．210－6答案 D解析 方法一 ∵x 2－3xy ＋2y 2＝(x －y )(x －2y )＝1，∴可设x －y ＝t ，x －2y ＝1t(t ≠0)，∴x ＝2t－1t ，y ＝t －1t，代入所求式子得x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝5t 2＋2t2－6≥210－6，当且仅当5t2＝2t2时等号成立，∴x 2＋y 2的最小值为210－6.方法二 设x 2＋y 2＝t 2，x ＝t cos θ，y ＝t sin θ，代入已知等式得，t 2cos 2θ－3t 2sin θcos θ＋2t 2sin 2θ＝1，∴1t 2＝cos 2θ－3sin θcos θ＋2sin 2θ＝1－32sin2θ＋1－cos2θ2＝32－12(3sin2θ＋cos2θ)＝32－12×10·sin(2θ＋φ)≤3＋102，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010.∴t 2≥23＋10＝210－6，∴x 2＋y 2的最小值为210－6.9．(2018·绍兴市适应性考试)已知正数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则当x ＝________时，1x－y 取得最小值为________． 答案2222－2 解析 因为x ，y 为正数，则2x ＋y ＝2⇒y ＝2－2x >0⇒0<x <1，所以1x －(2－2x )＝1x＋2x －2≥22－2，当且仅当1x ＝2x ，即x ＝22时等号成立．10．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b的最小值为________．答案 2 2解析 由题意得(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ， 代入已知得(a ＋b )2＝4(ab )3＋4ab ，两边同除以(ab )2得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ab 2＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab≥4·2ab ·1ab＝8，当且仅当ab ＝1时取等号． 所以1a ＋1b≥22，即1a ＋1b的最小值为2 2.11．(2019·嘉兴市基础测试)若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________． 答案 18解析 ∵2m ＋n ≥22mn ，∴mn ＝2m ＋n ＋6≥22mn ＋6，即mn ≥22mn ＋6，令t ＝2mn >0，则12t 2≥2t＋6，解得t ≤－2或t ≥6，又t >0，∴t ≥6，即2mn ≥6，∴mn ≥18，当且仅当2m ＝n ＝6时，等号成立，故mn 的最小值为18.12．(2018·绍兴市上虞区质检)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，x 2＋4y 2＋9z 2＝1，则z 的最小值是________．答案 －19解析 因为1－9z 2＝(x ＋2y )2－2·x ·2y ≥(x ＋2y )2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，又x ＋2y ＝1－3z ，则1－9z 2≥12(1－3z )2，解得－19≤z ≤13，即z 的最小值为－19.13．(2018·浙江知名重点中学考前热身联考)已知实数x ，y 满足x ＋2y ＋3＝xy ，且对任意的实数x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，21510B ．(－∞，25]C ．[25，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫21510，＋∞ 答案 A解析 因为x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，所以x ＋y －3>0，所以不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0可转化为(x ＋y －3)＋1x ＋y －3≥a .令t ＝x ＋y －3，t >0，则f (t )＝t ＋1t≥a ，且函数f (t )在区间[1，＋∞)上单调递增．方法一 等式x ＋2y ＋3＝xy 可化为(x －2)(y －1)＝5，令m ＝x －2，n ＝y －1，则m >0，n >0，且mn ＝5，则t ＝m ＋n ≥2mn ＝25，当且仅当m ＝n ，即x ＝y ＋1，即x ＝2＋5，y ＝1＋5时等号成立，故f (t )≥f (25)＝25＋125＝21510，所以a ≤21510.方法二 x ＋2y ＋3＝xy 可化为y ＝1＋5x －2(x >2)，故直线x ＋y －3－t ＝0与函数y ＝1＋5x －2(x >2)的图象有公共点，当两者相切时是临界位置，此时y ′＝－5(x －2)2＝－1，得x ＝2＋5，y ＝1＋5，此时，t ＝25，数形(图略)结合可知当t ≥25时，符合题意，故f (t )≥f (25)＝25＋125＝21510，所以a ≤21510.14．对任意实数x >1，y >12，不等式x 2a 2(2y －1)＋4y2a 2(x －1)≥1恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4C.142D ．2 2 答案 D解析 依题意得a 2≤x 22y －1＋4y2x －1.令x －1＝m >0,2y －1＝n >0，则x 22y －1＋4y 2x －1＝(m ＋1)2n ＋(n ＋1)2m ≥(2m )2n ＋(2n )2m ＝4m n ＋4n m ≥24m n ×4nm＝8，即x 22y －1＋4y 2x －1≥8， 当且仅当m ＝n ＝1时取等号，因此x 22y －1＋4y 2x －1的最小值是8，从而a 2≤8，－22≤a ≤22，且a ≠0， 故实数a 的最大值是2 2.15．(2018·宁波模拟)已知x ，y 均为非负实数，且x ＋y ≤1，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4 B ．[1,4] C ．[2,4] D ．[2,9]答案 A解析 因为x ≥0，y ≥0，所以(x ＋y )22≤x 2＋y 2≤(x ＋y )2，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2＝4(x 2＋y 2)＋[1－(x ＋y )]2≤4(x ＋y )2＋[1－(x ＋y )]2＝5(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1，又因为0≤x ＋y ≤1，所以4x 2＋4y2＋(1－x －y )2≤5(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1≤4，当且仅当xy ＝0且x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1时，等号成立；另一方面4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2＝4(x 2＋y 2)＋[1－(x ＋y )]2≥2(x ＋y )2＋[1－(x ＋y )]2＝3(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1，又因为0≤x ＋y ≤1，所以4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2≥3(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1≥23，当且仅当x ＝y 且x ＋y ＝13，即x ＝y ＝16时，等号成立．综上所述，4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4，故选A.16．(2018·杭州学军中学模拟)若x ，y ∈R 满足2sin 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xy x －y ＋1，则xy 的最小值为________．答案 (π－2)216解析 2sin 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xy x －y ＋1＝x 2＋2x ＋1＋y 2－2y ＋1－2xy x －y ＋1＝(x －y ＋1)2＋1x －y ＋1＝x －y ＋1＋1x －y ＋1，又因为2sin 2(x ＋y －1)∈[0,2]，x －y ＋1＋1x －y ＋1≥2或x －y ＋1＋1x －y ＋1≤－2，所以x －y ＋1＋1x －y ＋1＝2，此时⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝1，sin 2(x ＋y －1)＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，sin (2x －1)＝±1，则2x －1＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π4＋12＋k π2，k ∈Z ，则xy ＝x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋12＋k π22，k ∈Z ，所以当k ＝－1时，xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋12＋k π22取得最小值(π－2)216.。
浙江专用2020版高考数学大一轮复习第二章不等式第3节基本不等式习题含解析
第3节 基本不等式：ab ≤a ＋b2考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知≥0，y ≥0，则(1)如果积y 是定值p ，那么当且仅当＝y 时，＋y 有最小值是简记：积定和最小). (2)如果和＋y 是定值s ，那么当且仅当＝y 时，y 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[常用结论与易错提醒]1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.2.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.4.基本不等式的一般形式：1n(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )≥na 1a 2…a n (其中a 1，a 2，a 3，…，a n ∈(0，＋∞)，当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n 时等号成立).基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( )(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(3)函数y ＝＋1x的最小值是2.( )(4)函数f ()＝sin ＋4sin x 的最小值为4.( )(5)＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件.( )解析 (2)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(3)函数y ＝＋1x值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)函数f ()＝sin ＋4sin x无最小值.(5)>0且y >0是x y ＋y x≥2的充分不必要条件. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 2.设>0，y >0，且＋y ＝18，则y 的最大值为( ) A.80 B.77 C.81D.82解析 y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当＝y ＝9时取等号.答案 C3.若直线x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解析 因为直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 答案 C 4.若函数f ()＝＋1x －2(>2)在＝a 处取最小值，则a 等于( ) A.1＋ 2 B.1＋ 3 C.3D.4 解析 当>2时，－2>0，f ()＝(－2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当－2＝1x －2(>2)，即＝3时取等号，即当f ()取得最小值时，即a ＝3，选C. 答案 C5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为______m ，宽为________m 时菜园面积最大.解析设矩形的长为 m ，宽为y m.则＋2y ＝30，所以S ＝y ＝12·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当＝2y ，即＝15，y ＝152时取等号.答案 151526.已知正数，y 满足＋y ＝1，则－y 的取值范围为________，1x ＋xy的最小值为________.解析 ∵正数，y 满足＋y ＝1， ∴y ＝1－，0<<1， ∴－y ＝－1＋， ∴－y ＝2－1，又0<<1， ∴0<2<2，∴－1<2－1<1， 即－y 的取值范围为(－1，1).1x ＋x y ＝x ＋y x ＋x y ＝1＋y x ＋x y≥1＋2y x ·x y ＝1＋2＝3，当且仅当＝y ＝12时取“＝”；∴1x ＋xy的最小值为3. 答案 (－1，1) 3考点一 配凑法求最值【例1】 (1)已知＜54，则f ()＝4－2＋14x －5的最大值为__________；(2)已知正实数，y 满足y ＋2＋3y ＝42，则y ＋5＋4y 的最小值为________. 解析 (1)因为＜54，所以5－4＞0，则f ()＝4－2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4＝15－4x ，即＝1时，等号成立.故f ()＝4－2＋14x －5的最大值为1.(2)因为正实数，y 满足y ＋2＋3y ＝42，所以y ＝42－2x3＋x >0且>0，解得0<<21.则y ＋5＋4y＝3＋y ＋42＝3＋42－2x 3＋x ＋42＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3＋x ）＋163＋x ＋31≥3×2（3＋x ）·163＋x＋31＝55，当且仅当＝1，y ＝10时取等号.所以y ＋5＋4y 的最小值为55. 答案 (1)1 (2)55规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】 (1)函数y ＝x 2＋2x －1(>1)的最小值为________.(2)(2019·台州质量评估)当>0时，＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，则实数a 的值为________.解析 (1)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(－1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当－1＝3x －1，即＝3＋1时，等号成立.(2)因为当>0，a >0时，＋a x ＋1＝＋1＋a x ＋1－1≥2a －1，当且仅当＋1＝ax ＋1时，等号成立，又＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，所以2a －1＝3，解得a ＝4.答案 (1)23＋2 (2)4考点二 常数代换或消元法求最值易错警示【例2】 (1)已知复数满足(2＋i)＝m ＋n i(m ，n ∈R )，且||＝1，则m ，n 满足的关系为________，1m 2＋1＋12n 2＋4的最小值为________. (2)(一题多解)已知＞0，y ＞0，＋3y ＋y ＝9，则＋3y 的最小值为________. 解析 (1)＝m ＋n i 2＋i＝2m ＋n 5＋2n －m5i ，则||＝15（2m ＋n ）2＋（2n －m ）2＝155m 2＋5n 2＝1， 解得m 2＋n 2＝5，1m 2＋1＋12n 2＋4＝1m 2＋1＋12·1n 2＋2 ＝18(m 2＋1＋n 2＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1＋12·1n 2＋2 ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋12·m 2＋1n 2＋2＋n 2＋2m 2＋1≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋212·m 2＋1n 2＋2·n 2＋2m 2＋1＝3＋2216，当且仅当m 2＝2n 2＋22－1时等号成立，所以1m 2＋1＋12n 2＋4的最小值为3＋2216.(2)由已知得＝9－3y 1＋y .法一 (消元法)因为＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3， 所以＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，＝3时，(＋3y )min ＝6. 法二 ∵＞0，y ＞0，9－(＋3y )＝y ＝13·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当＝3y 时等号成立.设＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当＝3，y ＝1时，(＋3y )min ＝6. 答案 (1)m 2＋n 2＝53＋2216(2)6 规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练2】 (1)(一题多解)若正数，y 满足＋3y ＝5y ，则3＋4y 的最小值为________. (2)(2019·绍兴适应性考试)已知正数，y 满足2＋y ＝2，则当＝________时，1x－y 取得最小值为________.解析 (1)法一 由＋3y ＝5y 可得15y ＋35x＝1，∴3＋4y ＝(3＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3＋4y 的最小值是5.法二 由＋3y ＝5y ，得＝3y 5y －1，∵>0，y >0，∴y >15，∴3＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋23625＝5， 当且仅当＝1，y ＝12时等号成立，∴(3＋4y )min ＝5.(2)∵，y 为正数，则2＋y ＝2⇒y ＝2－2>0⇒0<<1，所以1x －(2－2)＝1x＋2－2≥22－2，当且仅当1x ＝2，即＝22时等号成立.答案 (1)5 (2)2222－2 考点三 一般形式的基本不等式的应用(选用)【例3】 (一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f ()＝2sin ＋sin 2，则f ()的最小值是________. 解析 法一 因为f ()＝2sin ＋sin 2， 所以f ′()＝2cos ＋2cos 2＝4cos 2＋2cos －2 ＝4⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12(cos ＋1)，由f ′()≥0得12≤cos ≤1，即2π－π3≤≤2π＋π3，∈，由f ′()≤0得－1≤cos ≤12，即2π＋π3≤≤2π＋π或2π－π≤≤2π－π3，∈，所以当＝2π－π3(∈)时，f ()取得最小值，且f ()min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝－332.法二 因为f ()＝2sin ＋sin 2＝2sin (1＋cos )＝4sin x 2cos x 2·2cos 2x 2＝8sin x 2cos 3x2＝833sin 2x 2cos 6x2，所以[f ()]2＝643×3sin 2x 2cos 6x 2≤643·⎝⎛⎭⎪⎪⎫3sin 2x 2＋cos 2x 2＋cos 2x2＋cos 2x 244＝274， 当且仅当3sin 2x 2＝cos 2x 2，即sin 2x 2＝14时取等号，所以0≤[f ()]2≤274，所以－332≤f ()≤332，所以f ()的最小值为－332.法三 因为f ()＝2sin ＋sin 2＝2sin (1＋cos )， 所以[f ()]2＝4sin 2(1＋cos )2 ＝4(1－cos )(1＋cos )3，设cos ＝t ，则y ＝4(1－t )(1＋t )3(－1≤t ≤1)， 所以y ′＝4[－(1＋t )3＋3(1－t )(1＋t )2] ＝4(1＋t )2(2－4t )，所以当－1<t <12时，y ′>0；当12<t <1时，y ′<0.所以函数y ＝4(1－t )(1＋t )3(－1≤t ≤1)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减.所以当t ＝12时，y ma ＝274；当t ＝±1时，y min ＝0.所以0≤y ≤274，即0≤[f ()]2≤274，所以－332≤f ()≤332，所以f ()的最小值为－332.法四 因为f ()＝2sin ＋sin 2＝2sin (1＋cos )， 所以[f ()]2＝4sin 2(1＋cos )2 ＝4(1－cos )(1＋cos )3≤43·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3（1－cos x ）＋（1＋cos x ）＋（1＋cos x ）＋（1＋cos x ）44＝274， 当且仅当3(1－cos )＝1＋cos ， 即cos ＝12时取等号，所以0≤[f ()]2≤274，所以－332≤f ()≤332，所以f ()的最小值为－332.答案 －332规律方法 (1)三角函数式拆项时要注意满足平方关系. (2)拆项时要满足各项都相等这个条件成立.【训练3】 已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin 2θ cos θ的最大值.解 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ cos θ>0，而(sin 2θ cos θ)2＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ·cos 2θ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin 2θ＋12sin 2θ＋cos 2θ33＝427，当且仅当12sin 2θ＝cos 2θ，即cos θ＝33，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时等号成立.∴sin 2θ cos θ的最大值为239.基础巩固题组一、选择题1.下列不等式一定成立的是( ) A.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg (>0)B.sin ＋1sin x ≥2(≠π，∈)C.2＋1≥2||(∈R )D.1x 2＋1＜1(∈R ) 解析 当＞0时，2＋14≥2··12＝，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg (＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当≠π，∈时，sin 的正负不定，故选项B 不正确；显然选项C 正确；当＝0时，有1x 2＋1＝1，选项D 不正确. 答案 C2.若2＋2y ＝1，则＋y 的取值范围是( ) A.[0，2] B.[－2，0] C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 22x ＋y ≤2＋2y ＝1，所以2＋y ≤14，所以＋y≤－2. 答案 D3.若正数，y 满足42＋9y 2＋3y ＝30，则y 的最大值是( ) A.43 B.53 C.2D.54解析 由＞0，y ＞0，得42＋9y 2＋3y ≥2·(2)·(3y )＋3y (当且仅当2＝3y 时等号成立)，∴12y ＋3y ≤30，即y ≤2，当且仅当＝3，y ＝233时取等号，∴y 的最大值为2.答案 C4.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A.4B.2 2C.8D.16解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，得ab ＝1，则1a ＋2b ≥21a ·2b＝2 2.当且仅当1a ＝2b，即a ＝22，b ＝2时等号成立.故选B. 答案 B5.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D.a 2＋b 2≥8解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立. 答案 D6.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22(当且仅当a ＝214，b ＝254时等号成立)，所以ab 的最小值为22，故选C. 答案 C7.已知a ，b ，c ，d ≥0，a ＋b ＝c ＋d ＝2，则(a 2＋c 2)(b 2＋d 2)的最大值是( ) A.4 B.8 C.16D.32解析 ∵（a 2＋c 2）（b 2＋d 2）≤a 2＋c 2＋b 2＋d 22≤（a ＋b ）2＋（c ＋d ）22＝4，∴(a 2＋c 2)(b 2＋d 2)≤16，当a ＝d ＝2，b ＝c ＝0或b ＝c ＝2，a ＝d ＝0时取到等号，故选C. 答案 C8.(2019·杭州高级中学测试)若正数，y 满足2＋2y －1＝0，则2＋y 的最小值是( ) A.22B. 2C.32D . 3 解析 由2＋2y －1＝0，得y ＝12x －x 2，所以2＋y ＝2＋12x －x 2＝32＋12x ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≥3x ·1x ＝3，当且仅当3＝1x ，即＝33时等号成立，此时y ＝33，符合题意，所以2＋y 的最小值为3，故选D. 答案 D9.(2019·丽水测试)已知＋y ＝1x ＋4y＋8(，y >0)，则＋y 的最小值为( )A.5 3B.9C.4＋26D.10解析 由＋y ＝1x ＋4y ＋8得＋y －8＝1x ＋4y，则(＋y －8)(＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (＋y )＝5＋y x ＋4x y≥5＋2y x ·4x y ＝9，当且仅当y x ＝4xy，即y ＝2时，等号成立，令t ＝＋y ，所以(t －8)·t ≥9，解得t ≤－1或t ≥9，因为＋y >0，所以＋y ≥9，所以＋y 的最小值为9，故选B. 答案 B 二、填空题10.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________.解析 由a －3b ＋6＝0，得a ＝3b －6，所以2a ＋18b ＝23b －6＋123b ≥223b －6×123b ＝2×2－3＝14，当且仅当23b －6＝123b ，即a ＝－3，b ＝1时等号成立. 答案 1411.已知两个正数，y 满足＋4y ＋5＝y ，则y 取最小值时，的值为__________，y 的值为__________.解析 ∵＞0，y ＞0，∴＋4y ＋5＝y ≥24xy ＋5， 即y －4xy －5≥0，可求得y ≥25， 当且仅当＝4y 时取等号，即＝10，y ＝52.答案 105212.(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________.解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥5＋2c a ·4a c＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9. 答案 913.(2019·镇海中学模拟)若实数，y 满足4＋4y ＝2＋1＋2y ＋1，则S ＝2＋2y 的取值范围是________.解析 因为4＋4y ＝(2＋2y )2－2·2·2y ，2＋1＋2y ＋1＝2(2＋2y )，设2＋2y ＝t (t >0)，则由题意得t 2－2·2·2y ＝2t ，即2·2·2y ＝t 2－2t .因为0<2·2·2y≤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋2y22，即0<t 2－2t ≤t 22，当且仅当2＝2y ，即＝y ＝1时等号成立，解得2<t ≤4，即S ＝2＋2y 的取值范围是(2，4]. 答案 (2，4]14.(一题多解)若实数，y ，满足＋2y ＋3＝1，2＋4y 2＋92＝1，则的最小值是________.解析 法一 因为1－92＝(＋2y )2－2··2y ≥(＋2y )2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，又＋2y ＝1－3，则1－92≥12(1－3)2，解得－19≤≤13，即的最小值为－19. 法二 由2＋(2y )2＝1－92，设＝1－9z 2cos θ，2y ＝1－9z 2sin θ，则1－3＝1－9z 2(cos θ＋sin θ)＝2（1－9z 2）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，由三角函数的有界性，得|1－3|≤2（1－9z 2），解得－19≤≤13，即的最小值为－19.答案 －19能力提升题组15.设正实数，y ，满足2－3y ＋4y 2－＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A.0B.1C.94D.3解析 由已知得＝2－3y ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当＝2y 时取等号，把＝2y 代入(*)式，得＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y－12＋1≤1.答案 B16.(2019·宁波模拟)已知，y 均为非负实数，且＋y ≤1，则42＋4y 2＋(1－－y )2的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4 B.[1，4] C.[2，4]D.[2，9]解析 因为≥0，y ≥0，所以（x ＋y ）22≤2＋y 2≤(＋y )2，则42＋4y 2＋(1－－y )2＝4(2＋y 2)＋[1－(＋y )]2≤4(＋y )2＋[1－(＋y )]2＝5(＋y )2－2(＋y )＋1，又因为0≤＋y ≤1，所以42＋4y 2＋(1－－y )2≤5(＋y )2－2(＋y )＋1≤4，当且仅当y ＝0且＋y ＝1，即⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1时，等号成立；另一方面42＋4y 2＋(1－－y )2＝4(2＋y 2)＋[1－(＋y )]2≥2(＋y )2＋[1－(＋y )]2＝3(＋y )2－2(＋y )＋1，又因为0≤＋y ≤1，所以42＋4y 2＋(1－－y )2≥3(＋y )2－2(＋y )＋1≥23，当且仅当＝y 且＋y ＝13，即＝y ＝16时，等号成立.综上所述，42＋4y 2＋(1－－y )2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4，故选A.答案 A17.(一题多解)(2017·北京卷改编)已知≥0，y ≥0，且＋y ＝1，则2＋y 2的最小值为________，最大值为________.解析 法一 ∵≥0，y ≥0且＋y ＝1，∴2xy ≤＋y ＝1，当且仅当＝y ＝12时取等号，从而0≤y ≤14，因此2＋y 2＝(＋y )2－2y ＝1－2y ， 所以12≤2＋y 2≤1.法二 ∵＋y ＝1，≥0，y ≥0， ∴y ＝1－，∈[0，1]，∴2＋y 2＝2＋(1－)2＝22－2＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，对称轴为＝12，故＝12时，有最小值为12，＝0或＝1时有最大值为1.法三 可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围.AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案121 18.(2019·绍兴一中模拟)已知，y >0，且＋y ＋1x ＋12y ＝194，则3x －716y的最小值是________.解析 因为＋y ＋1x ＋12y ＝194，所以3x －716y ＝3x －716y ＋＋y ＋1x ＋12y －194＝＋4x ＋y ＋116y －194≥92－194＝－14，当且仅当＝4x ，y ＝116y ，即＝2，y ＝14时，取等号. 答案 －1419.设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值为________.解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54.当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎨⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2. 答案 －23420.已知a ，b ，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝10，则ab ＋ac ＋bc 的最大值是________，ab ＋ac ＋2bc 的最大值是________.解析 因为ab ＋ac ＋bc ≤2a 2＋2b 2＋2c 22＝10，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，又因为12a 2＋b 2≥2xab (0≤≤1)，12a 2＋yc 2≥2yac (0≤y ≤1)，(1－)b 2＋(1－y )c 2≥2（1－x ）（1－y ）bc ，令2x ＝2y ＝（1－x ）（1－y ），即＝y ＝2－3，故此时有a 2＋b 2＋c 2≥(3－1)(ab ＋ac ＋2bc )，即ab ＋ac ＋2bc ≤53＋5，当且仅当22a ＝(2－3)b ＝(2－3)c 时取等号.答案 10 53＋5。
(浙江专版)2020版高考数学一轮复习第二章不等式第三节绝对值不等式课件
即x－a2＋12－x≥3－2 a. 又x－a2＋12－xmin＝12－a2， 所以12－a2≥3－2 a，解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是[2，＋∞)．
D．|a－b|＜|a|＋|b|
解析：∵ab＜0， ∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|.
答案：B
()
2．若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数 a 的 取值范围是________． 解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3 有解，可使|a－1|≤3， ∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 答案：[－2,4]
第三 节 绝对值不等式
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
必过 教材 关
1．绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤ |a|＋|b| ，当且仅当 ab≥0 时，等号成立． 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么 |a－c|≤|a－b|＋|b－c|， 当且仅当 (a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
[即时应用] 已知 x，y∈R ，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14， 求证：|x＋5y|≤1. 证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y) －2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y| ≤3×16＋2×14＝1.即|x＋5y|≤1.
2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第二章 不等式2.3 含解析
§2.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域2.线性规划中的基本概念概念方法微思考1．不等式x ≥0表示的平面区域是什么？提示 不等式x ≥0表示的区域是y 轴的右侧(包括y 轴)． 2．可行解一定是最优解吗？二者有何关系？ 提示 不一定．最优解是可行解中的一个或多个．最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × )(3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( √ ) (5)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( √ )(7)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) 题组二 教材改编2．[P86T3]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )答案 B解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B 中的阴影部分．题组三 易错自纠3．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案 C解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C. 4．(2018·全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 6解析 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(含边界)所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x ，平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．答案 －1解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线y ＝－ax ＋z 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题例1 在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0表示的平面区域的面积是( )A.32B. 3 C ．2 D ．2 3 答案 B解析 作出不等式组表示的平面区域是以点O (0,0)，B (－2，0)和A (1，3)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为12×2×3＝3，故选B.命题点2 含参数的平面区域问题例2 (2018·嘉兴市基础测试)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，3x ＋y <3，x ＋y >a 表示的平面区域为一个三角形的内部区域，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，34 B.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 答案 C解析 如图所示，当直线x ＋y ＝a 在直线x ＋y ＝32(该直线经过直线x －y ＝0和直线3x ＋y ＝3的交点)的下方时，原不等式组表示的平面区域为一个三角形的内部区域，因此a <32，故选C.思维升华 平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状．(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ≤4，y ≤5表示的平面区域的形状为( )A ．等边三角形B ．梯形C ．等腰直角三角形D ．正方形答案 C解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界)．(2)已知由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －kx ≤2，y －x －4≤0确定的平面区域Ω的面积为7，则k 的值为( )A ．－3B ．－1C ．3D ．1 答案 B解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －4≤0所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线y ＝kx ＋2恒过点B (0,2)，且原点的坐标恒满足y －kx ≤2， 当k ＝0时，y ≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6<7，由此可得k <0.由⎩⎪⎨⎪⎧y －kx ＝2，y －x －4＝0，可得D ⎝⎛⎭⎪⎫2k －1，4k －2k －1，依题意应有12×2×⎪⎪⎪⎪2k －1＝1，解得k ＝－1或k ＝3(舍去)，故选B.题型二 求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2018·温州市适应性考试)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，3x －y －6≤0，x －y ≥0，则z ＝2x ＋y 的取值范围是( )A ．[3,4]B ．[3,12]C ．[3,9]D ．[4,9]答案 C解析 画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线2x ＋y ＝0，结合图象，平移直线2x ＋y ＝0得，在点A (3,3)处目标函数取最大值9，在点B (1,1)处目标函数取最小值3，故选C.命题点2 求非线性目标函数的最值 例4 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥1，则z ＝yx ＋2的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤23，76解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥1表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B (1,2)，C ⎝⎛⎭⎫1，72，D (2,3)，y x ＋2的几何意义是可行域内任一点(x ，y )与点(－2,0)连线的斜率，记P (－2,0)，连接PB ，PC ，由于直线PB 的斜率为23，直线PC 的斜率为76，由图可知z ＝yx ＋2的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，76.命题点3 求参数值或取值范围例5 (1)(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)已知x ，y ∈R 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≥0，x ≤2，若目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(2,3)处取得最大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．[－1，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案 D解析 作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝ax ＋y 可化为y ＝－ax ＋z ，且目标函数仅在点A (2,3)处取到最大值，所以－a <k AB ，即－a <1，所以a >－1，故选D.(2)(2018·杭州七校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，ax －2y ＋1≤0，z ＝2x ＋y 的最大值为8，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 C解析 将目标函数变形为y ＝－2x ＋z ，当z 取最大值时，直线的纵截距最大，易知直线x ＋y －5＝0与2x －y －1＝0的交点(2,3)不能使得目标函数取得最大值8.因为直线ax －2y ＋1＝0恒过定点⎝⎛⎭⎫0，12，所以要使目标函数能取到最大值，需－1<a 2<54，即－2<a <52，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，故目标函数在B ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋a ，5a ＋12＋a 处取得最大值，代入目标函数得2×92＋a ＋5a ＋12＋a＝8，解得a ＝1，故选C.思维升华 常见的三类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by . (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.跟踪训练2 (1)(2018·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．答案 －2 8 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6x ＋y ≥2，，画出可行域如图阴影部分所示(含边界)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x ＋y ＝2，解得A (4，－2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＋y ＝6，解得B (2,2)， 将函数y ＝－13x 的图象平移可知，当目标函数的图象经过A (4，－2)时，z min ＝4＋3×(－2)＝－2； 当目标函数的图象经过B (2,2)时，z max ＝2＋3×2＝8.(2)(2018·浙江金丽衢十二校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，y ≤2，则目标函数z 1＝2x －y 的最大值是______，目标函数z 2＝x 2＋y 2的最小值是________． 答案 6 2解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2,0)，(0,2)，(4,2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略)，易得当目标函数z 1＝2x －y 经过平面区域内的点(4,2)时，取得最大值2×4－2＝6.z 2＝x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，易得原点到直线x ＋y ＝2的距离的平方为所求最小值，即z 2＝x 2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|－2|12＋122＝2.(3)(2018·浙江名校联盟联考)设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0，若z ＝2x ＋y 的最大值为72，则实数a 的值为( )A ．－72B ．0C ．1D ．－72或1答案 C解析 方法一 由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a >－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分(含边界)所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值72，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，ax －y －a ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝a a ＋1，代入2x ＋y ＝72得a ＝1，故选C.方法二 由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a >－1，显然a ＝0不符合题意，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分(含边界)所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值72，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，2x ＋y ＝72，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12，代入ax －y －a ＝0得a ＝1，故选C.1．(2017·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)． 故选D.2．(2018·杭州质检)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y ≤1，y ≥mx 所表示的区域面积为S (m ∈R )．若S ≤1，则( )A ．m ≤－2B ．－2≤m ≤0C ．0<m ≤2D ．m ≥2.答案 A解析 如图，当x ＋y ＝1与y ＝mx 的交点为(－1,2)时，阴影部分的面积为1，此时m ＝－2，若S ≤1，则m ≤－2，故选A.3．(2018·嘉兴市、丽水市教学测试)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的平面区域上的一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－13 D ．－12答案 C解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面区域，其是以(1,0)，(3，－1)，(2,2)为顶点的三角形及其内部(图略)，由图易得平面区域内的点(3，－1)与原点连线的斜率最小，斜率的最小值为－1－03－0＝－13，故选C.4．(2019·浙江名校新高考研究联盟联考)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥－1，则z ＝|x |－y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，3 B ．[－1,3] C.⎣⎡⎦⎤－32，0 D ．[－1,0]答案 A解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(－1,1)，(1,2)，(－1，－2)为顶点的三角形区域(包含边界)，在平面直角坐标系内画出y ＝x －z (x ≥0)和y ＝－x －z (x <0)(图略)，由图易得当y ＝x －z (x ≥0)经过平面区域内的点⎝⎛⎭⎫0，32时，z ＝|x |－y 取得最小值z min ＝|0|－32＝－32.当y ＝－x －z (x <0)经过平面区域内的点(－1，－2)时，z ＝|x |－y 取得最大值z max ＝|－1|－(－2)＝3，综上所述，z ＝|x |－y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，3，故选A.5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2y ≤0，2x ＋y ≤4，向量a ＝(2x,1)，b ＝(1，m －y )，则满足a ⊥b 的实数m 的最小值为( )A.125 B ．－125 C.32 D ．－32 答案 B解析 由向量a ＝(2x ,1)，b ＝(1，m －y )，a ⊥b 得2x ＋m －y ＝0，整理得m ＝y －2x ，根据约束条件画出可行域，如图所示，将求m 的最小值转化为求y ＝2x ＋m 在y 轴上的截距的最小值，当直线y ＝2x ＋m 经过点A 时，m 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝4，解得A ⎝⎛⎭⎫85，45， 则实数m 的最小值为－2×85＋45＝－125.故选B.6．(2018·浙江“七彩阳光”联盟期初联考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2，x －y ≤0，x ≥－4，若不等式2x －y ＋m 2≥0恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－6，6] B ．[－7，7]C ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－7]∪[7，＋∞) 答案 D解析 作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2，x －y ≤0，x ≥－4表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z ＝－2x ＋y ，则y ＝2x ＋z ，当直线y ＝2x ＋z 经过点A (－4，－1)时，z 取得最大值，即z max ＝－2×(－4)－1＝7.因为不等式2x －y ＋m 2≥0恒成立，所以m 2≥(－2x ＋y )max ＝z max 恒成立，即m 2≥7，解得m ≤－7或m ≥7，所以实数m 的取值范围为(－∞，－7]∪[7，＋∞)，故选D.7．(2018·台州市质量评估)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0，则(x －1)2＋(y ＋2)2的取值范围是( )A ．[1,5]B ．[5，5]C ．[5,25]D ．[5,26]答案 D解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，因为(x －1)2＋(y ＋2)2表示平面区域内的点到点P (1，－2)的距离的平方，直线PO ：y ＝－2x 与直线x －2y ＝0垂直，由图知，点P (1，－2)到直线x －2y ＝0的距离的平方为所求最小值，即为⎣⎢⎡⎦⎥⎤|1－2×(－2)|52＝5，与点A (0,3)的距离的平方为所求最大值，即为(0－1)2＋[3－(－2)]2＝26，所以所求取值范围为[5,26]，故选D.8．(2018·绍兴市嵊州市适应性考试)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≤0，x ＋y －1≥0，x ＋2y －4≤0，若z ＝tx ＋y 的最小值为1，则实数t 的取值范围是( ) A ．t ≤－2 B ．－2≤t ≤1 C ．t ≥1D ．t ≤－2或t ≥1答案 B解析 画出满足约束条件的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知只有平移直线tx ＋y ＝0经过直线2x －y ＋1＝0与直线x ＋y －1＝0的交点C (0,1)时，目标函数z ＝tx ＋y 的值为1，则目标函数z ＝tx ＋y 要取得最小值1，直线z ＝tx ＋y 必过点C (0,1)．当t ≥0时，则－t ≥－1，即0≤t ≤1；当t <0时，则－t ≤2，即－2≤t <0.综上可知，实数t 的取值范围是 －2≤t ≤1，故选B.9．(2018·杭州地区四校联考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，3x ＋2y －5≥0表示的平面区域的面积是________；若z ＝|x －y |，则z 的取值范围为________． 答案2512 ⎣⎡⎦⎤0，52 解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中G ⎝⎛⎭⎫13，2、H ⎝⎛⎭⎫2，－12，则不等式组表示的平面区域的面积S ＝12×⎝⎛⎭⎫2－13×⎝⎛⎭⎫2＋12＝2512.令z 1＝x －y ，作出直线x －y ＝0，平移该直线，当直线经过点G 时，z 1取得最小值，经过H 时，z 1取得最大值，所以－53≤x －y ≤52，所以0≤z ≤52.10．(2018·绍兴市六校质检)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤m ，若z ＝x ＋y 的最大值为6，则m ＝________，z 1＝2x ＋y 的最小值为________． 答案 3 －9解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤m所表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，由图可知，当直线z ＝x ＋y过点A (m ，m )时，z 取得最大值6，所以m ＝3.当直线z 1＝2x ＋y 过点 B (－6,3)时，z 1取得最小值，最小值为－9.11．(2019·浙江部分重点中学调研)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ＋1≥0，5x ＋y －7≤0，则该不等式组表示的平面区域的面积为________，目标函数z ＝3|x |－4y 的取值范围是________． 答案 6 [－5,18]解析 由题意得，该不等式组表示的平面区域是直角三角形ABC 及其内部区域(如图中阴影部分所示)．该三角形的三个顶点分别为A (－1,0)，B (1,2)，C (2，－3)，且AB ⊥AC ，AB ＝22，AC ＝32，所以S △ABC ＝12×22×32＝6.因为目标函数z ＝3|x |－4y 可化为y ＝34|x |－z4，结合图形可知，目标函数z ＝3|x |－4y 在B (1,2)处取得最小值，且z min＝－5，在C (2，－3)处取得最大值，且z max ＝18.所以z ∈[－5,18]．12．(2018·浙江六校协作体联考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x2＋1，y ≥x ，x ≥－3，且有无穷多个点(x ，y )使得目标函数z ＝λx＋2y 取得最大值，则实数λ的值为________． 答案 －1解析 可行域如图中阴影部分(含边界)所示．目标函数z ＝λx ＋2y 可化为y ＝－λ2x ＋z2，因为有无穷多个点(x ，y )使得直线y ＝－λ2x ＋z 2在y 轴上的截距取得最大值，由图可得y ＝－λ2x ＋z 2与直线BC ：y ＝x 2＋1重合时满足题意，所以－λ2＝12，解得λ＝－1.13．(2018·杭州高级中学仿真考试)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y －6≤0，x －3y ≤0，则xy 的最大值是( )A.92B.10825 C ．4 D.7225 答案 A解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，设直线x ＋2y －6＝0与曲线y ＝zx相切于第一象限，切点为(x 0，y 0)．由y ＝z x ，得y ′＝－zx 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝z x 0，－zx 20＝－12，x 0＋2y 0－6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝32，z ＝92，所以xy 的最大值为92，故选A.14．(2018·浙江知名重点中学考前热身联考)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥0，y ≤－2x ＋6，则x ＋3y 的最大值为________；若x 2＋4y 2≤a 恒成立，则实数a 的最小值为________． 答案 8 20解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥0，y ≤－2x ＋6表示的平面区域如图1中阴影部分(含边界)所示，由图1可知，当u ＝x ＋3y 过点A (2,2)时，u ＝x ＋3y 取得最大值u max ＝2＋3×2＝8.令x ＝x ′，2y ＝y ′，则原不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧12y ′≤x ′，12y ′≥0，12y ′≤－2x ′＋6，作出可行域如图2中阴影部分(含边界)所示，由图2可知，x ′2＋y ′2的最大值，即原点到点B (2,4)的距离的平方，易得|OB |2＝22＋42＝20，所以a 的最小值为20.15．(2018·台州市三区三校适应性考试)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，3x ＋y －15≤0，3<x ＋2y ≤a 2－2a ，a 为常数，若目标函数z＝y －|x |的最大值是2a5，则实数a 的取值组成的集合是________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫4，152解析 由题意，要使不等式3<x ＋2y ≤a 2－2a 成立，则a 2－2a >3，解得a <－1或a >3.作出不等式组表示的平面区域如图所示，其中A ⎝⎛⎭⎫35，65，E (3,6)．当点E (3,6)在直线x ＋2y ＝a 2－2a 的上方时，3＋2×6>a 2－2a ，即－3<a <5，故有－3<a <－1或3<a <5，此时可行域为四边形ABCD 及其内部(不包含线段AB )，则x >0，易知目标函数z ＝y －|x |＝y －x 在点D ⎝⎛⎭⎫a 2－2a 5，2a 2－4a 5处取得最大值，即2a 2－4a 5－a 2－2a 5＝2a 5，解得a ＝0(舍去)或a ＝4；当点E (3,6)在直线x ＋2y ＝a 2－2a 的下方或在直线上时，3＋2×6≤a 2－2a ，解得a ≤－3或a ≥5，故有a ≤－3或a ≥5，此时可行域为三角形ABE 及其内部(不包含线段AB )，则x >0，目标函数z ＝y －|x |＝y －x 在点E (3,6)处取得最大值，则6－3＝2a 5，解得a ＝152.综上，实数a 的取值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫4，152.16．(2018·浙江金华一中模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0，则|x －2y －1|＋3|x －y |的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤32，8解析 设目标函数z ＝|x －2y －1|＋3|x －y |.如图所示，分四种情况：①当⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1≥0，x －y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0时，z ＝4x －5y －1，满足约束条件下的平面区域，只有一个点A (1,0)，此时z ＝3；②当⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1≥0，x －y ≤0，x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0时，z ＝－2x ＋y －1，满足约束条件下的平面区域不存在；③当⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1≤0，x －y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0时，z ＝2x －y ＋1，满足约束条件下的平面区域为△ADE ，则直线z ＝2x －y ＋1经过点D ⎝⎛⎭⎫12，12时，取得最小值32，经过点A (1,0)时，取得最大值3； ④当⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －1≤0，x －y ≤0，x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0时，z ＝－4x ＋5y ＋1，满足约束条件下的平面区域为四边形BCED ，则直线z ＝－4x ＋5y＋1经过点D ⎝⎛⎭⎫12，12时，取得最小值32，经过点C (2,3)时，取得最大值8. 综上可知z ＝|x －2y －1|＋3|x －y |的最小值为32，最大值为8，即|x －2y －1|＋3|x －y |的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，8.。
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)
A.1＋ 2
B.1＋ 3
C.3
D.4
解析 当 x>2 时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋x－1 2＋2≥2 （x－2）×x－1 2＋2＝4，当且
仅当 x－2＝x－1 2(x>2)，即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a＝3，选 C. 答案 C
5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥__2_a_b__(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.
(2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号. (3)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.
(4)ba＋ab≥___2___(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号.
∴1x＋xy的最小值为 3. 答案 (－1，1) 3
考点一 配凑法求最值
【例 1】 (1)已知 x＜54，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最大值为__________；
(2)已知正实数 x，y 满足 xy＋2x＋3y＝42，则 xy＋5x＋4y 的最小值为________.
解析 (1)因为 x＜54，所以 5－4x＞0， 则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2 （5－4x）5－14x＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，等号成立. 故 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最大值为 1.
(2)因为正实数 x，y 满足 xy＋2x＋3y＝42，所以 y＝423－＋2xx>0 且 x>0，解得 0<x<21.则 xy＋ 5x＋4y＝3x＋y＋42＝3x＋423－ ＋2xx＋42＝3（3＋x）＋31＋6x＋31≥3×2 （3＋x）·31＋6x＋ 31＝55，当且仅当 x＝1，y＝10 时取等号.所以 xy＋5x＋4y 的最小值为 55.
解析 ∵正数x，y满足x＋y＝1， ∴y＝1－x，0<x<1， ∴－y＝－1＋x， ∴x－y＝2x－1，又0<x<1， ∴0<2x<2，∴－1<2x－1<1， 即x－y的取值范围为(－1，1).
1x＋xy＝x＋x y＋xy＝1＋yx＋xy≥1＋2 yx·xy＝1＋2＝3，当且仅当 x＝y＝12时取“＝”；
a＋b 第 3 节 基本不等式： ab≤ 2
考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题.
知识梳理
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝__b____时取等号.
a＋b (3)其中____2____称为正数 a，b 的算术平均数，___a_b___称为正数 a，b 的几何平均数.
3.利用基本不等式求最值
已知 x≥0，y≥0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当__x_＝__y___时，x＋y 有最_小____值是__2___p___简记：
积定和最小).
s2
(2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当___x＝___y___时，xy 有最__大___值是___4___(简记：
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 因为直线ax＋by＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，所以1a＋1b＝1.所以 a＋b＝(a＋
b)·1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋2 ab·ba＝4，当且仅当 a＝b＝2 时取“＝”，故选 C.
答案 C
4.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于(
4.基本不等式的一般形式：1n(a1＋a2＋a3＋…＋an)≥n a1a2…an(其中 a1，a2，a3，…，an∈(0， ＋∞)，当且仅当 a1＝a2＝a3＝…＝an 时等号成立).
基础自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当 a≥0，b≥0 时，a＋2 b≥ ab.(
)
(2)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是相同的.(
则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大.
解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m.则 x＋2y＝30，所以 S＝xy＝12x·(2y)≤12x＋22y2＝2225， 当且仅当 x＝2y，即 x＝15，y＝125时取等号.
答案
15
15 2
6.已知正数 x，y 满足 x＋y＝1，则 x－y 的取值范围为________，1x＋xy的最小值为________.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A.80
B.77
C.81
解析 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时取等号.
答案 C
D.82
3.若直线ax＋by＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则 a＋b 的最小值等于( )
答案 (1)1 (2)55
规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相 等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定 值，“三相等”是指满足等号成立的条件. (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的 形式，然后再利用基本不等式.
和定积最大).
[常用结论与易错提醒] 1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用
等，例如：ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2， ab≤a＋2 b≤ a2＋2 b2(a>0，b>0)等，同时还要注意 不等式成立的条件和等号成立的条件. 2.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件是 2.( )
(4)函数 f(x)＝sin x＋sin4 x的最小值为 4.( )
(5)x＞0 且 y＞0 是xy＋yx≥2 的充要条件.( )
解析 (2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
不等式a＋2 b≥ ab成立的条件是 a≥0，b≥0.
(3)函数 y＝x＋1x值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (4)函数 f(x)＝sin x＋sin4 x无最小值. (5)x>0 且 y>0 是xy＋yx≥2 的充分不必要条件.