(浙江专用)202x版高考数学大一轮复习 第二章 不等式 第3节 基本不等式

(2)因为正实数 x，y 满足 xy＋2x＋3y＝42，所以 y＝423－＋2xx>0 且 x>0，解得 0<x<21.则 xy＋ 5x＋4y＝3x＋y＋42＝3x＋423－ ＋2xx＋42＝3（3＋x）＋31＋6x＋31≥3×2 （3＋x）·31＋6x＋ 31＝55，当且仅当 x＝1，y＝10 时取等号.所以 xy＋5x＋4y 的最小值为 55.
a＋b 第 3 节 基本不等式： ab≤ 2
考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题.
知识梳理
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝__b____时取等号.
a＋b (3)其中____2____称为正数 a，b 的算术平均数，___a_b___称为正数 a，b 的几何平均数.
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 因为直线ax＋by＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，所以1a＋1b＝1.所以 a＋b＝(a＋
b)·1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋2 ab·ba＝4，当且仅当 a＝b＝2 时取“＝”，故选 C.
答案 C
4.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于(
3.利用基本不等式求最值
已知 x≥0，y≥0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当__x_＝__y___时，x＋y 有最_小_百度文库__值是__2___p___简记：
积定和最小).
s2
(2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当___x＝___y___时，xy 有最__大___值是___4___(简记：
解析 ∵正数x，y满足x＋y＝1， ∴y＝1－x，0<x<1， ∴－y＝－1＋x， ∴x－y＝2x－1，又0<x<1， ∴0<2x<2，∴－1<2x－1<1， 即x－y的取值范围为(－1，1).
1x＋xy＝x＋x y＋xy＝1＋yx＋xy≥1＋2 yx·xy＝1＋2＝3，当且仅当 x＝y＝12时取“＝”；
和定积最大).
[常用结论与易错提醒] 1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用
等，例如：ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2， ab≤a＋2 b≤ a2＋2 b2(a>0，b>0)等，同时还要注意 不等式成立的条件和等号成立的条件. 2.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
)
A.1＋ 2
B.1＋ 3
C.3
D.4
解析 当 x>2 时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋x－1 2＋2≥2 （x－2）×x－1 2＋2＝4，当且
仅当 x－2＝x－1 2(x>2)，即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a＝3，选 C. 答案 C
5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，
4.基本不等式的一般形式：1n(a1＋a2＋a3＋…＋an)≥n a1a2…an(其中 a1，a2，a3，…，an∈(0， ＋∞)，当且仅当 a1＝a2＝a3＝…＝an 时等号成立).
基础自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当 a≥0，b≥0 时，a＋2 b≥ ab.(
)
(2)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是相同的.(
)
(3)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( )
(4)函数 f(x)＝sin x＋sin4 x的最小值为 4.( )
(5)x＞0 且 y＞0 是xy＋yx≥2 的充要条件.( )
解析 (2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
不等式a＋2 b≥ ab成立的条件是 a≥0，b≥0.
(3)函数 y＝x＋1x值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (4)函数 f(x)＝sin x＋sin4 x无最小值. (5)x>0 且 y>0 是xy＋yx≥2 的充分不必要条件.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A.80
B.77
C.81
解析 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时取等号.
答案 C
D.82
3.若直线ax＋by＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则 a＋b 的最小值等于( )
∴1x＋xy的最小值为 3. 答案 (－1，1) 3
考点一 配凑法求最值
【例 1】 (1)已知 x＜54，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最大值为__________；
(2)已知正实数 x，y 满足 xy＋2x＋3y＝42，则 xy＋5x＋4y 的最小值为________.
解析 (1)因为 x＜54，所以 5－4x＞0， 则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2 （5－4x）5－14x＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，等号成立. 故 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最大值为 1.
则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大.
解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m.则 x＋2y＝30，所以 S＝xy＝12x·(2y)≤12x＋22y2＝2225， 当且仅当 x＝2y，即 x＝15，y＝125时取等号.
答案
15
15 2
6.已知正数 x，y 满足 x＋y＝1，则 x－y 的取值范围为________，1x＋xy的最小值为________.
答案 (1)1 (2)55
规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相 等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定 值，“三相等”是指满足等号成立的条件. (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的 形式，然后再利用基本不等式.
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥__2_a_b__(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.
(2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号. (3)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.
(4)ba＋ab≥___2___(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号.