弹性力学 第二章 应力分析

方程(2.5.3)式有根，应有三个根，即σ1 ,σ 2 ,σ 3 ，称为主应力，(2.5.3) 和 (2.5.4)式可重写成
(σ − σ1 )(σ − σ 2 )(σ − σ 3 ) = 0
J1 = σ1 + σ 2 +σ 3
J 2 = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1
J 3 = σ1σ 2σ 3
∫∫∫ ( ) ∫∫∫ ( ) eijk rjσ rk,r + δ jrσ rk dv = eijk − rj Fk + σ jk dv
V
V
代回(2.3.7)式有
∫∫∫ eijkσ jk dv = 0 V
同样，由于物体 B 是任意取的，应有
eijk σ jk = 0
式中 i 为自由角标，j、k 为哑标，展开此式有
xm ' = νim ' xi
或用坐标基单位矢量表示为
e m' = ν im 'ei
m'
m'
对任一经过转动的新系的坐标轴xm' ，这个方向上的应力矢量T ，其原坐标系的分量为T j ，
m' m'
即 T = T j e j ，参见图2.8，根据Cauchy应力公式 (2.2.1) 有
m'
m'
T j = σ ij νi = σ ijν im'
σ yx

σ
zx
σ xy σ yy σ zy
σ σ
xz yz
或

σ σ
11 21
σ
zz

σ 31
σ 12 σ 22 σ 32
σ 13 σ 23 σ 33
§2.2 斜截面上的应力—一点的应力张量
设想以 Q 点为原点 O， 从物体中切割出一微小四面体 OABC，斜面 ABC 的法线方向为
σ yz
σ zy
σ zx
A
σ zz
x
Tz Ty Tx y
B
图 2.4
ν
νν ν
△ABC 上作用的应力矢量T 可以沿坐标轴方向分解为T x ，T y ，T z 。设这四面体作用的单位
体积力 F 沿坐标轴方向分解为 X，Y，Z 。如果△ABC 的面积为Ω ，按解析几何，则△OBC
的面积为Ων x ，△OCA 的面积为Ων y ，△OAB 的面积为Ων z 。设四面体的高为h ，平衡
eijk σ jk = e σ imn mn + einmσ nm = 0
即
σ mn =σ nm
8
ν
T
ν
x2
图 2.7
第二章 应 力 分 析
式中m, n 为选定的，与 i 为不同的且是非求和角标，此式即剪应力互等定律。
§2.4 坐标变换
在§2.2 中我们说明，一点的应力状态要由三个不共面上的应力矢量，或九个应 力分量来确定。用 Descartes 坐标系描述时，新旧坐标系之间的关系是 (1.20 ) 式
S
V
故有
( ) ∫∫∫ σ ji, j + Fi dv = 0 V
但物体 B 是任意的，则有 (2,3,1) 式
B x1
σ ji , j + Fi = 0
表面力力矩和体力力矩的矢量方程分别为
ν
m =r×T
m'= r × F
或写成分量形式
ν
mi = eijk rj Tk 当合力矩为零时，有
m' = eijk rj Fk
σ ji , j + Fi = 0
(2.3.1b)
求力矩平衡时，参见图 2.6，如对通过六面体形心的 x 轴取矩，有
σzy
+
∂σzy ∂z
dz
z
σyy
σxy
Y
σxy +
∂σxy ∂x
dx
σyy
+
∂σyy ∂y
dy
σzy
x
y
图 2.6
2σ
yz
+
∂σ yz ∂y
dydxdz
⋅
dy 2
− 2σ zy
之如坐标面的法线方向指向坐标轴的负向，则规定各个应力分量的正向也指向坐标轴的负向。
由于在 Descartes 坐标系中有相互正交的三个坐标面，其上相应共有九个分量，他们共同组成 了一个新的物理量，可简写作σi j ，其中ｉ表示应力分量所在的坐标面，ｊ表示应力分量的 方向，也可用一个矩阵来表示，即
σ xx
2
对应σ 2 , 可求出 ν j = a j − ib j ，因此 (4) 式中的因子
( )( ) 1 2
m'
x3 T
xm′
ν
m'
如把应力矢量T 在新坐标系中分解，应有
m'
σ m 'n' = T j e j • en'
x1
而
e n' = ν rn'er
x2
图 2.8
所以
σ m 'n' = σ ijν im 'e j •ν rn'e r = ν im ν' σ jn' ij
式中用到了e j • e r = δ jr 。符合二阶张量的解析定义。
假设方程(2.5.3)式的三个根不全为实根，则可假设三根为σ1 = α + iβ ,σ 2 = α − iβ ,σ 3 ，
11
22
1
式中α, β ,σ 3 为实数，因为ν i ν i = 1, ν i ν i = 1。对应σ1 ，由方程组(1)可求出ν j = a j + ib j ，
10
第二章 应 力 分 析
() ν
ν ν x，ν y，ν z ，作用的应力矢量为T ，在
z
υ
△OBC 上的应力矢量的分量为 σ xx σ xy σ xz
C
υ
T
△OCA 上的应力矢量的分量为 σ yx σ yy σ yz △OAB 上的应力矢量的分量为 σ zx σ zy σ zz
σ yy σ xz
σ xx
0σ xy σ yx
ν
∫∫ ∫∫∫ eijkr j T k dS + eijk rj Fkdv = 0
S
V
ν
因为Tk = σ rkν r ，所以由 Gauss 公式有
∫∫ ∫∫∫( ) eijkr jσ rkν r dS =
eijk rjσ rk ,r dv
S
V
又因为
rj ,r
= δ jr
=
∂x j ∂xr
故使上式成为
+
∂σ zy ∂z
dz dxdy ⋅
dz 2
=
0
略去四阶小量得 (2.3.2a ) 式的第一式，同理考虑另两个形心轴取矩时得下列 方程的后两式，
σ σ
yz zx
= σ zy = σ xz
σ xy = σ yx
或
σ ij = σ ji
称为剪应力互等定律。
(2.3.2a) (2.3.2b)
(2.5.2)
这个方程组 (2.5.2) 如有非零解，要求其系数行列式
σ ji − δ ijσ = 0
展开后成为一个三次方程
式中
σ 3 − J1σ 2 + J2σ − J3 = 0
J1 = σ kk
( ) J 2
=
1 2
σ iiσ kk
− σ ik σ ki
J 3 = σ ij
(2.5.3) (2.5.4)
② 积分方程法 上述的平衡方程也可用积分方程的方法得到。作用在被分割出物体上的合力为零的矢量 方程为
ν
∫∫TdS + ∫∫∫Fdv = 0
S
V
写成分量形式，并用(2.2.1)式，得
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第二章 应 力 分 析
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∫∫σ jiν jdS + ∫∫∫Fidv = 0
S
V
x3
由 Gauss 公式，
∫∫ ∫∫∫ σ jiν jdS = σ ji, jdv
第二章 应力分析
一个物体在外力作用下产生变形，如果我们把物体设想可分成几部分时，被分开的部分 的表面彼此间相互有力作用，反抗物体的变形，我们称这种物体内部的作用力为内力，在工 程上习惯理解成力在变形体内传递。这种力通常我们称之为应力(Stress)。它是连续介质力学 和弹性力学的重要概念之一，是我们这章讨论的重点。
σzz
+
∂σzz ∂z
dz
z x
σzx +
∂ σz x ∂z
dz
σxz +
∂ σx z ∂x
dx
σyx
σyy
X
σyz
σzy
+
∂σzy ∂z
dz
Z
σyz +
∂ σyz ∂y
dy
Y
σyx +
σyy +
∂ σyx ∂y
dy
∂ σyy ∂y
σzx
σz y
y
σxx +
∂ σx x ∂x
dx
σzz
σxy +
∂σxy ∂x
第二章 应 力 分 析
如果选一 Descartes 坐标面为π平面的应力矢量，并沿坐标方向将其分解，应有一个正应力分 量和两个剪应力分量，其各个应力分量的正向，例如与x 轴向垂直的坐标面上的应力分量
z σ zz
σ zy
σ zx
σ yz
σ xz
σ yy
σ xy σ yx
y
σ xx
x
图 2.3
σ xx ,σ xy ,σ xz 如图 2.3 所示，注意这些显示出的坐标面的法线方向与坐标轴的指向相同，反
J1 , J 2 , J3 分别称做第一不变量、第二不变量和第三不变量。σ1 ,σ 2 ,σ 3 这三个主应力相应的
12 3
方向称为应力主轴。如果这三个应力主轴的单位矢量分别是ν ,ν ,ν ，以下将可证明两点结论：
①三根皆为实数，②三轴方向互相垂直。由方程(2.5.2) 每个应力主轴相对应的有下列方程：
§2.5 主应力和应力主轴，最大剪应力
主应力和应力主轴
ν
由 Cauchy 应力公式，如果能找到一个方向ν，使此时的应力矢量T 方向与ν的方向重 合，此式成为
ν
Ti = σ νji j = σν i
(2.5.1)
利用代换算子δ ij 此式成为
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第二章 应 力 分 析
( ) σ ji − δijσ ν j = 0
dx
dy
图 2.5
σ yy
+
∂σ yy ∂y
dy dxdz + σ
xy
+
∂σ xy ∂x
dx dydz
+ σ zy
+
∂σ zy ∂z
dz dxdy
− σ yydxdz − σ yxdydz − σ zx dxdy + Ydxdydz = 0
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第二章 应 力 分 析
简写成
Tνx = σ xxν x + σ yxν y + σ zxν z Tνy = σ xyν x + σ yyν y + σ zyν z Tνz = σ xzν x + σ zyν y + σ zzν z
ν
Ti = σ νji j
(2.2.1a) (2.2.1b)
结论：如果知道一点的三个正交面的应力矢量或九个应力分量则该点任意不同方向的应力皆 可由此式确定。这是由 Cauchy 得到的，故称之为 Cauchy 应力公式。如将这四面体取在物体 的边界上，斜面上的应力矢量成为外力（面力），那么 Cauchy 应力公式 (2.2.1) 则用来表示 物体的受力边界条件。
图 2.1
图 2.2
lim
∆S →0
∆Fν ∆S
ν
=T
即
d Fν dS
ν
=T
ν
T 称为应力矢量，它有如下特点：
(2.1.1)
ν
① T 是表示位于Ｂ物体Ｓ面上Ｑ点的，其切平面π的法线方向为ν的应力矢量。Q 点不 动，ν方向改变时所切物体随之改变，则ν也要改变。
ν
② T 是固定矢量。
ν
③ T 可在π平面上及其法线方向上分解，分别称之为剪应力分量和正应力分量。
§2.3 变形物体的平衡方程
一个物体处于平衡状态，其中分离出的任何一部分仍然也处于平衡状态。现我们欲得到 它的微分方程，这里采用两种方法：一为微小单元体法，一为积分方程法，现分述如下
① 微小单元体法 如图 2.5 所示，我们从物体中取出的某一微小的正六面体，其受力状况也均示于图 2.5 上，现取其处于平衡，如 y 向合力为零，则有
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第二章 应 力 分 析
时，取x 向合力为零，有
1 3
hΩX
+
ν
T
x
Ω−σ
xxν
xΩ −
σ yxν
yΩ
− σ zxν
zΩ
=
0
消去公因子Ω得，
1 hX 3
ν
+ T x − σ xxν x
− σ yxν y
− σ zxν z
=0
令 h →0 可得(2.2.1a)式的第一式，同理从另两个方向的平衡得到下列方程组中的后两式
消去公因子得 (2.3.1a) 式的第二式，同理由另两个方向的平衡得到其余的两式，

∂σ xx ∂x
+
∂σ yx ∂y
+
∂σ zx ∂z
+
X
=
0

∂σ xy ∂x
+
∂σ yy ∂y
+
∂σ zy ∂z
+Y
=0
∂σ xz ∂x
+
∂σ yz ∂y
+
∂σ zz ∂z
+
Z
=0
或
(2.3.1a)
§2.1 应力矢量
通常，作用于物体的外力可以分为两种：一种是分布在物体表面的作用力，例如一个物 体对另一物体作用的压力，象水压力等，称做面力(surface traction)；另一种是分布在物体体 积内的力，象重力、磁力或运动物体的惯性力等，称为体力(body force)。当一个物体处于平 衡状态时，如图 2.１。假如我们设想从中分离出一部分 B，其表面用 S 表示。其余部分称为 Ａ，现考虑Ｓ上任一点Ｑ，其邻域△Ｓ面上作用的合力为△Fν
( )1
σ ji − δ ijσ1 ν j = 0
(1)
( )2
σ ji − δ ij σ 2 ν j = 0
(2)
( )3
σ ji − δ ij σ 3 ν j = 0
(3)
2
1
将(1)式乘以ν i ，(2)式乘以ν i 后相减得
(σ
2
)1 2
−σ 1 νi νi
=
0
⑷
其中用了等式
12
12
σ ij ν j ν i = σ ij ν i ν j