第十一章 虚位移法

O θ y A
xB=l1 cos +l2cos
φ
B
x
xA = -l1sin ∙
xB = -l1sin ∙ - l2sin
l1cos ∙ = l2cos ∙
y A
yA = l1cos ∙
rA = i∙xA + j∙yA
= l1(- i∙ sin + j ∙ cos) ∙
xA
六、 例题 【例11-10】不计摩擦力及绳索质量，求图示滑轮系 统平衡时P/Q的值。 【解】 2xA + xB =c1 O y xC - xA = c2
xC - xA = 0 xC+xD- 2xB = 0 xD= -5xC 虚功方程: P∙xC+Q∙xD=0
求解：P/ Q= 5
rA
(1) (2)
O
A
AB杆作平面运动 ， I为瞬心
r A IA 2
rB
B
由(1)(2)式得
OA 2 1 IA
2 rA
Aபைடு நூலகம்
I
2
r B IB 2
OA IB 1 IA
O
rB
B
若1取为顺时针转向，画出虚位移图得出的 rA和
xi
yi
j 1 k j 1 k
k
xi (q1 , q2 ,, q j ,, qk ) qj yi (q1 , q2 ,, q j ,, qk ) qj z i (q1 , q2 ,, q j ,, qk ) qj
q j q j (i =1,2,…,n) q j
完整约束方程中仅含坐标 ，它表现为对质点系的几 何位置起限制作用 ，故这种约束又称为几何约束。 •如果约束方程中不仅含有坐标， 还含有坐标对时 间的导数且这种方程不能积分成有限形式，称这种 约束为非完整约束。其一般形式为：
i , y i , z n , y n , z i ,..., xn , y n , z n , x n ; t ) 0 1 , z f j ( x1 , y1 , z1 , x 1 , y 1 ,, xi , yi , z i , x ( j 1,2,, s)
非完整约束方程中包含有速度的投影 ，它仅表现为对 质点速度所加的限制 ，故这种约束又称为运动约束。
本章只涉及定常双面完整约束。
【例11-3】平面上两个质点M1和M2质量相等。由一 长为 l 不计质量的刚性杆连接 ， 运动中杆中点 C 的速度只可以沿着杆的方向如图所示。写出质点M1、 M2及中点C的约束方程。
x l M(x,y)
O
x

y
l M(x,y)
2. 定常约束与非定常约束 •如果在约束方程中不显含时间t ，即约束不随时间 而改变 ，称该约束为定常约束。如上面所举二例。
•如果在约束方程中显含时间t ，即约束随 时间而改变 ，称该约束为非定常约束。
图示单摆的约束方程为：x2 + y2 = (l- vt)2 3. 完整约束与非完整约束
四、注意事项
若求摩擦、支座等约束反力，则可逐次解除一个约 束，将结构变成机构，并视该约束反力为主动力； 有时将虚位移换成虚速度并用 Fi vi 0表示虚功 方程，即用所谓的 “虚速度法” 解题较便捷； 虚位移或虚速度是指在质点系静止平衡的基础上假 想发生的； 静力学大多数问题用虚位移原理求解并不很方便。 五、 解题步骤 选取适当的广义坐标(或虚速度)； 求与各主动力相对应的虚位移(或虚速度间的关系； 列主动力的虚功方程并求解。
M2(x2,y2)

x
§11-2 自由度 广义坐标
一、自由度 在完整约束条件下，用来确定质点系在空间的位置 所需的独立坐标个数称为质点系的自由度。
•一个由n个质点组成的质点系在空间(平面)内的位置 ， 在直角坐标系中需用3n (2n)个坐标来确定。
•如果质点系受有s个完整约束 ，则质点系的3n (2n) 个坐标必须满足s个约束方程。 •因此质点系只有k=3n - s (k=2n - s)个坐标是独立的， 即其自由度k=3n - s (k=2n - s) 。
y M O dr A y M δ r1 A

x
O

δ2 x
δ r2
对于非定常约束 ，由于物体的位置或形状随时间 而改变 ，而虚位移与时间无关 ，实位移却与时间 有关 ，所以微小的实位移不再是虚位移之一。 【例11-7】物块B搁置于三棱体A上，不计摩擦。画 出系统由静止开始运动后物块B的实位移和虚位移。
二、理想约束
约束反力在质点系的任何虚位移中所作虚功之代数
和为零的约束称为理想约束。
静力学中的固定光滑接触、不可伸长的柔性体、光
滑铰链、固定端、刚性二力构件、光滑球形铰链、
光滑止推轴承等均为理想约束。 若以Ni表示n个质点系中第i个质点的约束反力的合 力 ， ri表示该质点的虚位移 ，则质点系的理想约束 条件可表示为： N i ri 0
【例11-1】圆盘C在粗糙平面上作纯滚动。
yC = R表示圆盘C受到几何上的限制， vC = R表示圆盘C受到运动学上的限制。
yC
R
C ω
vC
自由质点系：不受任何约束的质点系为自由质系， 它可以在主动力作用下作空间任意运动。 非自由质点系：受约束的质点系为非自由质点系。
约束方程：约束加于质点或质点系的限制条件， 可以用几何学和运动学知识写成具体的数学表达 式 ，该表达式称为约束方程。 【例11-2】 求曲柄连杆机构的约束方程。 y xA2 + yA2 = r2 A(xA,yA) r l (xB – xA)2 + (yB – yA)2 = l 2 O yB = 0
它只是约束所容许的可能发生而实际不一定发生的 位移，它与作用力无关，与时间无关； 它可以有多种不同的方向，但必须是微小量。 三、 实位移与虚位移的关系 在定常完整约束条件下 ， 约束的性质与时间无关， 微小的实位移是虚位移之一。 【例11-6】铰接于光滑水平面上的直杆OA受力如图 示，画出点A的实位移和虚位移。
zi
j 1
ri=ri(q1,q2,…, qj ,…, qk)
(i =1,2,…,n)
ri
j 1
k
r i (q1 , q2 ,, q j ,, qk ) qj
q j
(i =1,2,…,n) 【例11-9】求图示机构A点和B点的虚位移。
OA=l1 ，AB=l2。 【解】xA=l1 cos l1sin =l2sin yA=l1 sin
B(xB, yB) x
二、约束的分类 1. 双面约束与单面约束 图示复摆摆锤M的约束方程为 O x2+y2 = l 2 •双面约束用严格的等号表示约束方程。 y 这种约束如能限制物体向某一方向运动， 则必能限制向相反方向运动。 图示单摆摆锤M的约束方程为 x2+y2 ≤ l 2 •单面约束用不等号表示约束方程。 这种约束只能限制物体某个方向的 运动，不能限制相反方向的运动。
r2
dr
A
r1
A
A
四、 虚位移求法 几何法 在定常约束条件下 ，微小的实位移是虚位移之一，故 可用求实位移的方法来建立质点的虚位移间的关系。
【例11-8】 求图示机构A点和B点的虚位移。
【解】应用几何学和运动学方法 求A点和B点的虚位移rA和 rB OA杆作定轴转动
2
I
r A OA 1
xA2 + yA2 =l12
1 l 1
2 2
y
k 22 2 2
A(xA,yA) l2
2
B(xB,yB)
二、广义坐标 唯一地确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。 •在具体问题中，广义坐标可取为角度、弧度、直角 坐标等。 •若以q1,q2,…, qj,…, qk 表示所选定的广义坐标，则任 一质点Mi 的直角坐标可表示为广义坐标的函数。 xi= xi (q1,q2,…, qj,…,qk) yi = yi (q1,q2,…, qj,…, qk) (i =1,2,…,n)
【解】 由质点距离不变的条件 写出M1和M2的几何约束方程
(x1 - x2)2+(y1 - y2)2 = l 2 由点C的速度vC必须沿杆的方 向的条件写出运动约束方程 1 y 2 ) 2 (y y 2 y1 1 x 2 ) 2 (x x2 x1
y vC C M1(x1,y1) O
rB的表达式与逆时针转向是一致的。
解析法 利用广义坐标的概念，将任意质点系中各质点的虚位 移表示为与广义坐标间的变分关系。 xi= xi (q1,q2,…, qj, …, qk) yi = yi (q1,q2,…, qj, …, qk) (i =1,2,…,n) zi = zi (q1,q2,…, qj, …, qk)

(xC-xB)+(xD-xB)= c3 2xA+ xB = 0
xC
A xD D Q
B
C P
x
xB
【例11-11】图示机构中弹簧自然长度为l0，刚度系数 为k。求在主动力P、Q作用下平衡时弹簧拉力及θ。 【解】1)求虚位移间关系 x B L cos xB L sin α P y B L sin y B L cos B xC 2L cos xC 2L sin xD l cos x D l sin
O
v
x

y
l -vt M(x,y)
•如果约束方程中仅包含坐标，或坐标与时间，或包 含坐标对时间的导数但能积分成有限形式 ，称这种 约束为完整约束。如上面所举各例。 完整约束方程的一般形式为： ƒj (x1,y1,z1,…, xi,yi,zi,…, xn,yn,zn; t)=0 (j =1,2,…,s)