Lagrange插值基函数构造插值多项式
计算方法 插值法Lagrange插值
的n次插值基函数
以n+1个n次基本插值多项式lk(x)(k 0,1, … , n) 为基础，可直接写出满足插值条件
P(xi ) f(x i ) (i 0,1,2, … , n)
的n次代数插值多项式：
P(x) l0(x)y 0 l1(x)y1 … ln(x)yn
B(x1, f(x1))
x0
x1
由解析几何知道,这条直线用点斜式表示为
改写为
p(x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0)
p(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
为了便于推广，记
推导
l0(x)
x x1 , x0 x1
l1(x )
x x0 x1 x0
线性插值 基函数
或者写成：
(i 0,1,2)
其几何意义是用经过3个点
(x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2 )
的抛物线 y P(x) 用以近似计算 y f(x)
y=f(x)
y
y = L 2 (x)
y0
y1
x0
x1
y2 x
x2
P(x)的系数 a0 , a1, a2 直接由插值条件决定，即
a0 , a1, a2 满足代数方程组：
(x 0 x1)(x 0 x2 )
从而导出 l0(x)
(x (x 0
x1)(x x2 ) x1)(x 0 x2 )
类似地可以构造出插值多项式 l1(x )和l2 (x )
于是确定了3个抛物插值的基函数：
l0(x)
(x (x 0
x1)(x x1)(x
lagrange插值定理在高等代数中的不同解读
Lagrange插值定理在数学中有着重要的地位，特别是在高等代数中起着至关重要的作用。
它可以用来解决复杂的多项式函数的插值问题，为我们理解和应用数学领域的知识提供了有力的工具。
在不同的学术领域，人们对于Lagrange插值定理有着不同的解读，从而衍生出不同的应用和研究方向。
本文将从几个不同的角度来探讨Lagrange插值定理在高等代数中的不同解读。
一、数学领域中的Lagrange插值定理解读Lagrange插值定理最基本的形式可以描述为：给定一个次数为n的多项式函数，通过n+1个互异的插值点，可以确定该多项式函数的系数，并进而插值计算出其他点的函数值。
从数学的角度来看，Lagrange插值定理是关于多项式插值的一个重要定理。
1. 从数学原理角度解读从数学原理角度来看，Lagrange插值定理是建立在对多项式插值理论的深入研究之上的。
它涉及到多项式插值的基本概念和方法，通过对于插值点的选取和多项式函数的构造来实现对未知函数值的估计。
在数学原理角度下，人们可以进一步研究多项式插值的稳定性、误差估计和收敛性等问题，从而深化对Lagrange插值定理的理解，并且将其应用于更广泛的数学领域。
2. 从数值计算角度解读与数学原理角度不同，Lagrange插值定理也可以从数值计算的角度来解读。
在数值计算中，我们常常需要利用已知的数据点来估计未知函数值，在这种情况下，Lagrange插值定理就可以发挥出极大的作用。
通过构造插值多项式，我们可以利用插值多项式来进行数值计算，从而得到我们所需要的结果。
从数值计算的角度来看，Lagrange插值定理是一个非常实用的工具和方法。
二、Lagrange插值定理在高等代数中的应用除了在数学领域中有着重要的理论意义之外，Lagrange插值定理在高等代数中还有着广泛的应用。
在高等代数课程中，Lagrange插值定理不仅可以帮助学生更深入地理解多项式插值的原理，还可以通过实际案例来展示插值多项式的具体应用。
lagrange插值基函数 -回复
lagrange插值基函数-回复什么是拉格朗日插值基函数？拉格朗日插值基函数是一种常用的插值方法，用于在给定一组已知数据点的情况下，通过插值多项式来估计未知数据点。
其基本思想是使用多项式函数逼近给定数据点，并利用插值点的特性来确定插值函数的形式。
拉格朗日插值基函数的具体定义如下：假设有n+1个数据点{x0, x1, ..., xn}，并且对应的函数值分别为{y0, y1, ..., yn}。
拉格朗日插值基函数Li(x)用于通过这些数据点构造插值多项式，其定义为：Li(x) = Π[j=0, j≠i] [(x - xj) / (xi - xj)], for i=0,1,2,...,n.其中，Π表示连乘符号，(x - xj)表示差值项，(xi - xj)表示分母项。
拉格朗日插值基函数的意义在于，通过对每个数据点应用不同的基函数，可以构造出满足通过这些数据点的插值多项式。
不同的基函数会根据数据点的位置和分布产生不同的权重，从而影响插值多项式的形状。
拉格朗日插值基函数的理论基础来源于拉格朗日插值多项式的推导。
拉格朗日插值多项式是一个n次多项式，可以完全经过这n+1个数据点，具体形式如下：P(x) = Σ[i=0 to n] (yi * Li(x)), for i=0,1,2,...,n.其中，Σ表示累加符号，yi表示每个数据点的函数值，Li(x)表示拉格朗日插值基函数。
通过计算基函数Li(x)在插值点上的取值，可以得到插值多项式的系数，从而得到插值函数的表达式。
通过插值函数，我们可以在未知数据点上估计其对应的函数值。
拉格朗日插值基函数的优点在于简单易懂，计算过程较为直观。
它可以准确地通过已知数据点，构造出满足这些点的插值函数。
然而，拉格朗日插值基函数的缺点在于，当数据点数量较多时，基函数的计算量较大，且插值函数可能出现振荡现象。
为了解决上述问题，人们提出了其他插值方法，如牛顿插值法和埃尔米特插值法。
这些方法在一些方面改进了拉格朗日插值基函数的不足，提高了插值的准确性和稳定性。
多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点
多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的重要概念，用于逼近给定数据点集合的函数。
通过插值，我们可以通过已知的数据点，构造出一个多项式函数，从而对未知数据点进行预测和估计。
Lagrange插值是一种常用的插值方法，具有简单易懂的形式和计算方法。
1. 插值多项式的定义插值多项式是指通过已知数据点集合，构造一个多项式函数，该函数在已知数据点上与原函数完全相等。
插值多项式在数值计算、信号处理、图像处理等领域都有广泛的应用。
2. Lagrange插值的原理Lagrange插值是一种基于多项式插值的方法，它通过构造一个满足一定条件的插值多项式来逼近原函数。
Lagrange插值的思想是，通过构造一系列的基函数，使得插值多项式在每个数据点上的取值等于对应数据点的函数值，并且在其他数据点上的取值为0。
3. Lagrange插值的公式Lagrange插值的公式非常简洁明了。
设已知的数据点集合为{(x0, y0), (x1, y1), ...,(xn, yn)}，其中xi和yi分别代表数据点的横坐标和纵坐标。
插值多项式的公式可以表示为：P(x) = ∑(i=0 t o n) [yi * Li(x)]其中，Li(x)为Lagrange基函数，其公式为：Li(x) = ∏(j=0 to n, j!=i) [(x - xj) / (xi - xj)]4. Lagrange插值的优点Lagrange插值具有以下几个优点：(1) 简单易懂：Lagrange插值的公式非常简洁明了，易于理解和计算。
(2) 泛用性强：Lagrange插值适用于任意数量的数据点，能够满足不同场景的需求。
(3) 高精度：在数据点较为密集的情况下，Lagrange插值能够提供较高的插值精度。
5. Lagrange插值的局限性尽管Lagrange插值具有许多优点，但也存在一些局限性：(1) 数据点过于离散：当数据点过于离散时，Lagrange插值可能会导致插值多项式的震荡现象，从而影响插值结果的准确性。
lagrange插值
%拉格朗日插值方法%可以同时对多点插值%t可以为向量function s=lag(x,y,t)%采用符号推导，这样可以给出插值具体公式syms p;%读取x向量维数n=length(x);s=0;for(k=1:n)la=y(k);%构造基函数for(j=1:k-1)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j));end;for(j=k+1:n)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j));end;s=s+la;simplify(s);end%对输入参数个数做判断，如果只有两个参数%直接给出插值多项式%如果三个参数则给出插值点的插值结果%第三个参数可以为向量if(nargin==2)s=subs(s,'p','x');%展开多项式s=collect(s);%把系数取到6位精度表达s=vpa(s,4);else%读取t长度m=length(t);%分别对t的每一个分量插值for i=1:mtemp(i)=subs(s,'p',t(i));end%得到的是系列插值点的插值结果%既得到的是向量，赋值给ss=temp;end%lagrange方法主函数%同时计算多点插值%已有点x ，yx=[pi/4,pi/6,pi/3,pi/2];y=[cos(pi/4),cos(pi/6),cos(pi/3),cos(pi/2)];%需要插值点t=[-40*pi/180,47*pi/180,53*pi/180,79*pi/180,174*pi/180]; disp('角度')du=[-40 47 53 79 174]%插值计算结果disp('插值结果')yt=lag(x,y,t)%cos函数值disp('cos函数值')yreal=[cos(-40*pi/180)cos(47*pi/180)cos(53*pi/180)cos(79*pi/180)cos(174*pi/180)]'disp('插值与函数值误差')dy=yt-yreal%给出插值多项式，需要显示的话去掉下行的分号yt=lag(x,y)%画出插值多项式图形ezplot(yt,[-pi/4,pi])hold on%画出cos函数图形ezplot('cos(t)',[-pi/4,pi]);grid onhold off。
四种插值法的特点比较
Ｖｏ １ ． １ ２，Ｎｏ ． ２
第 １ ２卷 （ 总第 ６ ５ 期）
Ａｐ ｒ ． ，２ ０１ ３
文章编号 ： １ ６ ７ １ —８ １ ２ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ —０ ０ ０ ９ —０ ３
四种插值法的特点比较
宋益荣 ， 万冬 梅
（ 商丘 职业 技术 学 院 ， 河 南 商丘 ４ ７ ６ ０ ０ ０ ）
一
定关 系把 此相 邻 的数加 以修 正 ， 就可 以求 出要 找 的数 ， 这 个修 正关 系事 实上 就是 一种差 值 ．
插 值法 的 目的是根 据 函数 ＿ 厂 （ ｚ ）在节 点 的值 ， 求 ～ 个足 够 光滑 又 比较 简 单 的 函数 ｇ （ ｚ ） （ 称 为 差值 函数 ）
・ ９ ‘
商 丘 职 业 技 术 学 院 学 报
ｇ １ （ ｚ ）一 ｆ （ ｘ ｏ ）＋ （ 一 ３ ０ ｏ ） ｆ ｉ ｘ ０ ， ｚ － １ ］ 这 种形 式 的插值称 为 Ｎｅ ｗｔ ｏ ｎ插值 ． ② 过三 个数 据点
Ｎｅ ｗｔ ｏ ｎ二 次插 值多 项式 ｇ ２ （ Ｉ ｚ ）＝ ＝ ＝ ｆ （ ｘ ｏ ） ＋（ ｚ— ｚ ｏ ） ｆ Ｅ ｘ ｏ ， ｚ １ ］ ＋（ ０一 ３ ０ ） （ ０一Ｘ ３ １ ） ｆ ［ ０ ３ ｏ ， ２ Ｃ ｌ ， ． Ｔ ｇ插值 是 次 多项式 插值 ， 其成 功 地用 构造 插值基 函数 的方法 解决 了求 次 多项 式 插值 函数 问 题 ．对 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ ｎ次插 值 多项式 ， 首 先构造 ＋１ 个 插值 节 点 － ｚ 。 ， ”， 上 的 次插值 基 函数
② 在 给定 的点 ｚ 上与 ｆ（ ）取相 同值 ， 即ｇ （ ｘ ）＝ ＝ ＝ Ｙ （ 一 ０ ， １ ， ２ ， …， ） ．
lagrange插值基函数计算的通项公式
lagrange插值基函数计算的通项公式Lagrange插值基函数是一种常用的数学工具，用于在给定一些离散数据点的情况下，通过插值方法得到一个连续函数。
通项公式是指利用Lagrange插值基函数来计算插值多项式的表达式。
本文将介绍Lagrange插值基函数的概念和计算通项公式的方法。
Lagrange插值基函数的概念很简单，它是一组多项式函数，用于构造插值多项式。
假设我们有n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中每个数据点都有一个对应的自变量x和因变量y。
Lagrange插值基函数的个数等于数据点的个数n。
每个基函数都是一个多项式，可以通过以下的方式来定义：L_i(x) = \prod_{j=1, j≠i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}其中，L_i(x)表示第i个Lagrange插值基函数，x_i表示第i个数据点的自变量，x_j表示第j个数据点的自变量。
这个定义的意义是，当x等于x_i时，L_i(x)等于1，而在其他数据点上，L_i(x)等于0。
这样的定义保证了插值多项式在每个数据点上都能完全通过。
有了Lagrange插值基函数，我们就可以计算插值多项式的通项公式了。
假设我们要通过插值多项式f(x)来拟合数据，那么f(x)可以表示为：f(x) = \sum_{i=1}^n y_i L_i(x)其中，y_i表示第i个数据点的因变量。
这个公式的含义是，插值多项式f(x)是由每个数据点的因变量与对应的Lagrange插值基函数的乘积累加而成的。
通过这个公式，我们可以通过已知的数据点来计算插值多项式在任意点x处的值。
只需要将x代入公式中，根据给定的数据点和Lagrange插值基函数的定义，就可以得到插值多项式在该点的值。
Lagrange插值基函数的优点在于它简单易懂，计算方法也相对简单。
然而，它也有一些缺点。
首先，Lagrange插值基函数的计算量随着数据点的增加而增加，当数据点很多时，计算插值多项式的效率会比较低。
拉格朗日插值多项式推导
拉格朗日插值多项式是一种近似函数，它可以通过给定一组离散数据点，来估算出其他数据点的值。
拉格朗日插值多项式是由18世纪法国数学家Joseph-Louis Lagrange提出的，他是一位杰出的数学家和物理学家。
拉格朗日插值多项式的推导可以从一个简单的例子开始。
假设我们有一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)}，我们想要通过这些点来拟合一个函数，使得在这些点上的函数值与给定的数据点相等。
首先，我们假设要拟合的函数是一个n-1次多项式：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + an-1x^n-1我们的目标是找到多项式中的系数a0, a1, …, an-1，使得在给定的数据点上函数值与数据点的y值相等。
根据插值的思想，我们希望在每个数据点上函数值与给定的数据点相等，即对于每个数据点(xi, yi)都满足：P(xi) = yi我们可以将这个条件用一个方程表示出来。
将插值多项式代入方程中，我们得到：a0 + a1xi + a2xi^2 + … + an-1xi^n-1 = yi现在我们有n个方程，通过解这个方程组，我们可以求解出多项式的系数。
为了方便求解，我们引入拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数Li(x)的定义是一个n 次多项式，它可以满足以下条件：1.对于所有的i≠j，Li(xj) = 02.Li(xi) = 1根据拉格朗日基函数，我们可以将插值多项式表示为：P(x) = L0(x)y0 + L1(x)y1 + … + Ln-1(x)yn-1其中Li(x)可以表示为：Li(x) = (x - x0)(x - x1)…(x - xi-1)(x - xi+1)…(x - xn-1) / (xi - x0)(xi - x1)…(xi - xi-1)(xi - xi+1)…(xi - xn-1)现在我们可以使用拉格朗日基函数来表示插值多项式，并求解多项式的系数。
数值分析Lagrange插值多项式
其余的将M值及f2[x_]修改即可，得到插值函数修改分f3[x_]即可。
1 n+1 !
f
n+1
(εx )
n i=0(x
− xi )
其中 εx 为区间内一点
但 Lagrange 插值法没有承接性，可以进行改良。
【Lagrange 插值算法描述】 1. 对给定函数选取其区间上的一系列节点并计算其函数值，得到点列 （x0 ， y0 ）,…,( xn , yn )； 2. 通过上述点列构造 Lagrange 基函数li x = 出 Lagrange 插值函数Ln x =
【实验】 通过 Mathematica 编写程序得到如下结果： N=5： 1. 取xi = 5 −
10 N
i ， i = 0,1， … ，N 得到：
（1） 插值点为：
（2） 由上述插值点构造出 Lagrange 插值函数：
（3）由题目所给出的条件计算误差得到：
插值函数与原函数的图像为：
其中蓝色为原函数图像，红色为插值函数图像，可以看出在 0 点误差最大，与 我们的计算结果相吻合。
n k=0 yk lk (x)； n x −x i j=0 x −x i j j ≠i
,并由该基函数构造
3. 由多项式插值误差定理来估计其误差： f x −p x =
1 n+1 !
f
n+1
(εx )
n i=0(x
− xi )
其中 εx 为区间内一点
但此题有自己的估计误差的要求，则我们依照题意估计误差。
n x −x i j=0 x −x i j j ≠i
,
li x = δij
n k=0 yk lk (x)
来构造 Lagrange 插值多项式： Ln x =
一类插值结点上的Lagrange插值基本多项式的估计
ｉｔ ｒｏａｉｎ ｂ ｓｃ ｐ ｌｎ ｍｉｌｏ ｈ ｅ ｏ ｄ Ｃｈ ｂ ｓ ｅ ｏ ｅ ｎ ｈ ａ ｇ ｆｔ ｅＬ ｂ ｓ ｕ ｏ ｓａ ｔａ ｅｇｖ ｎ．Ｓ ｈ ｎｅ ｌｔｏ ａ ｉ ｏｙ ｏ ａ ｎ ｔ ｅｓ ｃ ｎ ｅ ｙ ｈ ｖ ｎ ｄ ｓａ ｄ ｔ ｅｒ ｎ ｅ ｏ ｈ ｅ ｅｇ ｅ ｃ ｎ ｔｎ ｒ ｉｅ ｐ ｏｔ ｅ ｓ ｃ ｎ ｈ ｂ ｅ ｏ ｅ ｒ ｅｔｒｎ ｄ ｓ ｅ ｏ ｄ Ｃ ｅ ｙ ｈ ｖ ｎ ｄ ｓ ａｅ ｂ ｔｅ ｏ ｅ ． ｓ Ｋｅ ｒ ｓ： ｌｇａ ｇ ｎｅ ｏａｉｎ ｂ ｓｃ ｐ ｌｎ ｍｉｌ ｔｅ ｓ ｃ ｎ ｅ ｙ ｈ ｖ ｎ ｄ ｓ Ｌ ｂ ｓ ｕ ｏ ｓａ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ａ ｒｎ ｅ ｉ ｔｒ ｌｔ ａ ｉ ｏｙ ｏ ａ ；ｈ ｅ ｏ ｄ Ｃｈ ｂ ｓ ｅ ｏ ｅ ； ｅ ｅ ｇ ｅ ｃ ｎ ｔｎ ｐ ｏ
滑 函 数 的插 值 逼 近 问 题 ： 果 对 于 给 定 一 个 结 点 组 如
１ Ｌ ｇａ ｇ 插 值 基 本 多 项式 ａｒｎ ｅ
设 ｎ是 正整 数 ， 于 ［ ， ］ 的插 值 结点 组 对 一１ １ 上
｛
）：和 函数 ｆＥ Ｃ ． ， 给 定 的插 值 结 点 上 ：。 在 ］
Ｌ ｇ ｎｅ 值 多 项 式 是 由数值 计 算 所 产 生 的 ， ａｒ ｇ 插 ａ 它在逼 近理论 中是 一个 非常 有效 的工具 ， 由于其 插 值 过 程 比较 简 单 、 接 ， 在 实 际应 用 中有 着 广 泛 直 故
—
１ ２√丁 ｃ
ｌ（ ｎ ｎ＋１ 。 ）
本文 给 出 了基 于 第 二类 Ｃ ｅ）ｈｖ结 点组 的 ｈｂｓｅ ｒ 插 值基 本多项 式 （ 的估 计 以及 Ｌｂｓｕ 常数 ） ｅｅｇｅ 的范 围 ， 而 说 明第 二 类 Ｃ ｅｙｈｖ 点 组 是 一 个 从 ｈｂｓｅ 结 比较好 的结点 组 。
Lagrange插值基函数构造插值多项式.docx
数学与软件科学学院实验报告学期・ 至 第 学期 年 月 日 课!呈名称： 计算机数值务法 专业：级 班 实验编号：1实验项目一次、二次Lagrange 插值多项式指导教师 张莉姓名： 学号： 实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的：体会使用Lagrange 插值基函数构造插值多项式的特点， 熟悉使用一次或二次Lagrange 插值多项式近似函数y=f(x)的算法。
掌握Lagrange 插值多项式近似函数f(x)的误差表达式，并会熟练应 用。
实验要求：1.给出一次、二次Lagrange 插值算法2•用C 语言实现算法3・给出误差分析。
二、实验内容用下列插值节点数据，构造一次和二次Lagrange 插值多项式，并计 算 要求：所需数据都从键盘读入，最后输出结果.三、实验步骤(该部分不够填写•请填写附页)步骤一：用为代码描述lagrange 插值多项式的算法Step 1:输入：插值节点控制数n,插值点序列(xi,yi) ,i=O,l,...n,要计算的函数点x.Step 2: for j=0 to n{ { forj=0 to n 对于给定的x,计算lagrangc 基函数li(x)然后 求 tmp=tmp* (x-xj) /(xi-xj);fx=fx+tmp*yi;Step 3:输111结果。
步骤二：编辑程序如下:X11 F(x) 0.190809 12 13 0.207912 0.224951# includc<stdio.h>#define MAX N 3typedef struct tagPOINT {double x;double y;} POINT;/*the structer of point */〃点的结构int main(){int n,i,j;POINT pointsLMAX_N+lJ;double tmp=1.0;double x;double lagrange=0.0;clrscr();printf(”\nlnput n value scanf(n%d n,&n); /*the number of the points inserted*/ 〃输入被插值点的个数if(n>MAX_N){printf("The i叩ut n is larger than MAX_N,please redefine the MAX_N.\n");return 1;1if(n<=0){printf("Please i叩ut a number between 1 and %d.\n",MAX_N);}printf("Now input the (x_i,y_i),i=O,...%d:\n",n);fbr(i=O;i<=n ;i++)scanf("%lf %lf',&points[i].x,&points[i].y);〃输入被插值点printf("Now input the x value:*'); /*the value of x*/ scanf(“％f,&x); 〃输入待求的点的第一个分量for(i=0;i<=n;i++){for(j=0;j<=n && j!=i；j++)tmp*=(x-pointsfj].x)/(points[i].x-points[jl.x);lagrange+=tmp*points[i].y;} 〃用lagrange來求多项式printf(M the results is %lf',lagrange);// 定义点的最大维数return 0;实验报告附页四、实验结果分析与评价(该部分不够填写•请填写附页)构造lagrange —次插值多项式，求点f仃1. 5),选取前两个插值点Input n ualue ：1Now input the ■ ■ ■!_ ：11 0.190807 12 0.207912Now input the x value：11・5 the results is 0.294763构造lagrange —次插值多项式，求点f (12.5),选取后两个插值点Input n ualue ：1Now input the〈X—i.y—i〉. iW. ■ ■ .1 ： 12 0.207912 13 0.224951Now input the x ualue：12.5the results is 0.320388_构造lagrange二次插值多项式,求点f (11. 5),结果为:F:\MYD0CU 1\ 我的课程'程序设1\TC\TC.EXEInput n ualue ：2N OVJ input the <x_i J.y_i>j. 1=0^...2：hl 0.190809 12 0.207912 13 0.224951Nou input the x ualue：11.5the results is 0.266646构造lagrange二次插值多项式，求点f (12.5),结果为:F八MYDOClT 1 \我的课程\程序设"1\TC\TC.EXEInput n ualue ：2Now input the <x_i,y_i〉.••.2：11 0.190809 12 0.207912 13 0.224951Now input the x ualue：12.5the results is 0.587034误差分析：当x=ll. 5时，lagrange 一次插值多项式的误差为：①|R(x) | = |f(2) (a) (x-xO) (x-xl)/2| = |sin(x) (11. 5-11) (11. 5~12)/2|<=0. 125②当x=12. 5时，bgrEingc —次插值多项式的误差为:R (x) | = |f(2) (a) (x-xl) (x-x2) | = |sin(x) (12. 5-12) (12. 5-13)/2|<=0. 125③当x二11. 5 lagrange二次插值多项式的误差为：|R(x) | = |f(3) (a) (x-xO) (x-xl) (x—x2)/(3*2) |<=| (11.5-11) (11.5-12) (11.5-13 )/61 =0. 0625④当x=12. 5时,lagrange二次插值多项式的误差为:R(x) =f (3) (a) (x-x3) (x-xl) (x-x2)/(3*2) |〈二| (12. 5-12) (12. 5-12) (12. 5-13)/(3*2) I 二0・ 0625发现：二次插值的误差要小于一次插值的误差。
Lagrange插值及Newton插值
实验项目
插值法
实验日期
2016/9/30
理论内容
Lagrange插值与Newton插值
授课日期
实验室名称
文理管203
微机编号
E1
实验目的及要求：
1、了解多项式差值公式的存在唯一性条件及其余项表达式的推导。
2、了解拉格朗日插值多项式的构造、计算及其基函数的特点，牛顿插值多项式的构造与应用，差商、差分的计算及基本性质。
实验内容：
编写Lagrange插值法及Newton插值法通用子程序，依据数据表
0.32
0.34
0.36
0.314567
0.333487
0.352274
构造一个抛物插值多项式 及 ，计算 的近似值并估计误差。
实验步骤及程序：
1、Lagrange插值公式算法流程图
Newton插值公式算法流程图
2、Lagrange插值源程序
int k=from.length;
int k2=to.length;
if(k!=k2){
System.out.println("the two vector's length is not equal!");
System.exit(0);
}
for(inti=0;i<k;i++){
to[i]=from[i];
}
public static void main(String[] args) {
/*输入插值点横纵坐标*/
System.out.println("Input number of interpolation point:");
double u = 1;
拉格朗日(Lagrange)插值
li ( x) = Ci ( x x0 )...(x xi )...(x xn ) = Ci ( x x j ) ji j =0 1 li ( xi ) = 1 Ci = j i ( xi xj )
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
称为拉格朗日插值基函数 ， 满足条件 li(xj)=ij /* Kronecker Delta */
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x ) =
l (x) y
i=0 i
n
i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
§4.2 拉格朗日(Lagrange)插值
n 求 n 次多项式 Pn ( x) = a0 a1 x an x 使得
Pn ( x i ) = y i ,
i = 0 , ... , n
条件：无重合节点，即 i j
xi x j
一. 插值多项式的存在唯一性 定理4.2.1 : 在 n 1 个互异节点 xk 处满足插值条件 Pn ( xk ) = yk
n
f
( n 1)
( n 1 ) ( x0 ) = = ( xn ) = 0( n 1 ) ( x ) Ln ( x ) K ( x )( n 1) ! = Rn ( x ) K ( x ) ( n 1) ! ( n) 存在 (a, b) 使得 ( ) = 0 ( n 1 ) n ( n 1 ) f ( ) x f ( x) Rn ( x ) = ( x xi ) = K ( x) (n 1) ! i =0 ( n 1) !
多元lagrange插值与多元kergin插值
多元lagrange插值与多元kergin插值多元Lagrange插值与多元Kergin插值插值问题是一个十分经典的数学问题,同时它也是计算数学中的一个基本问题。
一元插值的理论与方法现如今已基本上臻于完善,八十年代起,插值问题研究的重点开始转向多元插值。
究其原因,主要是多元插值在多元函数列表、曲面外形设计和有限元法等诸多领域有着广泛的应用。
多元插值中使用最普遍的就是多元多项式插值,它是利用给定的插值结点组和一个多元函数在结点处的函数(导数)值构造出一个多元多项式函数来近似地表示这个多元函数,而在结点处这两个函数取得相同的函数(导数)值。
进行多元多项式插值时一个首先必须解决的问题就是插值多项式函数的存在唯一性问题,也就是我们所重点研究的多元多项式插值的适定性问题。
由于这个问题直接关系到有用插值多项式格式的构造,因此,有关这一方面问题的研究在多元多项式插值理论中有着十分重要的地位和作用,并且是近年来一个十分活跃的研究方向。
目前,国内外对多元多项式插值适定性的研究大体上可分为如下两个问题: (1) 对于给定的插值多项式空间,寻找适定的插值结点组(即使插值多项式唯一存在的插值结点组); (2) 对于给定的插值结点组,寻找适定的插值多项式空间(即使插值多项式唯一存在的最小次插值多项式空间)。
De.Boor和Ron以及T.Sauer等人都对问题(2)进行了研究,而我们则一直致力于问题(1)的研究。
梁学章教授于1965年在[1]中首次提出了二元Lagrange插值适定结点组的概念,并得到了构造二元插值多项式适定结点组的一种递归方法。
1998年,为了进一步研究R~2中的Lagrange插值问题,梁和吕在[2]中又提出了沿平面代数曲线进行Lagrange插值的基本概念,并给出了沿平面代数曲线插值适定结点组的一种。
拉格朗日插值法
拉格朗日（ Lagrange ）插值可对插值函数选择多种不一样的函数种类，因为代数多项式拥有简单和一些优秀的特征，比如，多项式是无量圆滑的，简单计算它的导数和积分，故常采纳代数多项式作为插值函数。
线性插值问题给定两个插值点此中，如何做经过这两点的一次插值函数过两点作一条直线，这条直线就是经过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。
如下图。
图线性插值函数在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式结构经过两点的一条直线。
下边先用待定系数法结构插值直线。
设直线方程为，将分别代入直线方程得：当时，因，所以方程组有解，并且解是独一的。
这也表示，平面上解的存在性和唯一性，但要解一个方程组才能获得插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推行，故这类结构方法往常不宜采纳。
当时，若用两点式表示这条直线，则有：（）这类形式称为拉格朗日插值多项式。
，，称为插值基函数，计算，的值，易见（）在拉格朗日插值多项式中可将看做两条直线，的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位都是同等的。
拉格朗日插值多项式型式免去认识方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推行。
线性插值偏差定理记为以为插值点的插值函数，。
这里，设一阶连续可导，在上存在，则对随意给定的，起码存在一点，使（）证明令，因是的根，所以可设对任何一个固定的点，引进协助函数：则由定义可得别在和和，即。
，这样起码有上应用洛尔定理，可知和，对3个零点，不失一般性，假设在每个区间起码存在一个零点，不如记为在上应用洛尔定理，获得，分在上起码有一个零点，。
此刻对求二次导数，此中的线性函数)，故有代入，得所以即二次插值问题给定三个插值点，, 此中互不相等，如何结构函数的二次的（抛物线）插值多项式平面上的三个点能确立一条次曲线，如下图。
图三个插值点的二次插值仿制线性插值的拉格朗日插值，即用插值基函数的方法结构插值多项式。
设每个基函数是一个二次函数，对来说，要求是它的零点，所以可设同理，也相对应的形式，得将代入，得同理将代入获得和的值，以及和的表达式。
多项式插值和Lagrange差值的基础原理
多项式插值和Lagrange差值的基础原理多项式插值是数值分析领域中一种常用的数值逼近方法，它用于通过给定的离散数据点构建一个多项式函数，以便在数据点之间进行插值，从而推断出未知数据点的函数值。
而Lagrange插值则是多项式插值方法中的一种，它基于拉格朗日插值多项式原理，并采用拉格朗日基函数进行计算。
一、多项式插值的基本概念多项式插值的基本目标是通过已知数据点（x_i, y_i）构建一个多项式函数P(x)，使得P(x_i) = y_i。
其中，x_i是已知的数据点的自变量取值，y_i是对应的因变量取值。
多项式插值方法的核心是确定合适的多项式表达式和系数，以确保插值函数满足已知数据点的值。
二、Lagrange差值的原理Lagrange差值是一种常用的多项式插值方法，它基于拉格朗日插值多项式原理。
根据拉格朗日插值多项式的定义，给定n+1个不同的数据点(x_i, y_i)，其中i=0,1,2,...,n，Lagrange插值多项式可以表示为：P(x) = Σ[L_i(x)*y_i]其中，L_i(x)为拉格朗日基函数，其定义如下：L_i(x) = Π[(x-x_j)/(x_i-x_j)] (j≠i)其中，Π表示连乘符号，x_j为其他已知数据点的自变量取值。
三、Lagrange差值的计算步骤1. 第一步是计算拉格朗日基函数L_i(x)的值。
对于给定的插值点x，计算每个基函数的值，并将其与对应的因变量y_i相乘。
2. 第二步是对所有的基函数计算结果进行求和，得到最终的插值函数P(x)。
四、多项式插值的应用多项式插值广泛应用于科学计算、数据分析、图像处理等领域。
通过插值方法可以预测未知数据点的函数值，对于实际问题中的缺失数据或者噪声数据进行补充和平滑处理。
总结：多项式插值是一种常用的数值逼近方法，利用已知数据点构建一个多项式函数，用于推断未知数据点的函数值。
Lagrange差值是多项式插值方法中的一种，基于拉格朗日插值多项式原理，通过计算拉格朗日基函数和已知数据点的函数值，得到插值函数。
拉格朗日(Lagrange)插值
( n 1) !
i0
( ( 1 0 (x Rolle’s f ( x ) Ln (若)至少个有 n+1根 ( x 0 ) Rnx)x )K ( x)，则 xi ) R n ( x ) Theorem: x ( x ) 充分光滑， i 0 n 存在 ( x 0 , x 1 ) 使得 ( ) 0 。 任意固定 x xi (i = 0, 求导 考察 ( t ) Rn ( t ) K ( x ) ( t x i ) 注意这里是对 t …, n), 0 ( x 0 , x 1 ), 1 i ( 0 1 , x 2 ) x 推广：若 ( x 0 ) ( x 1 ) ( x 2 ) 0 (x)有 n+2 个不同的根x0) …0xn x ( , ( n) 1 ) ( x ) 0(, ) ( a , b ) x 0 使得 ( 0 ) ( 1 0 1 使得
于是 : L 2 ( x )
再利用 l 0 ( x 0 ) 1 C
1 ( x 0 x 1 )( x 0 x 2 )
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
l ( x) y
i i0
2
i
l 0 ( x ) y 0 l1 ( x ) y1 l 2 ( x ) y 2
i0 n
[证明]上式的左端为插值基函数的线性组合，其组合 系数均为1。显然，函数f(x) 1在这n +1个节点取值 为1，即yi=f (xi) 1 (i=0,1,…,n)， 它的n次Lagrange插值多项式为：
Ln ( x ) l i ( x ) y i l i ( x )
lagrange插值法
lagrange 插值法实验基本原理: lagrange 插值法是用来解决离散点的插值问题。
若给定两个插值点),(),,(1100y x y x 其10x x ≠，在公式中取1=n ，则La g r a n g e 插值多项式为：)()()()()()(001010010110101x x x x y y y x x x x y x x x x y x p ---+=--+--=是经过),(),,(1100y x y x 的一条直线，故此法称为线性插值法。
2、若函数给定三个插值点 2,1,0),,(=i y x i i ，,其中i x 互不相等，在公式中取1=n ，则Lagrange 插值多项式为： ))(())(())(())(())(())(()(1202102210120120102102x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x p ----+----+----=是一个二次函数，若2,1,0),,(=i y x i i 三点不在一条直线上，则该曲线是一条抛物线，这种插值法称为二次插值或抛物插值。
为了解决这个问题，我们为此构造了这个矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+---.........))(())(()())((12010212010212010x x x x x x x x x x x x x x x x 就可以找到相应系数。
实验结果分析：在应用拉格朗日插值法时应注意以下几个问题：1、在能获得原始资料时应尽量获取原始资料, 不能盲目地用组数据代入公式来估计未知数据。
2、在利用拉格朗日多项式进行插值估计时, 要求所研究范围的值的变化不受特殊或偶照因素的影响, 即的值是在正常条件下的。
3、如果有两组值（i x ，iy ），（j x ，j y ） 的i x =j x ；则这两组值只能取一组代入多项式计算, 否则便会出现 i y 与j y 的项分母为零的情况这种情况对于这种情况, 用哪组值代入多项式估计更好, 往往不易确定。
Lagrange插值法和Newton插值法
插值法函数逼近一、实验目的：通过上机操作掌握插值法函数逼近的算法实现，掌握Lagrange 插值法和Newton 插值法的思想和区别。
二、实验内容：Lagrange 插值法和Newton 插值法的算法实现。
三、理论基础：（一）、Lagrange 插值法：n 次Lagrange 插值基函数：ni x x x x x l j i j ij j i ...,1,0,)()()(n0=--∏=≠= ，l i ，i=0,1,…,n 是n 次多项式并满足 l i (x j )=⎩⎨⎧≠=.,0,j 1i j i ，n 次Lagrange 插值多项式： ,)()()(0n ∑==ni i i x l x f x L显然，L ,n n P ∈并满足插值条件 L )()(n j j x f x =，j=0,1,…,n. （二）、Newton 插值法均差: f[x k ]=f(x k ), f[x k ,x k+1]=(f[x k+1]-f[x k ])/(x k+1-x k ) f[x k ,x k+1]=(f[x k+1]-f[x k ])/(x k+1-x k )为f 在x k 上的零阶均差，在x 1,+k k x 上的一阶均差和在21,,++k k k x x x 上的二阶均差. n 次Newton 插值多项式：f(x)=f(x 0)+f[x 0,x 1](x-x 0)+f[x 0,x 1,x 2](x-x 0)(x-x 1)+…+f[x 0,x 1,…x n ](x-x 0)(x-x 1)…(x-x n )Lagrange 插值法：代码：function yh= lagrange( x,y,xh ) n=length(x); m=length(xh); x=x(:); y=y(:); xh=xh(:);yh=zeros(m,1);c1 = ones(1,n-1);c2 = ones(m,1);for i=1:n,xp = x([1:i-1 i+1:n]);yh = yh + y(i) * prod((xh*c1-c2*xp')./(c2*(x(i)*c1-xp')),2); end运行结果：x(1)=0.4;x(2)=0.50;x(3)=0.70;x(4)=0.80;y(1)=-0.916281;y(2)=-0.693147;y(3)=-0.356675;y(4)=-0.223144;xh=0.6;lagrange(x,y,xh)ans =-0.5100Newton 插值法：代码：function newtoncz(a,b,n,f)ln=length(n);for k=1:lnm=n(k)-1;y=zeros(1,m+1);A=zeros(m+1);w=zeros(1,m+1);h=(b-a)/m;for i=1:m+1x(i)=a+(i-1)*h;y(i)=subs(f,findsym(f),x(i));endA(:,1)=y';for i=2:m+1for j=i:m+1A(j,i)=(A(j,i-1)-A(j-1,i-1))/(x(j)-x(j-i+1));endendp=A(1,1);w=vpa(w,4);syms X;w(1)=X-x(1);for i=2:m+1w(i)=w(i-1)*(X-x(i));p=A(i,i)*w(i-1)+p;p=simplify(p);endp=vpa(p,4);fprintf('n=%d的newton插值多项式为：',n(k));disp(p);运行结果：>> a=-1;>> b=1;>> n=[5,7,13];>> syms X;>> f=1/(1+25*X.^2);>> newtoncz(a,b,n,f)n=5的newton插值多项式为：3.316*X^4-4.277*X^2+1.n=7的newton插值多项式为：-13.13*X^6+20.96*X^4+.3475e-14*X^3-8.784*X^2-.2420e-15*X+1.n=13的newton插值多项式为：909.9*X^12-.3411e-12*X^11-2336.*X^10+.6632e-12*X^9+2202.*X^8-.1573 e-12*X^7-955.4*X^6+.2341e-12*X^5+198.7*X^4-.3535e-13*X^3-19.58*X^2 +.7881e-15*X+1.000四、比较分析：Lagrange插值多项式结构简单紧凑，在理论分析中甚为方便，在数值分析中经常使用，但在使用过程中也存在不便之处，当插值节点增加（相应的插值多项式的次数增加）、减少（相应的插值多项式的次数减少）时，构造差值多项式的基函数均需重新构造。
二项式赋值法原理
二项式赋值法原理二项式赋值法，又称为分解法或插值法，是一种用于多项式插值的方法。
它的原理是，在已知一个多项式的n+1个点上的值的情况下，通过构造一个新的多项式，使得这个新的多项式在这n+1个点上的值与已知的多项式相等。
这样，就可以通过这个新的多项式来计算在其他点上的值。
具体来说，二项式赋值法的原理可以分为以下几个步骤：1.选取n+1个插值节点。
假设我们要求解n次多项式，就需要至少n+1个节点。
这些节点可以是任意选取的，但更常用的是通过等距离分割自变量的区间来选取节点。
2. 构造Lagrange插值基函数。
对于每个节点xi，构造一个Lagrange插值基函数Li(x)，它满足以下性质：- 在xi处取值为1，即Li(xi) = 1；- 在其他节点xj (j≠i) 处取值为0，即Li(xj) = 0。
Lagrange插值基函数可以通过以下公式计算：Li(x) = Π(j=0 to n, j≠i) [(x - xj) / (xi - xj)]3. 构造插值多项式。
通过将Lagrange插值基函数与已知的函数值乘积相加，可以得到插值多项式：P(x) = Σ(i=0 to n) f(xi) * Li(x)其中，f(xi)是已知的函数值，Li(x)是构造的Lagrange插值基函数。
4.使用插值多项式计算其他点的值。
通过将待求点x代入插值多项式P(x)，可以计算得到该点的插值结果。
假设我们有四个插值节点：x0,x1,x2,x3，并且已知函数在这四个点上的值分别为f(x0),f(x1),f(x2),f(x3)。
首先，我们构造四个Lagrange插值基函数：L0(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)/(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)L1(x)=(x-x0)(x-x2)(x-x3)/(x1-x0)(x1-x2)(x1-x3)L2(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x3)/(x2-x0)(x2-x1)(x2-x3)L3(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x2)/(x3-x0)(x3-x1)(x3-x2)然后，我们构造插值多项式：P(x)=f(x0)L0(x)+f(x1)L1(x)+f(x2)L2(x)+f(x3)L3(x)最后，通过将待求点x代入插值多项式P(x)，即可得到该点的插值结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
构造lagrange 二次插值多项式，求点f(12.5)，结果为：
误差分析：
当x=11.5时,lagrange一次插值多项式的误差为：
1|R(x)|=|f(2)(a)(x-x0)(x-x1)/2|=|sin(x)(11.5-11)(11.5-12)/2|<=0.125
三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页)
步骤一：用为代码描述lagrange插值多项式的算法
Step 1:输入：插值节点控制数n，插值点序列（xi,yi）,i=0,1,…n,要计算的函数点x.
Step 2: for j=0 to n
{ { for j=0 to n对于给定的x,计算lagrange基函数li(x)
{
double x;
double y;
}POINT;
//点的结构
int main()
{
int n,i,j;
POINT points[MAX_N+1];
double tmp=1.0;
double x;
double lagrange=0.0;
clrscr();
printf("\nInput n value :"); /*the number of the points inserted*/
②当x=12.5时，lagrange一次插值多项式的误差为：
|R（x）|=|f(2)(a)(x-x1)(x-x2)|=|sin(x)(12.5-12)(12.5-13)/2|<=0.125
③当x=11.5时，lagrange二次插值多项式的误差为：
|R(x)|=|f(3)(a)(x-x0)(x-x1)(x-x2)/(3*2)|<=|(11.5-11)(11.5-12)(11.5-13)/6|=0.0625
然后求tmp=tmp*（x-xj）/(xi-xj);
}
fx=fx+tmp*yi;
}
Step 3:输出结果。
步骤二：编辑程序如下：
#include<stdio.h>
#define MAX_N 3//定义点的最大维数
typedef struct tagPOINT/*the structer of point */
scanf("%d",&n);//输入被插值点的个数
if(n>MAX_N)
{
printf("The input n is larger than MAX_N,please redefine the MAX_N.\n");
return 1;
}
if(n<=0)
{
printf("Please input a number between 1 and %d.\n",MAX_N);
}
printf("Now inpn",n);
for(i=0;i<=n;i++)
scanf("%lf %lf",&points[i].x,&points[i].y);
//输入被插值点
printf("Now input the x value:"); /*the value of x*/
scanf("%lf",&x);//输入待求的点的第一个分量
for(i=0;i<=n;i++)
{
for(j=0;j<=n && j!=i;j++)
tmp*=(x-points[j].x)/(points[i].x-points[j].x);
lagrange+=tmp*points[i].y;
}//用lagrange来求多项式
实验要求：
1.给出一次、二次Lagrange插值算法
2.用C语言实现算法
3.给出误差分析。
二、实验内容
用下列插值节点数据，构造一次和二次Lagrange插值多项式，并计算f(11.5),f(12.5)的值。（f(x)=sinx）
x
11
12
13
F(x)
0.190809
0.207912
0.224951
要求：所需数据都从键盘读入，最后输出结果.
数学与软件科学学院 实验报告
学期：至第学期年 月日
课程名称:___计算机数值方法___ 专业: 级班
实验编号：1实验项目一次、二次Lagrange 插值多项式指导教师__张莉_
姓名：学号：实验成绩：
一、实验目的及要求
实验目的：体会使用Lagrange插值基函数构造插值多项式的特点，熟悉使用一次或二次Lagrange插值多项式近似函数y=f(x)的算法。掌握Lagrange插值多项式近似函数f(x)的误差表达式，并会熟练应用。
printf("the results is %lf",lagrange);
return 0;
}
实验报告附页
四、实验结果分析与评价(该部分不够填写.请填写附页)
构造lagrange一次插值多项式，求点f(11.5)，选取前两个插值点
构造lagrange一次插值多项式，求点f(12.5)，选取后两个插值点
④当x=12.5时，lagrange二次插值多项式的误差为：R(x)=
|f(3)(a)(x-x3)(x-x1)(x-x2)/(3*2)|<=|(12.5-12)(12.5-12)(12.5-13)/(3*2)|=0.0625
发现：二次插值的误差要小于一次插值的误差。
注:实验成绩等级分为(90-100分)优,(80-89分)良,(70-79分)中,(60-69分)及格,(59分)不及格