大学物理 高斯定理环路定理
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F 1 电场强度 E q0
电荷连续分布的电场
复
习
E 1 ρer dV 2 4πε0 r
V
2 电场线：方向，密度 E dN dS 3 电场强度通量 Φe dΦe E dS
S
穿入为负
闭合曲面法线：外法线方向(自内向外) 为正
θ
en
穿出为正
E
侧
电场分布具有轴对称性 ，以高为l 的同轴圆柱面为高斯面，电通量 r
S
dS
E
l
Байду номын сангаас
上底
E dS
下底
E dS
E
dS
EdS E dS E 2πrl
侧 侧
根据高斯定理
E 2πrl l / 0
E
E 2π 0 r
E
en
θ
S
穿出、穿入闭 合面电力线条 数之差
第10章 静电场
1
三
高斯定理
在点电荷q的电场中，通过求电通量导出. 库仑定律 电场强度叠加原理 高斯 定理
1 高斯定理的导出
第10章 静电场
2
高斯 (C.F.Gauss 17771855） 德国数学家、天文学 家和物理学家，有“数 学王子”美称，他与韦 伯制成了第一台有线电 报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
第10章 静电场
13
σ E 2 ε0
σ
E
σ
E E
E
第10章 静电场
14
σ E 2 ε0
无限大带电平面的电场叠加问题
σ ε0
0
σ ε0
0
σ ε0
0
第10章 静电场
15
典型结论
均匀带电球面
无限长均匀带电直线
无限长均匀带电圆柱面
无限大均匀带电平面
E 2 0 r rR 0 E rR 2 0 r E 2 0
18
B
rB
r
er
l dr d
E
q
rA
A
q0
任意带电体的电场（点电荷的组合）
E Ei
A q0 E dl q0 l Ei dl
l
i
i
结论：静电场力做功，与路径无关.
第10章 静电场
19
二
静电场的环路定理 q0 E dl q0 E dl
r
推广： 无限长均匀带电圆柱面 高斯面：圆柱面
E
h
0 E 2 0 r
rR rR
r
o
y
x
第10章 静电场
9
例10.9 P17 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任意点的电场强度. 解 对称性分析：球对称 高斯面：闭合球面 ( 1) 0 r R
结
要求：1.理解高斯定理。熟练应用高斯定
2理解环路定理，掌握电势能的概念 作业: P30, 31 P32(§10.4部分)
第10章 静电场
25
沿球面法线方向。 取同心 球面为高斯面，电通量为
• 球外( r > R )
E
E
1 r2
• 球内 ( r < R )
O
R
r
12
第10章 静电场
例10.10
“无限大”均匀带电平面，电荷面密度为
求 电场强度分布。 解 电场强度垂直带电平面, 选取 垂直带电面的圆柱形高斯面 S
两个底面对称
根据高斯定理
S
R
O
SE dS 0 E 0
第10章 静电场
r
Q
10
Q 2 ( 2) r R dS E 4r SE 2 ε0 Q E 2 4πε0 r
Q 4π 0 R 2
E
Q 4πε0 r 2
r
O
o
R
r
第10章 静电场
s
Q
11
讨论
均匀带电球体
r + +r + + + + + R + +
第10章 静电场
23
令
AB
q0 E dl WA WB (WB WA )
WB 0
AB
WA
q0 E dl
A WA
B WB
E
试验电荷q0在电场中某点的电势能，在 数值上等于把它从该点移到零势能处静电场 力所作的功.
第10章 静电场
24
总
理解决问题;
ABC
B
D
C
q0 ( E dl
ABC
CDA
E dl ) 0
ADC
E
A
结论：沿闭合路径一周， 静电场是保守场！ 电场力作功为零.
E dl 0
l
在静电场中电场强度的 环流为零。
第10章 静电场
20
练习 试用静电场的环路定理证明，电场线 为一系列不均匀分布 的平行直线的静电场 不存在.
第10章 静电场
B
rB
r
er
l dr d
E
q
rA
A
q0
17
qq0 dA dr 2 4πε0 r
qq0 rB dr A 4πε0 rA r 2 qq0 1 1 ( ) 4πε0 rA rB
结论: A仅与q0的始末位置 有关，与路径无关. 静电场是保守场！
第10章 静电场
高 斯
第10章 静电场
2 高斯定理
高斯面
在真空中静电场，穿过任一闭合曲面 的电场强度通量，等于该曲面所包围的所 有电荷的代数和除以 ε0 .
1 Φe E dS ε0 S
第10章 静电场
q
i 1
n
in
i
4
3 高斯定理的讨论
1 Φe E dS ε0 S
E
第10章 静电场
21
E dl E dl l E dl ab bc E dl E dl cd da E dl E dl
ab cd
证明 作如图闭合环路
a E1 l b
q
i 1
n
in
i
(1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度：所有(内、外)电荷的总电 场强度. (3) 电通量：穿出为正，穿进为负. (4) 仅面内电荷对电通量有贡献. (5) 静电场：有源场.
q2out
q内
q外
q3out
5
q1out q 2
q1 qi
第10章 静电场
四
高斯定理应用（重点）
用高斯定理求电场强度的一般步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
16
0 E q 2 4 r 0
rR rR
第10章 静电场
10.4 静电场的环路定理
一 静电场力所做的功 点电荷的电场
电势能
dA q0 E dl qq0 e dl 2 r 4πε0 r er dl dl cos θ dr qq0 dA dr 2 4πε0 r
1 Φe E dS ε0 S
第10章 静电场
q
i 1
n
in
i
6
轴对称性电场
例10.8 P17 “无限长” 均匀带电直线，电荷线密度为 + 求 电场强度分布。 解 电场分布具有轴对称性
第10章 静电场
7
解
e E dS
E dS
E
l d E2 c
E1l E2l 0
E1 E2
但 E1 E2 , 故此类静电场不存在.
第10章 静电场
22
类比重力势能
三
电势能
静电场是保守场， B 静电场力是保守力. WB 静电场力所做的功就 E 等于电荷电势能增量 A WA 的负值. AAB WA WB (WB WA ) 电场力做正功，电势能减少.
电荷连续分布的电场
复
习
E 1 ρer dV 2 4πε0 r
V
2 电场线：方向，密度 E dN dS 3 电场强度通量 Φe dΦe E dS
S
穿入为负
闭合曲面法线：外法线方向(自内向外) 为正
θ
en
穿出为正
E
侧
电场分布具有轴对称性 ，以高为l 的同轴圆柱面为高斯面，电通量 r
S
dS
E
l
Байду номын сангаас
上底
E dS
下底
E dS
E
dS
EdS E dS E 2πrl
侧 侧
根据高斯定理
E 2πrl l / 0
E
E 2π 0 r
E
en
θ
S
穿出、穿入闭 合面电力线条 数之差
第10章 静电场
1
三
高斯定理
在点电荷q的电场中，通过求电通量导出. 库仑定律 电场强度叠加原理 高斯 定理
1 高斯定理的导出
第10章 静电场
2
高斯 (C.F.Gauss 17771855） 德国数学家、天文学 家和物理学家，有“数 学王子”美称，他与韦 伯制成了第一台有线电 报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
第10章 静电场
13
σ E 2 ε0
σ
E
σ
E E
E
第10章 静电场
14
σ E 2 ε0
无限大带电平面的电场叠加问题
σ ε0
0
σ ε0
0
σ ε0
0
第10章 静电场
15
典型结论
均匀带电球面
无限长均匀带电直线
无限长均匀带电圆柱面
无限大均匀带电平面
E 2 0 r rR 0 E rR 2 0 r E 2 0
18
B
rB
r
er
l dr d
E
q
rA
A
q0
任意带电体的电场（点电荷的组合）
E Ei
A q0 E dl q0 l Ei dl
l
i
i
结论：静电场力做功，与路径无关.
第10章 静电场
19
二
静电场的环路定理 q0 E dl q0 E dl
r
推广： 无限长均匀带电圆柱面 高斯面：圆柱面
E
h
0 E 2 0 r
rR rR
r
o
y
x
第10章 静电场
9
例10.9 P17 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任意点的电场强度. 解 对称性分析：球对称 高斯面：闭合球面 ( 1) 0 r R
结
要求：1.理解高斯定理。熟练应用高斯定
2理解环路定理，掌握电势能的概念 作业: P30, 31 P32(§10.4部分)
第10章 静电场
25
沿球面法线方向。 取同心 球面为高斯面，电通量为
• 球外( r > R )
E
E
1 r2
• 球内 ( r < R )
O
R
r
12
第10章 静电场
例10.10
“无限大”均匀带电平面，电荷面密度为
求 电场强度分布。 解 电场强度垂直带电平面, 选取 垂直带电面的圆柱形高斯面 S
两个底面对称
根据高斯定理
S
R
O
SE dS 0 E 0
第10章 静电场
r
Q
10
Q 2 ( 2) r R dS E 4r SE 2 ε0 Q E 2 4πε0 r
Q 4π 0 R 2
E
Q 4πε0 r 2
r
O
o
R
r
第10章 静电场
s
Q
11
讨论
均匀带电球体
r + +r + + + + + R + +
第10章 静电场
23
令
AB
q0 E dl WA WB (WB WA )
WB 0
AB
WA
q0 E dl
A WA
B WB
E
试验电荷q0在电场中某点的电势能，在 数值上等于把它从该点移到零势能处静电场 力所作的功.
第10章 静电场
24
总
理解决问题;
ABC
B
D
C
q0 ( E dl
ABC
CDA
E dl ) 0
ADC
E
A
结论：沿闭合路径一周， 静电场是保守场！ 电场力作功为零.
E dl 0
l
在静电场中电场强度的 环流为零。
第10章 静电场
20
练习 试用静电场的环路定理证明，电场线 为一系列不均匀分布 的平行直线的静电场 不存在.
第10章 静电场
B
rB
r
er
l dr d
E
q
rA
A
q0
17
qq0 dA dr 2 4πε0 r
qq0 rB dr A 4πε0 rA r 2 qq0 1 1 ( ) 4πε0 rA rB
结论: A仅与q0的始末位置 有关，与路径无关. 静电场是保守场！
第10章 静电场
高 斯
第10章 静电场
2 高斯定理
高斯面
在真空中静电场，穿过任一闭合曲面 的电场强度通量，等于该曲面所包围的所 有电荷的代数和除以 ε0 .
1 Φe E dS ε0 S
第10章 静电场
q
i 1
n
in
i
4
3 高斯定理的讨论
1 Φe E dS ε0 S
E
第10章 静电场
21
E dl E dl l E dl ab bc E dl E dl cd da E dl E dl
ab cd
证明 作如图闭合环路
a E1 l b
q
i 1
n
in
i
(1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度：所有(内、外)电荷的总电 场强度. (3) 电通量：穿出为正，穿进为负. (4) 仅面内电荷对电通量有贡献. (5) 静电场：有源场.
q2out
q内
q外
q3out
5
q1out q 2
q1 qi
第10章 静电场
四
高斯定理应用（重点）
用高斯定理求电场强度的一般步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
16
0 E q 2 4 r 0
rR rR
第10章 静电场
10.4 静电场的环路定理
一 静电场力所做的功 点电荷的电场
电势能
dA q0 E dl qq0 e dl 2 r 4πε0 r er dl dl cos θ dr qq0 dA dr 2 4πε0 r
1 Φe E dS ε0 S
第10章 静电场
q
i 1
n
in
i
6
轴对称性电场
例10.8 P17 “无限长” 均匀带电直线，电荷线密度为 + 求 电场强度分布。 解 电场分布具有轴对称性
第10章 静电场
7
解
e E dS
E dS
E
l d E2 c
E1l E2l 0
E1 E2
但 E1 E2 , 故此类静电场不存在.
第10章 静电场
22
类比重力势能
三
电势能
静电场是保守场， B 静电场力是保守力. WB 静电场力所做的功就 E 等于电荷电势能增量 A WA 的负值. AAB WA WB (WB WA ) 电场力做正功，电势能减少.