第1讲：计算综合(答案)
四年级奥数第1讲多位数计算
四年级奥数第 1 讲：多位数计算多位数的运算在奥数体系里面一般扮演难题角色，多位数运算不仅体现普通数字四则运算的一切考法，还要靠观察数字结构发现数字规律的方式掌握多位数的整体结构，确定方法解题。
主要方法：1.利用999 99进行变形，变成1000 00 1，有333 尽量转化成 999 进行计算n个9 n个 02. 经常使用的方法有凑整法、提取公因式法、平方差公式、乘法的性质3. 多位数 M× 999 99的数字和为 9n（注意 M要小于999 99）n个 9 n个9题型一：求算式结果某数位上的数码常用方法： 1.提取公因数； 2.利用999 99进行变形，变成1000 00 1n个9 n个 0例 1（）在将 10000000000中减去 1101011后所得的答案中，数码8 出现了次？分析： 10000000000－1101011=9998898989，数码 8 共出现了 4 次例 2( )求 6+66+666+6666+66666+666666+6666666的和的万位数字是分析：方法一：提取公因数6+66+666+6666+66666+666666+6666666=6×( 1+11+111+1111+11111+111111+111111)1=6×1234567=7407402方法二：利用加法的计算方法个位和为： 6×7=42，个位数字为 2十位和为： 6×6+4=40，十位数字为 0千位和为： 6×5+4=34，千位数字为 4万位和为： 6×4+3=27，万位数字为 7例 3（）111 11 999 99 的乘积中含有个偶数数码。
2005个1 2005个 9分析：利用999 99 进行变形，变成1000 00 1n个 9 n个 0111 11 999 992005 个1 2005个9111 11 1000 00 12005个1 2005个 0111 11000 00 111 112005个1 2005个 0 2005 个1111 110888 8892004个1 2004个 8因此含有2004 1 2005个偶数数码.＜训练巩固＞1. 把8,88 ,888 ，，888 88 这 1992个数相加，所得和的个位数是1992 个 8十位数字是，百位数字是 .2. 222 22 减去777 77 ，得数的个位数字是2006 个 2 100 个 7（提示：多个 2 相乘，多个 7 相乘，尾数有周期现象）题型二：求算式结果有几位数（或末尾有几个 0）常用方法： 1.提取公因数； 2.因数末尾有 0 的计算方法例 4（）将 10002009=1000 1000 1000 的数值写下，它有位数？2009个1000分析：利用因数末尾有 0 计算方法200910002009=1000 1000 1000=1000 0002009个1000 2009 3 6027个 0因此总共有 6027+1=6028位数 .例 5（）已知N 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 ，问 N 为几位数？99个 2 88个 5分析： 1.利用 2 ×5=10；2.利用因数末尾有 0计算方法N 2 2 2 2 2 5 5 5 5 599个 2 88个52 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 511个2 88个 2 52048000 0088个0因此 N为 4+88=92 位数.例 6（）999 99 999 99 999 99 的得数末尾有个零 .2001个9 2001个9 2001个 9分析：提取公因数999 99 999 99 999 992001个 9 2001个9 2001个 9999 99 999 99 12001个9 2001个 9999 991000 002001个 9 2001个 0因此得数末尾有 2001个 0.＜训练巩固＞1. 999 99 999 99 1999 99 的得数末尾有几个 0？2001个 9 2001个 9 2001个 9题型三：求算式结果各个数位上数字之和常用方法： 1. 提取公因数； 2.多位数M×999 99的数字和为 9n（注意 M要小于n个 9999 99）；3.利用999 99进行变形，变成1000 00 1n个9 n个 9 n个0例 7（）求 222222×9999999 的得数各个数位上数字之和分析：方法一：利用凑整法把 9999999 变成 10000000—1222222×9999999 =222222×( 10000000— 1)=2222220000000—222222 =2222219777778 各个数位上数字之和为2×5+1+9+7×5+8=63方法二：利用结论多位数M× 999 99 的数字和为 9n（注意 M要小于999 99）n个9 n个 9各个数位上数字之和为 9×7=63.例 8（）9 333 33 555 55 的各位数字平方之和为 .2001个 3 2001个 5分析：看见333 尽量转化成 999 进行计算9 333 33 555 552001个3 2001个 53 999 99 555 552001个9 2001个 53 1000 00 1 555 552001个 0 2001个53 555 55000 00 555 552001个5 2001个0 2001个 53 555 55444 452000个 5 2001个41666 66333 352000 个6 2001个 3各位数字平方之和为 12+62×2000+32× 2001+52=90035例 8（）若x 1212 1212 333 33 的各位数字之和是 .36个12 72个 3根据算是式特点看出可以从1212 1212提出一个 3，变成404040404 ，使36个 1235个 043 333 33可凑成999 99 ，所以72个3 72个 91212 1212 333 3336个12 72个 340404 0404 3 333 3335个 04 72个340404 0404 999 9935个 04 72个 940404 0404 1000 00 — 135个04 72个 040404 0404000 00— 40404 040435个04 72个 0 35个0440404 040395959 59635个40 35个 59所以各位数字之和为 4× 35+3+9+5× 35+9×35+6=648＜训练巩固＞1.求 111111×999999 的乘积各个数位上数字之和是多少？2.有一个 2005 位的整数，其每个数位上的数字这个数字与它自身相乘，都是 9，所得乘积各个数位上数字之和是多少？3. 若x 1515 1515 333 33 的各位数字之和是.24个15 48个 3题型四：计算出算式结果常用方法： 1. 利用999 99进行变形，变成1000 00 1 ，n个 9 n个 0333 尽量转化成 999 进行计算2. 经常使用的方法有凑整法、提取公因式法、平方差公式3.乘法的性质、因数末尾有 0 的计算方法例 9( )计算 888 882 —111 112 .2000个 8 2000个1 分析：利用平方差公式 a 2-b 2=(a+b)(a-b) ；利用 999 99进行变形，变成1000 00 1，n 个 9n 个 0则有：888 882 —111 1122000个 8 2000个1999 99 777 772000个 9 2000个 7777 77 1000 00 — 1777 77000 00— 777 772000个 7 2000个0 2000个7777 776222 2231999个 7 1999个 2例 10（ ）计算 8 88 888 8888 88888 888888 8888888 88888888 888888888. 分析：利用提取公因数 8 来进行求解8 88 888 8888 88888 888888 8888888 88888888 8888888888 1 11 111 1111 11111 111111 1111111 11111111 1111111118 123456789987654312例 11（ ）计算 999 99 888 88 666 66.2008个9 2008个8 2008个 6分析：利用乘法的性质来求解999 99 888 88 666 662008个9 2008个8 2008个 63 333 33 2 444 44 666 662008个3 2008个4 2008个 63 444 44 666 66 666 662008个 4 2008个6 2008个 63 444 442008个41333 3322007个3 888 88 111 11 888 88— 111 112000个1 2000个8 2000个8 2000个12000个7 2000个0例 12( )计算 12345678987654321×9.分析：利用 12345678987654321=1111111112 12345678987654321×9. =1111111112×9=999999999×111111111=111111111×( 1000000000-1) =111111111000000000-111111111=111111110888888889＜训练巩固＞1. 计算555 552—444 442 .2000个5 2000个 42. 计算 99999×22222+33333×33334.3. 计算555 55 333 33.2008个5 2008个 3。
第1讲小数乘法巧算中运算规律与类型梳理-五年级数学上册数学思想方法系列(人教版)(含解析)
第1讲小数乘法巧算中运算规律与类型梳理-五年级数学上册数学思想方法系列（人教版）（含解析）第1讲小数乘法巧算中运算规律与类型梳理-五年级数学上册数学思想方法系列（人教版）第1讲小数乘巧算中的运算律及方法总结小数乘法的简便计算和整数乘法一脉相承，主要的借助是运用乘法的运算定律和积的变化规律，通过对算式进行适当变形，将其中的数化成整数、整十数、整百数……或者使这道题中的一些数变得容易口算，从而使计算简便，以下是小数乘法巧算的一些常见类型梳理：乘法交换律例：25×8.5×4 12.5×0.9876×0.8乘法结合律例：4.36×12.5×8 0.95×0.25×4乘法分配律例：（1.25－0.125）×8 （2＋0.4）×5乘法分配律逆应用例：3.72×3.5＋6.28×3.5 7.09×10.8－0.8×7.09把其中一个因数分成两个数的和或差，再按乘法分配律例：0.8×100.1 89.89×99.9例：1.25×2.5×32 3.2×0.25×12.5添加因数“1”例：9.7×99＋9.74.2×99＋4.2 56.5×99＋56.5更改因数的小数点位置，创造提取公因数的条件例：6.66×3.3＋66.6×67 4.8×7.8＋78×0.52【例题1】1．计算：3.56×34.5＋0.7×356＋9.15×35.6－1.96×256＝( )。
思路分析：乘法分配律和积不变规律的运用。
规范解答：【例题2】2．算式20.19×95＋2.019×50的计算结果是( )。
思路分析：可以将写成，然后运用乘法分配律逆运算提取20.19，最后进行简便计算即可。
六年级思维导引1-3讲答案
22
第三讲 递推计数
提高巩固 1. 一个楼梯共有 10 级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这 10 级台阶，一共可以有 多少种不同的走法？
2. 小悦买了 10 块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃 3 块，直到吃完，共有多少种吃法？
将来的你，一定会感激现在拼搏的自己！
23
3. 用 l×2 的小方格覆盖 2×7 的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？
将来的你，一定会感激现在拼搏的自己！
20
3. 10 名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次，已知胜一场得 2 分，平一场得 1 分，负一 场不得分．比赛结果：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名 多 20 分，第四名得分与后四名所得总分相等，问：前六名的分数各为多少？
2
5．定义运算符号“△”满足： ab
ab 计算下列各式： ab
(3) (1 2)3 1(23)
(1) 100△102;
(2) (3△4) △5
6．已知 333
111 54 55 56 57 58 :□ 37 : ，那么方框所代表的数是什么？ 112 4567 8
将来的你，一定会感激现在拼搏的自己！
6
超常挑战
6 9 11 6 3 17 4 2 3 13 13 12 1. 1 (2 ) 7 3 2 33 4 17 3 4 3 2 1 7 11 21
2. 定义运算“Ω”满足： ①a1 a, ②an 2 [a(n 1)] a. 已知m4 30 。问： (1)m 等于多少？ (2)m Ω 8 等于多少？
将来的你，一定会感激现在拼搏的自己！
26
2. 用 10 个 1×3 的长方形纸片覆盖一个 10×3 的方格表，共有多少种覆盖方法？
第01讲计算综合一-高思数学_5年级下第一讲计算综合一
练习
2.
计算：10
3 4
÷
4
3 8
+
20092
20092 − 2009 + 1 − 2009 × 2008 + 20082
．
3
五年级
下册第 1 讲
在计算中，常用的巧算方法有：凑整、提取公因数、分组求和、倒序相加、找规律 等．有些题目用一种办法就能解决，有的题目可能几种办法都适用．同学们在做题的过 程中要注意多积累，多思考，多去寻找不同的方法解题．下面一个例题，看看你能想到 几种解决方法．
练习
4. 数列 1，1，2，3，5，…中第 100 个数除以 3 的余数为多少？
4
计算综合一
课本
在数列的计算中，找到数列的规律是非常重要的．但有些数列的规律不容易被发现， 这就需要我们认真观察，仔细比对，从而找到那些隐藏的规律．
例题 5
观 察 数 列 1 ， 1 ， 3 ， 1 ， 3 ， 5 ， 1 ， …， 2007 ，
例题 1
计算：（1）1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 ；
（2）1 +
1 3
+
1 32
+
1 33
+
1 34
+
1 35
+
1 36
+
1 37
．
分析 这是一个等比数列求和的问题 . 如果一个一个地计算会有点复杂，那么 该如何简便地算出数列的和呢？
练习
1.
计算：（1） 23
2446668
2010
高思3年级·1四则运算(一)-·答案
第1讲四则运算（一）四则混合运算法则：先乘除，后加减；有括号先算括号；同级运算，从左到右。
【1】计算：28+72=100【2】计算：123+177=300【3】计算：220+780=100【4】计算：15+21+25+1915+25=21+19=4015+21+25+19=15+25+19+21=40+40=80【5】计算：70+63+81+37+30+19简便运算原则：凑整——凑成整十、整百、整千、整万的数。
凑整：两数相加凑整；两数相减凑整。
70+30=100，63+37=100，81+19=10070+63+81+37+30+19=70+30+63+37+81+19=100+100+100=300【6】计算：17+19+234+21+183+2617+183=200,19+21=40，234+26=260，40+260=30017+19+234+21+183+26=17+183+19+21+234+26=200+40+260=200+300=500【7】计算：（1+11+21+31）+（9+19+29+39）1+39=40，11+29=40，21+19=40，31+9=40（1+11+21+31）+（9+19+29+39）=1+11+21+31+9+19+29+39=1+39+11+29+21+19+31+9=40+40+40+40=160【8】计算：35+121-35-2135-35=0，121-21=10035+121-35-21=35-35+121-21=0+100=100【9】计算：152-19-13+19+223-32152-32=120，19-19=0，223-13=210152-19-13+19+223-32=152-32+19-19+223-13=120+0+210=330【10】计算：20-（11-7）减去两个数的差，等于减去第一个数，再加上其次个数。
20-（11-7）=20-11+7=9+7=16【11】计算：20-（11+7）减去两个数的和，等于连续减去这两个数；减去几个数的和，等于连续减去这几个数。
第一讲 计算综合 提高班 教师版(带完整答案)_5年级奥数讲义与课件
第一讲计算问题在历届的小升初选拔、迎春杯和希望杯中，考察学生的计算能力是必不可少的。
这部分的题目难度不大，但是方法很巧妙，目的是考察大家的基本运算和巧算的能力。
要做好这些题目，就需要同学们在掌握好最基本的计算知识和方法的基础上多做题，从而锻炼自己的运算能力。
在计算的过程中也有许多巧方法可以帮助我们加快计算速度、提高正确率。
知识说明：计算中的提取公因数法是近几年来迎春杯、希望杯和小升初中经常考的题目，但是通过分析我们发现在考试中不仅仅是只考提取公因数这样简单的题，这类题目往往是同积不变的规律、商不变的规律等结合着出的综合题。
和不变的规律：如果一个加数增加另一个加数减少同一个数，它们的和不变.积不变的规律：如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变.商不变的规律：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变.【例1】（05 年希望杯 2 试）计算（1）2.005×390＋20.05×41＋200。
5×2（2）2000×1999－1999×1998 ＋ 1998×1997－1997×1996＋1996×1995－1995×1994分析： （1）根据提取公因数的方法和积不变的规律知道，原式＝200.5×3.9＋200.5×4.1＋2＝200.5×（3.9＋4.1＋2）＝200.5×10＝2005 （2）题目是六项乘积的和差运算 , 其中 , 每两项中都有公因数 , 于是 , 我们先分组简算 .原式 =1999×（2000－1998）＋1997×（1998－1996）＋1995×（1996－1994）=1999×2＋1997×2＋1995×2 =2× (1999＋1997＋1995) =2×(2000＋2000＋2000－9) =2× (6000－9) =2×6000－2×9 =12000－18 =11982【例2】计算（1）（04 年希望杯 2 试）12.5 ÷ 3.6 - 7 ÷ 9 + 8.3 ÷ 3.6（2）2003×2001÷111+2003×73÷37分析：（1）原式＝125÷36－28÷36＋83÷36＝（125－28＋83）÷36＝5125 7 83 125 - 28 + 83 180 或12.5 ÷ 3.6 - 7 ÷ 9 + 8.3 ÷ 3.6 = - + = = = 536 9 36 36 36（2）原式＝2003×2001÷111+2003×73×3÷（37×3）＝2003×（2001+73×3）÷111＝2003×2220÷111＝40060知识说明提取公因数[前铺]（05 年希望杯 1 试）计算 78.16×1.45＋3.14×21.84＋169×0.7816 分析：不难看出式子中 7816 出现过两次：78.16 和 0.7816，由此可以联想到提取公因数原式＝78.16×1.45＋3.14×21.84＋1.69×78.16＝78.16×（1.45＋1.69）＋3.14×21.84＝78.16×3.14 ＋3.14×21.84＝3.14×100＝314[巩固]（06 年希望杯 2 试）8.1×1.3－8÷1.3＋1.9×1.3＋11.9÷1.3 分析：原式＝（8.1＋1.9）×1.3＋（11.9－8）÷1.3＝13＋3＝16【例3】 计算 412×0.81＋11× 9 1＋53.7×1.94分析：原式＝41.2×8.1＋11×（9＋0.25）＋（41.2＋12.5）×1.9＝41.2×8.1＋41.2×1.9＋12.5×1.9＋11×9＋11×0.25 ＝41.2×（8.1＋1.9）＋（10＋2.5）×1.9＋99＋11×0.25＝412＋10×1.9＋2.5×1.9＋99＋11×0.25＝412＋19＋99＋（11＋19）×0.25＝410＋2＋20－1＋100－1＋7.5＝537.5[前铺]计算 31.4×36＋64×43.9 分析：观察发现题中有 36 和 64，试想如果出现 64×31.4，就太完美了，所以我们可以构造出 64×31.4这就是提取公因数的构造法。
沪教版暑期数学-五年级升六年级-第1讲-计算综合
1．综合复习小学阶段的各种计算及巧算方法；2．适度拓展，了解更多的巧算方法．（此环节设计时间在10－15分钟）小学阶段，我们学习了整数、小数和简单的分数的计算方法，这些知识会一直影响之后的学习，同时还有一些巧算方法也很有学习的价值。
计算最基本的要求是正确，无论方法是否简便，过程是否复杂，能较快地做出正确的解答才是最关键的。
当然，往往巧算要比死算更快更不容易出错，巧算的主要方法是“凑整”，有加法的凑整、乘法的凑整、通过提取公因数的凑整、拆数补数的抽正等等。
但是不论哪种计算，目前一定要注意的是添/去括号时是否要变号的问题。
教法说明：以提问方式很快地过一下各种运算法则，如果学生有问题，临时增加几个小问来巩固基本运算法则。
加减法凑整：加法：末位凑十，前面凑九；减法：末尾一串都相同乘除法凑整：乘法：2×5、4×25、8×125等；熟悉5、25、125的倍数除法：熟悉简单的倍数关系。
四则运算简算：添/脱括号：注意是否可以添/脱，注意变号。
乘法分配律与提取公因数：注意观察算式中相同或有倍数关系的部分。
练一练：直接写出答案1.5×4＝________ 5.8＋1.2＝________ 45×0.2＝________4.08÷8＝________ 0.54÷0.6＝________ 3.1－2.9＝________0.12÷3＝________ 0.4×0.7＝________ 0.32×1000＝________7÷100＝________ 0.8＋0.02＝________ 0.84÷0.3＝________3.68÷0.01＝________ 9＋1.5＝________ 0.4×0.5＝________0.44＋0.6＝________ 2.5×0.4＝________ 0.125×8＝________3.6÷0.4＝________ 3.92＋7.2＝________ 1.5÷0.3＝________教法说明：建议固定时间让学生做，可以根据程度不同灵活掌握，一般5分钟左右。
第1讲 乘法公式的综合应用(学生版)
知识总结典型例题1计算：2已知3若4当5已知6解答下列问题．7设8知识总结典型例题9若10已知：11已知12已知13阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题．这样的“走马灯” 性质实在是让人啧啧称奇．于是我们开始好奇，142857 为什么会具有这样神奇的性质？是否还会有其他数具有这样的性质呢？先回答第一个问题．数学系的人也许会高冷地回答你：因为 10 是模 7 的一个原根．但这个回答，一定是令 99 % 的人懵逼的．大部分普通人恐怕会问：“原根” 是什么？当然，也许还有些连初中数学都还给老师的人，会问：“模” 是什么，哈这个问题，其实正是让数学小白们叩开初等数论大门的伟大机会啊！我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~当然，需要 3 个很简单的前提条件：你知道质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道互质的含义（最大公约数为1）；你会竖式计算；你已经知道：142857*7=999999；那么，下面我们开始吧~一、竖式计算的奥秘既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节．毕竟1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环．这个现象揭示了一个简单的定理：定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1．如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/ n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效果．反之，对于任意一个“走马灯数”，我们可以把它当做循环小数的循环节，而循环小数必然可以表示成分数 k/n，若循环节小于 n-1，那么余数必然不能遍历 1，2，…，n-1，那么 “走马灯” 的效果则不会出现．于是我们得到了另一个定理：定理 1.2：对每一个 “走马灯数” ，都存在自然数 n，走马灯数为 1/n 的小数展开后的循环节，且这个循环节恰好有 n-1 位．接下来，我们需要寻找满足条件的 n，初等数论的大门将缓缓打开．14如图，在边长为15已知16若17已知18如果多项式19关于多项式20若21已知22已知。
第1讲 混合运算-三年级上册数学讲义(含答案)
第1讲混合运算（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：小熊购物（乘加、乘减混合运算的顺序）在一个没有括号的算式中，既有乘法又有加、减法，应该先算乘法，再算加、减法。
知识点二：买文具（除加、除减的运算顺序和解决实际问题）在一个没有括号的算式中，既有除法又有加、减法，应该先算除法，再算加、减法。
知识点三：过河（带有小括号的两步混合运算的运算顺序和小括号的应用）1、解决问题时要认真分析题意，如果要先算加、减法，再算乘、除法，就要用小括号来帮忙。
2、在含有小括号的算式中，计算时要先算小括号里面的，再算小括号外面的。
3、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
三、例题精讲考点一：乘加、乘减混合运算【典型一】9与6的积减去32得多少？【分析】9与6的积表示有6个9相加，写成乘法算式是9×6，再减去32，列式为9×6﹣32，计算即可．【解答】解：9×6﹣32，＝54﹣32，＝22；答：9与6的积减去32得22．【典型二】9+9+9+5可以改写成算式（）A．4×9﹣5 B．3×9+5 C．3×5+9【分析】9+9+9+5是3个9的和加上1个5，3个9可以改成乘法算式3×9或者9×3，再加上5即可。
【解答】解：9+9+9+5可以改写成算式3×9+5或者9×3+5。
故选：B。
【典型三】小丽有5套明信片，每套5张。
【分析】每套明信片5张，5套明信片就是5个5张，即5套明信片一共有25张，把其中的13张送给好朋友，求还剩下多少张，就用一共的25张减去送给好朋友的13张即可解答。
【解答】解：5×5﹣13＝25﹣13＝12（张）答：还剩下12张。
考点二：除加、除减混合运算【典型一】毛巾原来10元一条，现在优惠促销，团购4条，只要36元，促销的毛巾每条多少元？每条比原来便宜多少元？【分析】团购4条，只要36元，用36元除以4条，即可求出促销的毛巾每条多少元；再用原来每条的价格减去促销每条的价格即可求解。
【七年级奥数】第1讲 有理数的巧算（例题练习）
第1讲有理数的巧算——例题一、第1讲有理数的巧算(例题部分)1.计算:【答案】解:原式===0+0+0=0【解析】【分析】在有理数加减运算中，应注意利用交换律与结合律，将其中的数适当改变顺序，重新组合、尽可能“凑整”或“抵消”．“抵消”，即两个相反的数相加，和为0(两个相同的数相减，差为0)，如上面的与-,-与,但要注意符号，不要搞错，如上面的-与不能抵消，它们的和与可以抵消．2.计算【答案】解:原式===【解析】【分析】在进行有理数的乘除运算时，要注意确定结果的符号：奇数个负数相乘除，结果为负；偶数个负数相乘除，结果为正．通常将小数化为分数，带分数化为假分数，把除法转化为乘法，能约分的先约分，尽量化简。
3.计算【答案】解:原式==【解析】【分析】在进行有理数的四则运算时，还应注意应用分配律．若有公因数，一般可将公因数提出，然后进行运算．如本例中，分子有公因数1×2×3，分母有公因数1×3×5，就可以将它们提出，然后约分，以简化运算．应注意，当提出的公因数带负号时，提取后各项的符号都要改变．4.计算【答案】解：原式====……==1-=【解析】【分析】经过观察发现算式的特点：后一项是前一项的一半．如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值．因此，我们巧添了一个辅助数，使问题得以顺利解决．当然，根据代数式的值得不变性可知，在添加上后不要忘了还应减。
5.计算（1）1+2+3+4+ +2007+2008（2）1-2+3-4+ +2007-2008【答案】（1）解:令S=1+2+3+4+ +2007+2008则S=2008+2007 +2+1两式相加,得2S===2009 2008所以S=即原式=（2）原式===-1004【解析】【分析】(1)由题意知，本小题的特点是：后一项减去前一项的差都相等．这样的一列数是等差数列．即若一列数，有(常数)(i=12，…，n一1)，则这列数称为等差数列，其中称为首项，称为末项，n为项数，d为公差．等差数列的和a，的计算公式为：所以，本题也可用这个计算公式计算．有时，项数不能直接看出，可用下面的公式计算：(2)由题意知，相邻的项两两结合求差为-1，可以简化运算．这是由本题的特点所决定的．所以，在做题时，应先观察一下题目的特点，根据特点下手，往往有事半功倍的效果．6.计算【答案】解：原式==1-= =【解析】【分析】在做加减法运算时，根据数的特点，将其中一些数适当拆开，变成两个数的差并且拆开后有一些数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法．本例中，我们把拆成，即可求解。
五年级下册数学试题-竞赛专题：第1讲-速算巧算(含答案)人教版
知识概述一、运用运算律简化运算：（1）乘法交换律：a b b a⨯⨯＝（2）乘法结合律：()()a b c a b c a b c⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝＝（3）乘法分配律：()a b c a c b c+⨯=⨯+⨯,()a b c a c b c-⨯=⨯⨯－（4）除法分配性质：()a b c a c b c+÷=÷+÷,()-a b c a c b c-÷=÷÷二、计算中变换的规律：（1）和不变的规律：如果一个加数增加,另一个加数减少同一个数,它们的和不变。
（2）差不变的规律：如果减数和被减数同时增加或减少相同的数,差不变。
（3）积不变的规律：如果一个因数扩大几倍,另一个因数缩小相同的倍数,积不变。
（4）商不变的规律：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变。
三、常用的技巧和方法：拆分、凑整和分组。
四、在小数计算中,可利用小数点位置的变化简化运算。
速算巧算历届杯赛考试中,对学生的计算能力的考察是必不可少的。
这部分的题目难度不大,但是方法很巧妙,目的是考察大家的基本运算和巧算的能力。
要做好这些题目,就需要同学们在掌握好最基本的计算知识和方法的基础上多做题,从而锻炼自己的运算能力。
在计算的过程中也有许多技巧方法可以帮助我们加快计算速度、提高正确率。
名师点题计算：（1）67×200+254×33+54×67（2）9999×8+1111×28【解析】（1）67×200+254×33+54×67 （2）9999×8+1111×28=（67×200+54×67）+254×33 =1111×72+1111×28=67×（200+54）+254×33 =1111×（72+28）=67×254+254×33 =1111×100=254×（67+33）=111100=25400计算：（1）37÷36+105÷36+146÷36（2）11÷17+17÷19+20÷17+40÷19+37÷17【解析】（1）37÷36+105÷36+146÷36 （2）11÷17+17÷19+20÷17+40÷19+37÷17 =（37+105+146）÷36 =（11÷17+20÷17+37÷17）+（17÷19+40÷19）=288÷36 =（11+20+37）÷17+（17+40）÷19=8 =7计算：2008×20022002-2002×20082008【解析】2008×20022002-2002×20082008=2008×2002×10001-2002×2008×10001=0【巩固拓展】计算：（1）9999×2222+3333×3334（2）1994×19931993-1992×19941994例3例2例1【解析】（1）9999×2222+3333×3334 （2）1994×19931993-1992×19941994 =3333×6666+3333×3334 =1994×1993×10001-1992×1994×10001=3333×（6666+3334）=1994×10001×（1993-1992）=3333×10000 =1994×10001=33330000 =19941994（3）42×39+296÷37+83÷37+37×39-9÷37+39×21=（42×39+37×39+39×21）+（296÷37+83÷37-9÷37）=（42+37+21）×39+（296+83-9）÷37=100×39+370÷37=3910（第十届“中环杯”五年级决赛试题）计算：11×91+125×999+250【解析】()1191125999125210011259992100112510011261001126126=⨯+⨯+⨯=+⨯+=+⨯=⨯=原式【巩固拓展】计算：99×22+88×33+77×44+66×55【解析】()992288337744665511111811112411112811113011111824283012110012100=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+++=⨯=原式例1计算：1.83320183 6.718.3⨯+⨯+【解析】()18.33218.36718.3118.33267118.31001830=⨯+⨯+⨯=⨯++=⨯=原式【巩固拓展】计算：1.2567.8751250.675 1.2524.625⨯+⨯+⨯【解析】()1.2567.875 1.2567.5 1.2524.6251.2567.87567.524.6251.251601.258201020200=⨯+⨯+⨯=⨯++=⨯=⨯⨯=⨯=原式计算：296297-298295⨯⨯【解析】()()()296297-298295296298-1-298295296298-296-298295296298-298295-296298296-295-296298-2962=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯==原式【巩固拓展】计算：1234234512332346⨯-⨯例3例2【解析】()()()123423451233234612342346-1-1233234612342346-1234-1233234612342346-12332346-123423461234-1233-12342346-12341112=⨯-⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯==原式计算：200420052006-200320052007⨯⨯⨯⨯【解析】()()[][][]()[]2005200532005200420062003200720052004200712003200720052004200720042003200720052004200720042003200720042003200720046015==⨯⨯⨯⨯-⨯=⨯⨯--⨯=⨯⨯--⨯=⨯⨯--⨯-⨯-==原式【巩固拓展】（第十一届“中环杯”五年级决赛试题）计算：201120111949195019502009⨯⨯－【解析】()()()[]2011100011949-19501000120091000120111949-200919501000120111950-2011-200919501000119502011-2009-201110001188918891889=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯=原式计算：0.10.30.50.70.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 +++++++++例5例4【解析】()0.1 1.9102210210=+⨯÷=⨯÷=原式【巩固拓展】计算：0.10.20.30.90.100.110.120.980.99 ++++++++++【解析】()() ()()0.10.20.30.90.100.110.120.980.990.10.9920.100.999024.549.0553.55=++++++++++=+⨯÷++⨯÷=+=原式（第八届“中环杯”五年级初赛试题）计算：1000999998997996995994993104103102101+--++--+++--【解析】()()() ()[]100099999899799699599499310410310210141000-1011449004900=+--++--+++--=⨯+÷=⨯÷=原式【巩固拓展】计算：20062005-200420032002-200154-321++++++++【解析】()()()()()()[]()20062005-200420032002-200154-32120072004200163200732007-3312200736692672345=++++++++=+++++=+⨯÷+÷=+⨯÷=原式例6计算：（1）37.5×3×0.112+35.5×12.5×0.224（第十届“中环杯”五年级初赛试题） （2）3.6×42.3×3.75 – 12.5×0.423×28（第十一届“中环杯”五年级初赛试题）【解析】 （1）()()12.50.112971 12.59710.112 10000.112 112=⨯⨯+=⨯+⨯=⨯=原式 （2）()()()()3.642.3 3.75 1.2542.3 2.842.3 3.6 3.75 1.25 2.8 42.3 3.63 1.25 1.25 2.8 42.310.8 1.25 1.25 2.8 42.310.8 2.8 1.25 423=⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯-⨯=⨯⨯-⨯=⨯-⨯=原式计算：（1）41.2×8.1+53.7×19+1.1×12.5（2）31.3×7.7+11×8.85+0.368×230（第十三届“中环杯”五年级初赛试题）【解析】 （1）()()()41.28.141.212.5 1.9 1.112.5 41.28.141.2 1.912.5 1.9 1.112.541.28.1 1.912.5 1.9 1.1 41237.5 449.5=⨯++⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯++⨯+=+=原式（2）()()()3.137755 1.77 3.68233.13770.55177 3.130.55233.1377230.5517723 313110 423=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯++⨯=⨯++⨯+=+=原式例3例2例1计算：（1）6.1+6.3+6.5+…+9.9-6.2-6.4-6.6 -…-9.8 （第九届“中环杯”五年级初赛试题） （2）（第十届“小机灵杯”五年级复赛试题）0.1-（0.1+0.3）+（0.1+0.3+0.5）-（0.1+0.3+0.5+0.7）+…-（0.1+0.3+…+9.5）+（0.1+0.3+0.5+…+9.7）【解析】 （1）()()()() 6.10.1 6.10.1 86.1 6.3 6.2 6.5 6.49.99.89.9 6.30.2119==+⨯=+⨯=+-+-++--÷+⎡⎤⎣⎦原式（2）()()[]()()[]()()[]()()[]0.1+0.10.30.50.10.30.10.30.50.7+0.90.10.30.50.7 0.10.30.59.70.10.39.5 0.10.50.99.70.19.79.70.10.412 9.8252 122.5=++-+++++-+++++++++-+++=++++=+⨯-÷+÷=⨯÷=原式（第二届“走美杯”五年级试题） 计算：100×101-99×100+98×99-97×98+96×97-95×96+…+2×3-1×2【解析】()()()()()() 10098962 10098962 100101991009899979896979596231210199999797953122221002100221225100==⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯+⨯++⨯=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯----+⨯-÷+÷⨯⎡⎤⎣⎦=原式观察：()()()()234-1234-123345-2345-234456-3456-345567-4567-456⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯计算：122334989999100⨯+⨯+⨯++⨯+⨯【解析】 观察发现：()()()()23234-123334345-234345456-345356567-4563⨯=⨯⨯⨯⨯÷⨯=⨯⨯⨯⨯÷⨯=⨯⨯⨯⨯÷⨯=⨯⨯⨯⨯÷()()()()()()[]()12233498999910012234-1233345-234399100101-9899100312234-123345-23499100101-98991003299100101-12332991001013-12339910010139931⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯÷+⨯⨯⨯⨯÷++⨯⨯⨯⨯÷=⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯÷=+⨯⨯⨯⨯÷=+⨯⨯÷⨯⨯÷=⨯⨯÷=÷⨯01100333300⨯=【练习1】 计算：（1）()()1351989-2461988++++++++（2）()()()()()2-24246-2468-24962498+++++++++++++++【解析】 （1）()()()1989-19881987-19863-21119902995=++++=⨯÷=原式（2）()()()()()()[]2246-24246810-24682498-2496 261098(298)(98-2)412100252 1250++++++++++++++++=++++=+⨯÷+÷=⨯÷==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎣⎦++++原式【练习2】 计算：（1）200720082008200820072007⨯-⨯ （2）200320022001200120022003⨯-⨯（3）2011201020122013201120112012201210002⨯⨯+－【解析】 （1）2007200810001-2008200710001 0=⨯⨯⨯⨯=原式（2）()()()()200320022003-2-200120022003 200320022003-20032-200120022003200320022003-200120022003-20032 2003-200120022003-20032 20022003-20032 40040000=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯=原式（3）()() 20112011-2012201310002 20112011-2012201310002 020112011-12012201320112011201220121000220122013-20122012==⨯+=+=⨯⨯+原式-【练习3】 计算：（1）4.820.590.411.590.323 5.9⨯⨯⨯＋－（2）7.816 1.45 3.14 2.184 1.697.816⨯+⨯+⨯（3）3.47 6.9 6.53 3.1 3.06 1.9⨯+⨯+⨯【解析】 （1）()()4.820.59-3.230.590.41 1.594.82 3.230.590.41 1.591.590.590.41 1.59=⨯⨯+⨯=⨯+⨯=⨯+=原式－（2）()()()7.816 1.45 1.697.816 3.14 2.1841.45 1.697.816 3.142.1843.147.816 2.184 31.4=⨯+⨯+⨯=+⨯+⨯=⨯+=原式（3）()()()()()3.47 6.9 3.47 3.06 3.1 3.06 1.9 3.47 6.9 3.47 3.1 3.06 3.1 3.06 1.93.47 6.9 3.47 3.1 3.06 3.1 3.06 1.9 3.47 6.9 3.1 3.06 3.1 1.9 3.4710 3.0656.945 3.0=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯++⨯+=⨯+⨯=⨯+原式＋6510550⨯=⨯=【练习4】 计算：0.10.30.50.70.90.110.130.150.970.99++++++++++【解析】 ()()()[]0.10.9520.110.990.990.110.02122.5 1.1452 27.25=+⨯÷++⨯-÷+÷=+⨯÷=原式【练习5】 如果6267*=+,53567*=++,4545678*=++++,…,那么556575105_____*+*+*++*=【解析】 ()()()()()()5565751055678967891078910111011121314758595125789125712625285*+*+*++*=++++++++++++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯=++++⨯=+⨯÷⨯=。
小学六年级奥数讲座(一)
第1讲 计算综合（一）【内容概述】繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题。
1.繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”。
找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母。
2.一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数，所以需将带分数化为假分数。
3.某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观。
4.对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可。
【典型问题】【1】计算：872165433311361214187⨯÷-+⨯ 【分析与解】872165433311361214187⨯÷-+⨯=8721231136147⨯-+=823341223⨯=128174 【2】计算：2013111111-+-【分析与解】2013111111-+-=20122013111+-=1-40252012=40252013【3】已知41x 12111+++=118，则x 等于多少？ 【分析与解】方法一：41x 12111+++=14x 42111+++=68x 14x 11+++=712x 68x ++=118，交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1.25。
方法二：有1+41x 121++=811=1+83，所以2+41x 1+=38=2+32；所以x+41=23，那么x=1.25。
【4】求4、43、4443、44443、4444443、4444443、44444443、444444443、4444444443这10个数的和。
【分析与解】方法一：4+43+443+4443+44443+444443+4444443+44444443+444444443+4444444443=4+（44-1）+（444-1）+（4444-1）+（44444-1）+（444444-1）+（4444444-1）+（44444444-1）+（444444444-1）+（4444444444-1）=4+44+444+4444+44444+444444+4444444+44444444+444444444+4444444444-9 =94×（9+99+999++9999+99999+999999+9999999+99999999+999999999+9999999999）-9 =94×[（10-1）+（100-1）+（1000-1）+（10000-1）+（100000-1）+（1000000-1）+（10000000-1）+（100000000-1）+（1000000000-1）+（10000000000-1）]-9=94×11111111100-9=4938271591。
六年级奥数优胜教育第1讲：分小四则混合运算含答案
第一讲 分小四则混合运算例1：计算：183706581327185131713⨯+⨯-⨯+÷.例2：计算：1997199719981997÷例3：计算：1997199719971998÷例4：解关于x 的方程：111151 2.4538322x x ⎛⎫+⨯-=⨯+ ⎪⎝⎭例5. 已知16241770012781.[()].⨯-⨯÷=□，那么□＝________。
例6. 计算19931219921319911219901311213-+-++-例7. 计算：96891993110324251993.⨯+⨯⨯A 1. 585757⨯2. 411412001÷ 3. 199819971997⨯ 4. 51151601÷ 5. 2005×97.75＋4010×1.1256. 37×1111＋7777×9B7. 199×208－198×2098. 35×67－34×68 9. 35225533951⨯+⨯+⨯ 10. 361911361117⨯+⨯ 11. 12×3434－34×121212. 20182018×1998－19981998×2018 13. 124123123123÷ 14. 157511574157315731573+÷ C 15. 104103105535353353535159⨯-⨯ 16. 200320022004131313111111169⨯+⨯ 17. 10310011071741⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯ 18. 101992972752532⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯ 19. 90197217561542133011209127651+-+-+-+-20. )413121()514131211()4131211()51413121(++⨯++++-+++⨯+++1. 计算：9999100999999⨯+. 2. 计算：[(.)](.)65233121815719510-÷-⨯+=□ 3. 计算：()6117665811121995131133131741221+÷++ 4. 计算：144855183661533555412⨯÷-+⨯+-(...)(.) 5. 计算：()()()()()112113114115111998-⨯+⨯-⨯+⨯⨯- 6. 计算：1110210545554021415⨯⨯⨯⨯⨯...1. 31×43－31＋58×312. 536375.04.383⨯+⨯ 3. 201128.245.7542⨯+⨯ 4. 56×78＋13×83＋27×78＋83×9 5. 09.125.15491.0⨯+÷ 6. 537632124⨯+÷7. 199 + 99×998. 7.63×9.9＋0.7639. 3.74×5.8＋62.6×0.5810. 3.43×14＋1.4×75.7－14 11. %5.37625.1583834375.0⨯+-⨯ 12. 1012694.8437⨯+⨯第一讲分小四则混合运算一、数的互化1.小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。
学大精品讲义五下数学(含答案)第1讲：简便计算
第一讲简便运算一、知识梳理根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。
二、方法归纳小数、整数的四则混合运算一样，都是按先乘除，后加减的顺序进行。
整数运算中的定律和性质，在小数运算中同样适用。
乘法分配律是最常见的一种运算定律。
运算定律和性质：1．加法运算定律：a＋b＝b＋a （交换律）(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) （结合律）2．乘法运算规律：a×b＝b×a（交换律）(a×b)×c＝a×(b×c) （结合律）a×(b＋c) ＝a×b＋a×c （分配律）3．带符号搬家同级运算优先考虑带符号搬家1）加减同为一级运算，在只有加减的混合运算中，交换任意两个数的位置，结果不变，但要注意符号要跟着数一起走。
a－b＋c＝a＋c－b a＋b－c＝a－c＋b2）乘除同为二级运算，在只有在乘除混合运算中，交换任意两个数的位置，结果不变，但要注意符号要跟着数一起走。
a÷b÷c＝a÷c÷b a÷b×c＝a×c÷b4．添括号、去括号添加括号原则： a＋b＋c＝a＋(b＋c) a×b×c＝a×(b×c)a＋b－c＝a＋(b－c) a×b÷c＝a×(b÷c)a－b－c＝a－(b＋c) a÷b÷c＝a÷(b×c)a－b＋c＝a－(b－c) a÷b×c＝a÷(b÷c)注意：同级运算中，无论去括号还是添括号，变不变（括号里面的符号）看前面，前面是- （÷）全变号；前面是+（×）全不变三、课堂精讲（一）题目出现 25 与 125 的情况例 1 (1) 8×25×125×4（2）2.5×32×12.5【规律方法】看到 25 就应想到 4，因为25×4=100；看到 125 就应想到 8，因为125×8=1000，没有 4 和8，通过找它们的倍数变换出来【搭配课堂训练题】【难度分级】 A（1）4×3.78×0.25（2）125×246×0.8（二）同级运算首先考虑带符号搬家，加法和减法考虑凑整，除法考虑把相同的数放在一起除。
四年级下册数学一课一练 第1讲 四则运算 沪教版(含答案)
第1讲四则运算案例1：已知鸡和兔共有15只，共有40只脚，问鸡和兔各有多少只？算法：假设鸡和兔训练有素，吹一声哨，它们抬起一只脚，40－15＝25，再吹一声哨，它们又抬起一只脚，25－15＝10，这时的鸡就一屁股就坐在了地上，兔还有2只脚立着，所以10÷2＝5（只），那么鸡的数量为15－5＝10（只），你能列出综合算式吗？教法说明：引导学生通过具体的实例，来列出综合算式，并且回顾运算顺序。
参考答案：兔子：（40－15－15）÷2＝（25－15）÷2＝5（只）鸡：10－5＝5（只）案例2：先说出下面各题的运算顺序，再计算。
（1）42＋6×（12－4）（2）42＋6×12－4教法说明：相同的数据，相同的运算符号，不同的运算顺序需要引导学生找到不同，进而准确的计算运算结果。
参考答案：（1）先算减法，再算乘法，最后算加法（2）先算乘法，再从左往右计算（1）42＋6×（12－4）（2）42＋6×12－4＝42＋6×8 ＝42＋72－4＝42＋48 ＝114－4＝90 ＝110例题1：用递等式计算（1）28＋172×88－78 （2）（28＋172）×88－78（3）（28＋172）×（88－78）（4）[28＋（172－88）] ×78教法说明：先让学生观察四个算式，说一说先计算哪一步，最后归纳总结四则运算的顺序：（1）没有括号的算式：先乘除，后加减（同级运算按从左到右依次计算）（2）有括号的算式：先算括号内的，再算括号外的（先算圆括号里的，再算方括号里的）参考答案：（1）28＋172×88－78 （2）（28＋172）×88－78＝28＋15136－78 ＝200×88－78＝15138－78 ＝17600－78＝15060 ＝17522（3）（28＋172）×（88－78）（4）[28＋（172－88）] ×78＝200×10 ＝[28＋84]×78＝2000 ＝112×78＝8736试一试：用递等式计算（1）28＋624×88－78 （2）（28＋624）×88－78（3）（28＋624）×（88－78）（4）[28＋（624－88）] ×78参考答案：（1）54862；（2）57298；（3）65200；（4）44304例题2：巧算（1）997×7＋21 （2）27×43＋85×73＋27×42教法说明：首先要让学生理解乘法的分配率。
【讲义】高斯杯复赛考辅材料_2年级_第1讲_带答案
（2）3，2，5，5，8，10，13，17，21，26，（ c ），（ d ） 答案：50
9． 用简便方法计算． 372－（72＋19－48）＋（100＋19－48）＝________ 答案：400
10． 用简便方法计算． 122－（57－78）＋（57－125）＝________ 答案：75
11． 数一数，下图中包含“☆”的正方形共有________个．
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝52
答案：8
＝______
高斯杯复赛考辅班
2年级
复赛考辅讲义
7． 找规律，求出：c＝（ ）．
3，1，4，5，9，（ a ），（ b ），37，60，（ c ） 答案：97
8． 找规律，求出：a＋d＝（ ）．
（1）5，3，7，6，9，12，11，24，( a )，( b )
答案：5 12． 数一数，下图中共有________个正方形．
高斯杯复赛考辅班
答案：7
复赛考辅讲义
13． 数一数，下图中共有________个三角形．
2年级
答案：17
14．
小松鼠采了 16 个松籽，它要把这些松籽分成 3 堆，每堆至少有 3 个松籽，一共有________种 不同的分法． 答案：8
高斯杯复赛考辅班
2年级复赛考辅讲义3． 用简便方法计算． 365－84＋24＝________ 答案：305
4． 数一数，下图中共有________个长方形．
答案：12
5． 小满从超市买来 12 块水果橡皮．如果小满把这些橡皮全部分给妞妞和歪歪，并且两人都要分到水 果橡皮，一共有________种不同的分法． 答案：11
例题
1． 小明统计二年级的体育用品，画了一张像蛋糕的统计图．请问：小明共统计（
奥数思维训练导引(4年级讲义)一
第1讲整数计算综合 (2)第2讲和差倍问题三 (10)第3讲还原问题与年龄问题 (19)第4讲数阵图初步 (26)第1讲整数计算综合内容概述熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。
学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。
典型问题兴趣篇1. 计算：(1) 121×32÷8;(2) 4×(250÷8)(3) 25×83×32×1252. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44(2) 222×33+889×66.3. 计算：(1) 37×47+36×53(2) 123×76－124×75。
4. 计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.6. 计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).7. 计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。
游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换。
口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。
例如：给出的数是1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个口令“7”发出后变成9995。
如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的6个数的和是多少？9. 规定运算“∇”为：a∇b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)8∇10; (2) 10∇8.10. 规定运算“☺”为：a☺b=a×b－(a+b), 请计算：(1) 5☺8; (2) 8☺5; (3) (6☺5)4; (4)6☺ (54)拓展篇1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12);(2) 31×121－88×125÷(1000÷121).2. 计算：(1) 555×445－556×444;(2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15.3. 计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008.4. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.5. 计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+…+4×3－3×2－2×1.6. 在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数之和，B为所有个位数字为3的数之和. A与B的差是多少？7. 求图1-1中所有数的和.8. 已知平方差公式：22()()-=+⨯-，计算：a b a b a b22222222-+-+-++-201918171615219. 计算：951×949－52×48.10. 规定运算“Θ”为：aΘb=a+2b－2, 计算：(1) (8Θ7)Θ6; (2)8Θ(7Θ6)11. 规定运算“ ”为：a b=(a+1) ×(b－2). 如果6 ( 5)=91, 那么方格内应该填入什么数？12. 规定：符号“∆”为选择两数中较大的数的运算，“∇”为选择两数中较小的数的运算，例如：3∆5=5，3∇5=3请计算：1∆2∆3∇4∆5∆6∇7∆…∇100.（运算的顺序是从左至右）超越篇1. 观察下面算式的规律：2000+1991－1988－1982+1976+1970－1964－1958+1952+1946－1940－1934+……一直这样写下去，那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？2. 从1, 2, ……, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？3. 计算：1－3+6－10+15－21+28－ (4950)4. 已知平方差公式：22()()a b a b a b-=+⨯-, 计算：222222222222+--++--+++--1009998979695949343215. aΘb表示从a开始依次增加的b个连续自然数的和，例如：4Θ3=4+5+6=15, 5Θ4=5+6+7+8=26, 请计算：(1) 4Θ15 (2) 在算式（ Θ7）Θ11=1056中，方框里的数应该是多少？6. 定义两种运算：aΩb=a－b+1, a∀b=a×b+1, 用“Ω”、“∀”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：7 3 4 5=27.现定义四种操作的规则如下：①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1，然后除以2. 例如从16可以得到8，从27可以得到14.②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字“3”或“4”，就将其划掉，例如从5304可以得到50，从408可以得到8. （不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作）③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边。
红棉杯冲刺讲义第一讲---计算综合
HM 冲刺讲义第一讲——计算综合知识汇编：一、数列求和公式等差数列求和公式：2末项+（首项项数）⨯（首尾配对）等比数列求和公式：()公比公比首项项数--⨯11或()11--⨯公比公比首项项数（错位相减）二、裂项通项公式分数裂差：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=⨯b 1a 1a b 1b a 1分数裂和：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+=⨯b 1a 1b a 1b a 1复杂分数裂项：⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯n ...c b 1m ...b a 1a n 1n m ...b a 1）（特殊裂项：ab b a ab b a 22+=+整数裂项：()()()()()()()()()[]2n a n a a 4n a 3n a 2n a n313n a n 2a n 2a n a +⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯=+⨯+++⨯+三、简算常用公式：1、平方差公式：()()b a b a b a 22-⨯+=-2、完全平方公式：()222b ab 2a b a +±=±3、完全立方公式：()32233b ab 3b a 3a b a ±+±=±4、立方和公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+5、立方差公式：()()2233b ab a b a b a ++-=-6、自然数平方和公式：()()61n 21n n n ...3212222++=++++7、自然数立方和公式：()233332n n 1n ...321⎦⎤⎢⎣⎡+=++++四、整体约分与连锁约分五、分组法与换元法六、高斯记号在数学特别是数论领域中，有时只需要略去一个数的小数部分只研究它的整数部分,或者需要略去整数部分只研究小数部分，因而会引入高斯记号(Gaussmark)。
高斯记号是指对取整符号“[]"和取小符号"{}"的统称。
若x 是任意一个数，取不大于x 的最大整数为x 的整数部分，记作[x]；取x 与整数部分之差为x 的小数部分，记作{x},即有{x}=x-[x],例如：[8.2]=8,{8.2}=0.2,根据高斯记号的定义，有如下结论：①[x]≤x＜[x]+l;②x-l＜[x]≤x ,0≤{x}＜1；③[m+x]=m+[x],其中“m”为整数.④若a+b 为整数，a、b 为非整数，则[a]+[b]=a+b-1⑤若a+b 为整数，且a、b 为整数，则[a]+[b]=a+b例题演练：例1.⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫⎝⎛+++202220212022202020212020...20223...534320222...423220221...3121练1：（1）222225...531++++（2）33319...1211+++例2.10432219...27252321⨯++⨯+⨯+⨯+⨯练2：1032310...333231⨯++⨯+⨯+⨯例3.设A＝12022320221202132021...1333123222222222-++-+++-++-+，求不大于A 的最大整数。
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练习 5
112 个
7+77+777+7777…+777…….77 的和的末四位是（ ）
【解析】
个位：7×112=784
十位：70×111=7770
百位：700×110=77000
千位：7000×109=763000
则：对于和
个位：4+0+0+0=4
十位：8+7+0+0=15，为 5
百位：7+7+0+0+1=15，为 5
3
【终极挑战】
1）201×202×…×600 的积的末尾有（ ）个 0 【解析】连续自然数相乘，因数中 2 的个数多于 5 的个数，因此只需要找 5 的 个数
201,202,203……600 ①41,42,43……120,则 120-41+1=80 个“5” ②9,10,11……24,则 24-9+1=16 个“5” ③2,3,4，则有 3 个“5” 因此，末尾有 80+16+3=99 个“0”
练习 2 1）77×13+255×999+510 =77×13+255×999+255×2 =77×13+255×（999+2） =77×13+255×1001 =1001+255×1001 =1001×256 =256256
2）20132014×20142013-20132013×20142014 =（20132013+1）×20142013-20132013×（20142013+1） =20132013×20142013+20142013-20132013×20142013-20132013 =10000
练习 7 用长为 50 米的篱笆围成一个长方形的花园，这个花园面积最大是（ ） 【解析】周长=（长+宽）×2=50 则：长+宽=25，求面积=长×宽最大，由和一定时，差小积大 因此：面积最大=12×13=156
练习 8 把 19 分拆几个正整数的和，这几个数的乘积最大是（ ） 把 20 分拆几个正整数的和，这几个数的乘积最大是（ ） 把 21 几个正整数的和，这几个数的乘积最大是（ ） 【解析】多拆 3，少拆 2，不拆 1 1）19÷3=6 个……1 乘积最大=3×3×3×3×3×2×2=972 2）20÷3=6 个……2 乘积最大=3×3×3×3×3×3×2=1458 3）21÷3=7 个 乘积最大=3×3×3×3×3×3×3=2187
练习 3 1）1÷1989+2÷1989+3÷1989…+1989÷1989 =（1+2+3…+1989）÷1989 =(1+1989)×1989÷2÷1989 =19+3÷21…+9÷81 =1÷9+1÷9+1÷9…+1÷9 =1÷9×9 =1
练习 4
(555562-555552)×111111 =（55556+55555）×（55556-55555）×111111 =111111×1×111111 =12345654321
第一讲 计算综合 【周周测】
练习 1 8457-（7630-4578）+（7845-3076）-（6307-5784）-763
=8457-7630+4578+7845-3076-6307+5784-763 =8457+4578+7845+5784-（7630+3076+6307+763） =（8+4+5+7）×1111-（7+6+3+0）×1111 =（24-16）×1111 =8888
千位：7+7+3+1=18，为 8
因此：末四位是 8554
练习 6 1）120×35×18×7×75×24×8 的积的末尾有（ ）个 0 【解析】原式=（5×2×2×2×3）×（5×7）×（2×9）×7×（5×5×3）×（2×2 ×2×3）×（2×2×2） 乘数中一共有 10 个“2”和 4 个“5”，则乘积末尾有 4 个“0”
2
2）1×2×3×4…×499×500 的积的末尾有（ ）个 0 【解析】从 1 开始连续自然数相乘，因数 2 的个数比 5 的个数多，只需找 5 的 个数即可。
1, 2, 3, 4……500 1）1, 2, 3……100，则共有 100 个“5” 2）1, 2, 3……20，则共有 20 个“5” 3）1, 2, 3，4，则共有 4 个“5” 因此，末尾“0”的个数有 100+20+4=124 个
4
2）电影院共有座位 24 排，每排有 30 个座位，全校有 650 个同学坐到礼堂里 开会，至少有（ ）排座位上坐的学生人数同样多。 【解析】要使人数一样的排数尽可能少，最极端的情况是每一排人数都不同。 ①每排人数都不同时： 最多人数：30+29+……7=444 人 ②有两排人数相同时： 最多人数：30×2+29×2+28×2……+19×2=588 人 ③有三排人数相同时： 最多人数：30×3+29×3+28×3……+23×3=636 人 ④有四排人数相同时： 最多人数：30×4+29×4+28×4……+25×4=660 人 所以至少有 4 排人数相同。