数值分析课后答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。
由于
n i
i i n
n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1...
.........
......
1
)(21110
20
0---=
，.1,...,1,0-=n i
故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高
次幂
n x 的系数为
)(...1...1...
......
.........1),...,,(101
1
21
11
2
2221
02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -==
∏-≤<≤-----------。
故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设
.)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n
对
)(x f 构造Lagrange 插值多项式，
),()(0
x l x x L j n
j k j n ∑==
其
0)()!
1()
()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ，
ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j =
故
),()(x L x f n =即
.,...,1,0,)(0
n k x
x l x k
j
n
j k
j ==∑=
特别地，当0=k 时，
10)
(=∑=n
j x j l
。
（2）
0)()1(1)
()1()()(0000=-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--=-===∑∑∑∑k j j i j
i k j k
i i j i
i k j n
j k
i i j k
n
j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。
7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得
)()()(1
b f a
b a
x a f b a b x x P --+--= 因
0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而
))()(("2
1
)()(1b x a x f x P x f --=
-ξ，b a <<ξ。
故)("max )(8
122)("max )(max 2
2
x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤。
14、解：设
))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=，
k
x
x g =)(，记)()
(1
∏=-=n
j j n x x x w ，则
),()(x w a x f n n =).()('
j n n j x w a x f =
由差商的性质知
[])!
1()(1,..,,1)
('
1
)(')('1
211
11
-==
==-===∑∑∑
n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n
j j n
k j
n
n
j j n n k j
n
j j k j
ξ，
ξ介于n x x ,...,1之间。
当20-≤≤
n k 时，0)()1(=-ξn g ，
当
1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ，
故
⎩⎨⎧-=-≤≤=-=
--=∑1,,20,0)!1()(1)
('1
11
n k a n k n g a x f x n
n n n
j j
k j
ξ
16、解：根据差商与微商的关系，有
[]
1!
7!
7!7)(2,...,2,2)7(7
10===ξf f ，
[
]
0!
80
!8)(2,...,2,2)8(8
1
===ξf f 。
（
13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故
,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。
25、解：（1） 右边=
[][]dx x S x f x S dx x S x f b
a b
a ⎰⎰-+-)(")(")("2)(")("2
=
[]
d x x S x f x S x S x S x f x f b a
⎰-++-)("2)(")("2)(")(")("2)("
222
=
[]
d x x S x f b a
⎰-)(")("
22
=
[][]dx x S dx x f b
a
b
a
2
2
)(")("⎰⎰-
=左边。 （2）左边=
⎰
-b
a
dx x S x f x S ))(")(")(("