华东师大版初中数学九年级上册 第24章解直角三角形 24.4 解直角三角形教案1
华东师大版九年级数学上册24.4《解直角三角形(第1课时)教案(含答案)
24.4 解直角三角形第1课时解直角三角形【知识与技能】1.使学生理解解直角三角形的意义；2.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【过程与方法】让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力.【情感态度】通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想.【教学重点】用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【教学难点】用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题.一、情境导入，初步认识前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例题来看看大家掌握得怎样.例在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,BC=3,求∠A的各个三角函数值.二、思考探究，获取新知把握好直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的实际问题了.例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米折断倒下，树顶在离树根12米处，大树在折断之前高多少？例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程.通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗？学生讨论得出“解直角三角形”的含义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.【教学说明】学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素”的内涵，至于“元素”的定义不作深究.问：上面例子中，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出来吗？ 学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余.【探索新知】问：上面的例子是给了两条边.那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？例2如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，在炮台A 处测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，在炮台B 处测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到1米）.解：在Rt △ABC 中，∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,BCAB=tan ∠CAB,∴BC=AB ·tan ∠CAB=2000×tan50°≈2384（米）. ∵AB AC=cos50°, ∴AC=20005050AB cos cos =︒︒≈3111（米）. 答：敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米.问：AC 还可以用哪种方法求？学生讨论得出各种解法，分析比较，得出：使用题目中原有的条件，可使结果更精确. 问：通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？（几个学生展示）学生讨论分析，得出结论.问：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？学生交流讨论归纳：解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角.【教学说明】使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的3个元素.”三、运用新知，深化理解1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）【答案】1.6米2.9.4海里四、师生互动，课堂小结1.“解直角三角形”是求出直角三角形的所有元素.2.解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边和一锐角.3.解直角三角形的方法.【教学说明】让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正.1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习.通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况.通过讨论交流得出解直角三角形的方法，并学会把实际问题转化为直角三角形的问题.给出一定的情景内容，引导学生自主探究，通过例题的实践应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力.第二课时解直角三角形【知识与技能】1.理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力.【过程与方法】通过本章的学习培养同学们的分析、研究问题和解决问题的能力.【情感态度】在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，体验从实践中来到实践中去的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】理解仰角和俯角的概念.【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题.一、情境导入，初步认识如图，为了测量旗杆的高度BC，小明站在离旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了.（精确到0.1米）你知道小明是怎样算出的吗？二、思考探究，获取新知想要解决刚才的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念.【教学说明】学生观察、分析、归纳仰角、俯角的概念.现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的.【分析】在Rt△CDE中，已知一角和一边，利用解直角三角形的知识即可求出CE的长，从而求出CB的长.解：在Rt△CDE中，∵CE=DE·tanα=AB·tanα=10×tan52°≈12.80，∴BC=BE+CE=DA+CE≈12.80+1.50=14.3（米）.答：旗杆的高度约为14.3米.例如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.（精确到0.1m）解:过点D作DE⊥AB于点E，则∠ACB=β=43°24′,∠ADE=35°12′,DE=BC=32.6m.在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=AB BC,∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83（m）.在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=AE DE,∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00（m）.∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8（m）答：两个建筑物的高分别约为30.8m，7.8m.【教学说明】关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决.三、运用新知，深化理解1.如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星达到A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°，1s后火箭到达B点，此时测得BR的距离是6.13km，仰角为45.54°，这个火箭从A到B的平均速度是多少？（精确到0.01km/s）2.如图所示，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30°.求小华的眼睛到地面的距离.（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73）【答案】1.0.28km/s 2.1.4米四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？你有何体会？2.这节课你还存在什么问题？1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本节课从学生接受知识的最近发展区出发，创设了学生最熟悉的旗杆问题情境，引导学生发现问题、分析问题.在探索活动中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的学习方法，养成交流与合作的良好习惯.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学数学的信心.第三课时解直角三角形【知识与技能】1.使学生掌握测量中坡角、坡度的概念；2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题.【过程与方法】经历利用解直角三角形的知识解与坡度有关的实际问题的过程，进一步培养分析问题、解决问题的能力.【情感态度】渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生应用数学的意识.【教学重点】解决有关坡度的实际问题.【教学难点】解决有关坡度的实际问题.一、情境导入，初步认识读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比），记作i，即i=hl.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i=hl=tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.二、思考探究，获取新知例1如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽.（精确到0.1米）例2 学校校园内有一小山坡AB,经测量，坡角∠ABC =30°,斜坡AB 长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡比是1∶3（即CD 与BC 的长度之比）.A 、D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.解：在Rt △ABC 中，∠ABC=30°,则易求AC=6米，BC=63米.在Rt △BDC 中，i=13DC BC =.易得DC=13BC =.∴AD=AC-DC=（.三、运用新知，深化理解1.已知一坡面的坡度i=1则坡角α为（ ）A.15°B.20°C.30°D.45°2.彬彬沿坡度为150米，则他离地面的高度为（ ）B.50米C.25米3.某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡的坡比是1∶______米.4.如图，一束光线照在坡度为1射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是______.5.如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400m 到点D处，测得点A的仰角为60°，求AB的高度.【答案】1.C 2.C 3.30°°5.（）m四、师生互动，课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题.2.本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想.1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本节课以实际情境，引导学生将实际问题抽象为数学问题，构造几何模型，应用三角函数的知识解决问题.在整体设计上，由易到难，难度层层推进，尽量满足不同层次学生的学习需要.在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，体会数形结合的数学思想，进一步培养学生应用数学的意识.。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》精品课件_1
1、如图，铁路的路基横断面是等腰梯 形，斜坡AB的坡度为 1 : 3 坡面AB的水 平宽度为 3 米，基面AD宽2米，求路 基高AE、坡角∠B和基底BC的宽
结合例题体会 如何把实际问题转化为数学问题？
注意解题格式。
小组内交流此题用到的重要知识 和数学思想。
2、如图所示，修建铁路要经过一座高山，需
（3）传送带和地面所成的斜坡的坡比为 1：2，把物体从地面送到离地面9米高的 地方，则物体通过的路程为 _______米。
（4）斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米， 则斜坡高为___米。
温馨提示： 坡度等于坡角的正切值. 坡度越大，坡角就越大，坡面就陡.
（1）坡度不是度数，是一个比值，也叫坡比。 （2）坡度通常写成1∶m的形式， 如i=1∶6. i= 1 : 3
2．小明沿着坡度为1:2的山坡行走了 1000m，则他升高了__________m。
3、一段河坝的断面为梯形ABCD，AB=5米， BC=4.5米,坡面CD 坡度为 i= 1: 3 求坝宽AD．
1、课本P116练习 P121,第12题；
2、复习本节知识。
l
2、坡度（或坡比）
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h— l
3、坡度与坡角的关系
i
h l
tan
坡度等于坡角的正切值.
坡度越大，坡角就越大，坡面就陡.
自学检测（看谁又对又快）
（1）斜坡的坡比是1:1 ， 则坡角α =__度，斜坡的 坡角600 ，则坡度i=___. （2）斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是___.
解直角三角形的应用 ——坡度
自主学习：
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》教学案例_6
课题 第三课时：解直角三角形（3） 教学目标1．知识目标：理解坡角、坡度的意义，了解坡度与坡角的关系，理解方向角、方位角的概念；2．能力目标：进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.3．情感目标：通过观察、发现规律、总结规律、形成经验，并体验到学习、研究的乐趣和学习好知识的意义.教学重点与难点1．教学重点：通过观察图形，掌握坡度与坡角的关系，把梯形转化为直角三角形，解决与坡度有关的实际问题.2．教学难点：将实际问题转化为解直角三角形的问题.教学过程1．问题情境——本节课研究的问题是：什么是坡度、坡比？——如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？2．数学知识、数学运用在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图25．3．5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即lh i =．坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 l h i =＝tan α． 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．例7．如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米） tan 32°≈0.6, tan 28°≈0.5思路点拨：四边形ABCD 是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样 就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底AB ＝AE ＋EF ＋BF ，EF=CD=12．5l AE 在直角三角形AED 中求得，而BF 可以在直角三角形BFC 中求得，问题得到解决. 解：作DE ⊥AB ， CF ⊥AB ，垂足分别为E 、 F ．由题意可知DE ＝CF ＝4．2（米），CD ＝EF ＝12．51（米）．在Rt △ADE 中，∵ i＝AEAE DE 2.4=＝tan32°， ∴ AE ＝︒32tan 2.4≈7（米）． 在Rt △BCF 中，同理可得图25.3.5 图25.3.6BF ＝︒28tan 2.4≈8．4（米）． ∴ AB ＝AE ＋EF ＋BF≈7＋12．51＋8．4≈27．91（米）．答：路基下底的宽约为27．91米．思路点拨：由i ＝1：3即可得到tan α＝1：3=33；过B 点作BF ⊥AD ，BF ＝CE ＝4，AF 、DE 分别在Rt △ABF 和Rt △DCE 中求得，而 EF ＝BC ＝4．5，所以下底AD 的长度可以求得.解：过B 点作BF 上AD ，垂足为F因为 i ＝l ：3，所以 tan α=31=33， 在Rt △ABF 和Rt △DCE 中AF ＝3452222=-=-BF ABDE ＝3CE ＝43所以 AD=AF ＋EF ＋DE=（7．5＋43）米3．课堂练习(1)植树节，某班同学决定去坡度为1︰2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m ，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 .（2）某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310 m ，则此人的垂直高度增加了________m .（3）已知堤坝的横断面是等腰梯形ABCD ，上底CD 的宽为a ，下底AB 的宽为b ，坝高为h ，则堤坝的坡度i =_______________（用a ,b ,h 表示）.（4）如图所示，一段公路路基的横断面为等腰梯形，路基顶宽为9.8米，路基高为5.8米，斜坡的坡度i=1：1.6 。
华东师大版中学数学九年级上第24章解直角三角形24
第24章 解直角三角形24.4 解直角三角形解与仰角、俯角有关的直角三角形（第2课时）教学目标1.理解仰角、俯角的含义，能准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.教学重难点重点：理解解直角三角形的含义.难点：能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.教学过程复习巩固1.锐角三角函数：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则 两锐角关系：∠A+∠B ＝90°. 三边关系：a 2+b 2＝c 2. 边角关系：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sin A ＝∠A 的对边斜边；(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cos A ＝∠A 的邻边斜边；(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.教学反思导入新课我们已经掌握了直角三角形的有关性质以及边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的重要依据，这节课就是利用直角三角形解关于仰角与俯角的问题.教师引出课题：24.4解直角三角形解与仰角、俯角有关的直角三角形（第2课时）探究新知探究点一仰角、俯角的概念活动1（学生交流，教师点评）阅读教材第113页读一读【总结】在进行观察或测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.典例讲解（师生互动）例1如图，为了测量电线杆的高度BC，在离电线杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得电线杆顶端C的仰角a＝52°，求电线杆BC的高.（精确到0.1米）【探索思路】(引发学生思考)本题要求BC，由图示可知BC＝CE+EB，而EB＝DA，因此只要求出CE问题就解决了.【解】在Rt△CDE中，∵CE＝DE tan α＝AB tanα＝10 tan 52°≈12.80（米），∴BC＝BE+CE＝DA+CE＝1.50+12.80＝14.3（米）.答：电线杆BC的高为14.3米.探究点二利用三角函数解实际问题的一般步骤活动2（学生交流，教师点评）【总结】利用三角函数解实际问题的一般步骤：（1）首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论；（2）找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；（3）合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案. 教学反思例2 如图，热气球探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD 为100米，试求这栋楼的高度BC .【探索思路】分析法：要求BC ，先求出BD 与CD ，只要解Rt △ADB 、Rt △ADC .【解】由题意，得α＝30°，β＝60°，AD ＝100米，∠ADC ＝∠ADB ＝90°. ∴在Rt △ADB 中，α＝30°，AD ＝100米，∴tan α＝BD AD ＝BD 100＝33，∴BD ＝10033米.在Rt △ADC 中，β＝60°，AD ＝100米，∴tan β＝CD AD ＝CD100＝3，∴CD ＝1003米.∴BC ＝BD +CD ＝10033+1003＝40033 (米)，即这栋楼的高度BC 是40033米.【题后总结】(学生总结，老师点评)首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ADB 、△ADC ，利用BC ＝BD +CD 可求出答案. 【归纳】仰角、俯角问题的常见基本模型：模型一 模型二模型三 模型四 模型五【即学即练】如图，某大楼顶部有一旗杆AB ，甲乙两人分别在相距6米的C ，D 两处测得B 点和A 点的仰角分别是42°和65°，且C ，D ，E 在一条直线上.如果DE ＝15米，求旗杆AB 的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1)教学反思【解】在Rt △ADE 中，∠ADE ＝65°，DE ＝15米，则tan ∠ADE ＝AEDE ，即tan 65°＝15AE≈2.1，解得 AE ≈31.5米.在Rt △BCE 中，∠BCE ＝42°，CE ＝CD +DE ＝21米，则tan ∠BCE ＝BECE ，即tan 42°＝21BE≈0.9，解得 BE ≈18.9米.则AB ＝AE -BE ＝31.5-18.9≈13(米). 即旗杆AB 的长大约是13米. 【方法总结】把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.课堂练习1.如图所示，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30 m 的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为( )A.30tan m B.30sin α m C.30tan α m D.30cos α m2.如图所示，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞机的飞行高度AC ＝1 200 m ，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α＝30°，则飞机A 与指挥台B 的距离为( )A.1 200 mB.1 200√2 mC.1 200√3 mD.2 400 m 3.如图所示，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB.已知观测点C 到旗杆的距离CE ＝8 m ，测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA ＝30°，旗杆底部B 的俯角∠ECB ＝45°，那么，旗杆AB 的高度是( )教学反思A.(C.⎛⎝⎭m D.8⎛⎝⎭m4.如图，从热气球C上测得建筑物A，B底部的俯角分别为30°和60°.如果这时热气球高度CD为150米，且点A，D，B在同一直线上，则建筑物A，B间的距离为( )A.150√3mB.180√3mC.200√3mD.220√3m5.如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m到C点，又测得楼顶的仰角为45°，6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为多少米.参考答案1.C【解析】在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∵BO＝30 m，∠ABO＝α，tan∠ABO＝AOBO，∴AO＝BO tan α＝30tan α m.故选C.2.D【解析】由题意，得∠B＝30°，所以sin B＝12ACAB＝.又AC＝1 200 m，所以AB＝2AC＝2 400 m.3.D【解析】由题意，得AE＝CE tan∠ECA＝(m)，教学反思BE ＝CE tan ∠ECB ＝8(m).∴AB ＝BE +AE＝8⎛ ⎝m.4.C 【解析】∵ ∠A ＝30°，∠B ＝60°，在Rt △ACD 中，tan A ＝CDAD， ∴AD tan CD A ＝150√3（m ）.在Rt △BCD 中，tan B CDBD ＝， ∴BD tan CD B ＝＝50m ）， ∴ AB ＝AD +BD ＝m ）.5.【解】设楼高AB 为x m.在Rt △ADB 中，DB tan30x︒＝＝.∵ ∠ACB ＝45°，∴ BC ＝AB ＝x .∴ CD ＝BD −BC ＝(√3−1)x ＝60，解得x ≈82. 故高楼的高度大约为82米.6.【解】如图，过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G .由题意知C ，E ，G 三点共线.设AG ＝x m.由题意可知AB ⊥DB ，CG ∥DB ，∠AGE ＝90°.在Rt △AEG 中，∵ ∠AEG ＝60°，tan ∠AEG ＝AG EG，∴EG ＝tan 60AG ︒＝(m). 在Rt △ACG 中，∵ ∠ACG ＝30°，tan ∠ACG ＝AGCG，∴CG ＝tan30tan30AG x︒︒＝＝√3x (m). ∵CE ＝DF ＝100 m ，而CG −EG ＝CE x ＝100，解得x ＝50√3.∴AB ＝AG +GB ＝(50√3+1) m.课堂小结(学生总结，老师点评) 仰角、俯角的概念：在进行观察或测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 利用三角函数解实际问题的一般步骤： （1）首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论； （2）找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；（3）合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案.教学反思【方法总结】把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.布置作业教材第114页练习题第1，2题.板书设计课题 24.4 解直角三角形解与仰角、俯角有关的直角三角形 （第2课时）一、仰角、俯角的概念 例1 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.二、解直角三角形的基本模型 例2模型一 模型二模型三 模型四模型五教学反思。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》精品课件_3
北 东
M 60°
A
P
N 15°
B
D
小结
①定义：在直角三角形中，由已 知元素求出 未知元素的过程，叫做解直角三角形;
②在解决实际问题时,应“先画图,再求解”;
思考：如果已知两锐角，可以 解直角三角形吗
？
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角。
• 真题演练
• (2010 湖北省孝感市) 如图，一艘船向正北航
行，在A处看到灯塔在船的北偏东30°的方向 上，航行12海里到达点B．在B处看到灯塔在 船的北偏东60°的方向上．此船继续沿正北
AC BC
我们把30゜、45゜、60゜的三角函数值列表如下. （请填出空白处的值）
3
3
2
3
3
2
2
2
2
3
2
3
3
3
练习:
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,
AB=13,则有
①根据勾股定理得:
A
BC=__1_3_2_-_1_2_2 _=___5___
BC
5
②sinA =__A_B__=___13__
两个锐角
个
素
A bC
一个直角 (已知)
定义：由直角三角形中已知的边 和角，计算出未知的边和角的过 程，叫 解直角三角形.
如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于 离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处. 大树在折断之前高多少？
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》精品课件_3
(2)在 Rt△ABE 中，i1＝1∶3，BE＝23 米， ∴AE＝3BE＝3×23＝69(米)，
AB＝ AE2＋BE2＝ 692＋232 ＝ 5290≈72.7(米)． 在 Rt△CDF 中，i2＝1∶2.5，CF＝BE＝23 米， ∴DF＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(米)． ∴ AD ＝ AE ＋ EF ＋ FD ＝ AE ＋ BC ＋ FD ＝ 69 ＋ 6 ＋ 57.5 ＝
新知梳理
三．自学检测
1.一段坡面坡角为 60°,则坡度i =_______。
2.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000米，则他升高了 ________米。
3.一水库迎水坡坡度1： 3 ，则该坡坡角α=_______。
4.坡度和坡角的应用
随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，今年 为提前做好防洪准备工作，某市正在长江边某处常出 现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形 ABCD，如图所示，你能求出DC的长吗？
归纳总结
解决坡度问题的一般规律：
(1)正确理解坡度与坡角的关系：i＝tanα ＝hl；
(2)建立适当的数学模型，水渠、堤坝、土坡的横断面 一般是梯形，解这类问题通常将梯形分割成直角三角形和矩 形，转化为解直角三角形的问题；
(3)由不同的坡比构建不同的直角三角形求解，应抓住 关2.5(米)．
拓展提升
如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角 为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部 专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石加固，并使上底加宽2米，加固后 ，背水坡EF的坡比i＝1∶2.
(1)求加固后坝底增加的宽度AF的长； (2)求完成这项工程需要土石方多少立方米．
华师大版九年级上册：24.4.1解直角三角形(1)
BC AB
40° D
C
AC=
∴BC=AB×tan∠CAB =2000tan60° 2000 ∵cos60°=
AB AC
（米） 3
AB 2000 4000 （米） 1 cos600 2
考考你
• 1、已知：在Rt△ABC中， ∠ c = 90° ，a=3，b=4， 则 cosA= 0.8 ，tanA= 0.75 。 2△ABC中，∠C= 90° ，∠A= 30° ，AB=4cm， • 2、在Rt • 则BC= cm 。 • 4、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=20，∠A=60° ，解 这个直角三角形。
B
2
2
虎门威远炮台
看看你的能力
• 例2
如图25．3．2，东西两炮台A、B相距2000米， 同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东30° 的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮 台的距离．（精确到1米）
图 25.3.2
例2:如图,东西两炮台A,B相距2000米,同时发现入侵敌舰C, 炮台A测得敌舰在它的南偏东30°的方向,炮台B测得敌舰C 在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米) 2000 A B
(3)边角之间的关系: a sinA＝ c tanA＝ b cosA＝ c
Ａ
a
a b
b
Ｃ
例1. 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离 地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在 折断之前高多少？
解
利用勾股定理可 以求出折断倒下部分的 长度为:
10 + 24 = 26
26＋10＝36（米）. 答 : 大 树 在 折 断之 前 高 为36米.
华师版九年级数学 24.4 解直角三角形(学习、上课课件)
感悟新知
知1－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20 2； 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则sin A＝ac＝20202＝ 22， ∴∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝45°， ∴ b＝a＝20 .
感悟新知
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 3，b＝2.
知1－练
感悟新知
(2)∠B＝72°，c＝14；
知1－练
解：在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，∠B＝72°，
∴∠A＝90°－72°＝18°. ∵sin B＝bc，∴b＝c sin B， 即 b＝14×sin 72°≈14×0.951≈13.31.
∵cos B＝ac，∴a＝c cos B， 即 a＝14×cos 72°≈14×0.309≈4.33.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.
解题秘方：紧扣以下两种思路去求解：(1)求边时，一般用
未知边比已知边(或已知边比未知边)，去找已知角的某一
个锐角三角函数.(2)求角时，一般用已知边比已知边，去
找未知角的某一个锐角三角函数.
感悟新知
知1－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12； 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝60°.
第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
学习目标
1 课时讲解 解直角三角形
解直角三角形在实际问题中的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 解直角三角形
知1－讲
1. 一般地，直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过 程，叫做解直角三角形. (1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其 中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个 未知元素(知二求三). (2) 一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直 角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》精品课件_2
课后作业
如图，小东在教学楼距地面 9 米高的窗口 C 处，测得正前方旗杆顶部 A 点的仰角为 37°，旗杆底部 B 点的俯角为 45°.升旗时，国旗上端悬挂在距地面 2.25 米处. 若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌 播放 45 秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？ （参考数据：sian37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）
等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin 53 4 ， cos53 3 ， tan 53 4 ， 2 1.41 ）
5
5
3
.如图所示，我国两艘海监船 A ， B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险
抛锚的渔船 C .此时， B 船在 A 船的正南方向 5 海里处， A 船测得渔船C 在其南偏东 45方向， B 船测得
渔船 C 在其南偏东 53 方向.已知 A 船的航速为 30 海里/小时， B 船的航速为 25 海里/小时，问C 船至少要
在 Rt 三角形 ACD 中，CD=
=
=，
在 Rt 三角形 BCD 中，BD=CD•tan68°， ∴1000+x= x•tan68°
解得：x=
=
≈308 米，
∴潜艇 C 离开海平面的下潜深度为 308 米．
如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30°，朝 大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果
A
解：（1）∵AD⊥BC，∠B=4 5°，∠C=60°，AD=2
∴BD=2，CD= 2 3 ∴BC=2+ 2 3
华东师大版 九年级上册 24.4 解直角三角形 (18张PPT)
夹角BCA 600 ,测得BC 7m,则桥长AB ____ 米（结果精确到1米）
A
D
A
B 2019/11/18
300 C
B
C
A
3.如图，一艘海轮位于灯塔P的 北偏东300 方向，距离灯塔80海里 的A处，它沿正南方向航行一段时 间后，到达位于灯塔P的南偏东450
方向上的B处，海轮所在的B处与 P
想一想：已知两边怎样求出 直角三角形的未知元素呢？
C
AA
2019/11/18
例2:虎门威远的东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入 侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台 B测得敌舰C在它的正南方，试求: (1)敌舰C与炮台A的距离; (2)敌舰C与炮台B的距离.(精确到1米）
（sin 500 0.7660; cos500
0.6428; tan 500 1.1918)
想一想：已知一边一锐角怎样求出 直角三角形的未知元素呢？
2019/11/18
勾股定理
解 已知两边
直 角
边角关系
三
角
两锐互余角
形 已知一边 关系
一锐角 边角关系
2019/11/18
第三边
至
少
一
锐角度数 个
条
另一锐角 件
是
边
另两边
1.如图，AC是电线杆的一根拉线，测得AB 8米，ACB ,
则A C的长是 _______.B C的长是 _____
(用含的三角函数表示）
A
12
2019/11/18
B
C
2.某海船以32.6海里 / 时的速度向正北方向航行， 在A处看灯塔Q在海船的北偏东300 方向处，半 小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的 距离最短.求灯塔Q到B的距离.(画出图形后计算， 精确到0.1海里）
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 仰角、俯角问题》公开课教案_6
解直角三角形的应用（2）——仰角与俯角一、教学目标：1、掌握仰角、俯角的概念，会在相关图形中找出仰角和俯角。
2、会利用解直角三角形解决相关的实际问题。
3、培养学生自自主探索精神，提高合作交流和解决实际问题的能力。
二、教学重点、难点：重点：仰角和俯角的概念及应用，三角函数的选用。
难点：根据问题建立数学模型，实际问题“转化”解直角三角形。
三、教学过程：知识回顾：1、解直角三角形的依据：三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）；锐角之间的关系：∠ A ＋ ∠ B ＝ 90º边角之间的关系（锐角三角函数）：sinA ＝cosA ＝tanA ＝2、特殊角的三角函数值：3、解直角三角形，只有下面两种情况（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角。
学习新知：仰角与俯角的定义在视线与水平线所成的角中规定:视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角。
解决问题：在升旗仪式上，一位同学站在离旗杆24米处，行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30度，若两眼离地面1.5米，则旗杆的高度是否可求？若可求，求出旗杆的高，若不可求，说明理由.（精确到0.1米）要求：1、让学生根据题意画出图形，结合图形已知了什么？要求什么？2、利用解直角三角形知识列出式子例题讲解：.河的对岸有水塔AB, 今在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，前进 20米到D 处，又测得塔顶A 的仰角为60°.求塔高AB.教师板书示范，提出书写要求等合作学习：山顶上有一旗杆，在地面上一点A 处测得杆顶B 的仰角为 600，杆底C 的仰角为450，已知旗杆高BC=20米，求山高CD 。
拓展探究：甲、乙两楼相距78米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为45º，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30º，则甲楼和乙楼高为？课内小结 ：◆ 这节课你有哪些收获? ◆你能否用所学的知识去解决一些实际问题吗?作业布置：P114 练习 1、2P117 习题 2、3。
华东师大版数学九年级上册24.4解直角三角形知识解读
解直角三角形知识解读解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的根底上，根据条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。
1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。
因此，锐角三角函数的定义本质提醒了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的根底。
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c〔以下字母同〕，那么解直角三角形的主要依据是〔1〕边角之间的关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tgA＝ctgB＝，ctgA＝tgB＝。
〔2〕两锐角之间的关系：A＋B＝90°。
〔3〕三条边之间的关系：。
以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根据条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。
2、解直角三角形的根本类型和方法我们知道，由直角三角形中的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果两个锐角能否解直角三角形呢？事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为两个元素〔至少有一个是边〕可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。
由于两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。
所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。
这样，解直角三角形就分为两大类，即一条边及一个锐角或两条边解直角三角形。
四种根本类型和解法列表如下：条件解法一边及一锐角直角边a及锐角AB＝90°－A，b＝a·ctgA，斜边c及锐角A B＝90°－A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°－A，直角边a和斜边c，B＝90°－A，例1、如图2，假设图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1，求AB的长。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 仰角、俯角问题》公开课课件_17
D E
1.(长沙)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，
在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角为α，则
树OA的高度为( )
A.
30 米
tan
C.30tan α 米
B.30sin α 米 D.30cos α 米
2. (哈尔滨)某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目
标C，此时飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指
设AE的长为x m，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝45°，
∴CE＝AE＝x m.
在Rt△ABE中，∵∠ABC＝30°，AE＝x m，
∴tan
30°＝
x BE
，
∴BE＝
x tan 30
3x m． BE－CE＝BC，
3 x－x＝20，
∴ x＝10 3＋10， AD＝AE＋DE＝10 3＋10＋1.6 28.9m．
4、小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲在自 家窗口测得大厦顶部的仰角和大厦底部的俯角（ 如图所示），量得两幢楼之间的距离为32m，问 大厦有多高？(结果保留根号)
45 30
E
5.〈四川凉山州，图文信息题〉
如图所示，某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不 知道这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话
第二十四章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
第2课时 仰角俯角
知识点 仰 角、俯 角
读一读 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平
线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹 角叫做俯角.
在一次实践活动中，兴趣小组的同学们想测 量树CE的高度。当小红站在点B处时，刚好测得 树的顶点C的仰角为30°，而此时又测出BE=12 米，小红的眼睛距地面1.5米。你能根据其中的数 据求出树高CE吗？(参考数据： 2 ≈1.41，3 ≈1.73， 结果精确到0.1 m)
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》教学案例_6
解直角三角形第一课时学习目标：1、能说出解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形；2、使学生能发现解直角三角形所需的最简条件，用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；重点：直角三角形的解法。
难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。
学习导航：一、课前预习完成以下题目1、在直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系： sinA=＿ cosA=＿ tanA= ＿cotA=__(2)三边之间关系：勾股定理_______ (3)锐角之间关系：________。
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12,求∠A的各个三角函数值。
3、自述30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切、余切值。
4、在Rt△ABC中，∠C=90°,已知c=15,∠B=60°,求a.5、在Rt△ABC中，∠C=90°,已知∠A=45°,b=3，求c.你有哪些疑问？小组交流讨论。
师：你有什么看法？设计意图：数学知识是环环相扣的，课前预习能让学生为接下来的学习作很好的铺垫和自然的过渡。
带着他们的疑问来学习解直角三角形，去探索解直角三角形的条件，激发了他们研究的兴趣和探究的激情。
二、探究新知例1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，由下列条件解直角三角形：5已知a＝5， b＝3（1）题目中已知哪些条件，还要求哪些条件？（2）请同学们独立思考，自己解决。
（3）小组讨论一下各自的解题思路，在班内交流展示。
通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗？学生讨论得出“解直角三角形”的含义（课件展示）：“在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
”（学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素”的内涵，即条件。
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解直角三角形1
教学目标
巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理。
学会运用三角函数解直角三角形。
掌握解直角三角形的几种情况。
教学重难点
重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。
难点：运用三角函数解直角三角形。
教学过程
我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具.
例1 如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为
26241022=+
26＋10＝36（米）. 所以，大树在折断之前高为36米. 在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
例2 如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40゜的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
解 在Rt △ABC 中，因为
∠CAB ＝90゜－∠DAC ＝50゜， AB BC ＝tan ∠CAB , 所以 BC ＝AB •tan ∠CAB
=2000×tan50゜≈2384(米).
又因为
︒=50cos AC
AB ， 所以 AC ＝)(311150cos 200050cos 米≈︒=︒AB 答：敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
课堂练习
1. 在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？
2. 海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q 在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B 处，发现此时灯塔Q 与海船的距离最短，求灯塔Q 到B 处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）。