初二数学提优轴对称图形

初二数学第二章轴对称图形

知识点

一、轴对称与轴对称图形

（1）把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成___；

（2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如_____能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形．

1．下列图形是轴对称图形吗？请你试着画出它们的对称轴．

二、轴对称的性质及轴对称图形的画法

成轴对称的两个图形中，对应点的连线被______________垂直平分；

2．如图，已知△ABC 和直线l ，画出△ABC 关于直线l 的对称图形．

3．如图所示，由小正方形组成的

“7”

字形图中，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形．三、线段、角的轴对称性

（1）①线段是轴对称图形，＿＿＿＿＿＿＿＿是它的对称轴；

②线段垂直平分线上的点到＿＿的距离相等；到＿＿距离相等的点在线段的垂直平分线上．

（2）①角是轴对称图形，＿＿＿＿＿＿＿＿是它的对称轴；

②角平分线上的点到＿＿＿＿的距离相等；到＿＿＿＿距离相等的点在角的平分线上．

考查试题：

4．如图，在△ABC 中，AC=7，DE 垂直平分AB ，分别交AB 、AC 于点E 、D ，△BCD 周长为9，则BC=_____．

5．如图，AB=AC=5cm ，BC=3cm ，∠A=40°，点A 和点B 关于直线l 对称，AC 与l 相交于点D ，则∠C= ＿＿＿＿°，△BDC 的周长等于＿＿＿＿cm ．

6．如图，有张村A 、李村B 、王村C ，这三个村庄共建一个水泵站D ，使得水泵站

D 到A 、B 两村的距离

相等，且使C 村到水泵站D 的管线最短，试确定水泵站D 的位置．7．如图，△ABC 中，AF 平分∠BAC 交BC 于F ，FD ⊥AB 于D ，FE ⊥AC 于E ，求证：AF 垂直平分DE ．

四、等腰三角形的性质与判定

（1）等腰三角形的性质：①＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿；

（2）等腰三角形的判定：＿＿＿＿＿＿＿＿；8．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A=∠ABE ．若AC=5，BC=3，则BD 的长为（）

A ．2.5

B ．1.5

C ．2

D ．1

9．如图，在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，

分别交AB 、AC 于点D 、E ．若AB=5，AC =4，则△ADE 的周长是＿＿＿＿．

10．已知：如图，点

C 、

D 在△AB

E 的边BE 上，BC=ED ，AB=AE ．求证：AC =AD ．

第4题图第5题图第6题图第7题图

第8题图

第9题图

五、等边三角形的性质与判定及直角三角形的性质（两个一半）

（1）等边三角形的性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（2）等边三角形的判定：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

③＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（3）两个一半：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

11．如图，在△ABC 中，AB =AC=8，AD 是底边上的高，E 为AC 中点，则DE =＿＿12．一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（）

A ．30海里

B ．40海里

C ．50海里

D ．60海里

13．如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD =90°，M 为BD 中点，N 为AC 中点．

求证：MN ⊥AC ．

14．已知：在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ．

（1）如图①，若∠AOB =∠COD =60°，求证：①AC=BD ；②∠APB=60°．

（2）如图②，若∠AOB =∠COD =α，则AC 与BD 间的等量关系式为＿＿＿＿，∠

APB 的大小为＿＿＿．

（直接写出结果，不证明）15．如图，小明将三角形纸片ABC （AB ＞AC ）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①），再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到△AEF （如图②）．小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

16．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 在BC 上，且BD =BA ，点E 在BC 的延长线上，且CE=CA ．

（1）试求∠DAE 的度数．

（2）如果把原题中“AB=AC ”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE 的度数会改变吗？为什么？

第10题图

第11题图

第12题图

第13题图

课后练习

1．1一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是：＿＿＿＿．

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若AB=6，CD=2，则△ABD的面积是＿＿＿＿．

3．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，

使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC=2，则这块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于＿＿＿＿．

4．如图，三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是（）A．AC=AD+BD B．AC=AB+BD C．AC=AD+CD D．AC=AB+CD

5．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A．6 B．8 C．9 D．10

6．如图的方格纸上画有AB、CD两条线段，按下列要求作图：

（1）请你在图（1）中画出线段AB关于CD所在直线成轴对称的图形；

（2）请你在图（2）中添上一条线段，使图中的3条线段组成轴对称图形，请画出所有情形．

（1）（2）

7．某小区有三栋豪华住宅楼，如图所示，A、B、C为三栋住宅楼，它们之间有笔直的小路连接，中间是

一块绿地，他们计划在这块地上建一座凉亭，且凉亭到三条道路的距离相等，请你用尺规作出这样的凉亭

P的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

8．如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．

（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；

（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你

的结论．

9．如图，在△ABC中，∠A=2∠C，D是AC上的一点，且BD⊥BC，P在AC上移动．

（1）当P移动到什么位置时，BP=AB；（2）求∠C的取值范围．