初二数学提优轴对称图形

初二数学第二章轴对称图形知识点一、轴对称与轴对称图形（1）把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成___；（2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如_____能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形．1．下列图形是轴对称图形吗？请你试着画出它们的对称轴．二、轴对称的性质及轴对称图形的画法成轴对称的两个图形中，对应点的连线被______________垂直平分；2．如图，已知△ABC 和直线l ，画出△ABC 关于直线l 的对称图形．3．如图所示，由小正方形组成的“7”字形图中，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形．三、线段、角的轴对称性（1）①线段是轴对称图形，＿＿＿＿＿＿＿＿是它的对称轴；②线段垂直平分线上的点到＿＿的距离相等；到＿＿距离相等的点在线段的垂直平分线上．（2）①角是轴对称图形，＿＿＿＿＿＿＿＿是它的对称轴；②角平分线上的点到＿＿＿＿的距离相等；到＿＿＿＿距离相等的点在角的平分线上．考查试题：4．如图，在△ABC 中，AC=7，DE 垂直平分AB ，分别交AB 、AC 于点E 、D ，△BCD 周长为9，则BC=_____．5．如图，AB=AC=5cm ，BC=3cm ，∠A=40°，点A 和点B 关于直线l 对称，AC 与l 相交于点D ，则∠C= ＿＿＿＿°，△BDC 的周长等于＿＿＿＿cm ．6．如图，有张村A 、李村B 、王村C ，这三个村庄共建一个水泵站D ，使得水泵站D 到A 、B 两村的距离相等，且使C 村到水泵站D 的管线最短，试确定水泵站D 的位置．7．如图，△ABC 中，AF 平分∠BAC 交BC 于F ，FD ⊥AB 于D ，FE ⊥AC 于E ，求证：AF 垂直平分DE ．四、等腰三角形的性质与判定（1）等腰三角形的性质：①＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）等腰三角形的判定：＿＿＿＿＿＿＿＿；8．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A=∠ABE ．若AC=5，BC=3，则BD 的长为（）A ．2.5B ．1.5C ．2D ．19．如图，在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．若AB=5，AC =4，则△ADE 的周长是＿＿＿＿．10．已知：如图，点C 、D 在△ABE 的边BE 上，BC=ED ，AB=AE ．求证：AC =AD ．第4题图第5题图第6题图第7题图第8题图第9题图五、等边三角形的性质与判定及直角三角形的性质（两个一半）（1）等边三角形的性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）等边三角形的判定：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；③＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）两个一半：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；11．如图，在△ABC 中，AB =AC=8，AD 是底边上的高，E 为AC 中点，则DE =＿＿12．一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（）A ．30海里B ．40海里C ．50海里D ．60海里13．如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD =90°，M 为BD 中点，N 为AC 中点．求证：MN ⊥AC ．14．已知：在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ．（1）如图①，若∠AOB =∠COD =60°，求证：①AC=BD ；②∠APB=60°．（2）如图②，若∠AOB =∠COD =α，则AC 与BD 间的等量关系式为＿＿＿＿，∠APB 的大小为＿＿＿．（直接写出结果，不证明）15．如图，小明将三角形纸片ABC （AB ＞AC ）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①），再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到△AEF （如图②）．小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．16．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 在BC 上，且BD =BA ，点E 在BC 的延长线上，且CE=CA ．（1）试求∠DAE 的度数．（2）如果把原题中“AB=AC ”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE 的度数会改变吗？为什么？第10题图第11题图第12题图第13题图课后练习1．1一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是：＿＿＿＿．2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若AB=6，CD=2，则△ABD的面积是＿＿＿＿．3．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC=2，则这块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于＿＿＿＿．4．如图，三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是（）A．AC=AD+BD B．AC=AB+BD C．AC=AD+CD D．AC=AB+CD5．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A．6 B．8 C．9 D．106．如图的方格纸上画有AB、CD两条线段，按下列要求作图：（1）请你在图（1）中画出线段AB关于CD所在直线成轴对称的图形；（2）请你在图（2）中添上一条线段，使图中的3条线段组成轴对称图形，请画出所有情形．（1）（2）7．某小区有三栋豪华住宅楼，如图所示，A、B、C为三栋住宅楼，它们之间有笔直的小路连接，中间是一块绿地，他们计划在这块地上建一座凉亭，且凉亭到三条道路的距离相等，请你用尺规作出这样的凉亭P的位置．（保留作图痕迹，不写作法）8．如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．9．如图，在△ABC中，∠A=2∠C，D是AC上的一点，且BD⊥BC，P在AC上移动．（1）当P移动到什么位置时，BP=AB；（2）求∠C的取值范围．10．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）试判断△COD的形状，并说明理由．（2）△AOD能否成为等边三角形？如能，请求出α的值；如不能，请说明理由．11．如图，设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC 上．从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1．（1）小棒能无限摆下去吗？答：．(填“能”或“不能”）（2）若已经摆放了3根小棒，则θ1 =______，θ2 =_____，θ3=_____；（用含θ的式子表示）（3）若只能摆放4根小棒，求θ的范围.12．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．参考答案知识点1：轴对称、图形的两部分．1、略知识点2：对称轴．2、略；3略．知识点3：线段的垂直平分线、线段的两端点、线段的两端点、角平分线所在的直线、角两边、角两边4、2；5、70、8；6、略；7、角平分线上点到两边距离相等∴FD=FE∠DAF=∠EAFAF公共边所以有△DAF≌△EAF所以AD=AE设DE与AF交于点G又∵∠DAF=∠EAFAG公共边∴△ADG≌△EAG∴DG=EG∠AGD=∠AGE=180/2=90°即AF垂直平分DE知识点4：等边对等角，三线合一；等角对等边．8、D9、9；10、（很简单，就略了吧！注意多种方法．）知识点5：三角都等于60度；三边相等的三角形是等边三角形、三角都相等的三角形是等边三角形、有两个角是60度的三角形是等边三角形、有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．30度所对的直角边是斜边的一半．11、4；12、B；13、证明：连接CM，AM，∵∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，∴CM=1/2BD=AM．∴△AMC为等腰三角形．∵N为AC中点，∴MN⊥AC．14、证明：在△AOB和△COD中OA=OB，OD=OC，∠AOB=60??，∠COD=60∵∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC∴∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD∴AC=BD∴∠OAC=∠OBD，∴∠APB=∠AOB= 60（2）②∠APB=α．证明：由△AOC≌△BOD可以得到∠OAC=∠OBD，利用“三角形的外角等于和它不相邻的两个外角的和”可以证明即∠BPC=∠OBD+∠BOC+∠OCA=∠OAC+∠BOC+∠OCA=180°-α，又∵∠APB=180°-∠BPC，∴∠APB=α．15、：（1）同意．如图，设AD与EF交于点G．由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．又由折叠知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°，所以∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，即△AEF为等腰三角形．16、（1）∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠B=∠ACB=45°∵BD=BA∴∠BAD=∠BDA=12（180°-∠B）=67.5°∵CE=CA∴∠CAE=∠E=12∠ACB=22.5°在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45°（2）不改变设∠CAE=x∵CA=CE∴∠E=∠CAE=x ∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x在△ABC中，∠BAC=90°∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x∵BD=BA∴∠BAD=∠BDA=12（180°-∠B）=x+45°在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=180°-(90°-2x）-x=90°+x∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=（90°+x）-（x+45°）=45°课后练习：1、MT9527；2、6；3、1；4、B;5、B;6、略；7、略．8、（1）、OA=OB=OC(2）△OMN是等腰直角三角形．证明：连接OA，∵AC=AB，∠BAC=90°，∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，∴∠NAO=45°，∴∠NAO=∠B，在△NAO和△MBO中，AN=BM，∠NAO=∠B，AO=BO，∴△NAO≌△MBO，∴ON=OM，∠AON=∠BOM，∵AC=AB，O是BC的中点，∴AO⊥BC，即∠BOM+∠AOM=90°，∴∠AON+∠AOM=90°，即∠NOM=90°，∴△OMN是等腰直角三角形．9、解：（1）∵BD⊥BC，∴△DBC是直角三角形，当P移动到DC的中点时，DP=PC=BP，∴∠C=∠PBC，∠APB=∠C+∠PBC=2∠C，又∵∠A=2∠C，∴∠A=∠APB，∴△ABP是等腰三角形，∴BP=AB；（2）根据三角形的外角性质，在△ABD中，∠BDC＞∠A，∵∠BDC+∠C=90°，∴∠A+∠C＜90°，即2∠C+∠C＜90°，解得∠C＜30°．10、⑴ΔCOD是等边三角形．理由：∵∠OCD=60°，OC=DC，∴ΔOCD是等边三角形．⑵∵∠ODC=60°，∠ADC=∠AOB=105°，∴∠ADO=45°，①AO=AD，则∠AOD=45°，∠AOC=105°，∴α=360°-2×105°=150°，②OA=OD，则∠AOD=90°，∴α=360°-105°-90°-60°=105°，③DA=DO，则∠AOD=1/2(180°-45°)=67.5°，α=360°-(105°+60°+67.5°)=127.5．∴当α为150°或105°或127.5°时，ΔAOD是等腰三角形．⑶由⑵知，∠ADO=45°，∴ΔAOD不能成为等边三角形．⑷设AC与OD相交于P，∵∠ADO=45°，∴∠DAC=45°，∴∠CBO=∠DAC=45°，在ΔACD中，∠ADC=105°，∴∠ACD=30°，∴∠BCO=∠ACD=30°，∴α=180°-(∠CBO+∠BCO)=105°．11、（1）能（2）∵小木棒长度都相等，∴∠A1A2A=∠θ，∠A2A3A1=∠θ1，由三角形外角性质，∠θ1=∠A1A2A+∠θ=2∠θ，∠θ2=∠θ+∠θ1=∠θ+2∠θ=3θ；依此类推，∠θ3=4θ，∠θ4=5θ，∵只能摆放4根小木棒，∴5θ≥90°　4θ+4θ＜180°，解得18°≤θ＜22.5°．12、（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠P AC=180°-60°=120°．根保管员应经常了解设备情况，凡符合下列条件之一的备件，应及时处理，办理注销手续：因设备报废、设备技术改造或设备外调而导致不再需要的备件，要及时销售和处理做到尽可能回收资金，不随意浪费。