计算机图形学5

第五章 自由曲线曲面
5.1曲线和曲面的表示
显式表示:y=f（x） 隐式表示:f（x，y）=0 参数表示:P(t)=[x(t), y(t), z(t)] 显式或隐式表示存在下述问题： 1）与坐标轴相关； 2）会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)； 3) 不便于计算机编程。
参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给 定参数的函数。假定用t表示参数，平面 曲线上任一点P可表示为：
C (u u ) C (u ) x(u u ) x(u) y(u u) y(u) z (u u ) z (u) , , u u u u
所以 C (u ) [ x(u ), y(u ), z(u )] 矢函数的导矢也是一个矢函数，因此也有方向 和模。矢量 [C (u u) C (u)] / u 的方向平行于割 线MM1；当u 0 时， C(u) / u 就转变为 M(u)点的切线矢量，故又称导矢为切矢。
一般称折线Ｐ 0 , Ｐ 1 , Ｐ n 为 C(u) 的控制 多边形；Ｐ 0 , Ｐ 1 , Ｐ n 各点为 C(u) 的控 制顶点。控制多边形是 C(u) 的大致形状 的勾画； C(u) 是对Ｐ 0 , Ｐ 1 , Ｐ n 的逼近。
图5.1 Bezier曲线
Bernstein基函数具有下列性质：
5)便于采用规格化的参数变量 t [0,1] 如：区间 [a,b] 可由区间 [0,1]通过仿射变换得 到,t : [0, 1 ] u [ a, b] 若 仿射变换关系为：t (u a) (b a) 直线上的插值点可以下两式表示
x (t ) (1 t ) a tb b u u a x (u ) a b b a b a
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1) 0 ) 且pi(ti1 ) p(i1) (t(i1) 0 )
2阶参数连续性，
记作 C2 连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点
处具有相同的一阶和二阶导数。
(a)0阶连续性
(b)1阶连续性
(c)2阶连续性
2.几何连续性
0阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连续性的定
此式也称为单参数的矢函数。它的参数方程为：
x x (u ) y y (u ) , z z (u )
u [u0 , un ]
2.曲线的矢函数求导
曲线的矢函数求导与数量函数的求导一样，矢 u 变为 u u 函数也可以求导。设当参数 时，矢函数对 应的位置OM 由变为 OM 1，线段对应的矢量差为：
1） 非负性： 对于所有的i,n以及 0 u 1 均有 Bi ,n 0 成立； 2） 规范性：
B
i 0
n
i ,n
(u) 1,
0 u 1
3)对称性
Bi ,n (u) Bn i ,n (1 u),
i 0,1,...,n
4)递推性
Bi ,n (u) (1 u) Bi ,n1 (u) u Bi 1,n1 (u), 5)端点性
t [0,1]
参数表示的优点
1)有更大的自由度控制曲线曲面的形状； 2)可对参数曲线曲面的方程直接进行几何变换， 而不需要对曲线曲面的每个数据点进行几何变 换； 3) 可以处理斜率无穷大的情况； 4)代数、几何相关和无关的变量是完全分离的， 对变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲 面扩展到高维空间中；
( s ) 称为曲率半径。 记 ( s) 1 / k ( s) ，
令垂直于T和N的单位矢量为B，称此矢量副 法线单位矢量：
B(s) T (s) N (s)
由切线和主法线所确定的平面称为密切平面； 由主法线和副法线组成的平面称为法平面；由 切线和副法线构成的平面称为从切面。
5． 插值、逼近和拟合
6)易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化计算；
有一空间点A，从原点O到A点的连线表示一个 矢量，此矢量称为位置矢量。 空间一点的位置矢量有三个坐标分量，而空间 曲线是空间动点运动的轨迹，也就是空间矢量 端点运动形成的矢端曲线，其矢量方程为：
C C (u ) [ x(u), y(u), z (u)]
' n 1 i 0
C(0) n( P 1 P 0 ),
C(1) n( Pn Pn1 )
相切，在点
Bezier 曲线在 P 0 点处与边 P 1P 0 处与边 Pn1 Pn 相切。 P n
3) 端点的曲率：在C(u)两端点的曲率分别为：
n 1 | P0 P 1 P 1P 2 | K (0) 3 n | P0 P | 1 n 1 | Pn 2 Pn 1 Pn 1 Pn | K (1) n | Pn 1 Pn |3
5.2 Bezier 曲线
1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造 了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法 使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心 应手。Bezier 曲线由一组折线集即Bezier 特征多 边形来曲线的起点和终点与该多边形的起点终点重 合,且多边形的第一和最后一条边表示切矢量的方向 .
义相同，满足：
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
1 阶几何连续性，记作 G1 连续性，指一阶导数在相邻段 的交点处有切矢方向相同,大小不等
2 阶几何连续性，记作 G2 连续性，指相邻曲线段在交点
处其一阶和二阶导数方向相同,大小不等。
C1连续保证G1连续，C2连续能保证 G2连续，但反过来不行。也就是说Cn连续 的条件比Gn连续的条件要苛刻。在曲线造 型中一般只用到C1、 C2 、 G1 、G2连续。
Bi ,n ( cu)
10)积分性
B
j 0
n
i, j
( c ) B j ,n ( u )
1 n 1

1
0
Bi ,n ( u ) du
2．Bezier曲线的性质 Bezier曲线C(u)具有以下性质： 1)端点性质
C(0) P0 ,
C(1) Pn
2) 端点切矢量
C (u ) n Bi ,n 1 (u )(P i 1 P i)
i 0,1,...,n
1, Bi ,n (0) 0, 1, Bi ,n (1) 0,
i0 else in else
6)最大性 : Bi ,n (u )在 u
i / n 处达到最大值；
i 0,1,...,n
7)可导性
Bi ,n (u) n[ Bi 1,n1 (u) Bi ,n1 (u)],
这是因为
C" (u) n(n 1) ( Pi 2 2 Pi 1 Pi ) Bi ,n2 (u)
i 0
n 2
C" (0) n(n 1)(P 2 2P 1 P 0) C" (1) n(n 1)(P n 2P n 1 P n 2 )
( s) k ( s) N ( s) T
单位矢量N(s)定义为曲线的主法线单位矢量，简称为 主法矢；主法矢N(s)总是指向曲线凹入的方向；而k(s) (s) T (s)称 是一标量系数，成为曲线的曲率，而矢量 C 为曲率矢量，其模就是该曲线的曲率：
( s ) k ( s ) C
3． 曲线的自然参数方程
设在空间曲线C(u)上任取一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 作为计 算弧长的初始点，曲线上其他点 M ( x, y, z )到M0 之间的弧长 s 是可以计算的（如用弧长积分公 式或累计弦长公式），这样曲线上每个点的位 置与它的弧长之间有一一对应关系。以曲线弧 长作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线 的自然参数方程，弧长则称为自然参数：
4． 曲线的法矢量 设空间曲线的自然参数方程为 C=C(s)，曲线 的切矢为单位矢量，记为T：
( s) T ( s) C 因为 ((T (s))2 ，对左式求导，得到： 1
可以认为：
( s) 0 2T ( s) T (s) 垂直，鉴于 T ( s) 不是单位矢量， 说明T (s),T
型值点：是指通过测量或计算得到的曲线或曲面上 少量描述其几何形状的数据点。 控制点：是指用来控制或调整曲线曲面形状的特殊 点，曲线曲面本身不一定通过控制点。 插值和逼近：这是曲线曲面设计中的两种不同方法。 插值设计方法要求建立的曲线曲面数学模型，严格 通过已知的每一个型值点。而逼近设计方法建立的 曲线曲面数学模型只是近似地接近已知的型值点。 拟合：是指在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼 近的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求。
假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：
pi pi (t )
1.参数连续性
t[ti0 , t i1]
0 阶参数连续性，记作 C0 连续性，是指曲线的几 何位置连接，即
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
1阶参数连续性
记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相
交点处有相同的一阶导数：
C (u ) C (u u ) C (u )
其变化率为
C (u ) C (u u ) C (u ) u u
当 u 0 时，这个矢量的极限叫做c(u)的一阶导矢， 记为 C (u ) 或： dC(u ) / du
又设 因为
r (u) [ x(u), y(u), z(u)]
6. 连续性
设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成 ，这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题。 曲线间连接的光滑度的度量有两种： 一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在 连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类 光滑度称之为Cn或n阶参数连续性。 另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满 足不同于Cn的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续 性，简记为Gn。 Cn连续包含在Gn连续之中。