《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数阅读与思考对数的发明...》327PPT课件
高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数探究与发现互为反函数...》233教案教学设计 一等奖名师
互为反函数的两个函数图象之间的关系教案一、教学目标1、了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。
2、由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，采用自主探索，引导发现的教学方法，同时渗透数形结合思想。
3、通过图像的对称变换让学生感受数学的对称美与和谐美，激发学生的学习兴趣。
二、教学重难点重点:互为反函数的函数图像间的关系。
难点:自主探索得出数学规律。
三、教学过程（一）复习旧知1、当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的值域作为一个新的函数的定义域，而把这个函数的定义域作为新的函数的值域，我们称这两个函数。
2、点P(m,n)与点Q(n,m)有怎样的位置关系？3、指数函数10aayax且与对数函数10log且axya互为。
4、怎样求一个函数的反函数？（1）求原函数的值域；（2）反解：y=f(x)得x=f(y)；（3）互换：x、y互换位置，得y=f-1(x)；（4）写定义域：根据原来函数的值域，写出反函数及其定义域；（二）课堂探究问题1：画出函数2xy，xylog2，xy的图像，取2xy图像上的几个点.2,1,1,0,21,1321PPPPPP321,,关于直线y=x的对称点的坐标是什么？它们在xylog2的图像上吗？为什么？问题2：如果yxP000,在函数2xy的图像上，那么P0关于直线y=x的对称点在函数xylog2的图像上吗？为什么？问题3：由此你们能发现指数函数2xy及其反函数xylog2的图像有什么关系吗？结论：函数y=log2x的图像与函数y=2x的图像关于直线y=x 对称且单调性相同。
问题4：由上述探究过程可以得到什么结论？结论：函数y=f(x)的图像和它的反函数的图像关于直线y=x 对称且单调性相同。
思考1:如果两函数的图像关于直线y=x对称，那么这两个函数有什么关系？思考2：如果一个函数的图像关于y=x对称，那么它的反函数是什么？问题5：上述结论对于指数函数10aayax且及其反函数10log且axya也成立吗？为什么？54321-1-2-4-2246(a>1)y=logax(a>1)y=ax（三）例题讲解例1：例1：已知函数42xxf,求51f的值？例2：求函数y=2x-2（x∈R）的反函数，并根据原函数和它的反函数的图象关系画出函数图像。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1对数与对数运算第一课时对数课件新人教A版必修13
log3 x, x 0, (2)若函数 f(x)= 3x , 1 x 0, 求 f(f(f(-2-
3x 2 , x 1,
2 ))).
(2)解:因为-2- 2 <-1,所以 f(-2- 2 )=- 32 2 2 =- 1 . 9
(4)因为 logx64=-2, 所以 x-2=64,所以 x= 1 .
8
题型二 对数的简单性质 [例2] 求下列各式中的x. (1)log3(x2-1)=0;
解:(1)因为 log3(x2-1)=0,
所以
x 2
x
2
1 1
0, 1,
所以 x=± 2 .
(2)log(x+3)(x2+3x)=1.
又- 1 ∈(-1,0],所以 f(f(-2-
2
))=f(-
1
)=
3
1 9
.
9
9
因为
3
1 9
>0,所以
f(
3
1 9
)=log3
3
1 9
=-
1
.即原式=-
1
.
9
9
学霸经验分享区
(1)指数式与对数式互化时的技能及应注意的问题 ①技能:若是指数式化为对数式,只要将幂作为真数,指数当成对数 值,而底数不变即可;若是对数式化为指数式,则正好相反. ②注意问题:利用对数式与指数式间的互化公式互化时,要注意字母 的位置改变;对数式的书写要规范:底数a要写在符号“log”的右下 角,真数正常表示. (2)对数性质的运用技能 logaa=1及loga1=0是对数计算的两个常用量,可以实现数1,0与对数 logaa及loga1的互化.
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质教材梳理素材新人教A版必修1(new)
2。
2。
2 对数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、对数函数及其性质1.对数函数一般地，函数y=log a x （a>0，a ≠1）叫对数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是（0,+∞）。
因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）,指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的。
只有形如y=log a x （a>0，a ≠1，x>0)的函数才叫对数函数。
像y=log a (x+1）,y=2log a x ，y=log a x+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数。
对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践.2.对数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=log 2x 及y=log 1/2x 图象列出x ，y 的对应值表，用描点法画出图象：描点即可完成y=log 2x,y=x 21log 的图象，如下图.0 1 2 4 8 x—1—2 y=log 1/2x-3s由表及图可以发现:我们可以通过函数y=log 2x 的图象得到函数y=log 0。
5x 的图象．利用换底公式可以得到：y=log 0。
5x=-log 2x ，点（x,y)与点(x,-y ）关于x 轴对称，所以y=log 2x 的图象上任意一点(x ，y ）关于x 轴对称点(x ，-y ）在y=log 0。
5x 的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log 2x 的图象画出函数y=log 0.5x 的图象．方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象,其关键是作出三个特殊点（a 1,-1),（1，0)，(a ，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法。
"②函数y=log a x 与y=x a 1log 的图象关于x 轴对称。
（2）对数函数y=log a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示: a ＞1 0＜a ＜1图 象定义域（0，+∞） 值 域R 性 质 （1)过点（1,0），即x=1时，y=0要点提示（1）对数函数的图象恒在y轴右方.（2)对数函数的单调性取决于它的底数。
人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 阅读与思考 对数的发明》赛课导学案_27
【课题】2.2.1 对数【教材】人教A版普通高中数学必修一第62页至第64页【教材分析】一．教学分析设计【教材分析】本节课的主要内容包括对数的概念、对数与指数的互化和对数的运算性质，这是学生学习对数函数的基础.教材借助例题中的指数函数，由“已知底数和幂的值，求指数”直接引出对数的概念。
这种引入方式虽然直截了当地指出指数和对数的互逆关系，但是对于大部分学生而言太过于抽象，学生难以通过定义了解对数是如何计算和它最初是如何被发明的，也就很难体会到对数强大的简化运算的功能，以及引入对数的必要性.【学情分析】（一）教学有利因素：认知基础：学生已经学习了指数及指数函数的值域、单调性等知识，以及加法和减法、乘法和除法、乘方和开方之间的互逆关系，因此可以较为容易地接受指数与对数的互逆关系，并由此得到对数的概念;（二）教学不利因素：认知障碍：用对数符号来表示指数x；【教学目标与分析】目标分析•结果性目标：1.理解对数的概念，能说明对数与指数的关系；2.掌握指数式与对数式的互化, 了解对数恒等式；•体验性目标：1.经历对数概念的提出过程，感受引入对数的必要性，领悟对数强大的简化运算的功能，同时学习将乘除、乘方开方转化为指数的加减乘除运算的化归思想；2.通过类比减法、除法、开方运算学习对数概念的过程，学习类比思想和垂直数学化的思想；【教学重点】对数的概念、对数式与指数式的互化；【教学难点】对数概念的理解【教学方法】问题驱动、引导探究二．教学实施设计通过几何画板的动态展示，将132和156分别表示成x2，再用同样的方法即可解出近似解。
a a=这样化简运算的关键是：给定，把N写成是【教学反思】。
高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数阅读与思考对数的发明...》365教案教学设计 一等奖
课堂教学设计课题：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角授课时数：1课时设计要素设计内容教学内容分析平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
教学目标知识与技能⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；过程与方法经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
情感态度价值观引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴趣。
注重培养学生的动手能力和探索能力；同时通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想。
学习者特征分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
教学分析教学重点平面向量数量积的坐标表示，以及有关的性质教学难点难点平面向量数量积的坐标表达式的推导解决办法利用平面向量数量积的意义、运算律等的知识得出新知，学生要多加练习。
教学策略本节课主要采用启发诱导、观察、归纳、分析等教学方法。
在教学过程中，注意学生的主体地位，依据学生已有的知识经验和思想基础，复习引入，创设疑问，引导学生观察、分析、归纳，推导出公式，引导学生运用公式解决问题。
教学资源教材P106—P107，2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角板书设计2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角⑴向量共线的条件⑴正交分解下向量的坐标表示⑵向量垂直的条件⑵平面向量数量积的意义、运算⑶向量的数量积⑷向量的模练习（5）两向量的夹角的坐标表示公式教学过程教学内容教学环节教师活动学生活动教学媒体使用预期效果一、回顾复习二、新课讲授⑴向量的模⑵平面内两点间的距离公式⑴正交分解下向量的坐标表示；⑵平面向量数量积的意义、运算律。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.1对数
探究一 对数运算性质的应用
【例 1】计算下列各式的值: (1)log2 (2)lg
7 96 2 52+ lg 3
+log224- log284;
2
1
8+lg 5· lg 20+(lg 2) 2.
1 1 √7×24 =log2 =- . √96× √84 √2 2
分析:利用对数的运算性质进行计算 . 解:(1)(方法一 )原式=log2 (方法二 )原式 1 7 1 = log2 +log2(23×3)- log2(22×3×7) = log27- log2(25×3)+3+log23- 1- log23- log27=- ×5- log23+2+ l og23=- +2=- . (2)原式 =2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2 =2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=2+1= 3.
lg243 lg9
= lg 32 = 2lg3 = 2.
lg 35
5lg3
5
探究二 换底公式的应用
【例 2】 计算下列各式的值: (1)log89· log2732; 解:(1)原式= (2)原式 = =
lg3 2lg2 lg2 lg3 lg9 lg2 lg3 10
(2)(log43+log83)
第二章 基本初等函数（I）
2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算
第二课时 对数的运算性质
学习目标
学 习 目 标 1.掌握对数的运算性质,并能运 用运算性质化简、求值. 2.了解对数的换底公式及其应 用. 3.初步掌握对数在生活中的应 用. 思 维 脉 络
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质讲义3 新人教A版必修1
[解析] 解法一 首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝
loga(－x)只可能在左半平面，从而排除A、C. 其次，从单调性着眼．y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反 ，又可排除D.∴应选B.
∴由对数函数的单调性，得 log0.71.1>log0.71.2. 又∵log0.71.2<log0.71.1<0， ∴log01.71.1<log01.71.2， 即 log1.10.7<log1.20.7. 另外，也可以利用对数函数图象，当底数大于 1 时，底数 越大，在直线 x＝1 左侧图象越靠近 x 轴，由右图所示，可知 log1.10.7<log1.20.7.
[解析] (1)方法一：∵f(x)是定义域为 R 的奇函数， ∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1， ∴f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)， ∴k＝1 符合题意． 方法二：∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x， 又 f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立， ∴k－＝11＝，－k， 解得 k＝1.
2．要注意从多角度分析问题，培养思维的灵活性．
跟踪练习
将本例中条件改为 a>1，则函数 y＝a－x 与 y＝logax 的图象 是( )
[答案] A
[解析] ∵a>1，∴y＝logax 在(0，＋∞)上为增函数，∴C、 D 排除．
又∵y＝a－x＝(1a)x,0<1a<1， ∴y＝a－x 在(－∞，＋∞)上为减函数，故选 A.
题型讲解
命题方向一 指、对数式的运算
《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数阅读与思考对数的发明...》329PPT课件
1 8=2x
2 4…
y=2x
1 024=2x
8 192=2x
2x=8, x = ？ 2x=1 024,2x=8 192， x = ？
这是已知底数和幂的值，求指数的问题， 即指数式ab=N中，已知a 和N，求b的问题，
这里 a 0且a 1.
为了解决这类问题，引进一个新数——对数．
1.理解对数的概念；（重点） 2.能够说明对数与指数的关系； 3.掌握对数式与指数式的相互转化．（难点） 4.并由此求一些特殊的对数式的值.(重点）
2x 128
如何求 x 的值呢？
实例2 我们研究指数函数时,曾讨论过细胞分裂问题,某
种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个…….1 个这样的细胞分裂x次后,得到细胞个数y是分裂次数x 的函数,这个函数可以用指数函数y=2x，x∈N表示。
反过来,1个细胞经过多少次分裂,大约可以 得到8个、1 024个、8 192个……？已知细胞个 数为y，如何求分裂次数x?
探究一 对数的概念
一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1), 那么数x叫做以a为底N的__对_数__，记作 x=_l_o_ga_N_. 其中a叫做对数的_底__数__，N叫做__真_数__.
loga N b
底数 真数 对数
思考1：式子ax=N与x=logaN中，a,N的取值范围如何？ 提示：a＞0，且a≠1,N＞0.
答 由于对数式中的底数 a 就是指数式中的底数 a，所 以 a 的取值范围为 a>0，且 a≠1；由于在指数式中 ax＝ N，而 ax>0，所以 N>0.
思考2：对数概念中为什么规定a＞0,且a≠1？ 提示：
(1)a＜0时，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运
《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数阅读与思考对数的发明》377PPT课件
(5) lg 0.01 2 (6) ln 10 2.303
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两种特殊的对数
(5) lg 0.01 2
(6) ln 10 2.303
①常用对数：以10为底的对数
log10 N 记为 lg N ②自然对数： 以无理数e=2.718......为底的对数
loge N 记为 ln N
11/19
(3)lg 1000 3
(4)lg 0.001 3
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探索
log2 2
发现： log a a
log2 1
log 2 1
3
log x 1 x 0且x 1
loga 1
lg10 lg1 ln e ln 1
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提高训练
求下列各式中 x 的值
19/19
作业：
P64. 2(3)(4)、4 P74. 1、2
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知识应用
例2：求下列各式中的x的值
2 (1) log64 x 3
(2) log x 8 6
(3) lg 100 x
(4) ln e2 x
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知识应用
3. 求下列各式的值
(1) log5 25
(1)log5 25 2
(2)
log2
1 16
1 (2) log2 16 4
(3) lg 1000 (4) lg 0.001
今天，随着计算机的迅猛发展，对数表就像过时的法律 一样被废弃了，但对数已成为数学的精髓部分，是每一个中 学生必学的内容。
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恩格斯把对数的发明称为17世纪数学的三大成就之一。 开普勒利用对数表简化了行星轨道的复杂计算。 伽利略发出豪言壮语：“给我时间、空间和对数，我 可以创造出一个宇宙来。” 数学家拉普拉斯说：“对数用缩短计算的时间来 使天文学家的寿命加倍”。
《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数阅读与思考对数的发明...》353PPT课件
3、两个重要对数 ①常用对数：以10为底的对数 ,简记为: lgN ②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对 数
简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e为底的对 数) 注意：两个重要对数的书写
（三）归纳小结 强化思想
（四）总结反思, 专项训练
（一）创设情景、提出问题
对数在天文学、生物学、化学等方方面面 都有着广泛的应用。有人说，对数的发明 延长了天文学者的寿命！
（一）创设情景、提出问题
• “对数表”及自然对数的出现给数学界带 来了一场革命！
（一）创设情景、提出问题
(二)问题驱动，探究新知
2、对数式与指数式的互化： 幂底数 ← a → 对数底数 指数 ← b → 对数 幂 ← N → 真数 思考： ①为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1？ ②是否是所有的实数都有对数呢？
阅读与思考 ----对数的发明与运用
唐山市第二中学 王超伟
（一）创情景、提出问题
伽利略说：给我时间、空间和对数，我就 能创造新宇宙。 体现出对对数的赞美！
（一）创设情景、提出问题 哥伦布发现了新大陆，伽利略创造了新宇宙！
（一）创设情景、提出问题
对数作为一种计算方法，它最大的优势在 于，应用对数，乘法和除法可以转化为简 单的加法和减法！
人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 阅读与思考 对数的发明》示范课件_29
欧拉在1748年引入了以a为底的x的对数logax这一表示形式， 以作为满足ay=x的指数y。并对指数函数和对数函数作了深入 研究。而复变函数的建立，使人们对对数有了更彻底的了解。
对数的运用
1620年，哥莱斯哈姆学院教 授甘特试作了对数尺。
没有什么比大数的乘、除、开方运算更让 数学工作者头痛、更阻碍计算的了。这不仅 浪费时间，而且容易出错。因此，我开始考 虑怎样消除这些障碍。经过很长时间的思考， 我终于找到一些漂亮的法则……
对数发明的原理
纳皮尔借助运动概念与连续的几何量的结合研究。 纳 皮尔画了两条线段，设AB是一条定线段，CD是给定的 射线，令点P从A出发，沿AB变速运动，速度跟它与B 的距离成比例地递减。同时，令点Q从C出发，沿CD作 匀速运动，速度等于P出发时的值，纳皮尔发现此时P、 Q运动距离有种对应关系，他就把可变动的距离CQ称 为距离PB的对数，
对数表的发明
。
数学、天文学教授 布里格斯（Briggs， 1561—1631）
对数发表后不久，就使伦敦的一位数学 、天文学教授布立格斯（Briggs， 1561—1631）感到震惊，由于他最先 认识到对数在数字计算中的极端重要性 ，故于1616年亲自去苏格兰拜访纳皮尔 ，两位数学家见面后十分高兴，并进行
他把对数称为人造的数。对数 这个词是纳皮尔创造的，原意 为“比的数”。 他研究对数用 了20多年时间，1614年，他出 版了名为《奇妙的对数定理说 明书》的著作，发表了他关于 对数的讨论，并包含了一个正 弦对数表。
对数缔造者
苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617）
对数是英国苏格兰人纳皮尔（ Napier）首先创建的，纳皮尔于 1550年生于苏格兰，十三、四岁 时即上大学学习，后又去外国留 学，二十一岁时重返苏格兰。 纳皮尔对数字计算恒有研究，于 1594年左右发明了对数，他的重 要著作《奇妙的对数定律说明书 》于1614年在爱丁堡出版，这是 数学史上一项重大的发明 纳皮尔一生先后为改进计算得出 了球面三角中的“纳皮尔比拟式” 、“纳皮尔圆部法则”以及作乘除 用的“纳皮尔算筹”而为制作对数 表他花了整整20年时间。
人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 阅读与思考 对数的发明》赛课导学案_11
2.2.2 对数函数及其性质（第一课时）第二章第二节第一课时一、内容和内容解析1.内容对数函数的图象与性质2.内容解析本节的主要内容是在学习了指数函数与对数的运算的基础上研究对数函数的图象及其性质，为后面函数的应用学习做准备，有着承前启后的作用和意义.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：对数函数的图象及其性质二、目标和目标解析1.目标（1）理解用描点画图的方法.（2）会根据指数函数的图象及性质作出对数函数的图象.（3）熟练掌握用函数图象研究函数性质的方法.2.目标解析（1）明确函数作图的方法就是描点作图法，即“五点作图法”一般适合于作简图，用以判断图象形状、得出函数性质和用于数形结合解题.（2）类比指数函数图象的研究方法，对数函数作图也需描点法，并注意定义域（3）描点法画出图象，从中看出图象形状、范围、性质，主要用于数形结合解决问题.三、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用ppt课件，快速、精确的对数函数图象，另外通过动态的演示，观察相关函数图象之间的关系，研究图象的平移变换，进而探索不同底函数的图象.四、教学过程分析（一）创设情境回顾前面学习过的指数函数的研究流程：定义、解析式、函数图象、性质及应用.设计意图：采用类比的方式，不仅调动了学生的积极性，同时又紧扣主题，为本节课的学习进行了方法上的准备.（二）知识链接1.研究函数的一般流程是什么？2.描点法画图象的步骤是什么？3.对数函数的定义是什么？4.对数函数与指数函数的关系是什么？理论依据是什么？师：前面我们学习过指数函数，从中体会出研究函数的流程为：定义、解析式、函数图象、性质及应用，本章我们已经学习了指数函数的定义及解析式，今天我们就一起学习对数函数的图象.设计意图：通过复习研究函数的流程、描点法画图象的步骤及对数的运算为学习画对数函数的图象奠定基础，同时提出问题，明确本节课的学习任务.（三）探究图象探究一：对数函数的定义？1.回顾指数函数的定义2.举例引出对数问题3.类比指数函数得出对数函数的定义探究二：如何作出正弦函数的图象？1.描点法作图的三个步骤是什么？列表描点连线.x的图象，选取哪些点？作图准确吗？2.先画y=log2教师先肯定学生的思维和方法的正确性，然后再指出不足和可以改进的几点：①尽量要能口算；②单位长度要精确.设计意图：首先让学生独立画图，充分暴露学生存在问题，关注画图的基本步骤及每个细节的处理，培养学生画图象的能力，为再次画图，使学生及时巩固已获得的作图经验.回顾旧知：指数函数的性质：图象、定义域、值域、特性、单调性等探究三：对数函数的性质？定义域： ( 0 , + ∞ )值域： R定点： ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0单调性：在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数例题探究：例1. 求下列函数的定义域：(1) y=logax2; (2) y=loga(4-x);学生活动：由学生先尝试，然后学生代表展示成果.教师追问：函数定义域有哪些要求？学生：用自己的语言总结.设计意图：通过两个题目巩固函数定义域的求法.例2 比较下列各组数中两个值的大小：(1) log23.4,log28.5(2) log0.31.8,log0.32.7(1) (3) loga5.1,loga5.9 ( a ＞0,且a ≠1 )学生活动：由学生先尝试，然后学生代表展示成果.设计意图：通过进一步的练习，以此巩固函数的性质及其运用.六.课堂小结这节课你有什么收获？有什么疑惑？学生活动：学生发言交流自己的收获，其他同学补充．教师：屏幕上展示总结内容设计意图：通过本环节，培养学生归纳概括的能力，通过类比指数函数与对数函数，给学生留下深刻印象.七.布置作业p74 习题 2.2（A组）第7题，第8题设计意图：根据本节课教学的重点和难点，让学生在数学上都得到发展.预习作业有助于学生更好把握本节课的内容.。
人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 阅读与思考 对数的发明》示范课件_18
三.对数发明的前奏
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768
根据以上叙述，我们一起来尝试把开始的四道计算题做一点 改写，使运算简化．
1 32 256 25 28 258 213 8192
指数 幂
ab N
对数 真数
log a N b
底数
四.对数的产生
log28 log232
log2256
log22048
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768
四.对数的产生
求下列各式的值
1 log3 27 92
3
log 5
3
log 5
1 3
2 log2 6 log2 3 4 log3 5 log3 15
五.对数发明历程的总结
1.人类最初为了解决繁难的大数运算不断寻求突破， 从而有了对数思想的萌芽和对数的诞生，同时困难也 迎刃而解，真是思路决定出路，没有创新就无法突破。
例题：将下列指数式与对数式进行互化.
1 54 625
2 2a 152
3 log3 27 3
4
1 log2 8 3
四.对数的产生
对于一般的ax N a 0, a 1，若已知a和N需要求出指数x，
则记为x loga N，我们把x称作以a为底N的对数，其中a叫 做底数，N叫做真数.
人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 阅读与思考 对数的发明》示范课件_16
某种放射性物质不断变化为其他物
思
质,每经过1年，这种物质剩留的质量是 原来的84％，若该物质的最初质量是1，
考 那么经过x年后，该物质的剩留量y与x的
函数关系式是什么？
y 0.84x
一.问题情境
新问题： （1）反过来，知道了该物质的剩留量y， 如何求出经过的时间x呢？ （2）特别地，经过多少年这种物质的剩 留量是原来的一半？
2
64 3
1
2
64 3
1 16
1
1
2因为log
注意到：底数x大于0且不等于1
看谁先学会!
练习1：将下列指数式与对数式互化.
1 23
8;
2
1
27 3
1 3
;
3
log5
125
3; 4 log3
1 81
③ loga an n
2
解 : 1因为54 625 2因为log1 16 4,
2
所以log5 625 4
所以
1 2
4
16
例2：求下列各式中x的值：
1 log64
x
2 3
; 2 logx
8
6
分析：要求x把对数式化为指数式
解 : 1因为log64
x
2 3
所以x
4
练习2：求下列各式的值.
1
log5
25;
2
log
2
1 16
;
3
log
0.4
1;
4
人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 阅读与思考 对数的发明》示范课件_26
⑻ y=4- x
=(
1
4
)x
√⑼
y=(2a-1)x(a＞
1
2
且a≠1)
√⑽ y=42x =16x
图象和性质
y
y (1)x
y (1)x
3
2
y 3x y 2x
1
o -3 -2 -1 1 2 3
y=1 x
指数函数的图象和性质
a
y=ax y=ax
y
图
(a>1) (0<a<1)
为 y=0.85x .
4.某种产品的年产量为1万吨，以后每年的产量 都比前一年提高5％，设x年后的产量为y万吨，则y
与x的关系式为yx =1.05 .
第
第
第
第
分裂 一
二
三
四
次
次
次
次
次数
一
个
细 胞
表达式
y=2x
第x次
…...
细胞
总数 y 21
22 23
24 …... 2x
y=2x
y=(
1 2
)x
y=0.85x
yx =1.05
问题1: y与x之间是函数关系吗? 问题2: y与x之间是什么形式的函数
关系呢?
定义
一般的,形如 y=ax(a＞0,a≠1) 的函数叫指
数函数,其中x是自变量, 函数的定义域是R。
判断:下面哪个函数是指数函数?
√⑴y=4x ⑵ y=x4 ⑶ y=﹣4x ⑷ y=(﹣4)x
√ √ ⑸ y=πx ⑹ y=4x2 ⑺ y=xx
归纳:比较两个不同底数幂的大小时,通常 引入第三个数作参照.
例3: 已知下列不等式，比较m、n的大小。
人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 阅读与思考 对数的发明》_3
对数的发明对数的发明是约翰·纳皮尔。
纳皮尔研究对数的最初目的，就是为了简化天文问题的球面三角的计算，他也是受了等比数列的项和等差数列的项之间的对应关系的启发。
纳皮尔在两组数中建立了这样一种对应关系：当第一组数按等差数列增加时，第二组数按等比数列减少。
于是，后一组数中每两个数之间的乘积关系与前一组数中对应的两个数的和，建立起了一种简单的关系，从而可以将乘法归结为加法运算。
在此基础上，纳皮尔借助运动概念与连续的几何量的结合继续研究。
纳皮尔画了两条线段，设AB是一条定线段，CD是给定的射线，令点P从A出发，沿AB变速运动，速度跟它与B的距离成比例地递减。
同时，令点Q从C出发，沿CD 作匀速运动，速度等于P出发时的值，纳皮尔发现此时P、Q运动距离有种对应关系，他就把可变动的距离CQ称为距离PB的对数。
当时，还没有完善的指数概念，也没有指数符号，因而实际上也没有“底”的概念，他把对数称为人造的数。
对数这个词是纳皮尔创造的，原意为“比的数”。
他研究对数用了20多年时间，1614年，他出版了名为《奇妙的对数定理说明书》的著作，发表了他关于对数的讨论，并包含了一个正弦对数表。
b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。
相应地，函数y=logaX叫做对数函数。
对数函数的定义域是（0，+∞）。
零和负数没有对数。
底数a为常数，其取值范围是（0，1）∪（1，+∞）。
一般默认当a=10时，写作：lgb=n。
对数发明的现实意义是化简了大数据的计算。
随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急。
纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数方法是苏格兰的Merchiston 男爵约翰·纳皮尔1614年在书《Mirifici Logarithmorum CanoniDescriptio》中首次公开提出的，（Joost Bürgi独立的发现了对数；但直到Napier 之后四年才发表）。
高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数阅读与思考对数的发明...》346教案教学设计 一等奖
1对数函数（第一节）教学目标：1、掌握对数函数的概念和图象，理解并记忆对数函数的图象和特征；2、培养数形结合的思想，分析推理的能力；3、培养科学严谨的态度。
教学重点：对数函数的概念、图象和性质及其应用。
教学难点：图象与性质的应用。
教学方法：启发式教法教学用具：多媒体、直尺教学过程：一、课题导入二、探索研究（一）1、求函数xxxyyy10,)21(,2的反函数（学生口答）xyxxyxxylg0,log0,log212这些反函数都具有什么样的共同特征？2、定义：指数函数)1,0(aaayx的反函数)1,0(logaaxya叫做对数函数，其定义域为),0(，值域为R。
3、你有哪些方法可作出对数函数xy2log的图象？方法1：利用对称性方法2：描点作图4、利用几何画板演示对数函数的图象，从图象中引导学生分析对数函数的性质。
5、设问：①、为什么对数函数的图象均在y轴的右边？那么函数)1(logxya的图象又在哪一条直线的右边？②、对数函数的图象一定经过哪一个定点？为什么？那么函数)1(logxya又经过哪一个定点？③、试讨论函数)1,0(logaaxya的单调性。
④、对数函数的图象总有一部分在y轴的上方，另一部分在y轴的下方,请问：什么时候y>0？什么时候y<0？⑤、底数a对函数的图象的走式有什么样的影响？2思考：函数xyxyxyxydcbalog,log,log,log的图象如图所示，则a、b、c、d的大小关系是：6、列表学生填a>10<a<1图象性质①、定义域：②、值域：③、当x=时，y=；即图象过定点：④、单调性：④、单调性：⑤、函数值的变化情况：⑤、函数值的变化情况：xyalogxyblogxyclogxydlog3（二）基础知识训练1、作出函数xxy313loglog和的草图2、求下列函数的定义域3、①、函数15xy的反函数为②、函数y=loga(4-x)的反函数为.（三）知识应用研究比较下列各组中两个数间的大小三、小结：1、对数函数的图象与性质。
高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数阅读与思考对数的发明...》374教案教学设计 一等奖
对数的发明1.阅读材料，理清脉络学生阅读必修1P68的“阅读与思考”，并回答以下问题【问题1】对数是在什么背景下发明的，它的发明对社会产生了怎样的影响？【问题2】对数的发明者是谁？你能理解他所描述的对数定义吗？【问题3】谁令对数更为广泛的流传？他采用了什么方法改进？【问题4】为什么对数的运算不是在由指数推出？谁发现了指数与对数的关系？2.师生互动，突破难点假设有两个质点P和Q分别沿着线段AB和射线CD,以同样的初速运动,其中质点Q沿直线CD匀速运动,而质点P在线段AB上任何一点的速度等于它到端点B的距离。
Napier定义CQ为PB的对数，也就是说，设x=CQ、y=PB,则x＝Naplogy（Naplog是纳皮尔对数的符号）。
当P和Q从A和C出发时，其初速度的数值等于线段AB的长度(设为y0)，此后在相等时间间隔情况下，时刻t1,t2,t3,t4，时,Q位于C1,C2,C3,C4，，P位于A1,A2,A3,A4，。
由于Q沿CD 做匀速运动，C,C1,C2,C3,C4，，是等距的，Q与端点C的距离形成等差数列0,y0△t,2y0△t,3y0△t,4y0△t,，而A,A1,A2,A3,A4,与端点B的距离形成等比数列23400000(2-t)2-t2-t2-t,,(),(),(),(2+t)2+t2+t2+tyyyy y如何建立x与y的函数关系呢?X与Y的关系：01022yyxttty根据微积分理论，ett12t-21，△t→0时，则可得到010yxeyyNapier认为，质点运动的时间间隔△t应尽量小，他选择了7211100.99999992tte相应722101t为了避免小数的麻烦,他又规定70Y=10，7710110()xyeNapier的核心思想是从等差数列与等比数列的关系中定义对数,Napier没有底的概念。
他从连续的几何量出发，定义的对数是连续的.由数列定义的对数是离散的。
3.对比运算，体验简便常用对数表使用说明1、整数部分是一位非零数字。
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现）．由于当时舒开并不力图解决这个问
题，因此他仅提出了这个发现，而没加以 深入地研究．
半个世纪后，同样的事实再次被德国
数学家史提非提出．史提非以如下一组数 列为例指出：“等比数列中数的乘、除、乘 方、开方可以转化为等差数列中数的加、 减、乘、除来实现．”
• 如4×8，因为4和8对应的等差数列的数分 别是2和3，而2+3=5，所以4×8的结果是5 所对应的等比数中的数32．又如82，因为8 对应的等差数列中的数是3，3×2=6，所以 82的结果是6所对应的等比数列中的数64．
• （三）、两个重要对数 • ①常用对数： • 以10为底的对数 简记为: lgN • ②自然对数： • 以无理数e=2.71828…为底的对数的对数 • 简记为: lnN . • 注意：两个重要对数的书写 • 1 将下列指数式写成对数式：
• (四)、对数的性质 • 探究活动1 • 求下列各式的值：
能不能使乘（除）直接向加（减）转化呢？ 能！1484年，法国数学家舒开（Chuquet，?— 1500）通过把等差数列与等比数列，如：
0，1，2，3，4，… 等差 1，2，4，8，16，… 等比 或 0，1，2，3，4，… 等差 1，3，9，27，81，… 等比
• 比较发现：等比数列中任何两项的积，可 以用与这两项序号对应的等差数列的和来
• 创设情境，引入新课
• 引例
• 1、一尺之棰，日取其半，万世不竭。
• （1）取5次，还有多长？
• （2）取多少次，还有0.125尺?
• 分析:(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易 得
• (2)可设取心2000年发表的 《未来20年我国发展的前景分析》，2002 年我国GPD为a亿元，如果每年平均增长 7.3%，那么经过多少年GPD是2002年的2倍？
•
年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写
文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。其时传出天主教的西班牙要
派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。
虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。
对数的概念
教案背景
• （对数的起源）介绍对数产生的历史背景 与概念的形成 过程，体会引入对数的必要性；设计意图：激发学生学 习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神．学生是 教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调 动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我 利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从 中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重 难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、 探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点 和提高教学效率。
• 知识目标：1.理解对数的概念,了解对数与指数 的关系；2.掌握对数式与指数式的互化；理
• 解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。
• 能力目标： 1.通过事例使学生认识对数的模型， 体会引入对数的必要性；2.通过师生观察分析 得出对数的概念及对数式与指数式的互化。通 过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性 质。培养学生的类比、分析、归纳，等价转化 能力。
•
布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格
宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，
了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学
家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．
•
布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的
对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）
运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的
•
•
这里，等差数列中的1，对应于等比数列中的
（1.0001）104．就是说，布尔基在造表时，把对数
的底取为（1.0001）104=2.71814593…，与自然对数
的底e=2.718281828…相差不远．但需要的指出是，
无论是布尔基还是后面要讲到的耐普尔，他们都没
有关于对数“底”的观念．因为他们都不是从ax=N的
在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis
descriptio"）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里
格斯，1561 - 1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这
两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实
用的对数表必须包括所有要乘的数在内．
• 为了做到这一点，布尔基采取尽可能细密地列出等 比数列的办法．他给出的等比数列相当于： 1，1.0001，(1.0001)2，(1.0001)3，…，（1.0001） 104，… 其相应的等差数列是： 0，0.0001，0.0002，0.0003，…，1，…
• 情感目标：培养学生大胆探索，不断创新的研 究精神；培养学生严谨的思维品质。使学生认 识到数学的科学价值，应用价值和文化价值
• 重点 ：（1）对数的概念；（2）对数式与 指数式的相互转化。
• 难点 ：（1）对数概念的理解；（2）对数 性质的理解
教学方法
• 探索、类比、等价转化、归纳等数学方法
教学过程
• 创新探究，进入新课
• （一）、对数的概念
• 一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N, 就是 =N
那么数 b叫做 a为底 N的对数,记作 ，
，a叫
做对数的底数,N叫做真数。
• 注意：①底数的限制:a>0且a≠1
•
②对数的书写格式
• （二）、对数式与指数式的互化
• 幂底数 ← a → 对数底数 • 指数 ← b → 对数 • 幂 ← N → 真数 • 思考： • ①为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1？ • ②是否是所有的实数都有对数呢？ • 结论：负数和零没有对数
• 思考：你发现了什么？ • 结论：“1”的对数等于零，即 • 类比：
• （五）、巩固练习
• 1、课本P64 练习
• 2、提高训练
• (1)已知x满足等式
，
• （2）求值：
教学反思
• 本教学设计先由引例出发，创设情境，激 发学生对对数的兴趣；在讲授新课部分， 通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探 究活动，加深学生对对数的认识；最后通 过课堂练习来巩固学生对对数的掌握。在 整个教学中，以学生为主体，以小组讨论 的形式学习本课内容，培养了学生严谨的 数学素养和勇于探索的创新精神
也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力
义域是a>0且a≠1。
•
对数的历史
• 约翰·纳皮尔/约翰·奈皮尔/约翰·内皮尔（John Napier，1550～1617），苏格兰数学家、神学家， 对数的发明者。Napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（Merchiston Castle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。
耐普尔借助于质点运动建立起来的对数概念， 其原理仍不外乎等比数列与等差数列关系的合 理运用．
• 对数的由来 英语名词：logarithms
•
如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对
数”。 log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b>0，零和负数没有对数；a的定
• 就这样，史提非轻巧地实现了运算的转化， 并且他意识到：“只要把这个思想进一步发 挥，那么必定能得出关于数的性质的全新 的论述．”遗憾的是史提非后来再也没进行 深入的研究，他放弃了进一步发挥思想的 权利，因而也就失去了对数发明者的资 格．
• 布尔基与耐普尔 数学史册上的对数发明者是两个 人：英国的约翰·耐普尔 （John Naeipr，1550－1617） 和瑞士的乔伯斯特·布尔基（Jobst Bürgi，1552－ 1632）．
•
16世纪中叶，由于天文和航海而引起的大数计算日
益激增，这种计算不仅花去了人们大量的精力，而且难
以精确，于是，以加（减）代乘（除）的设想再次被提
出，并被作为必须解决的问题加以考虑了．
•
起初，曾采用以下两个公式来实现乘除向加减的转
化：
• 但由于它们都需要通过另一种运算（三角或平 方）来实现转化，并不真正地提高效率，所以 很快就被搁置不用了．
• 结合高一数学组承担的课题《教 师 课 堂 教 学 行 为 的 评 价、反 思 及 有 效 教 学 研 究》通过教师的课堂教学 行为，使学生充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主 动权，提高课堂教学效率。
教学课题
• 《对数的概念》教学设计
教材分析
• 《课程标准》指出，通过必要地数学学习，获得必要的基础知 识和基本技能，理解基本的数学概念，数学结论的本质，了解 概念，结论等产生的背景，体会所蕴含的数学思想方法。通过 探究活动，体会数学发现和创造的历程。提高运算，处理数据， 分析、解决问题的能力。
• 1614年，耐普尔发表了他的《关于奇妙的 对数表的说明》一书，书中不仅提出数学
史上的第一张对数表（布尔基的对数表发 表于1620年），而且阐述了这个发明的思 想过程．他说：假定有两个质点P和Q，分 别沿着线段AZ和射线A'Z'以同样的初速运动， 其中Q保持初速不变，而P作减速运动，其 速度与这个点离Z的距离成正比，现在，如 果当P位于某点B时，Q位于B'，那么，A'B' 就是BZ的对数！同样的A'C'是CZ的对数，等 等（图 1）．
• 建立了这个模型以后，耐普尔通过代入具 体的数字得出BZ、CZ、DZ、EZ、FZ…一系列 数值为：