等价关系
第六讲等价关系-修改
第六讲等价关系§6.1. 等价关系（Equivalence Relation）§6.2. 分划（Partition）6.1. 等价关系（Equivalence Relation）6.1.1. 定义：设A为集合，R为A上关系，称R为A上的等价关系指R自反，对称和传递，这时把xRy记为x~R y或简记为x~y。
例：整数集Z上相等关系为等价关系，Z上≤关系不是等价关系。
6.1.2. 命题：在Z上的关于模n的同余关系为等价关系。
证明：设n∈N+, 定义~如下：∀x,y∈Z, x~y定义为x≡y(n)(i.e. n | (x-y) )欲证~为等价关系，只需证：(1)x~x 即x≡x(n)(2)x~y~z →x~z 即. x≡y(n)∧y≡z(n) →x≡z(n)(3)x~y →y~x 即x≡y(n) →y≡x(n)而以上三点易见，故得证。
.6.1.3 命题：令R*={{a n}|{a n} 为有理数Cauchy 序列}，定义R*上关系~如下：{a n}~{b n}定义为( ∀ε>0)( ∃N)( n>N)(|a n-b n|<ε )。
这里ε与N的变域为Q与N。
证明：(1) 易见{a n}~{a n}(2) ∵|a n-b n|+|b n-c n|≥a n-c n|, ∀ε>0{a n}~{b n}→∃N1(∀n>N1)( |a n-b n|<ε/2){b n}~{c n}→∃N2(∀n>N2)( |b n-c n|<ε/2)故{a n}~{b n}~{c n}→(∀n>N1+N2)( |a n-c n|<ε)→{a n}~{c n}.易见{a n}~{b n}→{b n}~{a n}。
6.1.4定义：令R 为A上等价关系，对任何a∈A，a关于R的等价类(equivalent class)[a]R 定义为{b|b∈A∧aRb}，[a]R可简记为[a]。
概率论-第十五讲 等价关系和划分
一、等价关系
定理5: 设R是A上的二元关系,设R′=tsr(R)是R的自反对称 传递闭包,那么 (a) R′是A上的等价关系,叫做R诱导的等价关系； (b) R′是包含R的最小等价关系。 证明： r(R)是自反的，所以sr(R)是自反的，对称的，所以 tsr(R)是自反的，对称的，传递的，即R’=tsr(R)是A上 的等价关系。 设R”是包含R的任意等价关系，即R⊆R”，因为R”是 自反的，所以r(R)⊆r(R”)=R”；因为R”是对称的，所以 sr(R)⊆s(R”)=R”;又因为R”是传递的，所以 tsr(R)⊆t(R”)=R”，即R”包含tsr(R)。
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二、划分
定理9：设π是非空集合A上的划分,R是A上的等价关系,那么,
π诱导出R当且仅当R诱导出π。 证：（必要性）假设π诱导出R,R诱导出π′ 设a是A的任一元素,并设B和B′分别是π和π′的块, 使a∈B和B′，那么对任一b b∈B iff ［a］R =［b］R iff b∈B′ 所以,B=B′。 因为a是A的任一元素而π和π′都是A的覆盖,故π=π′。
若是划分，则必是覆盖；若是覆盖，则不一定是划分。
②设A是非空集合, ρ(A)-{∅ } 是A的一个覆盖,而不是A的划分,除非A是单元素集合。
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二、划分
定理6 : 设A是非空集合,R是A上的等价关系。R的等价类集合 {［a］R ｜a∈A}是A的划分。 由上面定理2，3可得出。 定义5：设R是非空集合A上的等价关系,称划分{［a］R｜a∈A} 定理2：设R是集合A上的等价关系,则对所有a,b∈A,或者 ［a］=［b］,或者［a］∩［b］= ∅ 为商集A/R,也叫A模R。
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二、划分
例4：①A={a,b,c}，则 S={{a,b},{b,c}}, Q={{a},{a,b},{a,c}}, D={{a},{b,c}}, G={{a,b,c}}, E={{a},{b},{c}}, F={{a},{a,c}}, 划分 最小划分 最大划分 既不是覆盖，也不是划分 覆盖 覆盖
等价关系与等价类
等价关系与等价类等价关系是数学中一个非常重要的概念，它在代数学、离散数学、关系代数等领域都有广泛的应用。
本文将详细讨论等价关系的定义、性质以及等价类的特点。
一、等价关系的定义等价关系是集合论中的一个概念。
对于给定集合A，若集合A上的二元关系R满足以下三个条件，即称关系R为等价关系：1. 自反性：对于集合A中的任意元素a，有aRa；2. 对称性：对于集合A中的任意元素a和b，若aRb，则bRa；3. 传递性：对于集合A中的任意元素a、b和c，若aRb且bRc，则aRc。
二、等价关系的性质1. 等价关系将集合A划分成了若干个不相交的等价类；2. 对于等价关系R，它的等价类满足以下两个性质：(1) 集合A中的任意元素都属于某一个等价类；(2) 不同的等价类之间是不相交的，即任意两个不同的等价类A和B满足A∩B=∅；3. 对于等价关系R，在每个等价类中，任意两个元素都是相互等价的，即若a和b属于同一个等价类，则aRb。
三、等价类的特点等价类是等价关系的一种划分形式，它具有以下特点：1. 等价类是集合A的一个子集；2. 等价类中的元素都满足相互等价的关系，即集合A中的两个元素属于同一个等价类，当且仅当它们在等价关系R下是等价的；3. 集合A中的元素可以属于多个不同的等价类，但不同的等价类之间是不相交的。
四、等价关系的应用等价关系在数学中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 数论中的同余关系：在数论中，我们可以定义模m下的同余关系，对应的等价关系将整数划分成了若干个不相交的等价类；2. 代数学中的等价关系：在代数学中，等价关系被广泛运用于同余、相似等概念的定义中；3. 图论中的等价关系：在图论中，等价关系被用于定义等价图等重要概念；4. 集合运算中的等价关系：等价关系在集合运算、集合论的研究中也具有重要的地位。
综上所述，等价关系是集合论中的一个重要概念，它将原始集合划分成了若干个互不相交的等价类。
七、等价关系与等价类
上的等价关系。 故R是A上的等价关系。 是 上的等价关系
例 设A={1,2,3,4,5}，有一个划分 ，有一个划分S={{1,2},{3},{4,5}}，试由划 ， 确定A上的一个等价关系 分S确定 上的一个等价关系。 确定 上的一个等价关系。 我们用如下方法产生一个等价关系R： 解 我们用如下方法产生一个等价关系 ： R1={1,2}×{1,2}={<1,1>, <1,2> , <2,1> , <2,2>} × R2={3}×{3}={<3,3>} × R3={4,5}×{4,5}={<4,4>,<4,5>, <5,4> , <5,5>} × R= R1∪R2 ∪R3 ={<1,1>, <1,2> , <2,1> , <2,2>, <3,3>, <4,4>,<4,5>, <5,4> , <5,5>} 从R的序偶表示式中容易验证 是等价关系。 的序偶表示式中容易验证R是等价关系。 的序偶表示式中容易验证 是等价关系 本题中确定等价关系的方法与上述定理4 本题中确定等价关系的方法与上述定理4中所述确定等价关系 的方法实质相同 实质相同。 的方法实质相同。
R R
[3]R={2,3}
[4]R={1,4}
[1]R ∩[2]R ∩[3]R= ∅ [1R , [3]R, [4]R} ={{1,4},{2,3}} [1]R ∩ [2]R = ∅ [1]R ∪ [2]R = A
定理3 定理
定理3 集合A上的等价关系 上的等价关系R，决定了商集A/R ，可确定 可确定A 定理 集合 上的等价关系 ，决定了商集
离散数学___等价关系与偏序关系
思考：
设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下： π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} } 问哪些是A的划分, 哪些不是 A 的划分？ 答案： π 1和π 2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分.
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同年龄关系 R是等价关系。
4
再如设集合A的情况同上所述 若令集合A={a , b , d , c , e , f } 同房间 同房间
其中a ,b, d同住一个房间，c, e ,f同住另一个房间。 如果同住一个房间的大学生认为是相关的，那么 “同房间”关 系 R也是等价关系。 （1）因为每一个大学生都和自已是同房间的，所以满足自反性；
7
（1）a ,b,c都姓“张”，d,e,f 都姓“李” a b
√ √ √
c
√ √ √
d
e
f
a √ b √
c √ d e f
a b c
√ √ √ √ √ √ √
d e f
√
√
a 1 1 1 0 0 0
b c d e f 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
用刀分
{
等价关系和偏序关系
等价关系和偏序关系等价关系和偏序关系是数学中常见的两种关系，它们在数学领域和其他学科中都具有重要的应用价值。
本文将从定义、性质和应用等方面，对等价关系和偏序关系进行详细介绍，并希望能够给读者提供一些指导意义。
首先，我们来介绍等价关系。
等价关系是指集合中的元素之间存在一种对等的关系，它可以将集合划分成若干个等价类。
在等价关系中，具有相同特征或性质的元素被划分到同一个等价类中，而具有不同特征或性质的元素则被划分到不同的等价类中。
换句话说，等价关系将集合中的元素划分为互不相交的子集，每个子集都代表一个等价类。
等价关系具有以下性质：1. 自反性：对于任意元素 a，a 和 a 相关。
2. 对称性：如果 a 和 b 相关，则 b 和 a 相关。
3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。
等价关系在数学中有广泛的应用，例如在代数、几何和数论等领域。
在代数中，等价关系可以帮助我们定义等价类，进而对集合进行分类和研究。
在几何中，等价关系可以帮助我们研究和描述图形的对称性质。
在数论中，等价关系可以帮助我们解决一些重要的数学问题，如素数分布等。
接下来，我们来介绍偏序关系。
偏序关系是指集合中的元素之间存在一种偏序的关系，它可以将集合中的元素按照某种方式进行排序。
在偏序关系中，元素的排列顺序可能是不确定的，即两个元素之间可能不存在比较关系。
与等价关系不同，偏序关系不能将集合划分为互不相交的子集，而是通过排序来比较元素之间的关系。
偏序关系具有以下性质：1. 反自反性：对于任意元素 a，a 和 a 不相关。
2. 反对称性：如果 a 和 b 相关且 b 和 a 相关，则 a 和 b 是相同的元素。
3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。
偏序关系在数学中也有广泛的应用，特别是在集合论、拓扑学、优化理论和离散数学等领域。
在集合论中，偏序关系可以帮助我们定义集合的包含关系和子集关系。
六个等价定理
六个等价定理等价定理在数学上，等价表示一个集合或空间中两个集合之间可以交换某些量。
在科学上，等价表示一种可逆关系。
本文将为大家介绍六个等价定理。
六个等价定理最常见的形式是： 1。
加法与乘法运算满足等价关系。
2。
两个函数满足等价关系。
即有意义，则必有其逆也有意义。
1。
加法与乘法运算满足等价关系。
(1).(有意义)A+B=B+A(2).(逆定理)如果集合A中所有元素都有意义，那么它们的并集也有意义。
(3).乘法运算满足交换律。
(4).乘法运算满足结合律。
(5).乘法运算满足分配律。
(6).一个集合中任何两个元素都有意义，那么这个集合也必有意义。
2。
两个函数满足等价关系。
(1).对于任何连续函数f：A→B，有： f(A)=f(B)(2).如果两个函数f和g满足等价关系，则：f(A)g(B)当且仅当f(A)g(B)注：以上等价关系仅适用于连续函数的情况。
3。
两条直线相交，则交点为原来两条直线等价的条件不成立。
4。
如果集合A中有无穷多个元素，那么它们的并集A'=A。
3。
如果两个函数满足等价关系，则： f(A)g(B)=f(A)h(B)(在上面的第二定理中出现了2×3=6， 2×2=4， 2×1=2，故该条等价关系成立。
)如果以上三个定理出现在同一集合中，即：(1)a×b=b×a(2)ab=ac(3)abc=acb(注：这种情况下出现了两个并集，故等价关系也成立。
)另外，要证明：(1)ab=ac这一条等价关系成立，需要用到第二定理和结合律，证明较复杂。
但从定理2可以看出，函数a与b 之间有无穷多个对应的函数h(ab)，每一个h(ab)都是有意义的。
而函数h(ab)，除了与函数a有无穷多个对应外，还与它的反函数g(ab)有无穷多个对应，每一个g(ab)都有意义。
即：(2)ab=ac有意义。
6。
集合的等价关系和划分
集合的等价关系和划分概述在集合论中，等价关系和划分是两个重要的概念。
等价关系是指集合中的元素之间存在一种特定的关系，而划分则是将集合分为不相交的子集合。
本文将对这两个概念进行详细解释和讨论。
等价关系等价关系是一种二元关系，通常用符号“≡”表示。
对于集合A中的元素a和b，如果满足以下三个条件，则称a和b具有等价关系：1. 反身性（Reflexivity）：对于集合A中的任意元素a，a≡a成立。
2. 对称性（Symmetry）：对于集合A中的任意元素a和b，如果a≡b，那么b≡a也成立。
3. 传递性（Transitivity）：对于集合A中的任意元素a、b和c，如果a≡b且b≡c，那么a≡c也成立。
等价关系可以将集合中的元素划分为等价类。
每个等价类包含具有相同等价关系的元素。
等价类之间两两不相交，并且它们的并集等于整个集合。
划分划分是将集合分为不相交的子集合的过程。
对于集合A，如果存在一个集合P，满足以下两个条件，则称P为A的一个划分：1. P中的每个元素都是A中的子集。
2. P中的元素两两不相交，并且它们的并集等于A。
划分可以通过等价关系来构建。
对于集合A中的元素a，可以定义P(a)为包含a的所有等价类组成的集合。
那么P={P(a)|a∈A}就是A的一个划分。
应用和重要性等价关系和划分在数学和计算机科学等领域具有广泛的应用。
它们可以用于建模和解决各种问题，例如图论、数据库设计和自然语言处理等。
在图论中，等价关系可以表示两个节点之间的等价性，从而简化网络分析和图算法的实现。
在数据库设计中，划分可以将数据分为多个不相交的部分，提高查询效率和数据管理的灵活性。
在自然语言处理中，等价关系和划分可以用于语义分析和情感分类等任务。
综上所述，了解和理解集合的等价关系和划分对于理解和应用集合论的相关概念和方法具有重要意义。
结论集合的等价关系和划分是集合论中的重要概念。
等价关系是一种特定的二元关系，可以将集合划分为等价类。
等价关系与划分
4.4 等价关系与划分等价关系：同时具有自反、对称和传递性。
等价关系是最重要、最常见的二元关系之一。
4.4 等价关系与划分定义4.13设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的定义4.13，则称R为A上的等价关系。
设R为等价关系，如果<x,y> R，称x等价于y，记作x~y。
例如，实数集上的相等关系、幂集上的各子集间的相等关系，三角形集合上的三角形的相似关系都是等价关系。
因为等价关系是自反、对称和传递的，可以通过关系矩阵和关系图判断某关系是否是等价关系。
设A ={1, 2, …, 8}，A 上的关系R 定义如下：R={<x, y> | x, y ∈A ∧x ≡y(mod 3)}其中x ≡y(mod 3)叫做x 与y 模3相等，即x 除以3的余数与y 除以3的余数相等或x −y 可被3整除。
可以验证R 为A上的等价关系：例4.21 4.4 等价关系与划分（1）自反：∀x∈A，x ≡x(mod 3)，即<x, x>∈R。
（2）对称：∀x, y∈A，若x ≡y(mod 3)即<x, y>∈R，则y ≡x(mod 3)即<y, x>∈R。
（3）传递：∀x, y, z∈A，若x ≡y(mod 3)且y ≡z(mod 3)，则x ≡z(mod 3)。
该关系的关系图如下：Sed ut perspiciatis unde omnis.68%定义4.14设R 为非空集合A 上的等价关系， x ∈A ，令[x]R ={y | y ∈A ∧xRy}称[x]R 为x 关于R 的等价类，简称为x 的等价类，简记为[x]。
x 的等价类就是A 中所有与x 等价的元素构成的集合。
如例4.21中的等价类有：[1] = [4] = [7] = {1, 4, 7}[2] = [5] = [8] = {2, 5, 8}[3] = [6] = {3, 6}4.4 等价关系与划分定理4.144.4 等价关系与划分定理4.19设R 是非空集合A 上的等价关系，则（1）∀x∈A，必定有[x]≠∅且[x]⊆A 。
第1章§1.4等价关系
§1.4等价关系初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的．这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念．在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间．定义1.4.1 设X是一个集合．从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系．集合X中的关系{（x，x）|x∈X}称为恒同关系，或恒同，对角线，记作△（X）或△．定义1.4.2 设R是集合X中的一个关系.关系R称为自反的，如果△(X)R，即对于任何x∈X，有xRx；关系R称为对称的，如果，即对于任何x，y∈X，如果xRy则yRx；关系R称为反对称的，如果，即对于任何x，y∈X，xRy和yRx不能同时成立；关系R称为传递的，如果R R R，即对于任何x，y，z∈X，如果xRy，yRz，则有xRz．集合X中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集合X中的一个等价关系．容易验证集合X中的恒同关系△（X）是自反、对称、传递的,因此是X中的一个等价关系．集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“相等关系”可以理解为集合P(X)×P(X)的子集{（A，B）|A，B∈P(X)，A=B}从定理1.1.l中可见，它是自反、对称、传递的，因此是P（X）中的一个等价关系．集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“包含关系”可以理解为集合P(X）×P(X)的子集{（A，B）|A，B∈P (X)，A B}根据定理1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是对称的，因此不是P(X)中的一个等价关系．集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“真子集关系”可以理解为集合P(X)×P(X)的子集{(A，B)|A，B∈P(X)，A B,A≠B}根据定理1.1.3可见，它是反对称的，传递的，但它不是自反的，因而不是P(X)中的一个等价关系．实数集合R中有一个通常的小于关系＜，即R×R的子集{（x，y）|x，y∈R，x＜y}容易验证关系＜是反对称的，传递的，但不是自反的．设p是一个素数，我们在整数集合Z中定义一个关系≡p如下：={（x，y）∈Z×Z|存在n∈Z使得x－y=np}关系常称为模p等价关系，容易验证模p等价关系是自反的，对称的，传递的，因此是Z中的一个等价关系．定义1.4.3 设R是集合X中的一个等价关系．集合X中的两个点x，y，如果满足条件：xRy，则称x与y是R等价的，或简称为等价的；对于每一个x∈X，集合X的子集：{y∈X|xRy}称为x的R等价类或等价类，常记作或[x]，并且任何一个y∈都称为R等价类的一个代表元素；集族{| x∈X}称为集合X相对于等价关系R而言的商集，记作X／R．我们考虑整数集合Z中的模2等价关系,易见，13和28．因此1与3是等价的，2和8也是等价的．整数2所属的等价类是所有偶数构成的集合，每一个偶数都可以叫做这个等价类的一个代表元素．此外易见，商集Z/有且仅有两个元素：一个是所有奇数构成的集合，另一个是所有偶数构成的集合．下面这个定理说明，给定了一个等价关系，等于说给定了一个分类的原则，把一个非空集合分割成一些非空的两两无交的等价类，使得这集合的每一个元素都在某一个等价类中.定理1.4.1 设R是非空集合X中的一个等价关系．则：（1）如果x∈X，则x∈，因而；（2）对于任意x，y∈X，或者=，或者证明（1）设x∈X，由于R是自反的，所以xRx，因此x∈,∴≠．（3）对于任意x，y∈X，如果，设z∈[x]∩[y].此时有zRx,且zRy．由于R是对称的，所以xRz．又由于R是传递的，所以xRy．对于任何一个t∈，有tRx，由上述xRy和R的传递性可见tRy，即t∈．这证明同理可证．因此=(注意:要证或者…或者…,应从以下入手:否定掉一个,去证另一个)在初等数论中我们早就知道整数模（素数）p的等价关系将整数集合Z分为互不相交的等价类，每一个等价类记作，称为整数x的模p同余类．让我们再回忆一下在解析几何学中定义自由向量的过程：首先将固定向量定义为平面（或n维欧氏空间）中的有序偶；然后在全体固定向量构成的集合（暂时记为X）中定义一个关系～，使得两个固定向量x和y～相关（即x～y）当且仅当x能通过平面（或n维欧氏空间）的一个平移与y重合．容易验证这个关系～是X中的一个等价关系．每一个～等价类便称为一个自由向量．作业:熟练掌握等价关系,等价类的概念.掌握商集的概念.明确商集的构成••••••••••••••••••【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。
算式的等价关系和变形归纳推理
算式的等价关系和变形归纳推理一、算式的等价关系1.1 等价的定义：如果两个算式在数值上始终相等，那么这两个算式互为等价算式。
1.2 等价关系的性质：（1）自反性：任何算式与自己等价。
（2）对称性：如果算式A与算式B等价，那么算式B也与算式A等价。
（3）传递性：如果算式A与算式B等价，算式B与算式C等价，那么算式A 与算式C等价。
1.3 等价关系的应用：在解决数学问题时，通过等价变换可以将问题简化，从而更容易找到解决方法。
二、算式的变形2.1 变形的基本原则：在不改变算式等价关系的前提下，对算式进行变形。
2.2 变形的常用方法：（1）合并同类项：将具有相同字母和指数的项相加或相减。
（2）分解因式：将一个多项式化为几个整式的乘积形式。
（3）约分：将分子和分母同时除以它们的公因数，简化分数。
（4）移项：将方程中的项移动到等号的另一边，注意变号。
（5）添项或减项：在方程两边同时加上或减去同一个数，保持等价关系。
三、归纳推理3.1 归纳推理的定义：从个别性的事实出发，归纳出一般性的结论。
3.2 归纳推理的类型：（1）完全归纳推理：对研究对象的全体进行考察，从而得出结论。
（2）不完全归纳推理：只对研究对象的一部分进行考察，从而得出结论。
3.3 归纳推理的应用：在数学学习中，通过观察特殊的算式变形，归纳出一般的变形规律。
四、算式的等价关系与变形归纳推理的综合应用4.1 利用等价关系判断算式是否相等：通过比较两个算式的等价关系，判断它们是否相等。
4.2 利用变形归纳推理解决问题：在解决数学问题时，通过观察特殊的算式变形，归纳出一般的解决方法。
4.3 应用实例：解决方程求解、不等式证明等问题时，运用等价关系和变形归纳推理，简化解题过程，得出正确答案。
通过以上知识点的学习，学生可以更好地理解算式的等价关系，掌握算式变形的方法，并能够运用归纳推理解决实际问题，提高数学思维能力和解决问题的能力。
习题及方法：1.习题：判断以下两个算式是否等价？若等价，请证明；若不等价，请说明理由。
等价关系与等价类-集合与关系-离散数学
由①和②得
，即所有等价类的并集为A 。
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三、商集
定义3-10.3 R是A上等价关系，由R的所有等价类构成的集 合，称为A关于R的商集。记作A/R。即 A/R={[a]R |a∈A} 例如
A={1,2,3,4,5,6,7,9,10,14} ，R上模4同余关系， 则 A/R= {[1]R,[2]R,[3]R ,[4]R} ={{1,5,9},{2,6,10,14},{3,7},{4}}
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(3)A中任何元素x，x必属于且仅属于一个等价类。 证明： A中任何元素x，由于有<x,x>∈R ，所以x∈[x]R ， 若 x∈[y]R ，所以有<y,x>∈R。 由性质(2)得[x]R=[y]R 。
(4)所有等价类的并集为A。即 证明： ①对任意x ∈A， [x]R A，所以 。 ②对任意x ∈A，因R自反，所以<x,x>∈R，即x∈[x] R 所以 ，即 。
2
。 。 3
R1
。 。 3
R2
1
。 。 。 3 2。Байду номын сангаас3
R3
1
R4
1
1
2
。
2
。
。
R8
。 。 3
R6
。 。 2。 。 3 3
R7
2 R 3 5
R3,R4,R5是等价关系。
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自反 等价关系
二 元 关 系
对称
有 向 图
等 价 类
商 集
划 分
性 质
传递
反对称
反自反
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二、 等价类
1、定义3-10.2 : x的等价类 R是A上的等价关系，对任何x∈A，集合[x]R称为 由x生成的R等价类，简称x的等价类： [x]R={y|y∈A∧xRy} 简化写法：y∈[x]R xRy 讨论： （1）等价类[x]R是一个集合，且 [x]R A。 （2）[x]R中的元素是在等价关系 R中，与x有 等价关系R的所有元素组成的集合。 （3）[x]R Φ， x∈[x]R。
等价关系
等价关系和划分1.等价关系定义：如果集合A上的等价关系R是自反的、对称的和传递的，则称R是等价关系。
1）自反性：A上的每一个芫荽都和自己等价；2）对称性：如果a等价于b，则b也等价于a，在有向图中，如果有从a到b的弧，则也有从b到a的弧。
3）传递性：如果a等价于b，b等价于c，则a等价于c.在有向图中，如果a 到c有一条路径，则a到此有一条弧。
4）数中的相等关系、集合中的相等关系、命题演算中的⇔关系都是等价关系。
5）空集合中的二元关系时等价关系。
定理：设k是一个正整数而Iba∈、.如果对某整数kmbam⋅=-,，则a和b是模k等价，写成)mod(kba≡整数k叫做等价的模数。
定理：模k等价是任何集合IA⊆等等价关系。
定义：设R是集合A上的等价关系，对每一个Aa∈，a关于R的等价类是集合}|{xRax，记为[]R a，或者[]a；称a是等价类[]a的表示元素。
如果等价类个数有限，则R的不同等价类的个数叫做R的秩；否则秩是无限的。
定理：设R是非空集合A上的等价关系，aRb当且仅当[][]ba=。
证明：充分性：aRbbabaa∴∈∴=∈],[],[][必要性：][][].[][,][][].[.,,,],[,baabbabx xRbaRbxRaaxbaR=∴⊆⊆∴∈∴∈∀。
同理又传递性可知又以上说明：一个等价类中的任意元素都可以作为此等价类的表示元素。
因为对同一等价类中的任两个元素a和b，都有aRb。
定理：设R是集合A上的等价关系，则对于所有Aba∈,，或者][][ba=，或者φ=][][ba 。
证明：][][][],[][,][][b c a b c a c b a ==∈∈∃≠则和φ 。
又非空][],[b a ，][][][][b a b a =≠和φ 不可兼得。
以上说明，不同的等价类是不相交的。
定义：给定非空集合A 和非空集合族},...,{21m A A A =π，如果 mi i A A 1==，则称集合族π是A 的覆盖。
七、等价关系及等价类
例题
例：设I为整数集，R＝{ <x,y> | x ≡ y (mod k) }，
证明：R为I上的等价关系。 证明：对任意的a,b,c∈I,
x－y能被k整 除
1. 因为a-a = 0×k ，所以<a,a> ∈R；
2. 若<a,b>∈R，则a≡b(mod k)，有 a-b=t×k(t是整数)，则ba=(-t)×k，因此b≡a(mod k)，故<b,a>∈R。
从R的序偶表示式中容易验证R是等价关系。
本题中确定等价关系的方法与上述定理4中所述确定等价关系 的方法实质相同。
定理5 R1和R2是非空集合A上的等价关系，R1=R2 当且仅当 A/R1=A/R2 。
证明 必要性 若R1=R2 ，对a, aA，则 [a]R1={x|x∈A,aR1x}= {x|x∈A,aR2x}= [a]R2 故{[a]R1| a∈A}={[a]R2| a∈A}，即A/R1=A/R2
证明：设集合A有一个划分S={S1,S2,…,Sm}，现定义关系 R={<a,b>| a ,b ∈A,且a,b属于同一个分块Si}，可以证明R是A上的等 价关系。
因为 i. 对aA， a与a在同一分块中，故有aRa，即R是自反的；
ii. 对a，bA，若aRb ，则a与b在同一分块中，故b与a也必在同一
解：1.因为R满足自反、对称、传递性，故为等价关系；
2. [1]R={1,4}
例题
例 定义在整数集I上的关系R={<x,y>|x≡y (mod 3) }， 则R是等价关系，并且有
[0]R={…,-6,-3,0,3,6,…} [1]R={…,-5,-2,1,4,7,…} [2]R={…,-4,-1,2,5,8,…} [3]R={…,-6,-3,0,3,6,…} [0]R= [3]R= [-3]R= … [1]R= [4]R= [-2]R=… [2]R= [5]R= [-1]R=…
等价关系
例1 若S =｛1， a, b}, 3， ｛{1},{3}, {a, b}｝是S的一个划分，该划分有3个块; 则｛（1，1），（3,3）,（a, b），（b, a）, a，a），（b, b） （ ｝ 就是S上的一个等价关系。 ｛{1,3}， a，b} ｝也是S的一个划分，该划分有2个块; {
练习 ｛{1,3}， a，b} ｝也是S的一个划分，该划分有2个块， { 则由该划分确定的S上的等价关系是？
注：R =｛（x,y)|x-y可被3整除｝也叫做模3同余关系，记作x y（mod3)。 即x与y具备关系R,当且仅当,x、y分别被3整除后的余数相等。 例如（2，5），（7，4）都属于R， 2和5是模3同余关系，4和7是模3同余关系.
2.8 等价关系
例1 设X =｛4，5，，｝，则X上模3同余关系 67 R =｛（4,4)，（5，5），（6，6），（7，7），（4，7），（7，4）｝ 是等价关系。
2.8 等价关系
主要内容
1.等价关系的定义 2.集合的划分与块 3.等价类 4.商集 5.划分可以确定一个等价关系
2.8 等价关系
1、等价关系的定义
定义 2.28 设 R 为非空集合上的关系. 如果 R 是自反的、 对 称的和传递的, 则称 R 为 A 上的等价关系.
例2.54 证明：整数集合Z上的关系R =｛（x,y)|x-y可被3整除｝是等价关系。 证明：（1）任意x Z，x-x可被3整除，即R具备自反性； （2）任意x、y Z，如果x-y可被3整除，则y-x可被3整除，即R具备对称性； （3）任意x、y、z Z，如果x-y可被3整除，且y-z可被3整除， 则x-z可被3整除,即R具备传递性 所以，R =｛（x,y)|x-y可被3整除｝是Z上的等价关系。
集合x上的等价关系
集合x上的等价关系1.等价关系的定义在数学中，等价关系是指在一个集合中的元素之间有一种“等价”的关系，它具有三个基本性质：自反性、对称性和传递性。
具体来说，对于集合X上的一个关系R而言，如果它满足下列三点，则我们称R是X上的一个等价关系：-自反性：对于任意x∈X，都有xRx；-对称性：对于任意x,y∈X，如果xRy，则yRx；-传递性：对于任意x,y,z∈X，如果xRy且yRz，则xRz。
等价关系也可以理解为是将集合X中的元素划分成了若干个等价类，其中每个等价类内的元素之间具有相同的特性，而不同等价类内的元素则有所不同。
2.等价类的定义给定X上的等价关系R，那么在X中的一个子集A来说，如果A中任意两个元素都满足关系R，那么我们称A为X中的一个等价类。
例如，如果我们将{1,2,3,4,5}中所有奇数的集合和所有偶数的集合分别看作是一个等价类，那么在这种情况下，{1,3,5}和{2,4}就是等价类。
3.等价类的性质在X上的等价关系R下，等价类具有以下几个性质：-空间划分性：X可以被划分为若干个等价类的并集，任意两个等价类要么完全相同，要么没有交集；-代表元性：任意一个等价类可以用它内部的一个特定的“代表元”来代表整个等价类；-等价类的个数等于X上的等价关系的等价类的个数。
4.例子一个简单的例子可以是在一个学生群体中，我们可以定义一个“年龄相同”的等价关系。
在这种情况下，所有年龄相同的学生构成了一个等价类，该等价类的代表元可以是任意一个该等价类中的学生。
如此一来，我们就可以将一个具有N个学生的群体X划分成若干个年龄相等的等价类，每个等价类内的学生之间具有相同的“年龄”属性，而不同等价类内的学生之间则年龄属性不同。
这种划分方法的应用场景包括统计、人口学、群众性活动等方面。
等价关系的证明
等价关系的证明等价关系是集合论中一个非常重要的概念，它描述了两个集合之间的一种特殊关系。
首先，我们来定义等价关系。
设A是一个非空集合，R是A上的一个二元关系。
如果R满足以下三个性质：自反性、对称性和传递性，那么我们称R为A上的等价关系。
自反性是指对于A中的每个元素x，都有xRx成立。
换句话说，任何元素x与自身之间存在这个关系。
对称性是指对于A中的任意两个元素x和y，如果xRy成立，那么yRx也成立。
这意味着关系的方向可以反转。
传递性是指对于A中的任意三个元素x、y和z，如果xRy成立且yRz也成立，那么xRz也成立。
这可以理解为如果一个元素与另一个元素相关，而另一个元素又与第三个元素相关，那么第一个元素也与第三个元素相关。
等价关系可以让我们将集合划分成不相交的等价类。
等价类是具有相同特性的元素的集合。
具体来说，对于集合A上的等价关系R，等价类[class(x)]定义为所有与x相关的元素的集合。
也就是说，对于任意元素y，y属于class(x)当且仅当xRy成立。
我们来看一个例子来更好地理解等价关系和等价类的概念。
考虑一个集合A，其中的元素是所有人的身高。
我们定义关系R为：xRy当且仅当x和y的身高相等。
这是一个等价关系，因为它满足自反性、对称性和传递性。
在这个例子中，每一个等价类代表了拥有相同身高的人的集合。
比如，如果x1和x2都是1.70米高，那么class(x1)和class(x2)都包含了所有身高为1.70米的人。
而所有不同身高的人则属于不同的等价类。
等价关系在实际应用中具有很大的意义。
它可以帮助我们理解和描述一些复杂的关系。
例如，在计算机科学中，等价关系在数据库查询和数据分析中起着重要的作用。
通过建立等价关系，我们可以将数据进行分类和组织，从而更好地理解和分析数据。
综上所述，等价关系是集合论中一种重要的关系。
它具有自反性、对称性和传递性，并且可以将集合划分成不相交的等价类。
通过建立等价关系，我们可以更好地理解和描述集合中的元素之间的关系。
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“关系”一词，在日常生活中十分常见，在学校，有同学关系、师生关系、同事关系等；
在家庭中，有兄弟姐妹关系，父子关系、母女关系等；在一般的工作单位，有师徒关系、上
下级关系等等。
在研究科学中也有很多关系，如数学中的数的大小比较关系、整数中整除关
系、函数关系、集合中的包含关系；计算机软件的程序与其子程序关系等。
为了数学的方法来研究这类关系，我们将用集合论的观点来描述这类关系。
例如，集合{}e d c b a A ,,,,=，为五个人组成的集合，其中他们中，a 是b 的父亲，c 是d 的
父亲，c 也是e 的父亲。
现将集合A 的父子关系用有序对表示，即为),(),,(),,(e c d c b a 。
把
这三个有序对组成一个集合{}),(),,(),,(e c d c b a R =，我们把R 这种由集合A 导出的有序
对组成的集合R ，叫做A 上关系 R 。
我们称集合R 为集合A 的父子关系集合（简称关系）。
我们把13个数组成的集合{}10,,3,2,1 =A 也建立几个关系。
二、建立关系举例：
1、 它们之间的小于等于关系R ；
()()()()()()(){},13,13,13,12,,3,2,2,2,3,1,2,1,1,1 =R
2、 它们除以3以后余数相同的关系1R ；
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=,10,10,7,10,4,10,1,10,9,9,6,9,3,9,8,8,5,8,2,8,10,7,7,7,4,7,1,7,9,6,6,6,3,6,8,5,5,5,2,5,10,4,7,4,4,4,1,4,9,3,6,3,3,3,8,2,5,2,2,2,10,1,7,1,4,1,1,12R 3、它们之间的整除关系2R ；
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=10,10,9,9,8,8,7,7,6,6,10,5,5,5,8,4,4,4,9,3,6,3,3,3,10,2,8,2,6,2,4,2,2,2,10,1,2,1,1,13 R 注意：关系有两大类关系：A 到B 的关系，A 上的关系；我们主要讨论A 上的关系。
三、关系的几种表示方法：
1、图形表示；
2、表格表示；
3、矩阵表示；
比如：{
}5,4,3,2,1=A 上的R 关系为()()()()()()(){},4,5,2,4,5,3,3,3,3,2,2,22,1=R 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=01000000101010000110
00010R A
⑴、自反性：R 是A 上的二元关系，若∀∈a A ，都有∈),(a a R ，则称R 是自反的二元关系。
⑵、反自反性：R 是A 上的二元关系，若∀∈a A ，都有∉),(a a R ，则称R 是反自反二元关系.
⑶、对称性：R 是A 上的二元关系，若∀∈),(b a R ，都有∈),(a b R ，则称R 是对称的二元关系.
⑷、反对称性：R 是A 上的二元关系，若∀∈),(b a R ，又有∈),(a b R 时，有b a =，则称R 是反对称的二元关系.
⑸、传递性：R 是A 上的二元关系，若有∈),(b a R 且∈),(c b R 时，必有∈),(c a R ，则称R 是可传递的二元关系.
五、性质的判别
前四种的判别较容易，
传递性的判别：R 具有传递性的充要条件为R R R ⊆⋅
例题：集合A={1,2,3,4,5}上的模2同余关系R 的关系矩阵:
A R =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1010101010
101010101010101 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==10101010101010101010101011010101010
10101010101010110101
010101010101010101012R A B 比较可得：1=ij b 时,必须1=ij a .
五、自反（对称、传递）关系闭包的求法：
例2 设{}c b a A ,,=，()()()()(){}c a a c c b a b a a R ,,,,,,,,,=，
自反闭包：)(R r =A I R .；
对称闭包：)(R s =R R ~
.
传递闭包： ⑴、设A A R ⨯⊆，则 32)(R R R R t =。
⑵、设1≥=n A ，A A R ⨯⊆，则n R R R R t 2)(=。
六、等价关系与分类：
1、同时满足自反、对称、传递性的关系称为等价关系，等价关系将集合A 分成类。
比如，上面例题将10个数除以3余数相同的关系是将10个数分成三类{}10,7,4,1，{}8,5,2，{}9,6,3；
又如，大学里的同班同学的关系是等价关系，老乡关系是等价关系。
但师生关系，父子关系不是等价关系。
2、同时满足自反、反对称、传递性的关系称为偏序关系；
3、同时满足自反、对称关系的关系称为相容关系。