北京理工大学量子力学真题
《量子力学》22套考研自测题+答案
⎜⎝ 0 3λ 3 + 2λ ⎟⎠ 的本征值至 λ 的二次项，本征矢至 λ 的一次
项。
五、（10 分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作
用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几
个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?
QQ：704999167
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En
=
−
Z 2e2 2a
， ψ 100 =
1
⎜⎛
Z
⎟⎞ 3 /
2
− Zr
ea
π ⎝a⎠
，计算时，可利用积分公式
∫∞ xe−2ax dx = 1 。
0
4α 2
五、（本题 20 分）
设一维谐振子的能量本征函数为ψ n (x) ，求：
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量子力学自测题（5）
一、 填空题（本题 20 分）
1．Planck 的量子假说揭示了微观粒子
特性，Einstein 的光
量子假说揭示了光的
性。Bohr 的氢原子理论解决了经典
考研自测题精美汇总
电磁场理论和原子的
之间的矛盾，解决了原子的
的起源问题。
2．力学量算符必须是
10. n 为 Lz 的本征态，本征值为 n 。求在 L z 的本征态 n 下， Lx
和 Ly 的平均值。
11. 氢原子处于状态
⎜⎛
ψ
(r
,
s
z
)
=
⎜ ⎜
⎜− ⎝
1 2
R
21
Y 11
3 2 R 21 Y10
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟
=
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
北京理工大学(已有10试题)
北京理工大学信息科学技术学院自动控制理论1999——2000，2002——2008自动控制理论（非控类）2004电子技术（含模拟、数字部分）1999——2000，2002——2008模拟电子技术与数字电子技术2000——2002模拟与数字电路1999——2000，2002微机控制与应用技术2002——2008控制工程基础2003——2008物理光学2003——2004，2007——2008应用光学1999——2008，2010（2010为回忆版）波动光学2002大学物理2006——2008精密机械设计2003——2008（其中2003年称“精密机械基础”）激光原理1999——2001，2005——2008电子电路2003——2005，2007——2008电路分析基础1999——2000信号处理导论2003——2008信号与系统1996——2002半导体物理学1999——2008电磁场理论1999——2000，2002——2008微机原理及应用2004——2005电动力学2003——2004理论力学1996——2008（96——98非原版）生物化学1999——2008（注：2007年试卷共11页，缺P5-6页）生物化学（A）2005——2006，2008计算机专业基础（含计算机组织与结构、数据结构）2007计算机技术基础（含计算机组成原理、操作系统和数据结构）2003——2006计算机原理（含操作系统）1999——2002程序设计1999——2000计算机系统结构基础（含计算机组成原理、计算机网络和数据结构）2004——2005 软件理论基础（含离散数学、操作系统、数据结构）1999——2005数据结构与程序设计2004——2008微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000机电工程学院电子技术（含模拟、数字部分）1999——2000，2002——2008电子技术基础2007——2008自动控制理论1999——2000，2002——2008自动控制理论（非控类）2004电磁学2005——2008量子力学2005——2008运筹学2001——2008工程力学基础2007——2008流体力学基础2006工程流体力学2005数学物理方程2002——2006数学物理方法2000材料力学1997——1999，2002——2008理论力学1996——2008（96——98非原版）电动力学2003——2004微机控制与应用技术2002——2008控制工程基础2003——2008精密机械设计2003——2008（其中2003年称“精密机械基础”）应用光学1999——2008，2010（2010为回忆版）波动光学2002微机原理及应用2004——2005有机化学1997——2008无机化学（A）2003——2007无机化学（B）2003——2005，2007——2008分析化学2003——2008分析化学(A)2006物理化学2003——2008高分子物理2005——2008高分子化学及高分子物理2003——2004安全系统工程2003——2005，2008工程热力学（不含传热学）2003——2008爆炸与安全技术2005爆炸及其作用2006爆轰理论2003——2005化学2002——2005传感与测试技术2004——2005算法语言1998微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000传热学2000应用电子技术2004机械与车辆工程学院电子技术（含模拟、数字部分）1999——2000，2002——2008 电子技术基础2007——2008自动控制理论1999——2000，2002——2008自动控制理论（非控类）2004机械设计2001——2008机械设计原理2001机械制造工程基础2003——2008机械制造工艺学2002理论力学1996——2008（96——98非原版）微机控制与应用技术2002——2008应用光学1999——2008，2010（2010为回忆版）电路分析基础1999——2000模拟电子技术与数字电子技术2000——2002模拟与数字电路1999——2000，2002精密机械设计2003——2008（其中2003年称“精密机械基础”）控制工程基础2003——2008微机原理及应用2004——2005工程热力学（不含传热学）2003——2008物理化学2003——2008工程力学基础2007——2008流体力学基础2006工程流体力学2005交通运输系统工程学2005，2007——2008微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000数字电路与数字信号处理2008材料科学与工程学院物理化学（A）2008高分子物理2005——2008高分子化学及高分子物理2003——2004材料科学基础2003——2007材料力学1997——1999，2002——2008普通化学2008综合化学2008有机化学1997——2008无机化学（A）2003——2007无机化学（B）2003——2005，2007——2008分析化学2003——2008分析化学(A)2006理论力学1996——2008（96——98非原版）电化学原理2003——2006微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000化工与环境学院自动控制理论1999——2000，2002——2008自动控制理论（非控类）2004过程控制原理2000——2005，2007——2008化工原理2002——2008有机化学1997——2008无机化学（A）2003——2007无机化学（B）2003——2005，2007——2008分析化学2003——2008分析化学(A)2006物理化学2003——2008电化学原理2003——2006环境微生物学2007——2008工程热力学（不含传热学）2003——2008微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000生命科学与技术学院生物化学1999——2008（注：2007年试卷共11页，缺P5-6页）生物化学（A）2005——2006，2008分析化学2003——2008分析化学(A)2006细胞生物学2004——2006微生物学2005——2008分子生物学2007——2008有机化学1997——2008无机化学（A）2003——2007无机化学（B）2003——2005，2007——2008药理学2007信号处理导论2003——2008信号与系统1996——2002电子电路2003——2005，2007——2008物理光学2003——2004，2007——2008应用光学1999——2008，2010（2010为回忆版）波动光学2002信号理论基础2007——2008计算机专业基础（含计算机组织与结构、数据结构）2007计算机技术基础（(含计算机组成原理、操作系统和数据结构）2003——2006计算机原理（含操作系统）1999——2002程序设计1999——2000计算机系统结构基础（含计算机组成原理、计算机网络和数据结构）2004——2005 软件理论基础（含离散数学、操作系统、数据结构）1999——2005数据结构与程序设计2004——2008理学院电子技术（含模拟、数字部分）1999——2000，2002——2008大学物理2006——2008数学分析1995，1999——2000，2003——2008高等代数2003——2008电磁学2005——2008量子力学2005——2008电动力学2003——2004普通化学2008综合化学2008无机化学（A）2003——2007无机化学（B）2003——2005，2007——2008分析化学2003——2008分析化学(A)2006物理化学（A）2008物理化学2003——2008有机化学1997——2008理论力学1996——2008（96——98非原版）材料力学1997——1999，2002——2008工程热力学（不含传热学）2003——2008数学物理方程2002——2006数学物理方法2000电路分析基础1999——2000模拟电子技术与数字电子技术2000——2002模拟与数字电路1999——2000，2002激光原理1999——2001，2005——2008微机控制与应用技术2002——2008爆炸与安全技术2005爆炸及其作用2006电化学原理2003——2006工程力学基础2007——2008流体力学基础2006工程流体力学2005微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000管理与经济学院宏微观经济学2008管理学2003——2008（2003，2004名称叫做“管理学基础”。
北大物理部分真题
北大物理部分真题北京大学量子力学真题部分北京大学量子力学的部分真题。
1992年4.设粒子处于半径为a的球壁内,(1)求基态能量。
(2)求基态粒子对球壁的压强。
1994年6.假设两个质量为m=70Me/c2的夸克可以通过位势V=-a(?1.?2-b)r2束缚在一起,其中r是两个夸克之间的距离?1和?2分别为夸克1和夸克2的包利自旋矩阵,a=68.99Me/fm2,而b是一个待定的参数,(1)b 应取什么值,才能使两个夸克束缚在一起?(2)设两个夸克是不同类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度,(3)设两个夸克是同一类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度。
(4)当b=0时,求两个全同夸克在基态的方均根距离, hc=1.97.3MeV.fm.为自旋1和自旋2,h都是带横岗的1995年5.设L为轨道角动量。
在(L2,Lz)表象(即以Ilm>为基矢的表象)中,写出L=1的子空间中Lx的矩阵表示式,并求出它的本征值和本征态。
1998年7.在一维无限深位阱中,V(x)=0,0<xa.</x(1)求一维无限深位阱的能量本征值,及相应的本征函数。
(2)如果有两个无相互作用的自旋为1/2的全同粒子在此中,试写出此位阱系统基态和第一激发态的能量值和波函数。
1999年6.一个质量为m的粒子在一维势场V(x)=正无穷,x<0.V(x)=1/2mw平方x平方,x>0中运动,求其能级,不必作详细计算。
2000年6.考虑体系H=T+V(x),V(x)=无穷x<0,V(x)=Ax,x>0(A>0).(1)利用变分法,取试探波函数函数1=(2比b根号π）1/2e的-x平方/2b平方,求基态能量上限E1;(2)我们知道,如试探波函数为函数2==(1比b根号π）1/2(2x/b)e 的-x平方/2b平方,则基态能量上限为E2=(81/4π)根号1/3(A平方h 平方/m)根号1/3,对这两个基态的能量上限,你能接受哪一个,为什么?2001年6.质量为m的粒子在位势V=无穷,x<0,V=cx平方,x>0中运动,c>0,(1)试利用变分法估计体系基态能量;(2)它是精确解的上限还是下限?你能给出精确的基态能量吗?2007年5.H(t)=-h平方/2mx导数平方+1/2mw零平方x平方(1+1/cosh 平方兰姆达t)t趋向于负无穷时刻,该体系处在谐振子基态I0>.在t趋向于正无穷时刻态体系跃迁到激发态In>的概率记为p零趋向于n.(a)求(b)当(c)讨论2008年VI.质量为m的粒子在位势V(x)=-兰姆达扥特(x),(兰姆达>0)中运动。
量子力学经典练习题及答案解析
1.设氢原子处于基态030,1),,(0a e a r a r -=πϕθψ为Bohr 半径，求电子径向概率密度最大的位置（最概然半径）。
解 22)()(r r R r w nl nl ⋅= 23010021)(r e a r w a r ⋅=-π ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅-=--0202221203010a r a r re r e a a dr dw π 011203002=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=-r a re a a r π 由此得0=r ， ∞→r ， 0a r =2. 验证ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是2ˆL 和zL ˆ的共同本征函数，并指出相应的本征值。
( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L )解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L 将2ˆL作用于所给函数上，得 ϕθϕθθθθθ332222sin )(sin 1)(sin sin 1i e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-=ϕϕθθθθθθ332332sin )(sin 9cos sin )(sin 3i i e r f e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ϕϕθθθθθθ33222232sin )(sin 9)sin cos sin 3()(sin 3i i e r f e r f []ϕϕθθθ332232sin )(3sin )1(cos )(9i i e r f e r f +⋅--=ϕϕθθ332332sin )(3sin )(9i i e r f e r f +=ϕθ332sin )(12i e r f =上式满足本征方程ψψ22ˆL L =，可见θϕθψ3sin )(),,(r f r =ϕ3i e 是2ˆL的本征函数，本征值为212 。
又ϕ∂∂=i L z ˆ，将z L ˆ作用于所给函数上，得 ϕϕθθϕ33333sin )(sin )(i i ie r f ie rf i ⋅=∂∂ ϕθ33sin )(3i e r f ⋅=可见满足本征方程ψψz L L =2ˆ，故ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是zL ˆ的本征函数，本征值为 3。
理工大学物理工程学院电子科学与技术专业量子力学期末考试试卷及答案
、如果原子本身处于激发态，在没有外界光照时，也可能跃迁到某些较低能级而放出光来，（B）自发和受激吸收（C）光的吸收是可观测量，应为实数，表示力学量的算符必须是ˆx p μω+ˆx p μω-1=- （2）,a a a +⎡⎤⎣⎦,a a a a +++⎤=⎦（3）ˆH 、2题各15分，第3、,要求有具体计算步骤）的矩阵为： ⎤⎥理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称—量子力学—— （ A 卷） | 一、选择题（每题3分，共15分） 装 1.B 2.C 3. A 4.D 5.B | 二、填空题 (每空2分，共20分）1. 单值的，平方可积的2. 线性算符，厄米算符3. 平均值 几率分布4. 4 200ψ，211ψ，210ψ，211ψ-5. 平均场 积三、 证明题（共15分）证明：（1）[][]ˆˆˆˆ,,21111ˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,2222ˆˆˆˆ,,122a a x p x p i i i x x x p p x p pi i x p p x μωμωμωμωμωμωμωμωμωμω+⎡⎤⎫⎛⎫⎡⎤=-+⎥⎪ ⎪⎣⎦⎪ ⎪⎥⎭⎝⎭⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎤=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-=- 其中利益[]ˆˆ,xp i = （6分） （2）[],,,a a a aa a a a a a +++⎡⎤⎡⎤=+=-⎣⎦⎣⎦ ,,,a a a a a a a a a a +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （4分）（3）可以求得：()ˆxa a +=+ ()ˆpa a +=-系统Hamilton 为()()()()22222ˆ1111ˆˆ2222211121222p H x a a a a a a aa a a a a μωωμωωω++++++⎡⎤=+=--++⎢⎥⎣⎦⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭（5分）四 计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分，要求有具体计算步骤）1、解:(1)一维无限深势阱的本征态波函数是()n n xx aπψ=（2分） 利用三角函数积化和、差，将()x ψ改写 ()2cos x xx a a ππψ=21cosx x a a ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ 22sin 2sin cos x x x a a aπππ⎤=+⎥⎦3sin sin x x a a ππ⎤=+⎥⎦ 3x x a a ππ⎤=⎥⎦()()13x x ψψ=+⎤⎦ （4分）()x ψ是非本征态，它可以有二种本征态，部分处在()1xx aπψ=出现几率为12，能量为22122E ma π=部分处在()33x x a πψ=，出现几率为12，能量为223292E ma π= （2分） (2)处于这种状态下粒子的能量平均值22132115222E E E ma π=+= （3分）（3）粒子随时间变化的波函数为 ()222292223,sin 2n i i iE tt t ma ma nnx x x t C ee e a a ππππψψ---⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎪⎪⎭⎭∑ （4分） 2、解：（1）在z σ表象中，0110x σ⎛⎫=⎪⎝⎭ 00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（3分）cos sin sin cos i x x y y z z i e n n n n eϕϕθθσσσσθθ-⎛⎫=++= ⎪-⎝⎭，其本征方程为cos sin cos sin 0sin cos sin cos i i i i a a a e e b b b ee ϕϕϕϕθθθλθλθθθθλ--⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 有非零解的条件为cos sin 01sin cos i i e eϕϕθλθλθθλ--=⇒=±-- （4分）当1λ=时，对应的本征态为()()1cos /2sin /2i e ϕθψθ-⎛⎫=⎪⎝⎭ 当1λ=-时，对应的本征态为()()2sin /2cos /2i e ϕθψθ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （2分） （2）在ˆz s本征态1/2χ下，n σ的可能测值为1± 故n σ的可能测值为1+的几率为()()()()22211/21cos /2,sin /2cos /20i e ϕψχθθθ⎛⎫== ⎪⎝⎭（3分）故n σ的可能测值为1-的几率为()()()()22221/21sin /2,cos /2sin /20i e ϕψχθθθ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（3分）3、解：微扰算符的的矩阵是'''111213'''212223'''31323300'000H H H b H H H H a H H H ba **⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （1） 根据无简并微扰论，一级能量修正量是： kk H从（1）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量0)0(3)0(2)0(1===E E E （2分）又二级能量公式是： 2'(2)(0)(0)nkkn k nn kH E E E ≠=-∑（2分）所需的矩阵元'nk H 已经直接由式（1）表示出，毋需再加计算，因而有：2222'''12131(2)1(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)1121313n nnH H H b E EEEEE E E E ==+=----∑（2分） 2222'''21232(2)2(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)2312123n nnH H H a E E E E E E E E E ==+=----∑（2分） 22222'''32313(2)3(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)332313132n nnH H Hb a E EEEEE E E E E E ==+=+-----∑（2分） 4．解：（1）利用21ˆˆ2q H P A q c φμ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得系统的哈密顿量为 222222211ˆˆˆˆˆ221ˆˆˆ2x x y y zz x y z q q q q H P A q P A P A P A q y c c c c q P By P P q yc φεμμεμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（4分）（2）证明：2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222x x y z x x x y x z x x q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222z x y z z x z y z z z z q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ˆx P 的本征函数为()/x x ip x P x e ψπ=，本征值为x p -∞<<∞ ˆz P 的本征函数为()/z zip z P x e ψπ=，本征值为z p -∞<<∞ （4分） （3）选守恒量完全集为()ˆˆˆ,,x zH P P （2分）。
量子力学考试题
量子力学考试题量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。
（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧F ），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。
（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。
（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S H ??ω=∧H ＝ω∧z S +ν∧x S （ω，ν>0，ω?ν）（a ）求能级的精确值。
（b ）视ν∧x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。
4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x</x5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。
已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→r )，b ψ(→r )，c ψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。
（i ）无自旋全同粒子。
（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。
量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。
力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。
（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。
（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝222νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ]则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω 21+0-ων2241＝-ω21-ων241 E 2＝E2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων2414、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝0sin 2a xa π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=?π x p ＝-i ?=a dx dx d011ψψ-i ?=aa x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ??-=aaa x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --?adx a x 02]sin π＝0+?=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。
北京理工大学05年研究生入学考试量子力学试题及答案(4)
3. a = b时，写出第一激发态波函数，并求系统处于第一激 发态的量子涨落 ∆x。 2 nxπx nyπy a = b时 ψn (x, y) = sin sin
a a a
设沿x方向处于第一激发态，沿y方向处于基态， 2 2πx πy ψ1 (x, y) = sin sin a a a a a a a 4 2πx πy 1 4πx 2 2 )dx = x = 2 ∫ xsin dx∫sin dy = ∫ x(1− cos
久期方程 得到
cosθ − λ sin θ cosϕ + i sin θ sin ϕ
sin θ cosϕ − i sin θ sin ϕ − cosθ − λ
=0
λ = ±1
(cosθ −1)a + (sin θ cosϕ −i sin θ sin ϕ)b = 0 (sin θ cosϕ +i sin θ sin ϕ)a −(cosθ +1)b = 0
2
同理
sin 2 θ W(σn = −1) = 2(1+ cosθ)
3.在 σz 本征值为-1的态下，计算 σn 的平均值
σn = −1σn −1
cosθ sin θ cosϕ − i sin θ sin ϕ0 = (0 1) 1 − cosθ sin θ cosϕ + i sin θ sin ϕ
λ = +1
λ = +1
(cosθ −1)a + (sin θ cosϕ −i sin θ sin ϕ)b = 0 (sin θ cosϕ +i sin θ sin ϕ)a −(cosθ +1)b = 0
1 1− cosθ ψ+1 = a sin θ cosϕ − i sin θ sin ϕ
(白)(北理工教材)Y-量子物理习题课 -
hc AC u e
6.63 10 34 3 108 4.47 1.6 10 19 0.2 10 6 1.74V 19 1.6 10 U 1.74V
例3。设me为电子的静止质量，c为光速。当电子的动能等于它的静止质量 时，它的德布罗意波长为 。 h 3 me c
选A
例2。设铜的逸出功为4.47eV。以0.2μm的光照射一铜球，铜球放出电子 。若将铜球充电，当充电到电势为 U 1.74V 时，铜球不再放出电子。
（2012年考题）
分析： 当铜的逸出功与电子的电势能之和大于等于 入射光子能量时，铜球不再放出电子
AC u eU h
U h AC u e
L l（l 1） 2 3 3 4
可得角量子数 角动量空间取向
l3 2l 1 7
Lz 0 , ,2 ,3
例6。宽为a的一维无限深势阱中的粒子的波函数在边界处为零，其定态为 驻波。 （1）试根据德布罗意关系式和驻波条件，求粒子最小动能公式（不考虑 相对论效应）。 （2）若基态波函数为（x） A sin x ， 0 x a ，求粒子处于基态时在 1 a 区间内发现粒子的概率。 0 xa 4 解： （1） 设粒子被禁闭在长度为a的一维箱中运动形成驻波，根据 驻波条件有
例5。主量子数n=2,磁量子数ms=1/2的量子态中，能填充的最大电子数为 4 ，当氢原子的角动量 L 2 3 时，角动量有几个空间取向 ；在外磁场方向的分量Lz= 0 , ,2 ,3。
7
（2012年考题）
分析： 由于磁量子数少了一半，能填充的最大电子数也少了一半，为n2=4
1.00 10 9
nm
（2012年考题）
北京理工大学07年研究生入学考试量子力学试题及答案(6)
2 t I
]
8
（3）若系统附加一个能量微扰项 V cos ，求系统第一激 发态能量的一级修正值。 （3）
H cos
( 10) ( )
1 2
e i
E1(1)
1 H11 2
2
cos d 0
0
9
四、（30分） 为泡利算符，试求 （1）在 z 表象中，求 z ， x 和 y 的本征态。 （2）在 x 表象中，求 z和 y 的本征态和本征值。 （3）由 z 表象变换到 x 表象的变换矩阵。 （1）在 z 表象中， x 和 y 的矩阵表示 解：
L2 L2 H H 解： （1）转子能量的经典表示： ，对平面转子， z 2I 2I 1 im ˆ2 ( ) m 2 2( ) m 0,1,2, ( ) e Lz 2
m2 2 ˆ 所以 ( ) 也是 H 的属于本征值 E m 的本征函数。 2I
Y00 （3）（已知球谐函数： 1 3 3 , Y10 cos , Y11 sin e i ） 4 8 4 1 i 1 e sin cos 4 4
2 3 i 1 3 2 1 e sin cos Y11 Y10 3 8 3 3 4 3
即得 y 的属于本征值 1的本征态分别为
（2）在 x 表象中，求 z和 y 的本征态和本征值。 利用轮换对称性，在 x表象中， 0 1 1 0 y x 1 0 0 1
y 的本征值和本征态： 1； 2 1
2 2
L z取值可为 ,,0，概率比
值概率
1 1 2 , , 6 6 3
。Lz 0 0
北京理工大学04年研究生入学考试量子力学试题及答案(3)
= σ x cos2 λ −σ x sin 2 λ − 2σ y cosλ sin λ
= σ x cos 2λ −σ y sin 2λ
12
四、（40分）设体系处于归一化波函数ψ = c1Y11 + c2Y20 ,求 、（40分 40 1. Lz 的可测值及相应的概率。 2. L2 的可测值及相应的概率。 3.计算 (∆Lz )2 4.在 ψ = Y11 态下，求 Lx 的平均值。 5.在 ψ = Y11 态下，求 (∆Lx )2 的平均值。 解：1.
a a 2
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而 − a < x < a 势阱中粒子波函数
′ 将 ψ1(x) 按 ψn (x)展开， ψ1 (x) =
a 2 a
′ ψn (x) =
1 nπ sin (x + a) a 2a
∑c ψ′ (x)
n n n
a
2 2 πx π πx π ′ c1 = ∫ψ1 *ψ1dx = sin( + )sin( + )dx a −∫ 2a 2 a 2 −a a
2 z
(∆Lz ) = c1 (1− c1 )ℏ = c1 c2 ℏ2
2 2 2 2 2 2
4.在 ψ = Y11 态下，求 Lx 的平均值。
ˆ = 1 (L + L ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 利用升降算符 L± = Lx ± iLy ，得 Lx + − 2
ˆ L± l, m = (l ∓ m)(l ± m+1)ℏ l, m±1
求基态能量一级修正。 5.当粒子处于基态时，设阱宽突然变为 2a，粒子波函数来 不及改变，求粒子仍处在基态的概率。
2
解： 1. 粒子能量本征值和本征函数为：
量子力学练习答案
《量子力学》试题(A) 答案及评分标准一、简答题（30分，每小题5分） 1．何谓势垒贯穿？是举例说明。
答：微观粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。
它是一种量子效应，是微观粒子波粒二象性的体现。
例如金属电子冷发射、α衰变等现象都是由隧道效应产生的，利用微观粒子势垒贯穿效应的特性制造了隧道二极管。
2．波函数()t r ,ψ是应该满足什么样的自然条件？()2,t r ψ的物理含义是什么？ 答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。
()2,t r ψ表示在t 时刻r 附近τd 体积元中粒子出现的几率密度。
3．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态、正宇称态和负宇称态？答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。
若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是本征值相应的简并度。
将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数一样，则称其为正宇称态；将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
4．物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？答：物理上可观测量对应线性厄米算符。
线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与观测值比较。
5．坐标x 分量算符与动量x 分量算符x pˆ的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。
答：对易关系为[] i ˆ,=x px ，测不准关系为2≥∆⋅∆x p x 6．厄米算符F ˆ的本征值nλ与本征矢n 分别具有什么性质？ 答：本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系二、证明题：（10分，每小题5分）（1）证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证明：由对易关系z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=-及反对易关系0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ ，得z y x i σσσˆˆˆ=上式两边乘z σˆ，得2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ ∴ i z y x =σσσˆˆˆ （2）证明幺正变换不改变矩阵的本征值。
量子力学练习题解决波函数和测量问题
量子力学练习题解决波函数和测量问题量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，该领域的研究通常涉及到波函数和测量问题。
在本文中，我们将通过解决一些练习题来进一步理解并解决这些问题。
在解答过程中，我们将遵循合适的格式，以确保文章排版整洁美观，语句通顺，并在内容上满足题目描述的需求。
【题目一】考虑一个自旋1/2的粒子，其纯态波函数表示为|ψ⟩= (1/√3)|↑⟩ + (√2/√3)|↓⟩，其中|↑⟩和|↓⟩分别表示自旋向上和向下的状态。
请回答以下问题：1. 这个粒子处于自旋向上和向下状态的概率分别是多少？2. 这个粒子的自旋在x轴和z轴方向的期望值分别是多少？3. 如果对这个粒子进行自旋z方向的测量，测量结果有哪些可能性？每个结果的概率是多少？【解答一】1. 这个粒子处于自旋向上和向下状态的概率分别是 |⟨↑|ψ⟩|²和|⟨↓|ψ⟩|²。
根据题目中给出的波函数，可以计算得到概率分别为：|⟨↑|ψ⟩|² = (1/√3)² = 1/3 和 |⟨↓|ψ⟩|² = (√2/√3)² = 2/3。
2. 对于自旋在x轴和z轴方向的期望值，可以使用对应的算符来计算。
自旋在x轴的算符为σₓ = |↑⟩⟨↓| + |↓⟩⟨↑|，自旋在z轴的算符为σ₃ = |↑⟩⟨↑| - |↓⟩⟨↓|。
期望值⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩。
代入波函数和算符，我们可以计算得到自旋在x轴的期望值⟨σₓ⟩ = ⟨ψ|σₓ|ψ⟩= ((1/√3)(√2/√3) + (√2/√3)(1/√3))= 0。
同样地，自旋在z轴的期望值⟨σ₃⟩ = ⟨ψ|σ₃|ψ⟩ = (1/3 - 2/3) = -1/3。
3. 当进行自旋z方向的测量时，测量结果有两种可能性：测量得到自旋向上的状态|↑⟩或测量得到自旋向下的状态|↓⟩。
根据波函数的线性叠加性质，可以计算得到各自的概率。
测量得到自旋向上的概率为|⟨↑|ψ⟩|² = (1/√3)² = 1/3，测量得到自旋向下的概率为 |⟨↓|ψ⟩|² =(√2/√3)² = 2/3。
北京理工大学04年研究生入学考试量子力学试题及答案(3)
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1,1 ( L2 L2 L L L L ) 1,1 4
1 1 2 2 ˆ ˆ 1,1 L L 1,1 2 4 4 2
(Lx ) 2 L2 Lx x
2
L 1,1 0
2 2
15
ˆ 1,1 1 1,1 L L 1,1 0 ˆ ˆ Lx 1,1 Lx 2
14
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 5.在 Y11 态下，求 (Lx ) 2 的平均值。 L2x ( L2 L2 L L L L )
1 4
ˆ2 1,1 1 1,1 ( L L )( L L ) 1,1 ˆ ˆ ˆ ˆ L 1,1 Lx 4
4.证明 exp( i z ) cos i z
e
i z
sin
参考大连理工2004年题二（3）
(i z ) n (i ) n ( ) ( z ) n n! n! n 0 even odd
n
( ( z ) 2 1 ，所以 n 为偶数时， z ) n 1；n为奇数时， z ) z (
A
2 a
0
3 5 a5 a4 2 a 2 a x ( x a) dx A [ a 2a ] A 1 5 3 4 30 2 2 2
所以
( x)
a
30 x( x a) 5 a
60 a 2 x c1 ( x) 1 ( x) * dx ( x ax) sin dx 6 0 a a 0
a2 1 a2 1 1 2 a2 ( 2 ) 3 2 2 3 2
3
a x 2
1 1 x2 a2 ( 2 ) 3 2
《量子力学》22套考研自测题+答案
（2）求自旋角动量的 z 分量 sz 的平均值；
（3）求总磁矩 M = − e L − e s
2μ μ
的 z 分量 M z 的平均值。
12. s 、L 分别为电子的自旋和轨道角动量，J = s + L 为电子的总角动 量。证明：[ J , s ⋅ L ]=0；[ J 2 , Jα ]=0，α = x, y, z。 13.质量为 μ 的粒子受微扰后，在一维势场中运动，
QQ：704999167
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量子力学自测题（5）
一、 填空题（本题 20 分）
1．Planck 的量子假说揭示了微观粒子
特性，Einstein 的光
量子假说揭示了光的
性。Bohr 的氢原子理论解决了经典
考研自测题精美汇总
电磁场理论和原子的
之间的矛盾，解决了原子的
的起源问题。
2．力学量算符必须是
QQ：704999167
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量子力学自测题（3）
一、 简答题（每小题 5 分，共 40 分）
1.一粒子的波函数为ψ (r ) = ψ (x, y, z) ，写出粒子位于 x ~ x + dx 间的几
率。
考研自测题精美汇总
2.粒子在一维δ 势阱V (x) = −γ δ (x)， (γ > 0)，中运动，波函数为ψ (x) ，
ψ （1，2，），试证明交换算符 Pˆ12 是一个守恒量。 2．设Uˆ 是一个幺正算符，求证 Hˆ = i dUˆ ⋅Uˆ + 是厄米算符。
dt
3．设σ y 为 Pauli 矩阵， （1）求证： eiθσ y = cosθ + iσ y sinθ （2）试求：Treiθσ y
大学物理量子力学习题答案解析
一、简答题（1——8题，每题5分，共40分）1. 用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r 。
写出粒子在),(ϕθ方向的立体角Ωd 中且半径在a r <<0范围内被测到的几率。
解：()⎰Ω=adrr r d P 022,,ϕθψ。
2. 写出三维无限深势阱⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(cz b y a x z y x V中粒子的能级和波函数。
解：能量本征值和本征波函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++222222222c n b n a n mE z yx n n n zy x π ，,3,2,1,00,0,0,sin sin sin 8),,(=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<=n c z b y a x czn b y n a x n abc z y x z y x n n n z y x 其余区域πππψ3. 量子力学中，一个力学量Q 守恒的条件是什么？用式子表示。
解：有两个条件：0],[,0==∂∂H Q t Q。
4.）（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？解：()zL L,2的共同本征函数是球谐函数),(ϕθlmY。
),(),(,),()1(),(22ϕθϕθϕθϕθlm lm z lm lm Y m Y L Y l l Y L =+=。
5. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：∑=nn n x c x )()(ψψ，写出展开式系数n c 的表达式。
解： ()dxx x x x c n n n ⎰==)()()(,)(*ψψψψ。
6. 一个电子运动的旋量波函数为()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,,r r s r z ψψψ，写出表示电子自旋向上、位置在r处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。
解：电子自旋向上（2 =z s ）、位置在r 处的几率密度为()22/, r ψ；电子自旋向下（2 -=z s ）的几率为()232/,⎰-r r d ψ。
量子力学试题
量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 中运动，若0=t 时，粒子处于状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。
（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 （1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由可知，归一化常数为于是，归一化后的波函数为 能量的取值几率为能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。
解：对于02<-=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 其中，在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 得到 于是有此即能量满足的超越方程。
当021V E -=时，由于故40ππ-=n a mV， ,3,2,1=n最后，得到势阱的宽度三.（20分）设厄米特算符Hˆ的本征矢为n ，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符（1） 计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ； （2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；（3） 计算迹(){}n m U,ˆTr ； （4） 若算符A ˆ的矩阵元为nm mn A A ϕˆ=，证明 解：（1）对于任意一个态矢ψ，有 故（2）()()()p m U q p U n m U nq q p n m ,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ== （3）算符的迹为（4）算符 而四. （20分）自旋为21、固有磁矩为s γμ=（其中γ为实常数）的粒子，处 于均匀外磁场k 0 B B =中，设0=t 时，粒子处于2=x s 的状态，（1） 求出0>t 时的波函数；（2） 求出0>t 时x sˆ与z s ˆ的可测值及相应的取值几率。
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2010真题
2011年真题
2012年真题
一、（50分）
（1）何谓微观粒子的波粒二象性？
（2）分别说明什么是束缚态，它应满足何种自然条件？ （3）波函数的物理意义是什么？简并态和负宇称态？ （4）物理上可观测量应对应何种性质算符，为什么？
（5）氢原子能量量子数4n =，问氢原子轨道角动量有哪些可能的取值和取向？ 二、（20分）一粒子质量为m ，在三维无限深势阱中运动，势阱箱的长宽高分别在0,0,0x a y b z c ≤≤≤≤≤≤区间，在势阱内势场为零。
（1）求粒子的波函数和能量可能值
（2）若a b c ==，讨论系统第二和第三激发的态简并度
三、（20分）在磁场中运动的电子哈密顿量为z H WS =，初始电子处于h
22X S π
=∙
的状态，给出任意时刻的波函数在此状态下测量z S 得h
22π
-∙的概率是多少？
四、（30分）x σ，y σ，z σ为泡利算符， （1）在z σ表象中，求x σ和y σ的归一化本征失
（2）求算符n σ−−→∙−−→的归一化本征失和本征值，其中σ为泡利矩阵，n
−−→=（cos α,cos β,cos γ）为空间单位矢量
（3）在z σ本征值为1的态下，计算n
σ−−→∙−−→的平均值 （4）在z σ本征值为1的态下，计算2
()x ∇σ （5）证明exp(i λz σ)=cos λ+i z σsin λ
（6））证明exp(i λz σ)z σexp(-i λz σ)= z σcos2λ-y σsin2λ 五、（30分）(1)若系统哈密顿量为2
221()2
x y z Z H L L AL L =
+++,在角动量算符z L 的本征态下，试求：
（a ）系统能量本征值 （b ）角动量算符X L 的平均值
（c ）角动量算符L −−→沿矢量n
−−→=（cos α,cos β,cos γ）投影的平均值 （2）氢原子处于的Ψ
Φ200-12Φ310-12Φ31-1状态上，试求：
（a ）能量和角动量z 分量的可能取值与相应概率
（b ）求出角动量平方的平均值
2013年真题。