级数求和与函数展开习题课
级数求和与函数展开习题课
一、数项级数的审敛法√ 二、求幂级数收敛域的方法
4、5、7节
三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数
展开法
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三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限
• 利用幂级数性质，借用已知幂级数的和函数求解 （在收敛区间内）
anxn
n0
难
逐项求导或求积分
an xn
n0
求和
S(x)
对和式积分或求导
S * ( x)
• 数项级数 直接求和: 求部分和等 求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
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常用函数的幂级数（或常用幂级数的展开式）
ex 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
x (, )
ln(1 x)
x
1x2 2
1 x3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x (1, 1]
sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
x (, )
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(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m n 1) xn x (1, 1) n!
当 m = –1 时
1 1 x x2 x3 (1)n xn , 1 x
x (1, 1)
习题课级数的收敛求和与展开
逐项求导或求积分 难
求和
• 数项级数 求和
对和函数求积或求导
直接求和: 直接变换,
求部分和等
间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
例3. 求幂级数
法1 易求出级数的收敛域为
法2 先求出收敛区间
设和函数为
则
练习: P329 题9. 求下列幂级数的和函数：
解: (1)
x≠0
显然 x = 0 时上式也正确, 故和函数为
上的表达式为 将其展为傅氏级数 .
解答提示
延拓方法 它在
思考: 如何利用本题结果求级数 提示: 根据傅式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有
备用题 设幂级数
满足
(1) 证明
(2) 求 y(x) 的表达式.
解: 设
则由
内收敛, 其和函数
( 2007考研 )
代入微分方程得
可见 分析
(2) 由(1) 知
收敛
发散
3. 任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
若
发散 , 称
绝对收敛 条件收敛
Leibniz审敛法: 若 则交错级数
且 收敛 , 且余项
Dirichlet判别法
设{an },{bn }是两个数列, Sn a1 a2 L an ,
如果它们满足：
（1） {an }的部分和数列{Sn }有界；
故存在 N > 0,
当n >N 时
从而 再利用比较法可得结论
P328 题5. 设级数是否也Biblioteka 敛？说明理由.收敛 , 且
提示: 对正项级数,由比较判别法可知 但对任意项级数却不一定收敛 .
例如, 取
高等数学下册习题课件：幂级数的和函数与函数展开成幂级数
1 3n
1 2n
]xn
(2 x2) 。
四、解答题
1.求幂级数 xn1 的收敛域与和函数。 n1 n2n
解：∵
lim n
n
an
lim n
n
1 n2n
11 1 lim
n 2 n n 2
，
∴R2 ，收敛区间为（-2，2），
当 x 2 时，得 (1)n1 1 ，收敛的；
n1
2n
当 x2 时，得
]t
n
(
3 2
t
3 2
),
f
(
x
)
[
n0
1 2n1
(1)n
2n 3n1
](
x
1)n
(1 x 2
5 ).
2
3.
将函数
f
(
x
)
1 x2
展开成( x1) 的幂级数.
解:
∵
f
(
x
)
1 x2
(
1 x
)
，
而 1
1
(1)n( x 1)n , (0 x 2).
x 1 ( x 1) n0
∴
f (x)
0 n0
2n1
0 n0
2n1
(1)n
x 2n2 (1 x1)
n0(2n1))2n 2)
解法 2： arctan x (1)n1 x 2n1 ( 1 x1),
n1
2n1
ln
1 x 2
1ln(1 x 2 ) 1
(1)n1
x 2n ( 1 x1),
2
2 n1
n
∴ f ( x) xarctanxln 1 x2
高等数学级数的求和、函数（精品）
一、某些级数的部分和（小孩小孩，，像下面的要证明的话像下面的要证明的话，，就用数学归纳法就用数学归纳法！！） )1(21321+=++++n n n L)12)(1(613212222++=++++n n n n L223333)1(41321+=++++n n n L)133)(12)(1(30132124444−+++=++++n n n n n n L )122()1(1213212225555−++=++++n n n n n L )1363)(12)(1(421321346666+−+++=++++n n n n n n n L )2463()1(241321234227777+−−++=++++n n n n n n n L−+=−+−+−−为偶数为奇数n n n n n n ,2),1(21)1(3211L)1(21)1()1(321121222+−=−+−+−−−n n n n n L+−+−=−+−+−−为偶数为奇数n n n n n n n n ),32(41,)1)(12(41)1(3212231333L)1)(1(21)1()1(3212141444−++−=−+−+−−−n n n n n n n L)1(2642+=++++n n n L 2)12(531n n =−++++L)14(31)12(53122222−=−++++n n n L)12()12(531223333−=−++++n n n L)2)(1(31)1(433221++=+++⋅+⋅+⋅n n n n n L)3)(2)(1(41)2)(1(543432321+++=++++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅n n n n n n n L)4)(3)(2)(1(51)3)(2)(1(54324321++++=+++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅n n n n n n n n n L)!1()!1(21)()1(1−+++=++∑=n k n k k j j j nj L)53)(2)(1(121)1(12+++=+∑=n n n n j j nj)32)(3)(2)(1(101)2()1(12++++=++∑=n n n n n j j j nj)1(41)(22122−=−∑=n n j nj nj4)2(2)1(2211−+−=++=∑n n j j n nj j1111)1(1431321211+=+−=+++⋅+⋅+⋅n n n n n L)2)(1(2141)2)(1(1543143213211++−=++++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅n n n n n L )3)(2)(1(31181)3)(2)(1(1654315432143211+++−=+++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅n n n n n n n L)1(21214311)1)(1(1222+−−=−=−+∑∑==n n j j j nj nj12)12)(12(11+=+−∑=n nj j n j13)13)(23(11+=+−∑=n nj j nj)32)(12(41121)32)(12)(12(11++−=++−∑=n n j j j nj)43)(13(61241)43)(13)(23(11++−=++−∑=n n j j j nj)2)(1(212243)2)(1(121++++−=++−∑=n n n j j j j nj)3)(2)(1(34)3)(2(23313629)3)(1(21+++−++−+−=+++∑=n n n n n n j j j j nj2122)2)(1(211−+=++∑=−n j j j n nj j)2(34)1(32)2)(1(4112+−+=+++=∑n n j j j n nj jnnj jn j j j 2)1(112)1(21+−=++∑=nnj j n j j j 3)1(113)1(321+−=++∑=−+−+=−+−+−+++=++−∑1111111)1(2)1(131])1(2][)1(2[2)1(n n n nj j j j jj j−−+++++−=−++−++∑=b n a a a n b b b a b j a a a j b b b nj )1()1()()1(11)1()1()1()1(1L L L L二、乘法与因式分解公式（容易推导）ab x b a x b x a x +++=++)())((2 2222)(b ab a b a +±=± 3223333)(b ab b a a b a ±+±=± ))((22b a b a b a +−=− ))((2233b ab a b a b a +±=±m)())((122321为正整数n b ab b a b a a b a b a n n n n n n n −−−−−+++++−=−L )())((122321为偶数n b ab b a b a a b a b a n n n n n n n −−−−−−+−+−+=−L )())((122321为奇数n b ab b a b a a b a b a n n n n n n n −−−−−+−−+−+=+Lca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a −−−++++=−++三、有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式)0,1()1ln(1)0,1(1)0,1(11)0(11)0 为自然数，(!!21)0,1(11)0(121,104)1(sin 2031tan )0(61sin )0,(211cos 222sin )0(1sin cos 20tan sin 112332≠−><+<+≠−>+<≠−>−<+≠−>>++++>≠<−<≠+>≠<<<−<<<+>>−>≠∞<<−∞−><<−><<<<<<<<+−−x x x x xxx x x ex x e x xx x e x n n x x x e x x xe x x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x xx x x xn xxx L ππππππππ 特别取)(1为自然数n nx =，有 nn n 111ln 11< +<+)0,1(1)1(210tan sin 21sec ln )0,0()1(ln )0,1(1)1ln()0(1ln 1>>+>+<<⋅<>>−≤≠<−<−−<>−≤x x x x xx x x n x n x x x xx x x x x x nααα四、组合公式C n k C k n C k n k C n n k C C C C C C C C C C CC C n k n k n k n k n k n k n n kn k n k n k n k n j k jj kn k n n jnj km nk m jn k jj k ==++=+−=−==+===−−+++−−+−+−−=++++=+−=∑∑∑1111111111100111五、、函数的概念与分类[函数与反函数] 设D 是给定的一个数集.若有两个变量x 和y ，当变量x 在D 中取某个特定值时，变量y 依确定的关系f 也有一个确定的值，则称y 是x 的函数，f 称为D 上的一个函数关系上的一个函数关系，，记为y =f (x )，x 称为自变量称为自变量，，y 称为因变量.当x 取遍D 中各数，对应的y 构成一数集R ，D 称为定义域或自变数域，R 称为值域或因变数域.反过来，若把y 视为自变量，x 视为因变量，用y 写出x 的表达式：x =ϕ(y )，则称y =f (x )与x =ϕ(y )互为反函数.例如例如：：y = x + sin(x+3)[实变函数与复变函数] 当自变数域为实数域时，函数称为实变函数.当自变数域为复数域时，函数称为复变函数.[一元函数与多元函数] 只有一个自变量的函数称为一元函数.有两个或两个以上自变量的函数称为多元函数.[显函数与隐函数] 因变量可以由自变量用数学式子直接表示出来的函数称为显函数.例如例如：：y = x + 3, 这就叫显式表示这就叫显式表示，，显函数若函数关系包含在一个方程式或一组方程式中，自变量与因变量无明显区分，则称为隐函数.例如例如：：sin(x) + tg(2y) = 5, 这就叫隐式表示这就叫隐式表示，，隐函数[简单函数与复合函数] 若y 是u 的函数y =f (u )，而u 又是x 的函数，u =ϕ(x )，则y 称为x 的复合函数，u 称为中间变量，记作y =f [ϕ(x )]，无中间变量的函数称为简单函数.例如例如：：y = sin[exp(cos(x+2))][有界函数与无界函数] 若存在两个数m , M (m ≤M )，使m ≤f (x )≤M ，对定义域上的任意x 都成立，则称f (x )为定义域上的有界函数，m 为其下界，M 为其上界.若这样的数m 和M 至少有一个不存在，则称f (x )为定义域上的无界函数.例如例如：：sin(x)就是有界函数就是有界函数，，{-1，1}[单调函数与非单调函数] 若对于区间[a , b ]中的任意x 1>x 2有f (x 1)≥f (x 2)[或f (x 1)≤f (x 2)]，则称f (x )为[a , b ]中的递增函数(或递减函数).递增函数和递减函数通称为单调函数.不是递增(或递减)的函数称为非单调函数.换句话说换句话说：：对于区间[a , b ]，f’(x)>0，则为单调递增函数则为单调递增函数；；而f’(x)<0,递减函数[奇函数与偶函数] 若对于定义域中的任意x 恒有()()x f x f −=−，则称f (x )为奇函数；若对于定义域中的任意x 恒有()()x f x f =−，则称f (x )为偶函数.例如例如：：sin(x)，tg(x), ctg(x)是奇函数是奇函数、、而cos(x)是偶函数[周期函数与非周期函数] 若有一实数T ≠0，使对定义域中的任意x 恒有f (x +T )=f (x )，则f (x )称为以T 为周期的周期函数；否则称f (x )为非周期函数.孩子，注意周期的求法：按照定义来（保持T 为最小！！！） 例如：sin(x)=sin(2PI +x),所以，2PI 是函数sin(x)的周期Sin^2(x)=1/2[1-cos(2x)]=1/2[1-cos(2PI+2x)]=1/2[1-cos2(PI+x)]=sin^2(PI+x)所以，PI 是sin 平方的周期[单值函数与多值函数] 若对于自变量x 的一个值，因变量y 有一个而且只有一个值与其对应，则称y 为x 的单值函数.若对于自变量x 的一个值，与其对应的y 值不止一个，则称y 为x 的多值函数.[初等函数] 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数通称为“基本初等函数”，凡是由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次的复合步骤而构成，并能用一个数学式子表示的函数都属于初等函数.[幂函数的图形与特征]方程与图形 特 征曲线通过点(0,0)和(1,1)；当x >1时，α越大曲线上升越快.当α为偶数，函数为偶函数，在区间(0,∞)中为递增函数，在区间(-∞,0)中为递减函数.当α为奇数，函数为奇函数和递增函数.曲线通过点(1,1).当α为负偶数，函数为偶函数，在区间(-∞,0)中为递增函数，在区间(0, ∞)中为递减函数.当α为负奇数，函数为奇函数和递减函数.方程与图形 特 征指数函数曲线与y 轴相交于点A(0,1). 渐近线为y=0.曲线与x 轴相交于点A(1,0). 渐近线为x=0.[三角函数的图形与特征] 标准正弦曲线周期：π2=T与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0),0,(±±=k k B k π极值点（极大点或极小点）：L ,2,1,0,)1(,21(±±=−+k k A k k π余弦曲线周期：π2=T与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0,0,)21(±±=+k k B k π极值点：L ,2,1,0),)1(,(±±=−k k A k k π 一般正弦曲线)sin(0ϕω+=x A y 周期：ωπ2=T式中A >0为振幅，ω为角频率，0ϕ为初相 与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0,0,0±±=−k k B k ωϕπ极值点：,)1(,21(0−−+A k A k k ωϕπL ,2,1,0±±=k 同时，)cos(1ϕω+=x A y 也属于一般正弦曲 它是将标准正弦曲线在y 轴方向上伸线(设210πϕϕ+=，可化为))2sin(1πϕω++x A 长A 倍，在x 轴方向上压缩ω倍，并向左平移ωϕ0一段距离而得到.正切曲线周期：π=T与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0),0,(±±=k k A k π，该点切线斜率为1.渐近线：π21(+=k x余切曲线周期：π=T与x 轴交点（同拐点）： L ,2,1,0,0,)21(±±=+k k A k π，该点切线斜率为－1.渐近线：πk x =y =tan x正割曲线周 期：π2=T极大点：)1,)12((−+πk A k 极小点：L ,2,1,0),1,2(±±=k k B k π渐近线：π)21(+=k x余割曲线周 期：π2=T极大点：−+1,232(πk A k极小点：+1,)212(πk B kL ,2,1,0±±=k渐近线：πk x =反三角函数的图形与特征]反正弦曲线 反余弦曲线拐点（同曲线对称中心）： 拐点（同曲线对称中心）：)0,0(O ，该点切线斜率为12,0(πA ，该点切线斜率为－1反正切曲线 反余切曲线拐点（同曲线对称中心）： 拐点：)0,0(O ，该点切线斜率为1 )2,0(πA ，该点切线斜率为－1渐进线：2π±=y曲线对称中心：)2,0(πA渐近线：π==y y ,0反正割曲线反余割曲线顶点：),1(),0,1(π−B A 顶点：)2,1(),2,1(ππ−−B A渐近线：2π=y渐近线：0=y六、双曲函数1. 双曲函数的定义、图形与特征[双曲函数的图形与特征]双曲正弦曲线 双曲余弦曲线x y sh =x y ch =曲线关于原点对称. 曲线关于y 轴对称. 拐点（同曲线对称中心）： 顶点（同极小值点）：)1,0(A )0,0(O ，该点切线斜率为1双曲正切曲线 双曲余切曲线 x y th =x y cth =曲线关于原点对称.曲线关于原点对称. 拐点（同曲线对称中心）： 不连续点：0=x)0,0(O ，该点切线斜率为1 渐近线：1,0±==y x 渐近线：1±=y双曲正割曲线 双曲余割曲线 x y sech =x y csch =曲线关于y 轴对称. 曲线关于原点对称.顶点（同极大点）：)1,0(A 不连续点：0=x拐点：22,22th Ar B 渐近线：0,0==y x−22,22th Ar C 渐近线：0=y1csch cth ,1th sech ,1sh ch 1cth th ,cth sh ch ,th ch sh 222222=−=+=−===x x x x x x x x x xxx x x [双曲函数基本公式]和差的双曲函数y x yx y x y x y x y x y x y x y x yx y x y x cth cth cth cth 1)cth(th th 1th th )th(sh sh ch ch )ch(sh ch ch sh )sh(±±=±±±=±±=±±=±双曲函数的和差yx y x y x y x y x y x yx y x y x yx y x y x yx y x y x sh sh )sh(cth cth ch ch )sh(th th 2sh2sh 2ch ch 2ch2ch 2ch ch 2ch 2sh2sh sh ±±=±±=±−+=−−+=+±=±m倍 元 公 式 x xx x x x x x x x x x x x x x x x cth 2cth 12cth th 1th 22th ch 3ch 43ch ch sh 2ch sh 4sh 33sh ch sh 22sh 223223+=+=−=+=+== 半 元 公 式xx x x x x x x x x x x x x x x sh 1ch 1ch sh 2cth 1ch sh sh 1ch 2th 21ch 2ch,0,021ch 2sh +=−=+=−=+=<>−±=取负号取正号[反双曲函数的图形与特征] 反双曲正弦曲线 反双曲余弦曲线 x y sh Ar =x y ch Ar =曲线关于原点对称. 曲线关于x 轴对称. 拐点（同曲线对称中心）：顶点：)0,1(A)0,0(O ，该点切线斜率为1反双曲正切曲线 反双曲余切曲线 x y th Ar =x y cth Ar =曲线关于原点对称. 曲线关于原点对称. 拐点（同曲线对称中心）： 不连续点：1±=x )0,0(O ，该点切线斜率为1 渐近线：1,0±==x y反双曲正割曲线 反双曲余割曲线 x y sech Ar =x y csch Ar =曲线关于x 轴对称. 曲线关于原点对称.顶点：)0,1(A不连续点：0=x拐点： 22th Ar ,22B 渐近线：0,0==y x和−22th Ar ,22C4. 反双曲函数的相互关系与基本公式[基本公式]xyy x y x y x xy y x x y y x y x ±±=±−−±=±+±+=±1thAr th Ar th Ar ])1)(1(ch[Ar ch Ar ch Ar )11sh(Ar sh Ar sh Ar 2222。
函数展开成幂级数公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
f (x) (1)n x2n1, x [1, 1] 4 n02n 1
第21页
2. 将 f (x) ln(2 x 3x2 ) 在x = 0处展为幂级数.
解:
f
(
x)
ln(1
x)
ln
2
ln(1
3 2
x)
2 x 3x2
ln(1
x)
n1
xn n
(1 x)(2 3x) (1 x 1)
解:
sin
x
sin
4
(
x
4
)
sin
4
cos(
x
4
)
cos
4
sin(
x
4
)
1 2
cos(x
4
)
sin(
x
4
)
1 2
1
1 (x 2!
4
)2
1 (x 4!
4
)4
( x
)
4
1 (x 3!
)3
4
1 (x 5!
)5
4
1 1 (x ) 1 (x )2 1 (x )3
2
4 2! 4 3! 4
•
ln(1 x)
x 1x2 2
1 x3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x (1, 1]
第18页
• sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x ( , )
• cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
数” 有何不同 ?
勒级
提醒: 后者必需证实 lim Rn (x) 0, 前者无此要求.
《高数》第十一章-习题课：级数的收敛、求和与展开
概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
若
发散 , 称
绝对收敛 条件收敛
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且余项
4
例1. 若级数
均收敛 , 且
证明级数
收敛 .
证: 0 c n a n bn a n (n 1 , 2 , ), 则由题收敛
(1)n
n0
x2n ,
x (1,1)
arctan
x
x
01
1 x2
d
x
(1)n x2n1, n02n 1
x [1,1]
于是
f (x) 1 (1)n x2n (1)n x2n2
n1 2n 1
n02n 1
25
f
a 1 时收敛 ; a 1 时发散.
s 1 时收敛;
a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
7
P257 题3. 设正项级数 和 都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示:
因
lim
n
un
lim
n
vn
0
,存在
N
>
0, 当n
>N
时
又因
2( un2 vn2 )
思考: 如何利用本题结果求级数
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有
e 1 1
2 n1
f (0 ) f (0 ) 1
2
2
28
作业
P257 6 (2); 7 (3); 9(1) ; 10 (1) ;
课件：函数展开成幂级数
n1
n n1 n
(1)n1 3n xn( 1 x 1 )
n1
n
3
3
22
思考：
如何将下列函数 展开成 x 的幂级数.
（1）f
(
x)
ln
1 1
x x
（2）f (x) ln(1 x x2 )
23
例10. 将f (x) arcsinx 展开x的幂级数。
解: 因为 f ( x) (arcsin x) 1
12
对应
m
1 2
,
1 2
,1
的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1
x
1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
7
例2. 将
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) (x)
•
ln(1
x)
xln221xn211n13[x13(14 x234)n] xn
(1)n (n321
xxn132)
x (1, 1]
高等数学-幂级数
其中
称为傅里叶级数. 称为傅里叶级数.
(3)
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) (Dirichlet)充分条件
∑=u ( x) + u ( x) ++ u ( x) +
n=1 1 2 n
∞
上的(函数项)无穷级数. 称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数.
(2)
收敛点与收敛域
收敛, ∑u ( x ) 收敛,
n=1 n 0
13
如果 x0 ∈ I , 数项级数
∞
则称 x0 为级数
收敛点, ∑u ( x) 的收敛点,
n=1 n
∞
否则称为发散点. 否则称为发散点. 发散点
的所有收敛点的全体称为收敛域 收敛域, 函数项级数 ∑un ( x)的所有收敛点的全体称为收敛域,
n=1 ∞
所有发散点的全体称为发散域. 所有发散点的全体称为发散域. 发散域
(3)
和函数
在收敛域上, 在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 s(x),
∞
∑ un
∞
∞
收敛, 为绝对收敛; 收敛, 则称 ∑un 为绝对收敛;
发散, 收敛, 为条件收敛. 若 ∑ un 发散,而 ∑un 收敛, 则称 ∑un 为条件收敛.
n=1 n=1 n=1
12
5、函数项级数
(1) 定义
设u1( x), u2 ( x),, un ( x),是定义在 I R 上的 函数, 函数,则
1 (1) 则当 ρ ≠ 0 时, R = ; ρ (2) 当 ρ = 0 时, R = +∞;
(3) 当 ρ = +∞ 时, R = 0.
高数课件-D12习题课
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开.
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第3页
一、数项级数的审敛法
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2. 正项1. 级利数用审部敛分法和数列的极限判别级数的敛散性
必要条件 nl im un 0
满足
不满足 发 散
比值审敛法
lim
n
u n 1 un
法2 因 n l i u m nn l i v m n0, n l i (m unvn)0,
故存在 N > 0,当n >N 时 0 (u n vn) 1 ,从而
(unvn)2(unvn) 再利用比较法可得结论
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P320 题4. 设级数 u n
n 1
收敛 , 且 lim vn n un
n 1
n 1
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第10页
P320 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
(1)
(1)n
n1
1 np
;
(2) n 1(1)n1sπinn nπ11;
(3) (1)nlnn1;
n1
n
(4) n 1(1)n(nnn11)!.
提示: (1) p >1 时, 绝对收敛 ; 0 < p≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 .
Leibniz审敛法: 若 unun 10, 且 nl im un0,
则交错级数 (1)nun 收敛 , 且余项 rn un1.
n 1
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第5页
解答提示:
P320 题2. 判别下列级数的敛散性:
(1)
高等数学课件D12习题课
( 2 ) 如 果 p 1 而 n l in p m u n l( 0 l ) 则 级 数 n 1 u n收 敛 .
发散
3. 任意项级数审敛法
概念: uຫໍສະໝຸດ n 为收敛级数n 1
若 u n 收敛 , 称 u n 绝对收敛
n 1
n 1
若
un
n 1
发散 , 称 u n 条件收敛
n 1
Leibniz判别法: 若 unun 10, 且 nl im un0,
例例 34 判 别 级 数 n 1 l1 n n 1 2 ) 的 ( 收 敛 性 .
解解 因 为 n l i l1 m n 1 n 1 2 ) ( 1 >而 >>级 数 n 1 n 1 2 收 敛
n 2
所 以 级 数 n 1 l 1 n n 1 2 ) 也 收 敛 ( .
解解 因 为 li u n m 1 li 1 2 m 3 ( n 1 ) li 1 m 0 1 n u nn 1 2 3 nn n
所以 根据比值审敛法可知所给级数收敛.
定理 (比值审敛法 达朗贝尔判别法)
设 n 1 u n为 正 项 级 数 如 果 n l iu u n m n 1 则 当 1时 级 数
下页
定理 (极限审敛法)
设 u n 为 正 项 级 数 n 1
( 1 ) 如 果 n l in m n u l 0 ( 或 n l in m n u ) 则 级 数 n 1 u n发 散 ;
数学分析-级数求和的常用方法及例题解答
sin na sin nx . n n 1
级数求和的常用方法-11
2017-2018 学年度第二学期期末考试复习材料——数学分析
2.9 针对 2.8 的延伸 sin(2n 1) x 在此对 2.8 的延伸， 并不是意味 例 24：计算 . 2n 1 n 1 着 2.8 是个通用的级数和式子， 只是 看见了另外的一个题可以运用 2.8， 在此列出是为了表明在求级数和的 过程中一些复杂级数可以由另外一 些级数求和的， 因此遇见复杂级数求 和的时候要多注意平常积累的例子， 想想平时有没有遇见类似的级数求 和问题.
级数求和的常用方法-7
2017-2018 学年度第二学期期末考试复习材料——数学分析
2.2 积分型级数求和（例 16） 例 16：计算级数 积分型级数求和显然直接求和 x (2 k 1) 会带来困难，通常积分也积不出来， 2 e 2 k 所以要转化， 将积分式子化简是个想 k 0 法， 通过变量替换等积分技术化简积 分式子， 再求级数和， 所以关键在于 处理积分式子
(
i 1
n
i 2 i 1 i 2) .
级数求和的常用方法-1
2017-2018 学年度第二学期期末考试复习材料——数学分析
1.6 有理化法求级数和（例 4） 例 4：计算 对于一些级数通项含有分式根 1 . 式的级数， 我们可以仿照数学中经常 n ( n 1)( n n 1) n 1 使用的方法“有理化”处理， 以期达到 能使得级数通项化简， 最后整个级数 都较容易求和.
级数求和的常用方法-2
2017-2018 学年度第二学期期末考试复习材料——数学分析
1.8 原级数转化为子序列求和 （例 6） *例 6：计算 若下列条件成立： （1） 当 n 时级 1 1 1 1 数的通项 an 0 （2）级数各项没有 破坏次序的情况而得新序列 bn 收
D12习题课
x2n ,
x (1,1)
arctan
x
x
01
1 x2
dx
(1)n x2n1, n02n 1
x [1,1]
于是
f (x) 1 (1)n x2n (1)n x2n2
n1 2n 1
n02n 1
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f
(x)
1
(1)n x2n n1 2n 1
(1)n x2n2 n02n 1
1 (1)n x2n (1)n1 x2n
n1 2n 1
n1 2n 1
1
(1)
n1
n
1 2n 1
1 2n 1
x2n
1 2n11(14)nn2 x2n ,
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2. 函数的傅氏级数展开法
系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法
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一、数项级数的审敛法
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法
lim
n
un1 un
1 不定
部分和极限 比较审敛法
根值审敛法 lim n
n
un
用它法判别 积分判别法
1
1
收敛
发散
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• 非标准形式幂级数 直接用比值法或根值法
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例2. 解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数
注意:
∵ 原级数 =
极限不存在
∴
其收敛半径
习题课级数的收敛求和与展开
(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 、
1
n1 n1
收敛 ,
故
(3)
(1)
n1
n
ln
n
n
1
因
un
ln
n 1 n
ln (1
1) n
单调递减,
且
lim
n
un
0
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
但
ln n 1 lim n ln k 1
n1 n
n k 1 k
n
lim ln( k 1) ln k
]n
xn
的收敛半径.
解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成得级数
k (x)
k 1
42k k 1 2k
x2k ,
k
k 1
(x)
22k 1 x2k 1 k 1 2k 1
lim
n
n1( x) n (x)
(4x)2,
R1
1 4
lim
n
n1( x) n (x)
(2x)2 ,
R2
1 2
∵ 原级数 = k (x) k (x)
1
1 2
n0
(1)n ( 2 n)!
n0
(
(1)n 2 n 1)!
1[cos 1 sin1] 2
四、函数得幂级数展开法
1、 函数得幂级数展开 •法直接展开法 — 利用泰勒公式
• 间接展开法 — 利用已知展式得函数及幂级数性质
例题:
1
1、 数
解:
将函 (2
1 (2 x)2
x)2
2
展开成 x 得幂级数、
n k 1
lim ln( n 1)
高考数学理科必考题型：第40练-求和与求展开项(含答案)
第40练 二项式定理的两类重点题型——求和与求展开项[内容精要] 二项式定理是一个恒等式，求解的问题主要有两类；学生需熟记公式，灵活运用，加以解决．形式主要是选择题和填空题．题型一 用公式求展开项例1 若(x ＋2x 2)n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45破题切入点 从第六项二项式系数最大可得n 值，再利用展开式的通项公式即可． 答案 B解析 依题意知：n ＝10， ∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r·(2x2)r ＝C r 102r·552r x ，令5－52r ＝0，得r ＝2，∴常数项为C 21022＝180.题型二 赋值法求系数之和例2 若(1＋2x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n ，则a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝________.破题切入点 令x ＝±1可得关于各项系数的两个方程，联立方程即可求解． 答案 3n －12解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝3n ；① 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ＝1.② ①－②，可得a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝3n －12.总结提高 (1)在使用通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r时，通项公式表示的是第r ＋1项的值，而不是第r 项的值，展开式中第r ＋1项的二项式系数C r n 与第r ＋1项的系数不同．(2)二项展开式中项的系数的和或差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决，一般是对x 赋值为±1或0.另外要注意掌握(1＋x )n 展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和，只需令x ＝1即可．而要求(1－x )n 的展开式中各项系数的绝对值的和，只需令x ＝－1即可．1．(2014·四川)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30B ．20C ．15D ．10答案 C解析 因为(1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x3＝15x 3，所以系数为15.2．(2014·浙江)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( )A ．45B ．60C ．120D ．210 答案 C解析 因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.3．设⎝⎛⎭⎫5x －1x n的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300 答案 B解析 M ＝⎝⎛⎭⎫5×1－11n ＝4n ，N ＝2n ⇒4n －2n ＝240⇒2n ＝16⇒n ＝4，T r ＋1＝(－1)r C r 4·54－r·342rx - ⇒r ＝2，则(－1)2C 24·52＝150. 4．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 答案 D解析 化51为52－1，用二项式定理展开．512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012522 012－C 12 012522 011＋…＋C 2 0112 012×52×(－1)2 011＋C 2 0122 012×(－1)2 012＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0122 012×(－1)2 012＋a 能被13整除， 即a ＋1能被13整除，因为0≤a <13，所以a ＝12.5．若(1＋x )(2－x )2 011＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 011x 2 011＋a 2 012x 2 012，则a 2＋a 4＋…＋a 2 010＋a 2 012等于( ) A ．2－22 011 B ．2－22 012 C ．1－22 011 D ．1－22 012答案 C解析 采用赋值法，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 011＋a 2 012＝2，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 011＋a 2 012＝0，把两式相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 2 012)＝2，所以a 0＋a 2＋…＋a 2 012＝1，又令x ＝0，得a 0＝22 011，所以a 2＋a 4＋…＋a 2 010＋a 2 012＝1－22 011.故选C.值范围是( ) A ．(－∞，5) B ．(－∞，5] C ．(5，＋∞) D ．[5，＋∞)答案 D解析 由于T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫12r x 12－3r ，故展开式中间的一项为T 3＋1＝C 36·⎝⎛⎭⎫123·x 3＝52x 3，f (x )≤mx ⇔52x 3≤mx 在⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，即m ≥52x 2，又52x 2≤5，故实数m 的取值范围是m ≥5.7．(2014·大纲全国)⎝⎛⎭⎫x y－yx 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答)答案 70 解析 由T r ＋1＝C r 8(x y )8－r (－y x )r ＝(－1)r C r 8338422r r xy--知， 要求x 2y 2的系数，则⎩⎨⎧8－3r2＝2，32r －4＝2，解得r ＝4，∴x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.8．(2014·山东)若(ax 2＋b x )6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 2解析 (ax 2＋b x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·(b x)r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r， 令12－3r ＝3，得r ＝3，由C 36a6－3b 3＝20得ab ＝1， 所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，故a 2＋b 2的最小值为2. 9．已知(x ＋a x)6(a >0)的展开式中常数项为240，则(x ＋a )(x －2a )2的展开式中x 2项的系数为________． 答案 －6解析 (x ＋a x )6的二项展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r (a x)r ＝C r 6362rax -，令6－3r 2＝0，得r ＝4，则其常数项为C 46a 4＝15a 4＝240，则a 4＝16，由a >0，故a ＝2.又(x ＋a )(x －2a )2的展开式中，x2项为－3ax 2，故x 2项的系数为(－3)×2＝－6. 10．已知a ＝π20⎰(sin 2x 2－12)d x ，则(ax ＋12ax)9的展开式中，关于x 的一次项的系数为________．答案 －6316解析 a ＝π20⎰(sin 2x2－12)d x ＝π20⎰(1－cos x 2－12)d x ＝π20⎰(－cos x 2)d x ＝－12sin x π20|＝－12.此时二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(－12x )9－r (－1x )r ＝C r 9(－12)9－r (－1)r x 9－2r ，令9－2r ＝1，得r ＝4，所以关于x 的一次项的系数为C 49(－12)9－4(－1)4＝－6316. 11．已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56.(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和； (2)求展开式中的有理项．解 根据题意，设该项为第r ＋1项，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧C r n 2r＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧C r n ＝C r －1n ，C r n ＝53C r ＋1n ， 亦即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2r －1，n ！r ！(n －r )！＝53×n ！(r ＋1)！(n －r －1)！， 解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，n ＝7.(1)令x ＝1得展开式中所有项的系数之和为 (1＋2)7＝37＝2 187.所有项的二项式系数之和为27＝128.(2)展开式的通项为T r ＋1＝C r 72r 2rx ，r ≤7且r ∈N . 于是当r ＝0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为T 1＝C 0720x 0＝1，T 3＝C 2722x ＝84x ， T 5＝C 4724x 2＝560x 2，T 7＝C 6726x 3＝448x 3.12．已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n . (1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.所以T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫124×23＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫123×24＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8. 所以T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432. (2)因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大． 因为⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，所以9.4≤k ≤10.4. 又因为0≤k ≤12且k ∈N ，所以k ＝10. 所以展开式中系数最大的项为T 11. T 11＝⎝⎛⎭⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10.。
高考数学理科必考题型：第40练-求和与求展开项(含答案)
第40练 二项式定理的两类重点题型——求和与求展开项[内容精要] 二项式定理是一个恒等式、求解的问题主要有两类；学生需熟记公式、灵活运用、加以解决、形式主要是选择题和填空题、题型一 用公式求展开项例1 若(x ＋2x 2)n 展开式中只有第六项的二项式系数最大、则展开式中的常数项是( ) A 、360 B 、180 C 、90 D 、45破题切入点 从第六项二项式系数最大可得n 值、再利用展开式的通项公式即可、答案 B解析 依题意知：n ＝10、∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·(2x 2)r ＝C r 102r ·552r x 、 令5－52r ＝0、得r ＝2、 ∴常数项为C 21022＝180.题型二 赋值法求系数之和例2 若(1＋2x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n 、则a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝________. 破题切入点 令x ＝±1可得关于各项系数的两个方程、联立方程即可求解、答案 3n －12解析 令x ＝1、得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝3n ；①令x ＝－1、得a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ＝1.②①－②、可得a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝3n －12. 总结提高 (1)在使用通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r 时、通项公式表示的是第r ＋1项的值、而不是第r 项的值、展开式中第r ＋1项的二项式系数C r n 与第r ＋1项的系数不同、(2)二项展开式中项的系数的和或差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决、一般是对x 赋值为±1或0.另外要注意掌握(1＋x )n 展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和、只需令x ＝1即可、而要求(1－x )n 的展开式中各项系数的绝对值的和、只需令x ＝－1即可、1、(2014·四川)在x (1＋x )6的展开式中、含x 3项的系数为( )A 、30B 、20C 、15D 、10答案 C 解析 因为(1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r 、x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x3＝15x 3、所以系数为15.2、(2014·浙江)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中、记x m y n 项的系数为f (m 、n )、则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( )A 、45B 、60C 、120D 、210答案 C解析 因为f (m 、n )＝C m 6C n 4、所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.3、设⎝⎛⎭⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M 、二项式系数之和为N 、若M －N ＝240、则展开式中x 的系数为( )A 、－150B 、150C 、300D 、－300答案 B解析 M ＝⎝⎛⎭⎫5×1－11n ＝4n 、N ＝2n ⇒4n －2n ＝240⇒2n ＝16⇒n ＝4、T r ＋1＝(－1)r C r 4·54－r ·342rx - ⇒r ＝2、则(－1)2C 24·52＝150. 4、设a ∈Z 、且0≤a <13、若512 012＋a 能被13整除、则a 的值为( )A 、0B 、1C 、11D 、12答案 D解析 化51为52－1、用二项式定理展开、512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012522 012－C 12 012522 011＋…＋C 2 0112 012×52×(－1)2 011＋C 2 0122 012×(－1)2 012＋a .因为52能被13整除、所以只需C 2 0122 012×(－1)2 012＋a 能被13整除、 即a ＋1能被13整除、因为0≤a <13、所以a ＝12.5、若(1＋x )(2－x )2 011＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 011x 2 011＋a 2 012x 2 012、则a 2＋a 4＋…＋a 2 010＋a 2 012等于( )A 、2－22 011B 、2－22 012C 、1－22 011D 、1－22 012答案 C解析 采用赋值法、令x ＝1、得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 011＋a 2 012＝2、令x ＝－1、得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 011＋a 2 012＝0、把两式相加、得2(a 0＋a 2＋…＋a 2 012)＝2、所以a 0＋a 2＋…＋a 2 012＝1、又令x ＝0、得a 0＝22 011、所以a 2＋a 4＋…＋a 2 010＋a 2 012＝1－22 011.故选C.6、设f (x )是⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 6展开式的中间项、若f (x )≤mx 在区间⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立、则实数m 的取值范围是( )A 、(－∞、5)B 、(－∞、5]C 、(5、＋∞)D 、[5、＋∞)答案 D 解析 由于T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫12r x 12－3r 、故展开式中间的一项为T 3＋1＝C 36·⎝⎛⎭⎫123·x 3＝52x 3、f (x )≤mx ⇔52x 3≤mx 在⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立、即m ≥52x 2、又52x 2≤5、故实数m 的取值范围是m ≥5. 7、(2014·大纲全国)⎝⎛⎭⎫x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________、(用数字作答) 答案 70解析 由T r ＋1＝C r 8(x y )8－r (－y x )r ＝(－1)r C r 8338422r r x y --知、要求x 2y 2的系数、则⎩⎨⎧ 8－3r 2＝2，32r －4＝2，解得r ＝4、∴x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70. 8、(2014·山东)若(ax 2＋b x)6的展开式中x 3项的系数为20、则a 2＋b 2的最小值为________、 答案 2解析 (ax 2＋b x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·(b x)r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r 、 令12－3r ＝3、得r ＝3、由C 36a 6－3b 3＝20得ab ＝1、 所以a 2＋b 2≥2ab ＝2、故a 2＋b 2的最小值为2.9、已知(x ＋a x)6(a >0)的展开式中常数项为240、则(x ＋a )(x －2a )2的展开式中x 2项的系数为________、答案 －6解析 (x ＋a x )6的二项展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r (a x )r ＝C r 6362r ax -、令6－3r 2＝0、得r ＝4、则其常数项为C 46a 4＝15a 4＝240、则a 4＝16、由a >0、故a ＝2.又(x ＋a )(x －2a )2的展开式中、x2项为－3ax 2、故x 2项的系数为(－3)×2＝－6.10、已知a ＝π20⎰(sin 2x 2－12)d x 、则(ax ＋12ax )9的展开式中、关于x 的一次项的系数为________、 答案 －6316解析 a ＝π20⎰(sin 2x 2－12)d x ＝π20⎰(1－cos x 2－12)d x ＝π20⎰(－cos x 2)d x ＝－12sin x π20|＝－12.此时二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(－12x )9－r (－1x )r ＝C r 9(－12)9－r (－1)r x 9－2r 、令9－2r ＝1、得r ＝4、所以关于x 的一次项的系数为C 49(－12)9－4(－1)4＝－6316. 11、已知(1＋2x )n 的展开式中、某一项的系数是它前一项系数的2倍、而又等于它后一项系数的56. (1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；(2)求展开式中的有理项、解 根据题意、设该项为第r ＋1项、则有⎩⎪⎨⎪⎧ C r n 2r ＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ C r n ＝C r －1n，C r n ＝53C r ＋1n， 亦即⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝2r －1，n ！r ！(n －r )！＝53×n ！(r ＋1)！(n －r －1)！， 解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，n ＝7. (1)令x ＝1得展开式中所有项的系数之和为(1＋2)7＝37＝2 187.所有项的二项式系数之和为27＝128.(2)展开式的通项为T r ＋1＝C r 72r 2r x 、r ≤7且r ∈N . 于是当r ＝0,2,4,6时、对应项为有理项、即有理项为T 1＝C 0720x 0＝1、T 3＝C 2722x ＝84x 、T 5＝C 4724x 2＝560x 2、T 7＝C 6726x 3＝448x 3.12、已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n . (1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列、求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79、求展开式中系数最大的项、解 (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n 、所以n 2－21n ＋98＝0、解得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时、展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.所以T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫124×23＝352、 T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫123×24＝70. 当n ＝14时、展开式中二项式系数最大的项是T 8.所以T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432. (2)因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79、所以n ＝12或n ＝－13(舍去)、设T k ＋1项的系数最大、因为⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12、 所以⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1、所以9.4≤k ≤10.4. 又因为0≤k ≤12且k ∈N 、所以k ＝10. 所以展开式中系数最大的项为T 11.T 11＝⎝⎛⎭⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10.。
01-习题课二
在x 1处的收敛性判别,可用第十二章第十五讲的例2.
以 x =1代入上式，即可得
(1)n (2n 1)!! 1 .
n0
(2n)!!
2
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
§2 函数的幂级数展开
习题课二
例5 试求级数 (1) n (2n 1)!! 的和.
n0
(2n)!!
证 考察 (1)n (2n 1)!! xn
n0
(2n)!!
=1 1 x 13 x2 135 x3 , x (1, 1] 2 24 246
1. 1 x
f (2n)(0) 0,
f
(2n1)(0) (2n)2 f
(2n1)(0)
(1)n ((2n)!!)2 , n 1,2,.
于是f (x) 在 x = 0 泰勒级数为
(1)n ((2n)!!)2 x2n1 (1)n (2n)!! x2n1，x [1,1].
n0
(2n 1)!
n0
习题课二
例4 证明不等式sin x arcsin x 2 x 1 x5 , x (0,1].
12
证
sin
x
n0
(1)n
1 (2n
1)!
x2n1
,
x (, )，
arcsin x
(2n 1)!! x2n1 , x [1,1]. 得
n0 (2n)!!(2n 1)
sin x arcsin x
解
由
f
(
x)
1
1 x2
1
x ln( x
1
x2
)
,
1 x2
A_12习题课
1
x
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有 e 1 1 f (0 ) f (0 ) 1 n 1 2 2 2
例1. 交流电压
经半波整流后负压消
f (t )
失,试求半波整流函数的
傅里叶级数.
解: 这个半波整流函数
的周期是 2 ,它在
n 1
(b n a n ) 收敛
n 1
n 1
(c n a n ) 收敛
[(c n a n ) a n ] (c n a n ) a n 收敛
n 1 n 1
练习题: P322
1; 2; 3; 4; 5
解答提示:
P322 题2. 判别下列级数的敛散性:
根据和函数的连续性 , 有
练习:
P323 题9(2). 求级数 的和 . 常用方法： 利用已知函 数级数代入 特殊值
1 (1) n (2n 1) 1 解: 原式= ( 2 n 1) ! 2 n 0
(1) n (1) n 1 2 n 0 ( 2 n) ! n 0 ( 2 n 1) !
x 为连续点
x 为间断点
练习:
P323 题11. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在 [ , )
上的表达式为
将其展为傅氏级数 . 解答提示
1
x
x
y
o x
an 0 e cos nx d x 1 e (n sin nx cos nx) 0 2 1 n n 1 e (1) 1 ( n 0 , 1, 2 , ) 2 1 n
1 [cos 1 sin 1] 2
数项级数习题课完整版
un 设 un 与 v n 都是正项级数,如果lim l, n v n 1 n 1 n
则(1) 当0 l 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当l 0 时，若
v
n 1
n
收敛,则
u
n 1
n
收敛;
(3) 当l 时, 若
v n 发散,则 un 发散; n 1 n 1
1 1 n 1 n2 n lim(1 2 ) lim[(1 2 ) ] e 0 1; n n n n 1 1 1 n x lim n lim x exp{lim ln x } n x x x
1 exp{lim } e 0 1; x x
1 n ln(n 2) n n,
n 1 n 由于 n lim n 1 , lim ln( n 2 ) 1 , n lim un . n n a
1 当 a 0 即 0 1 时, 原级数收敛； a 1 当 0 a 1 即 1 时, 原级数发散； a ln( n 2) 当 a 1 时, 原级数为 , 1 n n1 (1 ) n ln( n 2) lim , 原级数也发散． n 1 n (1 ) n
1 x2 x ' 0( x 1) 设f ( x ) ( x 1) 则 f ( x ) 2 2 2 1 x 1 x un un1 f ( x )在[1 ， ）上单调递减 n n 1 由莱布尼兹判别准则， 1 收敛。 （* * ） 2
又 lim un lim
定义
正 、负项相间的级数称为交错级数.
n 1 n ( 1 ) u 或 ( 1 ) un (其中un 0) n n 1 n 1
第四章 解析函数的级数展开习题及其解答
第四章 解析函数的级数展开习题及其解答4.1 判断级数的收敛性，绝对收敛性.1) 2)解 1)由实数项级数收敛的狄离赫利判别法可知与均收敛.故由复数项级数收敛充要条件知.但.而发散，所以非绝对收敛.2)因，而收敛，即收敛，于是收敛，且为绝对收敛.注 由此两题可见，对于复数项级数，绝对收敛收敛；而收敛≠＞绝对收敛.2)可作为此种情况的例子.4.2 幂级数能否在处收敛，而在=3处发散？说明理由.答 不可能.因为若在处发散，则由Abel 定理，在一切满足的处级数均为收敛，显见，=3满足此不等式故不可能在=3处发散.4.3 求极限，其中，并由此判断复数项级数的敛散性. 解 设.注意.所以将代入得由复数项级数收敛的定义可知，收敛于.即∑∞=1i k n n ∑∞=12i k n n 2sini 2cos i ππ+= ∑∑∞=∞=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=∴112sin i 2cos i n n n n n n n n ππ ∑∞=12cosn n n π∑∞=12sin n n n π∑∞=1i n n n n n n 1i =∑∞=11n n ∑∞=1i n n n 221i n n n =∑∞=121n n ∑∞=12i n n n ∑∞=12i n n n⇒∑∞=-0)2(n nnz a0=z z 0=z 2202=-<-z z z z nn S +∞→lim knk n S ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12i 1∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+12i 1k k2i 1+=α122<=α()()ααααααααααα---=--=+++==--=∑11111111n n n nk kn S αααααα-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=++∞→+∞→111lim lim 1n n n n S ()01+∞→+→n n α2i1+=αilim =+∞→n n S ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121k ki i i 2i 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∞=k k注 1.这里的即为复数项级数的部分和序列，求之极限中利用了的结论.由极限存在得收敛结论，这是最基本的方法.4.4 证明：若收敛，则收敛(这时称绝对收敛).证 设，则.由正项级数比较判别法，收敛，均收敛，又由实数项级数知识知与收敛.于是由复数项级数收敛的充要条件得收敛.注 若收敛，称绝对收敛.则本题的结论说明复数项级数绝对收敛，则必收敛.证明方法用的是实数项级数对应的统一性质.应注意收敛≠＞收敛，故不能由发散推出发散.4.5 设极限存在，证明下列三个级数有同一收敛半径：；；.证 设，则级数收敛半径为，(0)，由收敛幂级数性质，在内，对可逐项积分、逐项求导，所得结果收敛半径不变.故知及收敛半径仍为.在＝0时，收敛半径.上述性质仍成立.4.6 将下列函数展为幂级数，并求收敛半径.展为的幂级数解在处解析，且以为奇点，故可知其Taylor 展式的收敛半径.设，将展为的幂级数，再代入即可得所求(由展式唯一性保n S ∑∞=1k kαn S 01→⇒<nααn S ∑∞=1k kα∑∞=1k kα∑∞=1k kα∑∞=1k kαk k k b a i +=αk k a α≤∑∞1kα∑∞=⇒1k ka ∑∞=1k kb∑∞=1k ka∑∞=1k kb∑∞=1k kα∑∞=1k kα∑∞=1k kα∑kα∑nα∑kα∑kαnn n a a1lim +∞→∑∞=0n nn za ∑∞=++011n n n z n a ∑∞=-11n n nzna λ=+∞→nn n a a1lim ∑∞=0n nnz a λ1=R ≠λRz <∑∞=0n nnz a∑∑∞=-∞='01n n nn nn z na z a ＝）（∑⎰∑∞=+∞=+=011n n nz n nn z n a dz z a λ1=R λ∑∞=0n n nz a+∞=R 22)11z ＋（z 22)11z ＋（0=z i ±∑∞=0n nnz a1=R ξ=2z 211）＋（ξξ2z ＝ξ证).因为 在内逐项微分得于是4.7 计算下列积分：(积分路径均为正项)1)2)3)解1)因为在内解析，且积分路径(正向)围绕，本身及其内部完全属于，故由高阶导数公式知又由在邻域Taylor 展开式系数知，原积分=2，为展开式中之系数.所以2) 因为主值分支在内解析，积分路径内解析，积分路径(正向)本身及其内部完全位于内，且围绕，故由高阶导数公式及在邻域Taylor 展开式系数知：原积分＝(偶次幂系数均为0)3)因为在内解析，且积分路径围绕本身及其内部完全属于内，故由高阶导数公式及在邻域Taylor 展开式系数知原积分＝(为之系数)故有 原积分＝1)1(110<-=+∑∞=ξξξn n n 1<ξ∑∑∞=-∞-+-=-=+-01112)1()1()1()1(1n nn n n n n ξξξ1 )1()1()(112<+-=+∴∑∞=ξξξn n n n ∑∞=+-=02222)1()1(11n nz n z ）＋（1<z ⎰=-21511z zz dze⎰=2199arctan z dzz z ⎰=45cos πz zz dz ze-111<z 21=z 0=z 1<z 0)(1121511)(!42=-=-=⎰z z z z ze i z dze πze-110=z 4ia π4a 4z )2473(221511e i z dzez zπ=⎰=-z arctan 1<z 1<z 21=z 1<z 0=z z arctan 0=z 0298=ia πz cos 12π<z =z 4π0=z 2π<z z cos 10=z 42ia π4a 4z i i ππ1252452=⋅4.8 在的邻域将展为Taylor 级数，并求收敛半径. 解 因为在的区域内解析，故可在的邻域内展为Taylor 级数，且收敛半径.所以在内有展开式又由幂级数乘法得4.9 在的邻域上将展开. 【解】 函数在原点没有定义， 是奇点.引用在原点的邻域上的展开式，为避开奇点，从平面上挖去原点的复平面上，用除的展开式，就得到的展开式，其实，如果定义一个函数则在整个复平面上都是解析的，从而得到在的邻域上的展开式 ，正是解析函数的Taylor 展开式.0＝z z e z f z-=1)(z e z f z-=1)(1≠z 0＝z 101=-=R 1<z ∑∞==-01n nn zz a z e 1z 1112<⋅⋅⋅+++=-z z z +∞<⋅⋅⋅++++=z !3!2132z z z e zz z 38z 252z 1 z !2113!111)z 21(12z 1 )!3!21)(1()(3232322+∞<⋅⋅⋅++++=⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++=z z z z z z f 00=z z zsin z zsin 00=z z sin++-++-+-=+12753)!12(1)1(!7!5!3sin k k z k z z z z z +∞<||z z +∞<<||0z z z sin z zsin++-++-+-=k k z k z z z z z 2642)!12(1)1(!7!5!31sin +∞<<||0z ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10,sin )(z z zzz f )(z f )(z f 00=z++-++-+-=k k z k z z z z f 2642)!12(1)1(!7!5!31)(+∞<<||0z )(z f4.10 将在下列圆环域内展为Laurent 级数1)2)解 1)因为，将在环域内展为Laurent 级数，即要将展为形如的级数，因为在内解析，由Laurent 定理，上述展示存在，为得到它，注意在内解析，且 ，故又因故2) 当时，对于有仿1)，有 而4.11下列推导是否正确？为什么？用长除法得)2)(1(1)(--=z z z f 21<<z 2>z )1(1)2(1)(---=z z z f )(z f 21<<z )(z f ∑+∞-∞=n nnz C)(z f 21<<z 21-z 2<z 12<z 2z 21212212112121110<--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅-=-∑∑∞=+∞=n nn n nz z z z 。
级数与收敛性级数求和练习题
级数与收敛性级数求和练习题题目一：求和公式已知级数的通项公式为an = 1/n^2，求级数∑an的和。
解答一：由题可知，级数的通项公式为an = 1/n^2。
我们需要求解级数∑an的和。
根据级数求和的定义，级数的和S是该级数所有部分和Sn在n趋向无穷大时的极限值。
即：S = lim (Sn) (n->∞)在本题中，我们先求出部分和Sn，并观察其变化趋势，然后求出极限值。
部分和Sn的计算如下：S1 = a1 = 1/1^2 = 1S2 = a1 + a2 = 1/1^2 + 1/2^2 = 1 + 1/4 = 5/4S3 = a1 + a2 + a3 = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 = 1 + 1/4 + 1/9 ≈ 1.3611...通过计算我们可以观察到，部分和Sn逐渐逼近一个值，但无法达到该值。
因此，我们猜测这个级数可能是一个收敛级数。
接下来，我们通过计算部分和Sn的极限值来求解级数的和S。
使用数学推理可得：S = lim (Sn) (n->∞)令S = 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n^2，我们观察以下两个极限：lim (Sn) (n->∞) - lim (Sn-1) (n->∞) = lim (an) (n->∞) = 0lim (Sn) (n->∞) - 1/1 = lim (an) (n->∞) = 0由以上两个极限可得：lim (Sn) (n->∞) = 1因此，级数∑an的和S = 1。
答案：级数∑an的和为1。
题目二：判断级数是否收敛已知级数的通项公式为bn = (3n^2 + 1)/(4n^3 + 2)，判断级数∑bn的收敛性，并给出证明过程。
解答二：为判断级数∑bn的收敛性，我们需要使用级数的判别法。
这里我们将使用比较判别法。
首先，我们选取一个收敛级数∑an，使得∑an的通项公式an > 0。
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dx
1 x
x
0
1
1
x
dx
1ln1(x) (0x1及 x1) x
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S(x) 1ln1(x), x
(0x1及 x1)
而
S(0) 1, xl i0m ln(1xx)1,
因此由和函数的连续性得:
1ln1( x), S(x) x
1,
x [ 1 ,0 ) (0 ,1 ) x0
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例4. 求级数
x n
n0n 1
的和函数
S(x) .
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 且x1时级数
收敛 ,x=1时级数发散，则 当x0时,有
Байду номын сангаас
S(x)
xn
1
x n 1
1
x
xn dx
n0n1 x n0 n 1 x n0 0
1 x xn
x 0 n0
1 xtn x
0
dt
x
t n1
d t
1x
tn
d t
0 n1
x 0 n1
x
1
dt 1x
t
dt
1t
0
x 1t
0
(0x1)
ln1 (x)11ln(1x) x
1(11)ln(1x) x
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即得
x n
n1 n(n 1)
1(11)ln(1x), x
0 x 1
显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = 1 时, 级数也收敛 .
1 2n 0(( 21n))n!n 0(2( n1)n 1)!
1[cos 1 sin1] 2
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四、函数的幂级数和付式级数展开法
1. 函数的幂级数展开法 • 直接展开法 — 利用泰勒公式
• 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质
1
例如. 将函数
1
x2
•ln(1x)x 1 x 2 2
1 x 3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x(1,1]
• sinxx x 3 x 5 x 7 (1)n x2n1
3 ! 5 ! 7!
(2n1)!
x (, )
•coxs1 x 2 x 4 x 6 (1)n x2n
2 ! 4 ! 6!
(2n)!
n0
难
逐项求导或求积分
a
n
xn
n0
求和
S(x)
对和式积分或求导
S * ( x)
• 数项级数 直接求和: 求部分和等 求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
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常用函数的幂级数（或常用幂级数的展开式）
• e x 1 x 1 x 2 1 xn ,
2!
n!
x (, )
2 n2n 1 2x n2n 1
(x0)
x x n 1 xn
2 n1 n 2x n3 n
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S(x)
2x21xn 1xnn
1 2x
(x
x2 2
)
(x0)
而
xn
x
x
x
xn1 dx xn1 dx
dx
n 1 n n1 0
0 n1
01 x
ln1 (x)
x (, )
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• (1x)m1mx m(m1) x2 2!
m (m1)(mn1)xnx(1,1) n!
当 m = –1 时
1 1 x
1 x x 2 x 3 ( 1 ) n x n ,x(1,1)
1 1 x
1xx2x3 Lxn L, x(1,1)
练 习 ： 求 幂 级 数 x2n-1的 和 函 数 。
n12n-1
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例5. 求数项 n 2(级 n2 11数 )2n的.和
解: 设
S(x)
n2
nx2n1,
x(1,1), 则所求级数和
＝S(1/2)
S(x)n 21 2n1 1n1 1xn x xn1 1 xn1
x 2 x2
2 x2 (2 x2 )2
(0 x2 1) 2
显然 x = 0 时上式也正确, 而在 x 2 级数发散,
故和函数为
S(x)
2x2 (2x2)2
,
x (2,
2).
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(4) 原式 n 11 nn11xn
x0
n1
x
t n1 d t
0
n1
第十一章 函数级数 级数的收敛、求和与展开
一、数项级数的审敛法√ 二、求幂级数收敛域的方法
4、5、7节
三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数
展开法
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三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限
• 利用幂级数性质，借用已知幂级数的和函数求解 （在收敛区间内）
anxn
S(x)1x2ln 1(x)2x
2x
4
故
1
n2(n2 1)2n
S 1
2
5 3ln2 84
(x0)
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例6. 求幂级数 n 0(1)n(2nn 11)!x2n1的和函 .
法1 易求出级数的收敛域为( ,)
原 式 1((1)n 1 x2n2) 2n0 (2n1)!
12xn 0(2( n1)1n)!x2n1
展开成 x 的幂级数.
因为 1 1 x x2 ( 1 )nxn (1x1) 1 x
把 x 换成 x 2 , 得
1 1 x2
1 x 2 x 4 ( 1 )nx 2 n (1x1)
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例7. 将
1
展成 x－1 的幂级数.
x2 4x 3
解:
x21 4x3(x1)1x (3)
根据和函数的连续性 , 有
1 (1 1 )l( n 1 x ), 0 x 1 及 x 1 x
S(x) 0 ，
x 0
1 ，
x 1
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P258
题9(2).
求级数
(1)n
n0
n1 (2n1)!
的和
.
解:
原式=
1 2
n 0(1)n(2(n2 n 1 )1 !) 1
x 2
sin
x
S(x)1sixnxcox,sx (, ) 22
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P258 题8. 求下列幂级数的和函数：
(1) n 12n2n1x2(n1);
(4) n1n(nxn1).
x≠0
解: (1)
原式(
n1
1 x2n1) 2n
1xn1(x22)n
1 x
x2
1
2
x2 2
1(xsinx) 2
1sinxxcoxs, x (, ) 22
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法2 先求出收敛区间( , ), 设和函数为S(x),则
x
S(x)dx (1)n
n1
x
x2n 1dx
0
n0
(2n1)!
0
1 (1)n x2n2
2 n0(2n1)!
x (1)n x2n1
2n0(2n1)!