电路分析基础-储能元件
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储能元件
第六章 一阶电路◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 三要素法 3．阶跃响应◆ 难点：1． 冲激函数与冲激响应的求取 2．有跃变时的动态电路分析 含有动态元件（电容或电感等储能元件）的电路称为动态电路。
回忆储能元件的伏安关系为导数（积分）关系，因此根据克希霍夫定律列写出的电路方程为微积分方程。
所谓“一阶”、“二阶”电路是指电路方程为一阶或二阶微分方程的电路。
本章只讨论一阶电路，其中涉及一些基本概念，为进一步学习第十五章打下基础。
6.1 求解动态电路的方法6.1.1 求解动态电路的基本步骤在介绍本章其他具体内容之前，我们首先给出求解动态电路的基本步骤。
1．分析电路情况，得出待求电量的初始值； 2．根据克希霍夫定律列写电路方程； 3．解微分方程，得出待求量。
由上述步骤可见，无论电路的阶数如何，初始值的求取、电路方程的列写和微分方程的求解是解决动态电路的关键。
6.2.1 一阶微分方程的求解一、一阶微分方程的解的分析初始条件为)()0()()(t f t t f δ=δ的非齐次线性微分方程Bw Ax dtdx=- 的解)(t x 由两部分组成：)()()(t x t x t x p h +=。
其中)(t x h 为原方程对应的齐次方程的通解，)(t x p 为非齐次方程的一个特解。
二、)(t x h 的求解由齐次方程的特征方程，求出特征根p ，直接写出齐次方程的解pt h Ke t x =)(，根据初始值解得其中的待定系数K ，即可得出其通解。
三、)(t x p 的求解根据输入函数的形式假定特解的形式，不同的输入函数特解形式如下表。
由这些形式的特解代入原微分方程使用待定系数法，确定出方程中的常数Q 等。
四、一阶微分方程的解的求取)()()()(t x Ke t x t x t x p ptp h +=+=将初始条件00)(X t x =代入该式：000)()(0X t x Ke t x p pt =+=由此可以确定常数K ，从而得出非齐次方程的解。
《电路原理》第六章 储能元件
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1 2 WC ( t ) Cu (t ) 0 2
表明
① 电容的储能只与当时的电压值有关，电容电 压不能跃变，反映了储能不能跃变；
② 电容储存的能量一定大于或等于零。
返 回
上 页
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例
求电容电流i、功率P (t)和储能W (t) ＋ － 0 1 i 0.5F 2 t /s 2 u S /V 电源波形
C C1 u2 u u C2 C1 C2
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2.电容的并联
i
+
u
等效电容
i1 C1
i2 C2
du i1 C1 dt
du i2 C2 dt du i i1 i2 (C1 C2 ) dt
等效
du C dt
+
i C
C C1 C2
u
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i/A
1 -1
0 1 i (t ) 1 0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
0
1
2 t /s
0 t 1s
0 t uc(t) 1 0dξ 1 01dξ 0 2t 2t C C
1 t 2s
2t
1 t uC (t ) u (1) 1 (1)d 4 2t 0.5
②当电流减小，p<0, 电感发出功率。
表明 电感能在一段时间内吸收外部供给的
能量转化为磁场能量储存起来，在另一段时间 内又把能量释放回电路，因此电感元件是无源
元件、是储能元件，它本身不消耗能量。
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电感的储能
t t
di 1 2 WL Li dξ Li (ξ ) dξ 2
1 2 WC ( t ) Cu (t ) 0 2
表明
① 电容的储能只与当时的电压值有关，电容电 压不能跃变，反映了储能不能跃变；
② 电容储存的能量一定大于或等于零。
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例
求电容电流i、功率P (t)和储能W (t) ＋ － 0 1 i 0.5F 2 t /s 2 u S /V 电源波形
C C1 u2 u u C2 C1 C2
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2.电容的并联
i
+
u
等效电容
i1 C1
i2 C2
du i1 C1 dt
du i2 C2 dt du i i1 i2 (C1 C2 ) dt
等效
du C dt
+
i C
C C1 C2
u
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i/A
1 -1
0 1 i (t ) 1 0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
0
1
2 t /s
0 t 1s
0 t uc(t) 1 0dξ 1 01dξ 0 2t 2t C C
1 t 2s
2t
1 t uC (t ) u (1) 1 (1)d 4 2t 0.5
②当电流减小，p<0, 电感发出功率。
表明 电感能在一段时间内吸收外部供给的
能量转化为磁场能量储存起来，在另一段时间 内又把能量释放回电路，因此电感元件是无源
元件、是储能元件，它本身不消耗能量。
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电感的储能
t t
di 1 2 WL Li dξ Li (ξ ) dξ 2
《电路》第六章储能元件
与 N匝全部交链，则磁通链 Ψ =NΦ Φ ,Ψ —自感磁通,自感磁 通链(由自身电流产生,或用 Φ L ,Ψ L表示)单位:韦伯Wb
规定Φ L(Ψ L )与i的参考方向满足右螺旋关系。
当电感元件上电流的参考方向与磁通成右螺旋关系时,则任何 时刻线性电感元件的自感磁通链Ψ与流过的电流i 之间有以下 关系：
2. 线性定常电感元件
任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链 成正比。
~ i 特性是过原点的直线
(t) Li(t) or L tan
i
电路符号
i
L
Oi
单位
+
u (t)
-
L 称为电感器的自感系数, L的单位：H (亨) (Henry，亨利)，常用H，m H表示。
R2 R1 R2
US
例电路如图所示。已知两个电容在开关闭合前一瞬间的电压分 别为uC1(0-)=0V,uC2(0-)=6V，试求在开关闭合后一瞬间，电容 电压uC1(0＋),uC2(0＋) 。
解： 开关闭合后，两个电容并联，按照KVL的约束，两个 电容电压必须相等，得到以下方程
uC1(0 ) uC2 (0 )
实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围
变化很大，大多数电容器漏电很小，在工作电压低的 情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏 电不能忽略，则需要用一个电阻与电容的并联作为它 的电路模型。
在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感 来构成电容器的电路模型.
线性电容的电压、电流关系 电容元件VCR
1.定义
电容元件
储存电能的元件。其
特性可用u～q 平面
上的一条曲线来描述
q
+
规定Φ L(Ψ L )与i的参考方向满足右螺旋关系。
当电感元件上电流的参考方向与磁通成右螺旋关系时,则任何 时刻线性电感元件的自感磁通链Ψ与流过的电流i 之间有以下 关系：
2. 线性定常电感元件
任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链 成正比。
~ i 特性是过原点的直线
(t) Li(t) or L tan
i
电路符号
i
L
Oi
单位
+
u (t)
-
L 称为电感器的自感系数, L的单位：H (亨) (Henry，亨利)，常用H，m H表示。
R2 R1 R2
US
例电路如图所示。已知两个电容在开关闭合前一瞬间的电压分 别为uC1(0-)=0V,uC2(0-)=6V，试求在开关闭合后一瞬间，电容 电压uC1(0＋),uC2(0＋) 。
解： 开关闭合后，两个电容并联，按照KVL的约束，两个 电容电压必须相等，得到以下方程
uC1(0 ) uC2 (0 )
实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围
变化很大，大多数电容器漏电很小，在工作电压低的 情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏 电不能忽略，则需要用一个电阻与电容的并联作为它 的电路模型。
在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感 来构成电容器的电路模型.
线性电容的电压、电流关系 电容元件VCR
1.定义
电容元件
储存电能的元件。其
特性可用u～q 平面
上的一条曲线来描述
q
+
PPT第六章-储能元件
du p ui u C dt
u与 i 取关联 参考方向
① p > 0, 电容元件吸收功率，即吸收能量 。 ② p < 0, 电容元件发出功率，即释放能量。 元件吸收的能量
在t0 ~ t 时间内，电容元件吸收的能量： u t t 1 2 du WC pdt C u dt C udu Cu t0 u t 0 dt 2
不同类型的电路，分析与计算的方法也不同。
单元二：时不变线性电阻电路的分析与计算
第六章
第一章：
储能元件
理想电路元件（集总参数元件）——描述电路中某一种 电磁性质的数学模型。 电压源和电流源、4种受控源、线性电阻元件 第六章：
电容元件和电感元件——描述电路中某一种电磁性质的 数学模型。
§6-1 电容元件
常用F，pF
1 F =106pF
电荷q的单位： 库仑（库）C
§6-1 电容元件
2．线性电容元件的特性——库伏特性 元件的电荷q与端电压u之间的关系，即 库伏特性
+q
C
－q
q Cu
＋
q
u
－
库伏特性曲线 在 u - q平面上表示库伏特性的曲线。 非线性电容元件
q C u
o q u
f (u, q) 0
理论基础 注意：推广应用于其他类型的电路 要求：一定要牢固掌握。
理想电路元件（集总参数元件）有： 电阻元件 电感元件 电容元件 电压源 电流源 受控源（4种）
按照理想电路元件（集总参数元件）的性质可以分为： 时不变元件 时变元件 线性元件 非线性元件 无源元件 有源元件
由不同类型、不同性质的元件组成不同类型的电路。
0.5F
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
第六讲 储能元件
N (t ) L i (t )
*、电感器： 为使用电感属性而设计的器
二、电感器与电感
*、电感器中的电流i与两端电压u之间的关系（关联方向）：
+ u i L
di u (t ) L dt d N ( u (t ) N ,L ) dt i
一、电容器和电容
电容：
是电容器的电属性，用来度量电容器两块导体间存储电 荷的能力； 具体地说，如果两块导体间的电位差为V伏特，一块导 体上带有Q库仑的正电荷，而另一块导体上带等量的负 电荷，则电容器的电容为：
Q C V
式中，C为电容的计量符号； 电容的国际制单位，为法拉，符号为F。实际应 用中，法拉这个单位太大了，微法（µ F）和皮 法（pF）。1F=106µ F=109pF
一、电容器和电容
电容器的串联:
C1 C2 Cn C
C
1 1 1 ... 1 C1 C2 Cn
一、电容器和电容
电容器的并联:
C1 C２ C３ Cｎ C
C Ci
1
n
一、电容器和电容
电容器中存储的能量为：
1 2 WC CV 2
一、电容器和电容
对于电容有： *：电容在直流情况下其两端电压恒定，相当于开路， 或者说电容有隔断直流的作用（简称隔直）；
具体地说如果两块导体间的电位差为v伏特一块导体上带有q库仑的正电荷而另一块导体上带等量的负电荷则电容器的电容为
第六讲 储能元件
电容器和电容 电感器和电感 储能元件的连接
一、电容器和电容
电容器： *、由用绝缘体隔开的两块导体构成； *、主要特征是具备存储电荷的能力，两块 导体之一带负电荷，另一块带正电荷； *、电荷随带能量，可以由电容器释放； *、电容器的电路符号为：
储能元件介绍课件
储能元件在电力系统中的应用方式：通过储能元件将可再生能源发电、 分布式能源等产生的电能储存起来，在需要时释放，实现电力系统的供 需平衡。
储能元件在电力系统中的应用前景：随着可再生能源发电、分布式能源 等应用的不断普及，储能元件在电力系统中的应用将越来越广泛，成为 未来电力系统的重要组成部分。
储能元件在电子设备中的应用
车载充电系统：通 过外部电源为车辆 充电，提高车辆续 航里程
01
03
05
02
04
06
动力电池：作为新能 源汽车的主要动力来 源，提供驱动车辆行 驶所需的能量
辅助电源系统：在车 辆启动、停车等过程 中，为车辆提供稳定 的电源，保证车辆正 常工作
储能元件在混合动力 汽车中的应用：在混 合动力汽车中，储能 元件可以储存制动能 量，提高燃油经济性， 降低排放。
03 政策支持：政府对储能产业的扶持政策，为 储能元件的发展提供有利条件
04 国际合作：跨国公司、研究机构之间的合作， 推动储能元件的技术创新和产业化发展
谢谢
02
电感器通过线圈产生磁场，当电流通
过线圈时，会产生感应电动势
03
感应电动势的大小与线圈中的电流变
化率成正比
04
电感器可以起到滤波、阻抗匹配、谐
振等作用，广泛应用于电子电路中
电池的工作原理
电池内部包含正负极、电解质和隔膜等部
01
件
充电时，正极发生氧化反应，负极发生还 02 原反应，电子通过外电路从正极流向负极
电源管理、能量回
2
收和电源保护等应
用
3
储能元件可以是电
容器、电感器、电
池等
储能元件的分类
A
机械储能元件：如弹簧、 飞轮等
储能元件在电力系统中的应用前景：随着可再生能源发电、分布式能源 等应用的不断普及，储能元件在电力系统中的应用将越来越广泛，成为 未来电力系统的重要组成部分。
储能元件在电子设备中的应用
车载充电系统：通 过外部电源为车辆 充电，提高车辆续 航里程
01
03
05
02
04
06
动力电池：作为新能 源汽车的主要动力来 源，提供驱动车辆行 驶所需的能量
辅助电源系统：在车 辆启动、停车等过程 中，为车辆提供稳定 的电源，保证车辆正 常工作
储能元件在混合动力 汽车中的应用：在混 合动力汽车中，储能 元件可以储存制动能 量，提高燃油经济性， 降低排放。
03 政策支持：政府对储能产业的扶持政策，为 储能元件的发展提供有利条件
04 国际合作：跨国公司、研究机构之间的合作， 推动储能元件的技术创新和产业化发展
谢谢
02
电感器通过线圈产生磁场，当电流通
过线圈时，会产生感应电动势
03
感应电动势的大小与线圈中的电流变
化率成正比
04
电感器可以起到滤波、阻抗匹配、谐
振等作用，广泛应用于电子电路中
电池的工作原理
电池内部包含正负极、电解质和隔膜等部
01
件
充电时，正极发生氧化反应，负极发生还 02 原反应，电子通过外电路从正极流向负极
电源管理、能量回
2
收和电源保护等应
用
3
储能元件可以是电
容器、电感器、电
池等
储能元件的分类
A
机械储能元件：如弹簧、 飞轮等
电路课件 电路06 储能元件共27页文档
时刻t储存电场能量Wc(t)将等于吸收能量，写为
W C(t)1 2C2(u t)
从t1到t2，电容元件吸收能量
(68)
W C C u u ( ( t 1 t2 ) )u d 1 2 C 2 u ( t2 ) u 1 2 C 2 ( t 1 ) u W C ( t2 ) W C ( t件
19.04.2020
11
电容效应例
※两根架空输电线间，每一根输电线与地间有分 布电容。
※晶体三极管或二极管电极间，甚至一个线圈线 匝间也存在杂散电容。
是否在模型中计入这些电容，必须视工作条件 下所起作用而定，当工作频率很高时，不应忽 略其作用，以适当方式在模型中反映。
如电容库伏特性在u-q平面不通过原点，称非线性电 容元件，晶体二极管中变容二极管是一种非线性电容， 电容随所加电压而变。
一般电容器除储能外，也消耗部分电能，电容器模型 是电容和电阻组合。电容器消耗电功率与所加电压直 接相关，模型是并联组合。
电容器是为获得一定大小电容特意制成。但电容效应 在许多场合存在，即分布电容和杂散电容。理论上， 电位不相等导体间会有电场，有电荷聚集并有电场能 量，即有电容效应存在。
图６-２，电流i产生磁通ΦL与N匝线圈交链，
则磁通链ΨL＝NΦL。
第6章 储能元件
19.04.2020
13
感应电压
磁通ΦL和磁通链ΨL由线圈本身电流i产生，称自感磁通
和自感磁通链。ΦL和ΨL方向与i参考方向右螺旋关系，
如图。
当磁通链ΨL随时间变化，线圈端子间产生感应电压。
如感应电压u参考方向与ΨL成右螺旋关系，根据电磁感
应定律，有
udL (69)
该式确定感应电压真实方向时，d与t 楞次定律结果一致。
储能元件
0 0
0
①某一时刻的电感电流值与-到该时刻的所有 电压值有关，即电感元件有记忆电压的作用 ，电感元件也是记忆元件。 ②研究某一初始时刻t0 以后的电感电流，不需要 了解t0以前的电流，只需知道t0时刻开始作用的 电压 u 和t0时刻的电流 i(t0)。
注意
①当电感的 u，i 为非关联参考方向时，上 述微分和积分表达式前要冠以负号 ;
际电感线圈。当电流通过线圈时，将产生磁通，
是一种抵抗电流变化、储存磁能的元件。
(t)＝N (t)
i (t)
+
u (t)
-
1. 定义
电感元件
储存磁能的二端元件。任何 时刻，其特性可用 - i 平面 上的一条曲线来描述。
f (,i) = 0
i
o
2. 线性时不变电感元件
任何时刻，通过电感元件的电流 i 与其磁
0 0
0
1 u (t ) u (t0 ) C
t
t0
i ( )dξ
电容元件VCR的积 分形式
表明
① 某一时刻的电容电压值与-到该时刻的所有电流值有关，即电容
元件有记忆电流的作用，故称电容元件为记忆元件。
② 研究某一初始时刻t0 以后的电容电压，需要知道t0时刻开始作用的 电流 i 和t0时刻的电压 u(t0)。
+q
U
_q
注意
电导体由绝缘材料分开就可以产生电容。
1. 定义
电容元件 储存电能的二端元件。任何时刻其储存 的电荷q与其两端的电压 u能用q-u 平面上的一条曲 线来描述。
2.线性时不变电容元件
任何时刻，原点的直线。
q Cu
电容 器的 电容
0
①某一时刻的电感电流值与-到该时刻的所有 电压值有关，即电感元件有记忆电压的作用 ，电感元件也是记忆元件。 ②研究某一初始时刻t0 以后的电感电流，不需要 了解t0以前的电流，只需知道t0时刻开始作用的 电压 u 和t0时刻的电流 i(t0)。
注意
①当电感的 u，i 为非关联参考方向时，上 述微分和积分表达式前要冠以负号 ;
际电感线圈。当电流通过线圈时，将产生磁通，
是一种抵抗电流变化、储存磁能的元件。
(t)＝N (t)
i (t)
+
u (t)
-
1. 定义
电感元件
储存磁能的二端元件。任何 时刻，其特性可用 - i 平面 上的一条曲线来描述。
f (,i) = 0
i
o
2. 线性时不变电感元件
任何时刻，通过电感元件的电流 i 与其磁
0 0
0
1 u (t ) u (t0 ) C
t
t0
i ( )dξ
电容元件VCR的积 分形式
表明
① 某一时刻的电容电压值与-到该时刻的所有电流值有关，即电容
元件有记忆电流的作用，故称电容元件为记忆元件。
② 研究某一初始时刻t0 以后的电容电压，需要知道t0时刻开始作用的 电流 i 和t0时刻的电压 u(t0)。
+q
U
_q
注意
电导体由绝缘材料分开就可以产生电容。
1. 定义
电容元件 储存电能的二端元件。任何时刻其储存 的电荷q与其两端的电压 u能用q-u 平面上的一条曲 线来描述。
2.线性时不变电容元件
任何时刻，原点的直线。
q Cu
电容 器的 电容
电路分析基础-储能元件
A
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4.电感的并联
等效电感
+ i1 i2
+i
u L1 L2 等效 u Leq
-
-
1 Leq
1 L1
1 L1
Leq
L1L2 L1 L2
1 11
Leq L1 L2
1
Ln
i(t0 ) i1(t0 ) i2 (t0 )
A
in (t0 )
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f (u,q) 0
q
u o
A
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2.线性电容元件
任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压 u
成正比。qu 特性是通过坐标原点的直线。
q Cu
电容 器的
C q tan 电容
u
q
o
u
A
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电路符号
C i
＋
－
u
单位
F (法拉), 常用F，pF等表示。
1F=106 F 1 F =106pF
A
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3. 电容的电压电流关系
C i
＋
－
u
u、i 取
i dq dCu C du
关联参考方向
dt dt dt
电容元件的 VCR
A
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C
i ＋
u
i C du
－
dt
表明
①某一时刻电容电流 i 的大小取决于电容电压 u 的
u
i
C1 C2
Ceq
-
-
等效电容 前提条件
Ceq C1 C2 + Cn
电路PPT课件：储能元件
0
1
2 t /s
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若已知電流求電容電壓，有 i/A 1
0
i(t)
1 1
0
t 0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
0 -1
1
2 t /s
0t 1s
1 t 2s
uc(t)
1 C
00dξ
1 C
0t1dξ
02t
2t
uC (t)
u(1)
1 0.5
t
1
(1)d
4
2t
2t
uC (t)
u(2)
1 0.5
t
2
0d
0
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實際電容器的模型
C i
＋
－
u
C
qi +
_q
C
＋
G
－＋
u
G
－
u
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實際電容器
返回 上頁 下頁
電力電容
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衝擊電壓發生器
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6.2 電感元件
電感線圈把金屬導線繞在一骨架上構成一實際電感 線圈，當電流通過線圈時，將產生磁通，是一種 抵抗電流變化、儲存磁能的部件。
WL
t
Li
di dξ
dξ
1 2
Li2 (ξ)
t
1 Li2(t) 1 Li2() 1 Li2(t)
2
2
2
從t0到 t 電感儲能的變化量：
WL
1 2
Li2 (t )
1 2
Li2 (t0 )
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WL
1 2
Li2 (t )
0
第六章-储能元件
），与线圈交链成磁链ψ
把金属导线绕在一骨架上 构成一实际电感线圈，当电 流通过线圈时，将产生磁通 ，是一种抵抗电流变化、储
i
i
+–
ue
–+
存磁能的部件。
电感线圈原理示意图
几种实际电感线圈示例
贴片型空心线圈
可调式电感
环形线圈
立式功率型电感
一、定义
任意时刻，能用Ψ-i平面内一条曲线来描述的二端元件→ 韦-安曲线
d(12 2t) 1 106 dt
1μA
例2 : C=0.5F的电容电流波形如图 (b)所示，求电容电压uC(t)。
解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算
1．当t0时，iC(t)=0，得
uC
(t)
1 C
t
iC ( )d
2 106
t
0d 0
2．当0t<1s时，iC(t)=1A，得
i +– ue L –+
对于线性电感,有： =Li =N 为电感线圈的磁链（韦伯）
L
def
ψ
i
L 称为自感系数,也代表 电感元件本身
线性电感的 ~i 特性（韦-安特性）是过原点的直线
i
L= /i tg + –
Oi
六、线性电感电压、电流关系→伏安关系：
ue L –+
u, i 取关联参考方向:根据电磁感应定律与 楞次定律
i
u, i 取关联参考方向
+ +
i dq C du dt dt
u
C
u, i 取非关联参考方向
–
–
i dq C du
dt
dt
电容充放电形成电流： u, i 取关联参考方向
《电路》邱关源、第六章 储能元件
0.5
t
0d 0
2
六．电容元件的串联与并联
1.电容元件的串联
1 C eq
2.电容元件的并联
1 C1
1 C2
1 Cn
C eq C 1 C 2 C n
6. 2 电感元件 (inductor)
一. 电感元件 一般把金属导线绕在一骨架上来 构成一实际电感器，当电流通过线圈 时，将产生磁通。其特性可用 ~i平 面上的一条曲线来描述，称为韦安特 性。 二. 线性电感元件 1. 电路符号 i + i + –
-1 0
电源波形
1 i/A
2 t /s
1 1
2 t /s
p( t ) u( t )i ( t ) 0 2t 2t 4 0
WC ( t ) 1 2
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
Cu ( t )
2
2
p/W
吸收功率
0 -2 WC/J 1
1. 电路符号
C
2. 库伏特性 任何时刻，线性电容元件极板上的电荷q与电压 u 成正 比，其库伏特性经过原点。 i
q =Cu
+ u + C
C
defqq uFra bibliotek tg
O u
–
–
q——参考正极板上的电荷量
C——电容元件的电容
u——电容元件的端电压
3. 单位 C——电容，单位：F (Farad，法拉)，常用F，nF，pF 等表示。
本章小结 1、电容元件
q =Cu
电压和电流取关联参考方向时
i dq dt C du dt
电路分析基础第06章储能元件
q 的波形与 u 的波形相同。
（ 3）在 0 ~ 2 ms 时， P 2 tmW
10 在 2 ~ 4 ms 时， P （ 8 3 2 t ） mW
i(t) C du(t) dt
Cq u
p u iCud u dt
例：已知电容两端电压波形 如图所示，求 电容 的电流、功率及储能 。
韦安特性
i－电流，单位：安培（A）
L－电感（正常数），单位：亨利（H）
二、电感元件的伏安特性
1、若 u 与 i 取关联参考方向， i ( t ) L
根据电磁感应定律，有
+ u(t) -
u (t) d(t)d (L i) L d i(t)
dt dt
dt
i(t)i(t0)L 1 tt0u()d
由KVL，端口电流
i i1 i2 . .in . (C 1 C 2 . .C .n )d d u tC ed q d
n
式中 CeqC1C2.. .Cn Ck k1
Ceq为n个电容并联的等效电容。
例: 如图所示电路，各个电容器的初始电压均为零，
给定 C 1 1 F ,C 2 2 F ,C 3 3 F ,C 4 4 F 试求ab间的等
思考：在t0-t1时间内，电容吸收(释放)的电场能量？ 释放的能量和储存的能量关系?(W放≤ W吸)
五、线性电容元件吸收的功率
在关联参考方向下： puiCudu dt
非关联参考方向下，电容释放能量
四、电容元件的特点
i (t)
1、电压有变化，才有电流。
C
i(t) C du(t) dt
+ u(t) -
t
i(t)
w L [t0 ,t]t0p (
06-第六章-储能元件-电路讲义-天津科技大学
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3. 电容的功率和储能
功率 电容的储能
du p ui u C dt
t t
u、 i 取关 联参考方向
du 1 2 WC u idξ u C dξ Cu ( ) dξ 2 若u ( ) 0 1 2 1 2 1 2 Cu ( t ) Cu ( ) Cu ( t ) 0 2 2 2
t
t0
id
1 id un ( t 0 ) t0 Cn 1 1 1 t u1 ( t 0 ) u2 ( t 0 ) un ( t 0 ) ( ) id C1 C 2 C n t0 1 t u( t 0 ) t0 id C eq
1 t i ( t 0 ) ud L t0
表明
电感元件VCR 的积分形式
电感元件有记忆电压的作用，故称电感为记忆元件。
注
（1）当 u，i 为非关联方向时，上述微分和积分表
达式前要冠以负号 ; （2）上式中 i(t0) 称为电感电流的初始值，它反映电
感初始时刻的储能状况，也称为初始状态。
WC /J 1
0
1
2 t /s
上 页 下 页
若已知电流求电容电压，有
0 1 i(t ) 1 0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
i /A 1 1
2 t /s
-1
当0 t 1s
当 1 t 2s
1 0 1 t uC ( t ) 0dξ 1dξ 0 2t 2t C C 0
上 页 下 页
线性电容的电压、电流关系
i
＋
表明:
+q
C
3. 电容的功率和储能
功率 电容的储能
du p ui u C dt
t t
u、 i 取关 联参考方向
du 1 2 WC u idξ u C dξ Cu ( ) dξ 2 若u ( ) 0 1 2 1 2 1 2 Cu ( t ) Cu ( ) Cu ( t ) 0 2 2 2
t
t0
id
1 id un ( t 0 ) t0 Cn 1 1 1 t u1 ( t 0 ) u2 ( t 0 ) un ( t 0 ) ( ) id C1 C 2 C n t0 1 t u( t 0 ) t0 id C eq
1 t i ( t 0 ) ud L t0
表明
电感元件VCR 的积分形式
电感元件有记忆电压的作用，故称电感为记忆元件。
注
（1）当 u，i 为非关联方向时，上述微分和积分表
达式前要冠以负号 ; （2）上式中 i(t0) 称为电感电流的初始值，它反映电
感初始时刻的储能状况，也称为初始状态。
WC /J 1
0
1
2 t /s
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若已知电流求电容电压，有
0 1 i(t ) 1 0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
i /A 1 1
2 t /s
-1
当0 t 1s
当 1 t 2s
1 0 1 t uC ( t ) 0dξ 1dξ 0 2t 2t C C 0
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线性电容的电压、电流关系
i
＋
表明:
+q
C
电路课件电路06储能元
电感器的电气特性
感抗
电感器对交流电的阻碍作用称为 感抗，用符号X表示。感抗的大小
与交流电的频率和电感量的大小 有关。
品质因数
品质因数是衡量电感器性能的一个 重要参数，它反映了电感器能量转 换效率的高低。品质因数越高，电 感器的性能越好。
额定电流
额定电流是指在规定的工作条件下， 电感器能够长期稳定工作的最大电 流值。
自放电率
04
电池的自放电率表示其存储电量的损失率，自 放电率越低，电池的存储时间越长。
电池的充电与放电管理
充电管理
充电管理是确保电池安全、快速、高效充电的关键。充电方法包括恒流充电、恒压充电和脉冲充电等 。
放电管理
放电管理是确保电池在使用过程中能够提供稳定的电流输出，同时避免过度放电或放电不足的关键。
工作原理与特性
电感器
电感器由线圈绕在磁芯上构成，当电流通过线圈时，产生磁场并存储能量。电 感器具有阻止电流变化的特性，常用于滤波、振荡和延迟等电路中。
电容器
电容器由两个平行板之间填充绝缘介质构成，当电压施加在电容器上时，电荷 在极板上积累并形成电场。电容器具有储存电荷的特性，常用于滤波、耦合和 去耦等电路中。
干电标池题
干•电池文是字一内种容化学电 • 文字内容
源•，由文锌字、内二容氧化锰 和•氯化文铵字溶内液容组成。 当电池被使用时，锌 与氯化铵反应产生电 流，二氧化锰起到催
化剂的作用。
铅酸电池
铅酸电池由一个或多 个串联的铅电极和二 氧化铅电极组成，浸 在硫酸溶液中。当电 池被充电时，铅和二 氧化铅发生化学反应
详细描述
在汽车领域，超级电容器可以用于启动辅助、能量回收和灯光控制等系统。在工业控制 领域，超级电容器可以用于控制设备的电源供应和电磁阀的驱动。在能源存储系统领域，
第六章 储能元件
第六章储能元件一、线性电容元件(capacitor)C ＋_i u 1. 线性电容元件定义（库伏特性）+q-q q /Cu /V图5.1-1 线性时不变电容元件在外电源作用下，电容器两极板上分别带上等量异号电荷，撤去电源，板上电荷仍可长久地集聚下去，其特性可用u ～q 平面上的一条曲线来描述，称为库伏特性。
电荷量q 与其端电压的关系为)()(t Cu t q 电容器是一种能储存电荷或者说储存电场能量的部件。
线性电容元件就是反映这种物理现象的电路模型。
(5.1-1)式中C 是电容元件的参数，称为电容元件的电容量，单位为法拉(F)。
C 是一个正实常数。
电容元件简称为电容，其符号C 既表示元件的参数，也表示电容元件。
2. 伏安特性（VCR ，voltage current relation ）在电路分析中，关心的是元件的VCR 。
若电容端电压u 与通过的电流i 采用关联参考方向，如图5.1-1(a )所示，则有dt du C dt dq i ==（5.1-2）这是伏安特性的微分形式。
（1）伏安特性的微分形式：上式表明：1)任何时刻，通过电容元件的电流与该时刻的电压变化率成正比，与u的大小无关，称为动态元件。
如果电容两端加直流电压，则i=0，电容元件相当于开路。
故电容元件有隔断直流的作用。
2)在实际电路中，通过电容的电流i总是为有限值，这意味着d u/d t必须为有限值，也就是说，电容两端电压u必定是时间t的连续函数，而不能跃变。
这从数学上可以很好地理解，当函数的导数为有限值时，其函数必定连续。
将式(5.1-2)改写为dt t i Ct du )(1)(=可见，电容有“记忆”电流的作用，称为记忆元件。
（而电阻元件的电压仅与该瞬时的电流值有关，是无记忆元件，称为即时元件。
）（5.1-3)对上式从-∞到t 进行积分，并设u (-∞)=0，得1()()tu t i d C ξξ-∞=⎰（2）伏安特性的积分形式：设t 0为初始时刻。
第6章储能元件78106-精品文档30页
(2) 当 u 为常数(直流)时，i = 0。电容相当于开路， 电容有“隔直通交”的作用；
(3) 实际电路中通过电容的电流 i为有限值，
则电容电压 u 不能跃变，必是时间的连续函数。
23.09.2019
8
伏安关系的积分形式
由
i
=
dq dt
得
t
t0
t
q(t) = i(x) dx = i(x) dx + i(x) dx
电容元件就是实际电容器的理想化模型。
线性电容元件的图形符号：
文字符号或元件参数：
C
23.09.2019
6
+
其它类型线性电容 元件的图形符号：
2. 库伏特性 若电压正极所在的极 板上储存的电荷为+q
则有： q = C u
电解电容 可变电容
+q C -q +u-
微调电容
q
即任何时刻，线性电 容元件极板上的电荷 q 与电压 u 成正比 。
等于元件在t2和t1时刻的电场能量之差。
充电时，|u(t2)|＞|u(t1)|， Wc (t2)＞Wc (t1)，电容元 件吸收能量；
释放的能量≤吸收的能 量，是无源元件。
如果电容元件的库伏
放电时，|u(t2)|＜|u(t1)|， Wc (t2)＜Wc (t1)，电容元 件把存储的电场能量释
特性不是通过原点的 直线，则称为非线性 电容元件。
或
i= 1 L
单位：1 H = 103m H = 106mH
t
u dt 元件约束
-∞
储能的计算： wL(t) =
1 2
Li2(t)
其它特征：不耗能、无源、有记忆、双向元件
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变化率，而与该时刻电压 u 的大小无关。电容
是动态元件。
②当 u 为常数(直流)时，i =0。电容相当于开路，
电容有隔直通交的作用。
③实际电路中电容的电流 i 为有限值，则电容
两端的电压 u 不能跃变，必定是时间的连续
函数。
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12
u(t
)
u(t
)0
1 C
t
t 0
idξ
电容元件 的VCR
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线性电感元件VCR的积分形式
i
1 L
t
1F=106 F 1 F =106pF
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3. 电容的电压电流关系
C i
＋
－
u
u、i 取
i dq dCu C du
关联参考方向
dt dt dt
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电容元件的 VCR
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C
i ＋
u
i C du
－
dt
表明
①某一时刻电容电流 i 的大小取决于电容电压 u 的
Wc
t
C
∞
u(x)
du(x)dt
dt
C
u(t)
u(x)du(x)
u(∞)
1 2
Cu2(x)
u(t) u(-∞)
Wc
1 2
Cu2(t)
1 2
Cu2(-∞)
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4. 功率/电场能量
若在t =-∞时，电容处于未充电状态，即 u(-
∞)=0，则在t =-∞时的电场能量为0。 则电
i (t)
+ u (t) -
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(t)＝N (t)
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精选课件
实绕 用制 的成 电的 感线 器圈 是。 用 铜 导 线
19
各种类型的电感
精选课件
20
各种类型精选的课件电抗
21
6.2 电感元件
在高频电路中，常用空心或带有铁氧体磁心的 线圈。
在低频电路中，如变压器、电磁铁等，则采用 带铁心的线圈。
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5
各种贴片系列的电容器
精选课件
6
6.1 电容元件
电容器在外电源作用下，正负电极上分别带上
等量异号电荷，撤去电源，电极上的电荷仍
可长久地聚集下去，所以电容是储能元件（
而非耗能元件）。
+q
_q
U
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1. 定义
电容元件
储存电能的二端元件。任何时 刻其储存的电荷 q 与其两端的 电压 u 能用q～u 平面上的一条 曲线来描述。
dt dt
电感元件VCR
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i
L
+
u
u(t) L di(t)
-
dt
表明
①电感电压u 的大小取决于i 的变化率, 与 i 的大 小无关，电感是动态元件；
②当i为常数(直流)时，u = 0。电感相当于短路；
③实际电路中电感的电压u为有限值，则电感电 流 i不能跃变，必定是时间的连续函数。
容元件在任何时刻 t 所储存的电场能量将
等于它所吸收的能量：
Wc(t)
1 2
Cu2(t)
从t1～t2时间，电容元件吸收的能量为：
Wc
1 2
Cu2(t2)
1 2
Cu2(t1) Wc (t2) Wc (t1)
精选课件
16
4. 功率/电场能量
充电时，|u(t2)|＞|u(t1)|，Wc (t2)＞Wc (t1)，电容 元件吸收电能；
u(t
)
(u(t
)0
1 C
t
t 0
idξ
)
②上式中u(t0)称为电容电压的初始值，它反 映电容初始时刻的储能状况，也称为初始
状态。
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4. 功率/电场能量
①当u、i 为关联参考方向时，线性电容元件
吸收的功率为：
p
ui
Cu
du dt
②从-∞到任意时刻t 吸收的电场能量为：
表明
④某一时刻的电容电压值与t0 到该时刻的所 有电流值有关，还与u(t0)值有关，即电容
元件是“有记忆”的元件。
⑤与之相比，电阻元件某一瞬时电压仅与该 时刻的电流有关，即是无记忆元件。
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注意
①当电容的 u、i 为非关联方向时，上述微分
和积分表达式前要冠以负号 ;
i C du dt
★ 必须先掌握电感和电容的VCR，然 后再用KCL和KVL来描述与其它基 本元件之间的互连关系。
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3
6.1 电容元件
★ 只要电导体用电解质或绝缘材料(如云母、绝缘 纸、陶瓷、空气等)隔开就构成一个电容器。
独石电容器
高压瓷片电容
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金属化聚丙烯 薄膜电容器
4
铝制电解电容
法拉电容0.1-1000F 无极性电解电容 高频感应加热机振荡电容
i
oi
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电路符号
i
L
+
u
自感系数 （电感）
-
单位 H (亨利)，常用H，mH表示。
1H=103 mH 1 mH =103 H
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3.线性电感的电压、电流关系
i
L
+
u
-
u、i 取关联
参考方向
u 与 i 为关联参考方向下：
u(t) d L di(t)
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22
1. 定义
电感元件
储存磁场能量的二端元件。 任何时刻，其特性可用～i 平面上的一条曲线来描述。
f ( ,i) 0
i o
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 线性电感元件
任何时刻，通过电感元件的电流 i 与其磁链 成正比。 ~ i 特性为通过原点的直线。
(t) Li(t)
L tan
f (u,q) 0
q
u o
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2.线性电容元件
任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压 u
成正比。qu 特性是通过坐标原点的直线。
q Cu
电容 器的
C q tan 电容
u
q
o
u
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电路符号 单位
C i
＋
－
u
F (法拉), 常用F，pF等表示。
放电时，|u(t2)|＜u(t1)|， Wc (t2)＜Wc(t1)，电容 元件把存储的电场能量释放出来。
电容是一种储能元件，它不消耗能量，即储存多 少电能一定在放电完毕时全部释放。
电容元件不会释放出多于它吸收或储存的能量， 即电容是一种无源元件。
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17
6.2 电感元件
电感线圈把金属导线绕在一骨架上构成一实际电感 线圈，当电流通过线圈时，将产生磁通，是一种 抵抗电流变化、储存磁场能量的部件。
第6章 储能元件
本章内容
6.1 电容元件 6.2 电感元件 6.3 电容、电感元件的串联与并联
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第6章 储能元件
重点：
1. 电容元件的特性； 2. 电感元件的特性； 3. 电容、电感的串并联等效参数。
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第6章 储能元件
★ 前五章介绍的电路分析技术（或方 法）也可以应用于包含电感和电容 的电路。