立方根、n次方根、实数运算、分数指数幂
n次方根和分数指数幂运算的知识点
n次方根和分数指数幂运算的知识点
在高中阶段，指数函数和对数函数是三个基本初等函数中考的最多的两个函数。
整个高中三年的历次期中、期末考试中都会或多或少地涉及到这两个函数。
同时因为这两个函数也是高一数学的难点，导致很多学生长期掌握不了。
需要注意的是，n次方根和分数指数幂运算是学习指数函数的基础——至少能帮助同学们克服一定的畏难情绪。
要想快速、熟练地掌握指数函数，就必须要重视起这部分的学习。
不然，“头痛医头脚痛医脚”，是注定很难学好指对数函数的。
下面总结整理了n次方根和分数指数幂运算的知识点，并试图以一种让大家一目了然掌握其中梗概和重点的方式呈现出来。
1.n次方根的概念及易混知识点拨
2.根式、根指数、被开方数的概念
3.两个非常重要的核心等式
这是这节课中非常重要的两个等式，计算时按公式代就可以。
4.正数的正分数指数幂和正数的负分数指数幂
正数的分数指数幂定义
5.指数幂的运算公式
理解和掌握知识点是学好这部分知识点的第一步，希望大家再接再厉，对这部分知识熟能生巧！。
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
实数指数幂及其运算完整版
精选ppt
1
复习引入
1 初中学习的正整数指数
2 正整数指数幂的运算法则
（1）amanamn (2) (am)n amn (3) aamn amn(mn,a0) (4) (ab)mambm
精选ppt
2
思考讨论
规定： a0 1(a0)
ana1n(a0,nN)
精选ppt
3
分数指数
❖ 1.回顾初中学习的平方根，立方根的概念
1 1 3
(1)a2a4a 8
1
(2)(x2
1
y3
)6
8a3
(3)( 2
7b6
1
)3
(4)2x13(1x13
2
2x 3)
2
精选ppt
17
3 、下列正确的是（）
1
A 、 x ( x ) 2 ( x 0 )
B、
1
x3
3
x
C
、(
x
)
3
4
4
( y )3(x, y
0)
y
x
1
D 、6 y 2 y 3 ( y 0 )
（ 16） － 3 4＝ （ 2） 4 （ － 3 4） ＝ （ 2） － 3＝ 27。
81
3 精选ppt
38
12
练习:求值：
912，6432
,
(
1
1
)5
32
精选ppt
13
例3：用分数指数幂的形式表示下列各式：
a2 a,a 33a2, aa(式 中 a0 )
分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈Q)；
初中幂运算公式大全
初中幂运算公式大全1.平方：平方表示一个数乘以自己，用符号“²”表示。
公式：a²=a×a2.立方：立方表示一个数乘以自己两次，用符号“³”表示。
公式：a³=a×a×a3.乘方：乘方是指将一个数乘以自己若干次，用符号“ⁿ”表示。
其中，n表示乘方的次数。
公式：aⁿ=a×a×a...(共n个a相乘)4.平方根：平方根是指一个数的平方等于给定的数，用符号“√”表示。
公式：√a=b，其中b是使得b²=a的数。
5.立方根：立方根是指一个数的立方等于给定的数，用符号“³√”表示。
公式：³√a=b，其中b是使得b³=a的数。
6.乘方运算的基本性质：(a×b)ⁿ=aⁿ×bⁿ(aⁿ)ⁿ=aⁿⁿ(aⁿ)ⁿ=aⁿⁿⁿaⁿ÷aᵐ=aⁿ⁻ᵐ(当n>m时)aⁿⁿⁿ...ⁿ(共m个)=aⁿᵏ7.平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²a²-b²=(a+b)(a-b)8.立方公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³9.乘方公式：(a×b)ⁿ=aⁿ×bⁿ(aⁿ)÷(bⁿ)=(a÷b)ⁿ10.分配律：a×(b+c)=a×b+a×ca×(b-c)=a×b-a×c。
中考数学知识点：实数的性质
中考数学知识点：实数的性质数学实数知识点篇一1、平方根如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
2、立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
3、实数无限不循环小数又叫做无理数。
有理数和无理数统称实数。
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
数学实数知识点篇二无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。
实数：①实数分有理数和无理数。
②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。
③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。
代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。
合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。
②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。
③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
实数的分数指数与根式运算
实数的分数指数与根式运算
1. 分数指数运算
分数指数运算是实数运算的一种重要形式，可以用来求解实数的幂次运算。
在分数指数运算中，底数为实数，指数为分数。
1.1 分数指数的定义
分数指数的定义如下：
a^(m/n) = n√(a^m)
其中，a为实数，m为整数，n为正整数且不为零。
1.2 分数指数运算的性质
分数指数运算具有以下性质：
- 任意实数a的0次方等于1，即a^0 = 1，其中a≠0。
- 任意实数a的1次方等于a，即a^1 = a。
- 当分数指数的分子与分母互质时，分数指数运算具有分配律，即(a*b)^(m/n) = (a^(m/n)) * (b^(m/n))。
2. 根式运算
根式运算是实数运算中常见的一种形式，可以用来求解实数的根。
2.1 根式的定义
根式的定义如下：
√a = b，其中b是满足b^n = a的实数。
其中，a为非负实数，n为正整数且不为零。
2.2 根式运算的性质
根式运算具有以下性质：
- 同样的数的n次方根是唯一的。
- 根式可以和实数的乘法、除法以及幂次运算进行结合。
总结
实数的分数指数与根式运算是实数运算中常用的形式。
通过掌握分数指数的定义和性质，以及根式的定义和性质，我们可以灵活运用这些运算规则来解决实际问题。
请注意，以上内容为基础的定义和运算性质，并不包括更复杂的变形和应用。
对于更深入的研究和应用，建议参考相关教材和学术文献。
根与幂的运算规则
根与幂的运算规则一、平方根与算术平方根1.平方根的定义：一个数的平方根是指与其相乘后得到该数的非负实数。
2.算术平方根的定义：一个非负实数的算术平方根是指与其相乘后得到该数的非负实数。
3.平方根与算术平方根的关系：一个数的算术平方根一定是该数的平方根，但一个数的平方根不一定是该数的算术平方根。
4.立方根的定义：一个数的立方根是指与其相乘后得到该数的非负实数。
5.立方根的性质：一个数的立方根与该数的性质符号相同。
三、负整数指数幂1.负整数指数幂的定义：一个数的负整数指数幂是指该数的倒数的正整数次幂。
2.负整数指数幂的性质：一个数的负整数指数幂与该数的性质符号相同。
四、正整数指数幂1.正整数指数幂的定义：一个数的正整数指数幂是指该数连乘自身正整数次。
2.正整数指数幂的性质：a)同底数幂的乘法：底数相同，指数相加。
b)同底数幂的除法：底数相同，指数相减。
c)幂的乘方：底数不变，指数相乘。
d)积的乘方：先将每个因数分别乘方，再将所得的幂相乘。
五、零指数幂1.零指数幂的定义：0的正整数指数幂等于0。
2.零指数幂的性质：0的零次幂没有意义。
六、分式指数幂1.分式指数幂的定义：一个数的分式指数幂是指该数的指数为分数的形式。
2.分式指数幂的性质：a)分式指数幂的乘法：底数相同，分子相乘，分母相乘。
b)分式指数幂的除法：底数相同，分子相除，分母相除。
c)分式指数幂的乘方：底数不变，分子相乘，分母相乘。
七、根式与分数指数幂1.根式的定义：一个数的根式是指以该数为底数的分数指数幂。
2.分数指数幂的定义：一个数的分数指数幂是指该数的指数为分数的形式。
3.根式与分数指数幂的关系：根式可以转化为分数指数幂，分数指数幂也可以转化为根式。
八、混合运算1.混合运算的定义：根与幂的运算规则在实际应用中，经常会与其他数学运算（如加、减、乘、除）结合进行。
2.混合运算的注意事项：a)先进行乘方、开方等运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算。
开方与次方：数的幂运算
开方与次方：数的幂运算数的乘方运算是数学中常见且重要的运算之一。
通过乘方运算，我们可以很方便地表示大数、计算复杂的公式以及解决各种实际问题。
在数学中，乘方运算有两种形式：开方运算和次方运算。
一、开方运算开方运算是指将一个数的平方根提取出来的运算。
平方根是指一个数与自己相乘等于另一个数的性质。
设a为一个实数，如果b是满足b²=a的实数，那么b就是a的平方根，记作b=√a。
在数学中，开方运算可以分为平方根、立方根、四次方根等。
1. 平方根对于一个非负实数a，它的平方根可以表示为√a。
例如，√16=4，√25=5。
通过求平方根，我们可以计算出某个数的较小或较大的解。
平方根运算可以通过计算器、数学公式或专门的方法进行求解。
2. 立方根立方根是开方运算的一种特殊形式，它表示一个实数的三次方根。
设a为一个实数，如果b是满足b³=a的实数，那么b就是a的立方根，记作b=∛a。
例如，∛27=3，∛64=4。
立方根可以在数学计算中产生很多应用，如几何题、物理问题等。
二、次方运算次方运算是将一个数进行自乘，即将一个数连续乘以自己n次的运算。
它可以表示为aⁿ，其中a是底数，n是指数。
次方运算可以分为正整数次方、负整数次方、零次方和分数次方。
1. 正整数次方当指数n为正整数时，aⁿ表示将底数a连续乘以自身n次的运算。
例如，2³=2×2×2=8，3⁴=3×3×3×3=81。
对于正整数次方，我们可以通过循环和递归等方法进行计算。
2. 负整数次方当指数n为负整数时，aⁿ表示将底数a的倒数连续乘以自身n次的运算。
例如，2⁻³=1/(2³)=1/8，3⁻²=1/(3²)=1/9。
负整数次方运算可以通过求正整数次方的倒数得到。
3. 零次方当指数n为零时，aⁿ等于1。
这是一个特殊的次方运算规则，即任何数的零次方都等于1。
实数的运算与分数指数幂
实数的运算与分数指数幂一、用数轴上的点表示实数1、数轴表示无理数许多无理数都可以用画图的方式找到数轴上的一个点来表示它.一般地，我们可以用无限不循环小数的近似值来确定这个点的位置.注意：(1)每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而且这样的点是惟一的，它是这个实数在数轴上所对应的点.(2)全体实数所对应的点布满整条数轴；(3)数轴上的每一个点都可以用唯一的一个实数来表示.2、实数的绝对值和相反数(1)绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.实数a的绝对值记作|a|。
其中当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a.(2)相反数：绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零，非零实数a的相反数是-a。
注意：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义在有理数范围内完全一样。
3、实数的大小比较(1)负数小于零，零小于正数；(2)两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数较小；(3)从数轴上看，右边的数所表示的数总比左边的点所表示的数大.4、数轴上两点间的距离在数轴上，若点A、点B所对应的数分别为a、b，那么A、B两点的距离AB=|a-b|.二、实数的运算1、实数的运算实数和有理数一样可以进行加、减、乘、除、乘方运算，实数运算顺序与有理数运算顺序基本相同.先算乘法、开放，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右顺序进行，有括号的先算括号里面的.在实数运算中，无理数的运算方法通常有两种：(1)把无理数取近似值，然后按有理数运算方法计算；(2)代根号直接计算：2、精确度与有效数字(1)精确度是对近似程度的要求；(2)有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字.注意：(1)取近似数一般用“四舍五入”法；(2)一般情况下，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；(3)一个近似数末尾的0是有效数字，不可忽略，因为它表示的是这个数的精确度，例如：0.20表示精确到百分位，有效数字是2和0两个，而0.2表示精确到十分位，有效数字只有2一个。
n次方根与分数指数幂ppt课件
0的n次方根为0.
n 次 方 根 偶次方根
？负数有没有偶次方根？为什么？
负数有没有偶次方根，因为任何实数的偶次方都是非负数.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数；
偶次方根 2.负数没有偶次方根；
3.0的偶次方根为0．
根式
让我们认识一下这个式子:
2 3
练习2. 用分数指数幂表示下列各式.
1 x
23 x2
34 x2
4 1
4 x3
新课讲授 分数指数幂的运算性质
我们规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整 数指数幂推广到有理数指数幂. 关于整数指数幂的运算性 质，对于有理指数幂也同样适用，即对任意有理数r，s， 均有下面的性质：
(1)aras ars (a 0, r, s Q);
例题讲解
例4 计算下列各式(式中的字母均是正数)
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 );
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
.
例4、计算下列各式（式中的字母都是正数）
21
11
15
(1) (2a 3b 2 )(6a 2b 3 ) (3a 6b 6 )
(2)(
m
1 4
一般地，如果xn=a，则x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N*．
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，
0的n次方根为0，这时，a的n次方根用符号n a 表示．
5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2. 1.正数的奇次方根是一个正数；
奇次方根 2.负数的奇次方根是一个负数；
高中数学人教A版 必修1《 4.1.1 n次方根与分数指数幂》教案 Word
4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计1．掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算；2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质．教学重难点【教学重点】理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)【教学难点】能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)课前准备引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础．二、教学过程：（一）自主预习——探新知：问题导学预习教材P104－P109，并思考以下问题：1．n次方根是怎样定义的？2．根式的定义是什么？它有哪些性质？3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．有理指数幂有哪些运算性质？（二）创设情景，揭示课题（1）以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．（2）简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考一下问题：４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，类似的，（±2）4＝16，我们可以把±2叫做16的4次方根，（2）5＝32，2叫做32的5次方根？推广到一般情形，a的n次方根是一个什么概念？给出定义．（3）当n是奇数时，a的n n是偶数时，若a>0，则a的n次方根为若a=0，则a的n次方根为0；若a<0，则a的n次方根不存在．即：负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.,1)n N n ∈>叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （4）一起看354分别等于什么？一般地n等于什么？n a =由n 次方根的意义，可得 ，换一下呢？n na 等于什么？当na =； 当n||a =，然后对a 的正负分类考虑，以夏天、冬天穿衣服为例子帮助记忆。
实数指数幂运算法则
n
当n为奇数时， n a a;
当n为偶数时， n a
n
a
as at ast
运
算 法
as t ast
则
abs as bs
化负指数为正指数
化根式为分数指数幂
方
法
化小数为分数
规
律
遇乘积化同底或同指数幂
结果不能同时含有根号和分数指数幂
an
n a m n am
2
86
6 82
2
2
86 6 8 无意义
a为正数,用分数指数幂表示下列根式:
(1) 6 a 4 ; (2) 1 ; 3 a2
2
(1)6 a4 a 3 ;
(2)
1
2
a 3;
3 a2
复习初中学过的整数指数幂的运算法则： (1)a m a n a mn 同底数幂相乘，底数不变，指数相加
为 n a，负的方根记为 n a;负数的偶数次方根
在实数范围内不存在。 (3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记
为 n a，正数的奇数次方根是一个正数，负数的
奇数次方根是一个负数。
根式具有以下性质
(1)(n a )n a （a>0,n∈N+）
a
(2)n an
|a|
当n为奇数时 当n为偶数时
(2) am n amn
幂的乘方，底数不变，指数相乘
(3) ab n an bn 积的乘方，等于把积的各个因式分别乘方
其中（m、n Z）
计算练习 a3 a2 a5
a3 1 a3
3x3 2 9x6
a3 a5
1 a2
由 3 3 3
1
即32
1
根式与分数指数幂
探究点1 n次方根的概念
合作探究 思考: 类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？
探究点1 n次方根的概念
归纳：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数这两种情况．
02
合作探究
探究点2 根式的运算性质
3. 运算策略：化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序.
合作探究 根式的运算性质：
归纳小结
n∈N，且n>1.
归纳小结
2.根式化简的技巧 ①熟记恒等式： ②注意整体思想、完全平方公式等的运用. ③含参数化简，若开偶次方根，要注意分类讨论.
知识点二 分数指数幂
1.分数指数幂：
(2) 正数的负分数指数幂的意义：
(3)规定0的正分数指数幂为 ，0的负分数指数幂 .
51.42
51.5
51.4
结论：一般来说，无理数指数幂ap(a>0，p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
题后反思
方法总结：
1.当所求根式含有重根号时，要搞清被开方数，由里向外用 分数指数幂写出，然后再利用性质运算.
2.计算结果形式：不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求， 就用分数指数幂的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求给出 结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又 含有负指数.
说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法．
0
没有意义
2.有理数指数幂运算性质
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
数学根和指数：根和指数运算
数学根和指数：根和指数运算在数学中，根和指数是一种常见的运算方式。
根据定义，根运算是指一个数的 n 次方等于另一个数，而指数运算是指一个数不断地乘以自己。
本文将讨论数学根和指数的基本概念、运算规则以及其在实际生活和科学研究中的应用。
一、数学根的概念和运算规则1.1 平方根和立方根平方根是指一个数的平方等于该数的正平方根，常用符号为√。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
同样，√4 = 2，√16 = 4。
立方根是指一个数的立方等于该数的正立方根，常用符号为³√。
例如，³√8 = 2，因为2的立方等于8。
同样，³√27 = 3，³√64 = 4。
1.2 根的运算规则根运算有一些基本的运算规则需要遵守。
首先，任何正数的平方根和立方根都是唯一确定的。
其次，对于正数 a 和 b，有以下规则：(1) 根的乘法法则：√(a * b) = √a * √b(2) 根的除法法则：√(a / b) = √a / √b(3) 根的乘方法则：(√a)^b = a^(b/2)1.3 高次根和分数指数根除了平方根和立方根外，还存在高次根和分数指数根。
高次根是指一个数的 n 次幂等于该数，常用符号为ⁿ√。
例如，⁵√32 = 2，因为2的5次方等于32。
分数指数根是指一个数的分数指数次幂等于该数，常用符号为ᵇ√。
例如，¹/₂√4 = 2，因为2的二分之一次方等于4。
二、指数运算的概念和运算规则2.1 指数的概念指数运算是指一个数不断地乘以自己的过程。
例如，2²= 2 * 2 = 4，2³ = 2 * 2 * 2 = 8。
在指数运算中，2 称为底数，²称为指数，读作“2的2次方”。
2.2 指数的运算规则指数运算有一些基本的规则需要遵守。
首先，任何数的 0 次方都等于1。
其次，对于任何数 a，有以下规则：(1) 指数乘法法则：a^m * a^n = a^(m+n)(2) 指数除法法则：a^m / a^n = a^(m-n)(3) 指数乘方法则：(a^m)^n = a^(m*n)三、根和指数的实际应用根和指数运算在现实生活和科学研究中有广泛的应用。
根式与指数运算
根式与指数运算根式与指数是数学中常见的运算方式，它们在代数、几何、物理等领域中都有广泛应用。
本文将介绍根式与指数的概念和运算规则，帮助读者更好地理解和应用这两种运算方式。
一、根式运算根式是表示一个数的平方根、立方根等的数学符号。
比如，√4表示4的平方根，3√8表示8的立方根。
根式运算主要包括开方、化简、比较大小等。
1. 开方开方指求一个数的平方根、立方根、四次方根等。
以√为例，√4=2表示4的平方根是2，√9=3表示9的平方根是3。
同样地，3√8=2表示8的立方根是2。
2. 化简有时候需要对根式进行化简，使其变得简洁易读。
化简的方法包括将分母中的根号消去、将根号内的平方数提取出来等。
例如，化简√18可以进行分解，得到√(9×2)，然后提取出平方数9，得到3√2。
3. 比较大小在进行根式比较大小时，可以通过平方、立方等方式对根式进行化简，然后再进行比较。
例如，比较√2和√3的大小，可以将两者都平方，得到2和3，因此√2小于√3。
二、指数运算指数是数学中代表乘方的运算符号，用于表示一个数被乘以自身若干次。
比如，2³表示2的三次方，2³=2×2×2=8。
指数运算包括乘法规则、除法规则、幂运算等。
1. 乘法规则当指数相同时，不同底数的乘法可以简化为底数的乘积再进行乘方运算。
例如，2²×3²=6²表示2的平方乘以3的平方等于6的平方。
2. 除法规则当指数相同时，不同底数的除法可以简化为底数的商再进行乘方运算。
例如，4²÷2²=2²表示4的平方除以2的平方等于2的平方。
3. 幂运算幂运算指一个数被自身乘以若干次，其中指数为正整数。
例如，2³表示2的三次方，2³=2×2×2=8。
指数为0时，任何非零数的0次方都等于1。
指数为负整数时，可以将其转化为分数进行运算。
计算简单的根式与分数
计算简单的根式与分数在数学学习中，我们经常会遇到根式和分数的计算问题。
根式是数学中的一种表达形式，它表示一个数的平方根、立方根等；而分数则表示一个数被另一个数除的结果。
本文将介绍一些计算简单的根式与分数的方法。
一、根式的计算根式的计算主要涉及到平方根、立方根和开n次根的计算。
下面将分别介绍这三种根式的计算方法。
1. 平方根的计算平方根是数学中最常见的根式之一。
计算一个数的平方根可以使用开方运算符√。
比如，要计算16的平方根，可以写作√16，计算结果是4。
2. 立方根的计算立方根表示一个数的三次方根。
计算一个数的立方根也可以使用开方运算符√。
比如，要计算8的立方根，可以写作∛8，计算结果是2。
3. 开n次根的计算开n次根表示一个数的n次方根。
计算一个数的开n次根也可以使用开方运算符√。
比如，要计算27的开3次根，可以写作∛27，计算结果是3。
二、分数的计算分数是数学中用来表示一个数被另一个数除的结果的形式。
分数由一个分子和一个分母组成，表示为a/b，其中a为分子，b为分母。
下面将介绍分数的基本运算。
1. 分数的加减运算分数的加减运算可以通过找到它们的最小公倍数来进行。
比如，要计算1/2 + 1/3，首先找到1/2和1/3的最小公倍数为6，然后将分数的分子乘以最小公倍数除以分母，得到3/6和2/6，最后将两个分数的分子相加，得到5/6。
2. 分数的乘除运算分数的乘除运算可以通过将分数的分子相乘、分母相乘或者分数的分子乘以另一个分数的倒数来进行。
比如，要计算1/2 × 2/3，将分数的分子相乘得到2，分母相乘得到6，所以计算结果是2/6，可以进一步化简为1/3。
3. 分数的化简分数的化简是将分数写成最简形式，即分子和分母没有公因数。
可以通过找到分子和分母的最大公因数，然后将分子和分母都除以最大公因数来进行分数的化简。
比如，要化简4/8，首先找到4和8的最大公因数为4，然后将分子和分母都除以4，得到1/2，所以4/8可以化简为1/2。
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立方根、n次方根、实数运算、分数指数幂
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立方根
概念:
1、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，3a 读作“三次根号a ”，其中的a 叫做被开方数,“３”叫做根指数。
2、求一个数a 的立方根的运算叫做立开方。
注意:正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零，所以正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,零的立方根是零。
任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。
例：1、求下列各数的立方根
（1）28- (2）0．０64 （3)17427
- (４）２16
2、求出下列各式的值 （1） 33(2)- （2） 63(2)- (３) 23(8)- (4) 317427- ３、若33731++x x 和互为相反数，求x 的值。
练习 : 错误!未定义书签。
错误! 错误!
n 次方根
概念:
1、如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根。
当n 为奇数时，这个数为奇数方根；当n 为偶数时,这个数为a 的偶数方根。
2、求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开放数,n 叫做根指数。
３、实数ａ的奇数方根有且只有一个，用“n a ”表示.其中被开方数a 是任意一个实数,根指数n 是大于1的奇数。
正数a 的偶数方根有两个,它们互为相反数，正n 次方跟用“n a ”表示，负n 次方用“—n a ”表示.其中被开方数a >0，根指数n 是正偶数(当n ＝2时,在±n a 中省略n ）．负数的偶数方根不存在.零的ｎ次方根等于零,表示为00=n .“n a ”读做“n 次根号a ”。
例１:6641= ()886-=
例2：当意义取何值时，下列各式有
x x 1- 2-x 34-x x
x 4
2+
例3、()的值。
求已知x x n n ,532,813-2
=-=
例4、的值。
求2018201742,011y x y x +=++-
用数轴上的点表示实数
1、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而且这样的点是唯一的,它是这个实数在数轴上所有对应的点。
反过来,数轴上的每一个点也都是可以用唯一的一个实数来表示。
（即数轴上点和实数是一一对应的。
)
2、一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
实数a 的绝对值记作a 。
绝对值相等，符号相反的两个数叫做互为相反数。
零的相反数是零。
非零实数a 的相反数是 a -。
3、负数小于零；零小于正数。
两个负数，绝对值大的数较小。
从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。
例：
１、数轴上原点左边的点表示 数,原点右边的点表示 数, 点表示０。
2、比5小的正整数有 ;比—5大的负整数有 。
３、—π的相反数是 ； 的相反数是０；若2x >
,则2____x -=。
4、用“＞”、“<”填空:
（1）65-与; (2）65与； (3)65--与; （4）10-与π；
5、如图，已知数轴上的四点A 、Ｂ、C 、Ｄ所对应的实数依次是2、32
-、2
12、5-,O 为原点,求(１)线段ＯA 、OB 、ＯC 、O Ｄ的长度．（2)求线段B Ｃ的长度．
拓展:已知数轴上的四点Ａ、B 、C 、D 所对应的实数依次是2、24
3-、22、2-,求线段AB 、BC 、CD 、AC 的长度。
实数的运算
运算方法：设a >０，ｂ>0,可知ab b a b a =•=•222)()()(． 根据平方根的意义，得00(≥≥=••=b a ab b a b a ab ，或．） 同理)0,0(>≥==b a b a b
a b a b a 或． B 0 222
1 32-5- A C D O
近似数
1、近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似数程度的要求,叫做精确度.
2、保留几个有效数字,从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．
例1 判断下列各数，哪些是准确数，哪些是近似数:
(1)初一(2)班有43名学生,数学期末考试的平均成绩是８2．5分;
（2）某歌星在体育馆举办音乐会，大约有一万二千人参加；
(3)通过计算，直径为１０cm的圆的周长是３1.４cm；
（4)检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌８000０万个；
(5）199９年我国国民经济增长7.8%.
例２下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位?各有哪几个有效数字?
（1)3８2００ (2）0．040 (3)2０．05０0０(4)4×１04
例3 下列由四舍五入得到的近似数,各精确到哪一位?各有几个有效数字?
(1)70万(2）9.０3万 (3)1.8亿 (4)6.４0×10５
例４用四舍五入法,按括号里的要求对下列各数取近似值．
(1）1．5982(精确到０.0１） (２）0.0３0４9(保留两个有效数字)
(３）3.3０7４（精确到个位) （4)８1.６６１(保留三个有效数字)
例5 用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值,并说出它的精确度（或有效数字).
(1)26０７4(精确到千位)
（２)7049(保留2个有效数字)
(3)260７4000000(精确到亿位) (4)704．9(保留3个有效数字)
例6 指出下列各问题中的准确数和近似数,以及近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字？
(１）某厂１9９8年的产值约为１500万元，约是1978年的1２倍;
(2)某校初一(2)班有学生52人,平均身高约为１．57米,平均体重约为50．5千克；
(3）我国人口约12亿人;
（4)一次数学测验，初一(1）班平均分约为８８.6分，初一(2)班约为8９．0分.
练习:
1．若ｘ2=4,则x 3=____＿_.２.16的平方根是___＿_，-64的立方根是__＿_＿． 3.3-5的相反数是＿____，绝对值是_＿__＿_.4.比较大小：-7_＿＿_＿_-43. ５．若13x y ++-=０，那么ｘ=＿_＿__,ｙ＝___＿_．
6.若5+10的整数部分是a,小数部分是ｂ，则a-ｂ=＿＿____．
７.实数a,ｂ,c 在数轴上的对应点如图所示，化简a+│a+ｂ│－2
c －│b -c│＝____.
８. 已知223y x x =-+-+,则x y =_＿__
9. 若 2163610x -= 则x ＝_＿__ 10． 若 38(3)27x --= 则x=____
三、计算题
11．计算：27124148÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+＝___＿＿_＿＿＿． １２.计算：140101010
-+= ． 13.计算：326273
⨯- 14.计算化简()1
013142-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭
15.计算11(318504)52
+
-÷32 １6.计算:101(1)527232-⎛⎫π-+-+-- ⎪⎝⎭
１7.计算:118124
---．
分数指数幂
1．正数的正分数指数幂的意义
n m n m
a a = (ａ＞0,m ，n ∈Ｎ*
,且n ＞１) 要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是根式与分数指数幂可以进行互化.
另外,我们还要对正数的负分数指数幂和０的分数指数幂作如下规定.
2.规定：
(1）n m
n m
a a 1
=- (a >0,m ,n ∈N *,且n ＞1)；
(2)0的正分数指数幂等于0；
(3)0的负分数指数幂无意义.
规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a >0时，整数指数幂的运算性质,对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
3.有理指数幂的运算性质:
)
())....(3()
,())....(2()
,().....1(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+
说明:若a >０,P 是一个无理数,则p a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 例题：求值:43
32
132)8116(,)41(,100,8---
例：.)();3()6)(2(883416561312121
32n m b a b a b a -÷-化简。