天线原理与设计_讲义7

2ϕ0.5
=
0.886
λ L
(rad) =
50.764
λ
(o )
≈
λ 51
(o )
L
L
■端射阵(θm = 0 )
式(5.18)取负得
cosθ1
=
1−
0.443
λ L
≈1−
θ12 2
(5.20)
有： θ1 =
0.886 λ = 0.94 L
λ L
由式(5.19)得
2ϕ0.5 = 2θ1 = 1.88
λ L
(3) 抑制栅瓣条件
由上图可知，可见区随间距 d / λ 的增大而扩大，甚至可能使可见区扩大到包
含若干个最大值，即在可见区出现栅瓣。栅瓣的出现是人们不希望的，它不但使
辐射能量分散，增益下降，而且会造成对目标定位、测向造成错误判断等，应当
给予抑制。
F (ψ ) 的第二个最大值出现在ψ = β d (cosθ − cosθm ) = ±2π 时。抑制条件是
■对端射阵(θm = 0 )
由式(5.14)取 n=-1，有
2ϕ0
=
2θ01
=
2arc cos(1 −
λ Nd
)
若阵长
L
=
Nd
>>
λ
， cosθ01
≈
1
−
θ2 01
2
=1−
λ Nd
(5.15) (5.16)
即：θ01 =
2λ ， Nd
得：
2ϕ0 = 2
2λ Nd
(5.17)
由式(5.15)来自百度文库(5.17)可见： (1) 侧射阵主瓣零点宽度反比于天线阵长度，阵长越长， 2ϕ0 就越小； (2) 端射阵主瓣零点宽度与阵长的平方根成反比； (3) 对相同的阵列长度，侧射阵的 2ϕ0 比端射阵的窄。
−ωt)
不失一般性，取 β r = 2nπ ，n 为整数，得
(5.1) (5.2) (5.3)
ET
=
−
I1l η sin(ωt 2λr
± ϕ)
(5.4)
随时间变化的瞬态方向图因子为
f (ϕ , t) = sin(ωt ± ϕ )
(5.5)
式中，取“+”号，则总电场矢量为顺时针旋转(见书上图 5-1(b))，取“-”号则
子 sin(Nψ s / 2) = 1 处，即
ψ sq = ±π (2q +1) / N , q=1,2,…
(5.28)
或
β d (cosθsq − cosθm ) = ±(2q +1)π / N ， q=1,2,…
此式可确定侧射和端射阵的副瓣位置。 当 q=1 时，得第一副瓣位置
ψ s1 = ±3π / N
f (ψ ) = sin(Nψ / 2) sin(ψ / 2)
，ψ = β d cosθ −α
式中，θ 为阵轴与射线之间的夹角；
α 为相邻单元之间的馈电相位差。
其最大值条件为ψ |θ =θm = β d cosθm − α = 0 ，得：α = β d cosθm
可得：
ψ = β d (cosθ − cosθm )
(5.22) (5.23)
(5.24)
当扫描波束很窄时可由如下方法导出简单表达式。
式(5.23)减(5.22)得：
cosθ2
−
cosθ1
=
0.886
λ L
(5.25)
因为
cosθ 2
− cosθ1
=
2 sin(θ1
+θ2 2
) sin(θ1
−θ2 2
)
≈
(θ1
−θ2 ) sinθm
=
2ϕ0.5
sinθ m
得
2ϕ0.5
=
0.886
L
λ sinθm
(rad
)
=
51
L
λ sinθm
(o
)
(5.26)
当θm = π / 2 时，上式与侧射阵的主瓣宽度公式相同。 若在正侧向两边 ±φm 内扫描，取θm = 90o ± φm 得：
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《天线原理与设计》讲稿
王建
2ϕ0.5
=
51
L
λ cosφm
(o
)
(5.27)
图 5-1 旋转场天线
解：已知 I2 = I1e± jπ / 2 ， γ = π / 2 − ϕ
y 轴上振子的场为：
E1
=
j I1l ηe− jβ r 2λr
sin γ
x 轴上振子的场为：
E2
=
j I2l ηe− jβr 2λr
sin ϕ
E1 和 E2 方向相反，则总场为
ET
=
E1
−
E2
=
j I1l ηe− jβr[cosϕ 2λr
图 5-3 均匀直线阵的归一化方向图的可见区和非可见区示意图
(2)最大值方向
F (ψ ) 出现最大值时，ψ = 2nπ ，n=0,±1,±2,…
(5.8)
n=0 时，由ψ = β d cosθ −α =0 可导出最大值方向为：
θm
=
arccos( α βd
)
(5.9)
除 n=0 外，其余的最大值为不希望的栅瓣。
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逆时针旋转。
由式(5.1)可得稳态方向图为一个圆。其稳态和瞬态方向图见书上 P92 图 5-1。
如果旋转场天线由半波振子组成，则可得方向图函数为
f
(ϕ ,t)
=
cos(π cosθ sinθ
/
2)
cosωt
±
cos(π sinθ cosθ
/
2)
sin ω t
(5.6)
由此式可见，与侧射阵相比，波束最大值发生偏移时半功率波瓣宽度将变宽。
5、副瓣位置和副瓣电平
(1)副瓣位置
指副瓣最大值对应的角度。可由 dF (ψ ) / dψ = 0 解得，这种做法很烦琐。考
察
F (ψ
)
=
sin( Nψ N sin(ψ
/ 2) / 2)
，其分子变化比分母快得多，因此，副瓣最大值发生在分
(5.29) (5.30)
(2)副瓣电平 SLL
对均匀直线阵，紧靠主瓣的第一副瓣最大值比远副瓣的幅度大些。因此，阵
列的副瓣电平就以第一副瓣电平为准。把式(5.30)代入归一化阵因子中得
sin( N ⋅ 3π )
| F (ψ s1) |=|
2N N sin( 3π )
|=
1 N sin(1.5π
/
N
)
图 5-4 方向图主瓣零点宽度示意
■对侧射阵(θm = π / 2 )
sin ϕ0 = sin |θ01 −π / 2 |= cosθ01 = λ / Nd
得：
2ϕ0
=
2arc sin(
λ Nd
)
设直线阵总长为 L = Nd ，若 L >> λ ，则
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2ϕ0
=
2λ Nd
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变化范围为 0 ≤ θ ≤ π ，由ψ = β d cosθ −α 可得对应的实际范围为
−(β d +α ) ≤ψ ≤ β d −α
(5.7)
该范围为可见区，范围之外为非可见区。在图 5-3 中给出了单元数为 N＝5，单 元间距为 d = λ / 2 ，均匀递变相位为α = π / 6 时的归一化阵因子 F (ψ ) 随ψ 变化的 图形。
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第五章 天线阵
这里将介绍三方面内容，(1)旋转场天线，是最简单的一种圆极化天线形式， 它的研究是圆极化天线的基础；(2)均匀直线阵列天线，在第一章中已作了简单 介绍，这里将进行较深入的分析；(3)均匀平面阵天线，并将简单介绍地面上的 平面阵分析。
5.1 旋转场天线
又称十字形圆极化天线，其结构为两个尺寸相同，在空间交叉 90 度放置， 馈电电流等幅，相位相差π / 2 的对称振子，如图 5-1 所示。若是长为 l 的短振子， 要求导出 xy 平面内的远场瞬态表示。
得：
cosθ0
=
cosθm
+
nλ Nd
■对侧射阵，θm = π / 2 ，
cosθ0n
=
nλ Nd
■对端射阵，θm = 0 ，
cosθ0n
=
1+
nλ Nd
■对波束扫描阵，零点位置由式(5.12)确定。
3、主瓣零点宽度 2ϕ0
(5.12) (5.13) (5.14)
指主瓣两侧零点之间的夹角，如图 5-4 所示。 ϕ0 =|θ01 −θm | ，则： sin ϕ0 = sin |θ01 −θm |
2、零点位置
零点指方向图两个波瓣之间的节点。令 f (ψ ) = sin(Nψ / 2) / sin(ψ / 2) = 0 ，即
可得方向图的零点位置。除ψ = 0 外，方向图零点可由 sin(Nψ / 2) = 0 确定。有
Nψ / 2 = nπ , n = ±1, ±2,...
(5.11)
即： N β d (cosθ0 − cosθm ) / 2 = nπ
(5.18) (5.19)
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■侧射阵(θm = π / 2 )
由式(5.18)取正得
cosθ1
= 1.392
2 Nβd
= 1.392
λ Nπ d
= 0.443
λ Nd
由式(5.19)得
sin ϕ0.5
=
sin
| θ1
−θm
|=
cosθ1
=
0.443
λ Nd
若方向图主瓣窄 sinϕ0.5 ≈ ϕ0.5 ，并取 L = Nd ，则得
(rad) = 107.72
λ L
(o) ≈ 108
λ L
(o)
(5.21)
■扫描阵( 0 < θm < π / 2 )
由式(5.18)得
cosθ1
−
cosθm
=
−0.443 λ L
cosθ2
−
cosθm
=
0.443 λ L
主瓣宽度为
2ϕ0.5 = θ1 −θ2
= arc cos(cosθm − 0.443λ / L) − arc cos(cosθm + 0.443λ / L)
其方向图在天线所在平面内接近圆。如书上图 5-1(c)。
思考：如何导出短振子旋转场天线的立体方向图函数？
广播、电视台的发射天线采用的一种蝙蝠翼天线也是一种旋转场天线，见书
上图 5-2。
5.2 均匀直线式天线阵
等间距为 d 的 N 单元直线阵如图 5-2 所示。在前面第一章中对均匀直线式天 线阵作过简单介绍，得到了 N 元均匀直线阵的阵因子为
±
jsinϕ ] =
j I1l ηe− j(β r∓ϕ ) 2λr
式中已代入关系 I2 = I1e± jπ / 2 。计入时间因子 e jω t ，则
ET
=
η I l e 1
j(π / 2±ϕ +ωt−β r )
2λr
取其实部
ET
=
I1l η cos(π 2λr
/2±ϕ
+ωt − βr)
=
I1l η sin(β r ∓ ϕ 2λr
|ψ |max < 2π 即
d<
λ
，
| cosθ − cosθm |max
因θ = 0 ~ π ，| cosθ − cosθm |max = 1+ | cosθm | ，则得 d< λ 1+ | cosθm |
(5.10)
此式即为均匀直线阵抑制栅瓣的条件。
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■对侧射阵，θm = π / 2 ，抑制栅瓣的条件为 d < λ ■对端射阵，θm = 0 或π ，抑制栅瓣的条件为 d < λ / 2 ■对波束扫描阵，θm 应为最大扫描角。例如，在正侧向两边 ±30o 内扫描，应取 θm = 90o − 30o = 60o 得抑制栅瓣条件为 d < 2λ / 3
4、主瓣的半功率波瓣宽度 2ϕ0.5
均匀直线阵的归一化方向图函数为：
F (ψ
)
=
sin( Nψ N sin(ψ
/ 2) / 2)
如果 N 很大，则方向图主瓣窄， sin(ψ / 2) ≈ ψ / 2 ，归一化方向图函数可写作
F
(ψ
)
=
sin( Nψ Nψ /
/ 2
2)
=
sin(u) u
，
u = Nψ / 2 = N β d (cosθ − cosθm ) / 2
图 5-6 均匀直线阵归一化方向图与其近似表达式的比较
|N
>>1
≈
1 1.5π
= 0.212
2N
得： SLL = 20 lg | F (ψ s1) |= −13.5 (dB)
(5.31)
6、方向性系数 D
由方向性系数公式
∫ ∫ ∫ D =
2π dϕ
4π π F 2(θ )sinθ dθ
=
2 π F 2(θ ) sinθ dθ
=
2 I
0
0
0
∫ 式中， I = π F 2 (θ ) sinθ dθ 0
最大值为
fmax = N
归一化阵因子为 F (ψ ) = sin(Nψ / 2) N sin(ψ / 2)
以上是第一章介绍过的内容。下面对均匀直线阵作进一步介绍。
1、可见区与非可见区、最大值方向、栅瓣及其抑制条件
(1)可见区与非可见区
从数学上看，阵因子 F (ψ ) 是在 −∞ < ψ < ∞ 范围内的周期函数，实际上θ 的
(5.32) (5.33)
■对侧射阵
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F (θ )
=
sin(N β d cosθ N sin(β d cosθ
/ 2) / 2)
|N >>1 ≈
sin(N β d cosθ N β d cosθ /
/ 2) 2
(5.34)
当 N=10，d = λ / 2 时，绘出了归一化方向图函数和近似归一化方向图函数的 图形，见图 5-6。由图可以看出，当 N 较大时，两者只在远副瓣略有差异。
令 F (ψ ) = 1/ 2 = 0.707 ，查图 5-5 得： u = Nψ / 2 = ±1.392 ，即
(a) 均匀直线阵主瓣
(b) 主瓣宽度示意
图 5-5 均匀直线阵主瓣及主瓣宽度示意
N β d (cosθ1 − cosθm ) / 2 = ±1.392
见图 5-5(b)有， 2ϕ0.5 = 2 |θ1 −θm |