费马最后定理
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法國人
1839 年，證明了 n = 7。 1847 年，發生了一件令拉梅非 常尷尬的事件。
1847 年發生的事件
3 月1 日，拉梅宣布他已證明了「費馬最後定理」。
拉梅將 x n + y n 分解成 (x + y)(x + y)(x + 2y)…(x + n-1y)， 其中 = cos(2/n) + i sin(2/n)，即方程 r n = 1 的複數根。
勾股定理及勾股數組
勾股定理 在 ABC 中，若 C 為直角， 則 a2 + b2 = c2。 留意：32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172; 72 + 242 = 252; ……等等 即 (3 , 4 , 5)、(5 , 12 , 13)…等等為方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。 我們稱以上的整數解為「勾股數組」。
歐拉證明的缺憾
歐拉考慮形如 a + b-3 的「數字」。發現這些數字和普 通的整數都有相同的加減法和乘法性質。 例如：(a + b-3)(c + d-3) = (ac - 3bd) + (ad + bc)-3 由此他認為對於任何的「數字」a + b-3，必定可以找到 另一「數字」u + v-3，使 a + b-3 = (u + v-3)3。 同時亦得到 a - b-3 = (u - v-3)3。 所以 a2 + 3b2 = (a + b-3)(a - b-3) = [(u + v-3)(u - v-3)]3 = (u2 + 3v2)3。 但歐拉在他的證明中犯錯，故此並未能成功地解決 n = 3 的情況！
「費馬最後定理」名稱的確立
問 甚麼叫「定理」？ 答 曾經被證實為正確無誤的數學命題。 問 既然費馬的命題又未被證明為正確，為甚麼 又叫做「定理」呢？ 答 因為經過三百多年，都沒有人能作出反例， 所以人們相信是它是正確的，是一個定理。 問 費馬提出這命題後三十年才去世，甚麼會叫 這命題做「最後定理」呢？ 答 因為費馬曾經提出過的命題，都已經被證實 或否定，祇剩下這「最後」一題，未能獲證。
勾股數組
求方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。
解 x = u 2 - v 2 ; y = 2uv ; z = u2 + v 2，其中 u > v > 0。
v 1 2 3 4 5 u 2 (3 , 4 , 5) --------3 4 (8 , 6 , 10) (15 , 8 , 17) (5 , 12 , 13) (12 , 16 , 20) --(7 , 24 , 25) --------5 (24 , 10 , 26) (21 , 20 , 28) (16 , 30 , 34) (9 , 40 , 41) --6 (35 , 12 , 37) (32 , 24 , 40) (27 , 36 , 45) (20 , 48 , 56) (11 , 60 , 61)
費馬為人謙虛謹慎，淡薄 名利，作風低調。 一生從未發表過數學論文， 祇在書信和筆記中，紀錄 了他的數學思想。 曾經提出過的命題，大多 數後來都被證實為正確， 祇有一個命題，到他死後 三百多年，都未能獲得證 實。
大約 1637 年，當費馬閱讀古希臘名著《算術》時，在 書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話： Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infintum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exguitas non caperet.
勾股數組的通解
《算術》第 II 卷第八命題： 將一個平方數分為兩個平方數。 即求方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。 費馬利用他發明的「無窮遞降法」來解 此題，得到以下結果： 若果 HCF(x , y) = 1，y 為偶數， 則 x = u 2 - v 2 ; y = 2uv ; z = u2 + v 2，這裡 u > v > 0，HCF(u , v) = 1，u、v 奇偶性相 反。
3 月 22 日，兩人同時向巴黎科學院提出自己的證明。 不過，對於「唯一分解定理」的問題，二人都未能成功 地解決。 5 月 24 日，德國數學家庫麥爾發表了一封信，指出「唯 一分解定理」的必要性，亦清楚地顯示，拉梅和柯西的 方法是行不通的，從而平息了二人的爭論。
甚麼是「唯一分解定理」？
在一般的整數中，每一個合成數都祇可能被分 解成一種「質因數連乘式」。 但在某些「複整數」中，情況未必相同。 例如：6 = 2 3 = (1 + -5) (1 - -5) 而在 a + b-5 的複整數中， 2、3、(1 + -5) 和 (1 - -5) 為互不相同的質數。 換句話說，形如 a + b-5 的複整數，並不符合 「唯一分解定理」。
容易推出 a2 + 3b2 是奇數，並且 HCF(2a , a2 + 3b2) = 1 或 3。 亦因此得出 a 和 a2 + 3b2 為立方數。
在此，歐拉認為跟據一些「複數原理」，可以找到一對整數 u、v 使 a2 + 3b2 = (u2 + 3v2)3。 由此再得 a、b、g 滿足方程 x 3 + y 3 + z 3 = 0，並且 |g 3 | < |z 3 |。跟據無窮遞降法原理，發生矛盾！（證畢）
則 x2 = a2 - b2 ; y2 = 2ab ; z = a2 + b2，其中 a > b > 0， HCF(a , b) = 1，a、b 的奇偶性相反。 由 x2 = a2 - b2 得 a 必定是奇數，b 必定是偶數。 另外，亦得 x2 + b2 = a2，再從此得 x = c2 - d 2 ; b = 2cd ; a = c2 + d 2，其中 c > d > 0， HCF(c , d) = 1，c、d 的奇偶性相反。 因而 y2 = 2ab = 4cd(c2 + d 2)，
大約 1637 年，當費馬閱讀古希臘名著《算術》時，在 書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話：
將一個立方數分成兩個立方數，一個四次 冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高 於二次冪的數分成兩個相同次冪，這是不 可能的。我對這個命題有一個美妙的證明， 這裏空白太小，寫不下。
費馬最後定理
當整數 n > 2 時， 方程 x n + y n = z n 無正整數解。
由此得 c、d 和 c2 + d 2 為平方數。
於是可設 c = e2 ; d = f 2 ; c2 + d 2 = g2，即 e4 + f 4 = g 2。
換句話說，(e , f , g) 為方程 x 4 + y 4 = z2 的另外一個解。 但是，z = a2 + b2 = (c2 + d 2)2 + 4c2d 2 > g 4 > g > 0。 即是話如果我們從一個 z 值出發，必定可以找到一個更小 的數值 g 使它仍然滿足方程 x 4 + y 4 = z2。如此類推，我 們可以找到一個比 g 更小的數值，同時滿足上式。 但是，這是不可能的！因為 z 為一有限值，這個數值不能 無窮地遞降下去！由此可知我們最初的假設不正確。 所以，方程 x 4 + y 4 = z2 沒有正整數解。（證畢） 推論 方程 x 4 + y 4 = z 4 沒有正整數解。 解 假如 (x , y , z) 為該方程的解，則 (x , y , z2) 將會是方 程 x 4 + y 4 = z2 的解。這是不可能的！（證畢）
費馬最後定理
講者：梁子傑 香港青松中學
費馬 Pierre de Fermat (1601 - 1665)
法國人
律師，1631年出任圖盧茲 議院顧問。 業餘研究數學 他是幾何學、坐標幾何、 概率論、微積分、數論等 學問的先驅。
費馬 Pierre de Fermat (1601 - 1665)
法國人。少數研究數學的女性。 提出將「費馬定理」分成兩個情況： (I) n 能整除 x、y、z。 (II) n 不能整除 x、y、z。 熱爾曼定理 如果 p 是一個奇質數，並且 2p + 1 亦 是質數，那麼對於 n = p，「費馬定 理」的第 I 情況成立。 熱爾曼初步完成了 n = 5 的證明。
如果 x n + y n = z n，那麼拉梅認為每一個 (x + k y) 都會是 n 次冪乘以一個單位，從而可導出矛盾。 但，拉梅的好友劉維爾（Liouville） 指出，拉梅的證明中有很大的漏洞。 拉梅忽略了「唯一分解定理」的考 慮。
1847 年發生的事件
同時，柯西（Cauchy）亦宣布他早於 1846 年的 10 月，已取得「費馬最後定理」 的初步證明。
費馬提出：那麼當 n > 2 時，方程 x n + y n = z n 又有沒有整數解呢？
費馬的「解答」
將一個立方數分成兩個立方數，一個四 次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一 個高於二次冪的數分成兩個相同次冪， 這是不可能的。我對這個命題有一個美 妙的證明，這裏空白太小，寫不下。 但，費馬從未向其他人提及這個「美妙 證明」，亦沒有任何紀錄提及這件事！ 到底費馬的說法是否正確呢？
未能滿足「唯一分解定理」又如何？
n = 4 的證明
費馬在給朋友的信中，曾經提及他已證 明了 n = 4 的情況。但沒有寫出詳細的證 明步驟。 1674 年，貝西在的少量提示下，Baidu Nhomakorabea出這 個情形的證明。 證明步驟主要使用了「無窮遞降法」。
費馬的證明
定理 方程 x 4 + y 4 = z 2 沒有正整數解。
解 假設 (x , y , z) 為一個解並且 HCF(x , y) = 1，y 為偶數，
再進一步
歐拉 Leonhard Euler (1707 - 1783)
瑞士人。 18世紀最優秀的數學家。 世上最多產的數學家。 13歲入大學，17歲取得碩 士學位，30歲右眼失明， 60歲完全失明。 1770年提出 n = 3 的證明。
歐拉 n = 3 證明的概要
考慮方程 x 3 + y 3 + z 3 = 0，並假設 x、y、z 為一兩兩互質的 整數解。不失一般性，可設 x、y 為奇數，z 為偶數。 那麼可再設 x + y = 2a ; x - y = 2b。易知 a、b 奇偶性相反。 由此得 -z 3 = x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 - xy + y 2) = 2a(a2 + 3b2)
一個推論
可以斷言：對於任何正整數 k，方程 x 4k + y 4k = z 4k 沒有正整數解。 如果方程有解，例如： a4k + b4k = c4k， 則 (a k)4 + (b k)4 = (c k)4，但這與費馬的結 果矛盾！ 原方程沒有解。 同樣道理，以後祇需證明對於奇質數 p， 方程 x p + y p = z p 沒有正整數解。
複整數的引入
高斯 Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
德國數學家。 完成歐拉的證明。 引入「複整數」的概念， 即形如 a + b -k，其中 a、 b 為整數，k 為正整數的數 字。
新的方向
熱爾曼 Sophie Germain (1776 - 1831)
n = 5 的證明
勒讓德 Legendre (1752 - 1833)
法國人 1823 年，證明了 n = 5。
狄利克雷 Dirichlet (1805 - 1859)
德國人
1828 年，獨立地證明了 n = 5。 1832 年，解決了 n = 14 的情況。
n = 7 的證明
拉梅 Gabriel Lamé (1795 - 1870)
1839 年，證明了 n = 7。 1847 年，發生了一件令拉梅非 常尷尬的事件。
1847 年發生的事件
3 月1 日，拉梅宣布他已證明了「費馬最後定理」。
拉梅將 x n + y n 分解成 (x + y)(x + y)(x + 2y)…(x + n-1y)， 其中 = cos(2/n) + i sin(2/n)，即方程 r n = 1 的複數根。
勾股定理及勾股數組
勾股定理 在 ABC 中，若 C 為直角， 則 a2 + b2 = c2。 留意：32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172; 72 + 242 = 252; ……等等 即 (3 , 4 , 5)、(5 , 12 , 13)…等等為方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。 我們稱以上的整數解為「勾股數組」。
歐拉證明的缺憾
歐拉考慮形如 a + b-3 的「數字」。發現這些數字和普 通的整數都有相同的加減法和乘法性質。 例如：(a + b-3)(c + d-3) = (ac - 3bd) + (ad + bc)-3 由此他認為對於任何的「數字」a + b-3，必定可以找到 另一「數字」u + v-3，使 a + b-3 = (u + v-3)3。 同時亦得到 a - b-3 = (u - v-3)3。 所以 a2 + 3b2 = (a + b-3)(a - b-3) = [(u + v-3)(u - v-3)]3 = (u2 + 3v2)3。 但歐拉在他的證明中犯錯，故此並未能成功地解決 n = 3 的情況！
「費馬最後定理」名稱的確立
問 甚麼叫「定理」？ 答 曾經被證實為正確無誤的數學命題。 問 既然費馬的命題又未被證明為正確，為甚麼 又叫做「定理」呢？ 答 因為經過三百多年，都沒有人能作出反例， 所以人們相信是它是正確的，是一個定理。 問 費馬提出這命題後三十年才去世，甚麼會叫 這命題做「最後定理」呢？ 答 因為費馬曾經提出過的命題，都已經被證實 或否定，祇剩下這「最後」一題，未能獲證。
勾股數組
求方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。
解 x = u 2 - v 2 ; y = 2uv ; z = u2 + v 2，其中 u > v > 0。
v 1 2 3 4 5 u 2 (3 , 4 , 5) --------3 4 (8 , 6 , 10) (15 , 8 , 17) (5 , 12 , 13) (12 , 16 , 20) --(7 , 24 , 25) --------5 (24 , 10 , 26) (21 , 20 , 28) (16 , 30 , 34) (9 , 40 , 41) --6 (35 , 12 , 37) (32 , 24 , 40) (27 , 36 , 45) (20 , 48 , 56) (11 , 60 , 61)
費馬為人謙虛謹慎，淡薄 名利，作風低調。 一生從未發表過數學論文， 祇在書信和筆記中，紀錄 了他的數學思想。 曾經提出過的命題，大多 數後來都被證實為正確， 祇有一個命題，到他死後 三百多年，都未能獲得證 實。
大約 1637 年，當費馬閱讀古希臘名著《算術》時，在 書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話： Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infintum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exguitas non caperet.
勾股數組的通解
《算術》第 II 卷第八命題： 將一個平方數分為兩個平方數。 即求方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。 費馬利用他發明的「無窮遞降法」來解 此題，得到以下結果： 若果 HCF(x , y) = 1，y 為偶數， 則 x = u 2 - v 2 ; y = 2uv ; z = u2 + v 2，這裡 u > v > 0，HCF(u , v) = 1，u、v 奇偶性相 反。
3 月 22 日，兩人同時向巴黎科學院提出自己的證明。 不過，對於「唯一分解定理」的問題，二人都未能成功 地解決。 5 月 24 日，德國數學家庫麥爾發表了一封信，指出「唯 一分解定理」的必要性，亦清楚地顯示，拉梅和柯西的 方法是行不通的，從而平息了二人的爭論。
甚麼是「唯一分解定理」？
在一般的整數中，每一個合成數都祇可能被分 解成一種「質因數連乘式」。 但在某些「複整數」中，情況未必相同。 例如：6 = 2 3 = (1 + -5) (1 - -5) 而在 a + b-5 的複整數中， 2、3、(1 + -5) 和 (1 - -5) 為互不相同的質數。 換句話說，形如 a + b-5 的複整數，並不符合 「唯一分解定理」。
容易推出 a2 + 3b2 是奇數，並且 HCF(2a , a2 + 3b2) = 1 或 3。 亦因此得出 a 和 a2 + 3b2 為立方數。
在此，歐拉認為跟據一些「複數原理」，可以找到一對整數 u、v 使 a2 + 3b2 = (u2 + 3v2)3。 由此再得 a、b、g 滿足方程 x 3 + y 3 + z 3 = 0，並且 |g 3 | < |z 3 |。跟據無窮遞降法原理，發生矛盾！（證畢）
則 x2 = a2 - b2 ; y2 = 2ab ; z = a2 + b2，其中 a > b > 0， HCF(a , b) = 1，a、b 的奇偶性相反。 由 x2 = a2 - b2 得 a 必定是奇數，b 必定是偶數。 另外，亦得 x2 + b2 = a2，再從此得 x = c2 - d 2 ; b = 2cd ; a = c2 + d 2，其中 c > d > 0， HCF(c , d) = 1，c、d 的奇偶性相反。 因而 y2 = 2ab = 4cd(c2 + d 2)，
大約 1637 年，當費馬閱讀古希臘名著《算術》時，在 書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話：
將一個立方數分成兩個立方數，一個四次 冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高 於二次冪的數分成兩個相同次冪，這是不 可能的。我對這個命題有一個美妙的證明， 這裏空白太小，寫不下。
費馬最後定理
當整數 n > 2 時， 方程 x n + y n = z n 無正整數解。
由此得 c、d 和 c2 + d 2 為平方數。
於是可設 c = e2 ; d = f 2 ; c2 + d 2 = g2，即 e4 + f 4 = g 2。
換句話說，(e , f , g) 為方程 x 4 + y 4 = z2 的另外一個解。 但是，z = a2 + b2 = (c2 + d 2)2 + 4c2d 2 > g 4 > g > 0。 即是話如果我們從一個 z 值出發，必定可以找到一個更小 的數值 g 使它仍然滿足方程 x 4 + y 4 = z2。如此類推，我 們可以找到一個比 g 更小的數值，同時滿足上式。 但是，這是不可能的！因為 z 為一有限值，這個數值不能 無窮地遞降下去！由此可知我們最初的假設不正確。 所以，方程 x 4 + y 4 = z2 沒有正整數解。（證畢） 推論 方程 x 4 + y 4 = z 4 沒有正整數解。 解 假如 (x , y , z) 為該方程的解，則 (x , y , z2) 將會是方 程 x 4 + y 4 = z2 的解。這是不可能的！（證畢）
費馬最後定理
講者：梁子傑 香港青松中學
費馬 Pierre de Fermat (1601 - 1665)
法國人
律師，1631年出任圖盧茲 議院顧問。 業餘研究數學 他是幾何學、坐標幾何、 概率論、微積分、數論等 學問的先驅。
費馬 Pierre de Fermat (1601 - 1665)
法國人。少數研究數學的女性。 提出將「費馬定理」分成兩個情況： (I) n 能整除 x、y、z。 (II) n 不能整除 x、y、z。 熱爾曼定理 如果 p 是一個奇質數，並且 2p + 1 亦 是質數，那麼對於 n = p，「費馬定 理」的第 I 情況成立。 熱爾曼初步完成了 n = 5 的證明。
如果 x n + y n = z n，那麼拉梅認為每一個 (x + k y) 都會是 n 次冪乘以一個單位，從而可導出矛盾。 但，拉梅的好友劉維爾（Liouville） 指出，拉梅的證明中有很大的漏洞。 拉梅忽略了「唯一分解定理」的考 慮。
1847 年發生的事件
同時，柯西（Cauchy）亦宣布他早於 1846 年的 10 月，已取得「費馬最後定理」 的初步證明。
費馬提出：那麼當 n > 2 時，方程 x n + y n = z n 又有沒有整數解呢？
費馬的「解答」
將一個立方數分成兩個立方數，一個四 次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一 個高於二次冪的數分成兩個相同次冪， 這是不可能的。我對這個命題有一個美 妙的證明，這裏空白太小，寫不下。 但，費馬從未向其他人提及這個「美妙 證明」，亦沒有任何紀錄提及這件事！ 到底費馬的說法是否正確呢？
未能滿足「唯一分解定理」又如何？
n = 4 的證明
費馬在給朋友的信中，曾經提及他已證 明了 n = 4 的情況。但沒有寫出詳細的證 明步驟。 1674 年，貝西在的少量提示下，Baidu Nhomakorabea出這 個情形的證明。 證明步驟主要使用了「無窮遞降法」。
費馬的證明
定理 方程 x 4 + y 4 = z 2 沒有正整數解。
解 假設 (x , y , z) 為一個解並且 HCF(x , y) = 1，y 為偶數，
再進一步
歐拉 Leonhard Euler (1707 - 1783)
瑞士人。 18世紀最優秀的數學家。 世上最多產的數學家。 13歲入大學，17歲取得碩 士學位，30歲右眼失明， 60歲完全失明。 1770年提出 n = 3 的證明。
歐拉 n = 3 證明的概要
考慮方程 x 3 + y 3 + z 3 = 0，並假設 x、y、z 為一兩兩互質的 整數解。不失一般性，可設 x、y 為奇數，z 為偶數。 那麼可再設 x + y = 2a ; x - y = 2b。易知 a、b 奇偶性相反。 由此得 -z 3 = x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 - xy + y 2) = 2a(a2 + 3b2)
一個推論
可以斷言：對於任何正整數 k，方程 x 4k + y 4k = z 4k 沒有正整數解。 如果方程有解，例如： a4k + b4k = c4k， 則 (a k)4 + (b k)4 = (c k)4，但這與費馬的結 果矛盾！ 原方程沒有解。 同樣道理，以後祇需證明對於奇質數 p， 方程 x p + y p = z p 沒有正整數解。
複整數的引入
高斯 Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
德國數學家。 完成歐拉的證明。 引入「複整數」的概念， 即形如 a + b -k，其中 a、 b 為整數，k 為正整數的數 字。
新的方向
熱爾曼 Sophie Germain (1776 - 1831)
n = 5 的證明
勒讓德 Legendre (1752 - 1833)
法國人 1823 年，證明了 n = 5。
狄利克雷 Dirichlet (1805 - 1859)
德國人
1828 年，獨立地證明了 n = 5。 1832 年，解決了 n = 14 的情況。
n = 7 的證明
拉梅 Gabriel Lamé (1795 - 1870)