数学上的悖论谬论

同样的戏法可以变出更多不可思议的东西。例如，令
x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …
则有：
2x = 2 + 4 + 8 + 16 + …
于是：
2x -x = x = (2 + 4 + 8 + 16 + …)-(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) =-1
也就是说：
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … =-1
注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。或许这也说明了引入复数概念的必要性吧。
颇具喜剧色彩的错误
众所周ห้องสมุดไป่ตู้，
1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2
让我们用n - 1去替换n，可得
1 + 2 + 3 + … + (n-1) = (n-1)n / 2
等式两边同时加1，得：
这篇关于数学上的悖论谬论的论证的文章是由北大中文系Matrix67所写，读来感觉很有意思，和大家一起分享，来一场头脑风暴。
1=2？史上最经典的“证明”
设a = b，则a·b = a^2，等号两边同时减去b^2就有a·b - b^2 = a^2 - b^2。注意，这个等式的左边可以提出一个b，右边是一个平方差，于是有b·(a - b) = (a + b)(a - b)。约掉(a - b)有b = a + b。然而a = b，因此b = b + b，也即b = 2b。约掉b，得1 =2。
即
x^3 = 1
也就是说x = 1。
把x = 1代回原式，得到1^2 + 1 + 1 = 0。也就是说，3 = 0，嘿嘿！
其实，x = 1并不是方程x^2 + x + 1 = 0的解。在实数范围内，方程x^2 + x + 1 = 0是没有解的，但在复数范围内有两个解。
另一方面，x = 1只是x^3 = 1的其中一个解。x^3 = 1其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的。考虑方程x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0，容易看出x^3 = 1的两个复数解正好就是x^2 + x + 1的两个解。因此，x^2 + x + 1 = 0与x^3 = 1同时成立并无矛盾。
这个问题出在，a - 1或者b - 1有可能不是正整数了，因此不能套用归纳假设。
这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以a - b的，因为我们假设了a = b，也就是说a - b是等于0的。
无穷级数的力量(1)
小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？
1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …
一方面：
1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …
1 + 2+ 3 + … + n = (n-1)n / 2 + 1
也就是
n(n+1) / 2 = (n-1)n / 2 + 1
展开后有
n^2 / 2 + n / 2 = n^2 / 2 - n / 2 + 1
可以看到n = 1是这个方程的唯一解。
也就是说⋯⋯1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2仅在n = 1时才成立！
数学归纳法的杯具(1)
下面这个“证明”是由数学家George Pólya给出的：任意给定n匹马，可以证明这n匹马的颜色都相同。
对n施归纳：首先，当n = 1时命题显然成立。若命题对n = k成立，则考虑n = k + 1的情形：由于{#1, #2, …, #k}这k匹马的颜色相同，{#2, #3, …, #k+1 }这k匹马也相同，而这两组马是有重叠的，可知这k+1匹马的颜色也都相同了。这个证明错在，从n = 1推不出n = 2，虽然当n更大的时候，这个归纳是正确的。这是数学归纳法出错的一个比较奇特的例子：基础情形和归纳推理都没啥问题，偏偏卡在归纳过程中的某一步上。
(a - t/2)^2 = (b - t/2)^2
a - t/2 = b - t/2
a = b
怎么回事儿？
问题出在倒数第二行。
永远记住，x^2 = y^2并不能推出x = y，只能推出x = ±y。
平方根的阴谋(2)
1= √1 = √(-1)(-1) = √-1·√-1 = -1
嗯？
只有x、y都是正数时，√x·y = √x·√y才是成立的。
这个推理过程中出现了一个非常隐蔽而搞笑的错误。等式两边同时加1后，等式左边得到的应该是
1 + 2 + 3 + … + (n-2) + (n-1) + 1
1块钱等于1分钱？
我要用数学的力量掏空你的钱包！请看：
1元= 100分= (10分)^2 = (0.1元)^2 = 0.01元= 1分
用这个来骗小孩子们简直是屡试不爽，因为小学（甚至中学）教育忽视了一个很重要的思想：单位也是要参与运算的。事实上，“100分= (10分)^2”是不成立的，“10分”的平方应该是“100平方分”，正如“10米”的平方是“100平方米”一样。
-1的平方根有两个，i和-i。√(-1)(-1)展开后应该写作i·(-i)，它正好等于1。
复数才是王道
考虑方程
x^2 + x + 1 = 0
移项有
x^2 = - x - 1
等式两边同时除以x，有
x = - 1 - 1/x
把上式代入原式中，有
x^2 + (-1 - 1/x) + 1 = 0
即
x^2 - 1/x = 0
= 1
这岂不是说明0 = 1吗？
后来我又知道了，这个式子还可以等于1/2。不妨设S = 1 + (-1) + 1 + (-1) + …，于是有S = 1 - S，解得S = 1/2。
学习了微积分之后，我终于明白了，这个无穷级数是发散的，它没有一个所谓的“和”。无穷个数相加的结果是多少，这个是需要定义的。无穷级数的力量(2)
这可能是有史以来最经典的谬证了。TedChiang在他的短篇科幻小说DivisionbyZero中写到：
引用
There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with somedefinitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equalstwo. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proofhas stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allowsone to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real orimaginary, rational or irrational—are equal.
数学归纳法的杯具(2)
下面，我来给大家证明，所有正整数都相等。
为了证明这一点，只需要说明对于任意两个正整数a、b，都有a = b。
为了证明这一点，只需要说明对于所有正整数n，如果max(a, b) = n，那么a = b。
我们对n施归纳。当n = 1时，由于a、b都是正整数，因此a、b必须都等于1，所以说a = b。若当n = k时命题也成立，现在假设max(a, b) = k + 1。则max(a - 1, b- 1) = k，由归纳假设知a - 1 = b - 1，即a = b。
平方根的阴谋(1)
定理：所有数都相等。
证明：取任意两个数a和b，令t = a + b。于是，
a + b = t
(a + b)(a - b) = t(a - b)
a^2 - b^2 = t·a - t·b
a^2 - t·a = b^2 - t·b
a^2 - t·a + (t^2)/4 = b^2 - t·b + (t^2)/4
= [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + …
= 0 + 0 + 0 + …
= 0
另一方面：
1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …
= 1 + [(-1) + 1] + [(-1) + 1] + [(-1) + …
= 1 + 0 + 0 + 0 + …