课时跟踪检测(十一) 函数的概念

课时跟踪检测（十一） 函数的概念

A 级——学考水平达标练

1．已知f (x )＝x 2＋1，则f (f (－1))＝( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析：选D 因为f (－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝22＋1＝5.

2．已知M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )

解析：选B A 项中函数的定义域为[－2,0]，C 项中对任一x 都有两个y 值与之对应，D 项中函数的值域不是[0,2]，均不是函数f (x )的图象．故选B.

3．下列各组函数表示相等函数的是( )

A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)

B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1

C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)

D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z

解析：选C 选项A 、B 及D 中对应关系都不同，故都不是相等函数．

4．函数f (x )＝3x 21－x －23x ＋1

的定义域是( ) A.⎣⎡⎦

⎤－13，1 B.⎝⎛⎭⎫－13，1 C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝

⎛⎭⎫－∞，－13 解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧

1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1，从而得B 答案． 5．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( )

A ．1

B ．0

C ．－1

D ．2

解析：选A ∵f (x )＝ax 2－1，∴f (－1)＝a －1，

f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1.

∴a (a －1)2＝0.

又∵a 为正数，∴a ＝1.

6．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．

解析：若[a,3a －1]为一确定区间，则a ＜3a －1，解得a ＞12

，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭

⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭

⎫12，＋∞ 7．设f (x )＝11－x

，则f (f (a ))＝________. 解析：f (f (a ))＝1

1－11－a ＝11－a －11－a

＝a －1a (a ≠0，且a ≠1)． 答案：a －1a

(a ≠0，且a ≠1) 8．函数y ＝2x ＋41－x 的值域为________(用区间表示)．

解析：令t ＝1－x ，则x ＝1－t 2(t ≥0)，

y ＝2x ＋41－x ＝2－2t 2＋4t ＝－2(t －1)2＋4.

又∵t ≥0，∴当t ＝1时，y max ＝4.

故原函数的值域是(－∞，4]．

答案：(－∞，4]

9．已知函数f (x )＝x ＋1x

. (1)求f (x )的定义域；

(2)求f (－1)，f (2)的值；

(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．

解：(1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0，

∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2)f (－1)＝－1＋1－1

＝－2，f (2)＝2＋12＝52. (3)当a ≠－1时，a ＋1≠0，

∴f (a ＋1)＝a ＋1＋

1a ＋1. 10．求函数y ＝x ＋2

6－2x －1的定义域，并用区间表示．

解：要使函数解析式有意义，需满足：

⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，6－2x ≥0，

6－2x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－2，x ≤3，x ≠52，所以－2≤x ≤3且x ≠52

. 所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪

－2≤x ≤3且x ≠52. 用区间表示为⎣

⎡⎭⎫－2，52∪⎝⎛⎦⎤52，3. B 级——高考水平高分练

1．已知等腰三角形ABC 的周长为10，底边长y 关于腰长x 的函数式为y ＝10－2x ，则此函数的定义域为________．

解析：∵△ABC 的底边长显然大于0，即y ＝10－2x ＞0，

∴x ＜5，又两边之和大于第三边，∴2x ＞10－2x .

∴x ＞52

，∴此函数的定义域为⎝⎛⎭⎫52，5. 答案：⎝⎛⎭⎫52，5

2．设函数y ＝f (x )对任意正实数x ，y 都有f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，已知f (8)＝3，则f (2)＝________.

解析：因为f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，所以令x ＝y ＝2，得f (2)＝f (2)＋f (2)，令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)，令x ＝2，y ＝4，得f (8)＝f (2)＋f (4)，所以f (8)＝3f (2)＝6f (2)，又f (8)

＝3，所以f (2)＝12

. 答案：12

3．试求下列函数的定义域与值域：

(1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}；

(2)f (x )＝5x ＋4x －1

； (3)f (x )＝x －x ＋1.

解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．

(2)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1

，所以函数的值域为{y |y ≠5}． (3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域是{x |x ≥－1}．设t ＝

x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－54.又t ≥0，故f (t )≥－54

.所以函数