koch雪花图形

Koch分形雪花图的面积计算

Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim A rea (K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。

算法如下：（1）Q1P 1+P P Q P 1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）TQ 2Q 1+Q 3-Q A ←⨯（1）; （3）P 5P 2P 2Q1P 3Q P Q 3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为：c o s ()s in ()33A =s in ()c o s ()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

Koch分形雪花图地面积计算

Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim Area(K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。

算法如下：（1）Q1P1+P P Q P1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）T Q2Q1+Q3-Q A ←⨯（1）; （3）P5P2P2Q 1P3Q P Q3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为： cos()sin()33A=sin()cos()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

计算机图形学_Koch雪花的分形算法实现

Koch雪花的分形算法实现1.内容介绍分形指具有多重自相似的对象，它可以是自然存在的，也可以是人造的，树木、山川、云朵、脑电图、材料断口等都是典型的分形。

分形是图形学中一门重要的理论，是最近20多年发展起来的新学科，其中Koch雪花则是分形曲线的典型代表。

本文通过对Koch雪花算法实现的详细论述与具体代码，进而分析分形的基本思想、实现方法以及实际应用等。

2.设计思想Koch雪花的实际结构为三条Koch曲线的拼接，这三条Koch曲线分别构成正三角形的三条边即可。

因此，在此详细论述Koch曲线的设计思想。

首先绘制一条线段，假设线段长度为L，则在线段L/3处至2L/3处以L/3为边长做一个正三角形，并去掉底边。

此时该图形变为四条线段，同理对每条线段继续上述步骤即可绘制出Koch曲线。

设计中的难点在于每条线段的端点坐标较难确定，根据已知的初始线段两个端点坐标，我们通过几何三角计算出每次迭代的端点坐标并进行递归即可。

如图1所示，每点的迭代算式为(x1,y1) (x3,y3)(x5,y5)(x4,y4)(x2,y2) α60°第 1 页共9 页图1 端点坐标推导计算32113211533321215333212111()()331c o s (60)31(c o s 60c o s s in 60s in )31[())]61c o s (60)31(s in 60c o s c o s 60s in )31)()]6x x x x y y y y x x L x L x x x y y y y L y L y x x y y αααααα=-+=-+=+︒+=+︒-︒=+---=+︒+=+︒+︒=+-+-在推导出每点的坐标计算后，即可通过编程实现Koch 雪花。

在程序中，首先通过初始化定义正三角形底边的两个端点坐标，然后通过计算得出顶点坐标。

对每一条边进行Koch 曲线递归绘制，最终就可以得到Koch 雪花。

分形曲线与面积计算-精品

sinx1 cos x2
cos sin
Asin
cos

(1, 0)
1

0

cos sin

(0, 1)

0 sin

1

cos

5/11
MATLAB代码
function koch0(P,N)
end
plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image
6/11
Kn的边数: Kn的周长:
Sn 4n
Ln

1 3n
4n
L0
Kn的维数: Dnln4/ln31.2618
Dn

lnN
/
ln
1

相邻两次的边数比和边长比
参考资料: 分形论——奇异性探索,作者:林鸿溢
第 k 条边: x y((tt)) ((1 1 tt))x yk k ttyx kk 11,t(0,1)
1
L kyd 0 x [1 ( t)yk tk y 1](x k 1x k)dt
1 2(xk1xk)(ykyk1)
x L k
9/11
面积计算的数学实验报告(三选一,或题材自选)
一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花
2.证明Koch分形雪花图 Kn 的边数为
Ln 34n1
3.求Koch分形雪花图 Kn 的面积
ln im Are(aKn)
10/11
二、竞赛题的实验设 (第一届全国大学生数学夏令营第6题 )
课外作业:完成面积计算的数学实验报告(电子文档)

科赫曲线

科赫曲线
简介
科赫曲线(Koch curve )是一种像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线。

1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种不论由直段还是由曲段组成的始终保持连通的线，因此将这种曲线成为科赫曲线。

定义
设想一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形。

现在取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷。

外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花。

画法
1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
3、重复上述两步，画出更小的三角形。

4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。

特性
1、它是一条连续的回线，永远不会自我相交。

2、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的。

3、曲线是无限长的，即在有限空间里的无限长度。

4、曲线上任意两点距离无穷大。

5、每次变化面积都会增加，但是总面积是有限的，不会超过初始三角形的外接圆。

思考
科赫曲线中产生一个匪夷所思的悖论："无穷大"的边界，包围着有限的面积。

这让保守派数学大师们都很难相信。

科赫曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性。

提问:在有限面积里面,无穷的去选择无穷小的点来组成的"封闭"曲线.会包围着无穷大的面积吗?。

绘制科赫雪花

绘制科赫雪花科赫雪花是⼀种分形图案，它的绘制规则是：从⼀个等边三⾓形开始，将每个边中间三分之⼀段去掉，然后在此部分向外绘制⼀个⼩等边三⾓形，以此类推。

下⾯的代码是在 Win32 API 中绘制科赫雪花的⽅法// 返回 p1 p2 两点之间的点 p , pp1 : pp2 = rPOINT ratio(double r, POINT p1, POINT p2){POINT p;p.x = p1.x + (p2.x - p1.x) * r;p.y = p1.y + (p2.y - p1.y) * r;return p;}// 递归绘制线段void drawLine(HDC hdc, POINT p1, POINT p2, int count){// 当为 0 ，就直接连接if (count == 0){POINT p[2] = {p1, p2};Polyline(hdc, p, 2);return;}// 如果不是最后⼀次迭代，就空出中间 1/3 段POINT interp[2] = {ratio(1.0 / 3, p1, p2), ratio(2.0 / 3, p1, p2)};// 绘制这两段drawLine(hdc, p1, interp[0], count - 1);drawLine(hdc, interp[1], p2, count - 1);// 计算中点POINT c = {(p1.x + p2.x) / 2, (p1.y + p2.y) / 2};// 计算斜率，注意由于纵坐标向下，斜率与标准坐标下相反double k = 1.0 * (p2.y - p1.y) / (p1.x - p2.x);double d = sqrt((p1.x - p2.x) * (p1.x - p2.x) + (p1.y - p2.y) * (p1.y - p2.y));double distance = sqrt(3) * d / 6;double dx = distance * k / sqrt(1 + k * k);double dy = distance / sqrt(1 + k * k);// 计算新增点的位置int sign = (p1.x > c.x ? -1 : 1);c.x += sign * dx;c.y += sign * dy;// 绘制凸出部分drawLine(hdc, interp[0], c, count - 1);drawLine(hdc, c, interp[1], count - 1);}// 绘制三个边void drawTriangle(HDC hdc, POINT points[], int count){drawLine(hdc, points[0], points[1], count);drawLine(hdc, points[1], points[2], count);drawLine(hdc, points[2], points[0], count);}// 绘图函数void draw(HDC hdc, POINT c, int d, int count){POINT points[3] = {{c.x, c.y - d}, {c.x - d / 2 * sqrt(3), c.y + d / 2}, {c.x + d / 2 * sqrt(3), c.y + d / 2}};drawTriangle(hdc, points, count);}接着在 WM_PAINT 中添加如下代码：// 绘制图形int d = 100;POINT c = {150, 150};for (int i = 0; i < 2; i++){for (int j = 0; j < 2; j++){draw(hdc, c, d, i * 2 + j);c.x += 250;}c.x = 150;c.y += 250;}此段代码绘制前 4 个科赫雪花。

几何画板教案(分形)

几何画板教案
课题：几何画板下制作分形
教学目标：（1）了解分形的意义（2）用录制循环的方法作分形
教学过程：
一）展示
二）讲授新课
1）1904年数学家Koch给出了条处处没有切线的连续
曲线——雪花曲线。

（当时仅仅是为了证明存在处处连
续但处处不可导的函数。

）雪花曲线具有自相似性，
即它的任一局部都是整体在较小尺度下的再现或缩影。

1967年法国数学家B.Mandelbrot（B.曼德勃罗）提出了
“英国的海岸线有多长？”的著名问题，1975年他在
法兰西学院讲课期间提出了分形几何的思想。

人们惊奇
的发现，直观上雪花曲线和自然界中的海岸线很相象。

今天分形被归为自然的几何。

用以解释欧氏几何无
法解释的现象（如树皮、云朵、海岸线等）。

分形分两
种：几何分形与随机分形。

几何分形可以想象为一种无尽的几何图案，这种图案不断地以更小的式样自我复制。

当一个几何分形的部分放大时，它看起来精确地象原先样式。

雪花曲线是将等边三角形每边三等分，在其中段再向外作新的等边三角形，删掉重叠的边，重复上述过程产生的。

它有着令人惊异的性质：具有有限的面积却有无限的周长。

2）制作分形Koch（柯赫）曲线。

3）学生练习完成。

三）小结略。

下列关于科赫曲线和科赫雪花的说法

下列关于科赫曲线和科赫雪花的说法科赫曲线和科赫雪花是非常有趣和迷人的数学构造之一。

科赫曲线是一条无限长的分形曲线，由瑞典数学家赫尔曼·冯·科赫于20世纪初提出。

科赫雪花是由科赫曲线得到的一种特殊形状，它由三个等边三角形组成，而每个等边三角形的边都被替换为科赫曲线的一部分。

科赫曲线和科赫雪花具有非常特殊的几何属性和数学特性，下面将介绍关于它们的一些重要性质和应用。

首先，科赫曲线和科赫雪花是分形结构。

分形是指具有自相似性的物体或形状，意味着无论在哪个尺度上观察，它们的局部都类似于整体。

科赫曲线是分形的典型例子，因为无论我们放大或缩小它，都可以看到相似的曲线结构。

科赫雪花也是分形结构，因为整个雪花和它的一小部分都非常相似。

分形结构在自然界和人工设计中广泛存在，例如山脉、云彩、树枝、海岸线等等，它们展示了自然界中的美与复杂性。

其次，科赫曲线和科赫雪花具有无限长度。

科赫曲线的长度是无限的，尽管它曲线的外观是有限的。

这是因为科赫曲线每次迭代都会增加长度，直到无限趋近于一个无穷大的值。

科赫雪花也有相似的性质，虽然每一次迭代都会增加雪花的边长，但随着迭代的无限进行，雪花的长度也会趋近于无穷大。

这种无限长度的特性给科赫曲线和科赫雪花带来了它们独特的美感和神秘性。

第三，科赫曲线和科赫雪花具有无法填充的面积。

尽管科赫曲线和科赫雪花都有无限长度，但它们的面积却是有限的。

这是因为科赫曲线的的宽度趋于零，所以它的面积收敛到一个有限的值。

科赫雪花也有相似的性质，它不断迭代后的面积也是有限的，尽管每个小三角形的面积趋近于零。

科赫曲线和科赫雪花的这种特性使它们成为有趣的数学问题，许多数学家和科学家对它们的性质进行了深入研究。

另外，科赫曲线和科赫雪花是可重复的。

科赫曲线和科赫雪花的构造是通过重复特定的操作来获得的。

科赫曲线是通过每个线段的两侧添加一个等边三角形来获得的，而科赫雪花是通过将三个等边三角形的边替换为科赫曲线的一部分来获得的。

分形之科赫（Koch）雪花

分形之科赫（Koch）雪花科赫曲线是⼀种分形。

其形态似雪花，⼜称科赫雪花、雪花曲线.瑞典⼈科赫于1904年提出了著名的“雪花”曲线，这种曲线的作法是，从⼀个正三⾓形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间长度为底边。

分别向外作正三⾓形，再把“底边”线段抹掉，这样就得到⼀个六⾓形，它共有12条边。

再把每条边三等份，以各中间部分的长度为底边，向外作正三⾓形后，抹掉底边线段。

反复进⾏这⼀过程，就会得到⼀个“雪花”样⼦的曲线。

这曲线叫做科赫曲线或雪花曲线。

给定线段AB，科赫曲线可以由以下步骤⽣成：(1)将线段分成三等份（AC,CD,DB）(2)以CD为底，向外（内外随意）画⼀个等边三⾓形DMC(3)将线段CD移去(4)分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。

反复进⾏这⼀作图过程，得到的曲线越来越精细。

科赫曲线有着极不寻常的特性，不但它的周长为⽆限⼤，⽽且曲线上任两点之间的距离也是⽆限⼤。

该曲线长度⽆限，却包围着有限的⾯积。

很神奇的⼀个曲线，他说明了⼀个悖论：“⽆限长度包围着有限⾯积。

”程序中实现了0~8级的科赫雪花分形.程序设计时,将这9级曲线的顶点数据全部放置在⼀个内存中.并使⽤如下结构体进⾏设置:struct SnowLevel{Yuint vertexStart;Yuint verticesCount;};SnowLevel m_snowLevels[SNOW_LEVELS_COUNT];Yuint m_currentLevel;分形图形的顶点⽣成算法代码如下:static void Zhe(const Vector3& vStart, const Vector3& vEnd, Vector3* pVertices){Vector3 vSub = vEnd - vStart;pVertices[0] = vStart;pVertices[1] = vStart + vSub/3;pVertices[3] = vStart + vSub*2/3;pVertices[4] = vEnd;Yreal alfa = atan2f(vSub.y, vSub.x);alfa += YD_REAL_PI/3;Yreal l = D3DXVec3Length(&vSub)/3;pVertices[2].x = pVertices[1].x + cosf(alfa)*l;pVertices[2].y = pVertices[1].y + sinf(alfa)*l;pVertices[2].z = 0.0f;}void CFractalSnowEntity::Fractal(Vector3* pVertices){pVertices[0].x = 0.0f;pVertices[0].y = YD_SNOW_RADIUS;pVertices[0].z = 0.0f;pVertices[1].x = YD_SNOW_RADIUS*sinf(YD_REAL_PI/3);pVertices[1].y = -YD_SNOW_RADIUS*sinf(YD_REAL_PI/6);pVertices[1].z = 0.0f;pVertices[2].x = -pVertices[1].x;pVertices[2].y = pVertices[1].y;pVertices[2].z = 0.0f;for (Yuint i = 1; i < SNOW_LEVELS_COUNT; i++){const Vector3* pSrc = pVertices + m_snowLevels[i - 1].vertexStart;Vector3* pDest = pVertices + m_snowLevels[i].vertexStart;Yuint c = m_snowLevels[i - 1].verticesCount;for (Yuint j = 0; j < c; j++){Zhe(pSrc[j], pSrc[(j + 1)%c], pDest);pDest += 4;}}}下载地址:科赫雪花第0级科赫雪花第1级科赫雪花第2级科赫雪花第3级科赫雪花第4级科赫雪花第5级科赫雪花第6级科赫雪花第7级科赫雪花第8级软件使⽤说明键盘0~8,分别设置第0级到第8级分形.这是个3D程序,⿏标右键的拖动可以改变视⾓.键盘X⽤于恢复为默认视⾓.键盘F11⽤于全屏切换.。

海岸线究竟有多长

海岸线究竟有多长？PB08207006 王婷一节微积分课上，宣老师简单的说了一句话，“海岸线的长度是无穷大的”。

说者无心，听者有意，百度一下，终于明白了个中究竟。

海岸线长度依赖于测量单位，若以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1km的曲折都忽略掉了，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。

但仔细一想：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。

海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。

为什么？答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。

实际测量中，我们将海岸线折线化，得出一个有意义的长度，这就是我们通常所说的海岸线的长度了。

下面我们来看一下经典的科赫曲线（科赫雪花）：科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，它是分形曲线中的一种，具体画法如下：1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；3、重复上述两步，画出更小的三角形。

4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。

科赫曲线有以下几个特点：1、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的2、总长度趋向无穷大3、曲线上任意两点距离无穷大4、面积是有限的雪花曲线的面积是原来生成它的三角形的面积的8/5；面积计算方法如下Ⅰ．假定等边△ABC的面积是k。

Ⅱ．分△ABC为九个全等等边三角形，各具有面积a，如图所示。

因此k=9a。

现在确定雪花曲线六个初始尖角中每一个面积的极限。

我们知道大尖角的面积是a，因为它是九个三角形之一向外翻转而形成的。

在由它生成的下一批尖角中，每一尖角具有面积a/9，因为和原来的三角形一样，它也被分为九个全等三角形后再把其中一个向外翻转而形成下一批的一个尖角。

事实上，每一个相继的尖角都被分为九个全等三角形，同时在两边生出两个三角形。

从分形雪花看学科之间的交融

297时代论坛从分形雪花看学科之间的交融学科之间需要交融。

理由很多，但有两条很基本：（a）学科分界是主观意志的产物。

确切地说，学科的划分是人为的操作。

之所以要划分不同的学科，不是因为大自然有这样的需求，而是因为人们认识自然的能力是有限的。

从这个意义上讲，用“楚汉河界”分割学科范围，实属“多此一举”。

（b）科学发展过程中，再三出现如下情形：问题是在A学科中提出的，但解决问题的方案却在B学科中。

因此，没有交融，就没有突破。

学科交融，是研究者做出独创性工作的最佳路径之一。

怎样实现学科的交融？似乎没有标准答案。

作者在科学研究的实践中，窥视到点滴奥妙：艺术，似乎是关联不同学科的最佳媒介之一！当然，这一观点并不新颖。

历史上，“科学与艺术之关联”，就是经久不衰的话题。

我们可以将这个话题拓展成如下基本判断：A 学科与艺术有关联，B学科与艺术也有关联，那么，A学科与B学科之间，也许存在关联。

数学家的价值判断标准中，美学的标准占据很大比重。

数学家们时常追问：什么样的数学是好的数学？答案极为简单，只有三个字：美，深刻。

美，即形式上必须漂亮；深刻，即思想上必须深邃。

那么，美和深刻的数学具有什么样的特征？答案见仁见智，但有两条，极具启发性：（a）在看似没有任何关联的现象之间，发现了出人预料的相关性。

（b）在看似有必然联系的现象之间，揭示了出人预料的无关性。

注意到，相关性和无关性都很重要，前提必须是“出人预料”。

出人预料的相关性，出人预料的无关性，主要体现了关联性与深刻性。

那么，美与深刻之间，有无关联？数学家们没有直说，但美与深刻总是形影不离，却是不争的事实。

我们的研究，确认了这样的事实。

东西方语言学中美妙的对称性构造2019年10月2日，年、月、日构成了数字“2019102”。

这个数字正着读反着读，结果相同。

这是一个“回文数”。

中外语言中，都有一些美妙的语言结构[1, 2]，其中就有“回文句”。

回文句在英语中被称为“Palindrome”。

计算机图形学实验及课程设计

实验12 颜色渐变立方体
12.1 实验目的
掌握凸多面体消隐算法。掌握双线性颜色插值算法。建立基本三维场景。
实验12 颜色渐变立方体
12.2 实验要求

建立三维坐标系Oxyz，原点位于屏幕客户区中心，x轴水平向右为正，y轴铅直向上为正，z轴垂直于屏幕指向观察者。以原点为体心绘制透视投影立方体，立方体8 个顶点的颜色分别为黑色、白色、红色、绿色、蓝色、黄色、品红色和青色。背景色为黑色，如图12-1所示。
实验4 二维几何变换
4.2 实验要求
使用静态切分视图，将窗口分为左右窗格。左窗格为继承于
CFormView类的表单视图类CLeftPortion，右窗格为一般视图
类CTestView。左窗格提供代表“图形顶点数”（4、8、16和32）、“平移变换”（x方向和y方向）、“旋转变换”（逆时针和顺时针）和 “比例变换”（放大和缩小）的滑动条，用于控制右窗格内的图形变化。右窗格内以屏幕客户区中心为图形的几何中心，绘制图形顶点数从4变化为8、16和32的正多边形。为了表达图形的旋转，多
实验8 动态三视图
8.3 效果图
多面体动态三视图的效果如图8-1所示。
图8-1 多面体动态三视图的效果图
实验9 动态绘制Bezier曲线
9.1实验目的
掌握直线的参数表示法。掌握德卡斯特里奥算法的几何意义。掌握绘制二维Bezier曲线的方法。
实验9 动态绘制Bezier曲线
9.2 实验要求
实验8 动态三视图
8.1实验目的
掌握主视图变换矩阵。掌握俯视图变换矩阵。掌握侧视图变换矩阵。掌握斜等测图绘制方法。
实验8 动态三视图

电子科技大学数学实验实验报告(含详细程序和实验数据)-Koch分形雪花,计算瑞典国土,计算我国海岸线长度

Koch 分形雪花面积计算的数学实验报告2012年4月6日绘制Koch 分形雪花，分析其边数及面积规律实验内容取周长为10的正三角形为初始元。

第一步（N=1）：将边长三等分，并以中间的一份为底边构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与剩下的两份相连，得到生成元。

原三角形每条边都用生成元替换,得到具有6个凸顶点的12边形。

第二步（N=2）：对第1步得到的图形，同样将其边长三等分，并以中间的一份构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与两边的两份相连，得到生成元。

原12边形的每条边都用生成元替换，得到24个凸顶点的48边形。

如此方法，一直做下去，当∞→N 时便得到了Koch 分形雪花。

实验目的1.算法描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图Kn 的边数为143-⨯=n n L3.求Koch 分形雪花图Kn 的面积)(lim n N K area ∞→实验原理1. Koch 分形雪花的绘制过程与Koch 曲线的构造过程类似。

事实上，Koch 分形雪花是由三条三次Koch 曲线组成的。

Koch 曲线的构造：由一条线段产生四条线段，由n 条线段迭代一次后将产生4n 条线段，算法针对每一条线段逐步进行，将计算新的三个点。

第一个点位于线段的三分之一处，第三个点位于线段的三分之二处，第二个点以第一个点为轴心，将第一和第三个点形成的向量正向旋转ο60而得，正向旋转由正交矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-3cos 3sin 3sin3cos ππππ完成。

三条三条三次Koch 曲线由初始向量P 构造。

流程图如下：⑴)/3P －2(P + P ←Q )/3;P －(P + P ← Q 121 31211 ⑵;A ×)Q －(Q + Q ← Q T1312 ⑶．Q ← P ;Q ← P ;Q ← P ;P ← P 342312252.由于Koch分形雪花是封闭的凸多边形，所以边数=顶点数=P矩阵的行数-1。

8 分形

8.2递归模型

8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.2.6
Cantor集 Koch曲线 Peano-Hilbert曲线 Sierpinski垫片、地毯和海绵 C字曲线 Caley树
8.2.1 Cantor集
集合论的创始人康托（G.Cantor，1845～1918）在1883年曾构造了一种三等分Cantor集，其几何表示如下：生成规则：取一段长度为L0的直线段，将其三等分，保留两端的线段，将中间一段抛弃，如图8-9的n＝1的操作；再将剩下的两段直线分别三等分，然后将其中间一段抛弃，如图8-9的n＝2的操作；依此类推，便形成了无数个尘埃似的散点，所以cantor三分集也称为cantor灰尘。 “病态”原因：数目无穷多，但长度趋近于零。
dc.MoveTo(ROUND(ax),ROUND(ay+MaxY/2)); dc.LineTo(ROUND(bx),ROUND(by+MaxY/2)); return;
}
cx=ax+(bx-ax)/3;cy = ay ; cantor(ax,ay,cx,cy,n-1); dx=ax+2*(bx-ax)/3;dy = by ; cantor(dx,dy,bx,by,n-1);
2.无标度性标度是计量单位的刻度。比如长度的标度是米；重量的标度是公斤；面积的标度是平方米等。对欧氏几何学内的不同形体，可以选择不同的标度去度量。例如，直线是多长，面积是多大，体积是多少。自然界中很多的物体具有特征长度，如人有高度、山有海拔等等。
8.1.3 分形的定义
一般认为，满足下列条件的图形称为分形集：分形集具有任意尺度下的比例细节，或者说具有精细结构；分形集是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。分形集通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的自相似。分形集在某种方式下定义的“分维数”一般大于它的拓扑维数。分形集的定义常常是非常简单的，或许是递归的。

《高等数学》应用实例

《高等数学》应用18例一、椅子能在不平的地面上放稳吗？二、磁盘的最大存储量三、有趣的Fibonacci数列四、分形几何中的Koch雪花五、工人上班何时效率最高？六、石油的消耗量七、捕鱼成本的计算八、飞出火星九、萃取问题十、最优化的产出水平十一、蚂蚁逃跑问题十二、资金配置问题十三、家庭教育基金问题十四、分针与时针重合问题十五、证明e是无理数十六、湖泊的污染问题十七、减肥问题十八、冷却定律和破案一、椅子能在不平的地面上放稳吗？要回答这个问题，我们先要做一些合理的假设：（1）椅子的四条腿长度相等，椅脚与地面接触处视为一个点，四脚的连线是一个正方形；（2）地面是一个连续曲面，没有象台阶那样的情况；（3）地面是相对平坦的，即在任何位置至少有三只脚着地；在以上假设下，问题就是四只脚A、B、C、D能否同时着地？为此我们以四脚的中心为原点建立坐标系（如图），再以原点为中心旋转椅子，用θ表示旋转的角度，并引入函数f(θ)表示A、C两腿与地面的距离之和，函数g(θ) 表示B、D两腿与地面的距离之和,且不妨假设f(θ)、g(θ)都是连续函数，又因在任何位置至少有三只脚着地，所以对任何θ，有f(θ)g(θ)=0。

于是，椅子能在不平的地面上放稳的问题就转化为：是否存在θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0？回答是肯定的，下面是其证明。

不妨假设开始时f(0)>0,g(0)=0，现将椅子旋转900(π/2)，对角线AC与BD互换，由f(0)>0,g(0)=0可知f(π/2)=0,g(π/2)>0。

令h(θ)= f(θ)-g(θ)，则h(0)>0，而h(π/2)<0，根据连续函数的介值定理知，必存在θ0(0<θ0<π/2)，使f(θ0)-g(θ0)=0。

最后，因为f(θ0)g(θ0)=0，所以f(θ0)=g(θ0)=0。

这种通过对实际问题先作合理的假设，最后转化成一个纯粹的数学问题并求解的方法就是数学建模。

python生成科赫雪花曲线非递归

python生成科赫雪花曲线非递归生成科赫雪花曲线的非递归算法可以通过迭代的方式来实现。

下面是一个使用Python语言生成科赫雪花曲线的非递归算法示例：```pythonimport turtledef koch_curve(length, depth):if depth == 0:turtle.forward(length)else:for angle in [60, -120, 60, 0]:koch_curve(length / 3, depth - 1)turtle.left(angle)def koch_snowflake(length, depth):for _ in range(3):koch_curve(length, depth)turtle.right(120)# 设置画笔的速度和颜色turtle.speed(0) # 设置画笔速度为最快turtle.color("blue") # 设置画笔颜色为蓝色# 移动画笔到起始位置turtle.penup()turtle.goto(-200, 100)turtle.pendown()# 生成科赫雪花曲线koch_snowflake(400, 4)# 隐藏画笔turtle.hideturtle()# 等待用户关闭窗口turtle.done()```这段代码使用了Python的Turtle库来绘制科赫雪花曲线。

首先定义了两个函数，`koch_curve`用于生成科赫曲线的一段，`koch_snowflake`用于生成完整的科赫雪花曲线。

然后设置画笔的速度和颜色，并将画笔移动到起始位置。

最后调用`koch_snowflake`函数生成科赫雪花曲线，并隐藏画笔，等待用户关闭窗口。

运行以上代码，将生成一个窗口并绘制出科赫雪花曲线。

你可以根据需要调整`length`和`depth`参数来控制曲线的长度和细节程度。

koch method cw trainer 使用方法

Koch Method 是一种数学方法，用于在平面上绘制连续的曲线或形状。

该方法最初由德国数学家Helge von Koch 提出，用于研究平面上的连续曲线。

使用Koch Method CW Trainer，您可以按照以下步骤进行操作：
1. 打开Koch Method CW Trainer 软件，选择您要绘制的曲线类型，例如Koch 曲线或Koch 雪花等。

2. 在软件界面上设置参数，例如初始长度、迭代次数等。

这些参数将决定绘制的曲线形状和大小。

3. 点击“开始”按钮，软件将自动绘制出Koch 曲线或Koch 雪花。

4. 如果您需要调整曲线形状或大小，可以重新设置参数并重新绘制。

5. 在绘制完成后，您可以将结果保存为图像文件或导出到其他软件中进行进一步处理。

需要注意的是，Koch Method CW Trainer 的具体使用方法可能因软件版本或个人需求而有所不同。

如果您需要更详细的指导，建议查阅Koch Method CW Trainer 的用户手册或在线帮助文档。